ამოხსნისას შეადარეთ სიდიდეები და სიდიდეები პრაქტიკული ამოცანებიჰქონდა უძველესი დროიდან. ამავდროულად გაჩნდა ისეთი სიტყვები, როგორიცაა მეტი და ნაკლები, უფრო მაღალი და ქვედა, მსუბუქი და მძიმე, უფრო მშვიდი და ხმამაღალი, იაფი და ძვირი და ა.შ., რაც ერთგვაროვანი რაოდენობების შედარების შედეგებს აღნიშნავს.

ცნებები მეტი და ნაკლები წარმოიშვა საგნების დათვლასთან, სიდიდეების გაზომვასთან და შედარებასთან დაკავშირებით. მაგალითად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა იცოდნენ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და უფრო დიდი კუთხეყველაზე გრძელი მხარე სამკუთხედშია. არქიმედესმა წრის გარშემოწერილობის გამოთვლისას აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი წრის პერიმეტრი უდრის სამჯერ დიამეტრს, ჭარბი, რომელიც დიამეტრის მეშვიდეზე ნაკლებია, მაგრამ დიამეტრის ათ სამოცდათერთმეტზე მეტი.

სიმბოლურად დაწერეთ ურთიერთობები რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის > და b ნიშნების გამოყენებით. ჩანაწერები, რომლებშიც ორი რიცხვი დაკავშირებულია ერთ-ერთი ნიშნით: > (უფრო მეტი), თქვენ ასევე შეგხვდათ რიცხვითი უტოლობები ქვედა კლასები. თქვენ იცით, რომ უთანასწორობა შეიძლება იყოს ან არ იყოს ჭეშმარიტი. მაგალითად, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) სწორია რიცხვითი უტოლობა, 0,23 > 0,235 - არასწორი რიცხვითი უტოლობა.

უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უცნობის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და მცდარი სხვებისთვის. მაგალითად, უტოლობა 2x+1>5 მართალია x = 3-ისთვის, მაგრამ მცდარია x = -3-ისთვის. უტოლობისთვის ერთ უცნობისთან, შეგიძლიათ დააყენოთ დავალება: ამოხსნათ უტოლობა. პრაქტიკაში უტოლობების ამოხსნის ამოცანები დასმული და გადაწყვეტილია არანაკლებ ხშირად, ვიდრე განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. მაგალითად, ბევრი ეკონომიკური პრობლემებიდაყვანილია წრფივი უტოლობათა სისტემების შესწავლასა და ამოხსნაზე. მათემატიკის ბევრ დარგში უტოლობები უფრო ხშირია, ვიდრე განტოლებები.

ზოგიერთი უთანასწორობა ერთადერთია დამხმარე საშუალებები, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაამტკიცოთ ან უარყოთ გარკვეული ობიექტის არსებობა, მაგალითად, განტოლების ფესვი.

რიცხვითი უტოლობები

შეგიძლიათ შეადაროთ მთელი რიცხვები? ათწილადები. იცოდე შედარების წესები ჩვეულებრივი წილადებიერთი და იგივე მნიშვნელებით, მაგრამ განსხვავებული მრიცხველებით; იგივე მრიცხველებით, მაგრამ სხვადასხვა მნიშვნელი. აქ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეადაროთ ნებისმიერი ორი რიცხვი მათი განსხვავების ნიშნის აღმოჩენით.

რიცხვების შედარება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში. მაგალითად, ეკონომისტი ადარებს დაგეგმილ მაჩვენებლებს რეალურს, ექიმი ადარებს პაციენტის ტემპერატურას ნორმალურთან, ტურნერი ადარებს დამუშავებული ნაწილის ზომებს სტანდარტს. ყველა ასეთ შემთხვევაში შედარებულია ზოგიერთი რიცხვი. რიცხვების შედარების შედეგად წარმოიქმნება რიცხვითი უტოლობები.

განმარტება.ნომერი ა მეტი ნომერიბ თუ განსხვავება a-bდადებითი. ნომერი ა რიცხვზე ნაკლები b თუ სხვაობა a-b უარყოფითია.

თუ a მეტია b-ზე, მაშინ წერენ: a > b; თუ a ნაკლებია b-ზე, მაშინ წერენ: a ამრიგად, უტოლობა a > b ნიშნავს, რომ სხვაობა a - b დადებითია, ე.ი. a - b > 0. უტოლობა a ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის a და b შემდეგი სამი მიმართებიდან a > b, a = b, a თეორემა.თუ a > b და b > c, მაშინ a > c.

თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.

თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ერთზე დადებითი რიცხვი, მაშინ უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება. თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია ერთზე უარყოფითი რიცხვი, მაშინ უტოლობის ნიშანი შებრუნებული იქნება.
შედეგი.თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.

Იცი, რომ რიცხვითი ტოლობებიშეგიძლიათ დაამატოთ და გაამრავლოთ ტერმინი ტერმინით. შემდეგი, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მსგავსი მოქმედებები უტოლობებით. პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება უტოლობების ტერმინით ტერმინით დამატებისა და გამრავლების უნარი. ეს მოქმედებები დაგეხმარებათ გადაჭრათ გამოხატვის მნიშვნელობების შეფასებისა და შედარების პრობლემები.

როცა გადაწყვეტს სხვადასხვა ამოცანებიხშირად ადამიანს უწევს უტოლობების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეკრება ან გამრავლება. ზოგჯერ ამბობენ, რომ უტოლობები ემატება ან მრავლდება. მაგალითად, თუ ტურისტმა პირველ დღეს გაიარა 20 კმ-ზე მეტი, ხოლო მეორე დღეს 25 კმ-ზე მეტი, მაშინ შეიძლება იმის მტკიცება, რომ ორ დღეში მან 45 კმ-ზე მეტი გაიარა. ანალოგიურად, თუ მართკუთხედის სიგრძე 13 სმ-ზე ნაკლებია, ხოლო სიგანე 5 სმ-ზე ნაკლები, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მართკუთხედის ფართობი 65 სმ2-ზე ნაკლებია.

ამ მაგალითების განხილვისას შემდეგი თეორემები უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების შესახებ:

თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების შეკრებისას ვიღებთ იმავე ნიშნის უტოლობას: თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d.

თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების გამრავლებისას, რომლებისთვისაც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითია, მიიღება ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობა: თუ a > b, c > d და a, b, c, d დადებითი რიცხვებია, მაშინ ac >. ბდ.

ნიშანდობლივი უტოლობა > (მეტი) და 1/2, 3/4 b, c ნიშნებთან ერთად მკაცრი უთანასწორობები> და ანალოგიურად, უტოლობა \(a \geq b \) ნიშნავს, რომ რიცხვი a მეტია ან ტოლია b-ზე, ანუ a არ არის b-ზე ნაკლები.

\(\geq \) ნიშნის ან \(\leq \) ნიშნის შემცველ უტოლობას უწოდებენ არამკაცრს. მაგალითად, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) არ არის მკაცრი უტოლობები.

მკაცრი უტოლობების ყველა თვისება ასევე მოქმედებს არამკაცრ უტოლობაზე. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უტოლობებისთვის ნიშნები > საპირისპიროდ ჩაითვლება და თქვენ იცით, რომ სერიების ამოსახსნელად გამოყენებული ამოცანებითქვენ უნდა გააკეთოთ მათემატიკური მოდელი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის სახით. შემდეგი, თქვენ გაიგებთ, რომ მათემატიკური მოდელებიმრავალი პრობლემის გადასაჭრელად არის უთანასწორობა უცნობებთან. ჩვენ გავაცნობთ უტოლობის ამოხსნის კონცეფციას და ვაჩვენებთ, თუ როგორ შევამოწმოთ თუ არა მოცემული ნომერიკონკრეტული უტოლობის ამოხსნა.

ფორმის უტოლობები
\(ax > b, \quad ax სადაც a და b მოცემულია რიცხვები და x უცნობია, ეწოდება წრფივი უტოლობაერთ უცნობთან.

განმარტება.უტოლობის ამოხსნა ერთ უცნობთან არის უცნობის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამოხსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.

თქვენ ამოხსნით განტოლებებს უმარტივეს განტოლებამდე მათი შემცირებით. ანალოგიურად, უტოლობების ამოხსნისას, მიდრეკილია მათი შემცირება თვისებების დახმარებით უმარტივესი უტოლობების სახით.

მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით

ფორმის უტოლობები
\(ax^2+bx+c >0 \) და \(ax^2+bx+c სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \) ეწოდება მეორე ხარისხის უტოლობები ერთი ცვლადით.

უტოლობის ამოხსნა
\(ax^2+bx+c >0 \) ან \(ax^2+bx+c \) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ხარვეზების პოვნა, სადაც ფუნქცია \(y= ax^2+bx+c \) დადებითია. ან უარყოფითი მნიშვნელობები ამისათვის საკმარისია გავაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეში: სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები - ზემოთ ან ქვემოთ. , კვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს და თუ კვეთს, მაშინ რომელ წერტილებში.

მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ერთი ცვლადით:
1) იპოვეთ \(ax^2+bx+c\) კვადრატული ტრინომინალის დისკრიმინანტი და გაარკვიეთ აქვს თუ არა ტრინომს ფესვები;
2) თუ ტრინომს აქვს ფესვები, მაშინ მონიშნეთ ისინი x ღერძზე და სქემატურად დახაზეთ პარაბოლა მონიშნულ წერტილებში, რომელთა ტოტები მიმართულია ზევით > 0-ზე ან ქვევით 0-ზე ან ბოლოში 3) იპოვეთ ხარვეზები x ღერძზე, რომლისთვისაც წერტილების პარაბოლები განლაგებულია x ღერძის ზემოთ (თუ ისინი ამოხსნიან უტოლობას \(ax^2+bx+c >0 \)) ან x ღერძის ქვემოთ (თუ ისინი ხსნიან უტოლობას
\(ax^2+bx+c უტოლობების ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით

განიხილეთ ფუნქცია
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რიცხვის ნაკრები. ფუნქციის ნულები არის რიცხვები -2, 3, 5. ისინი ყოფენ ფუნქციის დომენს \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ინტერვალებად. ) \) და \( (5; +\infty)\)

მოდით გავარკვიოთ, რა არის ამ ფუნქციის ნიშნები თითოეულ მითითებულ ინტერვალში.

გამოხატულება (x + 2) (x - 3) (x - 5) არის სამი ფაქტორის ნამრავლი. თითოეული ამ ფაქტორის ნიშანი განხილულ ინტერვალებში მითითებულია ცხრილში:

ზოგადად, ფუნქცია მოცემულია ფორმულით
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
სადაც x არის ცვლადი და x 1, x 2, ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები. რიცხვები x 1 , x 2 , ..., x n არის ფუნქციის ნულები. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა ფუნქციის ნულებით, ფუნქციის ნიშანი შენარჩუნებულია და ნულზე გავლისას იცვლება მისი ნიშანი.

ეს თვისება გამოიყენება ფორმის უტოლობების გადასაჭრელად
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) სადაც x 1 , x 2 , ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები

განხილული მეთოდი უტოლობების ამოხსნას ინტერვალების მეთოდს უწოდებენ.

მოვიყვანოთ უტოლობების ინტერვალის მეთოდით ამოხსნის მაგალითები.

ამოხსენით უტოლობა:

\(x(0.5-x)(x+4) ცხადია, f(x) = x(0.5-x)(x+4) ფუნქციის ნულები არის წერტილები \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

მიმართეთ რიცხვითი ღერძიფუნქციის ნულები და გამოთვალეთ ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე:

ვირჩევთ იმ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია არის ნულის ტოლი ან ნაკლები და ვწერთ პასუხს.

პასუხი:
\(x \in \ მარცხნივ (-\infty; \; 1 \მარჯვნივ) \თასი \მარცხნივ[ 4; \; +\infty \მარჯვნივ) \)

ბევრი ყველა რეალური რიცხვებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი სიმრავლის გაერთიანების სახით: დადებითი რიცხვების სიმრავლე, უარყოფითი რიცხვების სიმრავლე და სიმრავლე, რომელიც შედგება ერთი რიცხვისაგან - რიცხვი ნული. მიუთითოს, რომ ნომერი ადადებითი, ისიამოვნეთ ჩანაწერით a > 0, უარყოფითი რიცხვის მითითებისთვის გამოიყენეთ სხვა ჩანაწერი ა< 0 .

დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი ასევე დადებითი რიცხვებია. თუ ნომერი აუარყოფითი, შემდეგ რიცხვი -ადადებითი (და პირიქით). ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a არის დადებითი რაციონალური რიცხვი რ, რა რ< а . ეს ფაქტები საფუძვლად უდევს უთანასწორობის თეორიას.

განმარტებით, უტოლობა a > b (ან ექვივალენტურად, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ანუ თუ რიცხვი a - b დადებითია.

განვიხილოთ, კერძოდ, უთანასწორობა ა< 0 . რას ნიშნავს ეს უთანასწორობა? ზემოაღნიშნული განმარტების მიხედვით, ეს ნიშნავს იმას 0 - a > 0, ე.ი. -a > 0ან კიდევ რა ნომერი -ადადებითად. მაგრამ ეს ასეა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ნომერი აუარყოფითი. ასე რომ, უთანასწორობა ა< 0 ნიშნავს რომ რიცხვი მაგრამ უარყოფითად.

ხშირად ასევე გამოიყენება აღნიშვნა აბ(ან, რაც იგივეა, ბა).
ჩაწერა აბ, განსაზღვრებით, ნიშნავს რომ ან a > b, ან a = b. თუ ჩანაწერს გავითვალისწინებთ აბროგორც განუსაზღვრელი წინადადება, შემდეგ აღნიშვნაში მათემატიკური ლოგიკაშეიძლება დაიწეროს

(ა ბ) [(ა > ბ) V (ა = ბ)]

მაგალითი 1სწორია თუ არა უტოლობები 5 0, 0 0?

უტოლობა 5 0 არის რთული განცხადებაშედგება ორისაგან მარტივი გამონათქვამებიდაკავშირებულია ლოგიკური შემაერთებელი „ან“-ით (დისუნქცია). ან 5 > 0 ან 5 = 0. პირველი დებულება 5 > 0 მართალია, მეორე დებულება 5 = 0 მცდარია. დისიუნქციის განმარტებით, ასეთი რთული განცხადება მართალია.

ჩანაწერი 00 განიხილება ანალოგიურად.

ფორმის უტოლობები a > b, a< b დაერქმევა მკაცრი და ფორმის უტოლობები აბ, აბ- არა მკაცრი.

უთანასწორობები a > bდა გ > დ(ან ა< b და თან< d ) დაერქმევა იმავე მნიშვნელობის უტოლობას და უტოლობას a > bდა გ< d - საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობები. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ორი ტერმინი (იგივე და საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობები) ეხება მხოლოდ უტოლობების დაწერის ფორმას და არა თავად ამ უტოლობებით გამოხატულ ფაქტებს. ასე რომ, უთანასწორობასთან მიმართებაში ა< b უთანასწორობა თან< d არის იგივე მნიშვნელობის უთანასწორობა და წერილობით დ > გ(იგულისხმება იგივე) - საპირისპირო მნიშვნელობის უთანასწორობა.

ფორმის უტოლობებთან ერთად a > b, აბგამოიყენება ეგრეთ წოდებული ორმაგი უტოლობა, ანუ ფორმის უტოლობები ა< с < b , ტუზი< b , ა< cb ,
აcb. განმარტებით, ჩანაწერი

ა< с < b (1)
ნიშნავს, რომ ორივე უტოლობა მოქმედებს:

ა< с და თან< b.

უთანასწორობას მსგავსი მნიშვნელობა აქვს acb, ac< b, а < сb.

ორმაგი უტოლობა (1) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

(ა< c < b) [(a < c) & (c < b)]

და ორმაგი უტოლობა a ≤ c ≤ bშეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

(ა გ ბ) [(ა< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

მოდით ახლა გადავიდეთ უთანასწორობაზე მოქმედების ძირითადი თვისებებისა და წესების პრეზენტაციაზე, შევთანხმდეთ, რომ ამ სტატიაში ასოები ა, ბ, გწარმოადგენს ნამდვილ რიცხვებს და ნნიშნავს ნატურალურ რიცხვს.

1) თუ a > b და b > c, მაშინ a > c (ტრანზიტულობა).

მტკიცებულება.

ვინაიდან პირობის მიხედვით a > bდა ბ > გ, შემდეგ ნომრები ა - ბდა ბ - გდადებითია და შესაბამისად რიცხვიც a - c \u003d (a - b) + (b - c), როგორც დადებითი რიცხვების ჯამი, ასევე დადებითია. ეს ნიშნავს, განსაზღვრებით, რომ a > c.

2) თუ a > b, მაშინ ნებისმიერი c-სთვის მოქმედებს უტოლობა a + c > b + c.

მტკიცებულება.

იმიტომ რომ a > b, შემდეგ ნომერი ა - ბდადებითად. ამიტომ, რიცხვი (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bასევე დადებითია, ე.ი.
a + c > b + c.

3) თუ a + b > c, მაშინ a > b - c,ანუ ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.

მტკიცებულება გამომდინარეობს თვისებიდან 2) საკმარისია უტოლობის ორივე ნაწილისთვის a + b > cდაამატეთ ნომერი -ბ.

4) თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d,ანუ, ერთიდაიგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობის დამატება იძლევა იმავე მნიშვნელობის უტოლობას.

მტკიცებულება.

უტოლობის განმარტებით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ განსხვავება
(a + c) - (b + c)დადებითი. ეს განსხვავება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
(ა + გ) - (ბ + დ) = (ა - ბ) + (გ - დ).
ვინაიდან ნომრის პირობით ა - ბდა გ - დდადებითია, მაშინ (ა + გ) - (ბ + დ)ასევე დადებითი რიცხვია.

შედეგი. წესები 2) და 4) გულისხმობს შემდეგი წესიუტოლობების გამოკლება: თუ a > b, c > d, მაშინ a - d > b - c(დასამტკიცებლად საკმარისია უტოლობის ორივე ნაწილისთვის a + c > b + dდაამატეთ ნომერი - გ - დ).

5) თუ a > b, მაშინ c > 0-სთვის გვაქვს ac > bc, ხოლო c-სთვის< 0 имеем ас < bc.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც უტოლობის ორივე ნაწილი მრავლდება, არცერთი არ არის დადებითი რიცხვი, უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია (ანუ მიიღება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა), ხოლო უარყოფით რიცხვზე გამრავლებისას უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპირო (ანუ საპირისპირო მნიშვნელობის უთანასწორობა მიიღება.

მტკიცებულება.

Თუ a > b, მაშინ ა - ბდადებითი რიცხვია. მაშასადამე, განსხვავების ნიშანი აწ-ძვ = ტაქსი)შეესაბამება რიცხვის ნიშანს თან: თუ თანარის დადებითი რიცხვი, მაშინ განსხვავება აწ - ძვდადებითი და ამიტომ ac > ძვ.წ, რა იქნება თუ თან< 0 , მაშინ ეს განსხვავება უარყოფითია და ამიტომ ძვ.წ. - ახდადებითი, ე.ი. bc > ac.

6) თუ a > b > 0 და c > d > 0, მაშინ ac > bd,ანუ, თუ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობის ყველა ტერმინი დადებითია, მაშინ ამ უტოლობათა ტერმინით გამრავლება იწვევს ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობას.

მტკიცებულება.

Ჩვენ გვაქვს ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). იმიტომ რომ c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, შემდეგ ac - bd > 0, ანუ ac > bd.

კომენტარი.მტკიცებულებიდან ირკვევა, რომ პირობა d > 0თვისების ფორმულირებაში 6) უმნიშვნელოა: იმისათვის, რომ ეს თვისება იყოს ჭეშმარიტი, საკმარისია პირობები a > b > 0, c > d, c > 0. თუ (თუ უტოლობები a > b, c > d) ნომრები ა, ბ, გყველა დადებითი არ არის, მაშინ უთანასწორობა ac > bdშეიძლება არ შესრულდეს. მაგალითად, როდის ა = 2, ბ =1, გ= -2, დ= -3 გვაქვს a > b, c > დ, მაგრამ უთანასწორობა ac > bd(ანუ -4 > -3) ვერ მოხერხდა. ამრიგად, მოთხოვნა, რომ a, b, c რიცხვები დადებითი იყოს 6) თვისების დებულებაში.

7) თუ a ≥ b > 0 და c > d > 0, მაშინ (უტოლობათა გაყოფა).

მტკიცებულება.

Ჩვენ გვაქვს მარჯვენა მხარეს წილადის მრიცხველი დადებითია (იხ. თვისებები 5), 6)), მნიშვნელიც დადებითია. შესაბამისად,. ეს ადასტურებს თვისებას 7).

კომენტარი.ჩვენ აღვნიშნავთ მნიშვნელოვან განსაკუთრებული შემთხვევაწესი 7) მიღებულია, როდესაც a = b = 1: თუ c > d > 0, მაშინ. ამგვარად, თუ უტოლობის პირობები დადებითია, მაშინ როდესაც გადადის ორმხრივებივიღებთ საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას. ვიწვევთ მკითხველს დაადასტურონ, რომ ეს წესი ასევე დაცულია 7) თუ ab > 0 და c > d > 0, მაშინ (უტოლობათა დაყოფა).

მტკიცებულება. მაშინ.

ზემოთ ჩვენ დავამტკიცეთ ნიშნით დაწერილი უტოლობების რამდენიმე თვისება > (მეტი). თუმცა, ყველა ეს თვისება შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნიშნის გამოყენებით < (ნაკლები), რადგან უთანასწორობა ბ< а განსაზღვრებით ნიშნავს იგივე უთანასწორობას a > b. უფრო მეტიც, როგორც ადვილი შესამოწმებელია, ზემოთ დადასტურებული თვისებები ასევე დაცულია არამკაცრ უტოლობაზე. მაგალითად, თვისება 1) არამკაცრ უტოლობას ექნება შემდეგი ხედი: თუ აბ და ძვ, მაშინ ტუზი.

რა თქმა უნდა, უტოლობების ზოგადი თვისებები არ შემოიფარგლება იმით, რაც ზემოთ იყო ნათქვამი. ჯერ კიდევ არსებობს მთელი ხაზიუთანასწორობები ზოგადი ხედიასოცირდება სიმძლავრის, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ამ სახის უტოლობების დაწერის ზოგადი მიდგომა შემდეგია. თუ რაიმე ფუნქცია y = f(x)სეგმენტზე მონოტონურად იზრდება [ა, ბ], მაშინ x 1 > x 2 (სადაც x 1 და x 2 ეკუთვნის ამ სეგმენტს) გვაქვს f (x 1) > f(x 2). ანალოგიურად, თუ ფუნქცია y = f(x)სეგმენტზე მონოტონურად მცირდება [ა, ბ], შემდეგ ზე x 1 > x 2 (სად x 1და X 2 ეკუთვნის ამ სეგმენტს) გვაქვს f(x1)< f(x 2 ). რა თქმა უნდა, ნათქვამი არ განსხვავდება მონოტონურობის განმარტებისგან, მაგრამ ეს ტექნიკა ძალიან მოსახერხებელია უთანასწორობის დასამახსოვრებლად და დასაწერად.

ასე, მაგალითად, ნებისმიერი ბუნებრივი n ფუნქციისთვის y = x nსხივზე მონოტონურად იზრდება {0} {0} }