Ketergantungan satu variabel pada variabel lainnya disebut ketergantungan fungsional. Ketergantungan variabel kamu dari sebuah variabel x ditelepon fungsi, jika setiap nilai x sesuai arti tunggal kamu.

Penamaan:

variabel x disebut variabel bebas atau argumen, dan variabel kamu- bergantung. Mereka mengatakan itu kamu adalah fungsi dari x. Berarti kamu sesuai tetapkan nilai x, ditelepon nilai fungsi.

Semua nilai yang dibutuhkan x, membentuk lingkup fungsi; semua nilai yang dibutuhkan kamu, membentuk himpunan nilai fungsi.

Sebutan:

D(f)- nilai argumen. E(f)- nilai fungsi. Jika fungsi diberikan oleh rumus, maka dianggap bahwa domain definisi terdiri dari semua nilai variabel yang membuat rumus ini masuk akal.

Grafik Fungsi himpunan semua titik pada bidang koordinat disebut, absisnya sama dengan nilai argumen, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang sesuai. Jika beberapa nilai x=x0 cocokkan beberapa nilai (bukan hanya satu) kamu, maka korespondensi seperti itu bukanlah suatu fungsi. Untuk mengatur poin bidang koordinat adalah grafik dari beberapa fungsi, perlu dan cukup bahwa setiap garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oy berpotongan dengan grafik tidak lebih dari satu titik.

Cara untuk mengatur fungsi

1) Fungsi dapat diatur secara analitis dalam bentuk rumus. Sebagai contoh,

2) Fungsi dapat didefinisikan dengan tabel yang terdiri dari banyak pasangan (x; y).

3) Fungsi dapat diatur secara grafis. Pasangan Nilai (x; y) ditampilkan pada bidang koordinat.

Fungsi monotonisitas

Fungsi f(x) ditelepon meningkat pada interval bilangan tertentu, jika nilai yang lebih besar argumen sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Bayangkan sebuah titik tertentu bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Kemudian titik akan semacam "naik" grafik.

Fungsi f(x) ditelepon memudar pada interval numerik tertentu, jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil. Bayangkan sebuah titik tertentu bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Kemudian intinya akan, seolah-olah, "berguling" ke bawah grafik.

Fungsi yang hanya naik atau hanya turun pada interval numerik tertentu disebut membosankan pada interval ini.

Fungsi nol dan interval keteguhan

Nilai X, di mana y=0, disebut fungsi nol. Ini adalah absis dari titik potong grafik fungsi dengan sumbu x.

Rentang nilai seperti itu x, di mana nilai-nilai fungsi kamu baik hanya positif atau hanya negatif disebut interval kekonstanan tanda fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

fungsi genap
1) Domain definisi simetris terhadap titik (0; 0), yaitu jika titik sebuah milik domain definisi, maka titik -sebuah juga termasuk dalam domain definisi.
2) Untuk nilai berapa pun x f(-x)=f(x)
3) Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y.

fungsi ganjil memiliki sifat-sifat berikut:
1) Domain definisi simetris terhadap titik (0; 0).
2) untuk nilai apa pun x, yang termasuk dalam domain definisi, persamaan f(-x)=-f(x)
3) Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (0; 0).

Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Fungsi pandangan umum tidak genap maupun ganjil.

Fungsi periodik

Fungsi f Disebut periodik jika ada bilangan sedemikian rupa sehingga untuk setiap x dari domain definisi persamaan f(x)=f(x-T)=f(x+T). T adalah periode fungsi.

Setiap fungsi periodik memiliki set tak terbatas periode. Dalam praktiknya, periode positif terkecil biasanya dipertimbangkan.

Nilai fungsi periodik ulangi setelah selang waktu yang sama dengan periode. Ini digunakan ketika merencanakan grafik.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Banyak tugas mengarahkan kita untuk mencari sekumpulan nilai fungsi pada segmen tertentu atau pada seluruh domain definisi. Tugas tersebut mencakup berbagai evaluasi ekspresi, solusi ketidaksetaraan.

Dalam artikel ini, kita akan mendefinisikan jangkauan suatu fungsi, mempertimbangkan metode untuk menemukannya, dan menganalisis secara rinci solusi dari contoh-contoh dari yang sederhana hingga yang lebih kompleks. Semua bahan akan diberikan ilustrasi grafis untuk kejelasan. Jadi artikel ini adalah jawaban terperinci untuk pertanyaan tentang bagaimana menemukan rentang suatu fungsi.

Definisi.

Himpunan nilai fungsi y = f(x) pada interval X disebut himpunan semua nilai fungsi yang diperlukan saat iterasi semua .

Definisi.

Rentang fungsi y = f(x) disebut himpunan semua nilai fungsi yang diperlukan saat iterasi pada semua x dari domain definisi.

Rentang fungsi dilambangkan sebagai E(f) .

Jangkauan suatu fungsi dan himpunan nilai suatu fungsi bukanlah hal yang sama. Konsep-konsep ini akan dianggap ekuivalen jika interval X ketika menemukan himpunan nilai fungsi y = f(x) bertepatan dengan domain fungsi.

Juga, jangan bingung antara rentang fungsi dengan variabel x untuk ekspresi di sisi kanan persamaan y=f(x) . Wilayah nilai yang diizinkan variabel x untuk ekspresi f(x) - ini adalah domain dari fungsi y=f(x) .

Gambar menunjukkan beberapa contoh.

Grafik fungsi ditunjukkan dengan garis biru tebal, garis merah tipis adalah asimtot, titik merah dan garis pada sumbu Oy menunjukkan rentang fungsi yang sesuai.

Seperti yang Anda lihat, jangkauan fungsi diperoleh dengan memproyeksikan grafik fungsi ke sumbu y. Dia bisa menjadi satu-satunya tunggal(kasus pertama), kumpulan angka (kasus kedua), segmen (kasus ketiga), interval (kasus keempat), balok terbuka (kasus kelima), serikat (kasus keenam), dll.

Jadi apa yang perlu Anda lakukan untuk menemukan rentang fungsi.

Mari kita mulai dari yang paling kasus sederhana: tunjukkan cara mendefinisikan sekumpulan nilai fungsi kontinu y = f(x) pada segmen .

Diketahui bahwa fungsi kontinu pada segmen mencapai nilai maksimum dan minimumnya. Jadi, himpunan nilai fungsi asli akan ada segmen di segmen . Oleh karena itu, tugas kita direduksi menjadi mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval .

Sebagai contoh, mari kita cari rentang fungsi arcsine.

Contoh.

Tentukan jangkauan fungsi y = arcsinx .

Keputusan.

Domain definisi arcsine adalah segmen [-1; satu] . Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen ini.

Turunannya positif untuk semua x dari interval (-1; 1) , yaitu, fungsi arcsinus meningkat di seluruh domain definisi. Oleh karena itu, dibutuhkan nilai terkecil pada x = -1, dan terbesar pada x = 1.

Kami mendapatkan rentang fungsi arcsinus .

Contoh.

Temukan himpunan nilai fungsi pada segmen.

Keputusan.

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen ini.

Mari kita tentukan titik ekstremnya, milik segmen :

Kami menghitung nilai fungsi asli di ujung segmen dan di titik :

Oleh karena itu, himpunan nilai fungsi pada segmen adalah segmen .

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana mencari himpunan nilai fungsi kontinu y = f(x) dalam interval (a; b) , .

Pertama, kita menentukan titik ekstrem, titik ekstrem fungsi, interval kenaikan dan penurunan fungsi pada interval tertentu. Selanjutnya, kami menghitung di ujung interval dan (atau) batas di tak hingga (yaitu, kami mempelajari perilaku fungsi pada batas interval atau tak terhingga). Informasi ini cukup untuk menemukan himpunan nilai fungsi pada interval tersebut.

Contoh.

Tentukan himpunan nilai fungsi pada interval (-2; 2) .

Keputusan.

Mari kita cari titik ekstrem dari fungsi yang jatuh pada interval (-2; 2) :

Dot x = 0 adalah titik maksimum, karena turunannya berubah tanda dari plus ke minus ketika melewatinya, dan grafik fungsi berubah dari naik ke turun.

adalah fungsi maksimum yang sesuai.

Mari kita cari tahu perilaku fungsi ketika x cenderung ke -2 di sebelah kanan dan ketika x cenderung ke 2 di sebelah kiri, yaitu, kita menemukan batas satu sisi:

Apa yang kami dapatkan: ketika argumen berubah dari -2 menjadi nol, nilai fungsi meningkat dari minus tak terhingga menjadi minus seperempat (maksimum fungsi pada x = 0 ), ketika argumen berubah dari nol menjadi 2, fungsi nilai menurun hingga minus tak terhingga. Jadi, himpunan nilai fungsi pada interval (-2; 2) adalah .

Contoh.

Tentukan himpunan nilai fungsi tangen y = tgx pada interval .

Keputusan.

Turunan dari fungsi tangen pada interval adalah positif , yang menunjukkan peningkatan fungsi. Kami mempelajari perilaku fungsi pada batas-batas interval:

Jadi, ketika argumen berubah dari ke, nilai fungsi meningkat dari minus tak terhingga menjadi plus tak terhingga, yaitu, himpunan nilai singgung dalam interval ini adalah himpunan semua bilangan real.

Contoh.

Tentukan jangkauan suatu fungsi logaritma natural y = lnx .

Keputusan.

Fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai positif dari argumen . Pada interval ini turunannya positif , ini menunjukkan peningkatan fungsi di dalamnya. Mari kita cari limit fungsi satu sisi karena argumen cenderung nol dari kanan, dan limit karena x cenderung ditambah tak terhingga:

Kita melihat bahwa ketika x berubah dari nol ke plus tak terhingga, nilai fungsi meningkat dari minus tak terhingga menjadi plus tak terhingga. Oleh karena itu, jangkauan fungsi logaritma natural adalah seluruh himpunan bilangan real.

Contoh.

Keputusan.

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai x nyata. Mari kita tentukan titik ekstrem, serta interval kenaikan dan penurunan fungsi.

Oleh karena itu, fungsi menurun pada , meningkat pada , x = 0 adalah titik maksimum, fungsi maksimum yang sesuai.

Mari kita lihat perilaku fungsi di tak terhingga:

Jadi, pada tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati nol.

Kami menemukan bahwa ketika argumen berubah dari minus tak terhingga menjadi nol (titik maksimum), nilai fungsi meningkat dari nol menjadi sembilan (hingga maksimum fungsi), dan ketika x berubah dari nol menjadi plus tak terhingga, nilai fungsi berkurang dari sembilan menjadi nol.

Lihatlah gambar skema.

Sekarang jelas terlihat bahwa jangkauan fungsinya adalah .

Menemukan himpunan nilai fungsi y = f(x) pada interval membutuhkan studi serupa. Kami sekarang tidak akan membahas kasus-kasus ini secara rinci. Kita akan melihatnya dalam contoh di bawah ini.

Misalkan domain dari fungsi y = f(x) adalah gabungan dari beberapa interval. Saat menemukan rentang fungsi seperti itu, himpunan nilai pada setiap interval ditentukan dan penyatuannya diambil.

Contoh.

Temukan jangkauan fungsinya.

Keputusan.

Penyebut fungsi kita tidak boleh nol, yaitu .

Pertama, mari kita cari himpunan nilai fungsi pada sinar terbuka .

turunan fungsi negatif pada interval ini, yaitu, fungsi menurun di atasnya.

Kami menemukan bahwa karena argumen cenderung minus tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati kesatuan. Ketika x berubah dari minus tak terhingga menjadi dua, nilai fungsi berkurang dari satu menjadi minus tak terhingga, yaitu, pada interval yang dipertimbangkan, fungsi mengambil serangkaian nilai. Kami tidak menyertakan kesatuan, karena nilai fungsi tidak mencapainya, tetapi hanya cenderung asimtotik pada minus tak terhingga.

Kami bertindak sama untuk balok terbuka.

Fungsi juga menurun pada interval ini.

Himpunan nilai fungsi pada interval ini adalah himpunan .

Dengan demikian, rentang nilai fungsi yang diinginkan adalah gabungan dari himpunan dan .

Ilustrasi grafis.

Secara terpisah, kita harus memikirkan fungsi periodik. Rentang fungsi periodik bertepatan dengan himpunan nilai pada interval yang sesuai dengan periode fungsi ini.

Contoh.

Tentukan jangkauan fungsi sinus y = sinx .

Keputusan.

Fungsi ini periodik dengan periode dua pi. Mari kita ambil segmen dan tentukan kumpulan nilai di atasnya.

Segmen berisi dua titik ekstrem dan .

Kami menghitung nilai fungsi pada titik-titik ini dan pada batas-batas segmen, pilih yang terkecil dan nilai tertinggi:

Karena itu, .

Contoh.

Tentukan jangkauan suatu fungsi .

Keputusan.

Kita tahu bahwa rentang arccosine adalah segmen dari nol hingga pi, yaitu, atau di postingan lain. Fungsi diperoleh dari arccosx dengan menggeser dan meregangkan sepanjang sumbu x. Transformasi tersebut tidak mempengaruhi jangkauan, oleh karena itu, . Fungsi datang dari peregangan tiga kali sepanjang sumbu Oy, yaitu, . Dan tahap transformasi terakhir adalah pergeseran empat satuan ke bawah sepanjang sumbu y. Ini membawa kita ke ketidaksetaraan ganda

Dengan demikian, rentang nilai yang diinginkan adalah .

Mari kita berikan solusi untuk contoh lain, tetapi tanpa penjelasan (tidak diperlukan, karena sangat mirip).

Contoh.

Tentukan Rentang Fungsi .

Keputusan.

Kami menulis fungsi aslinya dalam bentuk . Area nilai fungsi daya adalah rentang. yaitu, . Kemudian

Karena itu, .

Untuk melengkapi gambar, kita harus berbicara tentang menemukan rentang fungsi yang tidak kontinu pada domain definisi. Dalam hal ini, domain definisi dibagi dengan break point menjadi interval, dan kami menemukan himpunan nilai pada masing-masingnya. Menggabungkan set nilai yang diperoleh, kami memperoleh rentang nilai fungsi aslinya. Kami merekomendasikan untuk mengingat

Seringkali, dalam rangka pemecahan masalah, kita harus mencari himpunan nilai suatu fungsi pada domain definisi atau pada suatu segmen. Misalnya, ini harus dilakukan saat menyelesaikan jenis yang berbeda ketidaksetaraan, evaluasi ekspresi, dll.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebagai bagian dari materi ini, kami akan memberi tahu Anda apa rentang suatu fungsi, memberikan metode utama yang dapat digunakan untuk menghitungnya, dan menganalisis tugas derajat yang bervariasi kesulitan. Untuk kejelasan, posisi individu diilustrasikan oleh grafik. Setelah membaca artikel ini, Anda akan memiliki pemahaman yang komprehensif tentang ruang lingkup suatu fungsi.

Mari kita mulai dengan definisi dasar.

Definisi 1

Himpunan nilai fungsi y = f(x) pada suatu selang x adalah himpunan semua nilai yang fungsi yang diberikan mengambil enumerasi semua nilai x X .

Definisi 2

Rentang fungsi y = f (x) adalah himpunan semua nilainya yang dapat diambil ketika iterasi terhadap nilai x dari rentang x (f) .

Jangkauan beberapa fungsi biasanya dilambangkan dengan E (f) .

Perlu diketahui bahwa konsep himpunan nilai suatu fungsi tidak selalu identik dengan luas daerah nilainya. Konsep-konsep ini akan setara hanya jika rentang nilai x ketika menemukan himpunan nilai bertepatan dengan domain fungsi.

Juga penting untuk membedakan antara range dan range dari variabel x untuk ekspresi pada ruas kanan y = f (x) . Area nilai x yang dapat diterima untuk ekspresi f (x) akan menjadi area definisi fungsi ini.

Di bawah ini adalah ilustrasi yang menunjukkan beberapa contoh. Garis biru adalah grafik fungsi, garis merah asimtot, titik merah dan garis pada sumbu y adalah rentang fungsi.

Jelas, jangkauan fungsi dapat diperoleh dengan memproyeksikan grafik fungsi ke sumbu O y . Pada saat yang sama, itu dapat berupa angka tunggal atau kumpulan angka, segmen, interval, sinar terbuka, gabungan interval numerik, dll.

Pertimbangkan cara utama untuk menemukan jangkauan suatu fungsi.

Mari kita mulai dengan mendefinisikan himpunan nilai fungsi kontinu y = f (x) pada segmen tertentu, yang ditunjuk [ a ; b] . Kita tahu bahwa fungsi yang kontinu pada interval tertentu mencapai minimum dan maksimumnya, yaitu maksimum m a x x a ; b f(x) dan nilai terkecil m i n x a ; bf(x) . Jadi, kita mendapatkan segmen m i n x a ; bf(x) ; m a x x a ; b f (x) , yang akan berisi himpunan nilai fungsi aslinya. Kemudian yang perlu kita lakukan adalah menemukan titik minimum dan maksimum yang ditentukan pada segmen ini.

Mari kita ambil masalah di mana perlu untuk menentukan kisaran nilai arcsine.

Contoh 1

Kondisi: tentukan jarak y = a r c sin x .

Keputusan

PADA kasus umum domain definisi arcsine terletak pada segmen [ - 1 ; satu ] . Kita perlu menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi yang ditentukan Pada dia.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Kita tahu bahwa turunan fungsi akan positif untuk semua nilai x yang terletak di interval [ - 1 ; 1 ] , yaitu, di seluruh domain definisi, fungsi arcsinus akan meningkat. Ini berarti akan mengambil nilai terkecil ketika x sama dengan - 1, dan terbesar - ketika x sama dengan 1.

m i n x - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - 2 m a x x - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = 2

Jadi, jangkauan fungsi arcsinus akan sama dengan E (a r c sin x) = - 2 ; 2 .

Menjawab: E (a r c sin x) \u003d - 2; 2

Contoh 2

Kondisi: rentang hitung y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 pada segmen yang diberikan [ 1 ; 4 ] .

Keputusan

Yang perlu kita lakukan adalah menghitung nilai terbesar dan terkecil dari fungsi di interval yang diberikan.

Untuk menentukan titik ekstrem, perlu dilakukan perhitungan berikut:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 1; 4 dan l dan 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 1. 16 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 2,59 1;4

Sekarang temukan nilai-nilainya fungsi yang diberikan di ujung segmen dan titik x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Ini berarti himpunan nilai fungsi akan ditentukan oleh segmen 117 - 165 33 512 ; 32 .

Menjawab: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Mari kita beralih ke mencari himpunan nilai fungsi kontinu y = f (x) dalam interval (a ; b) , dan a ; + , - ; b , -∞ ; + .

Mari kita mulai dengan definisi terbesar dan titik terkecil, serta interval kenaikan dan penurunan pada interval tertentu. Setelah itu, kita perlu menghitung limit satu sisi di ujung interval dan/atau limit di tak hingga. Dengan kata lain, kita perlu menentukan perilaku fungsi dalam kondisi yang diberikan. Untuk ini kami memiliki semua data yang diperlukan.

Contoh 3

Kondisi: hitung jangkauan fungsi y = 1 x 2 - 4 pada interval (- 2 ; 2) .

Keputusan

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval tertentu

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 x = 0 (- 2 ; 2)

Kami mendapat nilai maksimum sama dengan 0 , karena pada titik inilah tanda fungsi berubah dan grafik mulai berkurang. Lihat ilustrasi:

Artinya, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 akan menjadi nilai maksimum fungsi.

Sekarang mari kita definisikan perilaku fungsi untuk x tersebut, yang cenderung ke - 2 s sisi kanan dan k + 2 di sisi kiri. Dengan kata lain, kami menemukan batas satu sisi:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Kami mendapatkan bahwa nilai fungsi akan meningkat dari minus tak terhingga menjadi - 1 4 ketika argumen berubah dari - 2 menjadi 0 . Dan ketika argumen berubah dari 0 menjadi 2 , nilai fungsi menurun menuju minus tak terhingga. Oleh karena itu, himpunan nilai fungsi yang diberikan pada interval yang kita butuhkan adalah (- ; - 1 4 ] .

Menjawab: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Contoh 4

Kondisi: menunjukkan himpunan nilai y = t g x pada interval yang diberikan - 2 ; 2 .

Keputusan

Kita tahu bahwa, secara umum, turunan dari garis singgung di - 2; 2 akan positif, yaitu fungsi akan meningkat. Sekarang mari kita definisikan bagaimana fungsi berperilaku dalam batas yang diberikan:

lim x → 2 + 0 t g x = t g - 2 + 0 = - lim x → 2 - 0 t g x = t g 2 - 0 = +

Kami telah memperoleh peningkatan nilai fungsi dari minus tak terhingga ke plus tak terhingga ketika argumen berubah dari - 2 ke 2, dan kita dapat mengatakan bahwa himpunan solusi dari fungsi ini akan menjadi himpunan semua real angka.

Menjawab: - ∞ ; + ∞ .

Contoh 5

Kondisi: tentukan jangkauan fungsi logaritma natural y = ln x .

Keputusan

Kita tahu bahwa fungsi ini didefinisikan untuk nilai positif argumen D (y) = 0 ; + . Turunan pada interval yang diberikan akan positif: y " = ln x " = 1 x . Ini berarti bahwa fungsi meningkat di atasnya. Selanjutnya, kita perlu mendefinisikan batas satu sisi untuk kasus ketika argumen menuju 0 (di sisi kanan) dan ketika x menuju tak terhingga:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - lim x → ln x = ln + = +

Kami telah menemukan bahwa nilai fungsi akan meningkat dari minus tak terhingga ke plus tak terhingga karena nilai x berubah dari nol menjadi plus tak terhingga. Ini berarti himpunan semua bilangan real adalah range dari fungsi logaritma natural.

Menjawab: himpunan semua bilangan real adalah jangkauan fungsi logaritma natural.

Contoh 6

Kondisi: tentukan jangkauan fungsi y = 9 x 2 + 1 .

Keputusan

Fungsi ini didefinisikan asalkan x adalah bilangan real. Mari kita hitung nilai fungsi terbesar dan terkecil, serta interval kenaikan dan penurunannya:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 x = 0 y " 0 x 0 y " 0 x ≤ 0

Akibatnya, kami telah menentukan bahwa fungsi ini akan berkurang jika x 0; meningkat jika x 0 ; ia memiliki titik maksimum y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 ketika variabelnya adalah 0 .

Mari kita lihat bagaimana fungsi berperilaku di tak terhingga:

lim x → - 9 x 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 9 1 + = + 0 lim x → + 9 x 2 + 1 = 9 + 2 + 1 = 9 1 + = +0

Dapat dilihat dari catatan bahwa nilai fungsi dalam hal ini akan mendekati 0 secara asimtotik.

Untuk meringkas: ketika argumen berubah dari minus tak terhingga menjadi nol, maka nilai fungsi meningkat dari 0 menjadi 9 . Saat nilai argumen berubah dari 0 hingga plus tak terhingga, nilai fungsi yang sesuai akan berkurang dari 9 menjadi 0 . Kami telah menggambarkan ini dalam gambar:

Hal ini menunjukkan bahwa jangkauan fungsi akan menjadi interval E (y) = (0 ; 9 ]

Menjawab: E (y) = (0 ; 9 ]

Jika kita perlu menentukan himpunan nilai fungsi y = f (x) pada interval [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ) , (- ; b ] , maka kita perlu melakukan studi yang persis sama. Kita belum akan menganalisis kasus-kasus ini: kita akan menemuinya nanti dalam masalah .

Tetapi bagaimana jika domain dari fungsi tertentu adalah gabungan dari beberapa interval? Maka kita perlu menghitung himpunan nilai pada masing-masing interval ini dan menggabungkannya.

Contoh 7

Kondisi: tentukan jangkauan y = x x - 2 .

Keputusan

Karena penyebut fungsi tidak boleh diubah menjadi 0 , maka D (y) = - ; 2 2 ; + .

Mari kita mulai dengan mendefinisikan himpunan nilai fungsi pada segmen pertama - ; 2, yang merupakan balok terbuka. Kita tahu bahwa fungsi di atasnya akan berkurang, yaitu turunan dari fungsi ini akan menjadi negatif.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - - 2 = 1 - 0

Kemudian, dalam kasus di mana argumen berubah ke arah minus tak terhingga, nilai fungsi secara asimtotik akan mendekati 1 . Jika nilai x berubah dari minus tak terhingga menjadi 2, maka nilainya akan berkurang dari 1 menjadi minus tak terhingga, mis. fungsi pada segmen ini akan mengambil nilai dari interval - ; satu . Kami mengecualikan kesatuan dari alasan kami, karena nilai fungsi tidak mencapainya, tetapi hanya mendekatinya secara asimtotik.

Untuk balok terbuka 2 ; + kami melakukan tindakan yang persis sama. Fungsi di atasnya juga menurun:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + lim x → + x x - 2 = lim x → + x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + - 2 = 1 + 0

Nilai fungsi pada segmen ini ditentukan oleh himpunan 1 ; + . Ini berarti bahwa rentang nilai fungsi yang ditentukan dalam kondisi yang kita butuhkan adalah gabungan himpunan - ; 1 dan 1 ; + .

Menjawab: E (y) = - ; 1 1 ; + .

Hal ini dapat dilihat pada grafik:

Kasus khusus adalah fungsi periodik. Area nilainya bertepatan dengan himpunan nilai pada interval yang sesuai dengan periode fungsi ini.

Contoh 8

Kondisi: tentukan jangkauan sinus y = sin x .

Keputusan

Sinus mengacu pada fungsi periodik, dan periodenya adalah 2 pi. Kami mengambil segmen 0 ; 2 dan lihat seperti apa kumpulan nilai di atasnya.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 cos x = 0 x = π 2 + k , k Z

Dalam 0 ; 2 fungsi akan memiliki titik ekstrim 2 dan x = 3 2 . Mari kita hitung berapa nilai fungsi yang akan sama di dalamnya, serta pada batas-batas segmen, setelah itu kita memilih nilai terbesar dan terkecil.

y (0) = sin 0 = 0 y 2 = sin 2 = 1 y 3 2 = sin 3 2 = - 1 y (2 ) = sin (2 ) = 0 min x 0 ; 2 sin x = sin 3 2 = - 1 , maks x 0 ; 2 sinx \u003d dosa 2 \u003d 1

Menjawab: E (sinx) = - 1 ; satu .

Jika Anda perlu mengetahui rentang fungsi seperti eksponensial, eksponensial, logaritma, trigonometri, trigonometri terbalik, maka kami menyarankan Anda untuk membaca kembali artikel tentang inti fungsi dasar. Teori yang kami sajikan di sini memungkinkan kami untuk menguji nilai-nilai yang ditentukan di sana. Sangat diinginkan untuk mempelajarinya, karena mereka sering diperlukan dalam memecahkan masalah. Jika Anda mengetahui rentang fungsi utama, maka Anda dapat dengan mudah menemukan rentang fungsi yang diperoleh dari yang dasar menggunakan transformasi geometris.

Contoh 9

Kondisi: tentukan jarak y = 3 a r c cos x 3 + 5 7 - 4 .

Keputusan

Kita tahu bahwa segmen dari 0 hingga pi adalah jangkauan dari invers cosinus. Dengan kata lain, E (a r c cos x) = 0 ; atau 0 a r c cos x . Kita dapat memperoleh fungsi a r c cos x 3 + 5 7 dari arc cosinus dengan menggeser dan meregangkannya sepanjang sumbu O x, tetapi transformasi semacam itu tidak akan memberikan apa pun kepada kita. Jadi, 0 a r c cos x 3 + 5 7 .

Fungsi 3 a r c cos x 3 + 5 7 dapat diperoleh dari invers cosinus a r c cos x 3 + 5 7 dengan merentangkan sepanjang sumbu y, yaitu. 0 3 a r c cos x 3 + 5 7 3 . Transformasi terakhir adalah pergeseran sepanjang sumbu O y sebanyak 4 nilai. Akibatnya, kita mendapatkan pertidaksamaan ganda:

0 - 4 3 a r c cos x 3 + 5 7 - 4 3 - 4 - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 7 - 4 3 - 4

Kami mendapatkan bahwa rentang yang kami butuhkan akan sama dengan E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Menjawab: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Mari kita tulis satu contoh lagi tanpa penjelasan, karena itu benar-benar mirip dengan yang sebelumnya.

Contoh 10

Kondisi: hitunglah jangkauan fungsi y = 2 2 x - 1 + 3 .

Keputusan

Mari kita tulis ulang fungsi yang diberikan dalam kondisi sebagai y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Untuk fungsi daya y = x - 1 2 jangkauan akan ditentukan pada interval 0 ; + , yaitu x - 1 2 > 0 . Pada kasus ini:

2 x - 1 - 1 2 > 0 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Jadi E (y) = 3 ; + .

Menjawab: E (y) = 3 ; + .

Sekarang mari kita lihat bagaimana mencari jangkauan fungsi yang tidak kontinu. Untuk melakukan ini, kita perlu membagi seluruh area menjadi interval dan menemukan set nilai pada masing-masing, dan kemudian menggabungkan apa yang kita dapatkan. Untuk lebih memahami hal ini, kami menyarankan Anda untuk meninjau jenis utama breakpoint fungsi.

Contoh 11

Kondisi: diberikan fungsi y = 2 sin x 2 - 4 , x - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Hitung jangkauannya.

Keputusan

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai x. Mari kita analisis untuk kontinuitas dengan nilai argumen sama dengan - 3 dan 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 lim x → - 3 - 0 f (x) lim x → - 3 + 0 f (x)

Kami memiliki diskontinuitas yang tidak dapat dipulihkan dari jenis pertama dengan nilai argumen - 3 . Saat Anda mendekatinya, nilai fungsi cenderung - 2 sin 3 2 - 4 , dan jika x cenderung - 3 di sisi kanan, nilainya akan cenderung - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = +

Kami memiliki diskontinuitas yang tidak dapat dipindahkan dari jenis kedua pada poin 3 . Ketika fungsi cenderung ke sana, nilainya mendekati - 1, sementara cenderung ke titik yang sama di sebelah kanan - hingga minus tak terhingga.

Artinya seluruh domain definisi fungsi ini dibagi menjadi 3 interval (- ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ) .

Pada yang pertama, kami mendapatkan fungsi y \u003d 2 sin x 2 - 4. Karena - 1 sin x 1 , kita peroleh:

1 dosa x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Artinya pada interval ini (- ; - 3 ] himpunan nilai fungsi tersebut adalah [ - 6 ; 2 ] .

Pada interval setengah (- 3 ; 3 ] ternyata fungsi konstan y = - 1 . Oleh karena itu, seluruh himpunan nilainya dalam kasus ini akan dikurangi menjadi satu nomor - 1 .

Pada interval kedua 3 ; + kita memiliki fungsi y = 1 x - 3 . Berkurang karena y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + lim x → + 1 x - 3 = 1 + - 3 = 1 + + 0

Oleh karena itu, himpunan nilai fungsi asli untuk x > 3 adalah himpunan 0 ; + . Sekarang mari kita gabungkan hasilnya: E (y) = - 6 ; - 2 - 1 0 ; + .

Menjawab: E (y) = - 6 ; - 2 - 1 0 ; + .

Solusinya ditunjukkan dalam grafik:

Contoh 12

Syarat : ada fungsi y = x 2 - 3 e x . Tentukan himpunan nilainya.

Keputusan

Ini didefinisikan untuk semua nilai argumen yang bilangan asli. Mari kita tentukan dalam interval berapa fungsi ini akan meningkat, dan di mana ia akan berkurang:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Kita tahu bahwa turunannya akan menjadi 0 jika x = - 1 dan x = 3 . Kami menempatkan dua titik ini pada sumbu dan mencari tahu tanda-tanda apa yang akan dimiliki turunan pada interval yang dihasilkan.

Fungsi akan berkurang (- ; - 1 ] [ 3 ; + ) dan bertambah [ - 1 ; 3]. Poin minimumnya adalah - 1 , maksimum - 3 .

Sekarang mari kita cari nilai fungsi yang sesuai:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Mari kita lihat perilaku fungsi di tak terhingga:

lim x → - x 2 - 3 e x = - 2 - 3 e - = + + 0 = + lim x → + x 2 - 3 e x = + 2 - 3 e + = + + = = lim x → + x 2 - 3 "e x" = lim x → + 2 x e x = + + = = lim x → + 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + = + 0

Untuk menghitung limit kedua, digunakan aturan L'Hopital. Mari kita plot solusi kita pada grafik.

Ini menunjukkan bahwa nilai fungsi akan berkurang dari plus infinity ke - 2 e ketika argumen berubah dari minus infinity ke - 1 . Jika berubah dari 3 menjadi plus tak terhingga, maka nilainya akan berkurang dari 6 e - 3 menjadi 0, tetapi 0 tidak akan tercapai.

Jadi, E (y) = [ - 2 e ; +∞).

Menjawab: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Mari kita lihat bagaimana menjelajahi suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafik tersebut, Anda dapat mengetahui segala sesuatu yang menarik bagi kami, yaitu:

• lingkup fungsi
• rentang fungsi
• fungsi nol
• periode kenaikan dan penurunan
• poin tinggi dan rendah
• nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen tersebut.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal titik tersebut.
Ordinat- koordinat vertikal.
absis - sumbu horisontal, paling sering disebut sebagai sumbu.
sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen adalah variabel bebas yang nilai fungsinya bergantung. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita sendiri yang memilih , substitusikan ke dalam rumus fungsi dan dapatkan .

Domain fungsi - himpunan nilai-nilai itu (dan hanya itu) dari argumen yang fungsi itu ada.
Dilambangkan: atau .

Dalam gambar kami, domain fungsi adalah segmen. Pada segmen inilah grafik fungsi digambar. Hanya di sini fungsi ini ada.

Rentang fungsi: adalah kumpulan nilai yang diambil variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

fungsi nol- titik di mana nilai fungsi sama dengan nol, yaitu . Dalam gambar kami, ini adalah poin dan .

Nilai fungsi positif di mana . Dalam gambar kami, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif di mana . Kami memiliki interval ini (atau interval) dari ke.

Konsep Kunci - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai satu set, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin , semakin , yaitu grafik pergi ke kanan dan ke atas.

Fungsi berkurang di set jika untuk setiap dan milik set ketidaksetaraan menyiratkan ketidaksetaraan .

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar sesuai dengan nilai yang lebih kecil. Grafik berjalan ke kanan dan ke bawah.

Dalam gambar kami, fungsi meningkat pada interval dan menurun pada interval dan .

Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi.

Poin maksimum- ini adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik tersebut, nilai fungsi di mana lagi daripada di tetangga. Ini adalah "bukit" lokal pada grafik.

Dalam gambar kami - titik maksimum.

Poin rendah- titik internal domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya kurang dari di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimum sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di yang bertetangga. Pada grafik, ini adalah "lubang" lokal.

Dalam gambar kami - titik minimum.

Intinya adalah batas. Dia tidak titik internal domain definisi dan karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak memiliki tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, tidak ada titik minimum pada grafik kita.

Poin maksimum dan minimum secara kolektif disebut titik ekstrem dari fungsi. Dalam kasus kami, ini adalah dan .

Tetapi bagaimana jika Anda perlu menemukan, misalnya, fungsi minimum di potong? Dalam hal ini, jawabannya adalah: karena fungsi minimum adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian pula, maksimum fungsi kami adalah . Hal ini tercapai pada titik .

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan .

Terkadang dalam tugas Anda perlu menemukan terbesar dan nilai terkecil fungsi pada segmen tertentu. Mereka tidak selalu bertepatan dengan ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada interval sama dengan dan bertepatan dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini sama dengan . Itu dicapai di ujung kiri segmen.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.