Pelajaran 32-33. Membalik fungsi trigonometri

09.07.2015 5917 0

Target: pertimbangkan fungsi trigonometri terbalik, penggunaannya untuk menulis solusi persamaan trigonometri.

I. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran

II. Mempelajari materi baru

1. Fungsi trigonometri terbalik

Mari kita mulai topik ini dengan contoh berikut.

Contoh 1

Mari kita selesaikan persamaannya: a) sin x = 1/2; b) dosa x \u003d a.

a) Pada sumbu ordinat, sisihkan nilai 1/2 dan plot sudutnya x 1 dan x2, dimana dosa x = 1/2. Dalam hal ini, x1 + x2 = , dari mana x2 = – x 1 . Menurut tabel nilai fungsi trigonometri, kami menemukan nilai x1 = /6, makaKami memperhitungkan periodisitas fungsi sinus dan menuliskan solusinya persamaan yang diberikan: dimana k Z .

b) Jelas bahwa algoritma untuk menyelesaikan persamaan dosa x = a sama dengan paragraf sebelumnya. Tentu saja, sekarang nilai a diplot sepanjang sumbu y. Ada kebutuhan untuk entah bagaimana menunjuk sudut x1. Kami setuju untuk menunjukkan sudut seperti itu dengan simbol busur dosa sebuah. Maka solusi dari persamaan ini dapat ditulis sebagaiKedua rumus ini dapat digabungkan menjadi satu: di mana

Fungsi trigonometri terbalik lainnya diperkenalkan dengan cara yang sama.

Sangat sering perlu untuk menentukan nilai sudut dengan nilai yang diketahui fungsi trigonometrinya. Masalah seperti itu multi-nilai - ada jumlah sudut yang tak terbatas yang fungsi trigonometrinya sama dengan nilai yang sama. Oleh karena itu, berdasarkan kemonotonan fungsi trigonometri, untuk definisi yang tidak ambigu sudut memperkenalkan fungsi trigonometri terbalik berikut.

Arcsinus dari a (arcsin , yang sinusnya sama dengan a, yaitu

Busur kosinus suatu bilangan sebuah (arccos a) - sudut seperti itu dari interval, yang kosinusnya sama dengan a, mis.

Tangen busur suatu bilangan a(arctg a) - sudut seperti itu dari intervalyang tangennya adalah a, mis.tg a = a.

Tangen busur suatu bilangan a(arctg a) - sudut seperti itu dari interval (0; ), yang kotangennya sama dengan a, mis. ctg a = a.

Contoh 2

Mari kita temukan:

Mengingat definisi fungsi trigonometri terbalik, kita mendapatkan:

Contoh 3

Menghitung

Misalkan sudut a = arcsin 3/5, maka menurut definisi sin a = 3/5 dan . Oleh karena itu, kita perlu menemukan karena sebuah. Menggunakan utama identitas trigonometri, kita mendapatkan:Hal ini diperhitungkan bahwa cos a 0. Jadi,

Properti Fungsi	Fungsi
	y = busur x	y = busur x	y = busur x	y = arcctg x
Domain	x [-1; satu]	x [-1; satu]	x (-∞; +∞)	x (-∞ +∞)
Jarak nilai	y [-π/2 ; /2]	y	y (-π/2 ; /2 )	y (0; )
Keseimbangan	aneh	Tidak genap maupun ganjil	aneh	Tidak genap maupun ganjil
Fungsi nol (y = 0)	Ketika x = 0	Untuk x = 1	Ketika x = 0	y 0
Interval konstan	y > 0 untuk x (0; 1], pada< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 untuk x [-1; satu)	y > 0 untuk x (0; +∞), pada< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 untuk x (-∞; +∞)
Nada datar	meningkat	berkurang	meningkat	berkurang
Hubungan dengan fungsi trigonometri	dosa y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Jadwal

Mari kita ambil seri lain contoh tipikal terkait dengan definisi dan sifat dasar invers fungsi trigonometri.

Contoh 4

Temukan domain dari fungsi

Agar fungsi y dapat didefinisikan, pertidaksamaan harusyang ekuivalen dengan sistem pertidaksamaanPenyelesaian pertidaksamaan pertama adalah interval x∈ (-∞; +∞), yang kedua - Interval ini dan merupakan solusi untuk sistem pertidaksamaan, dan oleh karena itu domain dari fungsi

Contoh 5

Cari luas daerah perubahan fungsi

Pertimbangkan perilaku fungsi z \u003d 2x - x2 (lihat gambar).

Dapat dilihat bahwa z (-∞; 1]. Mengingat bahwa argumen z fungsi invers tangen bervariasi dalam batas-batas yang ditentukan, dari data dalam tabel kita peroleh bahwaJadi, area perubahan

Contoh 6

Buktikan fungsi y = arctg x aneh. BiarlahKemudian tg a \u003d -x atau x \u003d - tg a \u003d tg (- a), dan Oleh karena itu, - a \u003d arctg x atau \u003d - arctg X. Jadi, kita melihat bahwayaitu, y(x) adalah fungsi ganjil.

Contoh 7

Kami menyatakan dalam hal semua fungsi trigonometri terbalik

Biarlah Jelas bahwa Kemudian sejak

Mari kita perkenalkan sudut Sebagai kemudian

Demikian pula, oleh karena itu dan

Jadi,

Contoh 8

Mari kita buat grafik fungsi y \u003d cos (arsin x).

Tunjukkan a \u003d arcsin x, maka Kami memperhitungkan bahwa x \u003d sin a dan y \u003d cos a, yaitu x 2 + y2 = 1, dan pembatasan pada x (x∈ [-satu; 1]) dan y (y 0). Maka grafik fungsi y = cos(arsin x) adalah setengah lingkaran.

Contoh 9

Mari kita buat grafik fungsi y \u003d arccos (cosx).

Karena fungsi cos x perubahan pada segmen [-1; 1], maka fungsi y didefinisikan secara keseluruhan sumbu numerik dan perubahan pada segmen. Kita akan ingat bahwa y = arccos(cosx) \u003d x pada segmen; fungsi y genap dan periodik dengan periode 2π. Mengingat bahwa fungsi memiliki sifat-sifat ini karena x , Sekarang mudah untuk merencanakan.

Kami mencatat beberapa persamaan yang berguna:

Contoh 10

Cari yang terkecil dan nilai terbesar fungsi Menunjukkan kemudian Dapatkan fungsi Fungsi ini memiliki minimum pada titik z = /4, dan sama dengan Nilai maksimum fungsi tercapai pada titik z = -π/2, dan sama dengan Jadi, dan

Contoh 11

Ayo selesaikan persamaannya

Kami memperhitungkan bahwa Maka persamaannya menjadi:atau di mana Dengan definisi tangen busur, kita mendapatkan:

2. Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana

Sama halnya dengan contoh 1, Anda bisa mendapatkan solusi untuk persamaan trigonometri paling sederhana.

persamaan	Keputusan
tgx = a
ctg x = a

Contoh 12

Ayo selesaikan persamaannya

Karena fungsi sinus ganjil, kami menulis persamaan dalam bentukSolusi untuk persamaan ini:di mana kita menemukan?

Contoh 13

Ayo selesaikan persamaannya

Menurut rumus di atas, kami menulis solusi persamaan:dan menemukan

Perhatikan bahwa dalam kasus tertentu (a = 0; ±1) saat menyelesaikan persamaan sin x = a dan cos x = a lebih mudah dan nyaman digunakan bukan rumus umum, dan tulis solusi berdasarkan lingkaran satuan:

untuk persamaan sin x = 1 solusi

untuk persamaan sin x \u003d 0 solusi x \u003d k;

untuk persamaan sin x = -1 solusi

untuk persamaan cos x = 1 solusi x = 2π k;

untuk persamaan cos x = 0 solusi

untuk persamaan cos x = -1 solusi

Contoh 14

Ayo selesaikan persamaannya

Sejak di contoh ini tersedia kasus spesial persamaan, maka menurut rumus yang sesuai kami menulis solusinya:di mana kita menemukan?

AKU AKU AKU. pertanyaan tes(jajak pendapat depan)

1. Mendefinisikan dan membuat daftar sifat-sifat utama fungsi trigonometri terbalik.

2. Berikan grafik fungsi trigonometri terbalik.

3. Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

IV. Tugas dalam pelajaran

15, nomor 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

16, nomor 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

17, nomor 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Pekerjaan Rumah

15, nomor 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

16, nomor 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

17, no.3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. tugas kreatif

1. Temukan ruang lingkup fungsi:

Jawaban:

2. Temukan rentang fungsi:

Jawaban:

3. Gambarkan fungsinya:

VII. Menyimpulkan pelajaran

Fungsi trigonometri terbalik adalah fungsi matematika, yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri.

Fungsi y = arcsin (x)

Arcsinus bilangan adalah bilangan dari interval [-π/2;π/2], yang sinusnya sama dengan .
Grafik Fungsi
Fungsi y \u003d sin⁡ (x) pada interval [-π / 2; / 2], meningkat secara ketat dan berkelanjutan; oleh karena itu dia memiliki fungsi terbalik, sangat meningkat dan terus menerus.
Fungsi invers untuk fungsi y= sin⁡(x), di mana x [-π/2;π/2], disebut arcsinus dan dinotasikan y=arcsin(x), di mana x∈[-1;1 ].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arcsinus adalah ruas [-1; 1], dan himpunan nilainya adalah ruas [-π/2; /2].
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arcsin(x), di mana x [-1;1] simetris dengan grafik fungsi y= sin(⁡x), di mana x∈[-π/2;π /2], sehubungan dengan garis-bagi dari sudut-sudut koordinat kuartal pertama dan ketiga.

Ruang lingkup fungsi y=arcsin(x).

Contoh nomor 1.

Temukan arcsin(1/2)?

Karena jangkauan fungsi arcsin(x) termasuk dalam interval [-π/2;π/2], maka hanya nilai /6 yang cocok, sehingga arcsin(1/2) = /6.
Jawaban: /6

Contoh #2.
Temukan arcsin(-(√3)/2)?

Sejak daerah nilai arcsin(x) x [-π/2;π/2], maka hanya nilai -π/3 yang cocok, maka arcsin(-(√3)/2) =- /3.

Fungsi y=arccos(x)

Arccosinus suatu bilangan adalah bilangan dari interval yang cosinusnya sama dengan .

Grafik Fungsi

Fungsi y= cos(⁡x) pada interval sangat menurun dan kontinu; oleh karena itu, ia memiliki fungsi terbalik yang sangat menurun dan kontinu.
Fungsi invers dari fungsi y= cos⁡x, di mana x , disebut busur kosinus dan dinotasikan y=arccos(x), di mana x [-1;1].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arccosine adalah segmen [-1; 1], dan himpunan nilai adalah segmen.
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arccos(x), di mana x [-1;1] simetris dengan grafik fungsi y= cos(⁡x), di mana x , terhadap garis bagi koordinat sudut dari kuartal pertama dan ketiga.

Ruang lingkup fungsi y=arccos(x).

Contoh #3.

Temukan arccos(1/2)?

Karena range arccos(x) adalah x∈, maka hanya nilai /3 yang cocok, sehingga arccos(1/2) =π/3.
Contoh nomor 4.
Temukan arccos(-(√2)/2)?

Karena jangkauan fungsi arccos(x) termasuk dalam interval , maka hanya nilai 3π/4 yang cocok, sehingga arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Jawaban: 3π/4

Fungsi y=arctg(x)

Garis singgung busur suatu bilangan adalah suatu bilangan dari selang [-π/2; /2], yang garis singgungnya sama dengan .

Grafik Fungsi

Fungsi tangen kontinu dan meningkat ketat pada interval (-π/2; /2); oleh karena itu, ia memiliki fungsi terbalik yang kontinu dan meningkat secara ketat.
Fungsi invers untuk fungsi y= tg⁡(x), di mana x∈(-π/2;π/2); disebut arctangent dan dinotasikan y=arctg(x), di mana x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arctangent adalah interval (-∞;+∞), dan himpunan nilai adalah interval
(-π/2;π/2).
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=artg(x), di mana x∈R, simetris dengan grafik fungsi y=tg⁡x, di mana x (-π/2;π/2), terhadap garis-bagi dari sudut-sudut koordinat kuartal pertama dan ketiga.

Cakupan fungsi y=arctg(x).

Contoh #5?

Temukan arctg((√3)/3).

Karena range arctan(x) x (-π/2;π/2), hanya nilai /6 yang cocok, sehingga arctg((√3)/3) =π/6.
Contoh nomor 6.
Temukan arctg(-1)?

Karena range arctg(x) x (-π/2;π/2), hanya nilai -π/4 yang cocok, sehingga arctg(-1) = - /4.

Fungsi y=arctg(x)

Garis singgung busur suatu bilangan adalah suatu bilangan dari selang (0; ) yang kotangennya sama dengan .

Grafik Fungsi

Pada interval (0;π), fungsi kotangen menurun drastis; apalagi, itu kontinu pada setiap titik interval ini; oleh karena itu, pada interval (0;π), fungsi ini memiliki fungsi invers yang sangat menurun dan kontinu.
Fungsi invers untuk fungsi y=ctg(x), di mana x (0;π), disebut kotangen busur dan dinotasikan y=arcctg(x), di mana x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi dari tangen invers adalah R nilai – interval (0; ) Grafik fungsi y=arcctg(x), di mana x∈R simetris dengan grafik fungsi y=ctg(x) x∈(0; ), dengan terhadap garis-bagi dari sudut koordinat kuartal pertama dan ketiga.

Ruang lingkup fungsi y=arcctg(x).

Contoh nomor 7.
Temukan arcctg((√3)/3)?

Karena rentang arcctg(x) x (0;π), hanya nilai /3 yang cocok, sehingga arccos((√3)/3) =π/3.

Contoh nomor 8.
Temukan arcctg(-(√3)/3)?

Karena rentang arcctg(x) x∈(0;π), hanya nilai 2π/3 yang cocok, sehingga arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Editor: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Definisi fungsi trigonometri terbalik dan grafiknya diberikan. Serta rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik, rumus untuk jumlah dan perbedaan.

Definisi fungsi trigonometri terbalik

Karena fungsi trigonometri adalah periodik, fungsi yang dibaliknya tidak bernilai tunggal. Jadi, persamaan y = dosa x, untuk diberikan , memiliki tak terhingga banyak akar. Memang, karena periodisitas sinus, jika x adalah akar seperti itu, maka x + 2n(di mana n adalah bilangan bulat) juga akan menjadi akar persamaan. Dengan demikian, fungsi trigonometri terbalik adalah multinilai. Untuk memudahkan bekerja dengan mereka, konsep nilai-nilai utama mereka diperkenalkan. Perhatikan, misalnya, sinus: y = dosa x. Jika kita membatasi argumen x ke interval , maka di atasnya fungsi y = dosa x meningkat secara monoton. Oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers bernilai tunggal, yang disebut arcsinus: x = arcsin y.

Kecuali dinyatakan lain, fungsi trigonometri terbalik berarti nilai utamanya, yang didefinisikan oleh definisi berikut.

Arcsin ( y= arcsin x) adalah fungsi kebalikan dari sinus ( x= siny

Busur kosinus ( y= arccos x) adalah fungsi invers dari kosinus ( x= nyaman) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Arctangen ( y= arctg x) adalah fungsi kebalikan dari garis singgung ( x= tg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Tangen busur ( y= arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari kotangen ( x= ctg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Grafik fungsi trigonometri terbalik

Grafik fungsi trigonometri invers diperoleh dari grafik fungsi trigonometri refleksi cermin relatif terhadap garis lurus y = x . Lihat bagian Sinus, kosinus, Tangen, kotangen.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Rumus dasar

Di sini, perhatian khusus harus diberikan pada interval di mana formula itu valid.

arcsin(sin x) = x pada
sin(bussin x) = x
arccos(cos x) = x pada
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x pada
tg(artg x) = x
arcctg(ctg x) = x pada
ctg(artg x) = x

Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik

Rumus jumlah dan selisih

di atau

di dan

di dan

di atau

di dan

di dan

pada

pada

pada

pada

Fungsi sin, cos, tg, dan ctg selalu disertai dengan arcsinus, arccosinus, arctangent, dan arccotangent. Salah satunya adalah konsekuensi dari yang lain, dan pasangan fungsi sama pentingnya untuk bekerja dengan ekspresi trigonometri.

Pertimbangkan gambar lingkaran satuan, yang secara grafis menampilkan nilai-nilai fungsi trigonometri.

Jika Anda menghitung busur OA, arcos OC, arctg DE dan arcctg MK, maka semuanya akan sama dengan nilai sudut . Rumus di bawah ini mencerminkan hubungan antara fungsi trigonometri utama dan busur yang sesuai.

Untuk lebih memahami sifat-sifat arcsinus, perlu diperhatikan fungsinya. Jadwal berbentuk kurva asimetris yang melalui pusat koordinat.

Sifat arcsinus:

Jika kita membandingkan grafik dosa dan busur dosa, dua fungsi trigonometri dapat menemukan pola umum.

Busur kosinus

Arccos dari angka a adalah nilai sudut , yang kosinusnya sama dengan a.

Melengkung y = busur x mencerminkan plot arcsin x, dengan satu-satunya perbedaan adalah bahwa ia melewati titik /2 pada sumbu OY.

Pertimbangkan fungsi arccosine secara lebih rinci:

1. Fungsi didefinisikan pada segmen [-1; satu].
2. ODZ untuk arccos - .
3. Grafik tersebut seluruhnya terletak di kuartal I dan II, dan fungsinya sendiri tidak genap maupun ganjil.
4. Y = 0 untuk x = 1.
5. Kurva menurun sepanjang seluruh panjangnya. Beberapa sifat dari arc cosinus sama dengan fungsi cosinus.

Beberapa sifat dari arc cosinus sama dengan fungsi cosinus.

Ada kemungkinan bahwa studi "terperinci" tentang "lengkungan" seperti itu akan tampak berlebihan bagi anak sekolah. Namun, jika tidak, beberapa sekolah dasar tugas khas Ujian Negara Terpadu dapat membawa siswa ke jalan buntu.

Latihan 1. Tentukan fungsi yang ditunjukkan pada gambar.

Menjawab: Nasi. 1 - 4, gambar 2 - 1.

Dalam contoh ini, penekanannya adalah pada hal-hal kecil. Biasanya, siswa sangat lalai terhadap konstruksi grafik dan penampilan fungsi. Memang, mengapa menghafal bentuk kurva, jika selalu dapat dibangun dari poin yang dihitung. Jangan lupa bahwa dalam kondisi pengujian, waktu yang dihabiskan untuk menggambar untuk tugas sederhana diperlukan untuk tugas-tugas yang lebih kompleks.

Arctangen

Arctg angka a adalah nilai sudut sehingga garis singgungnya sama dengan a.

Jika kita mempertimbangkan plot dari garis singgung busur, kita dapat membedakan sifat-sifat berikut:

1. Grafik tidak terbatas dan didefinisikan pada interval (- ; + ).
2. Arctangen fungsi ganjil, oleh karena itu, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 untuk x = 0.
4. Kurva meningkat di seluruh domain definisi.

Berikut ini adalah singkatnya analisis perbandingan tg x dan arctg x sebagai tabel.

Tangen busur

Arcctg dari angka a - mengambil nilai dari interval (0; ) sehingga kotangennya sama dengan a.

Sifat-sifat fungsi kotangen busur:

1. Interval definisi fungsi adalah tak terhingga.
2. Wilayah nilai yang diizinkan adalah interval (0; ).
3. F(x) bukan genap atau ganjil.
4. Sepanjang panjangnya, grafik fungsi menurun.

Membandingkan ctg x dan arctg x sangat sederhana, Anda hanya perlu menggambar dua gambar dan menjelaskan perilaku kurva.

Tugas 2. Menghubungkan grafik dan bentuk fungsi.

Logikanya, grafik menunjukkan bahwa kedua fungsi meningkat. Oleh karena itu, kedua gambar menampilkan beberapa fungsi arctg. Diketahui dari sifat-sifat garis singgung busur bahwa y=0 untuk x = 0,

Menjawab: Nasi. 1 - 1, gambar. 2-4.

Identitas trigonometri arcsin, arcos, arctg dan arcctg

Sebelumnya, kami telah mengidentifikasi hubungan antara lengkungan dan fungsi utama trigonometri. Ketergantungan ini dapat dinyatakan dengan sejumlah rumus yang memungkinkan pengungkapan, misalnya, sinus suatu argumen melalui arcsine, arccosine, atau sebaliknya. Pengetahuan tentang identitas semacam itu dapat berguna dalam memecahkan contoh-contoh spesifik.

Ada juga rasio untuk arctg dan arcctg:

Sepasang rumus lain yang berguna menetapkan nilai untuk jumlah nilai arcsin dan arcos dan arcctg dan arcctg dari sudut yang sama.

Contoh pemecahan masalah

Tugas trigonometri dapat dibagi menjadi empat kelompok: menghitung nilai numerik ekspresi tertentu, buat grafik fungsi ini, temukan domain definisi atau ODZ-nya dan lakukan transformasi analitik untuk menyelesaikan contoh.

Saat memecahkan jenis masalah pertama, perlu untuk mematuhi rencana selanjutnya tindakan:

Saat bekerja dengan grafik fungsi, hal utama adalah pengetahuan tentang propertinya dan penampilan bengkok. Tabel identitas diperlukan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri. Semakin banyak rumus yang diingat siswa, semakin mudah menemukan jawaban untuk tugas tersebut.

Misalkan dalam ujian perlu menemukan jawaban untuk persamaan jenis:

Jika Anda benar mengubah ekspresi dan mengarah ke jenis yang tepat, maka sangat sederhana dan cepat untuk menyelesaikannya. Pertama, mari kita pindahkan arcsin x ke sisi kanan persamaan.

Jika kita ingat rumus arcsin (sinα) =, maka kita dapat mengurangi pencarian jawaban untuk memecahkan sistem dua persamaan:

Kendala pada model x muncul, sekali lagi dari sifat arcsin: ODZ untuk x [-1; satu]. Ketika a 0, bagian dari sistem adalah persamaan kuadrat dengan akar x1 = 1 dan x2 = - 1/a. Dengan a = 0, x akan sama dengan 1.