Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Kata fraktal berasal dari bahasa latin fractus dan dalam terjemahannya berarti terdiri dari pecahan-pecahan. Itu diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur tetapi serupa diri yang dia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi buku Mandelbrot 'The Fractal Geometry of Nature' pada tahun 1977. hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Tetapi hanya di zaman kita ini dimungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.
Peran fraktal dalam grafik komputer saat ini cukup besar. Mereka datang untuk menyelamatkan, misalnya, ketika diperlukan, dengan bantuan beberapa koefisien, untuk mengatur garis dan permukaan dengan sangat bentuk kompleks. Dari sudut pandang grafik komputer, geometri fraktal sangat diperlukan untuk menghasilkan awan buatan, gunung, dan permukaan laut. Faktanya, telah ditemukan cara untuk merepresentasikan objek non-Euclidean yang kompleks dengan mudah, yang gambarnya sangat mirip dengan yang alami.
Salah satu sifat utama fraktal adalah kesamaan diri. di sangat kasus sederhana sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang keseluruhan fraktal. Definisi fraktal yang diberikan oleh Mandelbrot adalah sebagai berikut: "Fraktal adalah struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam beberapa hal mirip dengan keseluruhan."

Ada sejumlah besar objek matematika yang disebut fraktal (segitiga Sierpinski, kepingan salju Koch, kurva Peano, himpunan Mandelbrot, dan penarik Lorentz). Fraktal menggambarkan dengan sangat akurat banyak fenomena fisik dan formasi dunia nyata: gunung, awan, arus turbulen (pusaran), akar, cabang dan daun pohon, pembuluh darah, yang jauh dari bentuk geometris sederhana. Untuk pertama kalinya, Benoit Mandelbrot berbicara tentang sifat fraktal dunia kita dalam karya mani "Geometri Fraktal Alam".
Istilah fraktal diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1977 dalam karya dasarnya "Fraktal, Bentuk, Kekacauan dan Dimensi". Menurut Mandelbrot, kata fraktal berasal dari kata Latin fractus - pecahan dan frangere - untuk memecahkan, yang mencerminkan esensi dari fraktal sebagai "patah", himpunan tidak beraturan.

Klasifikasi fraktal.

Untuk mewakili seluruh variasi fraktal, akan lebih mudah untuk menggunakan klasifikasi yang diterima secara umum. Ada tiga kelas fraktal.

1. Fraktal geometris.

Fraktal dari kelas ini adalah yang paling jelas. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan polyline (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi) yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, setiap segmen yang membentuk garis putus-putus digantikan oleh generator garis putus-putus dalam skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan prosedur ini tanpa akhir, fraktal geometrik diperoleh.

Pertimbangkan, misalnya, salah satu objek fraktal seperti itu - kurva triadik Koch.

Konstruksi kurva triadik Koch.

Ambil segmen garis lurus dengan panjang 1. Sebut saja benih. Kami membagi benih menjadi tiga bagian yang sama panjang 1/3, buang bagian tengah dan ganti dengan garis putus-putus dari dua tautan dengan panjang 1/3.

Kami mendapatkan garis putus-putus, terdiri dari 4 tautan dengan panjang total 4/3, - yang disebut generasi pertama.

Untuk beralih ke generasi berikutnya dari kurva Koch, perlu untuk membuang dan mengganti bagian tengah setiap tautan. Dengan demikian, panjang generasi kedua adalah 16/9, yang ketiga - 64/27. jika Anda melanjutkan proses ini hingga tak terhingga, maka hasilnya akan menjadi kurva Koch triadik.

Sekarang mari kita perhatikan kurva triadik Koch yang suci dan cari tahu mengapa fraktal disebut "monster".

Pertama, kurva ini tidak memiliki panjang - seperti yang telah kita lihat, dengan jumlah generasi, panjangnya cenderung tak terhingga.

Kedua, tidak mungkin untuk membuat garis singgung pada kurva ini - masing-masing titiknya merupakan titik belok di mana turunannya tidak ada - kurva ini tidak mulus.

Panjang dan kehalusan adalah sifat dasar dari kurva, yang dipelajari baik oleh geometri Euclidean maupun oleh geometri Lobachevsky dan Riemann. Ke kurva triadik Koch metode tradisional analisis geometris ternyata tidak dapat diterapkan, sehingga kurva Koch ternyata adalah monster - "monster" di antara penghuni mulus geometri tradisional.

Pembangunan "naga" Harter-Hateway.

Untuk mendapatkan objek fraktal lain, Anda perlu mengubah aturan konstruksi. Biarkan elemen pembangkit menjadi dua segmen yang sama dihubungkan pada sudut siku-siku. Pada generasi nol, kita mengganti segmen unit dengan elemen pembangkit ini sehingga sudutnya berada di atas. Kita dapat mengatakan bahwa dengan penggantian seperti itu, terjadi pergeseran di tengah tautan. Saat membangun generasi berikutnya, aturannya terpenuhi: tautan pertama di sebelah kiri digantikan oleh elemen pembangkit sehingga bagian tengah tautan bergeser ke kiri arah gerakan, dan saat mengganti tautan berikutnya, arah perpindahan titik tengah segmen harus bergantian. Gambar tersebut menunjukkan beberapa generasi pertama dan generasi ke-11 dari kurva yang dibangun sesuai dengan prinsip yang dijelaskan di atas. Kurva dengan n yang cenderung tak terhingga disebut naga Harter-Hateway.
Dalam grafik komputer, penggunaan fraktal geometris diperlukan saat memperoleh gambar pohon dan semak-semak. Fraktal geometris dua dimensi digunakan untuk membuat tekstur tiga dimensi (pola pada permukaan suatu objek).

2. Fraktal aljabar

Ini yang paling kelompok besar fraktal. Mereka diperoleh dengan menggunakan proses non-linier dalam ruang n-dimensi. Proses dua dimensi adalah yang paling banyak dipelajari. Menafsirkan proses iteratif nonlinier sebagai sistem dinamis diskrit, seseorang dapat menggunakan terminologi teori sistem ini: potret fase, proses keadaan tunak, penarik, dll.
Diketahui bahwa sistem dinamik nonlinier memiliki beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana itu sistem dinamis setelah sejumlah iterasi, tergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki area tertentu dari keadaan awal, dari mana sistem akan jatuh ke dalam keadaan akhir yang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi area daya tarik penarik. Jika ruang fase adalah dua dimensi, maka mewarnai daerah tarik-menarik warna yang berbeda, seseorang dapat memperoleh potret fase warna dari sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah. Kejutan untuk matematikawan adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur non-sepele yang sangat kompleks menggunakan algoritma primitif.

Himpunan Mandelbrot.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Algoritme untuk konstruksinya cukup sederhana dan didasarkan pada ekspresi iteratif sederhana: Z = Z[i] * Z[i] + C, di mana Zi dan C adalah variabel kompleks. Iterasi dilakukan untuk setiap titik awal dari daerah persegi panjang atau persegi - bagian dari bidang kompleks. Proses iterasi berlanjut sampai Z[i] tidak akan melampaui lingkaran berjari-jari 2, yang pusatnya terletak pada titik (0,0), (ini berarti bahwa penarik sistem dinamis berada pada tak terhingga), atau setelah sejumlah iterasi yang cukup besar (misalnya , 200-500) Z[i] konvergen ke suatu titik pada lingkaran. Tergantung pada jumlah iterasi selama Z[i] tetap berada di dalam lingkaran, Anda dapat mengatur warna titik C(jika Z[i] tetap berada di dalam lingkaran untuk jumlah iterasi yang cukup besar, proses iterasi berhenti dan titik raster ini dicat hitam).

3. Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika salah satu parameternya diubah secara acak dalam proses berulang. Ini menghasilkan objek yang sangat mirip dengan yang alami - pohon asimetris, garis pantai yang menjorok, dll. Fraktal stokastik dua dimensi digunakan dalam pemodelan medan dan permukaan laut.
Ada klasifikasi lain dari fraktal, misalnya pembagian fraktal menjadi deterministik (aljabar dan geometris) dan non-deterministik (stokastik).

Tentang penggunaan fraktal

Pertama-tama, fraktal adalah bidang seni matematika yang luar biasa, ketika dengan bantuan rumus dan algoritma paling sederhana, gambar keindahan dan kerumitan yang luar biasa diperoleh! Dalam kontur gambar yang dibangun, daun, pohon, dan bunga sering ditebak.

Salah satu aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Pertama, ini adalah kompresi fraktal gambar, dan kedua, konstruksi lanskap, pohon, tanaman, dan generasi tekstur fraktal. fisika modern dan mekanika baru mulai mempelajari perilaku objek fraktal. Dan, tentu saja, fraktal diterapkan secara langsung dalam matematika itu sendiri.
Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselasi. Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda untuk mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritma ini didasarkan pada pencarian potongan besar dari gambar yang mirip dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file output. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang mengarah ke sedikit sudut saat mengembalikan gambar; kotak heksagonal bebas dari kekurangan seperti itu.
Iterated telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan kompresi lossless fraktal dan "gelombang" (seperti jpeg). Format baru memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak dikompresi.
Kecenderungan fraktal terlihat seperti gunung, bunga dan pohon dimanfaatkan oleh beberapa editor grafis, misalnya awan fraktal dari 3D studio MAX, pegunungan fraktal di World Builder. Pohon fraktal, gunung, dan seluruh lanskap diberikan rumus sederhana, mudah diprogram dan tidak pecah menjadi segitiga dan kubus terpisah saat didekati.
Anda tidak bisa mengabaikan penggunaan fraktal dalam matematika itu sendiri. Dalam teori himpunan, himpunan Cantor membuktikan keberadaan himpunan rapat tak berhingga yang sempurna; dalam teori ukuran, fungsi "tangga Cantor" self-affine adalah contoh yang baik dari fungsi distribusi ukuran tunggal.
Dalam mekanika dan fisika, fraktal digunakan karena sifatnya yang unik untuk mengulang garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda untuk memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan celah dengan akurasi lebih tinggi daripada perkiraan dengan segmen garis atau poligon (dengan jumlah data yang disimpan sama). Model fraktal, seperti objek alami, memiliki "kekasaran", dan properti ini dipertahankan pada peningkatan besar yang sewenang-wenang dalam model. Kehadiran ukuran seragam pada fraktal memungkinkan untuk menerapkan integrasi, teori potensial, untuk menggunakannya sebagai ganti objek standar dalam persamaan yang telah dipelajari.
Dengan pendekatan fraktal, kekacauan tidak lagi menjadi gangguan biru dan memperoleh struktur halus. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari kata habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang menyenangkan mata, dan yang membawa kesenangan sejati ke pikiran.

Tentang membangun fraktal

Metode pendekatan berurutan

Melihat gambar ini, tidak sulit untuk memahami bagaimana seseorang dapat membangun fraktal serupa diri (dalam kasus ini Piramida Sierpinski). Kita perlu mengambil piramida biasa (tetrahedron), lalu memotong bagian tengahnya (oktahedron), sebagai hasilnya kita mendapatkan empat piramida kecil. Dengan masing-masing dari mereka kami melakukan operasi yang sama, dan seterusnya. Ini adalah penjelasan yang agak naif, tetapi ilustratif.

Mari kita pertimbangkan esensi dari metode ini dengan lebih ketat. Biarkan ada beberapa sistem IFS, mis. sistem pemetaan kontraksi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (misalnya, untuk piramida kami, pemetaannya terlihat seperti S i (x)=1/2*x+o i , di mana o i berada simpul dari tetrahedron, i=1,..,4). Kemudian kami memilih beberapa himpunan kompak A 1 dalam R n (dalam kasus kami, kami memilih tetrahedron). Dan kita tentukan dengan induksi barisan himpunan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Diketahui bahwa himpunan A k dengan peningkatan k mendekati penarik yang dibutuhkan sistem S.

Perhatikan bahwa setiap iterasi ini adalah penarik sistem berulang dari fungsi iterasi (istilah bahasa inggris DigraphIFS, RIFS dan juga IFS berarah grafik) dan oleh karena itu mudah dibuat dengan program kami.

Konstruksi dengan poin atau metode probabilistik

Ini adalah metode termudah untuk diterapkan di komputer. Untuk kesederhanaan, pertimbangkan kasus himpunan self-affine datar. Jadi ayo

) adalah beberapa sistem kontraksi affine. Pemetaan

direpresentasikan sebagai: S

Matriks tetap berukuran 2x2 dan o

Kolom vektor dua dimensi.

• Mari kita ambil titik tetap dari pemetaan pertama S 1 sebagai titik awal:
  x:=o1;
  Di sini kita menggunakan fakta bahwa semua titik kontraksi tetap S 1 ,..,S m milik fraktal. Titik arbitrer dapat dipilih sebagai titik awal dan urutan titik yang dihasilkannya akan menyusut menjadi fraktal, tetapi kemudian beberapa titik tambahan akan muncul di layar.
• Perhatikan titik saat ini x=(x 1 ,x 2) pada layar:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Kami secara acak memilih nomor j dari 1 hingga m dan menghitung ulang koordinat titik x:
  j:=Acak(m)+1;
  x:=Sj (x);
• Kami pergi ke langkah 2, atau, jika kami telah melakukan sejumlah besar iterasi, maka kami berhenti.

Catatan. Jika koefisien kompresi pemetaan S i berbeda, maka fraktal akan terisi titik-titik secara tidak merata. Jika pemetaan S i adalah kesamaan, hal ini dapat dihindari dengan sedikit memperumit algoritma. Untuk melakukan ini, pada langkah ke-3 algoritma, angka j dari 1 hingga m harus dipilih dengan probabilitas p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , di mana r i menunjukkan koefisien kontraksi pemetaan S i , dan jumlah s (disebut dimensi kesamaan) ditemukan dari persamaan r 1 s +...+r m s =1. Solusi persamaan ini dapat ditemukan, misalnya, dengan metode Newton.

Tentang fraktal dan algoritmanya

Fraktal berasal dari kata sifat Latin "fractus", dan dalam terjemahan berarti terdiri dari fragmen, dan kata kerja Latin yang sesuai "frangere" berarti memecah, yaitu membuat fragmen tidak beraturan. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Istilah ini diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur tetapi serupa diri yang ia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi pada tahun 1977 buku Mandelbrot "Geometri Fraktal Alam" - "Geometri Fraktal Alam". Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Penyesuaian

Izinkan saya membuat beberapa penyesuaian pada algoritme yang diusulkan dalam buku oleh H.-O. Paytgen dan P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, murni untuk menghilangkan kesalahan ketik dan mempermudah memahami prosesnya, karena setelah mempelajarinya, masih banyak yang menjadi misteri bagi saya. Sayangnya, algoritme yang "dapat dimengerti" dan "sederhana" ini memimpin gaya hidup yang goyang.

Konstruksi fraktal didasarkan pada fungsi nonlinier tertentu dari proses kompleks dengan umpan balik z \u003d z 2 + c karena z dan c adalah bilangan kompleks, maka z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, perlu untuk menguraikannya menjadi x dan y untuk menjadi lebih nyata untuk pesawat orang biasa:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Bidang yang terdiri dari semua pasangan (x, y) dapat dianggap memiliki nilai tetap p dan q, serta untuk yang dinamis. Dalam kasus pertama, menyortir semua titik (x, y) bidang menurut hukum dan mewarnai mereka tergantung pada jumlah pengulangan fungsi yang diperlukan untuk keluar dari proses iteratif atau tidak mewarnai (hitam) ketika maksimum yang diijinkan pengulangan meningkat, kita mendapatkan pemetaan himpunan Julia. Jika, sebaliknya, kami menentukan pasangan nilai awal (x, y) dan melacak nasib warnanya dengan nilai parameter p dan q yang berubah secara dinamis, maka kami mendapatkan gambar yang disebut himpunan Mandelbrot.

Pada pertanyaan tentang algoritma pewarnaan fraktal.

Biasanya tubuh himpunan direpresentasikan sebagai bidang hitam, meskipun jelas bahwa warna hitam dapat diganti dengan yang lain, tetapi ini juga merupakan hasil yang tidak menarik. Untuk mendapatkan gambar himpunan yang dicat dalam semua warna adalah tugas yang tidak dapat diselesaikan menggunakan operasi siklik, karena jumlah iterasi yang membentuk tubuh himpunan sama dengan jumlah maksimum yang mungkin dan selalu sama. Warnai set di warna yang berbeda mungkin dengan menggunakan hasil pemeriksaan kondisi keluar dari loop (z_magnitude) sebagai nomor warna, atau serupa, tetapi dengan operasi matematika lainnya.

Penerapan "mikroskop fraktal"

untuk menunjukkan fenomena perbatasan.

Attractors adalah pusat memimpin perjuangan untuk dominasi di pesawat. Di antara penarik-penarik ada batas yang mewakili pola berputar-putar. Dengan meningkatkan skala pertimbangan dalam batas-batas himpunan, seseorang dapat memperoleh pola non-sepele yang mencerminkan keadaan kekacauan deterministik - fenomena umum di dunia alami.

Objek yang dipelajari oleh ahli geografi membentuk suatu sistem dengan batas-batas yang terorganisir dengan sangat kompleks, sehingga implementasinya menjadi tugas praktis yang sulit. Kompleks alami memiliki inti khas yang bertindak sebagai penarik yang kehilangan kekuatan pengaruhnya di wilayah saat bergerak menjauh.

Menggunakan mikroskop fraktal untuk set Mandelbrot dan Julia, seseorang dapat membentuk gagasan tentang proses batas dan fenomena yang sama kompleksnya terlepas dari skala pertimbangan dan dengan demikian mempersiapkan persepsi spesialis untuk pertemuan dengan dinamika dan tampaknya kacau. dalam ruang dan waktu objek alam, untuk memahami sifat geometri fraktal. Warna-warni warna dan musik fraktal pasti akan pergi jejak yang dalam dalam benak siswa.

Ribuan publikasi dan sumber daya Internet yang besar dikhususkan untuk fraktal, namun, bagi banyak spesialis yang jauh dari ilmu komputer, istilah ini tampaknya benar-benar baru. Fraktal, sebagai objek yang menarik bagi spesialis di berbagai bidang pengetahuan, harus mendapatkan tempat yang tepat dalam ilmu komputer.

Contoh

Kisi-kisi SIERPINSKI

Ini adalah salah satu fraktal yang bereksperimen dengan Mandelbrot ketika mengembangkan konsep dimensi dan iterasi fraktal. Segitiga yang dibentuk dengan menggabungkan titik tengah segitiga yang lebih besar dipotong dari segitiga utama untuk membentuk segitiga, dengan lebih banyak lubang. Dalam hal ini, inisiator adalah segitiga besar dan template adalah operasi untuk memotong segitiga yang mirip dengan yang lebih besar. Anda juga bisa mendapatkan versi 3D segitiga dengan menggunakan tetrahedron biasa dan memotong tetrahedra yang lebih kecil. Dimensi fraktal tersebut adalah ln3/ln2 = 1.584962501. Untuk memperoleh Karpet Sierpinski, ambil persegi, bagi menjadi sembilan kotak, dan gunting bagian tengahnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan sisanya, kotak yang lebih kecil. Pada akhirnya, kisi fraktal datar terbentuk, yang tidak memiliki luas, tetapi dengan koneksi tak terbatas. Dalam bentuk spasialnya, spons Sierpinski ditransformasikan ke dalam sistem bentuk-bentuk, di mana setiap elemen terus-menerus digantikan oleh jenisnya sendiri. Struktur ini sangat mirip dengan bagian jaringan tulang. Suatu hari struktur berulang seperti itu akan menjadi elemen struktur bangunan. Statika dan dinamika mereka, menurut Mandelbrot, patut dipelajari dengan cermat.

KURVA KOCH

Kurva Koch adalah salah satu fraktal deterministik yang paling umum. Itu ditemukan pada abad kesembilan belas oleh seorang ahli matematika Jerman bernama Helge von Koch, yang, saat mempelajari karya Georg Kontor dan Karl Weierstraße, menemukan deskripsi beberapa kurva aneh dengan perilaku yang tidak biasa. Inisiator - saluran langsung. Generator adalah segitiga sama sisi, sisi-sisinya sama dengan sepertiga dari panjang segmen yang lebih besar. Segitiga ini ditambahkan ke tengah setiap segmen berulang-ulang. Dalam penelitiannya, Mandelbrot banyak bereksperimen dengan kurva Koch, dan memperoleh angka-angka seperti Kepulauan Koch, Koch Crosses, Koch Snowflakes, dan bahkan representasi tiga dimensi dari kurva Koch dengan menggunakan tetrahedron dan menambahkan tetrahedra yang lebih kecil ke setiap wajahnya. Kurva Koch memiliki dimensi ln4/ln3 = 1.261859507.

Mandelbrot Fraktal

Ini BUKAN set Mandelbrot yang sering Anda lihat. Himpunan Mandelbrot didasarkan pada persamaan non-linier dan merupakan fraktal kompleks. Ini juga merupakan varian dari kurva Koch, meskipun faktanya objek ini tidak terlihat seperti itu. Inisiator dan generator juga berbeda dari yang digunakan untuk membuat fraktal berdasarkan prinsip kurva Koch, tetapi idenya tetap sama. Alih-alih melampirkan segitiga sama sisi ke segmen kurva, kotak melekat pada persegi. Karena fakta bahwa fraktal ini menempati tepat setengah dari ruang yang dialokasikan pada setiap iterasi, ia memiliki dimensi fraktal sederhana 3/2 = 1,5.

PENTAGON DARER

Fraktal terlihat seperti sekelompok segi lima yang diperas. Bahkan, itu dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, rasio sisi terbesar ke terkecil di mana persis sama dengan apa yang disebut rasio emas (1.618033989 atau 1/(2cos72)) sebagai generator . Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah setiap segi lima, menghasilkan bentuk yang tampak seperti 5 segi lima kecil yang direkatkan ke satu segi lima besar. Varian fraktal ini dapat diperoleh dengan menggunakan segi enam sebagai inisiator. Fraktal ini disebut Bintang Daud dan sangat mirip dengan versi heksagonal Kepingan Salju Koch. Dimensi fraktal dari segi lima Darer adalah ln6/ln(1+g), di mana g adalah rasio panjang sisi yang lebih besar dari segitiga dengan panjang sisi yang lebih kecil. Dalam hal ini, g adalah Rasio Emas, jadi dimensi fraktalnya kira-kira 1,86171596. Dimensi fraktal Bintang Daud adalah ln6/ln3 atau 1.630929754.

Fraktal kompleks

Faktanya, jika Anda memperbesar area kecil dari setiap fraktal kompleks dan kemudian melakukan hal yang sama pada area kecil dari area itu, kedua perbesaran akan berbeda secara signifikan satu sama lain. Kedua gambar akan sangat mirip secara detail, tetapi mereka tidak akan sepenuhnya identik.

Gambar 1. Perkiraan himpunan Mandelbrot

Bandingkan, misalnya, gambar himpunan Mandelbrot yang ditampilkan di sini, salah satunya diperoleh dengan meningkatkan beberapa area dari yang lain. Seperti yang Anda lihat, mereka sama sekali tidak identik, meskipun pada keduanya kita melihat lingkaran hitam, dari mana tentakel menyala pergi ke arah yang berbeda. Elemen-elemen ini berulang tanpa batas dalam himpunan Mandelbrot dalam proporsi yang menurun.

Fraktal deterministik adalah linier, sedangkan fraktal kompleks tidak. Menjadi non-linear, fraktal ini dihasilkan oleh apa yang disebut Mandelbrot sebagai non-linear persamaan aljabar. Contoh yang baik adalah proses Zn+1=ZnІ + C, yang merupakan persamaan yang digunakan untuk membangun himpunan Mandelbrot dan Julia derajat kedua. Solusi dari ini persamaan matematika melibatkan bilangan kompleks dan imajiner. Ketika persamaan diinterpretasikan secara grafis dalam bidang kompleks, hasilnya adalah sosok aneh di mana garis lurus berubah menjadi kurva, efek kesamaan diri muncul di berbagai tingkat skala, meskipun bukan tanpa deformasi. Pada saat yang sama, seluruh gambar secara keseluruhan tidak dapat diprediksi dan sangat kacau.

Seperti yang Anda lihat dengan melihat gambar, fraktal kompleks memang sangat kompleks dan tidak mungkin dibuat tanpa bantuan komputer. Untuk mendapatkan hasil yang penuh warna, komputer ini harus memiliki koprosesor matematika yang kuat dan monitor dengan resolusi tinggi. Tidak seperti fraktal deterministik, fraktal kompleks tidak dihitung dalam 5-10 iterasi. Hampir setiap titik di layar komputer seperti fraktal terpisah. Selama pemrosesan matematika, setiap titik diperlakukan sebagai gambar terpisah. Setiap poin sesuai dengan nilai tertentu. Persamaan dibangun untuk setiap titik dan dilakukan, misalnya, 1000 iterasi. Untuk mendapatkan gambar yang relatif tidak terdistorsi dalam periode waktu yang dapat diterima untuk komputer rumahan, dimungkinkan untuk melakukan 250 iterasi untuk satu titik.

Sebagian besar fraktal yang kita lihat hari ini berwarna indah. Mungkin gambar fraktal telah memperoleh nilai estetika yang begitu besar justru karena skema warnanya. Setelah persamaan dihitung, komputer menganalisis hasilnya. Jika hasilnya tetap stabil, atau berfluktuasi nilai tertentu, intinya biasanya hitam. Jika nilai pada satu atau lain langkah cenderung tak terhingga, titik tersebut dicat dengan warna yang berbeda, mungkin biru atau merah. Selama proses ini, komputer memberikan warna untuk semua kecepatan gerakan.

Biasanya, titik-titik yang bergerak cepat dicat merah, sedangkan yang lebih lambat berwarna kuning, dan seterusnya. Titik-titik gelap mungkin yang paling stabil.

Fraktal kompleks berbeda dari fraktal deterministik dalam arti bahwa mereka sangat kompleks, tetapi pada saat yang sama, mereka dapat dihasilkan dengan rumus yang sangat sederhana. Fraktal deterministik tidak membutuhkan rumus atau persamaan. Ambil saja kertas gambar dan Anda dapat membuat saringan Sierpinski hingga 3 atau 4 iterasi tanpa kesulitan. Cobalah untuk melakukannya dengan banyak Julia! Lebih mudah untuk mengukur panjang garis pantai Inggris!

SET MANDERBROT

Gambar 2. Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot dan Julia mungkin adalah dua yang paling umum di antara fraktal kompleks. Mereka dapat ditemukan di banyak jurnal ilmiah, sampul buku, kartu pos, dan screen saver komputer. Himpunan Mandelbrot, yang dibuat oleh Benoit Mandelbrot, mungkin merupakan asosiasi pertama yang dimiliki orang ketika mereka mendengar kata fraktal. Fraktal ini, menyerupai kartu dengan pohon bercahaya dan area lingkaran yang melekat padanya, dihasilkan oleh rumus sederhana Zn+1=Zna+C, di mana Z dan C adalah bilangan kompleks dan a adalah bilangan positif.

Himpunan Mandelbrot yang paling sering terlihat adalah himpunan Mandelbrot derajat 2, yaitu a=2. Fakta bahwa himpunan Mandelbrot tidak hanya Zn+1=ZnІ+C, tetapi juga fraktal yang eksponennya dalam rumus dapat berupa apa saja. nomor positif menyesatkan banyak orang. Di halaman ini Anda melihat contoh himpunan Mandelbrot untuk berbagai nilai eksponen a.
Gambar 3. Munculnya gelembung pada a=3.5

Proses Z=Z*tg(Z+C) juga populer. Berkat penyertaan fungsi tangen, himpunan Mandelbrot diperoleh, dikelilingi oleh area yang menyerupai apel. Saat menggunakan fungsi kosinus, efek gelembung udara diperoleh. Singkatnya, ada banyak cara untuk mengubah set Mandelbrot untuk menghasilkan berbagai gambar yang indah.

GANDA JULI

Anehnya, himpunan Julia dibentuk menurut rumus yang sama dengan himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Prancis Gaston Julia, yang kemudian dinamai demikian. Pertanyaan pertama yang muncul setelah pengenalan visual dengan himpunan Mandelbrot dan Julia adalah "jika kedua fraktal dihasilkan oleh rumus yang sama, mengapa mereka begitu berbeda?" Pertama melihat gambar set Julia. Cukup aneh, tapi ada jenis yang berbeda Julia set. Saat menggambar fraktal menggunakan titik awal yang berbeda (untuk memulai proses iterasi), gambar yang berbeda dihasilkan. Ini hanya berlaku untuk set Julia.

Gambar 4. Julia set

Meskipun tidak dapat dilihat pada gambar, fraktal Mandelbrot sebenarnya adalah sekumpulan fraktal Julia yang terhubung bersama. Setiap titik (atau koordinat) dari himpunan Mandelbrot sesuai dengan fraktal Julia. Himpunan Julia dapat dibangkitkan menggunakan titik-titik ini sebagai nilai awal dalam persamaan Z=ZI+C. Tetapi ini tidak berarti bahwa jika Anda memilih titik pada fraktal Mandelbrot dan meningkatkannya, Anda bisa mendapatkan fraktal Julia. Kedua poin ini identik, tetapi hanya dalam arti matematis. Jika kita mengambil titik ini dan menghitungnya menurut rumus ini, kita bisa mendapatkan fraktal Julia yang sesuai dengan titik tertentu dari fraktal Mandelbrot.

Sifat fraktal bukanlah keinginan dan bukan buah dari fantasi kosong para matematikawan. Dengan mempelajarinya, kita belajar membedakan dan memprediksi fitur penting objek dan fenomena di sekitar kita, yang sebelumnya, jika tidak sepenuhnya diabaikan, hanya diperkirakan secara kasar, kualitatif, dengan mata. Misalnya, dengan membandingkan dimensi fraktal dari sinyal kompleks, ensefalogram, atau murmur jantung, dokter dapat mendiagnosis beberapa penyakit serius pada tahap awal, ketika pasien masih dapat ditolong. Juga, analis, membandingkan perilaku harga sebelumnya, pada awal pembentukan model, dapat memperkirakan perkembangan lebih lanjut, sehingga menghindari kesalahan besar dalam peramalan.

Ketidakteraturan fraktal

Sifat fraktal yang pertama adalah ketidakteraturannya. Jika fraktal dijelaskan oleh suatu fungsi, maka sifat ketidakteraturan dalam istilah matematika akan berarti bahwa fungsi seperti itu tidak terdiferensiasi, yaitu, tidak mulus di sembarang titik. Sebenarnya ini yang paling berhubungan langsung dengan pasar. Fluktuasi harga terkadang sangat fluktuatif dan berubah-ubah sehingga membingungkan banyak pedagang. Tugas kita adalah memilah semua kekacauan ini dan menertibkannya.

Apakah kamu tahu itu: sangat beragam peluang investasi, yang disediakan Alpari, tidak dapat dibanggakan oleh broker Forex lainnya.

Kesamaan diri dari fraktal

Properti kedua mengatakan bahwa fraktal adalah objek yang memiliki sifat kesamaan diri. Ini adalah model rekursif, yang setiap bagiannya berulang dalam perkembangannya pengembangan seluruh model secara keseluruhan dan direproduksi pada berbagai skala tanpa perubahan yang terlihat. Namun, perubahan masih terjadi, yang dapat sangat mempengaruhi persepsi kita terhadap objek tersebut.

Kesamaan diri berarti bahwa objek tidak memiliki skala karakteristik: jika memiliki skala seperti itu, Anda akan segera membedakan salinan fragmen yang diperbesar dari gambar aslinya. Objek yang serupa diri memiliki jumlah skala yang tak terbatas untuk semua selera. Inti dari kesamaan diri dapat dijelaskan dengan contoh berikut. Bayangkan Anda memiliki gambar garis geometris "nyata", "panjang tanpa lebar", seperti yang didefinisikan Euclid, dan Anda sedang bermain dengan seorang teman, mencoba menebak apakah dia menunjukkan kepada Anda gambar asli (asli) atau gambar dari setiap fragmen dari garis lurus. Tidak peduli seberapa keras Anda mencoba, Anda tidak akan pernah dapat membedakan yang asli dari salinan fragmen yang diperbesar, garis lurus diatur dengan cara yang sama di semua bagiannya, itu mirip dengan dirinya sendiri, tetapi properti yang luar biasa ini agak tersembunyi oleh struktur garis lurus itu sendiri yang tidak rumit, "kelurusannya" (Gbr. 7).

Jika Anda juga tidak dapat membedakan snapshot dari beberapa objek dari snapshot yang diperbesar dengan benar dari salah satu fragmennya, maka Anda memiliki objek self-similar. Semua fraktal yang memiliki setidaknya beberapa simetri adalah self-similar. Dan ini berarti bahwa beberapa fragmen strukturnya diulang secara ketat pada interval spasial tertentu. Jelas, benda-benda ini dapat berupa apa saja, dan penampilan serta bentuknya tetap tidak berubah terlepas dari skalanya. Contoh fraktal serupa diri:

Di bidang keuangan, konsep ini bukanlah abstraksi tanpa dasar, tetapi pernyataan ulang teoretis dari pepatah pasar praktis—yaitu, bahwa pergerakan saham atau mata uang secara dangkal serupa, terlepas dari kerangka waktu dan harga. Pengamat tidak bisa mengatakan penampilan grafik, apakah data mengacu pada perubahan mingguan, harian, atau per jam.

Tentu saja, tidak semua fraktal memiliki struktur yang berulang dan teratur seperti pameran indah museum seni fraktal masa depan, yang lahir dari imajinasi para ahli matematika dan seniman. Banyak fraktal yang ditemukan di alam (permukaan patahan batu dan logam, awan, kutipan mata uang, aliran turbulen, busa, gel, kontur partikel jelaga, dll.) tidak memiliki kesamaan geometris, tetapi dengan keras kepala mereproduksi sifat statistik keseluruhan di setiap fragmen. Fraktal dengan bentuk pengembangan non-linier dinamai oleh Mandelbrot sebagai multifraktal. Multifraktal adalah objek kuasi-fraktal dengan dimensi fraktal variabel. Secara alami, objek dan proses nyata jauh lebih baik dijelaskan oleh multifraktal.

Kesamaan diri statistik seperti itu, atau kesamaan diri rata-rata, membedakan fraktal di antara himpunan benda-benda alam.

Perhatikan contoh kesamaan diri pada pasar valuta asing:

Dalam gambar-gambar ini, kita melihat bahwa mereka serupa, sementara memiliki skala waktu yang berbeda, pada Gambar. dan skala 15 menit, pada Gambar. b skala harga mingguan. Seperti yang Anda lihat, kutipan ini tidak memiliki kemampuan untuk mengulangi satu sama lain dengan sempurna, namun, kami dapat menganggapnya serupa.

Bahkan fraktal yang paling sederhana - fraktal yang secara geometris serupa sendiri - memiliki sifat yang tidak biasa. Misalnya, kepingan salju von Koch memiliki keliling dengan panjang tak terhingga, meskipun ia membatasi area yang berhingga (Gbr. 9). Selain itu, sangat berduri sehingga tidak mungkin untuk menggambar garis singgungnya di titik mana pun dari kontur (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa kepingan salju von Koch tidak dapat dibedakan di mana pun, yaitu, tidak mulus di titik mana pun).

Mandelbrot menemukan bahwa hasil pengukuran pecahan tetap konstan untuk berbagai tingkat peningkatan ketidakteraturan objek. Dengan kata lain, ada keteraturan (kebenaran, keteraturan) untuk setiap ketidakteraturan. Ketika kita memperlakukan sesuatu sebagai acak, itu menunjukkan bahwa kita tidak memahami sifat keacakan ini. Dalam istilah pasar, ini berarti bahwa pembentukan formasi tipikal yang sama harus terjadi dalam kerangka waktu yang berbeda. Grafik satu menit akan menggambarkan formasi fraktal dengan cara yang sama seperti grafik bulanan. "Kesamaan diri" yang ditemukan pada grafik pasar komoditas dan keuangan ini menunjukkan semua tanda bahwa tindakan pasar lebih dekat dengan paradigma perilaku "alam" daripada perilaku ekonomi, analisis fundamental.

Dalam angka-angka ini, Anda dapat menemukan konfirmasi di atas. Di sebelah kiri adalah grafik dengan skala menit, di sebelah kanan adalah grafik mingguan. Pasangan mata uang USD/Yen (Gbr. 9 (a)) dan Euro/Dolar (Gbr. 9 (b)) ditampilkan di sini dengan skala harga yang berbeda. Meskipun pasangan mata uang JPY/USD memiliki volatilitas yang berbeda dalam kaitannya dengan EUR/USD, kita dapat mengamati struktur pergerakan harga yang sama.

dimensi fraktal

Sifat ketiga dari fraktal adalah bahwa objek fraktal memiliki dimensi selain Euclidean (dengan kata lain, dimensi topologi). Dimensi fraktal adalah ukuran kompleksitas kurva. Dengan menganalisis pergantian bagian dengan dimensi fraktal yang berbeda dan bagaimana sistem dipengaruhi oleh faktor eksternal dan internal, seseorang dapat belajar memprediksi perilaku sistem. Dan yang paling penting, untuk mendiagnosis dan memprediksi kondisi yang tidak stabil.

Dalam gudang matematika modern, Mandelbrot menemukan ukuran kuantitatif yang nyaman dari ketidaksempurnaan objek - liku-liku kontur, kerutan permukaan, rekah dan porositas volume. Itu diusulkan oleh dua ahli matematika - Felix Hausdorff (1868-1942) dan Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Sekarang dia layak untuk memakai nama-nama yang mulia pencipta mereka (dimensi Hausdorff-Besikovich) – dimensi Hausdorff-Besikovich. Apa itu dimensi dan mengapa kita membutuhkannya dalam kaitannya dengan analisis pasar keuangan? Sebelumnya, kami hanya mengetahui satu jenis dimensi - topologi (Gbr. 11). Kata dimensi itu sendiri menunjukkan berapa banyak dimensi yang dimiliki suatu benda. Untuk segmen, garis lurus, itu sama dengan 1, yaitu. kita hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang segmen atau garis lurus. Untuk sebuah bidang, dimensinya adalah 2, karena kita memiliki dimensi dua dimensi, panjang dan lebar. Untuk ruang atau benda padat, dimensinya adalah 3 : panjang, lebar, dan tinggi.

Mari kita ambil contoh game komputer. Jika game dibuat dalam grafik 3D, maka itu spasial dan banyak, jika dalam grafik 2D, grafik ditampilkan pada bidang (Gbr. 10).

Yang paling tidak biasa (akan lebih tepat untuk mengatakan - tidak biasa) dalam dimensi Hausdorff-Besikovich adalah bahwa ia tidak hanya dapat mengambil bilangan bulat, sebagai dimensi topologi, tetapi juga nilai pecahan. Sama dengan satu untuk garis lurus (tak berhingga, setengah tak berhingga, atau untuk segmen berhingga), dimensi Hausdorff-Besicovitch meningkat seiring dengan meningkatnya tortuositas, sedangkan dimensi topologi dengan keras kepala mengabaikan semua perubahan yang terjadi pada garis.

Dimensi mencirikan komplikasi suatu himpunan (misalnya, garis lurus). Jika itu adalah kurva dengan dimensi topologi sama dengan 1 (garis lurus), maka kurva dapat diperumit dengan jumlah tikungan dan cabang yang tak terbatas sedemikian rupa sehingga dimensi fraktalnya mendekati dua, yaitu. akan mengisi hampir seluruh bidang (Gbr. 12)

Dengan meningkatkan nilainya, dimensi Hausdorff-Besikovich tidak mengubahnya secara tiba-tiba, karena dimensi topologi akan melakukan "pada tempatnya", transisi dari 1 segera ke 2. Dimensi Hausdorff-Besikovich - dan ini pada pandangan pertama mungkin tampak tidak biasa dan mengejutkan, mengambil nilai pecahan : sama dengan satu untuk garis lurus, menjadi 1,15 untuk garis yang sedikit berliku, 1,2 untuk garis yang lebih berliku-liku, 1,5 untuk garis yang sangat berliku-liku, dan seterusnya.

Untuk menekankan kemampuan dimensi Hausdorff-Besikovich untuk mengambil nilai pecahan, non-bilangan bulat, Mandelbrot muncul dengan neologismenya sendiri, menyebutnya dimensi fraktal. Jadi, dimensi fraktal (tidak hanya Hausdorff-Besikovich, tetapi yang lain) adalah dimensi yang tidak harus mengambil nilai bilangan bulat, tetapi juga pecahan.

Untuk fraktal geometris linier, dimensi mencirikan kesamaan diri mereka. Pertimbangkan Gambar. 17(A), garis terdiri dari N=4 segmen, yang masing-masing memiliki panjang r = 1/3. Akibatnya, kami mendapatkan rasio:

D = logN/log(1/r)

Situasinya sangat berbeda ketika kita berbicara tentang multifraktal (non-linear). Di sini dimensi kehilangan maknanya sebagai definisi kesamaan suatu objek dan didefinisikan melalui berbagai generalisasi, apalagi dimensi unik objek serupa diri.

Di pasar valuta asing, dimensi dapat mencirikan volatilitas kutipan harga. Setiap pasangan mata uang memiliki perilakunya sendiri dalam hal harga. Untuk pasangan Pound/Dolar (Gbr. 13(a)) lebih tenang daripada untuk Euro/Dolar (Gbr. 13(b)). Hal yang paling menarik adalah bahwa mata uang ini bergerak dengan struktur yang sama ke tingkat harga, namun mereka memiliki dimensi yang berbeda, yang dapat mempengaruhi perdagangan intraday dan perubahan model yang menghindari tampilan yang tidak berpengalaman.

pada gambar. Gambar 14 menunjukkan dimensi dalam kaitannya dengan model matematika, sehingga Anda dapat lebih memahami arti istilah ini. Perhatikan bahwa ketiga gambar menunjukkan siklus yang sama. pada gambar. dan dimensinya adalah 1,2, pada Gambar. b, dimensinya adalah 1,5, dan pada Gambar. di 1.9. Dapat dilihat bahwa dengan peningkatan dimensi, persepsi objek menjadi lebih rumit, amplitudo osilasi meningkat.

Di pasar keuangan, dimensi tercermin tidak hanya sebagai volatilitas harga, tetapi juga sebagai detail dari siklus (gelombang). Berkat itu, kita akan dapat membedakan apakah suatu gelombang termasuk dalam skala waktu tertentu. pada gambar. 15 menunjukkan pasangan Euro/Dolar pada skala harga harian. Perhatikan, Anda dapat dengan jelas melihat siklus yang terbentuk dan awal dari siklus baru yang lebih besar. Beralih ke skala per jam dan memperbesar salah satu siklus, kita dapat melihat siklus yang lebih kecil, dan sebagian dari siklus besar terletak di D1 (Gbr. 16). Perincian loop, mis. dimensi mereka memungkinkan kita untuk menentukan dari kondisi awal bagaimana situasi dapat berkembang di masa depan. Kita dapat mengatakan bahwa: dimensi fraktal mencerminkan properti skala invarians dari himpunan yang dipertimbangkan.

Konsep invarians diperkenalkan oleh Mandelbrot dari kata "sealant" - terukur, mis. ketika suatu objek memiliki sifat invarian, ia memiliki skala tampilan yang berbeda.

pada gambar. 16 lingkaran A menyoroti siklus mini (gelombang terperinci), lingkaran B - gelombang siklus yang lebih besar. Justru karena dimensi itulah kita tidak selalu dapat menentukan SEMUA siklus pada skala harga yang sama.

Kami akan berbicara tentang masalah menentukan dan mengembangkan properti siklus non-periodik di bagian "Siklus di pasar valuta asing", sekarang hal utama bagi kami adalah memahami bagaimana dan di mana dimensi memanifestasikan dirinya di pasar keuangan.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk model klasik. Dan ini berarti bahwa kita berurusan dengan hubungan non-linier dan sifat data yang tidak deterministik (acak). Nonlinier dalam arti ideologis berarti multivarians jalur pembangunan, ketersediaan pilihan dari jalur alternatif dan kecepatan evolusi tertentu, serta ireversibilitas. proses evolusi. Non-linearitas dalam arti matematis berarti jenis tertentu persamaan matematika (nonlinier persamaan diferensial) berisi nilai yang diinginkan dalam pangkat lebih besar dari satu atau koefisien tergantung pada sifat-sifat medium. Contoh sederhana dari sistem dinamis non-linier:

Johnny tumbuh 2 inci setahun. Sistem ini menjelaskan bagaimana tinggi badan Johnny berubah dari waktu ke waktu. Misal x(n) adalah tinggi badan Johnny tahun ini. Biarkan pertumbuhannya di tahun depan ditulis sebagai x (n + 1). Kemudian kita dapat menulis sistem dinamik dalam bentuk persamaan:

x(n+1) = x(n) + 2.

Lihat? Bukankah ini matematika sederhana? Jika kita memasukkan tinggi Johnny saat ini x (n) = 38 inci, maka dengan sisi kanan Dalam persamaan kita mendapatkan tinggi badan Johnny tahun depan, x (n+1) = 40 inci:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Perpindahan dari kanan ke kiri dalam suatu persamaan disebut iterasi (pengulangan). Kita dapat mengulangi persamaan lagi dengan memasukkan tinggi baru Johnny 40 inci di sisi yang benar dari persamaan (yaitu x(n) = 40) dan kita mendapatkan x(n+1) = 42. Jika kita mengulangi (mengulangi) persamaan 3 kali, kita mendapatkan tinggi badan Johnny dalam 3 tahun, yaitu 44 inci, dimulai dengan tinggi 38 inci.

Ini adalah sistem dinamis deterministik. Jika kita ingin menjadikannya non-deterministik (stochastic), kita bisa membuat model seperti ini: Johnny tumbuh 2 inci setahun, kurang lebih, dan tulis persamaannya sebagai:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

di mana e adalah kesalahan kecil (relatif kecil terhadap 2), mewakili beberapa distribusi probabilitas.

Mari kembali ke persamaan deterministik awal. Persamaan awal, x(n+1) = x(n) + 2, adalah linier. Linear berarti Anda menambahkan variabel atau konstanta, atau mengalikan variabel dengan konstanta. Misalnya persamaan

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

adalah linier. Tetapi jika Anda mengalikan variabel, atau menaikkannya ke pangkat yang lebih besar dari satu, persamaan (sistem) menjadi non-linier. Misalnya persamaan

x(n+1) = x(n) 2

tidak linier karena x(n) kuadrat. persamaan

tidak linier karena dua variabel, x dan y, dikalikan.

Ketika kami menerapkan model klasik (misalnya, tren, regresi, dll.), kami mengatakan bahwa masa depan suatu objek ditentukan secara unik, mis. sepenuhnya tergantung pada kondisi awal dan dapat menerima ramalan yang jelas. Anda dapat secara mandiri melakukan salah satu model ini di Excel. Contoh model klasik dapat direpresentasikan sebagai tren yang terus menurun atau meningkat. Dan kita dapat memprediksi perilakunya, mengetahui masa lalu objek (data awal untuk pemodelan). Dan fraktal digunakan dalam kasus ketika objek memiliki beberapa opsi untuk pengembangan dan keadaan sistem ditentukan oleh posisi di mana ia berada saat ini. Artinya, kami mencoba untuk mensimulasikan perkembangan yang kacau. Sistem ini adalah pasar valuta asing antar bank.

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana seseorang dapat memperoleh dari garis lurus apa yang kita sebut fraktal, dengan sifat-sifatnya yang melekat.

pada gambar. 17(A) menunjukkan kurva Koch. Ambil segmen garis, panjangnya = 1, mis. masih merupakan dimensi topologi. Sekarang kita akan membaginya menjadi tiga bagian (masing-masing 1/3 dari panjangnya), dan menghapus sepertiga tengah. Tetapi kami akan mengganti sepertiga tengah dengan dua segmen (masing-masing 1/3 dari panjangnya), yang dapat direpresentasikan sebagai dua sisi segitiga sama sisi. Ini adalah tahap dua (b) dari desain yang digambarkan pada gambar. 17(A). Pada titik ini kita memiliki 4 bagian yang lebih kecil, masing-masing 1/3 panjangnya, jadi panjang keseluruhannya adalah 4(1/3) = 4/3. Kami kemudian mengulangi proses ini untuk masing-masing dari 4 lobus garis yang lebih kecil. Ini adalah tahap ketiga (c). Ini akan memberi kita 16 segmen garis yang lebih kecil, masing-masing 1/9 panjangnya. Jadi seluruh panjangnya sekarang 16/9 atau (4/3) 2 . Hasilnya, kami mendapatkan dimensi pecahan. Tetapi tidak hanya ini yang membedakan struktur yang dihasilkan dari garis lurus. Itu telah menjadi serupa diri dan tidak mungkin untuk menggambar garis singgung di salah satu titiknya (Gbr. 17 (B)).

Isi

Penemuan paling cerdik dalam sains dapat mengubah secara radikal kehidupan manusia. Vaksin yang ditemukan dapat menyelamatkan jutaan orang, penciptaan senjata, sebaliknya, merenggut nyawa ini. Baru-baru ini (dalam skala evolusi manusia) kita telah belajar untuk "menjinakkan" listrik - dan sekarang kita tidak dapat membayangkan hidup tanpa semua perangkat nyaman yang menggunakan listrik ini. Tetapi ada juga penemuan-penemuan yang dianggap penting oleh segelintir orang, meskipun mereka juga sangat mempengaruhi kehidupan kita.

Salah satu penemuan "tak terlihat" ini adalah fraktal. Anda mungkin pernah mendengar kata yang menarik ini, tetapi tahukah Anda apa artinya dan berapa banyak hal menarik yang tersembunyi dalam istilah ini?

Setiap orang memiliki rasa ingin tahu yang alami, keinginan untuk belajar tentang dunia di sekitarnya. Dan dalam aspirasi ini, seseorang mencoba untuk mematuhi logika dalam penilaian. Menganalisis proses yang terjadi di sekitarnya, dia mencoba menemukan logika dari apa yang terjadi dan menyimpulkan beberapa keteraturan. Pikiran terbesar di planet ini sibuk dengan tugas ini. Secara kasar, para ilmuwan sedang mencari pola di mana seharusnya tidak. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan, seseorang dapat menemukan hubungan antara peristiwa. Dan koneksi ini adalah fraktal.

Putri kecil kami, empat setengah tahun, sekarang berada di usia yang luar biasa ketika sejumlah pertanyaan "Mengapa?" berkali-kali lebih besar daripada jumlah jawaban yang orang dewasa punya waktu untuk diberikan. Belum lama ini, melihat cabang yang diangkat dari tanah, putri saya tiba-tiba menyadari bahwa cabang ini, dengan simpul dan cabang, sendiri tampak seperti pohon. Dan, tentu saja, pertanyaan “Mengapa?” ​​diikuti, di mana orang tua harus mencari penjelasan sederhana yang dapat dipahami anak.

Kesamaan cabang tunggal dengan seluruh pohon yang ditemukan oleh seorang anak adalah pengamatan yang sangat akurat, yang sekali lagi membuktikan prinsip kesamaan diri rekursif di alam. Sangat banyak bentuk organik dan anorganik di alam yang terbentuk dengan cara yang sama. Awan, kerang laut, "rumah" siput, kulit kayu dan mahkota pohon, sistem sirkulasi dan seterusnya - bentuk acak dari semua objek ini dapat dijelaskan dengan algoritma fraktal.

Benoit Mandelbrot: bapak geometri fraktal

Kata "fraktal" muncul berkat ilmuwan brilian Benoît B. Mandelbrot.

Dia menciptakan istilah itu sendiri pada 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti "rusak" atau "hancur." Apa itu? Saat ini, kata "fraktal" paling sering digunakan untuk mengartikan representasi grafis dari struktur yang mirip dengan dirinya sendiri dalam skala yang lebih besar.

Dasar matematika untuk munculnya teori fraktal diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Pada awal karir ilmiahnya, Benoit bekerja di pusat penelitian IBM. Pada saat itu, karyawan pusat sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Dalam perjalanan penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul dari gangguan kebisingan. Sebelum Benois berdiri sebuah kompleks dan sangat tugas penting- memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan di sirkuit elektronik ketika metode statistik tidak efektif.

Melihat melalui hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot menarik perhatian pada satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala yang berbeda tampak sama. Pola yang sama diamati terlepas dari apakah itu plot kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Perlu mengubah skala grafik, dan gambar itu diulang setiap saat.

Pada Hidup Benoit Mandelbrot telah berulang kali mengatakan bahwa dia tidak berurusan dengan rumus, tetapi hanya bermain dengan gambar. Pria ini berpikir dengan sangat kiasan, dan apapun masalah aljabar diterjemahkan ke dalam bidang geometri, di mana, menurut dia, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan bahwa itu adalah seorang pria dengan imajinasi spasial yang kaya yang menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, realisasi esensi fraktal datang tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan arti pola pusaran yang aneh.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi memiliki kesamaan pada skala apa pun. Bangun gambar ini dengan derajat tinggi perincian manual sebelumnya tidak mungkin, itu membutuhkan banyak perhitungan. Sebagai contoh, matematikawan Prancis Pierre Joseph Louis Fatou menggambarkan himpunan ini lebih dari tujuh puluh tahun sebelum penemuan Benoit Mandelbrot. Jika kita berbicara tentang prinsip-prinsip kesamaan diri, maka mereka disebutkan dalam karya Leibniz dan Georg Cantor.

Salah satu gambar pertama dari fraktal adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir dari penelitian Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (selalu bertopeng - cedera Perang Dunia I)

Matematikawan Prancis ini bertanya-tanya seperti apa bentuk himpunan jika dibangun dari rumus sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Jika dijelaskan "di jari", ini berarti bahwa untuk angka tertentu kami menemukan nilai baru menggunakan rumus, setelah itu kami menggantinya lagi ke dalam rumus dan mendapatkan nilai lain. Hasilnya adalah urutan angka yang besar.

Untuk mendapatkan gambaran lengkap dari set seperti itu, Anda perlu melakukan banyak perhitungan - ratusan, ribuan, jutaan. Itu tidak mungkin untuk melakukannya secara manual. Tetapi ketika perangkat komputasi yang kuat muncul di tangan ahli matematika, mereka dapat melihat formula dan ekspresi yang telah lama diminati. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk menghitung fraktal klasik. Setelah memproses urutan yang terdiri dari sejumlah besar nilai, Benoit mentransfer hasilnya ke grafik. Inilah yang dia dapatkan.

Selanjutnya, gambar ini diwarnai (misalnya, salah satu cara untuk mewarnai adalah dengan jumlah iterasi) dan menjadi salah satu gambar paling populer yang pernah dibuat oleh manusia.

Seperti pepatah kuno yang dikaitkan dengan Heraclitus dari Efesus mengatakan, "Anda tidak dapat memasuki sungai yang sama dua kali." Ini adalah yang paling cocok untuk menafsirkan geometri fraktal. Tidak peduli seberapa detail kita memeriksa gambar fraktal, kita akan selalu melihat pola yang serupa.

Mereka yang ingin melihat bagaimana gambar ruang Mandelbrot akan terlihat ketika diperbesar berkali-kali dapat melakukannya dengan mengunggah GIF animasi.

Lauren Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal segera menemukan aplikasi praktis. Karena erat kaitannya dengan visualisasi gambar serupa diri, tidak mengherankan bahwa yang pertama mengadopsi algoritma dan prinsip untuk membangun bentuk yang tidak biasa adalah seniman.

Pendiri masa depan studio Pixar yang legendaris, Loren C. Carpenter, mulai bekerja di Boeing Computer Services pada tahun 1967, yang merupakan salah satu divisi dari perusahaan terkenal yang bergerak dalam pengembangan pesawat baru.

Pada tahun 1977, ia membuat presentasi dengan prototipe model terbang. Lauren bertanggung jawab untuk mengembangkan gambar pesawat yang sedang dirancang. Dia seharusnya membuat gambar model baru, menunjukkan pesawat masa depan dengan pihak yang berbeda. Pada titik tertentu, pendiri masa depan Pixar Animation Studios datang dengan ide kreatif untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, setiap anak sekolah dapat memecahkan masalah seperti itu, tetapi pada akhir tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat mengatasi perhitungan yang begitu rumit - tidak ada editor grafis, belum lagi aplikasi untuk grafik tiga dimensi. Pada tahun 1978, Lauren secara tidak sengaja melihat buku Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension di sebuah toko. Yang menarik perhatiannya dalam buku ini adalah bahwa Benoist memberikan banyak contoh bentuk fraktal di kehidupan nyata dan membuktikan bahwa mereka dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika.

Analogi ini dipilih oleh ahli matematika bukan secara kebetulan. Faktanya adalah begitu dia mempublikasikan penelitiannya, dia harus menghadapi banyak kritik. Hal utama yang dicela oleh rekan-rekannya adalah ketidakbergunaan teori yang dikembangkan. "Ya," kata mereka, "ini adalah gambar yang indah, tetapi tidak lebih. nilai praktis teori fraktal tidak memiliki. Ada juga orang-orang yang umumnya percaya bahwa pola fraktal hanyalah produk sampingan dari pekerjaan "mesin iblis", yang pada akhir tahun tujuh puluhan tampaknya terlalu rumit dan belum dijelajahi untuk dipercaya sepenuhnya. Mandelbrot mencoba menemukan aplikasi yang jelas dari teori fraktal, tetapi, pada umumnya, dia tidak perlu melakukan ini. Para pengikut Benoit Mandelbrot selama 25 tahun ke depan membuktikan manfaat besar dari "keingintahuan matematika" seperti itu, dan Lauren Carpenter adalah salah satu orang pertama yang mempraktikkan metode fraktal.

Setelah mempelajari buku itu, animator masa depan dengan serius mempelajari prinsip-prinsip geometri fraktal dan mulai mencari cara untuk mengimplementasikannya dalam grafik komputer. Hanya dalam tiga hari kerja, Lauren mampu membuat gambar yang realistis. sistem gunung di komputer Anda. Dengan kata lain, dengan bantuan formula, ia melukis pemandangan gunung yang benar-benar dapat dikenali.

Prinsip yang digunakan Lauren untuk mencapai tujuannya sangat sederhana. Itu terdiri dari membagi sosok geometris yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan ini, pada gilirannya, dibagi menjadi angka-angka serupa dengan ukuran yang lebih kecil.

Menggunakan segitiga yang lebih besar, Carpenter memecahnya menjadi empat yang lebih kecil dan kemudian mengulangi prosedur ini berulang-ulang sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia berhasil menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar. Segera setelah diketahui tentang pekerjaan yang dilakukan, penggemar di seluruh dunia mengambil ide ini dan mulai menggunakan algoritme fraktal untuk mensimulasikan bentuk alami yang realistis.

Salah satu rendering 3D pertama yang menggunakan algoritme fraktal

Hanya beberapa tahun kemudian, Lauren Carpenter mampu menerapkan prestasinya dalam proyek yang jauh lebih besar. Animator mendasarkannya pada demo dua menit, Vol Libre, yang ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan semua orang yang melihatnya, dan Lauren menerima undangan dari Lucasfilm.

Animasi tersebut dirender pada komputer VAX-11/780 dari Digital Equipment Corporation pada kecepatan clock lima megahertz, dan setiap frame membutuhkan waktu sekitar setengah jam untuk menggambar.

Bekerja untuk Lucasfilm Limited, animator menciptakan lanskap 3D yang sama untuk fitur kedua dalam kisah Star Trek. Dalam The Wrath of Khan, Carpenter mampu menciptakan seluruh planet menggunakan prinsip pemodelan permukaan fraktal yang sama.

Saat ini, semua aplikasi populer untuk membuat lanskap 3D menggunakan prinsip yang sama untuk menghasilkan objek alami. Terragen, Bryce, Vue, dan editor 3D lainnya mengandalkan algoritme pemodelan permukaan dan tekstur fraktal.

Antena fraktal: lebih sedikit lebih baik, tetapi lebih baik

Selama setengah abad terakhir, kehidupan telah berubah dengan cepat. Sebagian besar dari kita menerima kemajuan teknologi modern begitu saja. Segala sesuatu yang membuat hidup lebih nyaman, Anda terbiasa dengan sangat cepat. Jarang ada yang bertanya, “Dari mana asalnya?” dan "Bagaimana cara kerjanya?". Oven microwave menghangatkan sarapan - yah, bagus, smartphone memungkinkan Anda berbicara dengan orang lain - bagus. Ini tampak seperti kemungkinan yang jelas bagi kami.

Tetapi hidup bisa sangat berbeda jika seseorang tidak mencari penjelasan atas peristiwa yang terjadi. Ambil, misalnya, telepon seluler. Ingat antena yang dapat ditarik pada model pertama? Mereka mengganggu, menambah ukuran perangkat, pada akhirnya, sering pecah. Kami percaya bahwa mereka telah tenggelam selamanya, dan sebagian karena ini ... fraktal.

Gambar fraktal mempesona dengan polanya. Mereka pasti menyerupai gambar benda luar angkasa - nebula, gugus galaksi, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat wajar ketika Mandelbrot menyuarakan teorinya tentang fraktal, penelitiannya membangkitkan minat yang meningkat di antara mereka yang mempelajari astronomi. Seorang amatir bernama Nathan Cohen, setelah menghadiri kuliah oleh Benoit Mandelbrot di Budapest, terinspirasi oleh gagasan penerapan praktis dari pengetahuan yang diperoleh. Benar, dia melakukannya secara intuitif, dan kebetulan memainkan peran penting dalam penemuannya. Sebagai seorang amatir radio, Nathan berusaha membuat antena dengan sensitivitas setinggi mungkin.

Satu-satunya cara untuk meningkatkan parameter antena, yang dikenal pada waktu itu, adalah dengan meningkatkan dimensi geometrisnya. Namun, pemilik apartemen Nathan di pusat kota Boston dengan tegas menentang pemasangan perangkat atap yang besar. Kemudian Nathan mulai bereksperimen dengan berbagai bentuk antena, berusaha mendapatkan hasil yang maksimal dengan ukuran yang minimal. Terpesona dengan gagasan bentuk fraktal, Cohen, seperti yang mereka katakan, secara acak membuat salah satu fraktal paling terkenal dari kawat - "kepingan salju Koch". Matematikawan Swedia Helge von Koch menemukan kurva ini pada tahun 1904. Itu diperoleh dengan membagi segmen menjadi tiga bagian dan mengganti segmen tengah dengan segitiga sama sisi tanpa sisi yang bertepatan dengan segmen ini. Definisinya agak sulit dipahami, tetapi gambarnya jelas dan sederhana.

Ada juga varietas lain dari "kurva Koch", tetapi perkiraan bentuk kurvanya tetap sama

Ketika Nathan menghubungkan antena ke penerima radio, dia sangat terkejut - sensitivitasnya meningkat secara dramatis. Setelah serangkaian percobaan, calon profesor di Universitas Boston menyadari bahwa antena yang dibuat menurut pola fraktal memiliki efisiensi tinggi dan mencakup rentang frekuensi yang jauh lebih luas dibandingkan dengan solusi klasik. Selain itu, bentuk antena dalam bentuk kurva fraktal dapat secara signifikan mengurangi dimensi geometris. Nathan Cohen bahkan mengembangkan teorema yang membuktikan bahwa untuk membuat antena broadband, cukup dengan memberikan bentuk kurva fraktal yang serupa.

Penulis mematenkan penemuannya dan mendirikan sebuah perusahaan untuk pengembangan dan desain antena fraktal Sistem Antena Fraktal, dengan tepat percaya bahwa di masa depan, berkat penemuannya, ponsel akan dapat menyingkirkan antena besar dan menjadi lebih kompak.

Pada dasarnya, itulah yang terjadi. Benar, hingga hari ini, Nathan berada dalam tuntutan hukum dengan perusahaan besar yang secara ilegal menggunakan penemuannya untuk memproduksi perangkat komunikasi kompak. Beberapa produsen terkenal perangkat seluler, seperti Motorola, telah mencapai kesepakatan damai dengan penemu antena fraktal.

Dimensi fraktal: pikiran tidak mengerti

Benoit meminjam pertanyaan ini dari ilmuwan Amerika terkenal Edward Kasner.

Yang terakhir, seperti banyak matematikawan terkenal lainnya, sangat suka berkomunikasi dengan anak-anak, mengajukan pertanyaan dan mendapatkan jawaban yang tidak terduga. Terkadang hal ini membawa hasil yang mengejutkan. Jadi, misalnya, keponakan Edward Kasner yang berusia sembilan tahun datang dengan kata "googol" yang sekarang terkenal, yang menunjukkan unit dengan seratus nol. Tapi kembali ke fraktal. Matematikawan Amerika itu suka bertanya berapa panjang garis pantai AS. Setelah mendengarkan pendapat lawan bicaranya, Edward sendiri mengucapkan jawaban yang benar. Jika Anda mengukur panjang pada peta dengan segmen yang rusak, maka hasilnya tidak akan akurat, karena garis pantai memiliki banyak penyimpangan. Dan apa yang terjadi jika Anda mengukur seakurat mungkin? Anda harus memperhitungkan panjang setiap ketidakrataan - Anda perlu mengukur setiap tanjung, setiap teluk, batu, panjang langkan berbatu, batu di atasnya, sebutir pasir, atom, dan sebagainya. Karena jumlah ketidakteraturan cenderung tak terhingga, panjang garis pantai yang diukur akan meningkat hingga tak terhingga dengan setiap ketidakteraturan baru.

Semakin kecil ukuran saat mengukur, semakin besar panjang yang diukur

Menariknya, mengikuti petunjuk Edward, anak-anak jauh lebih cepat daripada orang dewasa dalam mengatakan jawaban yang benar, sementara yang terakhir mengalami kesulitan menerima jawaban yang luar biasa seperti itu.

Menggunakan masalah ini sebagai contoh, Mandelbrot menyarankan menggunakan pendekatan baru untuk pengukuran. Karena garis pantai dekat dengan kurva fraktal, itu berarti bahwa parameter karakterisasi, yang disebut dimensi fraktal, dapat diterapkan padanya.

Apa dimensi yang biasa jelas bagi siapa saja. Jika dimensinya sama dengan satu, kita mendapatkan garis lurus, jika dua - sosok datar, tiga adalah volumenya. Namun, pemahaman dimensi dalam matematika ini tidak bekerja dengan kurva fraktal, di mana parameter ini memiliki nilai pecahan. Dimensi fraktal dalam matematika dapat dianggap sebagai "kekasaran". Semakin tinggi kekasaran kurva, semakin besar dimensi fraktalnya. Kurva yang menurut Mandelbrot memiliki dimensi fraktal lebih tinggi dari dimensi topologinya, memiliki perkiraan panjang yang tidak bergantung pada jumlah dimensi.

Saat ini, para ilmuwan menemukan semakin banyak area untuk penerapan teori fraktal. Dengan bantuan fraktal, Anda dapat menganalisis fluktuasi harga saham, menjelajahi semua jenis proses alam, seperti fluktuasi jumlah spesies, atau mensimulasikan dinamika arus. Algoritma fraktal dapat digunakan untuk kompresi data, misalnya untuk kompresi gambar. Dan omong-omong, untuk mendapatkan fraktal yang indah di layar komputer Anda, Anda tidak harus memiliki gelar doktor.

Fraktal di browser

Mungkin salah satu cara termudah untuk mendapatkan pola fraktal adalah dengan menggunakan editor vektor online dari programmer muda berbakat Toby Schachman. Toolkit editor grafis sederhana ini didasarkan pada prinsip kesamaan diri yang sama.

Hanya ada dua bentuk sederhana yang Anda inginkan - persegi dan lingkaran. Anda dapat menambahkannya ke kanvas, skala (untuk skala di sepanjang salah satu sumbu, tahan tombol Shift) dan putar. Tumpang tindih pada prinsip operasi penjumlahan Boolean, elemen paling sederhana ini membentuk bentuk baru yang tidak terlalu sepele. Selanjutnya, bentuk-bentuk baru ini dapat ditambahkan ke proyek, dan program akan mengulangi pembuatan gambar-gambar ini tanpa batas waktu. Pada setiap tahap pengerjaan fraktal, Anda dapat kembali ke setiap komponen bentuk kompleks dan mengedit posisi dan geometrinya. Aktivitas yang menarik, terutama jika Anda menganggap bahwa satu-satunya alat yang Anda butuhkan untuk berkreasi adalah browser. Jika Anda tidak memahami prinsip bekerja dengan editor vektor rekursif ini, kami menyarankan Anda untuk menonton video di situs web resmi proyek, yang menunjukkan secara rinci seluruh proses pembuatan fraktal.

XaoS: fraktal untuk setiap selera

Banyak editor grafis memiliki alat bawaan untuk membuat pola fraktal. Namun, alat ini biasanya sekunder dan tidak memungkinkan Anda untuk menyempurnakan pola fraktal yang dihasilkan. Dalam kasus di mana perlu untuk membangun fraktal yang akurat secara matematis, editor lintas platform XaoS akan datang untuk menyelamatkan. Program ini memungkinkan tidak hanya untuk membangun citra diri yang serupa, tetapi juga untuk melakukan berbagai manipulasi dengannya. Misalnya, dalam waktu nyata, Anda dapat "berjalan" melalui fraktal dengan mengubah skalanya. Gerakan animasi di sepanjang fraktal dapat disimpan sebagai file XAF dan kemudian diputar ulang dalam program itu sendiri.

XaoS dapat memuat serangkaian parameter acak, serta menggunakan berbagai filter pasca-pemrosesan gambar - menambahkan efek gerakan kabur, menghaluskan transisi tajam antara titik fraktal, mensimulasikan gambar 3D, dan sebagainya.

Zoomer Fraktal: generator fraktal kompak

Dibandingkan dengan generator gambar fraktal lainnya, ia memiliki beberapa keunggulan. Pertama, ukurannya cukup kecil dan tidak memerlukan instalasi. Kedua, mengimplementasikan kemampuan untuk menentukan palet warna gambar. Anda dapat memilih warna dalam model warna RGB, CMYK, HVS dan HSL.

Juga sangat nyaman untuk menggunakan opsi pemilihan warna secara acak dan fungsi membalikkan semua warna dalam gambar. Untuk menyesuaikan warna, ada fungsi pemilihan warna siklik - ketika mode yang sesuai dihidupkan, program menjiwai gambar, mengubah warna secara siklis di atasnya.

Zoomer Fraktal dapat memvisualisasikan 85 fungsi fraktal yang berbeda, dan rumus ditampilkan dengan jelas di menu program. Ada filter untuk gambar pasca-pemrosesan dalam program, meskipun dalam jumlah kecil. Setiap filter yang ditetapkan dapat dibatalkan kapan saja.

Mandelbulb3D: editor fraktal 3D

Ketika istilah "fraktal" digunakan, itu paling sering berarti gambar dua dimensi datar. Namun, geometri fraktal melampaui dimensi 2D. Di alam, orang dapat menemukan kedua contoh bentuk fraktal datar, katakanlah, geometri petir, dan gambar tiga dimensi tiga dimensi. Permukaan fraktal dapat berbentuk 3D, dan salah satu ilustrasi fraktal 3D yang sangat ilustratif di Kehidupan sehari-hari- kepala kubis. Mungkin cara terbaik untuk melihat fraktal adalah di Romanesco, hibrida kembang kol dan brokoli.

Dan fraktal ini bisa dimakan

Program Mandelbulb3D dapat membuat objek tiga dimensi dengan bentuk yang serupa. Untuk mendapatkan permukaan 3D menggunakan algoritme fraktal, penulis aplikasi ini, Daniel White dan Paul Nylander, mengonversi himpunan Mandelbrot ke koordinat bola. Program Mandelbulb3D yang mereka buat adalah editor tiga dimensi nyata yang memodelkan permukaan fraktal dari berbagai bentuk. Karena kita sering mengamati pola fraktal di alam, objek tiga dimensi fraktal yang dibuat secara artifisial tampak sangat realistis dan bahkan "hidup".

Ini mungkin terlihat seperti tanaman, mungkin menyerupai binatang aneh, planet, atau sesuatu yang lain. Efek ini ditingkatkan dengan algoritme rendering canggih yang memungkinkan untuk memperoleh refleksi realistis, menghitung transparansi dan bayangan, mensimulasikan efek kedalaman bidang, dan sebagainya. Mandelbulb3D memiliki banyak sekali pengaturan dan opsi rendering. Anda dapat mengontrol nuansa sumber cahaya, memilih latar belakang dan tingkat detail objek yang dimodelkan.

Editor fraktal Incendia mendukung penghalusan gambar ganda, berisi perpustakaan lima puluh fraktal tiga dimensi yang berbeda dan memiliki modul terpisah untuk mengedit bentuk dasar.

Aplikasi ini menggunakan skrip fraktal, yang dengannya Anda dapat mendeskripsikan tipe baru struktur fraktal secara mandiri. Incendia memiliki editor tekstur dan material, dan mesin rendering yang memungkinkan Anda menggunakan efek kabut volumetrik dan berbagai shader. Program ini memiliki opsi untuk menyimpan buffer selama rendering jangka panjang, pembuatan animasi didukung.

Incendia memungkinkan Anda untuk mengekspor model fraktal ke format grafik 3D populer - OBJ dan STL. Incendia menyertakan utilitas Geometrica kecil - alat khusus untuk menyiapkan ekspor permukaan fraktal ke model tiga dimensi. Dengan menggunakan utilitas ini, Anda dapat menentukan resolusi permukaan 3D, menentukan jumlah iterasi fraktal. Model yang diekspor dapat digunakan dalam proyek 3D saat bekerja dengannya editor 3D, seperti Blender, 3ds max dan lain-lain.

PADA baru-baru ini pekerjaan di proyek Incendia agak melambat. Saat ini, penulis sedang mencari sponsor yang akan membantunya mengembangkan program.

Jika Anda tidak memiliki cukup imajinasi untuk menggambar fraktal tiga dimensi yang indah dalam program ini, itu tidak masalah. Gunakan pustaka parameter, yang terletak di folder INCENDIA_EX\parameters. Dengan bantuan file PAR, Anda dapat dengan cepat menemukan bentuk fraktal yang paling tidak biasa, termasuk yang animasi.

Aural: bagaimana fraktal bernyanyi

Kami biasanya tidak membicarakan proyek yang baru saja dikerjakan, tetapi dalam hal ini kami harus membuat pengecualian, ini adalah aplikasi yang sangat tidak biasa. Sebuah proyek bernama Aural datang dengan orang yang sama dengan Incendia. Benar, kali ini program tidak memvisualisasikan himpunan fraktal, tetapi menyuarakannya, mengubahnya menjadi musik elektronik. Idenya sangat menarik, terutama mengingat sifat fraktal yang tidak biasa. Aural adalah editor audio yang menghasilkan melodi menggunakan algoritme fraktal, yang sebenarnya adalah audio synthesizer-sequencer.

Urutan suara yang diberikan oleh program ini tidak biasa dan ... indah. Ini mungkin berguna untuk menulis ritme modern dan, menurut kami, sangat cocok untuk membuat soundtrack untuk screensaver TV dan radio, serta "loop" latarbelakang musik ke permainan komputer. Ramiro belum memberikan demo programnya, tetapi berjanji bahwa ketika dia melakukannya, untuk bekerja dengan Aural, dia tidak perlu mempelajari teori fraktal - cukup bermain dengan parameter algoritme untuk menghasilkan urutan nada . Dengarkan bagaimana suara fraktal, dan.

Fraktal: jeda musik

Faktanya, fraktal dapat membantu menulis musik bahkan tanpa perangkat lunak. Tetapi ini hanya dapat dilakukan oleh seseorang yang benar-benar diilhami oleh gagasan harmoni alam dan pada saat yang sama tidak berubah menjadi "kutu buku" yang malang. Masuk akal untuk mengambil petunjuk dari seorang musisi bernama Jonathan Coulton, yang, antara lain, menulis komposisi untuk majalah Popular Science. Dan tidak seperti seniman lain, Colton menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Atribusi-Nonkomersial Creative Commons, yang (bila digunakan untuk tujuan non-komersial) menyediakan penyalinan, distribusi, transfer karya kepada orang lain, serta modifikasi (pembuatan) secara gratis. karya turunan) untuk menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda.

Jonathan Colton, tentu saja, memiliki lagu tentang fraktal.

Kesimpulan

Dalam segala hal di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, tetapi sebenarnya ini bukan kecelakaan, tetapi bentuk sempurna, yang fraktal membantu kita untuk melihat. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika di suatu tempat kita tidak melihat pola, ini berarti kita perlu mencarinya dalam skala yang berbeda. Orang-orang memahami ini dengan lebih baik dan lebih baik, mencoba meniru dalam banyak cara bentuk alami. Desain insinyur Sistem akustik dalam bentuk cangkang, buat antena dengan geometri kepingan salju dan sebagainya. Kami yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh manusia.

Para editor NNN secara tidak sengaja menemukan hal yang sangat materi yang menarik, disajikan di blog pengguna xtsarx, yang didedikasikan untuk elemen teori fraktal dan dia aplikasi praktis. Seperti diketahui, teori fraktal memegang peranan penting dalam fisika dan kimia sistem nano. Setelah memberikan kontribusi kami untuk materi yang solid ini, disajikan dalam bahasa yang dapat diakses oleh berbagai pembaca dan didukung oleh materi grafis dan bahkan video yang berlimpah, kami mempersembahkannya untuk perhatian Anda. Kami berharap para pembaca NNN akan menganggap materi ini menarik.

Alam begitu misterius sehingga semakin Anda mempelajarinya, semakin banyak pertanyaan muncul... Petir malam - "aliran" biru dari pelepasan bercabang, pola beku di jendela, kepingan salju, gunung, awan, kulit pohon - semua ini melampaui biasanya Geometri Euclides. Kita tidak bisa menggambarkan batu atau batas pulau dengan garis, lingkaran dan segitiga. Dan di sini kita datang untuk menyelamatkan fraktal. Apa orang asing yang akrab ini?

“Di bawah mikroskop, dia menemukan itu pada kutu
Kutu penggigit hidup dari kutu;
Pada kutu itu ada kutu kecil,
Dengan marah menusukkan gigi ke kutu
Kutu, dan sebagainya ad infinitum. D.cepat.

Sedikit sejarah

Ide pertama geometri fraktal berasal dari abad ke-19. Kantor, menggunakan prosedur rekursif (pengulangan) sederhana, mengubah garis menjadi satu set titik yang tidak terhubung (yang disebut Debu Cantor). Dia mengambil garis dan menghapus sepertiga tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan segmen yang tersisa.

Beras. 1. Kurva Peano 1.2–5 iterasi.

Peano menggambar jenis garis khusus. Peano melakukan hal berikut:: Pada langkah pertama, ia mengambil garis lurus dan menggantinya dengan 9 ruas yang 3 kali lebih pendek dari panjang garis semula. Kemudian dia melakukan hal yang sama dengan setiap segmen dari garis yang dihasilkan. Dan seterusnya ad infinitum. Keunikannya terletak pada kenyataan bahwa ia memenuhi seluruh pesawat. Dibuktikan bahwa untuk setiap titik pada bidang dapat ditemukan sebuah titik yang termasuk dalam garis Peano. Kurva Peano dan debu Cantor melampaui objek geometris biasa. Mereka tidak jelas ukurannya.. Debu Cantor tampaknya dibangun berdasarkan garis lurus satu dimensi, tetapi terdiri dari titik-titik (dimensi 0). Dan kurva Peano dibangun atas dasar garis satu dimensi, dan hasilnya adalah sebuah bidang. Di banyak bidang ilmu pengetahuan lainnya, muncul masalah yang menyebabkan hasil yang aneh, seperti yang dijelaskan di atas (gerakan Brown, harga saham). Masing-masing dari kita dapat melakukan prosedur ini ...

Bapak Fraktal

Sampai abad ke-20, ada akumulasi data tentang benda-benda aneh tersebut, tanpa ada upaya untuk mensistematisasikannya. Jadi sampai mereka mengambil Benoit Mandelbrot – bapak geometri fraktal modern dan kata fraktal.

Beras. 2. Benoit Mandelbrot.

Saat bekerja di IBM sebagai analis matematika, ia mempelajari kebisingan di sirkuit elektronik yang tidak dapat dijelaskan menggunakan statistik. Secara bertahap membandingkan fakta, ia sampai pada penemuan arah baru dalam matematika - geometri fraktal.

Istilah "fraktal" diperkenalkan oleh B. Mandelbrot pada tahun 1975. Menurut Mandelbrot, fraktal(dari bahasa Latin "fractus" - pecahan, patah, patah) disebut struktur yang terdiri dari bagian-bagian seperti keseluruhan. Sifat kesamaan diri dengan tajam membedakan fraktal dari objek geometri klasik. Ketentuan kesamaan diri cara kehadiran struktur berulang yang halus, baik pada skala terkecil dari objek, dan pada skala makro.

Beras. 3. Untuk definisi konsep "fraktal".

Contoh kesamaan diri adalah: Kurva Koch, Levy, Minkowski, segitiga Sierpinski, spons Menger, pohon Pythagoras, dll.

Dari sudut pandang matematika, fraktal adalah, pertama-tama, ditetapkan dengan dimensi pecahan (menengah, "bukan bilangan bulat"). Sementara garis Euclidean yang mulus mengisi ruang satu dimensi tepat, kurva fraktal melampaui ruang satu dimensi, menembus batas ke dalam ruang dua dimensi.Dengan demikian, dimensi fraktal dari kurva Koch akan berada di antara 1 dan 2. Ini, pertama-tama, berarti bahwa objek fraktal tidak dapat mengukur panjangnya secara akurat! Dari fraktal geometris ini, yang pertama sangat menarik dan cukup terkenal - Kepingan salju Koch.

Beras. 4. Untuk definisi konsep "fraktal".

Itu dibangun atas dasar segitiga sama sisi. Setiap barisnya diganti dengan 4 baris yang masing-masing 1/3 dari panjang aslinya. Jadi, dengan setiap iterasi, panjang kurva bertambah sepertiga. Dan jika kita membuat jumlah iterasi yang tak terbatas, kita mendapatkan fraktal - kepingan salju Koch dengan panjang tak terbatas. Ternyata kurva tak terbatas kami mencakup area terbatas. Cobalah untuk melakukan hal yang sama dengan metode dan gambar dari geometri Euclidean.
Dimensi kepingan salju Koch(bila kepingan salju bertambah 3 kali, panjangnya bertambah 4 kali lipat) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Tentang fraktal

Fraktal menemukan semakin banyak aplikasi dalam sains dan teknologi. Alasan utama untuk ini adalah bahwa mereka menggambarkan dunia nyata kadang-kadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Anda dapat tanpa henti memberikan contoh objek fraktal di alam - ini adalah awan, dan serpihan salju, dan gunung, dan kilatan petir, dan akhirnya, kembang kol. Fraktal sebagai objek alami adalah abadi gerakan terus menerus, formasi dan perkembangan baru.

Beras. 5. Fraktal dalam ilmu ekonomi.

Di samping itu, fraktal menemukan aplikasi dalam desentralisasi jaringan komputer dan "antena fraktal" . Sangat menarik dan menjanjikan untuk memodelkan berbagai proses "acak" stokastik (non-deterministik) yang disebut "fraktal Brown". Dalam kasus nanoteknologi, fraktal juga berperan peran penting , karena, karena pengorganisasian diri hierarkis mereka, banyak sistem nano memiliki dimensi non-integer, yaitu, mereka adalah fraktal dalam sifat geometris, fisiko-kimiawi, atau fungsionalnya. Sebagai contoh, contoh utama sistem fraktal kimia adalah molekul "dendrimers" . Selain itu, prinsip fraktalitas (self-similar, scaling structure) merupakan cerminan dari struktur hierarki sistem dan, oleh karena itu, lebih umum dan universal daripada pendekatan standar untuk menggambarkan struktur dan sifat sistem nano.

Beras. 6. Molekul "dendrimer".

Beras. 7. Model grafis komunikasi dalam proses arsitektur dan konstruksi. Tingkat pertama interaksi dari sudut pandang mikroproses.

Beras. 8. Model grafis komunikasi dalam proses arsitektur dan konstruksi. Tingkat kedua interaksi dari posisi makroproses (sebuah fragmen dari model).

Beras. 9. Model grafis komunikasi dalam proses arsitektur dan konstruksi. Tingkat interaksi kedua dari sudut pandang proses makro (model keseluruhan)

Beras. 10. Pengembangan model grafis planar. Keadaan homeostatis pertama.

Fraktal dan rasio emas "Fraktal" bagian 1 "Fraktal" bagian 2 "Fraktal" bagian 3 "Fraktal" bagian 4 "Fraktal" bagian 5

Galeri foto fraktal yang indah dan tidak biasa

Beras. sebelas.

Beras. 12.

Beras. tigabelas.

Beras. empat belas.

Beras. limabelas.

Beras. enambelas.

Beras. 17.

Beras. delapan belas.

Beras. sembilan belas.

Beras. 20.

Beras. 21.

Beras. 22.

Beras. 23.

Beras. 24.

Beras. 25.

Beras. 26.

Beras. 27.

Beras. 28.

Beras. 29.

Beras. tigapuluh.

Beras. 31.

Beras. 32.

Beras. 33.

Beras. 34.

Beras. 35.

Koreksi dan pengeditan selesai Filippov Yu.P.

Halo semua! Nama saya adalah, Ribenek Valeriya, Ulyanovsk dan hari ini saya akan memposting beberapa artikel ilmiah saya di situs web LCI.

Artikel ilmiah pertama saya di blog ini akan dikhususkan untuk fraktal. Saya akan segera mengatakan bahwa artikel saya dirancang untuk hampir semua audiens. Itu. Saya berharap mereka akan menarik bagi anak sekolah dan siswa.

Baru-baru ini saya belajar tentang objek-objek menarik dari dunia matematika seperti fraktal. Tetapi mereka ada tidak hanya dalam matematika. Mereka mengelilingi kita di mana-mana. Fraktal itu alami. Tentang apa itu fraktal, tentang jenis-jenis fraktal, tentang contoh benda-benda tersebut dan aplikasinya akan saya ceritakan di artikel ini. Untuk memulainya, saya akan memberi tahu Anda secara singkat apa itu fraktal.

Fraktal(lat. fractus - hancur, rusak, patah) - ini adalah kompleks sosok geometris, yang memiliki sifat kesamaan diri, yaitu terdiri dari beberapa bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan. Dalam pengertian yang lebih luas, fraktal dipahami sebagai kumpulan titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik selain topologi. Sebagai contoh, saya akan menyisipkan gambar empat fraktal yang berbeda.

Mari saya ceritakan sedikit tentang sejarah fraktal. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Kata "fraktal" diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur tidak beraturan tetapi serupa diri yang ia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi buku Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Tetapi hanya di zaman kita ini dimungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.

Ada banyak contoh fraktal, karena, seperti yang saya katakan, mereka mengelilingi kita di mana-mana. Menurut pendapat saya, bahkan seluruh alam semesta kita adalah satu fraktal besar. Lagi pula, semua yang ada di dalamnya, mulai dari struktur atom hingga struktur Semesta itu sendiri, persis saling berulang. Tapi tentu saja ada lebih banyak contoh konkret fraktal dari daerah yang berbeda. Fraktal, misalnya, hadir dalam dinamika yang kompleks. Di sana mereka secara alami muncul dalam studi nonlinier sistem dinamis. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamis ditentukan oleh iterasi polinomial atau holomorfik fungsi dari kompleks variabel di permukaan. Beberapa fraktal yang paling terkenal dari jenis ini adalah himpunan Julia, himpunan Mandelbrot dan cekungan Newton. Di bawah ini, secara berurutan, gambar menunjukkan masing-masing fraktal di atas.

Contoh lain dari fraktal adalah kurva fraktal. Cara terbaik untuk menjelaskan bagaimana membangun fraktal menggunakan contoh kurva fraktal. Salah satu kurva tersebut adalah yang disebut Koch Snowflake. Ada prosedur sederhana untuk mendapatkan kurva fraktal pada bidang. Kami mendefinisikan garis putus-putus sewenang-wenang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya, kami mengganti setiap segmen di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya, garis putus-putus mirip dengan generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada limit kita mendapatkan kurva fraktal. Di bawah ini adalah kepingan salju Koch (atau kurva).

Ada juga banyak kurva fraktal. Yang paling terkenal dari mereka adalah Koch Snowflake yang telah disebutkan, serta kurva Levy, kurva Minkowski, Naga yang rusak, kurva Piano dan pohon Pythagoras. Gambar fraktal ini dan sejarahnya, saya pikir, jika Anda mau, Anda dapat dengan mudah menemukannya di Wikipedia.

Contoh atau jenis fraktal yang ketiga adalah fraktal stokastik. Fraktal tersebut termasuk lintasan gerak brown di pesawat dan di luar angkasa, evolusi Schramm-Löwner, jenis yang berbeda fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif, di mana parameter acak diperkenalkan pada setiap langkah.

Ada juga fraktal matematika murni. Ini misalnya himpunan Cantor, spons Menger, segitiga Sierpinski, dan lain-lain.

Tapi mungkin fraktal yang paling menarik adalah yang alami. Fraktal alam adalah benda-benda di alam yang memiliki sifat fraktal. Dan sudah ada daftar besar. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena, mungkin, saya tidak dapat mencantumkan semuanya, tetapi saya akan menceritakan beberapa. Misalnya, di alam yang hidup, fraktal semacam itu mencakup sistem peredaran darah dan paru-paru kita. Dan juga mahkota dan daun pohon. Juga di sini Anda dapat memasukkan bintang laut, bulu babi, karang, kerang laut, beberapa tanaman seperti kubis atau brokoli. Di bawah ini, beberapa fraktal alami dari satwa liar ditunjukkan dengan jelas.

Jika kita mempertimbangkan alam mati, maka ada banyak contoh yang lebih menarik daripada di alam yang hidup. Petir, kepingan salju, awan, yang diketahui semua orang, pola di jendela pada hari yang dingin, kristal, pegunungan - semua ini adalah contoh fraktal alami dari alam mati.

Kami telah mempertimbangkan contoh dan jenis fraktal. Adapun penggunaan fraktal, mereka paling banyak digunakan daerah yang berbeda pengetahuan. Dalam fisika, fraktal secara alami muncul ketika memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses difusi-adsorpsi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan bahan berpori, misalnya, dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan untuk menggambarkan sistem organ dalam (system pembuluh darah). Setelah kurva Koch dibuat, diusulkan untuk digunakan dalam menghitung panjang garis pantai. Juga, fraktal secara aktif digunakan dalam teknik radio, dalam ilmu komputer dan teknologi komputer, telekomunikasi dan bahkan ekonomi. Dan, tentu saja, visi fraktal digunakan secara aktif dalam seni dan arsitektur kontemporer. Berikut adalah salah satu contoh lukisan fraktal:

Jadi, dalam hal ini saya berpikir untuk melengkapi cerita saya tentang fenomena matematika yang tidak biasa seperti fraktal. Hari ini kita belajar tentang apa itu fraktal, bagaimana kemunculannya, tentang jenis dan contoh fraktal. Dan saya juga berbicara tentang aplikasi mereka dan menunjukkan beberapa fraktal dengan jelas. Saya harap Anda menikmati perjalanan singkat ini ke dunia objek fraktal yang menakjubkan dan mempesona.