Einführung

1. Theoretischer Teil

1.1 Grundlegende Konzepte und Definitionen

1.3 Cardano-Formel

2. Problemlösung

Fazit

Einführung

Gleichungen. Es kann mit Sicherheit gesagt werden, dass es keine einzige Person gibt, die sie nicht kennen würde. Schon früh beginnen Kinder, „Probleme mit X“ zu lösen. Außerdem. Zwar endet für viele die Bekanntschaft mit Gleichungen mit Schulangelegenheiten. Der berühmte deutsche Mathematiker Courant schrieb: „Mehr als zweitausend Jahre lang war der Besitz einiger, nicht zu oberflächlicher Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik eine Notwendigkeit Bestandteil im intellektuellen Inventar eines jeden Gebildete Person". Und zu diesem Wissen gehörte die Fähigkeit, Gleichungen zu lösen.

Schon in der Antike erkannten die Menschen, wie wichtig es ist, das Lösen algebraischer Gleichungen der Form zu lernen

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

schließlich werden sehr viele und sehr unterschiedliche Fragen der Praxis und Naturwissenschaft auf sie reduziert (hier können wir natürlich sofort davon ausgehen, dass a0 ¹ 0, da sonst der Grad der Gleichung eigentlich nicht n, sondern kleiner ist). Viele kamen natürlich auf die verlockende Idee, Formeln für jede Potenz von n zu finden, die die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken, d. h. die Gleichung in Radikalen lösen würden. Das „düstere Mittelalter“ erwies sich jedoch in Bezug auf das diskutierte Problem als so düster wie möglich - sieben Jahrhunderte lang fand niemand die erforderlichen Formeln! Erst im 16. Jahrhundert gelang es italienischen Mathematikern, weiter zu gehen - um Formeln für n \u003d 3 und 4 zu finden. Die Geschichte ihrer Entdeckungen und sogar die Urheberschaft der gefundenen Formeln sind bis heute ziemlich dunkel, und wir werden es nicht herausfinden hier komplizierte Beziehung zwischen Ferro, Cardano, Tartaglia und Ferrari, aber sagen wir es besser mathematisches Wesen Angelegenheiten.

Ziel der Arbeit ist es, verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen dritten Grades zu untersuchen.

Um dieses Ziel zu erreichen, müssen eine Reihe von Aufgaben ausgeführt werden:

-Analyse Wissenschaftliche Literatur;

-Analyse Schulbücher;

-Auswahl von Lösungsbeispielen;

-Lösung von Gleichungen mit verschiedenen Methoden.

Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste befasst sich mit verschiedenen Methoden zum Lösen von Gleichungen. Der zweite Teil widmet sich dem Lösen von Gleichungen verschiedene Wege.

1. Theoretischer Teil

1 Grundbegriffe und Definitionen

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades der Form:

Die Zahl x, die die Gleichung in eine Identität verwandelt, wird Wurzel oder Lösung der Gleichung genannt. Es ist auch die Wurzel eines Polynoms dritten Grades, das sich auf der linken Seite der kanonischen Notation befindet.

Über dem Körper der komplexen Zahlen hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine kubische Gleichung immer 3 Wurzeln (unter Berücksichtigung der Vielfachheit).

Da nicht jedes reelle Polynom ist sogar Grad mindestens eine echte Wurzel hat, alle möglichen Fälle der Zusammensetzung der Wurzeln kubische gleichung erschöpft von den drei unten beschriebenen. Diese Fälle lassen sich leicht anhand der Diskriminante unterscheiden

Es gibt also nur drei mögliche Fälle:

Wenn ein? > 0, dann hat die Gleichung drei verschiedene reelle Wurzeln.

Wenn ein?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Wenn ein? = 0, dann fallen mindestens zwei Nullstellen zusammen. Dies kann der Fall sein, wenn die Gleichung eine doppelte reelle Wurzel und eine andere unterschiedliche reelle Wurzel hat; oder alle drei Wurzeln fallen zusammen und bilden eine Wurzel der Multiplizität 3. Die Resultierende der kubischen Gleichung und ihrer zweiten Ableitung hilft, diese beiden Fälle zu trennen: Das Polynom hat genau dann eine Wurzel der Multiplizität 3, wenn die angegebene Resultierende dies auch ist Null.

Die Wurzeln einer kubischen Gleichung hängen wie folgt mit den Koeffizienten zusammen:

1.2 Methoden zur Lösung kubischer Gleichungen

Die gebräuchlichste Methode zum Lösen kubischer Gleichungen ist die Aufzählungsmethode.

Zuerst finden wir durch Aufzählung eine der Wurzeln der Gleichung. Tatsache ist, dass kubische Gleichungen immer haben wenigstens eine reelle Wurzel, und die ganze Wurzel der kubischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms d. Die Koeffizienten dieser Gleichungen werden normalerweise so gewählt, dass die gewünschte Wurzel zwischen kleinen ganzen Zahlen liegt, wie z. B.: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Daher suchen wir die Wurzel zwischen diesen Zahlen und überprüfen sie, indem wir sie einsetzen Die gleichung. Die Erfolgsquote bei diesem Ansatz ist sehr hoch. Nehmen wir diese Wurzel an.

Die zweite Stufe der Lösung ist die Division des Polynoms durch das Binom x - x1. Nach dem Satz von Bezout ist diese Division ohne Rest möglich, und als Ergebnis erhalten wir ein Polynom zweiten Grades, das mit Null gleichgesetzt werden muss. Lösung erhalten quadratische Gleichung, werden wir die verbleibenden zwei Wurzeln finden (oder nicht).

Lösung einer kubischen Gleichung mit zwei Termen

Die kubische Gleichung mit zwei Termen hat die Form (2)

Diese Gleichung wird auf die Form reduziert, indem sie durch einen von Null verschiedenen Koeffizienten A dividiert wird. Als nächstes wird die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Kubiksumme angewendet:

Aus der ersten Klammer finden wir heraus, und das Quadrattrinom hat nur komplexe Wurzeln.

Wiederkehrende kubische Gleichungen

Die reziproke kubische Gleichung hat die Form und B-Koeffizienten.

Lass uns gruppieren:

Offensichtlich ist x=-1 die Wurzel einer solchen Gleichung und die Wurzeln des Ergebnisses quadratisches Trinom sind leicht durch die Diskriminante zu finden.

1.3 Cardano-Formel

BEI Allgemeiner Fall, werden die Wurzeln der kubischen Gleichung durch die Cardano-Formel gefunden.

Für die kubische Gleichung (1) werden die Werte durch die Substitution gefunden: x= (2), und die Gleichung wird auf die Form reduziert:

eine unvollständige kubische Gleichung, in der es keinen Term gibt, der den zweiten Grad enthält.

Wir nehmen an, dass die Gleichung Koeffizienten hat komplexe Zahlen. Diese Gleichung wird immer komplexe Wurzeln haben.

Lassen Sie uns eine dieser Wurzeln bezeichnen: . Wir führen eine Hilfsunbekannte u ein und betrachten das Polynom f(u)=.

Lassen Sie uns die Wurzeln dieses Polynoms durch bezeichnen? und? nach dem Satz von Viette (siehe S. 8):

Ersetzen Sie in Gleichung (3), Ausdruck (4), erhalten wir:

Von der anderen Seite von (5): (7)

Daraus, also aus den Formeln (6), (7), folgt, dass die Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind:

Aus der letzten Gleichung:

Die anderen beiden Wurzeln werden durch die Formel gefunden:

1.4 trigonometrische Formel Vieta

Diese Formel findet Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung, dh eine Gleichung der Form

Offensichtlich kann jede kubische Gleichung auf eine Gleichung der Form (4) reduziert werden, indem sie einfach durch den Koeffizienten a geteilt wird. Der Algorithmus zum Anwenden dieser Formel lautet also:

Berechnung

2. Berechnen

3. a) Wenn, dann berechne

Und unsere Gleichung hat 3 Wurzeln (reell):

b) Wenn, dann ersetzen trigonometrische Funktionen hyperbolisch.

Berechnung

Dann die einzige Wurzel (echt):

Imaginäre Wurzeln:

C) Wenn, dann hat die Gleichung weniger als drei verschiedene Lösungen:

2. Problemlösung

Beispiel 1. Finden Sie die reellen Wurzeln einer kubischen Gleichung

Wir wenden die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Kubikzahlen an:

Aus der ersten Klammer entnehmen wir, dass das quadratische Trinom in der zweiten Klammer nicht gilt echte Wurzeln weil die Diskriminante negativ ist.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung

Diese Gleichung ist reziprok. Lass uns gruppieren:

ist die Wurzel der Gleichung. Finden der Wurzeln eines quadratischen Trinoms

Beispiel 3. Finden Sie die Wurzeln einer kubischen Gleichung

Lassen Sie uns die Gleichung in die reduzierte umwandeln: multiplizieren Sie mit beiden Teilen und nehmen Sie eine Änderung der Variablen vor.

Das freie Mitglied ist 36. Schreiben wir alle seine Teiler auf:

Wir ersetzen sie der Reihe nach durch Gleichheit, bis wir die Identität erhalten:

So ist die Wurzel. Es passt

Teilen Sie nach Horners Schema.

Polynomkoeffizienten2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Wir bekommen

Lassen Sie uns die Wurzeln des quadratischen Trinoms finden:

Offensichtlich ist also seine mehrfache Wurzel.

Beispiel 4. Finden Sie die reellen Wurzeln der Gleichung

ist die Wurzel der Gleichung. Finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms.

Da die Diskriminante weniger als Null, dann hat das Trinom keine wirklichen Wurzeln.

Beispiel 5. Finden Sie die Wurzeln der kubischen Gleichung 2.

Folglich,

Wir setzen in die Cardano-Formel ein:

nimmt drei Werte an. Schreiben wir sie auf.

Wenn wir haben

Wenn wir haben

Wenn wir haben

Lassen Sie uns diese Werte in Paare aufteilen, die im Produkt angegeben sind

Das erste Wertepaar und

Das zweite Wertepaar und

Das dritte Wertepaar und

Zurück zur Cardano-Formel

Auf diese Weise,

Fazit

kubische Trinomgleichung

Als Ergebnis der Hinrichtung Seminararbeit verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen dritten Grades wurden untersucht, wie z. B. die Aufzählungsmethode, die Carano-Formel, die Vieta-Formel, Methoden zur Lösung reziproker Zweiterm-Gleichungen.

Liste der verwendeten Quellen

1)Bronstein I. N., Semendyaev K. A. „Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten technischer Hochschulen“, M., 1986.

2)Kolmogorow A. N. Algebra und die Anfänge der Analysis. Lernhilfe für die 9. Klasse weiterführende Schule, 1977.

)Omeltschenko V.P. Mathe: Lernprogramm/ V.P. Omelchenko, E. V. Kurbatova. - Rostov n / a.: Phönix, 2005.- 380er.

Unterrichten

Benötigen Sie Hilfe beim Erlernen eines Themas?

Unsere Experten beraten oder bieten Nachhilfe zu Themen an, die Sie interessieren.
Einen Antrag stellen gleich das Thema angeben, um sich über die Möglichkeit einer Beratung zu informieren.

Unterrichtsziele.

1. Das Wissen der Studierenden zum Thema „Gleichungen höherer Ordnung lösen“ vertiefen und das Unterrichtsmaterial zusammenfassen.
2. Einführung in die Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.
3. Den Schülern beibringen, die Teilbarkeitstheorie beim Lösen von Gleichungen höheren Grades anzuwenden.
4. Den Schülern beibringen, wie man ein Polynom durch die „Ecke“ in ein Polynom teilt.
5. Entwickeln Sie Fähigkeiten und Fertigkeiten, um mit Gleichungen höheren Grades zu arbeiten.

Entwicklung:

1. Entwicklung der Aufmerksamkeit der Schüler.
2. Entwicklung der Fähigkeit, Arbeitsergebnisse zu erzielen.
3. Entwicklung des Interesses am Erlernen der Algebra und selbstständiger Arbeitsfähigkeiten.

Pflege:

1. Bewusstsein für Kollektivismus wecken.
2. Bildung eines Verantwortungsbewusstseins für das Arbeitsergebnis.
3. Bildung bei Studenten ausreichendes Selbstwertgefühl bei der Auswahl einer Note für die Arbeit im Unterricht.

Ausstattung: Computer, Beamer.

Während des Unterrichts

1 Arbeitsschritt. Zeit organisieren.

2 Arbeitsschritte. Motivation und Problemlösung

Gleichung eins von die wichtigsten Begriffe Mathematik. Die Entwicklung von Methoden zur Lösung von Gleichungen, ausgehend von der Geburt der Mathematik als Wissenschaft, lange Zeit war das Hauptfach des Studiums der Algebra.

Im schulischen Mathematikstudium wird viel Wert auf das Lösen verschiedener Arten von Gleichungen gelegt. Bis zur neunten Klasse konnten wir nur lineare und quadratische Gleichungen lösen. Gleichungen der dritten, vierten usw. Grade werden Gleichungen höheren Grades genannt. In der neunten Klasse lernten wir zwei grundlegende Methoden kennen, um einige Gleichungen dritten und vierten Grades zu lösen: das Faktorisieren eines Polynoms in Faktoren und das Verwenden einer Variablenänderung.

Ist es möglich, Gleichungen höheren Grades zu lösen? Wir werden heute versuchen, eine Antwort auf diese Frage zu finden.

3 Arbeitsschritte. Wiederholen Sie zuvor gelerntes Material. Führen Sie das Konzept einer Gleichung höheren Grades ein.

1) Lösung einer linearen Gleichung.

Linear ist eine Gleichung der Form , wobei per Definition. Diese Gleichung hat nur eine Wurzel.

2) Lösung einer quadratischen Gleichung.

Eine Gleichung der Form , wo . Die Anzahl der Wurzeln und die Wurzeln selbst werden durch die Diskriminante der Gleichung bestimmt. Denn die Gleichung hat keine Wurzeln, denn sie hat eine Wurzel (zwei identische Wurzeln)

, denn hat zwei verschiedene Wurzeln .

Aus den betrachteten linearen und quadratischen Gleichungen sehen wir, dass die Anzahl der Wurzeln der Gleichung nicht größer ist als ihr Grad. Im Laufe der höheren Algebra wird bewiesen, dass die Gleichung -ten Grades nicht mehr als n Wurzeln hat. Bei den Wurzeln selbst ist die Situation viel komplizierter. Für Gleichungen dritten und vierten Grades sind Formeln zur Wurzelfindung bekannt. Diese Formeln sind jedoch sehr komplex und umständlich und praktische Anwendung Nicht haben. Für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt es keine allgemeinen Formeln und kann es nicht geben (wie im 19. Jahrhundert von N. Abel und E. Galois bewiesen wurde).

Wir nennen die Gleichungen die dritte, vierte usw. Grad durch Gleichungen höheren Grades. Einige Gleichungen hohe Abschlüsse kann mit zwei Haupttechniken gelöst werden: Faktorisieren eines Polynoms in Faktoren oder Verwenden einer Variablenänderung.

3) Lösung der kubischen Gleichung.

Lösen wir die kubische Gleichung

Wir gruppieren die Terme des Polynoms auf der linken Seite der Gleichung und faktorisieren sie. Wir bekommen:

Das Produkt der Faktoren ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten drei lineare Gleichungen:

Diese kubische Gleichung hat also drei Wurzeln: ; ;.

4) Lösung der biquadratischen Gleichung.

Biquadratische Gleichungen sind sehr verbreitet, die die Form haben (d. h. Gleichungen, die in Bezug auf quadratisch sind). Um sie zu lösen, wird eine neue Variable eingeführt.

Wir werden entscheiden biquadratische gleichung.

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen und eine quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln die Zahlen und 4 sind.

Gehen wir zurück zur alten Variablen und erhalten zwei einfache quadratische Gleichungen:

(Wurzeln und ) (Wurzeln und )

Diese biquadratische Gleichung hat also vier Wurzeln:

; ;.

Versuchen wir, die Gleichung mit den oben genannten Methoden zu lösen.

SCHEITERN!!!

4 Arbeitsschritte. Geben Sie einige Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms der Form , wo Polynom n Grad

Hier sind einige Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms der Form:

1) Ein Polynom 1. Grades hat höchstens Nullstellen (unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheiten). Beispielsweise kann ein Polynom dritten Grades nicht vier Nullstellen haben.

2) Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. Zum Beispiel Polynome der ersten, dritten, fünften usw. Grad haben mindestens eine Wurzel. Polynome geraden Grades können Wurzeln haben oder nicht.

3) Wenn an den Enden des Segments die Werte des Polynoms unterschiedliche Vorzeichen haben (d. h. ), dann enthält das Intervall mindestens eine Wurzel. Diese Aussage wird häufig zur ungefähren Berechnung der Wurzeln eines Polynoms verwendet.

4) Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms der Form ist, dann kann dieses Polynom als Produkt dargestellt werden, wobei das Polynom (-ten Grades. Mit anderen Worten, das Polynom der Form kann ohne Rest durch die geteilt werden Binomial Dies ermöglicht es, die Gleichung des ten Grades auf die Gleichung (-ten Grades) zu reduzieren (den Grad der Gleichung reduzieren).

5) Wenn die Gleichung mit allen ganzzahligen Koeffizienten (im Übrigen der freie Term) eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist diese Wurzel ein Teiler des freien Terms. Eine solche Aussage ermöglicht es Ihnen, die ganze Wurzel des Polynoms zu wählen (falls vorhanden).

5 Arbeitsschritte. Zeigen Sie, wie die Teilbarkeitstheorie angewendet wird, um Gleichungen höheren Grades zu lösen. Betrachten Sie Beispiele zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, bei denen die linke Seite mit der Methode der Division eines Polynoms durch ein Polynom durch eine „Ecke“ faktorisiert wird.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung .

Wenn diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler des freien Terms (-1), d.h. gleich einer der Zahlen: . Die Prüfung zeigt, dass die Wurzel der Gleichung die Zahl -1 ist. Daher kann das Polynom als Produkt dargestellt werden, d.h. Ein Polynom kann ohne Rest in ein Binom geteilt werden. Führen wir die folgende Division durch "Ecke" durch:

Damit haben wir die linke Seite der Gleichung tatsächlich in Faktoren zerlegt:

Das Produkt der Faktoren ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten zwei Gleichungen.

Simonjan Albina

Das Papier betrachtet Techniken und Methoden zum Lösen kubischer Gleichungen. Anwendung der Cardano-Formel zur Problemlösung in Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik.

Herunterladen:

Vorschau:

MOU DOD Palast der Kreativität für Kinder und Jugendliche

Don Akademie der Wissenschaften für junge Forscher

Sektion: Mathematik - Algebra und Zahlentheorie

Forschungsarbeit

"Lasst uns in die Welt der Formeln blicken"

Zu diesem Thema "Lösung von Gleichungen 3. Grades"

Betreuerin: Mathematiklehrerin Babina Natalya Alekseevna

G. Salsk 2010

1. Einführung ………………………………………………………………………………….3
2. Hauptteil ……………………………………………………………………….4
3. Praktischer Teil………………………………………………………………10-13
4. Fazit ……………………………………………………………………………….14
5. Literatur ……………………………………………………………………………..15
6. Anwendungen

1. Einleitung

Mathematikunterricht erhalten in allgemeinbildende Schulen, ist erforderliche Komponente Allgemeinbildung und allgemeine Kultur moderner Mann. Fast alles, was einen Menschen umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. ABER jüngsten Errungenschaften in Physik, Technik, Informationstechnologie lässt keinen Zweifel daran, dass es auch in Zukunft so bleiben wird. Daher die Entscheidung vieler praktische Aufgaben kommt auf eine Entscheidung an verschiedene Sorten Gleichungen, um zu lernen, wie man sie löst. Lineare Gleichungen Die ersten Grade wurden uns in der ersten Klasse beigebracht, und wir zeigten kein großes Interesse daran. interessanter nichtlineare Gleichungen- Gleichungen höhere Abschlüsse. Mathematik offenbart Ordnung, Symmetrie und Gewissheit, und das ist höhere Arten schön.

Der Zweck meines Projekts „Blicken wir in die Welt der Formeln“ zum Thema „Lösung kubischer Gleichungen dritten Grades“ besteht darin, das Wissen über das Lösen kubischer Gleichungen zu systematisieren und die Tatsache der Existenz einer Formel zum Finden festzustellen die Wurzeln einer Gleichung dritten Grades sowie die Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten in einer kubischen Gleichung. Im Klassenzimmer haben wir Gleichungen gelöst, sowohl kubische als auch Grad über 3. Gleichungen lösen verschiedene Methoden, wir haben Koeffizienten addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert und Wurzeln daraus gezogen, kurz gesagt, durchgeführt algebraische Aktionen. Es gibt eine Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen. Gibt es eine Formel zur Lösung der Gleichung dritten Grades, d.h. Angaben, in welcher Reihenfolge und welche algebraischen Operationen mit den Koeffizienten durchgeführt werden müssen, um die Wurzeln zu erhalten. Es wurde für mich interessant zu erfahren, ob berühmte Mathematiker versuchten, etwas zu finden allgemeine Formel geeignet zum Lösen kubischer Gleichungen? Und wenn sie es versuchten, konnten sie die Wurzeln in Form der Koeffizienten der Gleichung ausdrücken?

2. Hauptteil:

In jenen fernen Zeiten, als die Weisen anfingen, über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken, gab es wahrscheinlich noch keine Münzen oder Brieftaschen. Im Alten mathematische Probleme Mesopotamien, Indien, China, Griechenland, unbekannte Größen drückten die Anzahl der Pfauen im Garten aus, die Anzahl der Bullen in der Herde, die Gesamtheit der Dinge, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. Quellen, die uns überliefert sind, weisen darauf hin, dass antike Wissenschaftler einige besaßen gängige Tricks Lösen von Problemen mit unbekannten Größen. Allerdings kein einziger Papyrus, kein einziger Tontafel es wird keine Beschreibung dieser Techniken gegeben. Die Ausnahme ist die "Arithmetik" des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) - eine Sammlung von Problemen zum Erstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen. Allerdings ist die erste Anleitung zur Problemlösung zu erhalten große Popularität, war das Werk des Bagdad-Wissenschaftlers des 9. Jahrhunderts. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

So hatte ich die Idee, ein Projekt „Lasst uns in die Welt der Formeln schauen …“, grundlegende Fragen zu erstellen dieses Projekt werden:

1. Feststellen, ob es eine Formel zum Lösen kubischer Gleichungen gibt;
2. im Falle einer positiven Antwort die Suche nach einer Formel, die die Wurzeln einer kubischen Gleichung durch eine endliche Anzahl von algebraischen Operationen an ihren Koeffizienten ausdrückt.

Denn in Lehrbüchern und anderen mathematischen Büchern werden die meisten Argumentationen und Beweise nicht ausgeführt konkrete Beispiele, und in Gesamtansicht, dann beschloss ich, nach bestimmten Beispielen zu suchen, die meine Idee bestätigen oder widerlegen. Auf der Suche nach einer Formel zum Lösen kubischer Gleichungen entschied ich mich, den bekannten Algorithmen zum Lösen quadratischer Gleichungen zu folgen. Zum Beispiel die Gleichung lösen x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 herausgegriffen voller Würfel, Anwendung der Formel (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Um einen vollen Würfel von der linken Seite der Gleichung auszuwählen, habe ich 2x hineingedreht 2 in 3x 2 und diese. Ich habe nach so einem gesucht, damit Gleichheit stimmt 2x 2 \u003d 3x 2 ein . Es war leicht zu berechnen, dass a = . Transformierte die linke Seite dieser Gleichungwie folgt: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Ich habe eine Substitution y \u003d x + vorgenommen, d.h. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; um 3 - 6y + 4- 6=0; Die ursprüngliche Gleichung hatte die Form: 3 - 6 Jahre - 2 = 0; Es stellte sich als keine sehr schöne Gleichung heraus, denn statt ganzzahliger Koeffizienten habe ich jetzt gebrochene Koeffizienten, obwohl der Term der Gleichung, der das Quadrat der Unbekannten enthält, verschwunden ist! Bin ich meinem Ziel näher? Immerhin blieb der Begriff, der die erste Macht des Unbekannten enthält. Vielleicht war es notwendig, einen vollen Würfel auszuwählen, damit der Begriff - 5x verschwindet? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Habe sowas gefunden 3a 2x \u003d -5x; diese. zu einer 2 = - Aber dann ist es ganz übel ausgegangen - bei dieser Gleichheit, auf der linken Seite positive Zahl und rechts ist negativ. Eine solche Gleichheit kann es nicht geben. Bisher konnte ich die Gleichung nicht lösen, ich konnte sie nur auf die Form bringen 3 - 6 Jahre - 2=0.

So, das Ergebnis meiner Arbeit an Erstphase: konnte den Term mit dem zweiten Grad aus der kubischen Gleichung entfernen, d.h. falls gegeben kanonische gleichung Oh 3 + in 2 + cx + d, dann kann sie auf eine unvollständige kubische Gleichung x reduziert werden 3 +px+q=0. Als nächstes arbeiten mit verschiedenen Referenzliteratur, konnte ich herausfinden, dass die Gleichung der Form x 3 + px \u003d q gelang dem italienischen Mathematiker Dal Ferro (1465-1526). Warum für diese Art und nicht für die Art x 3 + px + q \u003d 0? Das weil damals negative Zahlen noch nicht eingeführt waren und Gleichungen nur mit positiven Koeffizienten betrachtet wurden. Und negative Zahlen wurden wenig später erkannt.Geschichte Referenz:Dal Ferro wählte zahlreiche Optionen in Analogie zur Formel der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung. Er argumentierte so: Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist - ± d.h. hat die Form: x=t ± . Dies bedeutet, dass die Wurzel der kubischen Gleichung auch die Summe oder Differenz einiger Zahlen sein sollte, und wahrscheinlich sollten unter ihnen Wurzeln dritten Grades sein. Welche genau? Von den zahlreichen Möglichkeiten erwies sich eine als erfolgreich: Er fand die Antwort in Form eines Unterschieds - Noch schwieriger war zu erraten, dass t und u so gewählt werden sollten, dass =. Ersetzen Sie statt x die Differenz - und statt p das Produkt erhalten: (-) 3 +3 (-)=q. Geöffnete Klammern: t - 3 +3- u+3- 3=q. Nachdem wir ähnliche Terme gebracht haben, haben wir: t-u=q.

Das resultierende Gleichungssystem lautet:

t u = () 3 t-u=q. Heben wir rechts und links anquadriere die Teile der ersten Gleichung und multipliziere die zweite Gleichung mit 4 und addiere die erste und zweite Gleichung. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Aus neues System t+u=2 ; t -u=q haben wir: t= + ; u= - . Wenn wir den Ausdruck anstelle von x einsetzen, erhalten wirWährend der Arbeit an dem Projekt habe ich die interessantesten Materialien gelernt. Es stellt sich heraus, dass Dal Ferro die von ihm gefundene Methode nicht veröffentlicht hat, aber einige seiner Schüler wussten von dieser Entdeckung, und bald entschied sich einer von ihnen, Antonio Fior, sie anzuwenden.In jenen Jahren waren öffentliche Auseinandersetzungen weit verbreitet wissenschaftliche Fragen. Die Gewinner solcher Streitigkeiten erhielten normalerweise eine gute Belohnung, sie wurden oft zu hohen Positionen eingeladen.

Gleichzeitig hinein Italienische Stadt In Verona lebte ein armer Mathematiklehrer Nicolo (1499-1557) mit dem Spitznamen Tartaglia (d.h. Stotterer). Er war sehr talentiert und schaffte es, die Technik von Dal Ferro wiederzuentdecken (Anhang 1).Zwischen Fiore und Tartaglia kam es zu einem Duell. Entsprechend der Bedingung tauschten die Konkurrenten dreißig Probleme aus, für deren Lösung 50 Tage gegeben wurden. Aber seit Fior kannte im Wesentlichen nur ein Problem und war sich sicher, dass irgendein Lehrer es nicht lösen konnte, dann stellte sich heraus, dass alle 30 Probleme vom gleichen Typ waren. Tartaglia erledigte sie in 2 Stunden. Fiore hingegen konnte keine einzige vom Feind vorgeschlagene Aufgabe lösen. Der Sieg verherrlichte Tartaglia in ganz Italien, aber das Problem wurde nicht vollständig gelöst. .

All dies wurde von Gerolamo Cardano getan. Genau die Formel, die von Dal Ferro entdeckt und von Tartaglia wiederentdeckt wurde, wird Cardano-Formel genannt (Anhang 2).

Cardano Girolamo (24. September 1501 - 21. September 1576) war ein italienischer Mathematiker, Mechaniker und Arzt. Geboren in Pavia. Er studierte an den Universitäten Pavia und Padua. In seiner Jugend praktizierte er Medizin. 1534 wurde Professor für Mathematik in Mailand und Bologna. In der Mathematik wird der Name Cardano meist mit einer Formel zur Lösung einer kubischen Gleichung in Verbindung gebracht, die er von N. Tartaglia entlehnt hat. Diese Formel wurde in Cardanos Great Art, or On the Rules of Algebra (1545) veröffentlicht. Seitdem sind Tartaglia und Cardano zu Todfeinden geworden. Dieses Buch skizziert systematisch Cardanos moderne Methoden zur Lösung von Gleichungen, hauptsächlich kubischen. Cardano abgeschlossen lineare Transformation, die es ermöglicht, die kubische Gleichung auf eine Form zu reduzieren, die frei von einem Term 2. Grades ist, und wies auf die Abhängigkeit zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der Gleichung hin, die Teilbarkeit des Polynoms durch die Differenz x – a, wenn a ist seine Wurzel. Cardano war einer der ersten in Europa, der die Existenz zugab negative Wurzeln Gleichungen. In seiner Arbeit tauchen zum ersten Mal imaginäre Größen auf. In der Mechanik studierte Cardano die Theorie der Hebel und Gewichte. Eine der Bewegungen des Segments entlang der Seiten rechter Winkel Mechaniker nennen Karda eine neue Bewegung. Nach der Cardano-Formel kann man also Gleichungen der Form lösen x 3 + px + q \u003d 0 (Anhang 3)

Es scheint, dass das Problem gelöst wurde. Es gibt eine Formel zum Lösen kubischer Gleichungen.

Da ist sie!

Der Ausdruck unter der Wurzel - diskriminierend. D = () 2 + () 3 Ich beschloss, zu meiner Gleichung zurückzukehren und zu versuchen, sie mit Cardanos Formel zu lösen: Meine Gleichung lautet: 3 - 6y - 2=0, wobei p= - 6=-; q = - 2 = - . Das lässt sich leicht ausrechnen () 3 ==- und () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Und weiter? Aus dem Zähler dieses Bruchs habe ich leicht die Wurzel gezogen, es stellte sich heraus, dass es 15 war. Und was tun mit dem Nenner? Die Wurzel wird nicht nur nicht vollständig extrahiert, sondern muss auch extrahiert werden negative Zahl! Was ist los? Es kann angenommen werden, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, denn für D Im Laufe der Arbeit an dem Projekt stieß ich also auf ein weiteres Problem.Was ist los? Ich fing an, Gleichungen zu schreiben, die Wurzeln haben, aber keinen Term des Quadrats der Unbekannten enthalten:

1. eine Gleichung mit einer Wurzel x \u003d - 4 erstellt.

x 3 + 15x + 124 = 0 Und tatsächlich war ich durch Überprüfung überzeugt, dass -4 die Wurzel der Gleichung ist. (-vier) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Ich habe überprüft, ob diese Wurzel mit der Cardano-Formel x=+=+= =1- 5 =- 4 erhalten werden kann

Empfangen, x = -4.

1. hat eine zweite Gleichung erstellt, die eine echte Wurzel x \u003d 1: x hat 3 + 3x - 4 = 0 und die Formel überprüft.

Und in diesem Fall funktionierte die Formel einwandfrei.

1. nahm die Gleichung x auf 3 +6x+2=0, mit einem ir rationale Wurzel.

Nachdem ich diese Gleichung gelöst hatte, bekam ich diese Wurzel x = - Und dann hatte ich eine Vermutung: Die Formel funktionierte, wenn die Gleichung nur eine Wurzel hatte. Und meine Gleichung, deren Lösung mich in eine Sackgasse führte, hatte drei Wurzeln! Da muss man nach der Ursache suchen!Jetzt habe ich eine Gleichung genommen, die drei Wurzeln hat: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Diskriminante überprüft: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Wie ich vorgeschlagen habe, unter dem Schild Quadratwurzel stellte sich wieder als negative Zahl heraus. Ich kam zu dem Schluss:Weg zu den drei Wurzeln der Gleichung x 3 +px+q=0 führt durch die unmögliche Operation, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen.

1. Nun bleibt mir noch herauszufinden, was ich in dem Fall erleben werde, wenn die Gleichung zwei Wurzeln hat. Ich habe eine Gleichung gewählt, die zwei Wurzeln hat: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D = () 2 + () 3 = () 2 + () 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Nun könnte geschlossen werden, dass die Anzahl der Wurzeln einer kubischen Gleichung der Form x 3 + px + q \u003d 0 hängt vom Vorzeichen der Diskriminante ab D=() 2 +() 3 auf die folgende Weise:

Wenn D > 0, dann hat die Gleichung 1 Lösung.

Wenn d

Wenn D=0, dann hat die Gleichung 2 Lösungen.

Ich fand eine Bestätigung meiner Schlussfolgerung in einem Nachschlagewerk über Mathematik, Autor N. I. Bronshtein. Also mein Fazit: Die Formel von Cardano kann verwendet werden, wenn wir sicher sind, dass die Wurzel einzigartig ist. Mir konnte feststellen, dass es eine Formel gibt, um die Wurzeln einer kubischen Gleichung zu finden, aber für die Form x 3 + px + q \u003d 0.

3. Praktischer Teil.

Die Arbeit an dem Projekt „… hat mir sehr geholfen, einige Probleme mit Parametern zu lösen. Zum Beispiel:1. Für was ist der kleinste natürliche Wert von a die Gleichung x 3 -3x+4=a hat 1 Lösung? Die Gleichung wurde in die Form umgeschrieben x3-3x+4-a=0; p = -3; q=4-a. Bedingungsgemäß muss es 1 Lösung haben, d.h. D>0 Finde D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Der kleinste natürliche Wert von a in diesem Intervall ist 1.

Antworten. eines

2. Worauf der größte natürliche Wert des Parameters eine Gleichung x 3 + x 2 -8x+2-a=0 hat drei Wurzeln?

Gleichung x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 bringen wir in die Form y 3 + ru + q=0, wobei a=1; bei=3; c=-24; d=6-3а wobei q= - + und 3 p = q=32-3a; p=-27. Für diese Art von Gleichung D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 und 1 = ==28 und 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Der größte natürliche Wert von a aus diesem Intervall: 28.

Antwort.28

3. Finden Sie abhängig von den Werten des Parameters a die Anzahl der Wurzeln der Gleichung x 3 - 3x - a \u003d 0

Lösung. In der Gleichung ist p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Für a (-∞;-2) (2;∞) hat die Gleichung 1 Lösung;

Wenn a (-2; 2) hat die Gleichung 3 Wurzeln;

Wenn ein \u003d -2; Gleichung 2 hat 2 Lösungen.

Prüfungen:

1. Wie viele Wurzeln haben die Gleichungen:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; um 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; um 3; d)4

2. Bei welchen Werten von p Gleichung x 3 +px+8=0 hat zwei Wurzeln?

a) 3; b) 5; um 3; d)5

Antwort: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Der französische Mathematiker Francois Viet (1540-1603) konnte 400 Jahre vor uns (Anhang 4) einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades und ihren Koeffizienten herstellen.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X. 1 ∙ x 2 \u003d q.

Es wurde für mich interessant herauszufinden: Ist es möglich, einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln einer Gleichung dritten Grades und ihren Koeffizienten herzustellen? Wenn ja, was ist diese Verbindung? So entstand mein Mini-Projekt. Ich beschloss, meine vorhandenen quadratischen Fähigkeiten zu nutzen, um mein Problem zu lösen. analog gehandelt. Ich habe die Gleichung x genommen 3 +px2 +qх+r =0. Wenn wir die Wurzeln der Gleichung bezeichnen x 1, x 2, x 3 , dann kann die Gleichung in der Form (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Durch Erweitern der Klammern erhalten wir: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Habe folgendes System:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Somit kann man die Wurzeln von Gleichungen beliebigen Grades auf ihre Koeffizienten beziehen.Was kann in der Frage, die mich interessiert, aus Vietas Theorem extrahiert werden?

1. Das Produkt aller Wurzeln der Gleichung ist gleich dem Modul des freien Terms. Wenn die Wurzeln der Gleichung ganze Zahlen sind, müssen sie Teiler des freien Terms sein.

Gehen wir zurück zur x-Gleichung. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Ganze Zahlen müssen zu folgendem Satz gehören: ±1; ±2; ±3; ±6. Wenn wir die Zahlen nacheinander in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die Wurzeln: -3; -eines; 2.

2. Löst man diese Gleichung durch Faktorisieren, gibt der Satz von Vieta einen „Hinweis“:Es ist notwendig, dass beim Zusammenstellen von Gruppen für die Erweiterung Zahlen erscheinen - Teiler des freien Begriffs. Es ist klar, dass du es vielleicht nicht sofort lernst, weil nicht alle Teiler die Wurzeln der Gleichung sind. Und leider funktioniert es möglicherweise überhaupt nicht - schließlich sind die Wurzeln der Gleichung möglicherweise keine ganzen Zahlen.

Löse die Gleichung x 3 +2x 2 -5x-6=0 Faktorisierung. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Die ursprüngliche Gleichung lautet äquivalent dazu: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. Und diese Gleichung hat drei Wurzeln: -3; -1; 2. Unter Verwendung des "Hinweises" von Vietas Theorem habe ich die folgende Gleichung gelöst: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Teiler des freien Terms: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 oder x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Antworten. -vier; 2.

3. Wenn Sie das resultierende Gleichungssystem kennen, können Sie die unbekannten Koeffizienten der Gleichung aus den Wurzeln der Gleichung finden.

Prüfungen:

1. Gleichung x 3 + px 2 + 19x - 12=0 hat die Wurzeln 1, 3, 4. Finden Sie den Koeffizienten p; Antworten. a) 12; b) 19; um 12; d) -8 2. Gleichung x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 hat die Wurzeln 2, 3, 5. Finden Sie den Koeffizienten r; Antworten. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Aufgaben zur Anwendung der Ergebnisse dieses Projekts in ausreichender Menge finden Sie im Handbuch für Studienbewerber herausgegeben von M.I.Skanavi. Die Kenntnis des Satzes von Vieta kann bei der Lösung solcher Probleme von unschätzbarer Hilfe sein.

№6.354

4. Fazit

1. Es gibt eine Formel, die die Wurzeln ausdrückt algebraische Gleichung durch die Koeffizienten der Gleichung: wobei D==() 2 + () 3 D>0, 1 Lösung. Formel Cardano.

2. Eigenschaft der Wurzeln einer kubischen Gleichung

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Als Ergebnis kam ich zu dem Schluss, dass es eine Formel gibt, die die Wurzeln kubischer Gleichungen in Bezug auf ihre Koeffizienten ausdrückt, und dass es auch einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der Gleichung gibt.

5. Literatur:

1. Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker. A. P. Savin. –M.: Pädagogik, 1989.

2. Einheitliches Staatsexamen in Mathematik - 2004. Aufgaben und Lösungen. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova und andere Tscheboksary. Verlag Chuvash. unta, 2004.

3. Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern. V. V. Mochalov, Silvestrov V. V. Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern: Proc. Beihilfe. -Cheboksary: ​​Chuvash Verlag. Universität, 2004.

4. Probleme in der Mathematik. Algebra. Hilfestellung. Vavilov V. V., Olehnik S. N.-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik aller Wettbewerbsprobleme in der Mathematik der von M.I.Skanavi herausgegebenen Sammlung. Verlag "Ukrainian Encyclopedia", benannt nach M. P. Bazhov, 1993.

6. Hinter den Seiten eines Algebra-Lehrbuchs. L. F. Pichurin.-M.: Enlightenment, 1990.

Vorschau:

Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Konto für sich selbst ( Konto) Google und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Beschriftungen der Folien:

Schauen wir in die Welt der Formeln

Die mathematische Bildung an allgemeinbildenden Schulen ist der wichtigste Bestandteil der Allgemeinbildung und der allgemeinen Kultur des modernen Menschen. Fast alles, was einen Menschen umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. Und die neuesten Errungenschaften in Physik, Technik, Informatik lassen keinen Zweifel daran, dass es auch in Zukunft so bleiben wird. Daher wird die Lösung vieler praktischer Probleme auf das Lösen verschiedener Arten von Gleichungen reduziert, deren Lösung erlernt werden muss. Lineare Gleichungen ersten Grades wurden uns in der ersten Klasse beigebracht, und wir zeigten kein großes Interesse daran. Interessanter sind nichtlineare Gleichungen - Gleichungen großen Grades. Die Mathematik offenbart Ordnung, Symmetrie und Gewissheit, und dies sind die höchsten Formen der Schönheit. Einführung:

die Gleichung hat die Form (1) wir transformieren die Gleichung so, dass wir den exakten Würfel auswählen: wir multiplizieren (1) die Gleichungen mit 3 (2) wir transformieren (2) die Gleichungen, die wir erhalten die folgende Gleichung erhöhe die rechte und linke Seite (3) der Gleichung in die dritte Potenz finde die Wurzeln der Gleichung Beispiele für das Lösen einer kubischen Gleichung

Quadratische Gleichungen Gleichungen der Form wo die Diskriminante Es gibt keine Wurzeln unter den reellen Zahlen

Gleichung dritten Grades

Geschichtlicher Hinweis: In jenen fernen Zeiten, als die Weisen anfingen, über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken, gab es wahrscheinlich noch keine Münzen oder Brieftaschen. In den alten mathematischen Problemen Mesopotamiens, Indiens, Chinas, Griechenlands drückten unbekannte Größen die Anzahl der Pfauen im Garten, die Anzahl der Stiere in der Herde, die Gesamtheit der Dinge aus, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. Quellen, die uns überliefert sind, weisen darauf hin, dass alte Wissenschaftler einige allgemeine Methoden zur Lösung von Problemen mit unbekannten Größen besaßen. Doch kein einziger Papyrus, keine einzige Tontafel beschreibt diese Techniken. Die Ausnahme ist die "Arithmetik" des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) - eine Sammlung von Problemen zum Erstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen. Das Werk des Bagdad-Gelehrten aus dem 9. Jahrhundert wurde jedoch zum ersten Handbuch zur Lösung von Problemen, das weithin bekannt wurde. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

die Gleichung hat die Form (1) Wir wenden die Formel 1) an, indem wir auswählen, um zu finden, und damit die folgende Gleichheit erfüllt ist, transformieren wir die linke Seite von (1) der Gleichung wie folgt: Wählen Sie den vollen Würfel als y, erhalten wir die Gleichung für y (2) vereinfachen (2) die Gleichung (3) In (3) ist der Term, der das Quadrat der Unbekannten enthält, verschwunden, aber der Term, der die erste Potenz der Unbekannten enthält, blieb 2) durch Auswahl, finde a so dass die folgende Gleichheit erfüllt ist. Diese Gleichheit ist unmöglich, weil links eine positive Zahl und links eine negative Zahl steht. Wenn wir diesem Weg folgen, dann stecken bleiben .... Auf dem gewählten Weg werden wir scheitern. Wir konnten die Gleichung noch nicht lösen.

Kubische Gleichungen der Gleichung der Form wobei (1) 1. Vereinfachen wir die Gleichungen dividiert durch a, dann wird der Koeffizient bei "x" gleich 1, daher basiert die Lösung jeder kubischen Gleichung auf der Summenwürfelformel: (2) Wenn wir dann Gleichung (1) nehmen, unterscheidet sich von Gleichung (2) nur der Koeffizient bei x und der freie Term. Wir addieren die Gleichungen (1) und (2) und geben ähnliche an: Wenn wir hier eine Änderung vornehmen, erhalten wir eine kubische Gleichung bezüglich y ohne Term:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24. September 1501 - 21. September 1576) war ein italienischer Mathematiker, Mechaniker und Arzt. Geboren in Pavia. Er studierte an den Universitäten Pavia und Padua. In seiner Jugend praktizierte er Medizin. 1534 wurde Professor für Mathematik in Mailand und Bologna. In der Mathematik wird der Name Cardano meist mit einer Formel zur Lösung einer kubischen Gleichung in Verbindung gebracht, die er von N. Tartaglia entlehnt hat. Diese Formel wurde in Cardanos Great Art, or On the Rules of Algebra (1545) veröffentlicht. Seitdem sind Tartaglia und Cardano zu Todfeinden geworden. Dieses Buch skizziert systematisch Cardanos moderne Methoden zur Lösung von Gleichungen, hauptsächlich kubischen. Cardano führte eine lineare Transformation durch, die es ermöglichte, die kubische Gleichung in eine Form zu bringen, die frei von einem Term 2. Grades ist; er wies auf die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der Gleichung hin, die Teilbarkeit des Polynoms durch die Differenz x – a, wenn a seine Wurzel ist. Cardano war einer der ersten in Europa, der die Existenz negativer Wurzeln von Gleichungen zugab. In seiner Arbeit tauchen zum ersten Mal imaginäre Größen auf. In der Mechanik studierte Cardano die Theorie der Hebel und Gewichte. Eine der Bewegungen eines Segments entlang der Seiten eines rechten Winkels wird in der Mechanik als Kardanbewegung bezeichnet. Biografie von Cardano Girolamo

Zur gleichen Zeit lebte in der italienischen Stadt Verona ein armer Mathematiklehrer Nicolo (1499-1557) mit dem Spitznamen Tartaglia (d. h. Stotterer). Er war sehr talentiert und schaffte es, die Technik von Dal Ferro wiederzuentdecken. Zwischen Fiore und Tartaglia kam es zu einem Duell. Laut Bedingung tauschten die Konkurrenten 30 Probleme aus, für deren Lösung 50 Tage gegeben wurden. Da Fior aber im Wesentlichen nur ein Problem kannte und sicher war, dass irgendein Lehrer es nicht lösen konnte, stellten sich alle 30 Probleme als gleichartig heraus. Tartaglia erledigte sie in zwei Stunden. Fiore hingegen konnte keine der vom Feind vorgeschlagenen Aufgaben lösen. Der Sieg verherrlichte Tartaglia in ganz Italien, aber das Problem war noch nicht ganz gelöst, dieser einfache Trick, mit dem wir den Term der Gleichung, der das Quadrat enthält, bewältigen konnten unbekannter Wert(Auswahl eines kompletten Würfels), dann die Lösung von Gleichungen verschiedene Typen wurde nicht in das System eingegeben. Fiora duelliert sich mit Tartaglia

eine Gleichung der Form aus dieser Gleichung a berechnen wir die Diskriminante der Gleichung Die Wurzel dieser Gleichung wird nicht nur nicht vollständig gezogen, sondern sie muss noch aus einer negativen Zahl gezogen werden. Was ist los? Es kann angenommen werden, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, da D

Die Wurzeln einer kubischen Gleichung hängen von der Diskriminante ab die Gleichung hat 1 Lösung die Gleichung hat 3 Lösungen die Gleichung hat 2 Lösungen Fazit

die Gleichung hat die Form Finden Sie die Wurzeln der Gleichung mit der Cardano-Formel Beispiele für das Lösen kubischer Gleichungen mit der Cardano-Formel

aus dieser Gleichung eine Gleichung der Form (1) und da diese Gleichung per Bedingung 1 Lösung haben sollte, dann berechnen wir die Diskriminante (1) der Gleichung + - + 2 6 Antwort: den kleinsten natürlichen Wert a aus diesem Intervall ist 1. Bei welchem ​​kleinsten natürlichen Wert hat eine Gleichung 1 Lösung?

Die Lösung kubischer Gleichungen nach der Vieta-Methode Die Gleichungen haben die Form

Lösen Sie die Gleichung, wenn bekannt ist, dass das Produkt ihrer beiden Wurzeln nach dem Satz von Vieta gleich 1 ist und wir die Bedingung haben, oder wir setzen den Wert in die erste Gleichung ein oder wir setzen den Wert aus der dritten Gleichung in die erste ein , finden wir die Wurzeln der Gleichung oder Antwort:

Verwendete Literatur: „Mathematik. Lehrhilfe» Yu. A. Gusman, A. O. Smirnov. Enzyklopädie „Ich kenne die Welt. Mathematik" - Moskau, AST, 1996. " Mathe. Lehrmittel » V.T. Lisichkin. Ein Leitfaden für Bewerber an Universitäten, herausgegeben von M.I.Skanavi. Single Staatsexamen in Mathematik - 2004

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Kubische Gleichungen haben die Form Axt 3 + bx 2 + cx + d= 0). Eine Methode zur Lösung solcher Gleichungen ist seit mehreren Jahrhunderten bekannt (sie wurde im 16. Jahrhundert von italienischen Mathematikern entdeckt). Das Lösen einiger kubischer Gleichungen ist ziemlich schwierig, aber mit dem richtigen Ansatz (und gutes Level Theoretisches Wissen) werden Sie in der Lage sein, selbst die komplexesten kubischen Gleichungen zu lösen.

Schritte

Lösung mit einer Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Wie oben erwähnt, haben die kubischen Gleichungen die Form a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), wobei die Koeffizienten c (\ displaystyle c) und d (\ displaystyle d) kann gleich sein 0 (\displaystyle 0), das heißt, eine kubische Gleichung kann nur aus einem Term (mit einer Variablen dritten Grades) bestehen. Überprüfen Sie zuerst, ob die Ihnen gegebene kubische Gleichung einen Achsenabschnitt hat, d.h. d (\ displaystyle d). Wenn kein freier Term vorhanden ist, können Sie diese kubische Gleichung mit der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung lösen.

• Wenn es einen Schnittpunkt gibt, verwenden Sie eine andere Lösungsmethode (siehe die folgenden Abschnitte).

1. Seit in gegebene Gleichung gibt es keinen freien Term, dann enthalten alle Terme dieser Gleichung eine Variable x (\displaystyle x), die eingeklammert werden können: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Beispiel. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Wenn du es aushältst x (\displaystyle x) Klammern, bekommst du x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Beachten Sie, dass die Gleichung in Klammern eine quadratische Gleichung der Form ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), die mit der Formel ((- b +/-√ (). Löse eine quadratische Gleichung und du wirst eine kubische Gleichung lösen.

   • Ersetzen Sie in unserem Beispiel die Werte der Koeffizienten ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) in die Formel: − b ± b 2 − 4 ein c 2 ein (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Lösung 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
   • Lösung 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

3. Denken Sie daran, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben, während kubische Gleichungen drei Lösungen haben. Sie haben zwei Lösungen einer quadratischen und damit kubischen Gleichung gefunden. In Fällen, in denen Sie "x" aus Klammern setzen, ist die dritte Lösung immer 0 (\displaystyle 0).

   • Dies gilt, weil jede Zahl oder jeder Ausdruck mit multipliziert wird 0 (\displaystyle 0), gleich 0 (\displaystyle 0). Da hast du es ausgehalten x (\displaystyle x) aus Klammern, dann haben Sie die kubische Gleichung in zwei Faktoren zerlegt ( x (\displaystyle x) und eine quadratische Gleichung), von denen eine gleich sein muss 0 (\displaystyle 0) so dass die ganze Gleichung gleich ist 0 (\displaystyle 0).

   Finden ganzer Lösungen durch Faktorisierung

   1. Überprüfe, ob die dir gegebene kubische Gleichung einen Achsenabschnitt hat. Das im vorherigen Abschnitt beschriebene Verfahren ist nicht geeignet, um kubische Gleichungen zu lösen, in denen ein freier Term vorhanden ist. In diesem Fall müssen Sie die in diesem oder dem nächsten Abschnitt beschriebene Methode verwenden.

      • Beispiel. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Hier, bewege einen losen Schwanz d = − 6 (\displaystyle d=-6) auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechte Seite erhalten 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Finden Sie Koeffizientenmultiplikatoren ein (\displaystyle ein)(Koeffizient bei x 3 (\displaystyle x^(3))) und kostenloses Mitglied d (\ displaystyle d). Faktoren einer Zahl sind Zahlen, die multipliziert ergeben ursprüngliche Nummer. Zum Beispiel die Faktoren der Zahl 6 (\displaystyle 6) sind die Zahlen 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1) und 2 × 3 (\displaystyle 2\times 3)).

      • In unserem Beispiel a = 2 (\displaystyle a=2) und d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplikatoren 2 (\displaystyle 2) sind Zahlen 1 (\displaystyle 1) und 2 (\displaystyle 2). Multiplikatoren 6 (\displaystyle 6) sind Zahlen 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), und 6 (\displaystyle 6).

   3. Koeffizientenmultiplikatoren dividieren ein (\displaystyle ein) durch Faktoren der freien Laufzeit d (\ displaystyle d). Sie erhalten Brüche und ganze Zahlen. Die ganzzahlige Lösung der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung ist entweder eine dieser ganzen Zahlen oder der negative Wert einer dieser ganzen Zahlen.

      • Dividieren Sie in unserem Beispiel die Faktoren ein (\displaystyle ein) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) nach Faktoren d (\ displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) und bekomme: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) und . Fügen Sie nun zu dieser Zahlenreihe ihre hinzu negative Werte: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) und − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Die ganzzahligen Lösungen der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung befinden sich in dieser Zahlenreihe.

   4. Jetzt kannst du ganzzahlige Lösungen für deine kubische Gleichung finden, indem du ganze Zahlen aus der gefundenen Zahlenreihe einsetzt. Aber wenn Sie keine Zeit damit verschwenden wollen, verwenden Sie. Dieses Schema beinhaltet die Aufteilung von ganzen Zahlen in Werte ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c), d (\ displaystyle d) gegebene kubische Gleichung. Wenn der Rest ist 0 (\displaystyle 0), die ganze Zahl ist eine der Lösungen der kubischen Gleichung.

      • Horners Teilung ist kein einfaches Thema; zum bekommen zusätzliche Information folgen Sie dem oben angegebenen Link. Hier ist ein Beispiel dafür, wie Sie eine der Lösungen einer kubischen Gleichung finden, die Ihnen mithilfe der Horner-Division gegeben wird: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Da der Rest 0 (\displaystyle 0), dann ist eine der Lösungen der Gleichung eine ganze Zahl − 1 (\displaystyle -1).

   Verwendung der Diskriminante

   1. Bei dieser Methode arbeiten Sie mit Koeffizientenwerten ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c), d (\ displaystyle d). Daher ist es besser, die Werte dieser Koeffizienten im Voraus aufzuschreiben.

      • Beispiel. math>x^3-3x^2+3x-1. Hier a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Vergiss das nicht wann x (\displaystyle x) es gibt keinen Koeffizienten, das bedeutet, dass der Koeffizient gleich ist 1 (\displaystyle 1).

   2. Berechnung △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Diese Methode erfordert einige komplexe Berechnungen, aber wenn Sie sie verstehen, werden Sie in der Lage sein, die komplexesten kubischen Gleichungen zu lösen. Um zu beginnen, berechnen Sie △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), eine von mehreren wichtigen Größen, die wir benötigen, indem wir die entsprechenden Werte in die Formel einsetzen.

      • In unserem Beispiel: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. Berechnen Sie Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Berechnen Sie nun die Diskriminante der Gleichung mit den gefundenen Werten von Δ0 und Δ1. Die Diskriminante ist eine Zahl, die Ihnen Informationen über die Wurzeln eines Polynoms gibt (Sie wissen vielleicht bereits, dass die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist b 2 - 4ac). Im Fall einer kubischen Gleichung hat die Gleichung drei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist; wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die Gleichung eine oder zwei Lösungen; Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung nur eine Lösung. Eine kubische Gleichung hat immer mindestens eine Lösung, weil der Graph einer solchen Gleichung die x-Achse in mindestens einem Punkt schneidet.

      • Wenn Sie die entsprechenden Werte der Mengen in diese Formel einsetzen, erhalten Sie mögliche Lösungen die Ihnen gegebene kubische Gleichung. Setzen Sie sie in die ursprüngliche Gleichung ein und wenn Gleichheit erfüllt ist, dann sind die Lösungen richtig. Wenn Sie beispielsweise die Werte in die Formel einsetzen und 1 erhalten, setzen Sie die 1 ein x 3 - 3x 2 + 3x- 1 und 0 erhalten. Das heißt, Gleichheit wird beobachtet, und 1 ist eine der Lösungen der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung.

Lerne, wie man kubische Gleichungen löst. Es wird der Fall betrachtet, wenn eine Wurzel bekannt ist. Methoden zum Finden von ganzen Zahlen und rationale Wurzeln. Anwendung der Cardano- und Vieta-Formeln zur Lösung beliebiger kubischer Gleichungen.

Hier betrachten wir die Lösung kubischer Gleichungen der Form
(1) .
Weiter gehen wir davon aus, dass dies der Fall ist reale Nummern.

(2) ,
Wenn wir es dann durch dividieren, erhalten wir eine Gleichung der Form (1) mit Koeffizienten
.

Gleichung (1) hat drei Wurzeln: , und . Eine der Wurzeln ist immer real. Wir bezeichnen die echte Wurzel als . Die Wurzeln und können entweder reell oder komplex konjugiert sein. Echte Wurzeln können mehrere sein. Zum Beispiel, wenn , dann und Doppelwurzeln (oder Wurzeln der Multiplizität 2) sind, und eine einfache Wurzel ist.

Wenn nur eine Wurzel bekannt ist

Teilen Sie uns eine Wurzel der kubischen Gleichung (1) mit. Bezeichnen bekannte Wurzel wie . Wenn wir dann Gleichung (1) durch dividieren, erhalten wir eine quadratische Gleichung. Beim Lösen der quadratischen Gleichung finden wir zwei weitere Wurzeln und .

Für den Beweis verwenden wir die Tatsache, dass das kubische Polynom dargestellt werden kann als:
.
Wenn wir dann (1) durch dividieren, erhalten wir eine quadratische Gleichung.

Beispiele für die Division von Polynomen werden auf der Seite vorgestellt
„Division und Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom mit einer Ecke und einer Spalte“.
Die Lösung quadratischer Gleichungen wird auf der Seite betrachtet
"Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung".

Wenn eine der Wurzeln ist

Wenn die ursprüngliche Gleichung lautet:
(2) ,
und seine Koeffizienten , , , ganze Zahlen sind, dann können Sie versuchen, eine ganzzahlige Wurzel zu finden. Wenn diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler des Koeffizienten. Die Methode der Suche nach ganzzahligen Wurzeln besteht darin, dass wir alle Teiler einer Zahl finden und prüfen, ob Gleichung (2) für sie gilt. Wenn Gleichung (2) erfüllt ist, haben wir ihre Wurzel gefunden. Bezeichnen wir es als . Als nächstes dividieren wir Gleichung (2) durch . Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Beim Lösen finden wir zwei weitere Wurzeln.

Beispiele für die Definition ganzzahliger Wurzeln finden Sie auf der Seite
Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen > > > .

Rationale Wurzeln finden

Wenn in Gleichung (2) , , , ganze Zahlen sind und , und es keine ganzzahligen Wurzeln gibt, dann können Sie versuchen, rationale Wurzeln zu finden, das heißt Wurzeln der Form , wobei und ganze Zahlen sind.

Dazu multiplizieren wir Gleichung (2) mit und nehmen die Substitution vor:
;
(3) .
Als nächstes suchen wir unter den Teilern des freien Terms nach ganzzahligen Wurzeln von Gleichung (3).

Wenn wir eine ganzzahlige Wurzel von Gleichung (3) gefunden haben, dann erhalten wir, wenn wir zur Variablen zurückkehren, eine rationale Wurzel von Gleichung (2):
.

Cardano- und Vieta-Formeln zum Lösen einer kubischen Gleichung

Wenn wir keine einzige Wurzel kennen und es keine ganzzahligen Wurzeln gibt, dann können wir die Wurzeln einer kubischen Gleichung mit Cardanos Formeln finden.

Betrachten Sie die kubische Gleichung:
(1) .
Nehmen wir eine Ersetzung vor:
.
Danach wird die Gleichung auf eine unvollständige oder reduzierte Form reduziert:
(4) ,
wo
(5) ; .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Wissenschaftler und Ingenieure, 2012.