Upang malutas ang mga problema sa kumplikadong mga numero ito ay kinakailangan upang maunawaan ang mga pangunahing kahulugan. ang pangunahing gawain ng artikulo sa pagsusuri na ito - upang ipaliwanag kung ano ang mga kumplikadong numero, at upang ipakita ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga pangunahing problema sa mga kumplikadong numero. Kaya, ang isang kumplikadong numero ay isang numero ng form z = a + bi, saan a, b- tunay na mga numero, na tinatawag na tunay at haka-haka na mga bahagi ng kumplikadong numero, ayon sa pagkakabanggit, at nagsasaad a = Re(z), b=Im(z).
i ay tinatawag na imaginary unit. i 2 \u003d -1. Sa partikular, ang anumang tunay na numero ay maaaring ituring na kumplikado: a = a + 0i, kung saan ang a ay totoo. Kung a = 0 at b ≠ 0, kung gayon ang numero ay tinatawag na puro haka-haka.

Ipinakilala na namin ngayon ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero.
Isaalang-alang ang dalawang kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 i at z 2 = a 2 + b 2 i.

Isipin mo z = a + bi.

Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay nagpapalawak sa hanay ng mga tunay na numero, na siya namang nagpapalawak sa hanay mga rational na numero atbp. Ang chain of investments na ito ay makikita sa figure: N - mga integer, Z ay mga integer, Q ay makatwiran, R ay totoo, C ay kumplikado.

Representasyon ng mga kumplikadong numero

Algebraic notation.

Isaalang-alang ang isang kumplikadong numero z = a + bi, ang paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero ay tinatawag algebraic. Napag-usapan na natin nang detalyado ang paraan ng pagsulat na ito sa nakaraang seksyon. Madalas gamitin ang sumusunod na paglalarawang pagguhit

trigonometrikong anyo.

Ito ay makikita mula sa figure na ang numero z = a + bi maaaring maisulat nang iba. Obvious naman yun a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, samakatuwid z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ay tinatawag na argumento ng isang kumplikadong numero. Ang representasyong ito ng isang kumplikadong numero ay tinatawag trigonometrikong anyo. Ang trigonometriko na anyo ng notasyon ay minsan napaka-maginhawa. Halimbawa, ito ay maginhawang gamitin ito para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang integer na kapangyarihan, ibig sabihin, kung z = rcos(φ) + rsin(φ)i, pagkatapos z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ang formula na ito ay tinatawag Ang formula ni De Moivre.

Demonstratibong anyo.

Isipin mo z = rcos(φ) + rsin(φ)i ay isang kumplikadong numero sa trigonometrikong anyo, sumulat sa ibang anyo z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ang huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa Euler formula, kaya nakuha namin bagong anyo kumplikadong mga entry ng numero: z = muling iφ, na tinatawag na demonstrative. Ang form na ito ng notasyon ay napaka-maginhawa para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan: z n = r n e inφ, dito n hindi kinakailangang isang integer, ngunit maaaring isang arbitrary na tunay na numero. Ang paraan ng pagsulat na ito ay kadalasang ginagamit upang malutas ang mga problema.

Pangunahing teorama ng mas mataas na algebra

Isipin na mayroon tayong quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 . Malinaw, ang discriminant ng equation na ito ay negatibo at wala itong tunay na ugat, ngunit lumalabas na ang equation na ito ay may dalawang magkaibang kumplikadong ugat. Kaya, ang pangunahing theorem ng mas mataas na algebra ay nagsasaad na ang anumang polynomial ng degree n ay may hindi bababa sa isang kumplikadong ugat. Ito ay nagpapahiwatig na ang anumang polynomial ng degree n ay may eksaktong n kumplikadong mga ugat isinasaalang-alang ang kanilang multiplicity. Ang teorama na ito ay napaka mahalagang resulta sa matematika at malawakang ginagamit. Ang isang simpleng bunga ng teorama na ito ay mayroong eksaktong n natatanging n-degree na ugat ng pagkakaisa.

Mga pangunahing uri ng mga gawain

Saklaw ng seksyong ito ang mga pangunahing uri mga simpleng gawain sa mga kumplikadong numero. Karaniwan, ang mga problema sa kumplikadong mga numero ay maaaring hatiin sa mga sumusunod na kategorya.

• Nagsasagawa ng pinakasimpleng mga operasyon sa aritmetika sa mga kumplikadong numero.
• Paghahanap ng mga ugat ng polynomial sa mga kumplikadong numero.
• Pagtaas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan.
• Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero.
• Paglalapat ng mga kumplikadong numero upang malutas ang iba pang mga problema.

Ngayon isaalang-alang pangkalahatang mga pamamaraan solusyon sa mga problemang ito.

Ang pinakasimpleng mga operasyon ng aritmetika na may mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa mga patakaran na inilarawan sa unang seksyon, ngunit kung ang mga kumplikadong numero ay ipinakita sa mga trigonometriko o exponential na mga form, kung gayon sa kasong ito maaari silang ma-convert sa algebraic form at magsagawa ng mga operasyon ayon sa kilalang mga patakaran.

Ang paghahanap ng mga ugat ng polynomial ay kadalasang bumababa sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation. Ipagpalagay na mayroon tayong isang quadratic equation, kung ang discriminant nito ay hindi negatibo, kung gayon ang mga ugat nito ay magiging totoo at matatagpuan ayon sa isang kilalang formula. Kung ang discriminant ay negatibo, kung gayon D = -1∙a 2, saan a ay isang tiyak na numero, pagkatapos ay maaari naming katawanin ang discriminant sa form D = (ia) 2, samakatuwid √D = i|a|, at pagkatapos ay maaari mong gamitin sikat na formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Halimbawa. Bumalik sa itaas quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 .
may diskriminasyon - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Ngayon ay madali nating mahahanap ang mga ugat:

Ang pagpapataas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan ay maaaring gawin sa maraming paraan. Kung nais mong itaas ang isang kumplikadong numero sa algebraic form sa isang maliit na kapangyarihan (2 o 3), pagkatapos ay magagawa mo ito sa pamamagitan ng direktang pagpaparami, ngunit kung ang antas ay mas malaki (sa mga problema ay madalas na mas malaki), pagkatapos ay kailangan mong isulat ang numerong ito sa trigonometric o exponential form at gumamit ng mga alam nang pamamaraan.

Halimbawa. Isaalang-alang ang z = 1 + i at itaas sa ikasampung kapangyarihan.
Sinusulat namin ang z sa exponential form: z = √2 e iπ/4 .
Pagkatapos z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Bumalik tayo sa algebraic form: z 10 = -32i.

Ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation, kaya ginagawa ito sa katulad na paraan. Kadalasang ginagamit sa pagkuha ng mga ugat. indicative form mga entry ng numero.

Halimbawa. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng degree 3 ng pagkakaisa. Upang gawin ito, makikita natin ang lahat ng mga ugat ng equation z 3 = 1, hahanapin natin ang mga ugat sa exponential form.
Palitan sa equation: r 3 e 3iφ = 1 o r 3 e 3iφ = e 0 .
Kaya naman: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, kaya φ = 2πk/3.
Ang iba't ibang mga ugat ay nakuha sa φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Samakatuwid 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ay mga ugat.
O sa algebraic form:

Kasama sa huling uri ng gawain malaking tao mga problema at walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Narito ang isang simpleng halimbawa ng naturang gawain:

Hanapin ang halaga sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Kahit na ang pagbabalangkas ng problemang ito ay hindi sa tanong tungkol sa mga kumplikadong numero, ngunit sa kanilang tulong madali itong malulutas. Upang malutas ito, ang mga sumusunod na representasyon ay ginagamit:


Kung papalitan natin ngayon ang representasyong ito sa kabuuan, kung gayon ang problema ay mababawasan sa kabuuan ng karaniwang geometric na pag-unlad.

Konklusyon

Ang mga kumplikadong numero ay malawakang ginagamit sa matematika, sa artikulong ito ng pagsusuri ay isinasaalang-alang ang mga pangunahing operasyon sa mga kumplikadong numero, ilang uri ng mga karaniwang gawain at maikling inilarawan karaniwang pamamaraan kanilang mga solusyon, para sa isang mas detalyadong pag-aaral ng mga posibilidad ng mga kumplikadong numero, inirerekomenda na gumamit ng dalubhasang panitikan.

Panitikan

Mga kumplikadong numero. Ang isang kumplikadong numero ay isang numero ng anyong z=a+biabRi2=−1

Magkomento.
Ang tunay na numerong a ay ang tunay na bahagi ng numerong z at tinutukoy ng a=Rez
Ang tunay na bilang b ay ang haka-haka na bahagi ng numerong z at ipinapahiwatig na b=Imz
Ang mga tunay na numero ay isang kumpletong hanay ng mga numero at mga operasyon sa mga ito, na, tila, ay dapat na sapat upang malutas ang anumang mga gawain sa isang kurso sa matematika. Ngunit paano lutasin ang gayong equation sa mga totoong numero x2+1=0? May isa pang extension ng mga numero - kumplikadong mga numero. Ang mga kumplikadong numero ay maaaring mag-ugat mula sa mga negatibong numero.
Algebraic form kumplikadong numero. Ang algebraic form ng complex number ay z=a+bi(aRbRi2=−1)

Magkomento. Kung a=ReZ=0b=Imz=0, kung gayon ang numerong z ay tinatawag na haka-haka. Kung a=ReZ=0b=Imz=0, kung gayon ang numerong z ay tinatawag na puro haka-haka

Ang geometric na interpretasyon ng mga tunay na numero ay ang tunay na linya. Bilang karagdagan, sa totoong linya "walang puwang para sa mga bagong punto", iyon ay, anumang punto sa totoong axis ay tumutugma sa isang tunay na numero. Dahil dito, ang mga kumplikadong numero ay hindi na matatagpuan sa linyang ito, ngunit maaaring subukan ng isa na isaalang-alang, kasama ng totoong axis, kung saan ilalagay natin ang totoong bahagi ng kumplikadong numero, isa pang axis na patayo dito; tatawagin natin itong imaginary axis. Kung gayon ang anumang kumplikadong numero z = a + ib ay maaaring iugnay sa isang punto sa coordinate plane. Ilalagay namin ang tunay na bahagi ng kumplikadong numero sa abscissa axis, at ang haka-haka na bahagi sa ordinate axis. Kaya, ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng lahat ng mga kumplikadong numero at lahat ng mga punto ng eroplano. Kung ang naturang sulat ay itinayo, kung gayon coordinate plane tinawag kumplikadong eroplano. Ang interpretasyon ng complex number z = a + b i ay ang vector OA na may mga coordinate (a,b) na may simula sa puntong O(0,0) at ang dulo sa puntong A(a,b)

Conjugate number. Ang mga numerong z=a+bi at z=a−bi ay tinatawag na conjugate complex na mga numero

Ari-arian. Ang kabuuan at produkto ng dalawang conjugate complex na numero ay tunay na mga numero: z+z=2azz=a2+b2

magkasalungat na numero. Ang mga numerong z=a+bi at −z=−a−bi ay tinatawag na magkasalungat na kumplikadong mga numero.

Ari-arian. Ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na kumplikadong numero ay zero:
z+(−z)=0

Pantay na mga numero. Ang dalawang kumplikadong numero ay sinasabing pantay-pantay kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay.

Mga operasyong may mga kumplikadong numero na ibinigay sa algebraic form:

Addition property: Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero na z1=a+bi at z2=c+di ay magiging kumplikadong numero ng form na z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) i
Halimbawa: 5+3i+3−i=8+2i

Pag-aari ng pagbabawas: Ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero na z1=a+bi at z2=c+di ay magiging kumplikadong numero ng anyong z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) i

Halimbawa: . 5+3i−3−i=2+4i

Pag-aari ng multiplikasyon: Ang produkto ng dalawang kumplikadong numero na z1=a+bi at z2=c+di ay magiging kumplikadong numero ng anyong z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

Halimbawa: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Pag-aari ng dibisyon: Ang quotient ng dalawang kumplikadong numero na z1=a+bi at z2=c+di ay magiging kumplikadong numero ng anyong z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Halimbawa: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Mga operasyon na may mga kumplikadong numero na ibinigay sa trigonometric form
Ang pagsulat ng complex number z = a + bi bilang z=rcos+isin ay tinatawag na trigonometric form ng complex number.

Modulus ng complex number: r=a2+b2

Complex number argument: cos=rasin=rb

Mga haka-haka at kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang hindi kumpletong quadratic equation:
x 2 \u003d a,
kung saan a- kilalang dami. Ang solusyon sa equation na ito ay maaaring isulat bilang:
Mayroong tatlong posibleng mga kaso dito:

isa). Kung a = 0 , kung gayon x = 0.

2). Kung ang- positibong numero, pagkatapos nito Kuwadrado na ugat ay may dalawang kahulugan: ang isa ay positibo, ang isa ay negatibo; halimbawa, ang equation x 2 \u003d 25 ay may dalawang ugat: 5 at - 5. Madalas itong isinulat bilang ugat na may double sign:
3). Kung ang a ay isang negatibong numero, ang equation na ito ay walang mga solusyon sa mga positibo at negatibong numero na kilala sa amin, dahil ang pangalawang kapangyarihan ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero (isipin mo ito!). Ngunit kung gusto nating makakuha ng mga solusyon ng equation x 2 = a din para sa mga negatibong halaga a, napipilitan kaming ipakilala ang mga numero ng isang bagong uri - mga haka-haka na numero. Kaya, ang isang haka-haka na numero ay isang numero na ang pangalawang kapangyarihan ay isang negatibong numero. Ayon sa kahulugang ito ng mga haka-haka na numero, maaari din nating tukuyin ang isang haka-haka na yunit:
Pagkatapos para sa equation x 2 = - 25 nakakakuha tayo ng dalawang haka-haka na ugat:
Ang pagpapalit ng pareho sa mga ugat na ito sa ating equation, makakakuha tayo ng pagkakakilanlan. (Suriin!). Hindi tulad ng mga haka-haka na numero, ang lahat ng iba pang mga numero (positibo at negatibo, integer at fractional, rational at irrational) ay tinatawag na real o tunay na mga numero. Ang kabuuan ng tunay at haka-haka na numero ay tinatawag na isang kumplikadong numero at ipinapahiwatig:

Saan a, b - tunay na mga numero, ako ang imaginary unit.

Mga halimbawa ng kumplikadong numero: 3 + 4 i , 7 - 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

Alalahanin kinakailangang impormasyon tungkol sa mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a + bi, saan a, b ay tunay na mga numero, at i- tinatawag na haka-haka na yunit, ang simbolo na ang parisukat ay -1, i.e. i 2 = -1. Numero a tinawag tunay na bahagi, at ang numero b - haka-haka na bahagi kumplikadong numero z = a + bi. Kung ang b= 0, pagkatapos ay sa halip na a + 0i magsulat ng simple a. Ito ay makikita na ang tunay na mga numero ay espesyal na kaso kumplikadong mga numero.

Ang mga operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ay pareho sa mga tunay: maaari silang idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin sa bawat isa. Ang pagdaragdag at pagbabawas ay nagpapatuloy ayon sa panuntunan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, at pagpaparami - ayon sa panuntunan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Ad + bc)i(dito ginagamit lang yan i 2 = -1). Numero = a – bi tinawag kumplikadong conjugate sa z = a + bi. Pagkakapantay-pantay z · = a 2 + b 2 ay nagbibigay-daan sa iyo na maunawaan kung paano hatiin ang isang kumplikadong numero sa isa pang (hindi zero) kumplikadong numero:

(Halimbawa, .)

Ang mga kumplikadong numero ay may maginhawa at visual geometric na representasyon: numero z = a + bi ay maaaring katawanin bilang isang vector na may mga coordinate ( a; b) sa Cartesian na eroplano(o, na halos pareho, isang punto - ang dulo ng vector na may mga coordinate na ito). Sa kasong ito, ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero ay inilalarawan bilang kabuuan ng mga katumbas na vectors (na maaaring matagpuan ng parallelogram rule). Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, ang haba ng vector na may mga coordinate ( a; b) ay katumbas ng . Ang halagang ito ay tinatawag modyul kumplikadong numero z = a + bi at ipinapahiwatig ng | z|. Ang anggulo na ginagawa ng vector na ito sa positibong direksyon ng x-axis (counted counterclockwise) ay tinatawag argumento kumplikadong numero z at tinutukoy ng Arg z. Ang argumento ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa pagdaragdag lamang ng isang maramihang ng 2 π radians (o 360°, kung binibilang mo sa mga degree) - pagkatapos ng lahat, malinaw na ang pagliko sa gayong anggulo sa paligid ng pinagmulan ay hindi magbabago sa vector. Ngunit kung ang vector ng haba r bumubuo ng isang anggulo φ na may positibong direksyon ng x-axis, kung gayon ang mga coordinate nito ay katumbas ng ( r cos φ ; r kasalanan φ ). Kaya naman lumalabas trigonometriko notasyon kumplikadong numero: z = |z| (cos(Arg z) + i kasalanan (Arg z)). Ito ay madalas na maginhawa upang magsulat ng mga kumplikadong numero sa form na ito, dahil ito ay lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form ay mukhang napakasimple: z isa · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i kasalanan (Arg z 1+arg z 2)) (kapag nagpaparami ng dalawang kumplikadong numero, ang kanilang moduli ay pinarami at ang mga argumento ay idinagdag). Mula dito sumunod Mga formula ng De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i kasalanan( n(Arg z))). Sa tulong ng mga formula na ito, madaling matutunan kung paano kunin ang mga ugat ng anumang antas mula sa mga kumplikadong numero. ugat nth degree mula sa numero z ay isang kumplikadong numero w, Ano w n = z. Malinaw na , At saan k maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa set (0, 1, ..., n- isa). Ibig sabihin, laging may eksakto n mga ugat n ika degree mula sa isang kumplikadong numero (sa eroplano sila ay matatagpuan sa vertices ng isang regular n-gon).