Úvod

1. Teoretická časť

1.1 Základné pojmy a definície

Formula 1.3 Cardano

2. Riešenie problémov

Záver

Úvod

Rovnice. S istotou sa dá povedať, že neexistuje jediný človek, ktorý by sa v nich nevyznal. Od útleho veku deti začínajú riešiť „problémy s X“. Ďalej viac. Je pravda, že pre mnohých sa zoznámenie s rovnicami končí školskými záležitosťami. Slávny nemecký matematik Courant napísal: „Viac ako dvetisíc rokov bolo potrebné vlastniť nejaké, nie príliš povrchné znalosti v oblasti matematiky. neoddeliteľnou súčasťou v intelektuálnom inventári každého z nich vzdelaný človek". A medzi tieto znalosti patrila aj schopnosť riešiť rovnice.

Už v staroveku si ľudia uvedomili, aké dôležité je naučiť sa riešiť algebraické rovnice tvaru

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

veď sa na ne redukuje veľmi veľa a veľmi rôznorodých otázok praxe a prírodných vied (samozrejme, tu môžeme hneď predpokladať, že a0 ¹ 0, keďže inak stupeň rovnice v skutočnosti nie je n, ale menej). Mnohí, samozrejme, prišli s lákavou myšlienkou nájsť vzorce pre ľubovoľnú mocninu n, ktoré by vyjadrovali korene rovnice z hľadiska jej koeficientov, teda riešili by rovnicu v radikáloch. Ukázalo sa však, že „pochmúrny stredovek“ bol vo vzťahu k diskutovanému problému čo najpochmúrnejší - celých sedem storočí nikto nenašiel požadované vzorce! Až v 16. storočí sa talianskym matematikom podarilo posunúť ďalej - nájsť vzorce pre n \u003d 3 a 4. História ich objavov a dokonca aj autorstvo nájdených vzorcov sú dodnes dosť nejasné a nezistíme tu komplikovaný vzťah medzi Ferro, Cardano, Tartaglia a Ferrari, ale povedzme to lepšie matematická podstata záležitostiach.

Cieľom práce je preskúmať rôzne metódy riešenia rovníc tretieho stupňa.

Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné vykonať niekoľko úloh:

-Analýza vedeckej literatúry;

-Analýza školské učebnice;

-Výber príkladov na riešenie;

-Riešenie rovníc rôznymi metódami.

Práca pozostáva z dvoch častí. Prvá sa zaoberá rôznymi metódami riešenia rovníc. Druhá časť je venovaná riešeniu rovníc rôzne cesty.

1. Teoretická časť

1 Základné pojmy a definície

Kubická rovnica je rovnica tretieho stupňa tvaru:

Číslo x, ktoré mení rovnicu na identitu, sa nazýva koreň alebo riešenie rovnice. Je to tiež koreň polynómu tretieho stupňa, ktorý je na ľavej strane kanonickej notácie.

V oblasti komplexných čísel má podľa základnej vety algebry kubická rovnica vždy 3 korene (berúc do úvahy násobnosť).

Pretože každý skutočný polynóm nie je párny stupeň má aspoň jeden skutočný koreň, všetky možné prípady zloženia koreňov kubická rovnica vyčerpaný tromi popísanými nižšie. Tieto prípady sa dajú ľahko rozlíšiť pomocou diskriminantu

Existujú teda iba tri možné prípady:

Ak? > 0, potom má rovnica tri rôzne reálne korene.

Ak?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Ak? = 0, potom sa aspoň dva korene zhodujú. Môže to byť vtedy, keď rovnica má dvojitý skutočný koreň a iný skutočný koreň, ktorý sa od nich líši; alebo všetky tri korene sa zhodujú a tvoria odmocninu násobnosti 3. Výslednica kubickej rovnice a jej druhá derivácia pomáha oddeliť tieto dva prípady: polynóm má koreň násobnosti 3 vtedy a len vtedy, ak je naznačená výslednica tiež nula.

Korene kubickej rovnice súvisia s koeficientmi takto:

1.2 Metódy riešenia kubických rovníc

Najbežnejšou metódou riešenia kubických rovníc je metóda enumerácie.

Najprv výpočtom nájdeme jeden z koreňov rovnice. Faktom je, že kubické rovnice majú vždy najmenej jeden reálny koreň a celý koreň kubickej rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom voľného člena d. Koeficienty týchto rovníc sa zvyčajne volia tak, aby požadovaný koreň ležal medzi malými celými číslami, ako napríklad: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Preto budeme hľadať koreň medzi týmito číslami a skontrolujeme ho dosadením do rovnica. Úspešnosť tohto prístupu je veľmi vysoká. Predpokladajme tento koreň.

Druhou etapou riešenia je delenie polynómu binómom x - x1. Podľa Bezoutovej vety je toto delenie bezo zvyšku možné a v dôsledku toho dostaneme polynóm druhého stupňa, ktorý sa musí rovnať nule. Riešenie prijaté kvadratická rovnica, nájdeme (alebo nie) zvyšné dva korene.

Riešenie dvojčlennej kubickej rovnice

Dvojčlenná kubická rovnica má tvar (2)

Táto rovnica sa redukuje do tvaru delením nenulovým koeficientom A. Ďalej sa použije vzorec pre skrátené násobenie súčtu kociek:

Z prvej zátvorky nájdeme a štvorcovú trojčlenku má len zložité korene.

Opakujúce sa kubické rovnice

Recipročná kubická rovnica má tvar a B-koeficienty.

Poďme do skupiny:

Je zrejmé, že x=-1 je koreň takejto rovnice a korene výslednej rovnice štvorcový trojčlen sa dajú ľahko nájsť prostredníctvom diskriminátora.

Formula 1.3 Cardano

AT všeobecný prípad, korene kubickej rovnice nájdeme podľa Cardanovho vzorca.

Pre kubickú rovnicu (1) sa hodnoty nachádzajú pomocou substitúcie: x= (2) a rovnica sa redukuje na tvar:

neúplná kubická rovnica, v ktorej nebude žiadny člen obsahujúci druhý stupeň.

Predpokladáme, že rovnica má koeficienty komplexné čísla. Táto rovnica bude mať vždy zložité korene.

Označme jeden z týchto koreňov: . Zavedieme pomocnú neznámu u a uvažujeme polynóm f(u)=.

Označme korene tohto polynómu cez? a?, podľa Viettovho teorému (pozri str. 8):

Dosadíme do rovnice (3), výraz (4), dostaneme:

Z druhej strany (5): (7)

Z toho, t.j. zo vzorcov (6), (7), vyplýva, že čísla sú koreňmi rovnice:

Z poslednej rovnice:

Ďalšie dva korene nájdeme podľa vzorca:

1.4 trigonometrický vzorec Vieta

Tento vzorec nájde riešenia redukovanej kubickej rovnice, teda rovnice tvaru

Je zrejmé, že akúkoľvek kubickú rovnicu možno redukovať na rovnicu tvaru (4) jednoduchým delením koeficientom a. Takže algoritmus na použitie tohto vzorca:

Vypočítajte

2. Vypočítajte

3. a) Ak, tak vypočítaj

A naša rovnica má 3 korene (skutočné):

b) Ak, potom vymeňte goniometrické funkcie hyperbolický.

Vypočítajte

Potom jediný koreň (skutočný):

Imaginárne korene:

C) Ak, potom má rovnica menej ako tri rôzne riešenia:

2. Riešenie problémov

Príklad 1. Nájdite skutočné korene kubickej rovnice

Aplikujeme vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek:

Z prvej zátvorky zistíme, že štvorcová trojčlenka v druhej zátvorke nemá skutočné korene pretože diskriminant je negatívny.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je recipročná. Poďme do skupiny:

je koreňom rovnice. Hľadanie koreňov štvorcového trojčlenu

Príklad 3. Nájdite korene kubickej rovnice

Transformujme rovnicu na redukovanú: vynásobme oboma časťami a urobme zmenu premennej.

Voľný člen je 36. Zapíšme si všetkých jeho deliteľov:

Postupne ich nahrádzame rovnosťou, kým nezískame identitu:

Tak, je koreň. Zhoduje sa

Rozdeľte pomocou Hornerovej schémy.

Koeficienty polynómu2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Dostaneme

Poďme nájsť korene štvorcového trojčlenu:

Je zrejmé, že jeho viacnásobný koreň je.

Príklad 4. Nájdite skutočné korene rovnice

je koreňom rovnice. Nájdite korene štvorcového trojčlenu.

Od diskriminačného menej ako nula, potom trojčlenka nemá skutočné korene.

Príklad 5. Nájdite korene kubickej rovnice 2.

v dôsledku toho

Do vzorca Cardano nahradíme:

nadobúda tri hodnoty. Poďme si ich zapísať.

Keď máme

Keď máme

Keď máme

Rozdeľme tieto hodnoty do párov, ktoré v produkte dávajú

Prvý pár hodnôt a

Druhá dvojica hodnôt a

Tretí pár hodnôt a

Späť k vzorca Cardano

Touto cestou,

Záver

kubická trojčlenná rovnica

V dôsledku exekúcie ročníková práca skúmali sa rôzne metódy riešenia rovníc tretieho stupňa, ako napríklad metóda enumerácie, Caranov vzorec, Vietov vzorec, metódy riešenia recipročných, dvojčlenných rovníc.

Zoznam použitých zdrojov

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických univerzít", M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra a začiatky analýzy. Študijná príručka pre 9. ročník stredná škola, 1977.

)Omelčenko V.P. Matematika: tutoriál/ V.P. Omelčenko, E. V. Kurbatová. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380. roky.

Doučovanie

Potrebujete pomôcť s učením témy?

Naši odborníci vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odoslať žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.

Ciele lekcie.

1. Prehĺbiť vedomosti študentov na tému „Riešenie rovníc vyšších stupňov“ a zhrnúť vzdelávací materiál.
2. Oboznámiť študentov s metódami riešenia rovníc vyšších stupňov.
3. Naučiť študentov aplikovať teóriu deliteľnosti pri riešení rovníc vyšších stupňov.
4. Naučiť študentov, ako rozdeliť polynóm na polynóm podľa „rohu“.
5. Rozvíjať zručnosti a schopnosti pracovať s rovnicami vyšších stupňov.

vyvíja sa:

1. Rozvoj pozornosti žiaka.
2. Rozvoj schopnosti dosahovať výsledky práce.
3. Rozvoj záujmu o učenie sa algebry a samostatnej práce.

Výchova:

1. Zvyšovanie zmyslu pre kolektivizmus.
2. Formovanie pocitu zodpovednosti za výsledok práce.
3. Formácia u študentov primerané sebavedomie pri výbere známky za prácu na vyučovacej hodine.

Vybavenie: počítač, projektor.

Počas vyučovania

1 etapa práce. Organizovanie času.

2 etapa prác. Motivácia a riešenie problémov

Rovnica jedna z najdôležitejšie pojmy matematiky. Vývoj metód na riešenie rovníc, počnúc zrodom matematiky ako vedy, na dlhú dobu bola hlavným predmetom štúdia algebry.

V školskom kurze matematiky sa veľká pozornosť venuje riešeniu rôznych typov rovníc. Do deviateho ročníka sme vedeli riešiť len lineárne a kvadratické rovnice. Rovnice tretieho, štvrtého atď. stupne sa nazývajú rovnice vyšších stupňov. V deviatom ročníku sme sa oboznámili s dvoma základnými metódami riešenia niektorých rovníc tretieho a štvrtého stupňa: rozkladom polynómu na faktory a využitím zmeny premennej.

Je možné riešiť rovnice vyšších stupňov? Na túto otázku sa dnes pokúsime nájsť odpoveď.

3 etapa práce. Zopakujte si predtým naučený materiál. Zaviesť pojem rovnica vyšších stupňov.

1) Riešenie lineárnej rovnice.

Lineárna je rovnica tvaru , kde podľa definície. Táto rovnica má iba jeden koreň.

2) Riešenie kvadratickej rovnice.

Rovnica tvaru , kde . Počet koreňov a samotné korene sú určené diskriminantom rovnice. Lebo rovnica nemá korene, lebo má jeden koreň (dva identické korene)

, lebo má dva rôzne korene .

Z uvažovaných lineárnych a kvadratických rovníc vidíme, že počet koreňov rovnice nie je väčší ako jej stupeň. V priebehu vyššej algebry sa dokázalo, že rovnica -tého stupňa nemá viac ako n koreňov. Čo sa týka samotných koreňov, situácia je oveľa komplikovanejšia. Pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa sú známe vzorce na hľadanie koreňov. Tieto vzorce sú však veľmi zložité a ťažkopádne a praktické uplatnenie Nemám. Pre rovnice piateho a vyššieho stupňa všeobecné vzorce neexistujú a ani nemôžu existovať (ako dokázali v 19. storočí N. Abel a E. Galois).

Rovnice budeme nazývať tretia, štvrtá atď. stupňa rovnicami vyšších stupňov. Niektoré rovnice vysoké stupne možno vyriešiť pomocou dvoch hlavných techník: rozkladom polynómu na faktory alebo použitím zmeny premennej.

3) Riešenie kubickej rovnice.

Poďme vyriešiť kubickú rovnicu

Členy polynómu zoskupíme na ľavej strane rovnice a vynásobíme. Dostaneme:

Súčin faktorov sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov rovná nule. Dostaneme tri lineárne rovnice:

Takže táto kubická rovnica má tri korene: ; ;.

4) Riešenie bikvadratickej rovnice.

Veľmi bežné sú bikvadratické rovnice, ktoré majú tvar (t. j. rovnice, ktoré sú kvadratické vzhľadom na ). Na ich vyriešenie je zavedená nová premenná.

My sa rozhodneme bikvadratická rovnica.

Zavedme novú premennú a získame kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla a 4.

Vráťme sa k starej premennej a získajme dve jednoduché kvadratické rovnice:

(korene a ) (korene a )

Takže táto bikvadratická rovnica má štyri korene:

; ;.

Pokúsme sa vyriešiť rovnicu pomocou vyššie uvedených metód.

FAIL!!!

4 etapa práce. Uveďte niekoľko tvrdení o koreňoch polynómu tvaru , kde polynóm n-tý stupňa

Tu je niekoľko tvrdení o koreňoch polynómu tvaru:

1) Polynóm t. stupňa má najviac koreňov (pri zohľadnení ich násobností). Napríklad polynóm tretieho stupňa nemôže mať štyri korene.

2) Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden koreň. Napríklad polynómy prvého, tretieho, piateho atď. stupne majú aspoň jeden koreň. Polynómy párneho stupňa môžu alebo nemusia mať korene.

3) Ak na koncoch segmentu majú hodnoty polynómu rôzne znamienka (t.j. ), potom interval obsahuje aspoň jeden koreň. Toto tvrdenie sa široko používa na približný výpočet koreňov polynómu.

4) Ak je číslo koreňom polynómu tvaru , potom tento polynóm môže byť reprezentovaný ako súčin , kde polynóm (-tý stupeň. Inými slovami, polynóm tvaru možno bezo zvyšku deliť číslom Toto umožňuje zredukovať rovnicu tého stupňa na rovnicu (-tý stupeň (znížiť stupeň rovnice).

5) Ak má rovnica so všetkými celočíselnými koeficientmi (navyše voľný člen) celočíselný koreň, potom je tento koreň deliteľom voľného člena. Takýto výrok umožňuje vybrať celý koreň polynómu (ak existuje).

5 etapa práce. Ukážte, ako sa teória deliteľnosti aplikuje na riešenie rovníc vyšších stupňov. Zvážte príklady riešenia rovníc vyšších stupňov, v ktorých je ľavá strana faktorizovaná metódou delenia polynómu polynómom „rohom“.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu .

Ak má táto rovnica celočíselný koreň, potom je deliteľom voľného člena (-1), t.j. rovná sa jednému z čísel: . Kontrola ukazuje, že koreňom rovnice je číslo -1. Polynóm teda môže byť reprezentovaný ako súčin, t.j. polynóm možno bezo zvyšku rozdeliť na dvojčlen. Vykonajte nasledujúce rozdelenie podľa "rohu":

V skutočnosti sme teda rozložili ľavú stranu rovnice na faktory:

Súčin faktorov sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov rovná nule. Dostaneme dve rovnice.

Simonyan Albina

Článok sa zaoberá technikami a metódami riešenia kubických rovníc. Aplikácia Cardanovho vzorca na riešenie úloh pri príprave na skúšku z matematiky.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

MOU DOD Palác kreativity pre deti a mládež

Donská akadémia vied pre mladých výskumníkov

Sekcia: matematika - algebra a teória čísel

Výskumná práca

"Poďme sa pozrieť do sveta vzorcov"

na túto tému "Riešenie rovníc 3. stupňa"

Vedúci: učiteľka matematiky Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

1. Úvod ………………………………………………………………………………………………. 3
2. Hlavná časť……………………………………………………………………………….. 4
3. Praktická časť………………………………………………………………… 10-13
4. Záver……………………………………………………………………………………….. 14
5. Literatúra………………………………………………………………………………………..15
6. Aplikácie

1. Úvod

Matematické vzdelanie získal v r všeobecnovzdelávacie školy, je podstatnú zložku všeobecné vzdelanie a všeobecná kultúra moderný človek. Takmer všetko, čo človeka obklopuje, je tak či onak spojené s matematikou. ALE nedávne úspechy vo fyzike, technike, informačné technológie nenechá nikoho na pochybách, že veci zostanú rovnaké aj v budúcnosti. Preto rozhodnutie mnohých praktické úlohy príde na rozhodnutie rôzne druhy rovnice, aby ste sa naučili ich riešiť. Lineárne rovnice prvý stupeň nás učili riešiť na prvom stupni a nejavili sme o nich veľký záujem. zaujímavejšie nelineárne rovnice- rovnice väčšie stupne. Matematika odhaľuje poriadok, symetriu a istotu, a to je vyššie druhy krásne.

Účelom môjho projektu „Pozrime sa do sveta vzorcov“ na tému „Riešenie kubických rovníc tretieho stupňa“ je systematizovať poznatky o riešení kubických rovníc, zistiť skutočnosť, že existuje vzorec na nájdenie korene rovnice tretieho stupňa, ako aj vzťah medzi koreňmi a koeficientmi v kubickej rovnici. V triede sme riešili rovnice, kubické aj stupne vyššie ako 3. Riešenie rovníc rôzne metódy, sčítali sme, odčítali, násobili, delili koeficienty, zvýšili ich na mocninu a extrahovali z nich odmocniny, skrátka vykonali algebraické akcie. Existuje vzorec na riešenie kvadratických rovníc. Existuje vzorec na riešenie rovnice tretieho stupňa, t.j. indikácie, v akom poradí a ktoré algebraické operácie sa musia vykonať s koeficientmi, aby sa získali korene. Bolo pre mňa zaujímavé vedieť, či sa slávni matematici pokúšali nájsť všeobecný vzorec vhodné na riešenie kubických rovníc? A ak sa pokúsili, boli schopní získať vyjadrenie koreňov cez koeficienty rovnice?

2. Hlavné telo:

V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovniciach obsahujúcich neznáme množstvá, pravdepodobne ešte neexistovali žiadne mince ani peňaženky. V staroveku matematické problémy Mezopotámia, India, Čína, Grécko, neznáme množstvá vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde, súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci nejaké vlastnili bežné triky riešenie problémov s neznámymi veličinami. Avšak ani jeden papyrus, ani jeden hlinená tabuľka nie je uvedený žiadny popis týchto techník. Výnimkou je "Aritmetika" gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení. Avšak, prvý problém-riešenie sprievodca dostať široká popularita, bol dielom bagdadského vedca 9. storočia. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Tak ma napadlo vytvoriť projekt „Pozrime sa do sveta vzorcov ...“, základné otázky tento projekt stať sa:

1. zistenie, či existuje vzorec na riešenie kubických rovníc;
2. v prípade kladnej odpovede hľadanie vzorca vyjadrujúceho korene kubickej rovnice z hľadiska konečného počtu algebraických operácií na jej koeficientoch.

Keďže v učebniciach a iných knihách o matematike sa väčšina úvah a dôkazov nevykonáva na konkrétne príklady, a v všeobecný pohľad, potom som sa rozhodol hľadať konkrétne príklady, ktoré potvrdia alebo vyvrátia moju myšlienku. Pri hľadaní vzorca na riešenie kubických rovníc som sa rozhodol postupovať podľa známych algoritmov na riešenie kvadratických rovníc. Napríklad riešenie rovnice x 3 + 2 x 2 - 5 x -6 = 0 vyčlenený plná kocka použitím vzorca (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Aby som vybral celú kocku z ľavej strany rovnice, ktorú som vzal, otočil som ju 2x 2 na 3 x 2 a tie. Hľadal som takú, aby bola pravdivá rovnosť 2x 2 \u003d 3x 2 a . Bolo ľahké vypočítať, že a = . Transformovaná ľavá strana tejto rovnicetakto: x 3 + 2x 2-5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Urobil som substitúciu y \u003d x +, t.j. x = y - y 3-6(y-)-6=0; o 3- 6y + 4-6 = 0; Pôvodná rovnica mala tvar: 3 - 6y - 2 = 0; Ukázalo sa, že nie je veľmi krásna rovnica, pretože namiesto celočíselných koeficientov mám teraz zlomkové, hoci člen rovnice obsahujúci druhú mocninu neznámej zmizol! Som bližšie k svojmu cieľu? Ostal napokon výraz obsahujúci prvú mocninu neznámeho. Možno bolo potrebné vybrať celú kocku, aby zmizol výraz - 5x? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Našiel som niečo také 3a 2 x \u003d -5x; tie. do 2 = - Ale potom to dopadlo dosť zle - v tejto rovnosti, vľavo je kladné číslo a vpravo je záporný. Takáto rovnosť nemôže byť. Doteraz sa mi nepodarilo vyriešiť rovnicu, vedel som ju len doviesť do tvaru 3 - 6 rokov - 2 = 0.

Takže výsledok mojej práce na počiatočná fáza: dokázal z kubickej rovnice odstrániť člen obsahujúci druhý stupeň, t.j. ak je daný kanonická rovnica Oh 3 + v 2 + cx + d, potom ju možno zredukovať na neúplnú kubickú rovnicu x 3 +px+q=0. Ďalej práca s rôznymi referenčná literatúra, podarilo sa mi zistiť, že rovnica tvaru x 3 + pixel \u003d q podarilo vyriešiť talianskemu matematikovi Dalovi Ferrovi (1465-1526). Prečo pre tento druh a nie pre tento druh x 3 + px + q \u003d 0? to pretože v tom čase ešte neboli zavedené záporné čísla a rovnice sa uvažovali len s kladnými koeficientmi. A záporné čísla boli rozpoznané o niečo neskôr.Odkaz na históriu:Dal Ferro vybral početné možnosti analogicky so vzorcom koreňov danej kvadratickej rovnice. Uvažoval takto: koreň kvadratickej rovnice je - ± t.j. má tvar: x=t ± . To znamená, že koreňom kubickej rovnice by mal byť aj súčet alebo rozdiel niektorých čísel a pravdepodobne by medzi nimi mali byť korene tretieho stupňa. Ktoré presne? Z početných možností sa jedna ukázala ako úspešná: našiel odpoveď v podobe rozdielu - Ešte ťažšie bolo uhádnuť, že t a u treba zvoliť tak, že =. Nahradením namiesto x rozdiel - a namiesto p súčin prijaté: (-) 3 +3 (-) = q. Otvorené zátvorky: t - 3 +3- u+3- 3=q. Po prinesení podobných výrazov sme dostali: t-u=q.

Výsledný systém rovníc je:

tu = ()3 t-u=q. Zdvihneme pravú a ľavú stranuodmocnite časti prvej rovnice a vynásobte druhú rovnicu 4 a pridajte prvú a druhú rovnicu. 4t2 +2tu +u2 =q2 +4()3; (t+u)2=4()+()3t+u=2 Od nový systém t+u=2; t -u=q máme: t= + ; u = - . Nahradením výrazu namiesto x sme dostaliPočas práce na projekte som sa dozvedel najzaujímavejšie materiály. Ukázalo sa, že Dal Ferro nezverejnil metódu, ktorú našiel, ale niektorí z jeho študentov o tomto objave vedeli a čoskoro sa jeden z nich, Antonio Fior, rozhodol použiť ju.V tých rokoch boli rozšírené verejné spory vedecké otázky. Víťazi takýchto sporov zvyčajne dostávali dobrú odmenu, často ich pozývali do vysokých funkcií.

Zároveň v talianske mesto Verona žil chudobný učiteľ matematiky Nicolo (1499-1557), prezývaný Tartaglia (t.j. koktajúci). Bol veľmi talentovaný a podarilo sa mu znovu objaviť techniku ​​Dala Ferra (Príloha 1).Medzi Fiore a Tartagliou sa odohral súboj. Podľa podmienky si súperi vymenili tridsať problémov, ktorých riešenie dostalo 50 dní. Ale odvtedy Fior poznal v podstate len jeden problém a bol si istý, že ho nejaký učiteľ nedokáže vyriešiť, potom sa ukázalo, že všetkých 30 problémov bolo rovnakého typu. Tartaglia sa s nimi vysporiadala za 2 hodiny. Na druhej strane Fiore nedokázal vyriešiť ani jednu úlohu navrhnutú nepriateľom. Víťazstvo oslávilo Tartagliu po celom Taliansku, ale problém nebol úplne vyriešený. .

To všetko urobil Gerolamo Cardano. Samotný vzorec, ktorý objavil Dal Ferro a znovu objavil Tartaglia, sa nazýva Cardano vzorec (príloha 2).

Cardano Girolamo (24. september 1501 – 21. september 1576) bol taliansky matematik, mechanik a lekár. Narodil sa v Pavii. Študoval na univerzitách v Pavii a Padove. V mladosti sa venoval medicíne. V roku 1534 sa stal profesorom matematiky v Miláne a Bologni. V matematike sa meno Cardano zvyčajne spája so vzorcom na riešenie kubickej rovnice, ktorý si požičal od N. Tartaglia. Tento vzorec bol publikovaný v Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). Odvtedy sa Tartaglia a Cardano stali smrteľnými nepriateľmi. Táto kniha systematicky načrtáva Cardanove moderné metódy riešenia rovníc, najmä kubických. Cardano dokončené lineárna transformácia, ktorý umožňuje zredukovať kubickú rovnicu na tvar voľný od člena 2. stupňa a poukázal na závislosť medzi koreňmi a koeficientmi rovnice, na deliteľnosť polynómu rozdielom x – a, ak a je jeho koreň. Cardano bol jedným z prvých v Európe, ktorý priznal existenciu negatívne korene rovnice. V jeho tvorbe sa po prvý raz objavujú imaginárne veličiny. V mechanike študoval Cardano teóriu pák a závaží. Jeden z pohybov segmentu po stranách pravý uhol mechanici nazývajú kardu novým pohybom. Takže podľa Cardanovho vzorca je možné riešiť rovnice tvaru x 3 + px + q \u003d 0 (príloha 3)

Zdá sa, že problém je vyriešený. Existuje vzorec na riešenie kubických rovníc.

Tu je!

Výraz pod koreňom - diskriminačný. D = ()2 + ()3 Rozhodol som sa vrátiť k svojej rovnici a pokúsiť sa ju vyriešiť pomocou Cardanovho vzorca: Moja rovnica je: 3 - 6y - 2 = 0, kde p = - 6 = -; q = - 2 = -. Je ľahké vypočítať, že () 3 ==- a () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Takže? Z čitateľa tohto zlomku som ľahko vytiahol koreň, vyšlo mi 15. A čo robiť s menovateľom? Nielen, že koreň nie je úplne extrahovaný, ale je tiež potrebné ho extrahovať záporné číslo! Čo sa deje? Dá sa predpokladať, že táto rovnica nemá korene, pretože pre D V priebehu práce na projekte som sa teda stretol s ďalším problémom.Čo sa deje? Začal som písať rovnice, ktoré majú korene, ale neobsahujú člen druhej mocniny neznámej:

1. vytvoril rovnicu, ktorá má koreň x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 A skutočne, kontrolou som sa presvedčil, že -4 je koreň rovnice. (-štyri) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Skontroloval som, či sa tento koreň dá získať pomocou vzorca Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Prijaté, x = -4.

1. vytvoril druhú rovnicu, ktorá má skutočný koreň x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 a skontroloval vzorec.

A v tomto prípade vzorec fungoval bezchybne.

1. zachytil rovnicu x 3 +6x+2=0 s jedným ir racionálny koreň.

Po vyriešení tejto rovnice som dostal tento koreň x = - A potom som mal predpoklad: vzorec funguje, ak má rovnica iba jeden koreň. A moja rovnica, ktorej riešenie ma priviedlo do slepej uličky, mala tri korene! Tam treba hľadať príčinu!Teraz som vzal rovnicu, ktorá má tri korene: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Začiarknutý diskriminant: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Ako som navrhol, pod znakom odmocnina opäť sa ukázalo ako záporné číslo. Dospel som k záveru:cesta k trom koreňom rovnice x 3 +px+q=0 vedie cez nemožnú operáciu získania druhej odmocniny záporného čísla.

1. Teraz mi zostáva zistiť, čomu budem čeliť v prípade, keď má rovnica dva korene. Vybral som rovnicu, ktorá má dva korene: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=()2+()3=()2+()3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Teraz možno dospieť k záveru, že počet koreňov kubickej rovnice tvaru x 3 + px + q \u003d 0 závisí od znamienka diskriminantu D=() 2 +() 3 nasledujúcim spôsobom:

Ak D>0, potom rovnica má 1 riešenie.

Ak D

Ak D=0, potom rovnica má 2 riešenia.

Potvrdenie môjho záveru som našiel v referenčnej knihe o matematike od autora N.I. Bronshteina. Takže môj záver: Cardanov vzorec možno použiť, keď sme si istí, že koreň je jedinečný. mne podarilo zistiť, že existuje vzorec na nájdenie koreňov kubickej rovnice, ale pre tvar x 3 + px + q \u003d 0.

3. Praktická časť.

Práca na projekte „... mi veľmi pomohla pri riešení niektorých problémov s parametrami. Napríklad:1. Pre akú najmenšiu prirodzenú hodnotu a rovnica x 3 -3x+4=a má 1 riešenie? Rovnica bola prepísaná do tvaru x3-3x+4-a=0; p = -3; q = 4-a. Podľa podmienky musí mať 1 riešenie t.j. D>0 Nájdite D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Najmenšia prirodzená hodnota a v tomto intervale je 1.

Odpoveď. jeden

2. Pri čom najväčšia prirodzená hodnota parametra a rovnica x 3 + x 2 -8x+2-a=0 má tri korene?

Rovnica x 3 + 3 x 2 -24x + 6-3a = 0 privedieme do tvaru y 3 + ru + q=0, kde a=1; at=3; c = -24; d = 6-3Á, kde q= - + a 3 p = q = 32-3a; p = -27. Pre tento typ rovnice D=() 2 + () 3 = () 2 + (-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 a 1 = ==28 a 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Najväčšia prirodzená hodnota a z tohto intervalu: 28.

Odpoveď.28

3. V závislosti od hodnôt parametra a nájdite počet koreňov rovnice x 3 - 3x - a \u003d 0

Riešenie. V rovnici p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Pre a (-∞;-2) (2;∞) má rovnica 1 riešenie;

Keď a (-2; 2) má rovnica 3 korene;

Keď \u003d -2; Rovnica 2 má 2 riešenia.

Testy:

1. Koľko koreňov majú rovnice:

1) x 3 -12 x + 8 = 0?

a) 1; b) 2; na 3; d)4

2) x 3 - 9 x + 14 = 0

a) 1; b) 2; na 3; d)4

2. Pri akých hodnotách p rovnice x 3 +px+8=0 má dva korene?

a) 3; b) 5; na 3; d)5

Odpoveď: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Francúzsky matematik Francois Viet (1540-1603) 400 rokov pred nami (príloha 4) dokázal vytvoriť súvislosť medzi koreňmi rovnice druhého stupňa a ich koeficientmi.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙ x 2 \u003d q.

Bolo pre mňa zaujímavé zistiť: je možné vytvoriť súvislosť medzi koreňmi rovnice tretieho stupňa a ich koeficientmi? Ak áno, aké je toto spojenie? Tak vznikol môj mini projekt. Rozhodol som sa využiť svoje existujúce kvadratické schopnosti na vyriešenie môjho problému. konali analogicky. Zobral som rovnicu x 3 + px 2 +qх+r = 0. Ak označíme korene rovnice x 1, x 2, x 3 , potom môže byť rovnica napísaná v tvare (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Rozbalením zátvoriek dostaneme: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Dostal nasledujúci systém:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Korene rovníc ľubovoľného stupňa teda možno dať do súvislosti s ich koeficientmi.Čo v otázke, ktorá ma zaujíma, možno vyčítať z Vietovej vety?

1. Súčin všetkých koreňov rovnice sa rovná modulu voľného člena. Ak sú korene rovnice celé čísla, potom musia byť deliteľmi voľného člena.

Vráťme sa k rovnici x. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Celé čísla musia patriť do množiny: ±1; ±2; ±3; ±6. Postupným dosadzovaním čísel do rovnice dostaneme korene: -3; - jeden; 2.

2. Ak túto rovnicu vyriešite faktorizáciou, Vietova veta vám dáva „nápovedu“:je potrebné, aby sa pri zostavovaní skupín na rozšírenie objavili čísla - deliče voľného termínu. Je jasné, že sa to možno nenaučíte hneď, pretože nie všetky delitele sú koreňmi rovnice. A, bohužiaľ, nemusí to vôbec vyjsť – koniec koncov, korene rovnice nemusia byť celé čísla.

Vyriešte rovnicu x 3 + 2 x 2 -5 x - 6 = 0 faktorizácia. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Pôvodná rovnica je ekvivalentné tomuto: (x+2)(x+1)(x-2)=0. A táto rovnica má tri korene: -3; -1; 2. Pomocou „náznaku“ Vietovej vety som vyriešil nasledujúcu rovnicu: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Deliče voľného člena: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 alebo x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Odpoveď. - štyri; 2.

3. Keď poznáte výsledný systém rovnosti, môžete nájsť neznáme koeficienty rovnice z koreňov rovnice.

Testy:

1. Rovnica x 3 + px 2 + 19x - 12=0 má korene 1, 3, 4. Nájdite koeficient p; Odpoveď. a) 12; b) 19; v 12; d) -8 2. Rovnica x 3 – 10 x 2 + 41x + r=0 má korene 2, 3, 5. Nájdite koeficient r; Odpoveď. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Úlohy na uplatnenie výsledkov tohto projektu v dostatočnom množstve nájdete v príručke pre uchádzačov o štúdium na vysokej škole, ktorú vypracoval M.I.Skanavi. Neoceniteľnou pomocou pri riešení takýchto problémov môže byť znalosť Vietovej vety.

№6.354

4. Záver

1. Existuje vzorec vyjadrujúci korene algebraická rovnica cez koeficienty rovnice: kde D==()2 + ()3 D>0,1 roztok. Formula Cardano.

2. Vlastnosť koreňov kubickej rovnice

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

V dôsledku toho som dospel k záveru, že existuje vzorec, ktorý vyjadruje korene kubických rovníc z hľadiska jeho koeficientov a tiež existuje súvislosť medzi koreňmi a koeficientmi rovnice.

5. Literatúra:

1. Encyklopedický slovník mladý matematik. A.P. Savin. –M.: Pedagogika, 1989.

2. Jednotná štátna skúška z matematiky - 2004. Úlohy a riešenia. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova a ďalší.Čeboksary. Vydavateľstvo Chuvash. un-ta, 2004.

3. Rovnice a nerovnice s parametrami. V.V.Mochalov, Silvestrov V.V. Rovnice a nerovnice s parametrami: Proc. príspevok. -Cheboksary: ​​​​Vydavateľstvo Chuvash. Univerzita, 2004.

4. Úlohy z matematiky. Algebra. Pomocník. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik všetkých súťažných úloh z matematiky zo zbierky M.I.Skanavi. Vydavateľstvo "Ukrajinská encyklopédia" pomenované po M. P. Bazhov, 1993.

6. Za stránkami učebnice algebry. L.F. Pichurin.-M.: Osvietenie, 1990.

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Nahliadnime do sveta vzorcov

Matematické vzdelanie získané na všeobecnovzdelávacích školách je najdôležitejšou zložkou všeobecného vzdelania a všeobecnej kultúry moderného človeka. Takmer všetko, čo človeka obklopuje, je tak či onak spojené s matematikou. A najnovšie úspechy vo fyzike, technológii, informačných technológiách nenechávajú žiadne pochybnosti o tom, že v budúcnosti zostane situácia rovnaká. Preto sa riešenie mnohých praktických problémov redukuje na riešenie rôznych typov rovníc, ktoré sa treba naučiť riešiť. Lineárne rovnice prvého stupňa nás učili riešiť na prvom stupni a nejavili sme o ne veľký záujem. Zaujímavejšie sú nelineárne rovnice – rovnice veľkých stupňov. Matematika odhaľuje poriadok, symetriu a istotu, a to sú najvyššie formy krásy. Úvod:

rovnica má tvar (1) rovnicu transformujeme tak, aby sme vybrali presnú kocku: vynásobíme (1) rovnice 3 (2) transformujeme (2) rovnice, ktoré dostaneme nasledujúca rovnica zdvihnite pravú a ľavú stranu (3) rovnice na tretiu mocninu nájdite korene rovnice Príklady riešenia kubickej rovnice

Kvadratické rovnice rovnice tvaru, kde je diskriminant Medzi reálnymi číslami nie sú korene

Rovnica tretieho stupňa

Historická poznámka: V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovnosti, ktorá obsahovala neznáme množstvá, pravdepodobne ešte neexistovali žiadne mince ani peňaženky. V starovekých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Grécka neznáme veličiny vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde, súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci mali nejaké všeobecné metódy na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Avšak ani jeden papyrus, ani jedna hlinená tabuľka neposkytuje popis týchto techník. Výnimkou je "Aritmetika" gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení. Dielo bagdadského učenca z 9. storočia sa však stalo prvým manuálom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

rovnica má tvar (1) použijeme vzorec 1) výberom nájsť a tak, aby bola splnená nasledujúca rovnosť, transformujeme ľavú stranu (1) rovnice takto: vyberieme celú kocku ako y, získame rovnicu pre y (2) zjednodušte (2) rovnicu ( 3) V (3) člen obsahujúci druhú mocninu neznámej zmizol, ale člen obsahujúci prvú mocninu neznámej zostal 2) výberom nájdite tzv. že je splnená nasledujúca rovnosť. Táto rovnosť je nemožná, pretože vľavo je kladné číslo a vľavo záporné číslo Ak pôjdeme po tejto ceste, tak sa zasekneme .... Na zvolenej ceste zlyháme. Zatiaľ sa nám nepodarilo vyriešiť rovnicu.

Kubické rovnice rovnice v tvare kde (1) 1. Zjednodušme rovnice vydelené a, potom sa koeficient pri "x" bude rovnať 1, preto riešenie akejkoľvek kubickej rovnice je založené na súčtovom kockovom vzorci: (2) ak vezmeme, potom rovnica (1) sa líši od rovnice (2) iba koeficientom na x a voľným členom. Pridáme rovnice (1) a (2) a dáme podobné: ak tu urobíme zmenu, dostaneme kubickú rovnicu vzhľadom na y bez člena:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24. september 1501 – 21. september 1576) bol taliansky matematik, mechanik a lekár. Narodil sa v Pavii. Študoval na univerzitách v Pavii a Padove. V mladosti sa venoval medicíne. V roku 1534 sa stal profesorom matematiky v Miláne a Bologni. V matematike sa meno Cardano zvyčajne spája so vzorcom na riešenie kubickej rovnice, ktorý si požičal od N. Tartaglia. Tento vzorec bol publikovaný v Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). Odvtedy sa Tartaglia a Cardano stali smrteľnými nepriateľmi. Táto kniha systematicky načrtáva Cardanove moderné metódy riešenia rovníc, najmä kubických. Cardano vykonal lineárnu transformáciu, ktorá umožnila dostať kubickú rovnicu do tvaru bez člena 2. stupňa, poukázal na vzťah medzi koreňmi a koeficientmi rovnice, na deliteľnosť polynómu rozdielom x – a, ak a je jeho koreň. Cardano bol jedným z prvých v Európe, ktorý priznal existenciu záporných koreňov rovníc. V jeho tvorbe sa po prvý raz objavujú imaginárne veličiny. V mechanike študoval Cardano teóriu pák a závaží. Jeden z pohybov segmentu po stranách pravého uhla sa v mechanike nazýva kardanový pohyb. Životopis Cardana Girolama

V tom istom čase žil v talianskom meste Verona chudobný učiteľ matematiky Nicolo (1499-1557), prezývaný Tartaglia (t.j. koktajúci). Bol veľmi talentovaný a podarilo sa mu znovu objaviť techniku ​​Dala Ferra. Medzi Fiore a Tartagliou sa odohral súboj. Podľa podmienky si súperi vymenili 30 problémov, ktorých riešenie dostalo 50 dní. Ale keďže Fior poznal v podstate iba jeden problém a bol si istý, že ho nejaký učiteľ nedokáže vyriešiť, ukázalo sa, že všetkých 30 problémov bolo rovnakého typu. Tartaglia si s nimi poradila za dve hodiny. Fiore na druhej strane nedokázal vyriešiť žiadnu z úloh, ktoré navrhol nepriateľ. Víťazstvo preslávilo Tartagliu po celom Taliansku, ale problém nebol úplne vyriešený. Tento jednoduchý trik, s ktorým sme sa dokázali vyrovnať so zložkou rovnice obsahujúcej štvorec neznáma hodnota(výber celej kocky), potom riešenie rovníc odlišné typy nebol zadaný do systému. Súboj Fiory s Tartagliou

rovnicu tvaru z tejto rovnice a vypočítame diskriminant rovnice Nielenže koreň tejto rovnice nie je úplne extrahovaný, ale stále ho treba extrahovať zo záporného čísla. Čo sa deje? Dá sa predpokladať, že táto rovnica nemá korene, pretože D

Korene kubickej rovnice závisia od diskriminantu rovnica má 1 riešenie rovnica má 3 riešenia rovnica má 2 riešenia Záver

rovnica má tvar nájsť korene rovnice pomocou Cardanovho vzorca Príklady riešenia kubických rovníc pomocou Cardanovho vzorca

rovnica tvaru (1) z tejto rovnice a keďže podľa podmienky by táto rovnica mala mať 1 riešenie, potom vypočítame diskriminant (1) rovnice + - + 2 6 Odpoveď: najmenšia prirodzená hodnota a z tohto intervalu je 1 Pri akej najmenšej prirodzenej hodnote má rovnica 1 riešenie?

Riešenie kubických rovníc metódou Vieta Rovnice majú tvar

Riešte rovnicu, ak je známe, že súčin jej dvoch koreňov sa rovná 1 podľa Vietovej vety a máme podmienku, alebo dosadíme hodnotu do prvej rovnice alebo dosadíme hodnotu z tretej rovnice do prvej , nájdeme korene rovnice alebo odpoveď:

Použitá literatúra: „Matematika. Učebná pomôcka» Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Encyklopédia „Poznám svet. Matematika" - Moskva, AST, 1996. " Matematika. Učebná pomôcka » V.T. Lisichkin. Príručka pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách, ktorú pripravil M.I.Skanavi. Slobodný Štátna skúška v matematike - 2004

Ďakujem za tvoju pozornosť

Kubické rovnice majú tvar sekera 3 + bx 2 + cx + d= 0). Spôsob riešenia takýchto rovníc je známy už niekoľko storočí (objavili ho v 16. storočí talianski matematici). Riešenie niektorých kubických rovníc je dosť ťažké, ale so správnym prístupom (a dobrá úroveň teoretické vedomosti) budete vedieť riešiť aj tie najzložitejšie kubické rovnice.

Kroky

Riešte pomocou vzorca na vyriešenie kvadratickej rovnice

Ako je uvedené vyššie, kubické rovnice majú tvar a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), kde sú koeficienty c (\displaystyle c) a d (\displaystyle d) môžu byť rovnaké 0 (\displaystyle 0), to znamená, že kubická rovnica môže pozostávať iba z jedného člena (s premennou v treťom stupni). Najprv skontrolujte, či kubická rovnica, ktorá vám bola poskytnutá, má intervenujúci člen, tj. d (\displaystyle d). Ak nie je voľný člen, môžete túto kubickú rovnicu vyriešiť pomocou vzorca na riešenie kvadratickej rovnice.

• Ak dôjde k zachyteniu, použite iný spôsob riešenia (pozrite si nasledujúce časti).

1. Keďže v r daná rovnica neexistuje žiadny voľný člen, potom všetky členy tejto rovnice obsahujú premennú x (\displaystyle x), ktoré je možné zalomiť: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Príklad. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Ak vydržíte x (\displaystyle x) zátvorky, dostanete x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Všimnite si, že rovnica v zátvorkách je kvadratickou rovnicou tvaru ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), ktorý možno vyriešiť pomocou vzorca ((- b +/-√ (). Vyriešte kvadratickú rovnicu a vyriešite kubickú rovnicu.

   • V našom príklade nahraďte hodnoty koeficientov a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) do vzorca: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Riešenie 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
   • Riešenie 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

3. Pamätajte, že kvadratické rovnice majú dve riešenia, zatiaľ čo kubické rovnice majú tri riešenia. Našli ste dve riešenia kvadratickej, a teda kubickej rovnice. V prípadoch, keď dáte „x“ mimo zátvorky, je vždy tretie riešenie 0 (\displaystyle 0).

   • To je pravda, pretože akékoľvek číslo alebo výraz vynásobený 0 (\displaystyle 0), rovná sa 0 (\displaystyle 0). Odkedy si vydržal x (\displaystyle x) mimo zátvoriek, potom ste rozložili kubickú rovnicu na dva faktory ( x (\displaystyle x) a kvadratickú rovnicu), z ktorých jedna sa musí rovnať 0 (\displaystyle 0) aby sa celá rovnica rovnala 0 (\displaystyle 0).

   Hľadanie celých riešení pomocou faktorizácie

   1. Skontrolujte, či kubická rovnica, ktorú ste dostali, má priesečník. Metóda opísaná v predchádzajúcej časti nie je vhodná na riešenie kubických rovníc, v ktorých je voľný člen. V takom prípade budete musieť použiť metódu opísanú v tejto alebo nasledujúcej časti.

      • Príklad. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Tu pohnite s voľným vtákom d = − 6 (\displaystyle d=-6) na ľavú stranu rovnice tak, že pravá strana dostať 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Nájdite multiplikátory koeficientov a (\displaystyle a)(koeficient at x 3 (\displaystyle x^(3))) a bezplatný člen d (\displaystyle d). Činitele čísla sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory počtu 6 (\displaystyle 6) sú čísla 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1) a 2 × 3 (\displaystyle 2\time 3)).

      • V našom príklade a = 2 (\displaystyle a=2) a d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplikátory 2 (\displaystyle 2) sú čísla 1 (\displaystyle 1) a 2 (\displaystyle 2). Multiplikátory 6 (\displaystyle 6) sú čísla 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), a 6 (\displaystyle 6).

   3. Násobiče deliacich koeficientov a (\displaystyle a) podľa faktorov voľného termínu d (\displaystyle d). Získate zlomky a celé čísla. Celočíselné riešenie kubickej rovnice bude buď jedno z týchto celých čísel, alebo záporná hodnota jedného z týchto celých čísel.

      • V našom príklade rozdeľte faktory a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) podľa faktorov d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) a získajte: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) a . Teraz pridajte do tohto radu čísel ich záporné hodnoty: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) a − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Celočíselné riešenia kubickej rovnice, ktoré ste dostali, sú v tomto rade čísel.

   4. Teraz môžete nájsť celočíselné riešenia svojej kubickej rovnice tak, že do nej dosadíte celé čísla z nájdeného radu čísel. Ale ak s tým nechcete strácať čas, použite. Táto schéma zahŕňa rozdelenie celých čísel na hodnoty a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) daná kubická rovnica. Ak je zvyšok 0 (\displaystyle 0), celé číslo je jedným z riešení kubickej rovnice.

      • Hornerova divízia nie je jednoduchá téma; na získanie Ďalšie informácie postupujte podľa vyššie uvedeného odkazu. Tu je príklad, ako nájsť jedno z riešení kubickej rovnice, ktoré ste dostali pomocou Hornerovho delenia: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Od zvyšku 0 (\displaystyle 0), potom jedným z riešení rovnice je celé číslo − 1 (\displaystyle -1).

   Použitie diskriminantu

   1. Pri tejto metóde budete pracovať s hodnotami koeficientov a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Preto je lepšie zapísať si hodnoty týchto koeficientov vopred.

      • Príklad. matematika>x^3-3x^2+3x-1. Tu a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Nezabudnite, že kedy x (\displaystyle x) neexistuje koeficient, to znamená, že koeficient sa rovná 1 (\displaystyle 1).

   2. Vypočítajte △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Táto metóda bude vyžadovať nejaké komplikované výpočty, ale ak jej porozumiete, budete schopní vyriešiť najzložitejšie kubické rovnice. Ak chcete začať, vypočítajte △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), jedna z niekoľkých dôležitých veličín, ktoré budeme potrebovať dosadením príslušných hodnôt do vzorca.

      • V našom príklade: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\trojuholník _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\trojuholník _(1))

   3. Vypočítajte Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Teraz vypočítajte diskriminant rovnice pomocou nájdených hodnôt Δ0 a Δ1. Diskriminant je číslo, ktoré vám poskytuje informácie o koreňoch polynómu (možno už viete, že diskriminant kvadratickej rovnice je b 2 - 4ac). V prípade kubickej rovnice, ak je diskriminant kladný, potom rovnica má tri riešenia; ak je diskriminant nulový, potom rovnica má jedno alebo dve riešenia; ak je diskriminant záporný, potom rovnica má len jedno riešenie. Kubická rovnica má vždy aspoň jedno riešenie, pretože graf takejto rovnice pretína os x aspoň v jednom bode.

      • Ak do tohto vzorca nahradíte príslušné hodnoty množstiev, dostanete možné riešenia kubická rovnica, ktorú ste dostali. Dosaďte ich do pôvodnej rovnice a ak je splnená rovnosť, riešenia sú správne. Ak napríklad vložíte hodnoty do vzorca a dostanete 1, vložte 1 X 3 - 3X 2 + 3X- 1 a získajte 0. To znamená, že je dodržaná rovnosť a 1 je jedným z riešení kubickej rovnice, ktorú ste dostali.

Naučte sa riešiť kubické rovnice. Zvažuje sa prípad, keď je známy jeden koreň. Metódy hľadania celých čísel a racionálne korene. Aplikácia vzorcov Cardano a Vieta na riešenie akejkoľvek kubickej rovnice.

Tu uvažujeme o riešení kubických rovníc tvaru
(1) .
Ďalej predpokladáme, že je to tak reálne čísla.

(2) ,
po jej delení dostaneme rovnicu tvaru (1) s koeficientmi
.

Rovnica (1) má tri korene: , a . Jeden z koreňov je vždy skutočný. Skutočný koreň označujeme ako . Korene a môžu byť skutočné alebo komplexne konjugované. Skutočné korene môžu byť viaceré. Napríklad, if , then a sú dvojité korene (alebo korene násobnosti 2) a je jednoduchý koreň.

Ak je známy iba jeden koreň

Poznáme jeden koreň kubickej rovnice (1). Označiť známy koreň ako . Potom vydelením rovnice (1) číslom získame kvadratickú rovnicu. Pri riešení kvadratickej rovnice nájdeme ďalšie dva korene a .

Na dôkaz používame skutočnosť, že kubický polynóm môže byť reprezentovaný ako:
.
Potom vydelením (1) dostaneme kvadratickú rovnicu.

Príklady delenia polynómov sú uvedené na stránke
„Rozdelenie a násobenie polynómu polynómom rohom a stĺpcom“.
Riešenie kvadratických rovníc sa uvažuje na strane
"Korene kvadratickej rovnice".

Ak je jeden z koreňov

Ak je pôvodná rovnica:
(2) ,
a jeho koeficienty , , , sú celé čísla, potom sa môžete pokúsiť nájsť koreň celého čísla. Ak má táto rovnica celočíselný koreň, potom je deliteľom koeficientu. Metóda hľadania koreňov celého čísla je taká, že nájdeme všetkých deliteľov čísla a skontrolujeme, či pre nich platí rovnica (2). Ak je rovnica (2) splnená, našli sme jej koreň. Označme to ako . Ďalej vydelíme rovnicu (2) číslom . Dostaneme kvadratickú rovnicu. Keď to vyriešime, nájdeme ďalšie dva korene.

Príklady definovania koreňov celých čísel sú uvedené na stránke
Príklady rozkladu polynómov > > > .

Hľadanie racionálnych koreňov

Ak sú v rovnici (2) , , , celé čísla a , a neexistujú žiadne celé korene, môžete sa pokúsiť nájsť racionálne korene, teda korene tvaru , kde a sú celé čísla.

Aby sme to dosiahli, vynásobíme rovnicu (2) a vykonáme substitúciu:
;
(3) .
Ďalej hľadáme celočíselné korene rovnice (3) medzi deliteľmi voľného člena.

Ak sme našli celočíselný koreň rovnice (3), potom, keď sa vrátime k premennej , dostaneme racionálny koreň rovnice (2):
.

Cardano a Vieta vzorce na riešenie kubickej rovnice

Ak nepoznáme jediný koreň a neexistujú celé korene, potom môžeme nájsť korene kubickej rovnice pomocou Cardanovho vzorca.

Zvážte kubickú rovnicu:
(1) .
Urobme náhradu:
.
Potom sa rovnica zredukuje na neúplnú alebo redukovanú formu:
(4) ,
kde
(5) ; .

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedci a inžinieri, 2012.