Ein lineares Gleichungssystem mit zwei lösen variable Methode zusätzlich benötigt man:

1) den linken und rechten Teil einer oder beider Gleichungen mit einer bestimmten Zahl multiplizieren, sodass die Koeffizienten für eine der Variablen in den Gleichungen entgegengesetzte Zahlen werden;

2) falten Begriff für Begriff erhaltene Gleichungen und finden Sie den Wert einer der Variablen;

3) setze den gefundenen Wert einer Variablen in eine dieser Gleichungen ein und finde den Wert der zweiten Variablen.

Wenn in diesem System die Koeffizienten für eine Variable entgegengesetzte Zahlen sind, beginnen wir sofort mit der Lösung des Systems ab Punkt 2).

Beispiele. Löse ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen mit der Additionsmethode.

Da die Koeffizienten bei y entgegengesetzte Zahlen sind (-1 und 1), beginnen wir die Lösung bei Punkt 2). Wir addieren die Gleichungen Term für Term und erhalten die Gleichung 8x = 24. Jede Gleichung kann als zweite Gleichung des Systems geschrieben werden ursprüngliches System.

Finde x und setze seinen Wert in die zweite Gleichung ein.

Wir lösen die 2. Gleichung: 9-y \u003d 14, also y \u003d -5.

Lass es uns tun Überprüfung. Setze die Werte x = 3 und y = -5 in das ursprüngliche Gleichungssystem ein.

Notiz. Die Überprüfung kann mündlich erfolgen und nicht aufgezeichnet werden, wenn die Überprüfung nicht in der Bedingung angegeben ist.

Antworten: (3; -5).

Wenn wir die 1. Gleichung mit (-2) multiplizieren, werden die Koeffizienten für die Variable x zu entgegengesetzten Zahlen:

Wir addieren diese Gleichheiten Term für Term.

Wir erhalten ein äquivalentes Gleichungssystem, in dem die 1. Gleichung die Summe zweier Gleichungen des vorherigen Systems ist, und die 2. Gleichung des Systems schreiben wir die 1. Gleichung des ursprünglichen Systems ( Schreiben Sie die Gleichung normalerweise mit kleineren Koeffizienten):

Wir finden beim aus der 1. Gleichung und der resultierende Wert wird in die 2. eingesetzt.

Wir lösen die letzte Gleichung des Systems und erhalten x = -2.

Antworten: (-2; 1).

Machen wir die Koeffizienten für die Variable beim entgegengesetzte Zahlen. Dazu multiplizieren wir alle Terme der 1. Gleichung mit 5 und alle Terme der 2. Gleichung mit 2.

Setzen Sie den Wert x=4 in die 2. Gleichung ein.

3 · 4 - 5y \u003d 27. Vereinfachen wir: 12 - 5y \u003d 27, also -5y \u003d 15 und y \u003d -3.

Antworten: (4; -3).

Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen nach der Substitutionsmethode zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

1) wir drücken eine Variable durch eine andere in einer der Gleichungen des Systems aus (x durch y oder y durch x);

2) Wir setzen den resultierenden Ausdruck in eine andere Gleichung des Systems ein und erhalten Lineargleichung mit einer Variablen;

3) wir lösen die resultierende lineare Gleichung mit einer Variablen und finden den Wert dieser Variablen;

4) der gefundene Wert der Variablen wird in Ausdruck (1) für eine andere Variable eingesetzt und wir finden den Wert dieser Variablen.

Beispiele. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode.

Äußern X durch y aus der 1. Gleichung. Wir bekommen: x \u003d 7 + y. Wir ersetzen den Ausdruck (7 + y) anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems.

Wir haben die Gleichung: 3 · (7+y)+2y=16. Dies ist eine Gleichung mit einer Variablen beim. Wir lösen es. Öffnen wir die Klammern: 21+3y+2y=16. Sammeln von Begriffen mit einer Variablen beim auf der linken Seite und die freien Bedingungen auf der rechten Seite. Wenn wir einen Term von einem Teil der Gleichheit in einen anderen übertragen, ändern wir das Vorzeichen des Terms in das Gegenteil.

Wir bekommen: 3y + 2y \u003d 16-21. Wir präsentieren wie Begriffe in jedem Teil der Gleichung. 5y=-5. Wir dividieren beide Seiten der Gleichheit durch den Koeffizienten der Variablen. y=-5:5; y=-1. Ersetzen Sie diesen Wert beim in den Ausdruck x=7+y und find X. Wir erhalten: x=7-1; x=6. Ein Paar Variablenwerte x=6 und y=-1 ist die Lösung für dieses System.

Notieren Sie: (6; -1). Antwort: (6; -1). Es ist bequem, diese Argumente wie unten gezeigt zu schreiben, d.h. Gleichungssysteme - links untereinander. Rechts - Berechnungen, notwendige Erklärungen, Überprüfung der Lösung usw.

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I. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable in Beziehung setzt x, die gewünschte Funktion j und seine Derivate oder Differentiale.

Symbolisch Differentialgleichung wird so geschrieben:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, wenn die gesuchte Funktion von einer unabhängigen Variablen abhängt.

Durch Lösen der Differentialgleichung heißt eine solche Funktion, die diese Gleichung in eine Identität verwandelt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung in dieser Gleichung

Beispiele.

1. Betrachten Sie die Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion y = 5 ln x. In der Tat durch Substitution ja" in die Gleichung bekommen wir - eine Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion y = 5 ln x– die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" - 5y" + 6y = 0. Die Funktion ist die Lösung dieser Gleichung.

Wirklich, .

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung ein, erhalten wir: , - Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Integration von Differentialgleichungen ist der Prozess, Lösungen für Differentialgleichungen zu finden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung heißt Funktion der Form , die so viele unabhängige willkürliche Konstanten enthält wie die Ordnung der Gleichung.

Partielle Lösung der Differentialgleichung heißt die Lösung, die aus der allgemeinen Lösung für verschiedene Zahlenwerte beliebiger Konstanten erhalten wird. Die Werte beliebiger Konstanten finden sich bei bestimmten Anfangswerten des Arguments und der Funktion.

Der Graph einer bestimmten Lösung einer Differentialgleichung heißt integrale Kurve.

Beispiele

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung

xdx + ydy = 0, Wenn j= 4 bei x = 3.

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir

Kommentar. Eine als Ergebnis der Integration erhaltene beliebige Konstante C kann in jeder Form dargestellt werden, die für weitere Transformationen geeignet ist. In diesem Fall ist es unter Berücksichtigung der kanonischen Kreisgleichung zweckmäßig, eine beliebige Konstante С in der Form darzustellen.

ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Eine bestimmte Lösung einer Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt j = 4 bei x = 3 ergibt sich aus der allgemeinen durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Setzen wir C=5 in die allgemeine Lösung ein, erhalten wir x2+y2 = 5 2 .

Dies ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung, die sich aus der allgemeinen Lösung unter gegebenen Anfangsbedingungen ergibt.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Funktion der Form , wobei C eine beliebige Konstante ist. In der Tat erhalten wir durch Einsetzen in die Gleichungen: , .

Daher hat diese Differentialgleichung unendlicher Satz Lösungen, da für verschiedene Werte der Konstante C die Gleichheit bestimmt verschiedene Lösungen Gleichungen.

Beispielsweise kann man durch direkte Substitution überprüfen, ob die Funktionen funktionieren sind Lösungen der Gleichung .

Ein Problem, bei dem es erforderlich ist, eine bestimmte Lösung für die Gleichung zu finden y" = f(x, y) Erfüllen der Anfangsbedingung y(x0) = y0, wird das Cauchy-Problem genannt.

Gleichungslösung y" = f(x, y), die Anfangsbedingung erfüllt, y(x0) = y0, wird als Lösung des Cauchy-Problems bezeichnet.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat eine einfache geometrische Bedeutung. In der Tat, nach diesen Definitionen, um das Cauchy-Problem zu lösen y" = f(x, y) gegeben das y(x0) = y0, bedeutet, die Integralkurve der Gleichung zu finden y" = f(x, y) was durchgeht gegebener Punkt M0 (x0,ja 0).

II. Differentialgleichungen erster Ordnung

2.1. Grundlegendes Konzept

Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form F(x,y,y") = 0.

Die Differentialgleichung erster Ordnung enthält die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung.

Die gleichung y" = f(x, y) heißt nach der Ableitung gelöste Gleichung erster Ordnung.

Eine allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion der Form , die eine beliebige Konstante enthält.

Beispiel. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion .

In der Tat, indem wir diese Gleichung durch ihren Wert ersetzen, erhalten wir

also 3x=3x

Daher ist die Funktion eine allgemeine Lösung der Gleichung für jede Konstante C.

Finden Sie eine bestimmte Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt y(1)=1 Ersetzen von Anfangsbedingungen x=1, y=1 in die allgemeine Lösung der Gleichung erhalten wir woher C=0.

So erhalten wir eine bestimmte Lösung aus der allgemeinen, indem wir den resultierenden Wert in diese Gleichung einsetzen C=0 ist eine private Entscheidung.

2.2. Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

Eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen ist eine Gleichung der Form: y"=f(x)g(y) oder durch Differentiale , wo f(x) und g(j) Funktionen gegeben sind.

Für diejenigen j, für die , die Gleichung y"=f(x)g(y) entspricht der Gleichung in der die Variable j nur auf der linken Seite vorhanden ist und die Variable x nur auf der rechten Seite vorhanden ist. Sie sagen: „In der Gleichung y"=f(x)g(y Trennen der Variablen.

Gleichung eingeben wird als getrennte Variablengleichung bezeichnet.

Nach der Integration beider Teile der Gleichung An x, wir bekommen G(y) = F(x) + C die allgemeine Lösung der Gleichung ist, wobei G(y) und F(x) sind einige Stammfunktionen von Funktionen und f(x), C Willkürliche Konstante.

Algorithmus zum Lösen einer Differentialgleichung erster Ordnung mit trennbaren Variablen

Beispiel 1

löse die Gleichung y" = xy

Entscheidung. Ableitung einer Funktion ja" ersetzen mit

wir trennen die Variablen

Lassen Sie uns beide Teile der Gleichheit integrieren:

Beispiel 2

2yy" = 1- 3x 2, Wenn y 0 = 3 beim x0 = 1

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Lassen Sie es uns in Differentialen darstellen. Dazu schreiben wir diese Gleichung in die Form um Von hier

Wenn wir beide Teile der letzten Gleichheit integrieren, finden wir

Ersetzen von Anfangswerten x 0 = 1, y 0 = 3 finden Mit 9=1-1+C, d.h. C = 9.

Daher wird das gewünschte partielle Integral sein oder

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, die durch einen Punkt verläuft M(2;-3) und eine Tangente mit einer Steigung haben

Entscheidung. Je nach Zustand

Dies ist eine trennbare Variablengleichung. Dividiert man die Variablen, erhält man:

Integrieren wir beide Teile der Gleichung, erhalten wir:

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen x=2 und y=-3 finden C:

Daher hat die gesuchte Gleichung die Form

2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form y" = f(x)y + g(x)

wo f(x) und g(x)- einige vorgegebene Funktionen.

Wenn ein g(x)=0 dann heißt die lineare Differentialgleichung homogen und hat die Form: y" = f(x)y

Wenn dann die Gleichung y" = f(x)y + g(x) heterogen genannt.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung y" = f(x)y gegeben durch die Formel: wo Mit ist eine beliebige Konstante.

Insbesondere wenn C \u003d 0, dann ist die Lösung y=0 Wenn linear homogene Gleichung hat die Form y" = ky wo k eine Konstante ist, dann hat ihre allgemeine Lösung die Form: .

Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung y" = f(x)y + g(x) durch die Formel gegeben ,

jene. gleich der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung und der speziellen Lösung dieser Gleichung ist.

Für eine lineare inhomogene Gleichung der Form y" = kx + b,

wo k und b- Einige Zahlen und eine bestimmte Lösung werden eine konstante Funktion sein. Daher hat die allgemeine Lösung die Form .

Beispiel. löse die Gleichung y" + 2y +3 = 0

Entscheidung. Wir stellen die Gleichung in der Form dar y" = -2y - 3 wo k=-2, b=-3 Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Formel .

Daher ist C eine beliebige Konstante.

2.4. Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung nach dem Bernoulli-Verfahren

Finden einer allgemeinen Lösung für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y" = f(x)y + g(x) reduziert sich auf das Lösen von zwei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen unter Verwendung der Substitution y=uv, wo u und v- unbekannte Funktionen aus x. Dieses Lösungsverfahren wird als Bernoulli-Verfahren bezeichnet.

Algorithmus zum Lösen einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

y" = f(x)y + g(x)

1. Geben Sie eine Vertretung ein y=uv.

2. Differenzieren Sie diese Gleichheit y"=u"v + uv"

3. Ersatz j und ja" in gegebene Gleichung: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oder u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Gruppieren Sie die Terme der Gleichung so, dass u aus Klammern nehmen:

5. Suchen Sie in der Klammer die Funktion, indem Sie sie mit Null gleichsetzen

Dies ist eine trennbare Gleichung:

Dividiere die Variablen und erhalte:

Woher . .

6. Ersetzen Sie den empfangenen Wert v in die Gleichung (aus Punkt 4):

und finden Sie die Funktion Dies ist eine trennbare Gleichung:

7. Schreiben Sie die allgemeine Lösung in der Form: , d.h. .

Beispiel 1

Finden Sie eine bestimmte Lösung für die Gleichung y" = -2y +3 = 0 Wenn y=1 beim x=0

Entscheidung. Lösen wir es mit Substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Ersetzen j und ja" in diese Gleichung bekommen wir

Indem wir den zweiten und dritten Term auf der linken Seite der Gleichung gruppieren, nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus u aus Klammern

Wir setzen den Ausdruck in Klammern mit Null gleich und finden die Funktion, nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben v = v(x)

Wir haben eine Gleichung mit getrennten Variablen. Wir integrieren beide Teile dieser Gleichung: Finden Sie die Funktion v:

Ersetzen Sie den resultierenden Wert v in die Gleichung erhalten wir:

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Wir integrieren beide Teile der Gleichung: Lassen Sie uns die Funktion finden u = u(x,c) Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden: Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung der Gleichung finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt y=1 beim x=0:

III. Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung, die Ableitungen höchstens zweiter Ordnung enthält. Im allgemeinen Fall schreibt man die Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt: F(x,y,y",y") = 0

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Funktion der Form , die zwei beliebige Konstanten enthält C1 und C2.

Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Lösung, die aus der allgemeinen für einige Werte beliebiger Konstanten erhalten wird C1 und C2.

3.2. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstante Verhältnisse.

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten heißt eine Gleichung der Form y" + py" + qy = 0, wo p und q sind konstante Werte.

Algorithmus zur Lösung homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Form: y" + py" + qy = 0.

2. Stellen Sie seine charakteristische Gleichung zusammen und bezeichnen Sie ja" durch r2, ja" durch r, j in 1: r2 + pr + q = 0

1. Substitutionsmethode: Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine Unbekannte durch eine andere aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus beim durch X und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System entspricht dem Original.

Nach dem Einbringen solcher Bedingungen nimmt das System die Form an:

Aus der zweiten Gleichung finden wir: . Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein beim = 2 - 2X, wir bekommen beim= 3. Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar .

2. Methode algebraische Addition : Durch Addition von zwei Gleichungen erhält man eine Gleichung mit einer Variablen.

Aufgabe. Lösen Sie die Systemgleichung:

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das System entspricht dem Original. Wenn wir die beiden Gleichungen dieses Systems addieren, erhalten wir das System

Nach der Reduzierung ähnlicher Begriffe nimmt dieses System die Form an: Aus der zweiten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 3 ein X + 4beim= 5, erhalten wir , wo . Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

3. Verfahren zur Einführung neuer Variablen: Wir suchen nach einigen wiederholten Ausdrücken im System, die wir durch neue Variablen bezeichnen werden, wodurch die Form des Systems vereinfacht wird.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Schreiben wir auf dieses System ansonsten:

Lassen x + y = du, ha = v. Dann bekommen wir das System

Lösen wir es mit der Substitutionsmethode. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus u durch v und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System jene.

Aus der zweiten Gleichung des Systems finden wir v 1 = 2, v 2 = 3.

Setzen Sie diese Werte in die Gleichung ein u = 5 - v, wir bekommen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dann haben wir zwei Systeme

Beim Lösen des ersten Systems erhalten wir zwei Zahlenpaare (1; 2), (2; 1). Das zweite System hat keine Lösungen.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode.

Gleichungen und Gleichungssysteme ersten Grades

Zwei Zahlen oder einige Ausdrücke, die durch das Zeichen „=“ verbunden sind Gleichberechtigung. Wenn die angegebenen Zahlen oder Ausdrücke für beliebige Werte der Buchstaben gleich sind, wird eine solche Gleichheit aufgerufen Identität.

Zum Beispiel, wenn angegeben wird, dass für alle a gültig:

a + 1 = 1 + a, hier ist Gleichheit eine Identität.

Gleichung wird eine Gleichheit enthaltend genannt unbekannte Nummern mit Buchstaben gekennzeichnet. Diese Buchstaben heißen Unbekannt. In einer Gleichung kann es mehr als eine Unbekannte geben.

Zum Beispiel in Gleichung 2 X + beim = 7X– 3 zwei Unbekannte: X und beim.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (2 X + beim) heißt die linke Seite der Gleichung und der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (7 X– 3) heißt seine rechte Seite.

Der Wert der Unbekannten, bei dem die Gleichung zur Identität wird, wird genannt Entscheidung oder Wurzel Gleichungen.

Zum Beispiel, wenn in Gleichung 3 X+ 7=13 statt unbekannt X Ersetzen Sie die Zahl 2, erhalten wir die Identität. Daher der Wert X= 2 erfüllt die gegebene Gleichung und die Zahl 2 ist die Lösung oder Wurzel der gegebenen Gleichung.

Die beiden Gleichungen werden aufgerufen gleichwertig(oder gleichwertig), wenn alle Lösungen der ersten Gleichung Lösungen der zweiten sind und umgekehrt, sind alle Lösungen der zweiten Gleichung Lösungen der ersten. Zu Äquivalente Gleichungen schließen Sie auch Gleichungen ein, die keine Lösungen haben.

Zum Beispiel Gleichungen 2 X– 5 = 11 und 7 X+ 6 = 62 sind äquivalent, da sie dieselbe Wurzel haben X= 8; Gleichungen X + 2 = X+ 5 und 2 X + 7 = 2X sind äquivalent, weil beide keine Lösungen haben.

Eigenschaften äquivalenter Gleichungen

1. Auf beiden Seiten der Gleichung können Sie jeden Ausdruck hinzufügen, der für alle sinnvoll ist zulässige Werte Unbekannt; die resultierende Gleichung wird der gegebenen äquivalent sein.

Beispiel. Gleichung 2 X– 1 = 7 hat eine Wurzel X= 4. Wenn wir auf beiden Seiten 5 addieren, erhalten wir Gleichung 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 oder 2 X+ 4 = 12, was dieselbe Wurzel hat X = 4.

2. Wenn beide Teile der Gleichung die gleichen Terme haben, können sie weggelassen werden.

Beispiel. Gleichung 9 x + 5X = 18 + 5X hat eine Wurzel X= 2. Weglassen in beiden Teilen 5 X, erhalten wir Gleichung 9 X= 18, die dieselbe Wurzel hat X = 2.

3. Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beispiel. Gleichung 7 X - 11 = 3 hat eine Wurzel X= 2. Wenn wir 11 an übertragen rechte Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen, erhalten wir Gleichung 7 X= 3 + 11, was dieselbe Lösung hat X = 2.

4. Beide Teile der Gleichung können mit jedem sinnvollen Ausdruck (Zahl) multipliziert werden, der für alle zulässigen Werte der Unbekannten ungleich Null ist. Die resultierende Gleichung entspricht dieser.

Beispiel. Gleichung 2 X - 15 = 10 – 3X hat eine Wurzel X= 5. Wenn wir beide Seiten mit 3 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) oder 6 X – 45 =30 – 9X, die dieselbe Wurzel hat X = 5.

5. Die Vorzeichen aller Terme der Gleichung können umgekehrt werden (dies entspricht der Multiplikation beider Teile mit (-1)).

Beispiel. Gleichung - 3 x + 7 = - 8 nach Multiplikation beider Teile mit (-1) nimmt die Form 3 an X - 7 = 8. Die erste und die zweite Gleichung haben eine einzelne Wurzel X = 5.

6. Beide Seiten der Gleichung können durch die gleiche Zahl außer Null geteilt werden (also ungleich Null).

Beispiel..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ist äquivalent zu diesem, weil es die gleichen zwei Wurzeln hat: und https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> nach Multiplikation beider Teile mit 14 sieht es so aus:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, wobei beliebige Zahlen, X- unbekannt, angerufen Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten(oder linear Gleichung mit einer Unbekannten).

Beispiel. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Eine Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten hat immer eine Lösung; Eine lineare Gleichung hat möglicherweise keine Lösungen () oder unendlich viele (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Entscheidung. Multiplizieren Sie alle Terme in der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, also 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Wir gruppieren in einem Teil (links) die Begriffe, die das Unbekannte enthalten, und im anderen Teil (rechts) die freien Begriffe:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Wenn wir beide Teile durch (-22) teilen, erhalten wir X = 7.

Systeme aus zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

Eine Gleichung wie https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> wird aufgerufen Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten x und beim. Wenn gefunden allgemeine Lösungen zwei oder mehr Gleichungen, dann sagt man, diese Gleichungen bilden ein System, sie werden meist untereinander geschrieben und zum Beispiel mit einer geschweiften Klammer verbunden.

Jedes Unbekanntenpaar, das gleichzeitig beide Gleichungen des Systems erfüllt, wird aufgerufen Systemlösung. Löse das System- das bedeutet, alle Lösungen dieses Systems zu finden oder zu zeigen, dass es sie nicht hat. Die beiden Gleichungssysteme werden aufgerufen gleichwertig (gleichwertig), wenn alle Lösungen des einen Lösungen des anderen sind, und umgekehrt, sind alle Lösungen des anderen Lösungen des ersten.

Die Lösung des Systems ist beispielsweise ein Zahlenpaar X= 4 und beim= 3. Diese Zahlen sind auch die einzige Lösung Systeme . Daher sind diese Gleichungssysteme äquivalent.

Wege zur Lösung von Gleichungssystemen

1. Methode der algebraischen Addition. Wenn die Koeffizienten für einige Unbekannte in beiden Gleichungen im Absolutwert gleich sind, können Sie durch Addieren beider Gleichungen (oder Subtrahieren einer von der anderen) eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Durch Lösen dieser Gleichung wird eine Unbekannte bestimmt, und durch Einsetzen in eine der Gleichungen des Systems wird die zweite Unbekannte gefunden.

Beispiele: Gleichungssysteme lösen: 1) .

Hier die Koeffizienten bei beim sind im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt. Um eine Gleichung mit eins zu bekommen unbekannte Gleichung wir fügen die Systeme Term für Term hinzu:

Erhaltener Wert X= 4 setzen wir in irgendeine Gleichung des Systems ein, zum Beispiel in die erste, und finden den Wert beim: .

Antworten: X = 4; beim = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Substitutionsmethode. Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine der Unbekannten durch den Rest aus und setzen dann den Wert dieser Unbekannten in die verbleibenden Gleichungen ein. Betrachten Sie diese Methode mit konkreten Beispielen:

1) Lösen wir das Gleichungssystem. Lassen Sie uns zum Beispiel eine der Unbekannten aus der ersten Gleichung ausdrücken X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Ersatz beim= 1 in den Ausdruck for X, wir bekommen .

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. In diesem Fall ist es bequem auszudrücken beim aus der zweiten Gleichung:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Ersetzen Sie den Wert X= 5 in den Ausdruck for beim, erhalten wir https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Lösen wir das Gleichungssystem https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten beim: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Schreiben wir das System um als: . Wir ersetzen die Unbekannten durch die Einstellung , erhalten wir lineares System ..gif" width="11 height=17" height="17"> in die zweite Gleichung, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten:

Wert ersetzen v in den Ausdruck für t, erhalten wir: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> finden wir .

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, wo sind Koeffizienten für Unbekannte, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, dann hat das System Das einzige Entscheidung.

B) Wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, dann hat das System unendlicher Satz Lösungen.

Beispiel..gif" width="47" height="48 src=">), also hat das System eine eindeutige Lösung.

Wirklich, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Beispiel..gif" width="91 height=48" height="48"> oder nach Reduktion , daher hat das System keine Lösungen.

Beispiel..gif" width="116 height=48" height="48"> oder nach dem Kürzen , also hat das System unendlich viele Lösungen.

Gleichungen mit Modulus

Beim Lösen von Gleichungen, die einen Modul enthalten, wird das Konzept eines Moduls verwendet reelle Zahl. Modul (Absolutwert ) reelle Zahl a die Nummer selbst wird aufgerufen, wenn und gegensätzliche Nummer (– a), wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Also, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, da die Zahl 3 > 0; , da die Zahl 5 ist< 0, поэтому ; , als (); , als .

Moduleigenschaften:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Wenn man bedenkt, dass der Ausdruck unter dem Modul zwei Werte annehmen kann https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, dann diese Gleichung reduziert sich auf das Lösen von zwei Gleichungen: und oder und ..gif" width="52" height="20 src=">. Machen wir eine Überprüfung, indem wir jeden Wert ersetzen X in die Bedingung: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 Quelle=">.

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Beispiel..gif" width="408" height="55">

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Beispiel..gif" width="137" height="20"> und . Legen Sie die resultierenden Werte beiseite X auf der numerische Achse, brechen es in Intervalle:

Wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, weil in diesem Intervall beide Ausdrücke unter dem Modulzeichen stehen weniger als Null, und durch Entfernen des Moduls müssen wir das Vorzeichen des Ausdrucks in das Gegenteil ändern. Lösen wir die resultierende Gleichung:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Der Grenzwert kann sowohl in der ersten als auch in der zweiten Spanne enthalten sein, genauso wie der Wert sowohl in der zweiten als auch in der dritten enthalten sein kann. Im zweiten Intervall unsere Gleichung wird die Form annehmen: - dieser Ausdruck macht keinen Sinn, d.h. in diesem Intervall hat die Lösungsgleichung keine Lösungen unter dem Moduluszeichen, wir setzen sie mit 0 gleich. Wir finden die Wurzeln aller Ausdrücke, mit

Nächster Abstand https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, wobei a, b, c sind beliebige Zahlen ( a≠ 0) und x ist eine Variable namens Quadrat. Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie die Diskriminante berechnen D = b 2 – 4ac. Wenn ein D> 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen (Wurzeln): und .

Wenn ein D= 0, die quadratische Gleichung hat offensichtlich zwei identische Lösungen(Vielfache der Wurzel).

Wenn ein D< 0, квадратное уравнение не имеет echte Wurzeln.

Wenn einer der Koeffizienten b oder c Null, dann kann die quadratische Gleichung gelöst werden, ohne die Diskriminante zu berechnen:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(Axt+ b)=0

2)Axt 2 + c = 0 Axt 2 = – c; wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Es gibt Abhängigkeiten zwischen den Koeffizienten und Wurzeln der quadratischen Gleichung, bekannt als Formeln oder Satz von Vieta:

Biquadratisch Gleichungen sind Gleichungen der Form https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, dann erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung eine quadratische Gleichung die wir finden beim, und dann X, nach der Formel .

Beispiel. löse die Gleichung . Wir bringen die Ausdrücke in beiden Teilen der Gleichheit zu gemeinsamer Nenner..gif" width="212" height="29 src=">. Wir lösen die resultierende quadratische Gleichung: , in dieser Gleichung a= 1, b= –2,c= -15, dann ist die Diskriminante gleich: D = b 2 – 4ac= 64. Gleichungswurzeln: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Wir machen den Ersatz. Dann wird die Gleichung eine quadratische Gleichung ist, wobei a= 1, b= – 4,c= 3, seine Diskriminante ist: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind jeweils gleich: und .

Wurzeln der ursprünglichen Gleichung , , , ..gif" width="78" height="51">, wo PN(x) und Uhr(x) sind Gradpolynome n und m bzw. Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner nicht, aber eine solche Polynomgleichung erhält man hauptsächlich erst nach langwierigen Transformationen, Übergängen von einer Gleichung zur anderen. Beim Lösen wird daher jede Gleichung durch eine neue ersetzt, und die neue kann neue Wurzeln haben. Diesen Veränderungen in den Wurzeln zu folgen, den Verlust von Wurzeln zu verhindern und die überzähligen abweisen zu können, ist die Aufgabe richtige Entscheidung Gleichungen.

Es ist klar, dass die beste Weise- Ersetzen Sie jedes Mal eine Gleichung durch eine äquivalente, dann sind die Wurzeln der letzten Gleichung die Wurzeln der ursprünglichen. Jedoch solche perfekter Weg in der Praxis schwer umsetzbar. In der Regel wird die Gleichung durch ihre Konsequenz ersetzt, die ihr überhaupt nicht unbedingt äquivalent ist, während alle Wurzeln der ersten Gleichung die Wurzeln der zweiten sind, d. H. Es tritt kein Verlust von Wurzeln auf, sondern von außen kann erscheinen (oder auch nicht erscheinen). Für den Fall, dass mindestens einmal im Transformationsprozess die Gleichung durch eine ungleiche ersetzt wurde, brauchen wir obligatorische Prüfung Wurzeln erhalten.

Also, wenn die Entscheidung ohne eine Analyse der Äquivalenz und der Ursachen des Auftretens durchgeführt wurde fremde Wurzeln, überprüfen ist obligatorischer Teil Lösungen. Ohne Überprüfung wird die Lösung nicht als vollständig betrachtet, auch wenn keine fremden Wurzeln aufgetreten sind. Wenn sie erschienen und nicht verworfen wurden, dann ist diese Entscheidung einfach falsch.

Hier sind einige Eigenschaften eines Polynoms:

Die Wurzel des Polynoms Wert nennen x, für die das Polynom gleich Null ist. Jedes Polynom vom Grad n hat genau n Wurzeln. Wenn die Polynomgleichung als geschrieben wird, dann , wo x 1, x 2,…, xn sind die Wurzeln der Gleichung.

Jedes Polynom hat sogar Grad Bei reellen Koeffizienten gibt es mindestens eine reelle Wurzel, aber im Allgemeinen immer ungerade Zahl echte Wurzeln. Ein Polynom geraden Grades hat möglicherweise keine echten Wurzeln, und wenn doch, ist ihre Anzahl gerade.

Ein Polynom kann unter keinen Umständen zerlegt werden lineare Faktoren und quadratische Trinome mit negative Diskriminante. Wenn wir seine Wurzel kennen x 1, dann PN(x) = (x -x 1) Pn- 1(x).

Wenn ein PN(x) = 0 ist eine Gleichung mit geradem Grad, dann können Sie zusätzlich zur Faktorisierungsmethode versuchen, eine Variablenänderung einzuführen, mit deren Hilfe der Grad der Gleichung abnimmt.

Beispiel. Löse die Gleichung:

Diese Gleichung dritten (ungeraden) Grades bedeutet, dass es unmöglich ist, eine Hilfsvariable einzuführen, die den Grad der Gleichung erniedrigt. Sie muss gelöst werden, indem die linke Seite faktorisiert wird, wofür wir zuerst die Klammern öffnen und sie dann in Standardform schreiben.

Wir bekommen: x 3 + 5x – 6 = 0.

Dies ist die reduzierte Gleichung (Koeffizient bei der höchste Grad gleich eins), also suchen wir seine Wurzeln unter den Faktoren des freien Terms - 6. Dies sind die Zahlen ±1, ±2, ±3, ±6. Ersetzen x= 1 in die Gleichung, wir sehen das x= 1 ist seine Wurzel, also das Polynom x 3 + 5x–6 = 0 dividiert durch ( x- 1) keine Rückstände. Machen wir diese Aufteilung:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+ x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

So x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+x+ 6) = 0

Die erste Gleichung ergibt die Wurzel x= 1, die bereits ausgewählt ist, und in der zweiten Gleichung D< 0 hat es nicht echte Lösungen. Da die ODZ dieser Gleichung , ist es möglich, nicht zu überprüfen.

Beispiel..gif" width="52" height="21 src=">. Wenn Sie den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten multiplizieren, dann haben diese Produkte die gleichen Teile, die davon abhängen x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Lassen x 2 + 4x = j, dann schreiben wir die Gleichung in der Form ( j – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Diese quadratische Gleichung hat Lösungen: j 1 = 32, j 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Wenn wir diese Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erscheint im Zähler ein Polynom vierten Grades. Es ist also erlaubt, die Variable zu ändern, was den Grad der Gleichung verringert. Daher ist es nicht notwendig, diese Gleichung sofort auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Hier sehen Sie, dass links die Summe der Quadrate ist. Sie können es also hinzufügen volles Quadrat Summen oder Differenzen. Tatsächlich subtrahieren und addieren Sie zweimal das Produkt der Basen dieser Quadrate: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, dann j 2 + 18j– 40 = 0. Nach dem Satz von Vieta j 1 = 2; j 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, und im zweiten D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Wir erhalten eine quadratische Gleichung a(j 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Irrationale Gleichungen

irrational nennt man eine Gleichung, in der die Variable unter dem Vorzeichen des Radikals (Wurzel) steht ) oder unter dem Zeichen der Erhebung zu Bruchgrad()..gif" width="120" height="32"> und denselben Definitionsbereich des Unbekannten haben. Wenn wir die erste und zweite Gleichung quadrieren, erhalten wir dieselbe Gleichung . Die Lösungen dieser Gleichung sind die Lösungen beider irrationalen Gleichungen.

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