Sifat fraktal bukanlah keinginan dan bukan buah dari fantasi kosong para matematikawan. Dengan mempelajarinya, kita belajar membedakan dan memprediksi fitur penting objek dan fenomena di sekitar kita, yang sebelumnya, jika tidak sepenuhnya diabaikan, hanya diperkirakan secara kasar, kualitatif, dengan mata. Misalnya, dengan membandingkan dimensi fraktal dari sinyal kompleks, ensefalogram, atau murmur jantung, dokter dapat mendiagnosis beberapa penyakit serius pada tahap awal, ketika pasien masih dapat ditolong. Juga, analis, membandingkan perilaku harga sebelumnya, pada awal pembentukan model dapat meramalkan perkembangan lebih lanjut, sehingga menghindari kesalahan besar dalam peramalan.

Ketidakteraturan fraktal

Sifat fraktal yang pertama adalah ketidakteraturannya. Jika fraktal dijelaskan oleh suatu fungsi, maka sifat ketidakteraturan dalam istilah matematika akan berarti bahwa fungsi tersebut tidak dapat diturunkan, yaitu tidak mulus di sembarang titik. Sebenarnya ini yang paling berhubungan langsung dengan pasar. Fluktuasi harga terkadang sangat fluktuatif dan berubah-ubah sehingga membingungkan banyak pedagang. Tugas kita adalah memilah semua kekacauan ini dan menertibkannya.

Apakah kamu tahu itu: sangat beragam peluang investasi, yang disediakan Alpari, tidak dapat dibanggakan oleh broker Forex lainnya.

Kesamaan diri dari fraktal

Properti kedua mengatakan bahwa fraktal adalah objek yang memiliki sifat kesamaan diri. Ini adalah model rekursif, yang setiap bagiannya berulang dalam perkembangannya pengembangan seluruh model secara keseluruhan dan direproduksi pada berbagai skala tanpa perubahan yang terlihat. Namun, perubahan masih terjadi, yang dapat sangat mempengaruhi persepsi kita terhadap objek tersebut.

Kesamaan diri berarti bahwa objek tidak memiliki skala karakteristik: jika memiliki skala seperti itu, Anda akan segera membedakan salinan fragmen yang diperbesar dari gambar aslinya. Objek yang serupa diri memiliki jumlah skala yang tak terbatas untuk semua selera. Inti dari kesamaan diri dapat dijelaskan dalam contoh berikut. Bayangkan Anda memiliki gambar garis geometris "nyata", "panjang tanpa lebar", seperti yang didefinisikan Euclid, dan Anda sedang bermain dengan seorang teman, mencoba menebak apakah dia menunjukkan kepada Anda gambar asli (asli) atau gambar dari setiap fragmen dari garis lurus. Tidak peduli seberapa keras Anda mencoba, Anda tidak akan pernah dapat membedakan yang asli dari salinan fragmen yang diperbesar, garis lurus diatur dengan cara yang sama di semua bagiannya, itu mirip dengan dirinya sendiri, tetapi properti yang luar biasa ini agak tersembunyi oleh struktur garis lurus itu sendiri yang tidak rumit, "kelurusannya" (Gbr. 7).

Jika Anda juga tidak dapat membedakan snapshot dari beberapa objek dari snapshot yang diperbesar dengan benar dari salah satu fragmennya, maka Anda memiliki objek self-similar. Semua fraktal yang memiliki setidaknya beberapa simetri adalah self-similar. Dan ini berarti bahwa beberapa fragmen strukturnya diulang secara ketat pada interval spasial tertentu. Jelas, benda-benda ini dapat berupa apa saja, dan penampilan serta bentuknya tetap tidak berubah terlepas dari skalanya. Contoh fraktal serupa diri:

Di bidang keuangan, konsep ini bukanlah abstraksi tanpa dasar, tetapi pernyataan ulang teoretis dari pepatah pasar praktis—yaitu, bahwa pergerakan saham atau mata uang secara dangkal serupa, terlepas dari kerangka waktu dan harga. Pengamat tidak bisa mengatakan penampilan grafik, apakah data mengacu pada perubahan mingguan, harian, atau per jam.

Tentu saja, tidak semua fraktal memiliki struktur yang berulang dan teratur seperti pameran indah museum seni fraktal masa depan, yang lahir dari imajinasi para ahli matematika dan seniman. Banyak fraktal ditemukan di alam (permukaan patahan) batu dan logam, awan, kutipan mata uang, aliran turbulen, busa, gel, kontur partikel jelaga, dll.), tidak memiliki kesamaan geometris, tetapi dengan keras kepala mereproduksi di setiap fragmen sifat statistik keseluruhan. Fraktal dengan bentuk pengembangan non-linier dinamai oleh Mandelbrot sebagai multifraktal. Multifraktal adalah objek kuasi-fraktal dengan dimensi fraktal variabel. Secara alami, objek dan proses nyata jauh lebih baik dijelaskan oleh multifraktal.

Kesamaan diri statistik seperti itu, atau kesamaan diri rata-rata, membedakan fraktal di antara himpunan benda-benda alam.

Pertimbangkan contoh kesamaan diri di pasar valuta asing:

Dalam gambar-gambar ini, kita melihat bahwa mereka serupa, sementara memiliki skala waktu yang berbeda, pada Gambar. dan skala 15 menit, pada Gambar. b skala harga mingguan. Seperti yang Anda lihat, kutipan ini tidak memiliki kemampuan untuk mengulangi satu sama lain dengan sempurna, namun, kami dapat menganggapnya serupa.

Bahkan fraktal yang paling sederhana - fraktal yang secara geometris serupa sendiri - memiliki sifat yang tidak biasa. Misalnya, kepingan salju von Koch memiliki keliling dengan panjang tak terhingga, meskipun ia membatasi area yang berhingga (Gbr. 9). Selain itu, sangat berduri sehingga tidak mungkin untuk menggambar garis singgungnya di titik mana pun dari kontur (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa kepingan salju von Koch tidak dapat dibedakan di mana pun, yaitu, tidak mulus di titik mana pun).

Mandelbrot menemukan bahwa hasil pengukuran pecahan tetap konstan untuk berbagai tingkat peningkatan ketidakteraturan objek. Dengan kata lain, ada keteraturan (kebenaran, keteraturan) untuk setiap ketidakteraturan. Ketika kita memperlakukan sesuatu sebagai acak, itu menunjukkan bahwa kita tidak memahami sifat keacakan ini. Dalam istilah pasar, ini berarti bahwa pembentukan formasi tipikal yang sama harus terjadi dalam kerangka waktu yang berbeda. Grafik satu menit akan menggambarkan formasi fraktal dengan cara yang sama seperti grafik bulanan. "Kesamaan diri" yang ditemukan pada grafik pasar komoditas dan keuangan ini menunjukkan semua tanda bahwa tindakan pasar lebih dekat dengan paradigma perilaku "alam" daripada perilaku ekonomi, analisis fundamental.

Dalam angka-angka ini, Anda dapat menemukan konfirmasi di atas. Di sebelah kiri adalah grafik dengan skala menit, di sebelah kanan adalah grafik mingguan. Pasangan mata uang USD/Yen (Gbr. 9 (a)) dan Euro/Dolar (Gbr. 9 (b)) ditampilkan di sini dengan skala harga yang berbeda. Meskipun pasangan mata uang JPY/USD memiliki volatilitas yang berbeda dalam kaitannya dengan EUR/USD, kita dapat mengamati struktur pergerakan harga yang sama.

dimensi fraktal

Sifat ketiga dari fraktal adalah bahwa objek fraktal memiliki dimensi selain Euclidean (dengan kata lain, dimensi topologi). Dimensi fraktal adalah ukuran kompleksitas kurva. Dengan menganalisis pergantian bagian dengan dimensi fraktal yang berbeda dan bagaimana sistem dipengaruhi oleh faktor eksternal dan internal, seseorang dapat belajar memprediksi perilaku sistem. Dan yang paling penting, untuk mendiagnosis dan memprediksi kondisi yang tidak stabil.

Dalam gudang matematika modern, Mandelbrot menemukan ukuran kuantitatif yang nyaman dari ketidaksempurnaan objek - liku-liku kontur, kerutan permukaan, rekah dan porositas volume. Itu diusulkan oleh dua ahli matematika - Felix Hausdorff (1868-1942) dan Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Sekarang dia layak untuk memakai nama-nama yang mulia pencipta mereka (dimensi Hausdorff-Besikovich) – dimensi Hausdorff-Besikovich. Apa itu dimensi dan mengapa kita membutuhkannya dalam kaitannya dengan analisis pasar keuangan? Sebelumnya, kami hanya mengetahui satu jenis dimensi - topologi (Gbr. 11). Kata dimensi itu sendiri menunjukkan berapa banyak dimensi yang dimiliki suatu benda. Untuk segmen, garis lurus, itu sama dengan 1, yaitu. kita hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang segmen atau garis lurus. Untuk sebuah bidang, dimensinya adalah 2, karena kita memiliki dimensi dua dimensi, panjang dan lebar. Untuk ruang atau benda padat, dimensinya adalah 3 : panjang, lebar, dan tinggi.

Mari kita ambil contoh game komputer. Jika game dibuat dalam grafik 3D, maka itu spasial dan banyak, jika dalam grafik 2D, grafik ditampilkan pada bidang (Gbr. 10).

Yang paling tidak biasa (akan lebih tepat untuk mengatakan - tidak biasa) dalam dimensi Hausdorff-Besikovich adalah bahwa ia tidak hanya dapat mengambil bilangan bulat, sebagai dimensi topologi, tetapi juga nilai pecahan. Sama dengan satu untuk garis lurus (tak berhingga, setengah tak berhingga, atau untuk segmen berhingga), dimensi Hausdorff-Besicovitch meningkat seiring dengan meningkatnya tortuositas, sedangkan dimensi topologi dengan keras kepala mengabaikan semua perubahan yang terjadi pada garis.

Dimensi mencirikan komplikasi suatu himpunan (misalnya, garis lurus). Jika itu adalah kurva dengan dimensi topologi sama dengan 1 (garis lurus), maka kurva dapat diperumit dengan jumlah tikungan dan cabang yang tak terbatas sedemikian rupa sehingga dimensi fraktalnya mendekati dua, yaitu. akan mengisi hampir seluruh bidang (Gbr. 12)

Dengan meningkatkan nilainya, dimensi Hausdorff-Besikovich tidak mengubahnya secara tiba-tiba, karena dimensi topologi akan melakukan "pada tempatnya", transisi dari 1 segera ke 2. Dimensi Hausdorff-Besikovich - dan ini pada pandangan pertama mungkin tampak tidak biasa dan mengejutkan, mengambil nilai pecahan : sama dengan satu untuk garis lurus menjadi 1,15 untuk garis yang sedikit berliku, 1,2 untuk garis yang lebih berliku-liku, 1,5 untuk garis yang sangat berliku-liku, dan seterusnya.

Untuk menekankan kemampuan dimensi Hausdorff-Besikovich untuk mengambil nilai pecahan, non-bilangan bulat, Mandelbrot muncul dengan neologismenya sendiri, menyebutnya dimensi fraktal. Jadi, dimensi fraktal (tidak hanya Hausdorff-Besikovich, tetapi yang lain) adalah dimensi yang tidak harus mengambil nilai bilangan bulat, tetapi juga pecahan.

Untuk fraktal geometris linier, dimensi mencirikan kesamaan diri mereka. Pertimbangkan Gambar. 17(A), garis terdiri dari N=4 segmen, yang masing-masing memiliki panjang r = 1/3. Akibatnya, kami mendapatkan rasio:

D = logN/log(1/r)

Situasinya sangat berbeda ketika kita berbicara tentang multifraktal (non-linear). Di sini dimensi kehilangan maknanya sebagai definisi kesamaan suatu objek dan didefinisikan melalui berbagai generalisasi, apalagi dimensi unik objek serupa diri.

Di pasar valuta asing, dimensi dapat mencirikan volatilitas kutipan harga. Setiap pasangan mata uang memiliki perilakunya sendiri dalam hal harga. Untuk pasangan Pound/Dolar (Gbr. 13(a)) lebih tenang daripada untuk Euro/Dolar (Gbr. 13(b)). Hal yang paling menarik adalah bahwa mata uang ini bergerak dengan struktur yang sama ke tingkat harga, namun mereka memiliki dimensi yang berbeda, yang dapat mempengaruhi perdagangan intraday dan perubahan model yang menghindari tampilan yang tidak berpengalaman.

pada gambar. 14 menunjukkan dimensi dalam kaitannya dengan model matematika, agar Anda lebih dalam menembus nilai. istilah ini. Perhatikan bahwa ketiga gambar menunjukkan siklus yang sama. pada gambar. dan dimensinya adalah 1,2, pada Gambar. b, dimensinya adalah 1,5, dan pada Gambar. di 1.9. Dapat dilihat bahwa dengan peningkatan dimensi, persepsi objek menjadi lebih rumit, amplitudo osilasi meningkat.

Di pasar keuangan, dimensi tercermin tidak hanya sebagai volatilitas harga, tetapi juga sebagai detail dari siklus (gelombang). Berkat itu, kita akan dapat membedakan apakah suatu gelombang termasuk dalam skala waktu tertentu. pada gambar. 15 menunjukkan pasangan Euro/Dolar pada skala harga harian. Perhatikan, Anda dapat dengan jelas melihat siklus yang terbentuk dan awal dari siklus baru yang lebih besar. Beralih ke skala per jam dan memperbesar salah satu siklus, kita dapat melihat siklus yang lebih kecil, dan sebagian dari siklus besar terletak di D1 (Gbr. 16). Perincian loop, mis. dimensi mereka memungkinkan kita untuk menentukan dari kondisi awal bagaimana situasi dapat berkembang di masa depan. Kita dapat mengatakan bahwa: dimensi fraktal mencerminkan properti skala invarians dari himpunan yang dipertimbangkan.

Konsep invarians diperkenalkan oleh Mandelbrot dari kata "sealant" - terukur, mis. ketika suatu objek memiliki sifat invarian, ia memiliki skala tampilan yang berbeda.

pada gambar. 16 lingkaran A menyoroti siklus mini (gelombang terperinci), lingkaran B - gelombang siklus yang lebih besar. Justru karena dimensi itulah kita tidak selalu dapat menentukan SEMUA siklus pada skala harga yang sama.

Kami akan berbicara tentang masalah menentukan dan mengembangkan properti siklus non-periodik di bagian "Siklus di pasar valuta asing", sekarang hal utama bagi kami adalah memahami bagaimana dan di mana dimensi memanifestasikan dirinya di pasar keuangan.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk model klasik. Dan ini berarti bahwa kita berurusan dengan hubungan non-linier dan sifat data yang tidak deterministik (acak). Nonlinier dalam arti ideologis berarti multivarians jalur pembangunan, ketersediaan pilihan dari cara alternatif dan tingkat evolusi tertentu, serta ireversibilitas proses evolusi. Non-linearitas dalam arti matematis berarti jenis tertentu persamaan matematika (persamaan diferensial nonlinier) yang berisi jumlah yang diinginkan dalam pangkat lebih besar dari satu atau koefisien yang bergantung pada sifat-sifat medium. Contoh sederhana dari sistem dinamis non-linier:

Johnny tumbuh 2 inci setahun. Sistem ini menjelaskan bagaimana tinggi badan Johnny berubah dari waktu ke waktu. Misal x(n) adalah tinggi badan Johnny tahun ini. Biarkan itu naik tahun depan akan ditulis sebagai x (n+1). Kemudian kita dapat menulis sistem dinamik dalam bentuk persamaan:

x(n+1) = x(n) + 2.

Melihat? Bukankah ini matematika sederhana? Jika kita memasukkan tinggi badan Johnny hari ini x (n) = 38 inci, maka di ruas kanan persamaan kita mendapatkan tinggi badan Johnny tahun depan, x (n+1) = 40 inci:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Perpindahan dari kanan ke kiri dalam suatu persamaan disebut iterasi (pengulangan). Kita dapat mengulangi persamaan lagi dengan memasukkan pertumbuhan baru Johnny adalah 40 inci di sisi kanan persamaan (yaitu x(n) = 40), dan kita mendapatkan x(n+1) = 42. Jika kita mengulangi (mengulangi) persamaan 3 kali, kita mendapatkan tinggi Johnny setelah 3 tahun, yaitu 44 inci, mulai dari tinggi 38 inci.

Ini adalah sistem dinamis deterministik. Jika kita ingin membuatnya non-deterministik (stochastic), kita bisa membuat model seperti ini: Johnny tumbuh 2 inci per tahun, kurang lebih, dan tulis persamaannya sebagai:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

di mana e adalah kesalahan kecil (relatif kecil terhadap 2), mewakili beberapa distribusi probabilitas.

Mari kembali ke persamaan deterministik awal. Persamaan awal, x(n+1) = x(n) + 2, adalah linier. Linear berarti Anda menambahkan variabel atau konstanta, atau mengalikan variabel dengan konstanta. Misalnya persamaan

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

adalah linier. Tetapi jika Anda mengalikan variabel, atau menaikkannya ke pangkat yang lebih besar dari satu, persamaan (sistem) akan menjadi non-linier. Misalnya persamaan

x(n+1) = x(n) 2

tidak linier karena x(n) kuadrat. persamaan

tidak linier karena dua variabel, x dan y, dikalikan.

Ketika kami menerapkan model klasik (misalnya, tren, regresi, dll.), kami mengatakan bahwa masa depan suatu objek ditentukan secara unik, mis. sepenuhnya tergantung pada kondisi awal dan dapat menerima ramalan yang jelas. Anda dapat secara mandiri melakukan salah satu model ini di Excel. Contoh model klasik dapat direpresentasikan sebagai tren yang terus menurun atau meningkat. Dan kita dapat memprediksi perilakunya, mengetahui masa lalu objek (data awal untuk pemodelan). Dan fraktal digunakan dalam kasus ketika objek memiliki beberapa opsi untuk pengembangan dan keadaan sistem ditentukan oleh posisi di mana ia berada saat ini. Artinya, kami mencoba untuk mensimulasikan perkembangan yang kacau. Sistem ini adalah pasar valuta asing antar bank.

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana seseorang dapat memperoleh dari garis lurus apa yang kita sebut fraktal, dengan sifat-sifatnya yang melekat.

pada gambar. 17(A) menunjukkan kurva Koch. Ambil segmen garis, panjangnya = 1, mis. masih merupakan dimensi topologi. Sekarang kita akan membaginya menjadi tiga bagian (masing-masing 1/3 dari panjangnya), dan menghapus sepertiga tengah. Tetapi kami akan mengganti sepertiga tengah dengan dua segmen (masing-masing 1/3 dari panjangnya), yang dapat direpresentasikan sebagai dua sisi segitiga sama sisi. Ini adalah tahap dua (b) dari desain yang digambarkan pada gambar. 17(A). Pada titik ini kita memiliki 4 bagian yang lebih kecil, masing-masing 1/3 panjangnya, jadi panjang keseluruhannya adalah 4(1/3) = 4/3. Kami kemudian mengulangi proses ini untuk masing-masing dari 4 lobus garis yang lebih kecil. Ini adalah tahap ketiga (c). Ini akan memberi kita 16 segmen garis yang lebih kecil, masing-masing 1/9 panjangnya. Jadi seluruh panjangnya sekarang 16/9 atau (4/3) 2 . Hasilnya, kami mendapatkan dimensi pecahan. Tetapi tidak hanya ini yang membedakan struktur yang dihasilkan dari garis lurus. Ini telah menjadi serupa diri dan tidak mungkin untuk menggambar garis singgung di salah satu titiknya (Gbr. 17 (B)).

Isi

Penemuan paling cerdik dalam sains dapat berubah secara radikal kehidupan manusia. Vaksin yang ditemukan dapat menyelamatkan jutaan orang, penciptaan senjata, sebaliknya, merenggut nyawa ini. Baru-baru ini (dalam skala evolusi manusia) kita telah belajar untuk "menjinakkan" listrik - dan sekarang kita tidak dapat membayangkan hidup tanpa semua perangkat nyaman yang menggunakan listrik ini. Tetapi ada juga penemuan-penemuan yang dianggap penting oleh segelintir orang, meskipun mereka juga sangat memengaruhi kehidupan kita.

Salah satu penemuan "tak terlihat" ini adalah fraktal. Anda mungkin pernah mendengar kata yang menarik ini, tetapi tahukah Anda apa artinya dan berapa banyak hal menarik yang tersembunyi dalam istilah ini?

Setiap orang memiliki rasa ingin tahu yang alami, keinginan untuk belajar tentang dunia di sekitarnya. Dan dalam aspirasi ini, seseorang mencoba untuk mematuhi logika dalam penilaian. Menganalisis proses yang terjadi di sekitarnya, dia mencoba menemukan logika dari apa yang terjadi dan menyimpulkan beberapa keteraturan. Pikiran terbesar di planet ini sibuk dengan tugas ini. Secara kasar, para ilmuwan sedang mencari pola di mana seharusnya tidak. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan, seseorang dapat menemukan hubungan antara peristiwa-peristiwa. Dan koneksi ini adalah fraktal.

Putri kecil kami, empat setengah tahun, sekarang berada di usia yang luar biasa ketika sejumlah pertanyaan "Mengapa?" berkali-kali lebih besar daripada jumlah jawaban yang orang dewasa punya waktu untuk diberikan. Belum lama ini, melihat cabang yang diangkat dari tanah, putri saya tiba-tiba menyadari bahwa cabang ini, dengan simpul dan cabang, sendiri tampak seperti pohon. Dan, tentu saja, pertanyaan “Mengapa?” ​​diikuti, di mana orang tua harus mencari penjelasan sederhana yang dapat dipahami anak.

Kesamaan cabang tunggal dengan seluruh pohon yang ditemukan oleh seorang anak adalah pengamatan yang sangat akurat, yang sekali lagi membuktikan prinsip kesamaan diri rekursif di alam. Sangat banyak bentuk organik dan anorganik di alam yang terbentuk dengan cara yang sama. Awan, kerang laut, "rumah" siput, kulit kayu dan mahkota pohon, sistem sirkulasi dan seterusnya - bentuk acak dari semua objek ini dapat dijelaskan dengan algoritma fraktal.

Benoit Mandelbrot: bapak geometri fraktal

Kata "fraktal" muncul berkat ilmuwan brilian Benoît B. Mandelbrot.

Dia menciptakan istilah itu sendiri pada 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti "rusak" atau "hancur." Apa itu? Saat ini, kata "fraktal" paling sering digunakan untuk mengartikan gambar grafis struktur yang mirip dengan dirinya sendiri pada skala yang lebih besar.

Dasar matematika untuk munculnya teori fraktal diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Di awal nya kegiatan ilmiah Benoist bekerja di IBM Research Center. Pada saat itu, karyawan pusat sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Dalam perjalanan penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul dari gangguan kebisingan. Sebelum Benois berdiri sebuah kompleks dan sangat tugas penting- memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan di sirkuit elektronik ketika metode statistik tidak efektif.

Melihat melalui hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot menarik perhatian pada satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala yang berbeda tampak sama. Pola yang sama diamati terlepas dari apakah itu plot kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Perlu mengubah skala grafik, dan gambar itu diulang setiap saat.

Semasa hidupnya, Benoit Mandelbrot berulang kali mengatakan bahwa dia tidak berurusan dengan rumus, tetapi hanya bermain dengan gambar. Orang ini berpikir sangat kiasan, dan menerjemahkan setiap masalah aljabar ke dalam bidang geometri, di mana, menurutnya, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan bahwa itu adalah pria dengan kekayaan seperti itu imajinasi spasial menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, realisasi esensi fraktal datang tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan arti pola pusaran yang aneh.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi memiliki kesamaan pada skala apa pun. Bangun gambar ini dengan derajat tinggi perincian manual sebelumnya tidak mungkin, itu diperlukan jumlah yang banyak komputasi. Misalnya, matematikawan Prancis Pierre Joseph Louis Fatou menggambarkan himpunan ini lebih dari tujuh puluh tahun sebelum penemuan Benoit Mandelbrot. Jika kita berbicara tentang prinsip-prinsip kesamaan diri, maka mereka disebutkan dalam karya Leibniz dan Georg Cantor.

Salah satu gambar pertama dari fraktal adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir dari penelitian Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (selalu bertopeng - cedera Perang Dunia I)

Matematikawan Prancis ini bertanya-tanya seperti apa bentuk himpunan jika dibangun dari rumus sederhana yang diulang dengan loop masukan. Jika dijelaskan "di jari", ini berarti bahwa untuk angka tertentu kami menemukan nilai baru menggunakan rumus, setelah itu kami menggantinya lagi ke dalam rumus dan mendapatkan nilai lain. Hasilnya adalah urutan angka yang besar.

Untuk mendapatkan gambaran lengkap dari set seperti itu, Anda perlu melakukan banyak perhitungan - ratusan, ribuan, jutaan. Itu tidak mungkin untuk melakukannya secara manual. Tetapi ketika perangkat komputasi yang kuat muncul di tangan ahli matematika, mereka dapat melihat formula dan ekspresi yang telah lama diminati. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk menghitung fraktal klasik. Setelah memproses urutan yang terdiri dari sejumlah besar nilai, Benoit mentransfer hasilnya ke grafik. Inilah yang dia dapatkan.

Selanjutnya, gambar ini diwarnai (misalnya, salah satu cara untuk mewarnai adalah dengan jumlah iterasi) dan menjadi salah satu gambar paling populer yang pernah dibuat oleh manusia.

Seperti pepatah pepatah kuno dikaitkan dengan Heraclitus dari Efesus, "Anda tidak dapat memasuki sungai yang sama dua kali." Ini adalah yang paling cocok untuk menafsirkan geometri fraktal. Tidak peduli seberapa detail kita memeriksa gambar fraktal, kita akan selalu melihat pola yang serupa.

Mereka yang ingin melihat bagaimana gambar ruang Mandelbrot akan terlihat ketika diperbesar berkali-kali dapat melakukannya dengan mengunggah GIF animasi.

Lauren Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal segera ditemukan penggunaan praktis. Karena erat kaitannya dengan visualisasi gambar serupa diri, tidak mengherankan bahwa yang pertama mengadopsi algoritma dan prinsip untuk membangun bentuk yang tidak biasa adalah seniman.

Pendiri masa depan studio Pixar yang legendaris, Loren C. Carpenter, mulai bekerja di Boeing Computer Services pada tahun 1967, yang merupakan salah satu divisi dari perusahaan terkenal yang bergerak dalam pengembangan pesawat baru.

Pada tahun 1977, ia membuat presentasi dengan prototipe model terbang. Lauren bertanggung jawab untuk mengembangkan gambar pesawat yang sedang dirancang. Dia seharusnya membuat gambar model baru, menunjukkan pesawat masa depan dengan pihak yang berbeda. Pada titik tertentu, pendiri masa depan Pixar Animation Studios datang dengan ide kreatif untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Hari ini, setiap siswa dapat memecahkan masalah seperti itu, tetapi pada akhir tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat mengatasi perhitungan yang begitu rumit - editor grafis bukan, belum lagi aplikasi untuk grafis tiga dimensi. Pada tahun 1978, Lauren secara tidak sengaja melihat buku Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension di sebuah toko. Yang menarik perhatiannya dalam buku ini adalah bahwa Benoist memberikan banyak contoh bentuk fraktal di kehidupan nyata dan membuktikan bahwa mereka dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika.

Analogi ini dipilih oleh ahli matematika bukan secara kebetulan. Faktanya adalah begitu dia mempublikasikan penelitiannya, dia harus menghadapi banyak kritik. Hal utama yang dicela oleh rekan-rekannya adalah ketidakbergunaan teori yang dikembangkan. "Ya," kata mereka, "ini adalah gambar yang indah, tetapi tidak lebih. nilai praktis teori fraktal tidak memiliki. Ada juga orang-orang yang umumnya percaya bahwa pola fraktal hanyalah produk sampingan dari pekerjaan "mesin iblis", yang pada akhir tahun tujuh puluhan tampaknya terlalu rumit dan belum dijelajahi untuk dipercaya sepenuhnya. Mandelbrot mencoba menemukan aplikasi yang jelas dari teori fraktal, tetapi, pada umumnya, dia tidak perlu melakukan ini. Para pengikut Benoit Mandelbrot selama 25 tahun berikutnya terbukti sangat berguna untuk "keingintahuan matematika" seperti itu, dan Lauren Carpenter adalah salah satu yang pertama mempraktikkan metode fraktal.

Setelah mempelajari buku itu, animator masa depan dengan serius mempelajari prinsip-prinsip geometri fraktal dan mulai mencari cara untuk menerapkannya dalam grafik komputer. Hanya dalam tiga hari kerja, Lauren dapat memvisualisasikan gambar realistis sistem gunung di komputer Anda. Dengan kata lain, dengan bantuan formula, ia melukis pemandangan gunung yang benar-benar dapat dikenali.

Prinsip yang digunakan Lauren untuk mencapai tujuannya sangat sederhana. Itu terdiri dari membagi sosok geometris yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan ini, pada gilirannya, dibagi menjadi angka-angka serupa dengan ukuran yang lebih kecil.

Menggunakan segitiga yang lebih besar, Carpenter memecahnya menjadi empat yang lebih kecil dan kemudian mengulangi prosedur ini berulang-ulang sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia berhasil menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar. Segera setelah diketahui tentang pekerjaan yang dilakukan, penggemar di seluruh dunia mengambil ide ini dan mulai menggunakan algoritme fraktal untuk mensimulasikan bentuk alami yang realistis.

Salah satu rendering 3D pertama yang menggunakan algoritme fraktal

Hanya beberapa tahun kemudian, Lauren Carpenter mampu menerapkan prestasinya dalam proyek yang jauh lebih besar. Animator mendasarkannya pada demo dua menit, Vol Libre, yang ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan semua orang yang melihatnya, dan Lauren menerima undangan dari Lucasfilm.

Animasi tersebut dirender pada komputer VAX-11/780 dari Digital Equipment Corporation pada kecepatan clock lima megahertz, dan setiap frame membutuhkan waktu sekitar setengah jam untuk menggambar.

Bekerja untuk Lucasfilm Limited, animator menciptakan lanskap 3D yang sama untuk fitur kedua dalam kisah Star Trek. Dalam The Wrath of Khan, Carpenter mampu menciptakan seluruh planet menggunakan prinsip pemodelan permukaan fraktal yang sama.

Saat ini, semua aplikasi populer untuk membuat lanskap 3D menggunakan prinsip yang sama untuk menghasilkan objek alami. Terragen, Bryce, Vue, dan editor 3D lainnya mengandalkan algoritme pemodelan permukaan dan tekstur fraktal.

Antena fraktal: lebih sedikit lebih baik, tetapi lebih baik

Selama setengah abad terakhir, kehidupan telah berubah dengan cepat. Sebagian besar dari kita menerima kemajuan teknologi modern begitu saja. Segala sesuatu yang membuat hidup lebih nyaman, Anda terbiasa dengan sangat cepat. Jarang ada yang bertanya, “Dari mana asalnya?” dan "Bagaimana cara kerjanya?". Oven microwave menghangatkan sarapan - yah, bagus, smartphone memungkinkan Anda berbicara dengan orang lain - bagus. Ini tampak seperti kemungkinan yang jelas bagi kami.

Tetapi hidup bisa sangat berbeda jika seseorang tidak mencari penjelasan atas peristiwa yang terjadi. Ambil, misalnya, telepon seluler. Ingat antena yang dapat ditarik pada model pertama? Mereka mengganggu, menambah ukuran perangkat, pada akhirnya, sering pecah. Kami percaya bahwa mereka telah tenggelam selamanya, dan sebagian karena ini ... fraktal.

Gambar fraktal mempesona dengan polanya. Mereka pasti terlihat seperti gambar. benda luar angkasa- Nebula, gugusan galaksi dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat wajar ketika Mandelbrot menyuarakan teorinya tentang fraktal, penelitiannya membangkitkan minat yang meningkat di antara mereka yang mempelajari astronomi. Seorang amatir bernama Nathan Cohen, setelah menghadiri kuliah oleh Benoit Mandelbrot di Budapest, terinspirasi oleh gagasan penerapan praktis dari pengetahuan yang diperoleh. Benar, dia melakukannya secara intuitif, dan kebetulan memainkan peran penting dalam penemuannya. Sebagai seorang amatir radio, Nathan berusaha membuat antena dengan sensitivitas setinggi mungkin.

Satu-satunya cara untuk meningkatkan parameter antena, yang dikenal pada waktu itu, adalah dengan meningkatkan dimensi geometrisnya. Namun, pemilik apartemen di pusat kota Boston, yang disewa Nathan, dengan tegas menentang pemasangan perangkat besar di atap. Kemudian Nathan mulai bereksperimen dengan berbagai bentuk antena, mencoba untuk mendapatkan hasil maksimal dengan dimensi minimal. Terpesona dengan gagasan bentuk fraktal, Cohen, seperti yang mereka katakan, secara acak membuat salah satu fraktal paling terkenal dari kawat - "kepingan salju Koch". Matematikawan Swedia Helge von Koch menemukan kurva ini pada tahun 1904. Itu diperoleh dengan membagi segmen menjadi tiga bagian dan mengganti segmen tengah dengan segitiga sama sisi tanpa sisi yang bertepatan dengan segmen ini. Definisinya agak sulit dipahami, tetapi gambarnya jelas dan sederhana.

Ada juga varietas lain dari "kurva Koch", tetapi perkiraan bentuk kurvanya tetap sama

Ketika Nathan menghubungkan antena ke penerima radio, dia sangat terkejut - sensitivitasnya meningkat secara dramatis. Setelah serangkaian percobaan, calon profesor di Universitas Boston menyadari bahwa antena yang dibuat menurut pola fraktal memiliki efisiensi tinggi dan mencakup rentang frekuensi yang jauh lebih luas dibandingkan dengan solusi klasik. Selain itu, bentuk antena dalam bentuk kurva fraktal dapat secara signifikan mengurangi dimensi geometris. Nathan Cohen bahkan mengembangkan teorema yang membuktikan bahwa untuk membuat antena broadband, cukup dengan memberikan bentuk kurva fraktal yang serupa.

Penulis mematenkan penemuannya dan mendirikan sebuah perusahaan untuk pengembangan dan desain antena fraktal Sistem Antena Fraktal, dengan tepat percaya bahwa di masa depan, berkat penemuannya, ponsel akan dapat menyingkirkan antena besar dan menjadi lebih kompak.

Pada dasarnya, itulah yang terjadi. Benar, hingga hari ini, Nathan berada dalam tuntutan hukum dengan perusahaan besar yang secara ilegal menggunakan penemuannya untuk memproduksi perangkat komunikasi kompak. Beberapa produsen terkenal perangkat seluler, seperti Motorola, telah mencapai kesepakatan damai dengan penemu antena fraktal.

Dimensi fraktal: pikiran tidak mengerti

Benoit meminjam pertanyaan ini dari ilmuwan Amerika terkenal Edward Kasner.

Yang terakhir, seperti banyak matematikawan terkenal lainnya, sangat suka berkomunikasi dengan anak-anak, mengajukan pertanyaan dan mendapatkan jawaban yang tidak terduga. Terkadang hal ini membawa hasil yang mengejutkan. Jadi, misalnya, keponakan Edward Kasner yang berusia sembilan tahun datang dengan kata "googol" yang sekarang terkenal, yang menunjukkan unit dengan seratus nol. Tapi kembali ke fraktal. Matematikawan Amerika itu suka bertanya, berapa panjangnya? garis pantai AMERIKA SERIKAT. Setelah mendengarkan pendapat lawan bicaranya, Edward sendiri mengucapkan jawaban yang benar. Jika Anda mengukur panjang pada peta dengan segmen yang rusak, maka hasilnya tidak akan akurat, karena garis pantai memiliki sejumlah besar penyimpangan. Dan apa yang terjadi jika Anda mengukur seakurat mungkin? Anda harus memperhitungkan panjang setiap ketidakrataan - Anda perlu mengukur setiap tanjung, setiap teluk, batu, panjang langkan berbatu, batu di atasnya, sebutir pasir, atom, dan sebagainya. Karena jumlah ketidakteraturan cenderung tak terhingga, panjang garis pantai yang diukur akan meningkat hingga tak terhingga dengan setiap ketidakteraturan baru.

Semakin kecil ukuran saat mengukur, semakin besar panjang yang diukur

Menariknya, mengikuti petunjuk Edward, anak-anak jauh lebih cepat daripada orang dewasa dalam mengatakan jawaban yang benar, sementara yang terakhir mengalami kesulitan menerima jawaban yang luar biasa seperti itu.

Menggunakan masalah ini sebagai contoh, Mandelbrot menyarankan menggunakan pendekatan baru untuk pengukuran. Karena garis pantai dekat dengan kurva fraktal, itu berarti bahwa parameter karakterisasi, yang disebut dimensi fraktal, dapat diterapkan padanya.

Apa dimensi yang biasa jelas bagi siapa saja. Jika dimensinya sama dengan satu, kita mendapatkan garis lurus, jika dua - sosok datar, tiga adalah volumenya. Namun, pemahaman dimensi seperti itu dalam matematika tidak bekerja dengan kurva fraktal, di mana parameter ini memiliki nilai pecahan. Dimensi fraktal dalam matematika dapat dianggap sebagai "kekasaran". Semakin tinggi kekasaran kurva, semakin besar dimensi fraktalnya. Kurva yang menurut Mandelbrot memiliki dimensi fraktal lebih tinggi dari dimensi topologinya, memiliki perkiraan panjang yang tidak bergantung pada jumlah dimensi.

Para ilmuwan sekarang menemukan lebih banyak lagi lebih banyak area menerapkan teori fraktal. Dengan bantuan fraktal, Anda dapat menganalisis fluktuasi harga saham, menjelajahi semua jenis proses alam, seperti fluktuasi jumlah spesies, atau mensimulasikan dinamika arus. Algoritma fraktal dapat digunakan untuk kompresi data, misalnya untuk kompresi gambar. Dan omong-omong, untuk mendapatkan fraktal yang indah di layar komputer Anda, Anda tidak harus memiliki gelar doktor.

Fraktal di browser

Mungkin salah satu cara termudah untuk mendapatkan pola fraktal adalah dengan menggunakan editor vektor online dari programmer muda berbakat Toby Schachman. Toolkit editor grafis sederhana ini didasarkan pada prinsip kesamaan diri yang sama.

Hanya ada dua bentuk sederhana yang Anda inginkan - persegi dan lingkaran. Anda dapat menambahkannya ke kanvas, skala (untuk skala di sepanjang salah satu sumbu, tahan tombol Shift) dan putar. Tumpang tindih pada prinsip operasi penjumlahan Boolean, elemen paling sederhana ini membentuk bentuk baru yang tidak terlalu sepele. Selanjutnya, bentuk-bentuk baru ini dapat ditambahkan ke proyek, dan program akan mengulangi pembuatan gambar-gambar ini tanpa batas waktu. Pada setiap tahap pengerjaan fraktal, Anda dapat kembali ke komponen apa pun bentuk kompleks dan edit posisi dan geometrinya. Ini sangat menyenangkan, terutama jika Anda menganggap bahwa satu-satunya alat yang Anda butuhkan untuk berkreasi adalah browser. Jika Anda tidak memahami prinsip bekerja dengan editor vektor rekursif ini, kami menyarankan Anda untuk menonton video di situs web resmi proyek, yang menunjukkan secara rinci seluruh proses pembuatan fraktal.

XaoS: fraktal untuk setiap selera

Banyak editor grafis memiliki alat bawaan untuk membuat pola fraktal. Namun, alat ini biasanya sekunder dan tidak memungkinkan Anda untuk menyempurnakan pola fraktal yang dihasilkan. Dalam kasus di mana perlu untuk membangun fraktal yang akurat secara matematis, editor lintas platform XaoS akan datang untuk menyelamatkan. Program ini memungkinkan tidak hanya untuk membangun citra diri yang serupa, tetapi juga untuk melakukan berbagai manipulasi dengannya. Misalnya, dalam waktu nyata, Anda dapat "berjalan" melalui fraktal dengan mengubah skalanya. Gerakan animasi di sepanjang fraktal dapat disimpan sebagai file XAF dan kemudian diputar ulang dalam program itu sendiri.

XaoS dapat memuat serangkaian parameter acak, serta menggunakan berbagai filter pasca-pemrosesan gambar - menambahkan efek gerakan kabur, menghaluskan transisi tajam antara titik fraktal, mensimulasikan gambar 3D, dan sebagainya.

Zoomer Fraktal: generator fraktal kompak

Dibandingkan dengan generator gambar fraktal lainnya, ia memiliki beberapa keunggulan. Pertama, ukurannya cukup kecil dan tidak memerlukan instalasi. Kedua, mengimplementasikan kemampuan untuk menentukan palet warna gambar. Anda dapat memilih warna dalam model warna RGB, CMYK, HVS dan HSL.

Juga sangat nyaman untuk menggunakan opsi pemilihan warna secara acak dan fungsi membalikkan semua warna dalam gambar. Untuk menyesuaikan warna, ada fungsi pemilihan warna siklik - ketika mode yang sesuai dihidupkan, program menjiwai gambar, mengubah warna secara siklis di atasnya.

Zoomer Fraktal dapat memvisualisasikan 85 fungsi fraktal yang berbeda, dan rumus ditampilkan dengan jelas di menu program. Ada filter untuk gambar pasca-pemrosesan dalam program, meskipun dalam jumlah kecil. Setiap filter yang ditetapkan dapat dibatalkan kapan saja.

Mandelbulb3D: editor fraktal 3D

Ketika istilah "fraktal" digunakan, itu paling sering berarti gambar dua dimensi datar. Namun, geometri fraktal melampaui dimensi 2D. Di alam, orang dapat menemukan kedua contoh bentuk fraktal datar, katakanlah, geometri petir, dan gambar tiga dimensi tiga dimensi. Permukaan fraktal dapat berbentuk 3D, dan salah satu ilustrasi fraktal 3D yang sangat ilustratif di Kehidupan sehari-hari- kepala kubis. Mungkin cara terbaik untuk melihat fraktal adalah di Romanesco, hibrida kembang kol dan brokoli.

Dan fraktal ini bisa dimakan

Program Mandelbulb3D dapat membuat objek tiga dimensi dengan bentuk yang serupa. Untuk mendapatkan permukaan 3D menggunakan algoritme fraktal, penulis aplikasi ini, Daniel White dan Paul Nylander, mengonversi himpunan Mandelbrot ke koordinat bola. Program Mandelbulb3D yang mereka buat adalah editor tiga dimensi nyata yang memodelkan permukaan fraktal dari berbagai bentuk. Karena kita sering mengamati pola fraktal di alam, objek tiga dimensi fraktal yang dibuat secara artifisial tampak sangat realistis dan bahkan "hidup".

Ini mungkin terlihat seperti tanaman, mungkin menyerupai binatang aneh, planet, atau sesuatu yang lain. Efek ini ditingkatkan dengan algoritme rendering canggih yang memungkinkan untuk memperoleh refleksi realistis, menghitung transparansi dan bayangan, mensimulasikan efek kedalaman bidang, dan sebagainya. Mandelbulb3D memiliki banyak sekali pengaturan dan opsi rendering. Anda dapat mengontrol nuansa sumber cahaya, memilih latar belakang dan tingkat detail objek yang dimodelkan.

Editor fraktal Incendia mendukung penghalusan gambar ganda, berisi perpustakaan lima puluh fraktal tiga dimensi yang berbeda dan memiliki modul terpisah untuk mengedit bentuk dasar.

Aplikasi ini menggunakan skrip fraktal, yang dengannya Anda dapat mendeskripsikan tipe baru struktur fraktal secara mandiri. Incendia memiliki editor tekstur dan material, dan mesin rendering yang memungkinkan Anda menggunakan efek kabut volumetrik dan berbagai shader. Program ini memiliki opsi untuk menyimpan buffer selama rendering jangka panjang, pembuatan animasi didukung.

Incendia memungkinkan Anda untuk mengekspor model fraktal ke format grafik 3D populer - OBJ dan STL. Incendia menyertakan utilitas Geometrica kecil - alat khusus untuk menyiapkan ekspor permukaan fraktal ke model tiga dimensi. Dengan menggunakan utilitas ini, Anda dapat menentukan resolusi permukaan 3D, menentukan jumlah iterasi fraktal. Model yang diekspor dapat digunakan dalam proyek 3D saat bekerja dengan editor 3D seperti Blender, 3ds max, dan lainnya.

PADA baru-baru ini pekerjaan di proyek Incendia agak melambat. Saat ini, penulis sedang mencari sponsor yang akan membantunya mengembangkan program.

Jika Anda tidak memiliki cukup imajinasi untuk menggambar fraktal tiga dimensi yang indah dalam program ini, itu tidak masalah. Gunakan pustaka parameter, yang terletak di folder INCENDIA_EX\parameters. Dengan bantuan file PAR, Anda dapat dengan cepat menemukan bentuk fraktal yang paling tidak biasa, termasuk yang animasi.

Aural: bagaimana fraktal bernyanyi

Kami biasanya tidak membicarakan proyek yang baru saja dikerjakan, tetapi dalam hal ini kami harus membuat pengecualian, ini adalah aplikasi yang sangat tidak biasa. Sebuah proyek bernama Aural datang dengan orang yang sama dengan Incendia. Benar, kali ini program tidak memvisualisasikan himpunan fraktal, tetapi menyuarakannya, mengubahnya menjadi musik elektronik. Idenya sangat menarik, terutama mengingat sifat fraktal yang tidak biasa. Aural adalah editor audio yang menghasilkan melodi menggunakan algoritme fraktal, yang sebenarnya adalah audio synthesizer-sequencer.

Urutan suara yang diberikan oleh program ini tidak biasa dan ... indah. Ini mungkin berguna untuk menulis ritme modern dan, menurut kami, sangat cocok untuk menciptakan trek audio untuk screensaver program televisi dan radio, serta "loop" musik latar untuk permainan komputer. Ramiro belum menyediakan versi demo programnya, tetapi berjanji bahwa ketika dia melakukannya, untuk bekerja dengan Aural, dia tidak perlu mempelajari teori fraktal - cukup bermain-main dengan parameter algoritma untuk menghasilkan urutan nada. Dengarkan bagaimana suara fraktal, dan.

Fraktal: jeda musik

Faktanya, fraktal dapat membantu menulis musik bahkan tanpa perangkat lunak. Tetapi ini hanya dapat dilakukan oleh seseorang yang benar-benar diilhami oleh gagasan harmoni alam dan pada saat yang sama tidak berubah menjadi "kutu buku" yang malang. Masuk akal untuk mengambil petunjuk dari seorang musisi bernama Jonathan Coulton, yang, antara lain, menulis komposisi untuk majalah Popular Science. Dan tidak seperti seniman lain, Colton menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Atribusi-Nonkomersial Creative Commons, yang (bila digunakan untuk tujuan non-komersial) menyediakan penyalinan, distribusi, transfer karya kepada orang lain, serta modifikasi (pembuatan) secara gratis. karya turunan) untuk menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda.

Jonathan Colton, tentu saja, memiliki lagu tentang fraktal.

Kesimpulan

Dalam segala hal di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, tetapi sebenarnya ini bukan kebetulan, tetapi bentuk ideal, yang membantu kita membedakan fraktal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika di suatu tempat kita tidak melihat pola, ini berarti kita perlu mencarinya dalam skala yang berbeda. Orang-orang memahami ini dengan lebih baik dan lebih baik, mencoba meniru dalam banyak cara bentuk alami. Insinyur merancang sistem speaker dalam bentuk cangkang, membuat antena dengan geometri kepingan salju, dan sebagainya. Kami yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh manusia.

Apa arti pohon, pantai, awan atau pembuluh darah di tangan kita? Sepintas, tampaknya semua objek ini tidak memiliki kesamaan. Namun, pada kenyataannya, ada satu properti dari struktur yang melekat pada semua objek yang terdaftar: mereka serupa. Dari cabang, serta dari batang pohon, proses yang lebih kecil berangkat, dari mereka - bahkan yang lebih kecil, dll., yaitu, cabang mirip dengan seluruh pohon. Sistem peredaran darah diatur dengan cara yang sama: arteriol berangkat dari arteri, dan dari mereka - kapiler terkecil di mana oksigen memasuki organ dan jaringan. Mari lihat gambar luar angkasa pantai laut: kita akan melihat teluk dan semenanjung; mari kita lihat, tetapi dari pandangan mata burung: kita akan melihat teluk dan tanjung; sekarang bayangkan kita berdiri di pantai dan melihat kaki kita: akan selalu ada kerikil yang menonjol lebih jauh ke dalam air daripada yang lain. Artinya, garis pantai tetap mirip dengan dirinya sendiri saat diperbesar. Ahli matematika Amerika Benoit Mandelbrot menyebut properti objek fraktalitas ini, dan objek semacam itu sendiri - fraktal (dari bahasa Latin fractus - rusak).

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Biasanya, fraktal adalah sosok geometris yang memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut: struktur kompleks pada zoom apa pun (tidak seperti, misalnya, garis lurus, bagian mana pun yang merupakan figur geometris paling sederhana - segmen). Ini (kurang lebih) mirip dengan diri sendiri. Ini memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) fraksional, yang lebih besar dari dimensi topologi. Dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Geometri dan Aljabar

Studi tentang fraktal pada giliran XIX dan abad ke-20 lebih episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat diselidiki menggunakan metode umum dan teori. Pada tahun 1872 matematikawan Jerman Karl Weierstrass membuat sebuah contoh fungsi kontinu, yang mana tidak dapat dibedakan. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, orang Swedia Helge von Koch datang dengan kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan menggambarnya cukup sederhana. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu variasi kurva ini disebut kepingan salju Koch.

Ide-ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya "Pesawat dan Kurva Spasial dan Permukaan yang Terdiri dari Bagian yang Mirip dengan Keseluruhan" diterbitkan, di mana fraktal lain dijelaskan - kurva Lévy C. Semua fraktal yang tercantum di atas dapat dikaitkan secara kondisional ke satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Penelitian pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, Julia menerbitkan hampir dua ratus halaman memoar yang didedikasikan untuk iterasi kompleks fungsi rasional, yang menggambarkan himpunan Julia, seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan matematikawan saat itu, itu dengan cepat dilupakan. Sekali lagi, perhatian beralih ke hal itu hanya setengah abad kemudian dengan munculnya komputer: merekalah yang membuat terlihat kekayaan dan keindahan dunia fraktal.

Dimensi fraktal

Seperti yang Anda ketahui, dimensi (jumlah pengukuran) dari bangun geometris adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menentukan posisi suatu titik yang terletak pada gambar ini.
Misalnya, posisi titik pada kurva ditentukan oleh satu koordinat, pada permukaan (tidak harus bidang) oleh dua koordinat, dalam ruang tiga dimensi oleh tiga koordinat.
Dengan lebih umum titik matematika kita dapat mendefinisikan dimensi dengan cara ini: peningkatan dimensi linier, katakanlah, dua kali, untuk objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) (segmen) mengarah ke peningkatan ukuran (panjang) dengan faktor dua, untuk dua dimensi (persegi) peningkatan yang sama dalam dimensi linier mengarah pada peningkatan ukuran (luas) sebanyak 4 kali, untuk tiga dimensi (kubus) - sebanyak 8 kali. Artinya, dimensi "nyata" (disebut Hausdorff) dapat dihitung sebagai rasio logaritma peningkatan "ukuran" suatu objek dengan logaritma peningkatan ukuran liniernya. Yaitu, untuk segmen D=log (2)/log (2)=1, untuk bidang D=log (4)/log (2)=2, untuk volume D=log (8)/log (2 )=3.
Mari kita sekarang menghitung dimensi kurva Koch, untuk konstruksi yang segmen unitnya dibagi menjadi tiga bagian yang sama dan interval tengahnya diganti dengan segitiga sama sisi tanpa segmen ini. Dengan peningkatan dimensi linier dari segmen minimum tiga kali, panjang kurva Koch meningkat pada log (4) / log (3) ~ 1,26. Artinya, dimensi kurva Koch adalah pecahan!

Sains dan seni

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada waktu itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot membuat penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus dan konstruksi matematika yang rumit, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan kisah-kisah sejarah, yang dengannya penulisnya dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah dari monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal menjadi dikenal oleh masyarakat umum. Keberhasilan mereka di antara non-ahli matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Kapan komputer pribadi menjadi sangat kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

Skema untuk mendapatkan kurva Koch

Perang dan damai

Seperti disebutkan di atas, salah satu objek alam yang memiliki sifat fraktal adalah garis pantai. Satu cerita menarik terkait dengannya, atau lebih tepatnya, dengan upaya untuk mengukur panjangnya, yang menjadi dasar artikel ilmiah Mandelbrot, dan juga dijelaskan dalam bukunya "Geometri Fraktal Alam". Kita berbicara tentang eksperimen yang dibuat oleh Lewis Richardson, seorang matematikawan, fisikawan, dan ahli meteorologi yang sangat berbakat dan eksentrik. Salah satu arah penelitiannya adalah upaya untuk menemukan deskripsi matematis tentang penyebab dan kemungkinan konflik bersenjata antara dua negara. Di antara parameter yang dia pertimbangkan adalah panjang perbatasan bersama antara kedua negara yang bertikai. Ketika dia mengumpulkan data untuk eksperimen numerik, dia menemukan bahwa di sumber yang berbeda data aktif perbatasan umum Spanyol dan Portugal sangat berbeda. Ini membawanya ke penemuan berikut: panjang perbatasan negara tergantung pada penggaris yang kita gunakan untuk mengukurnya. Bagaimana skala yang lebih kecil, semakin panjang batasnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pada perbesaran yang lebih tinggi menjadi mungkin untuk memperhitungkan semakin banyak tikungan pantai, yang sebelumnya diabaikan karena kekasaran pengukuran. Dan jika, dengan setiap zoom, tikungan garis yang sebelumnya tidak terhitung dibuka, maka ternyata panjang perbatasan tidak terbatas! Benar, sebenarnya ini tidak terjadi - keakuratan pengukuran kami memiliki batas yang terbatas. Paradoks ini disebut efek Richardson.

Fraktal konstruktif (geometris)

Algoritma untuk membangun fraktal konstruktif dalam kasus umum adalah sebagai berikut. Pertama-tama, kita membutuhkan dua bentuk geometris yang cocok, sebut saja alas dan pecahannya. Pada tahap pertama, dasar fraktal masa depan digambarkan. Kemudian beberapa bagiannya diganti dengan fragmen yang diambil dalam skala yang sesuai - ini adalah iterasi pertama dari konstruksi. Kemudian, pada gambar yang dihasilkan, beberapa bagian lagi berubah menjadi gambar yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya.Jika kita melanjutkan proses ini tanpa batas, maka pada batasnya kita mendapatkan fraktal.

Pertimbangkan proses ini menggunakan contoh kurva Koch (lihat bilah sisi di halaman sebelumnya). Kurva apa pun dapat diambil sebagai dasar dari kurva Koch (untuk kepingan salju Koch, ini adalah segitiga). Tetapi kami membatasi diri pada kasus yang paling sederhana - sebuah segmen. Fragmen adalah garis putus-putus yang ditunjukkan di bagian atas gambar. Setelah iterasi pertama dari algoritma, dalam hal ini, segmen asli akan bertepatan dengan fragmen, kemudian masing-masing segmen penyusunnya sendiri akan digantikan oleh garis putus-putus yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya Gambar menunjukkan empat yang pertama langkah-langkah dari proses ini.

Bahasa matematika: fraktal dinamis (aljabar)

Fraktal jenis ini muncul dalam studi sistem dinamik nonlinier (oleh karena itu namanya). Perilaku sistem tersebut dapat dijelaskan oleh fungsi nonlinier kompleks (polinomial) f (z). Mari kita ambil beberapa titik awal z0 pada bidang kompleks (lihat bilah sisi). Sekarang perhatikan barisan bilangan tak hingga pada bidang kompleks, yang masing-masing diperoleh dari yang sebelumnya: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Tergantung pada titik awal z0, urutan seperti itu dapat berperilaku berbeda: cenderung tak terhingga sebagai n -> ; konvergen ke beberapa titik akhir; mengambil sejumlah nilai tetap secara siklis; opsi yang lebih kompleks dimungkinkan.

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian - nyata dan imajiner, yaitu, jumlah formal x + iy (x dan y di sini - bilangan asli). saya adalah apa yang disebut. satuan imajiner, yaitu bilangan yang memenuhi persamaan saya ^ 2 = -1. Di atas bilangan kompleks, yang utama operasi matematika- penambahan, perkalian, pembagian, pengurangan (hanya operasi perbandingan yang tidak ditentukan). Sering digunakan untuk menampilkan bilangan kompleks representasi geometris- pada bidang (disebut kompleks), bagian nyata diplot sepanjang sumbu absis, dan bagian imajiner di sepanjang sumbu ordinat, sedangkan bilangan kompleks akan sesuai dengan titik dengan koordinat Cartesian x dan y.

Jadi, setiap titik z dari bidang kompleks memiliki karakter perilakunya sendiri selama iterasi fungsi f (z), dan seluruh bidang dibagi menjadi beberapa bagian. Selain itu, titik-titik yang terletak pada batas bagian-bagian ini memiliki properti berikut: untuk perpindahan kecil yang sewenang-wenang, sifat perilakunya berubah secara dramatis (titik-titik seperti itu disebut titik bifurkasi). Jadi, ternyata himpunan titik yang memiliki satu jenis perilaku tertentu, serta himpunan titik bifurkasi, seringkali memiliki sifat fraktal. Ini adalah himpunan Julia untuk fungsi f(z).

keluarga naga

Dengan memvariasikan dasar dan fragmen, Anda bisa mendapatkan variasi fraktal konstruktif yang menakjubkan.
Selain itu, operasi semacam itu dapat dilakukan di ruang tiga dimensi. Contoh fraktal volumetrik adalah “Spons Menger”, “Piramida Sierpinski” dan lain-lain.
Keluarga naga juga disebut fraktal konstruktif. Mereka kadang-kadang disebut dengan nama penemunya sebagai "naga Heiwei-Harter" (mereka menyerupai naga Cina dalam bentuknya). Ada beberapa cara untuk membangun kurva ini. Yang paling sederhana dan paling jelas di antaranya adalah ini: Anda perlu mengambil selembar kertas yang cukup panjang (semakin tipis kertasnya, semakin baik), dan tekuk menjadi dua. Kemudian tekuk lagi menjadi dua dengan arah yang sama seperti pertama kali. Setelah beberapa kali pengulangan (biasanya setelah lima atau enam kali lipatan, strip menjadi terlalu tebal untuk ditekuk lebih lanjut dengan hati-hati), Anda perlu meluruskan strip ke belakang, dan mencoba membentuk sudut 90˚ pada lipatan. Kemudian kurva naga akan berubah menjadi profil. Tentu saja, ini hanya akan menjadi perkiraan, seperti semua upaya kami untuk menggambarkan objek fraktal. Komputer memungkinkan Anda untuk menggambarkan banyak hal langkah lagi proses ini, dan hasilnya adalah sosok yang sangat indah.

Himpunan Mandelbrot dibangun agak berbeda. Pertimbangkan fungsi fc (z) = z 2 +c, di mana c adalah bilangan kompleks. Mari kita buat barisan fungsi ini dengan z0=0, bergantung pada parameter c, ia dapat menyimpang hingga tak terhingga atau tetap terbatas. Selain itu, semua nilai c yang dibatasi barisan ini membentuk himpunan Mandelbrot. Itu dipelajari secara rinci oleh Mandelbrot sendiri dan matematikawan lain, yang menemukan banyak properti menarik set ini.

Dapat dilihat bahwa definisi himpunan Julia dan Mandelbrot mirip satu sama lain. Sebenarnya, kedua set ini terkait erat. Yaitu, himpunan Mandelbrot adalah semua nilai dari parameter kompleks c di mana himpunan Julia fc (z) terhubung (satu set disebut terhubung jika tidak dapat dibagi menjadi dua bagian yang tidak berpotongan, dengan beberapa kondisi tambahan).

fraktal dan kehidupan

Saat ini, teori fraktal menemukan aplikasi luas di berbagai daerah aktifitas manusia. Selain objek ilmiah murni untuk penelitian dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori informasi untuk mengompresi data grafik (di sini, sifat kesamaan diri fraktal terutama digunakan - lagi pula, untuk mengingat fragmen kecil dari gambar dan transformasi yang dengannya Anda bisa mendapatkan sisa bagian, dibutuhkan memori yang jauh lebih sedikit daripada menyimpan seluruh file). Dengan menambahkan gangguan acak ke rumus yang mendefinisikan fraktal, seseorang dapat memperoleh fraktal stokastik yang sangat masuk akal menyampaikan beberapa objek nyata - elemen relief, permukaan badan air, beberapa tanaman, yang berhasil digunakan dalam fisika, geografi, dan grafik komputer untuk mencapai kesamaan yang lebih besar dari objek simulasi dengan nyata. Dalam elektronik radio, dalam satu dekade terakhir, mereka mulai memproduksi antena yang memiliki bentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka menyediakan cukup penerimaan berkualitas sinyal. Ekonom menggunakan fraktal untuk menggambarkan kurva fluktuasi mata uang (properti ini ditemukan oleh Mandelbrot lebih dari 30 tahun yang lalu). Ini mengakhiri perjalanan singkat ke dunia fraktal, yang menakjubkan dalam keindahan dan keragamannya.

Seringkali, penemuan brilian yang dibuat dalam sains dapat secara radikal mengubah hidup kita. Jadi, misalnya, penemuan vaksin dapat menyelamatkan banyak orang, dan penciptaan senjata baru mengarah pada pembunuhan. Secara harfiah kemarin (dalam skala sejarah) seseorang "menjinakkan" listrik, dan hari ini dia tidak bisa lagi membayangkan hidupnya tanpanya. Namun, ada juga penemuan-penemuan yang, seperti yang mereka katakan, tetap dalam bayang-bayang, dan terlepas dari kenyataan bahwa mereka juga memiliki pengaruh pada kehidupan kita. Salah satu penemuan ini adalah fraktal. Kebanyakan orang bahkan belum pernah mendengar konsep seperti itu dan tidak akan bisa menjelaskan artinya. Pada artikel ini, kami akan mencoba menjawab pertanyaan tentang apa itu fraktal, pertimbangkan arti istilah ini dari sudut pandang sains dan alam.

Memesan dalam kekacauan

Untuk memahami apa itu fraktal, seseorang harus memulai pembekalan dari posisi matematika, namun, sebelum mempelajarinya, kami berfilsafat sedikit. Setiap orang memiliki keingintahuan alami, berkat itu ia mempelajari dunia di sekitarnya. Seringkali, dalam keinginannya akan pengetahuan, ia mencoba beroperasi dengan logika dalam penilaiannya. Jadi, menganalisis proses yang terjadi di sekitar, ia mencoba menghitung hubungan dan memperoleh pola tertentu. Pikiran terbesar di planet ini sibuk memecahkan masalah ini. Secara kasar, para ilmuwan kami mencari pola di mana mereka tidak ada, dan tidak seharusnya. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan ada hubungan antara peristiwa-peristiwa tertentu. Koneksi ini adalah fraktal. Sebagai contoh, perhatikan cabang patah yang tergeletak di jalan. Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa ia, dengan semua cabang dan simpulnya, tampak seperti pohon. Kesamaan bagian yang terpisah dengan satu keseluruhan ini membuktikan apa yang disebut prinsip kesamaan diri rekursif. Fraktal di alam dapat ditemukan sepanjang waktu, karena banyak bentuk anorganik dan organik terbentuk dengan cara yang sama. Ini adalah awan, dan kerang laut, dan kulit siput, dan mahkota pohon, dan bahkan sistem peredaran darah. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua bentuk acak ini mudah dijelaskan oleh algoritma fraktal. Di sini kita datang untuk mempertimbangkan apa itu fraktal dari sudut pandang ilmu eksakta.

Beberapa fakta kering

Kata "fraktal" diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai "sebagian", "terbagi", "terpecah-pecah", dan untuk isi istilah ini, kata-kata seperti itu tidak ada. Biasanya diperlakukan sebagai himpunan yang serupa, bagian dari keseluruhan, yang diulangi oleh strukturnya pada tingkat mikro. Istilah ini diciptakan pada tahun tujuh puluhan abad kedua puluh oleh Benoit Mandelbrot, yang diakui sebagai bapak.Hari ini, konsep fraktal berarti representasi grafis dari struktur tertentu, yang jika diperbesar, akan mirip dengan dirinya sendiri. Namun, dasar matematika untuk penciptaan teori ini diletakkan bahkan sebelum kelahiran Mandelbrot sendiri, tetapi tidak dapat berkembang sampai komputer elektronik muncul.

Referensi sejarah, atau Bagaimana semuanya dimulai

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang sifat fraktal bersifat episodik. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa matematikawan lebih suka mempelajari objek yang dapat diselidiki berdasarkan teori dan metode umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman K. Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksi ini ternyata benar-benar abstrak dan sulit dipahami. Berikutnya adalah orang Swedia Helge von Koch, yang pada tahun 1904 membangun kurva kontinu yang tidak bersinggungan di mana pun. Sangat mudah untuk menggambar, dan, ternyata, ini ditandai dengan sifat fraktal. Salah satu varian kurva ini dinamai sesuai nama penulisnya - "kepingan salju Koch". Selanjutnya, gagasan kesamaan diri tokoh dikembangkan oleh mentor masa depan B. Mandelbrot, orang Prancis Paul Levy. Pada tahun 1938 ia menerbitkan makalah "Bidang dan Kurva Spasial dan Permukaan yang Terdiri dari Bagian-Bagian Seperti Keseluruhan". Di dalamnya dia menjelaskan jenis baru- Kurva Retribusi C. Semua angka di atas secara kondisional merujuk pada bentuk seperti fraktal geometris.

Fraktal dinamis atau aljabar

Himpunan Mandelbrot termasuk dalam kelas ini. Matematikawan Prancis Pierre Fatou dan Gaston Julia menjadi peneliti pertama ke arah ini. Pada tahun 1918 Julia menerbitkan sebuah makalah berdasarkan studi tentang iterasi fungsi kompleks rasional. Di sini ia menggambarkan keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Terlepas dari kenyataan bahwa pekerjaan ini memuliakan penulis di antara ahli matematika, dia dengan cepat dilupakan. Dan hanya setengah abad kemudian, berkat komputer, karya Julia mendapat kehidupan kedua. Komputer memungkinkan untuk memperlihatkan kepada setiap orang keindahan dan kekayaan dunia fraktal yang dapat "dilihat" oleh matematikawan dengan menampilkannya melalui fungsi. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk melakukan perhitungan (secara manual volume seperti itu tidak mungkin dilakukan) yang memungkinkan untuk membuat gambar dari angka-angka ini.

Pria dengan imajinasi spasial

Mandelbrot memulai karir ilmiahnya di IBM Research Center. Mempelajari kemungkinan transmisi data jarak jauh, para ilmuwan dihadapkan pada fakta kerugian besar yang muncul karena gangguan kebisingan. Benoit sedang mencari cara untuk memecahkan masalah ini. Melihat melalui hasil pengukuran, ia menarik perhatian pada pola yang aneh, yaitu: grafik kebisingan tampak sama pada skala waktu yang berbeda.

Gambaran serupa diamati baik untuk jangka waktu satu hari, dan selama tujuh hari, atau selama satu jam. Benoit Mandelbrot sendiri sering mengulangi bahwa dia tidak bekerja dengan rumus, tetapi bermain dengan gambar. Ilmuwan ini dibedakan oleh pemikiran imajinatif, ia menerjemahkan masalah aljabar apa pun ke dalam area geometris, di mana jawaban yang benar sudah jelas. Maka tidak heran, dibedakan oleh orang kaya dan menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, kesadaran akan sosok ini hanya bisa datang ketika Anda mempelajari gambar-gambar itu dan memikirkan arti dari pusaran-pusaran aneh yang membentuk pola itu. Gambar fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi mereka serupa pada skala apa pun.

Julia - Mandelbrot

Salah satu gambar pertama dari gambar ini adalah interpretasi grafis dari himpunan, yang lahir berkat karya Gaston Julia dan diselesaikan oleh Mandelbrot. Gaston mencoba membayangkan seperti apa set ketika dibangun dari formula sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Mari kita coba menjelaskan apa yang telah dikatakan dalam bahasa manusia, bisa dikatakan, dengan jari. Untuk spesifik nilai numerik menggunakan rumus untuk menemukan nilai baru. Kami menggantinya ke dalam rumus dan menemukan yang berikut. Hasilnya besar.Untuk mewakili set seperti itu, Anda perlu melakukan operasi ini berkali-kali: ratusan, ribuan, jutaan. Inilah yang dilakukan Benoit. Dia memproses urutannya dan mentransfer hasilnya ke bentuk grafik. Selanjutnya, ia mewarnai gambar yang dihasilkan (setiap warna sesuai dengan sejumlah iterasi tertentu). Gambar grafik ini disebut fraktal Mandelbrot.

L. Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal dengan cepat menemukan aplikasi praktis. Karena sangat erat kaitannya dengan visualisasi gambar serupa diri, yang pertama mengadopsi prinsip dan algoritma untuk membangun bentuk yang tidak biasa ini adalah seniman. Yang pertama adalah calon pendiri studio Pixar Lauren Carpenter. Saat mengerjakan presentasi prototipe pesawat, ia muncul dengan ide untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, hampir setiap pengguna komputer dapat mengatasi tugas seperti itu, dan pada tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat melakukan proses seperti itu, karena tidak ada editor grafis dan aplikasi untuk grafik tiga dimensi pada waktu itu. Loren menemukan Fraktal Mandelbrot: Bentuk, Keacakan, dan Dimensi. Di dalamnya, Benois memberi banyak contoh, menunjukkan bahwa ada fraktal di alam (fyva), ia menggambarkan berbagai bentuknya dan membuktikan bahwa mereka mudah dijelaskan. ekspresi matematika. Analogi ini matematikawan yang dikutip sebagai argumen kegunaan teori yang dia kembangkan dalam menanggapi kebingungan kritik dari rekan-rekannya. Mereka berargumen bahwa fraktal hanyalah gambar indah tanpa nilai, yang merupakan produk sampingan dari karya tersebut mesin elektronik. Tukang kayu memutuskan untuk mencoba metode ini dalam praktik. Setelah mempelajari buku itu dengan cermat, animator masa depan mulai mencari cara untuk menerapkan geometri fraktal dalam grafik komputer. Hanya butuh tiga hari baginya untuk membuat gambar lanskap gunung yang benar-benar realistis di komputernya. Dan hari ini prinsip ini banyak digunakan. Ternyata, membuat fraktal tidak membutuhkan banyak waktu dan usaha.

Keputusan tukang kayu

Prinsip yang digunakan Lauren ternyata sederhana. Ini terdiri dari membagi yang lebih besar menjadi elemen yang lebih kecil, dan mereka menjadi yang lebih kecil yang serupa, dan seterusnya. Tukang kayu, menggunakan segitiga besar, menghancurkannya menjadi 4 segitiga kecil, dan seterusnya, sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia menjadi seniman pertama yang menerapkan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar yang diperlukan. Hari ini, prinsip ini digunakan untuk mensimulasikan berbagai bentuk alam yang realistis.

Visualisasi 3D pertama berdasarkan algoritma fraktal

Beberapa tahun kemudian, Lauren menerapkan karyanya dalam proyek skala besar - video animasi Vol Libre, ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan banyak orang, dan penciptanya diundang untuk bekerja di Lucasfilm. Di sini animator dapat sepenuhnya menyadari dirinya sendiri, ia menciptakan lanskap tiga dimensi (seluruh planet) untuk film fitur "Star Trek". Setiap program modern(Fraktal) atau aplikasi grafik 3D (Terragen, Vue, Bryce) masih menggunakan algoritma yang sama untuk memodelkan tekstur dan permukaan.

Tom Beddard

Seorang mantan fisikawan laser dan sekarang seniman dan seniman digital, Beddard menciptakan serangkaian bentuk geometris yang sangat menarik yang disebutnya fraktal Faberge. Secara lahiriah, mereka menyerupai telur dekoratif dari perhiasan Rusia, mereka memiliki pola rumit yang brilian. Beddard menggunakan metode template untuk membuat rendering model digitalnya. Produk yang dihasilkan sangat mencolok dalam keindahannya. Meskipun banyak yang menolak untuk membandingkan produk buatan sendiri dengan program komputer, bagaimanapun, harus diakui bahwa bentuk yang dihasilkan luar biasa indah. Sorotan adalah bahwa siapa pun dapat membangun fraktal seperti itu menggunakan perpustakaan perangkat lunak WebGL. Ini memungkinkan Anda untuk menjelajahi berbagai struktur fraktal secara real time.

fraktal di alam

Hanya sedikit orang yang memperhatikan, tetapi angka-angka luar biasa ini ada di mana-mana. Alam terdiri dari sosok-sosok yang serupa, kita hanya tidak menyadarinya. Cukup dengan melihat melalui kaca pembesar ke kulit kita atau daun pohon, dan kita akan melihat fraktal. Atau ambil, misalnya, nanas atau bahkan ekor merak - mereka terdiri dari gambar yang serupa. Dan varietas brokoli Romanescu umumnya mencolok dalam penampilannya, karena itu benar-benar dapat disebut keajaiban alam.

jeda musik

Ternyata fraktal bukan hanya bentuk geometris, tapi juga bisa berupa suara. Jadi, musisi Jonathan Colton menulis musik menggunakan algoritma fraktal. Dia mengklaim sesuai dengan harmoni alam. Komposer menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi CreativeCommons Attribution-Noncommercial, yang menyediakan distribusi, penyalinan, transfer karya oleh orang lain secara gratis.

Indikator fraktal

Teknik ini telah menemukan aplikasi yang sangat tidak terduga. Atas dasar itu, alat untuk menganalisis pasar bursa telah dibuat, dan sebagai hasilnya, alat itu mulai digunakan di pasar Forex. Sekarang indikator fraktal ditemukan di semua platform perdagangan dan digunakan dalam teknik perdagangan yang disebut penembusan harga. Bill Williams mengembangkan teknik ini. Sebagai penulis komentar pada penemuannya, algoritma ini adalah kombinasi dari beberapa "lilin", di mana yang pusat mencerminkan titik maksimum atau, sebaliknya, titik ekstrem minimum.

Akhirnya

Jadi kami telah mempertimbangkan apa itu fraktal. Ternyata dalam kekacauan yang melingkupi kita, nyatanya ada bentuk-bentuk ideal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika kita tidak dapat menemukan pola, ini tidak berarti bahwa itu tidak ada. Mungkin Anda perlu melihat skala yang berbeda. Kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia yang belum kita temukan.

Halo semua! Nama saya adalah, Ribenek Valeria, Ulyanovsk dan hari ini saya akan memposting beberapa artikel ilmiah saya di situs web LCI.

Pertamaku Artikel Penelitian blog ini akan fokus pada fraktal. Saya akan segera mengatakan bahwa artikel saya dirancang untuk hampir semua audiens. Itu. Saya berharap mereka akan menarik bagi anak sekolah dan siswa.

Baru-baru ini saya belajar tentang benda-benda menarik seperti itu dunia matematika seperti fraktal. Tapi mereka ada tidak hanya dalam matematika. Mereka mengelilingi kita di mana-mana. Fraktal itu alami. Tentang apa itu fraktal, tentang jenis-jenis fraktal, tentang contoh benda-benda tersebut dan aplikasinya akan saya ceritakan di artikel ini. Untuk memulainya, saya akan memberi tahu Anda secara singkat apa itu fraktal.

Fraktal(lat. fractus - hancur, rusak, patah) adalah kompleks sosok geometris, yang memiliki sifat kesamaan diri, yaitu terdiri dari beberapa bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan. Lebih banyak lagi pengertian luas fraktal dipahami sebagai kumpulan titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik selain topologi. Sebagai contoh, saya akan menyisipkan gambar empat fraktal yang berbeda.

Mari saya ceritakan sedikit tentang sejarah fraktal. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Kata "fraktal" diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur tidak beraturan tetapi serupa diri yang ia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi buku Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Tetapi hanya di zaman kita ini dimungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.

Ada banyak contoh fraktal, karena, seperti yang saya katakan, mereka mengelilingi kita di mana-mana. Menurut pendapat saya, bahkan seluruh alam semesta kita adalah satu fraktal besar. Lagi pula, semua yang ada di dalamnya, mulai dari struktur atom hingga struktur Semesta itu sendiri, persis saling berulang. Tetapi, tentu saja, ada contoh fraktal yang lebih spesifik dari berbagai daerah. Fraktal, misalnya, hadir dalam dinamika yang kompleks. Di sana mereka secara alami muncul dalam studi nonlinier sistem dinamis. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamis ditentukan oleh iterasi polinomial atau holomorfik fungsi dari kompleks variabel di permukaan. Beberapa fraktal yang paling terkenal dari jenis ini adalah himpunan Julia, himpunan Mandelbrot dan cekungan Newton. Di bawah ini, secara berurutan, gambar menunjukkan masing-masing fraktal di atas.

Contoh lain dari fraktal adalah kurva fraktal. Cara terbaik untuk menjelaskan bagaimana membangun fraktal menggunakan contoh kurva fraktal. Salah satu kurva tersebut adalah yang disebut Koch Snowflake. Ada prosedur sederhana untuk mendapatkan kurva fraktal pada bidang. Kami mendefinisikan garis putus-putus sewenang-wenang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya, kami mengganti setiap segmen di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya, garis putus-putus mirip dengan generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada limit kita mendapatkan kurva fraktal. Di bawah ini adalah kepingan salju Koch (atau kurva).

Kurva fraktal juga ada banyak sekali. Yang paling terkenal dari mereka adalah Koch Snowflake yang telah disebutkan, serta kurva Levy, kurva Minkowski, Naga yang rusak, kurva Piano dan pohon Pythagoras. Gambar fraktal ini dan sejarahnya, saya pikir, jika Anda mau, Anda dapat dengan mudah menemukannya di Wikipedia.

Contoh atau jenis fraktal yang ketiga adalah fraktal stokastik. Fraktal tersebut termasuk lintasan gerak brown di pesawat dan di luar angkasa, evolusi Schramm-Löwner, berbagai jenis fraktal acak, yaitu, fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif, di mana parameter acak diperkenalkan pada setiap langkah.

Ada juga fraktal matematika murni. Ini, misalnya, Set penyanyi, Menger spons, segitiga Sierpinski dan lain-lain.

Tapi mungkin fraktal yang paling menarik adalah yang alami. Fraktal alam adalah benda-benda di alam yang memiliki sifat fraktal. Dan sudah ada daftar besar. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena, mungkin, saya tidak dapat mencantumkan semuanya, tetapi saya akan menceritakan beberapa. Misalnya, di alam yang hidup, fraktal semacam itu mencakup sistem peredaran darah dan paru-paru kita. Dan juga mahkota dan daun pohon. Juga di sini Anda dapat memasukkan bintang laut, bulu babi, karang, kerang laut, beberapa tanaman, seperti kubis atau brokoli. Di bawah ini, beberapa fraktal alami dari satwa liar ditunjukkan dengan jelas.

Jika kita mempertimbangkan alam mati, lalu disana contoh menarik lebih dari hidup. Petir, kepingan salju, awan, yang diketahui semua orang, pola di jendela pada hari yang dingin, kristal, pegunungan - semua ini adalah contoh fraktal alami dari alam mati.

Kami telah mempertimbangkan contoh dan jenis fraktal. Adapun penggunaan fraktal, mereka paling banyak digunakan daerah yang berbeda pengetahuan. Dalam fisika, fraktal muncul secara alami ketika memodelkan proses nonlinier seperti aliran fluida turbulen, proses yang kompleks difusi-adsorpsi, api, awan, dll. Fraktal digunakan dalam pemodelan bahan berpori, misalnya, dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan untuk menggambarkan sistem. organ dalam(sistem pembuluh darah). Setelah kurva Koch dibuat, diusulkan untuk digunakan dalam menghitung panjang garis pantai. Juga, fraktal secara aktif digunakan dalam teknik radio, dalam ilmu komputer dan teknologi komputer, telekomunikasi dan bahkan ekonomi. Dan, tentu saja, penglihatan fraktal digunakan secara aktif dalam seni kontemporer dan arsitektur. Berikut adalah salah satu contoh lukisan fraktal:

Jadi, dalam hal ini saya berpikir untuk melengkapi cerita saya tentang fenomena matematika yang tidak biasa seperti fraktal. Hari ini kita belajar tentang apa itu fraktal, bagaimana kemunculannya, tentang jenis dan contoh fraktal. Dan saya juga berbicara tentang aplikasi mereka dan menunjukkan beberapa fraktal dengan jelas. Saya harap Anda menikmati perjalanan singkat ini ke dunia objek fraktal yang menakjubkan dan mempesona.