გამრავლება ჩვეულებრივი წილადები

განვიხილოთ მაგალითი.

თეფშზე იყოს $\frac(1)(3)$ ვაშლის ნაწილი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მისი $\frac(1)(2)$ ნაწილი. საჭირო ნაწილი არის $\frac(1)(3)$ და $\frac(1)(2)$ წილადების გამრავლების შედეგი. ორი საერთო წილადის გამრავლების შედეგი არის საერთო წილადი.

ორი საერთო წილადის გამრავლება

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესი:

წილადის წილადზე გამრავლების შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველიც არის უდრის პროდუქტსგამრავლებული წილადების მრიცხველები და მნიშვნელი ტოლია მნიშვნელების ნამრავლის:

მაგალითი 1

გაამრავლეთ ჩვეულებრივი წილადები $\frac(3)(7)$ და $\frac(5)(11)$.

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესი:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

პასუხი:$\frac(15)(77)$

თუ წილადების გამრავლების შედეგად მიიღება გაუქმებადი ან არასწორი წილადი, მაშინ აუცილებელია მისი გამარტივება.

მაგალითი 2

გაამრავლეთ წილადები $\frac(3)(8)$ და $\frac(1)(9)$.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ წესს ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

შედეგად მივიღეთ შემცირებადი წილადი ($3$-ზე გაყოფის საფუძველზე. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ $3$-ზე, მივიღებთ:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

მოკლე გამოსავალი:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

პასუხი:$\frac(1)(24).$

წილადების გამრავლებისას შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველები და მნიშვნელები, რომ იპოვოთ მათი ნამრავლი. ამ შემთხვევაში, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იშლება ძირითადი ფაქტორები, რის შემდეგაც მცირდება განმეორებითი ფაქტორები და ვლინდება შედეგი.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ $\frac(6)(75)$ და $\frac(15)(24)$ წილადების ნამრავლი.

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ ფორმულა ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

ცხადია, მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს რიცხვებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს წყვილებში $2$, $3$ და $5$ რიცხვებით. ჩვენ ვანაწილებთ მრიცხველს და მნიშვნელს მარტივ ფაქტორებად და ვაკეთებთ შემცირებას:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

პასუხი:$\frac(1)(20).$

წილადების გამრავლებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ გადაადგილების კანონი:

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება

ჩვეულებრივი წილადის გამრავლების წესი ბუნებრივი რიცხვი:

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების შედეგი არის წილადი, რომელშიც მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადის მრიცხველის ნამრავლის ნამრავლის ნამრავლზე, ხოლო მნიშვნელი ტოლია გამრავლებული წილადის მნიშვნელის:

სადაც $\frac(a)(b)$ არის ჩვეულებრივი წილადი, $n$ არის ნატურალური რიცხვი.

მაგალითი 4

გაამრავლეთ წილადი $\frac(3)(17)$ $4$-ზე.

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესი:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

პასუხი:$\frac(12)(17).$

არ დაივიწყოთ გამრავლების შედეგის შემოწმება წილადის შეკუმშვისთვის თუ არა სათანადო წილადი.

მაგალითი 5

გაამრავლეთ წილადი $\frac(7)(15)$ $3$-ზე.

გადაწყვეტილება.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად გამოვიყენოთ ფორმულა:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ რიცხვით გაყოფის კრიტერიუმით შეიძლება დადგინდეს, რომ მიღებული წილადი შეიძლება შემცირდეს:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

შედეგი არის არასწორი ფრაქცია. ავიღოთ მთლიანი ნაწილი:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

მოკლე გამოსავალი:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

ასევე შესაძლებელი იყო წილადების შემცირება მრიცხველში და მნიშვნელში რიცხვების ჩანაცვლებით მათი გაფართოებებით მარტივ ფაქტორებად. ამ შემთხვევაში, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

პასუხი:$1\frac(2)(5).$

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომუტაციური კანონი:

ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა

გაყოფის ოპერაცია არის გამრავლების შებრუნებული და მისი შედეგი არის წილადი, რომლითაც უნდა გაამრავლოთ ცნობილი წილადი, რომ მიიღოთ ცნობილი ნამუშევარიორი წილადი.

ორი საერთო წილადის გაყოფა

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესი:ცხადია, მიღებული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება დაიშალოს მარტივ ფაქტორებად და შემცირდეს:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

შედეგად მივიღეთ არასწორი წილადი, საიდანაც ვირჩევთ მთელ ნაწილს:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

პასუხი:$1\frac(5)(9).$

მსვლელობისას საშუალო და უმაღლესი სკოლამოსწავლეებმა გაიარეს თემა „წილადები“. თუმცა, ეს კონცეფცია ბევრად უფრო ფართოა, ვიდრე მოცემულია სასწავლო პროცესში. დღეს წილადის ცნება საკმაოდ ხშირად გვხვდება და ყველას არ შეუძლია გამოთვალოს რაიმე გამოხატულება, მაგალითად, წილადების გამრავლება.

რა არის წილადი?

ასე მოხდა ისტორიულად, რომ გაზომვის აუცილებლობის გამო გამოჩნდა წილადი რიცხვები. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ხშირად არის მაგალითები სეგმენტის სიგრძის, მართკუთხა მართკუთხედის მოცულობის დასადგენად.

თავდაპირველად სტუდენტები ეცნობიან ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა წილი. მაგალითად, თუ საზამთროს 8 ნაწილად გაყოფთ, მაშინ თითოეული მიიღებს საზამთროს მერვედს. რვის ამ ერთ ნაწილს წილი ჰქვია.

ნებისმიერი ღირებულების ½-ის ტოლ წილს ნახევარი ეწოდება; ⅓ - მესამე; ¼ - მეოთხედი. ჩანაწერებს, როგორიცაა 5/8, 4/5, 2/4, საერთო წილადებს უწოდებენ. ჩვეულებრივი წილადი იყოფა მრიცხველად და მნიშვნელად. მათ შორის არის წილადი, ან წილადი ხაზი. წილადი ზოლი შეიძლება დახაზული იყოს როგორც ჰორიზონტალური, ისე დახრილი ხაზით. AT ამ საქმესეს ნიშნავს გაყოფის ნიშანს.

მნიშვნელი წარმოადგენს რამდენ თანაბარ წილზეა დაყოფილი ღირებულება, ობიექტი; და მრიცხველი არის რამდენი თანაბარი წილი აღებული. მრიცხველი იწერება წილადის ზოლის ზემოთ, მნიშვნელი მის ქვემოთ.

ყველაზე მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადების ჩვენება კოორდინატთა სხივი. თუ ერთი სეგმენტი დაყოფილია 4 თანაბარ ნაწილად, მიუთითეთ თითოეული წილი ლათინური ასო, მაშინ შედეგად თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ შესანიშნავი ვიზუალური მასალა. ასე რომ, წერტილი A აჩვენებს წილს, რომელიც უდრის მთლიანი ერთეულის სეგმენტის 1/4-ს, ხოლო B წერტილი აღნიშნავს ამ სეგმენტის 2/8-ს.

წილადების ჯიშები

წილადები არის საერთო, ათობითი და შერეული რიცხვები. გარდა ამისა, წილადები შეიძლება დაიყოს სათანადო და არასწორად. ეს კლასიფიკაცია უფრო შესაფერისია ჩვეულებრივი ფრაქციებისთვის.

სწორი წილადი არის რიცხვი, რომლის მრიცხველიც მნიშვნელზე ნაკლები. შესაბამისად, არასწორი წილადი არის რიცხვი, რომლის მრიცხველი მნიშვნელზე მეტია. მეორე ტიპი ჩვეულებრივ იწერება როგორც შერეული რიცხვი. ასეთი გამოხატულება შედგება მთელი და წილადი ნაწილისგან. მაგალითად, 1½. ერთი - მთელი ნაწილი, ½ - წილადი. თუმცა, თუ თქვენ გჭირდებათ გარკვეული მანიპულაციების შესრულება გამოხატვით (წილადების გაყოფა ან გამრავლება, მათი შემცირება ან გარდაქმნა), შერეული რიცხვი გარდაიქმნება არასწორ წილადად.

სწორი წილადური გამოხატულება ყოველთვის არის ერთზე ნაკლები, და არასწორი - 1-ზე მეტი ან ტოლი.

რაც შეეხება ამ გამოსახულებას, მათ ესმით ჩანაწერი, რომელშიც წარმოდგენილია ნებისმიერი რიცხვი, რომლის წილადი გამოხატვის მნიშვნელი შეიძლება გამოისახოს ერთის მეშვეობით რამდენიმე ნულით. თუ წილადი სწორია, მაშინ მთელი ნაწილი შედის ათობითი აღნიშვნანულის ტოლი იქნება.

ათწილადის დასაწერად ჯერ უნდა დაწეროთ მთელი რიცხვი, გამოყოთ იგი წილადიდან მძიმით და შემდეგ დაწეროთ წილადური გამოსახულება. უნდა გვახსოვდეს, რომ მძიმის შემდეგ მრიცხველი უნდა შეიცავდეს იმდენი რიცხვითი სიმბოლოს, რამდენიც ნულებია მნიშვნელში.

მაგალითი. წარმოადგინეთ წილადი 7 21 / 1000 ათობითი აღნიშვნით.

არასწორი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევის ალგორითმი და პირიქით

პრობლემის პასუხში არასწორი წილადის ჩაწერა არასწორია, ამიტომ ის შერეულ რიცხვად უნდა გადაკეთდეს:

• მრიცხველი გავყოთ არსებულ მნიშვნელზე;
• in კონკრეტული მაგალითიარასრული კოეფიციენტი - მთელი;
• ხოლო ნაშთი არის წილადი ნაწილის მრიცხველი, მნიშვნელი უცვლელი რჩება.

მაგალითი. არასწორი წილადის გადაქცევა შერეულ რიცხვად: 47 / 5 .

გადაწყვეტილება. 47: 5. არასრული კოეფიციენტი არის 9, ნაშთი = 2. აქედან გამომდინარე, 47 / 5 = 9 2 / 5.

ზოგჯერ საჭიროა შერეული რიცხვის წარმოდგენა არასწორ წილადად. შემდეგ თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი:

• მთელი რიცხვი მრავლდება წილადი გამოხატვის მნიშვნელზე;
• შედეგად მიღებული პროდუქტი ემატება მრიცხველს;
• შედეგი იწერება მრიცხველში, მნიშვნელი უცვლელი რჩება.

მაგალითი. რიცხვის წარმოდგენა შერეული ფორმაროგორც არასწორი წილადი: 9 8 / 10 .

გადაწყვეტილება. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 არის მრიცხველი.

უპასუხე: 98 / 10.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ალგებრული მოქმედებები ჩვეულებრივ წილადებზე. ორი რიცხვის გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველთან, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელით. უფრო მეტიც, წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელიარ განსხვავდება წილადი რიცხვების ნამრავლისაგან იგივე მნიშვნელები.

ეს ხდება, რომ შედეგის პოვნის შემდეგ, თქვენ უნდა შეამციროთ ფრაქცია. AT უშეცდომოდმიღებული გამოხატულება მაქსიმალურად უნდა გამარტივდეს. რა თქმა უნდა, არ შეიძლება ითქვას, რომ პასუხის არასწორი წილადი შეცდომაა, მაგრამ ასევე რთულია მას სწორი პასუხი ვუწოდოთ.

მაგალითი. იპოვეთ ორი ჩვეულებრივი წილადის ნამრავლი: ½ და 20/18.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, პროდუქტის პოვნის შემდეგ მიიღება შემცირების წილადი აღნიშვნა. მრიცხველიც და მნიშვნელიც ამ შემთხვევაში იყოფა 4-ზე და შედეგი არის პასუხი 5/9.

ათობითი წილადების გამრავლება

ათობითი წილადების ნამრავლი თავისი პრინციპით საკმაოდ განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების ნამრავლისაგან. ასე რომ, წილადების გამრავლება ხდება შემდეგნაირად:

• ორი ათწილადი წილადი უნდა დაიწეროს ერთმანეთის ქვეშ ისე, რომ ყველაზე მარჯვენა ციფრი იყოს ერთი მეორის ქვეშ;
• თქვენ უნდა გაამრავლოთ დაწერილი რიცხვები, მიუხედავად მძიმეებისა, ანუ ნატურალურ რიცხვებად;
• დაითვალეთ ციფრების რაოდენობა მძიმის შემდეგ თითოეულ რიცხვში;
• გამრავლების შემდეგ მიღებულ შედეგში, თქვენ უნდა დაითვალოთ იმდენი ციფრული სიმბოლო მარჯვნივ, რამდენიც შეიცავს თანხას ორივე ფაქტორში ათობითი წერტილის შემდეგ და დააყენოთ გამყოფი ნიშანი;
• თუ ნამრავლში ნაკლები ციფრია, მაშინ მათ წინ იმდენი ნული უნდა დაიწეროს, რომ დაიფაროს ეს რიცხვი, დააყენოს მძიმე და მივაწეროთ ნულის ტოლი მთელი ნაწილი.

მაგალითი. გამოთვალეთ ორი ათწილადის ნამრავლი: 2.25 და 3.6.

გადაწყვეტილება.

შერეული წილადების გამრავლება

ორის ნამრავლის გამოსათვლელად შერეული ფრაქციებიწილადების გამრავლების წესი უნდა გამოიყენოთ:

• შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად;
• იპოვნეთ მრიცხველების ნამრავლი;
• იპოვეთ მნიშვნელების ნამრავლი;
• ჩაწერეთ შედეგი;
• მაქსიმალურად გაამარტივეთ გამოხატვა.

მაგალითი. იპოვეთ 4½ და 6 2/5 ნამრავლი.

რიცხვის გამრავლება წილადზე (წილადები რიცხვზე)

გარდა ორი წილადის, შერეული რიცხვების ნამრავლის პოვნისა, არის ამოცანები, სადაც უნდა გაამრავლოთ წილადზე.

ასე რომ, სამუშაოს პოვნა ათობითი წილადიდა ბუნებრივი რიცხვი, გჭირდებათ:

• ჩაწერეთ რიცხვი წილადის ქვეშ ისე, რომ ყველაზე მარჯვენა რიცხვები იყოს ერთმანეთის ზემოთ;
• იპოვეთ ნამუშევარი, მიუხედავად მძიმისა;
• მიღებულ შედეგში გამოყავით მთელი რიცხვი წილადი ნაწილისგან მძიმით, მარჯვნივ დათვალეთ სიმბოლოების რაოდენობა, რომელიც არის წილადის ათობითი წერტილის შემდეგ.

ჩვეულებრივი წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მრიცხველის ნამრავლი და ბუნებრივი ფაქტორი. თუ პასუხი არის შემცირებადი წილადი, ის უნდა გარდაიქმნას.

მაგალითი. გამოთვალეთ 5/8 და 12-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

უპასუხე: 7 1 / 2.

როგორც წინა მაგალითიდან ხედავთ, საჭირო იყო მიღებული შედეგის შემცირება და არასწორი წილადი გამოხატვის შერეულ რიცხვად გადაქცევა.

ასევე, წილადების გამრავლება ასევე ეხება რიცხვის ნამრავლის პოვნას შერეული ფორმით და ბუნებრივი ფაქტორით. ამ ორი რიცხვის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ შერეული კოეფიციენტის მთელი რიცხვი რიცხვზე, გაამრავლოთ მრიცხველი იმავე მნიშვნელობით და მნიშვნელი დატოვოთ უცვლელი. საჭიროების შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამარტივოთ შედეგი მაქსიმალურად.

მაგალითი. იპოვეთ 9 5/6 და 9-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

უპასუხე: 88 1 / 2.

გამრავლება 10, 100, 1000 ან 0,1 ფაქტორებზე; 0,01; 0.001

ეს გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან შემდეგი წესი. ათწილადი წილადის 10, 100, 1000, 10000 და ა.შ. გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით მარჯვნივ იმდენივე ციფრიანი სიმბოლოთი, რამდენიც არის ნულები მამრავლში ერთის შემდეგ.

მაგალითი 1. იპოვეთ 0,065 და 1000-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

უპასუხე: 65.

მაგალითი 2. იპოვეთ 3.9 და 1000-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

უპასუხე: 3900.

თუ საჭიროა ნატურალური რიცხვის და 0,1-ის გამრავლება; 0,01; 0,001; 0.0001 და ა.შ., თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით მარცხნივ მიღებულ ნაწარმოებში იმდენი ციფრიანი სიმბოლოთი, რამდენიც არის ნულები პირველამდე. საჭიროების შემთხვევაში, ნატურალური რიცხვის წინ იწერება საკმარისი რაოდენობის ნულები.

მაგალითი 1. იპოვეთ 56-ისა და 0.01-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

უპასუხე: 0,56.

მაგალითი 2. იპოვეთ 4-ისა და 0,001-ის ნამრავლი.

გადაწყვეტილება. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

უპასუხე: 0,004.

ასე რომ, პროდუქტის პოვნა სხვადასხვა წილადებიარ უნდა გამოიწვიოს სირთულეები, გარდა შედეგის გაანგარიშებისა; ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ არ შეგიძლიათ კალკულატორის გარეშე.

§ 87. წილადების შეკრება.

წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.

თავის მხრივ განვიხილავთ სამ შემთხვევას:

1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.

1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

განვიხილოთ მაგალითი: 1 / 5 + 2 / 5 .

აიღეთ სეგმენტი AB (ნახ. 17), აიღეთ ერთეულად და გაყავით 5-ზე თანაბარი ნაწილები, მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი, ხოლო CD სეგმენტის ნაწილი 2/5 AB-ის.

ნახაზიდან ჩანს, რომ თუ ავიღებთ AD ​​სეგმენტს, მაშინ ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ამ ტერმინებისა და მიღებული თანხის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.

აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი:

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით დავამატოთ წილადები: 3/4 + 3/8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური 6 / 8 + 3 / 8 ვერ დაიწერა; ჩვენ დავწერეთ აქ მეტი სიცხადისთვის.

ამგვარად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელთან, დაუმატოთ მათი მრიცხველები და მოაწეროთ ხელი. საერთო მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი ( დამატებითი მულტიპლიკატორებიჩვენ დავწერთ შესაბამის წილადებზე):

3. შერეული რიცხვების შეკრება.

მოდით დავამატოთ რიცხვები: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

მოდით, ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ ისინი:

ახლა დაამატეთ მთელი და წილადი ნაწილები თანმიმდევრობით:

§ 88. წილადების გამოკლება.

წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის მოქმედება, რომლითაც ორი ტერმინის და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, სხვა ტერმინი გვხვდება. რიგრიგობით განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

განვიხილოთ მაგალითი:

13 / 15 - 4 / 15

ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB-ის 1/15, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED, ტოლი 4/15 AB.

13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ ED სეგმენტი უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ მიერ მოყვანილი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იქნა მრიცხველების გამოკლებით და მნიშვნელი იგივე დარჩა.

მაშასადამე, იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაჰენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

მაგალითი. 3/4 - 5/8

ჯერ ეს წილადები შევამციროთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6 / 8 - 5 / 8 დაწერილია აქ სიცხადისთვის, მაგრამ მომავალში მისი გამოტოვება შეიძლება.

ამგვარად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.

განვიხილოთ მაგალითი:

3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

მაგალითი. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

მოდით მივიყვანოთ წილადის ნაწილები minuend-ისა და subtrahend-ის ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული შემცირებულის მთელი რიცხვიდან, დაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოხატულია წილადი და დაამატეთ შემცირებულის წილადი ნაწილი. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:

§ 89. წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგი კითხვები:

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.

წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (მულტიპლიკატორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შედგენას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია გამრავლების, ხოლო წევრთა რაოდენობა გამრავლების ტოლია.

ასე რომ, თუ გჭირდებათ 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:

ჩვენ მარტივად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,

ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეულები მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის ზრდა მიიღწევა ან მისი მრიცხველის გაზრდით

ან მისი მნიშვნელის შემცირებით , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე, ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.

აქედან ვიღებთ წესს:

წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველი ამ მთელ რიცხვზე და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი ან, თუ შესაძლებელია, გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე, მრიცხველი დატოვოთ უცვლელი.

გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ დავალებებს შორის არის ის, რომ ისინი აძლევენ ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი გავაცნობთ მათი გადაჭრის მეთოდს.

დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?

დავალება 2.მატარებელმა უნდა გაიაროს A და B ქალაქებს შორის მანძილი 300 კმ-ის ტოლი. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?

დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურის, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია?

აქ არის რამოდენიმე პრობლემა, რომლებთანაც უნდა ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის წილადი. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.

პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ასე რომ, წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:

პრობლემის 2 გადაწყვეტა.პრობლემის მნიშვნელობა ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. გამოთვალეთ 300-დან პირველი 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:

300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).

300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:

100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).

პრობლემის გადაწყვეტა 3.აქ თქვენ უნდა დაადგინოთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომელიც არის 400-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.

400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).

ამისთვის სამის გაანგარიშება 400-დან კვარტალში, შედეგად მიღებული კოეფიციენტი გასამმაგდება, ანუ გამრავლებული 3-ზე:

100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).

ამ პრობლემების გადაწყვეტის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:

მოცემული რიცხვის წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.

3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.

ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა იქნას გაგებული, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). ამ აბზაცში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.

ორივე შემთხვევაში, გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.

ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით ასეთ, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. სავსებით აშკარაა, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.

ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვუპასუხოთ კითხვას, რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.

მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს მულტიპლიკატორის ამ წილადის პოვნას.

კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.

მაგრამ ახლა არის საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ ასეთი ერთი შეხედვით სხვადასხვა აქტივობებიროგორ მოვძებნოთ თანხა თანაბარი რიცხვებიდა რიცხვის წილადის პოვნა, არითმეტიკაში ერთსა და იმავე სიტყვას "გამრავლება" ეწოდება?

ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვანი კითხვები. ეს ნიშნავს, რომ აქ ჩვენ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.

ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).

ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადი რიცხვით: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (3/4) გამრავლებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ რამდენჯერმე შეცვალოთ მასში არსებული რიცხვები პრობლემის მნიშვნელობის შეუცვლელად, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.

ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.

როგორ მრავლდება მთელი რიცხვი წილადზე?

ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:

განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-დან 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-დან 1/4, შემდეგ კი 3/4.

50-დან 1/4 არის 50/4;

50-დან 3/4 არის.

აქედან გამომდინარე.

განვიხილოთ სხვა მაგალითი: 12 5 / 8 = ?

12-დან 1/8 არის 12/8,

12 რიცხვის 5/8 არის .

აქედან გამომდინარე,

აქედან ვიღებთ წესს:

მთელი რიცხვის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო მოცემული წილადის მნიშვნელს ხელი მოაწეროთ მნიშვნელად.

ჩვენ ვწერთ ამ წესს ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც ჩამოყალიბებულია § 38-ში.

უნდა გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) ჭრის, Მაგალითად:

4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებას, ანუ წილადის წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი მამრავლში პირველი წილადიდან (გამრავლებით).

კერძოდ, 3/4-ის 1/2-ზე (ნახევარზე) გამრავლება ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.

როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?

ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 5/7 3/4-დან. იპოვეთ ჯერ 1/7 3/4-დან და შემდეგ 5/7

3/4-ის 1/7 ასე იქნება გამოხატული:

5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:

ამრიგად,

კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8-ჯერ 4/9.

5/8-ის 1/9 არის,

4/9 რიცხვები 5/8 არის.

ამრიგად,

ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოიტანოს შემდეგი წესი:

წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.

ეს არის წესი ზოგადი ხედიშეიძლება დაიწეროს ასე:

გამრავლებისას საჭიროა (თუ შესაძლებელია) შემცირება. განვიხილოთ მაგალითები:

5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც მულტიპლიკატორი, ან ფაქტორი, ან ორივე ფაქტორი გამოხატულია შერეული რიცხვები, შემდეგ ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გაამრავლეთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. თითოეულ მათგანს ვაქცევთ არასწორ წილადად და შემდეგ გავამრავლებთ მიღებულ წილადებს წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:

წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით.

Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:

6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნისას და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ბევრი რაოდენობა მათთვის არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ ქვედანაყოფებს აღიარებს. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება პენი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან დიმი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი რუბლი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). აიღეთ, მაგალითად, 2/7 რუბლი, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.

წონის საზომი ერთეული, ანუ კილოგრამი, უპირველეს ყოვლისა, იძლევა ათობითი ქვედანაყოფების საშუალებას, მაგალითად, 1/10 კგ ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1. /13 იშვიათია.

ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ნებადართულია ათობითი ქვედანაყოფები.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის ერთი და იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად დასაბუთებული დაყოფა არის "მეასედიანი". განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც დაკავშირებულია ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებთან.

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.

მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთია. ის 1 რუბლით დაეცა. 20 კოპი.

2. შემნახველი ბანკები წლის განმავლობაში უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში ჩადებული თანხის 2/100-ს.

მაგალითი. 500 მანეთი იდება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.

მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე სწავლობდა, მათგან 60-მა სკოლა დაამთავრა.

რიცხვის მეასედს ეწოდება პროცენტი..

სიტყვა „პროცენტი“ ნასესხებია ლათინურიხოლო მისი ძირი „ცენტი“ ასს ნიშნავს. წინადადებასთან ერთად (pro centum) ეს სიტყვა ნიშნავს "ასისთვის". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ქ ანტიკური რომიპროცენტი იყო ფული, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთი ნაცნობი სიტყვებით: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ამბობენ სანტიმეტრი).

მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ ქარხანამ მის მიერ წარმოებული ყველა პროდუქტის 1/100 წარმოადგინა გასული თვის განმავლობაში, ჩვენ ვიტყვით: გასულ თვეში ქარხანამ გამოუშვა ნარჩენების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:

1. წიგნების ფასი წინა ფასზე 12 პროცენტით შემცირდა.

2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან დანაზოგში ჩადებული თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა სკოლის ყველა მოსწავლის 5 პროცენტს.

ასოს შესამოკლებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად % ნიშნის დაწერა.

თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება გამოთვლებში, ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის განცხადებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ ხატით მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100-იანი მნიშვნელით.

თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:

პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ 100-იანი მნიშვნელის მქონე წილადის ნაცვლად მითითებული ხატით რიცხვის დაწერას:

7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა.

დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი არყის ხე იყო იქ?

ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა იყო მხოლოდ შეშის ნაწილი, რომელიც მიიტანეს სკოლაში და ეს ნაწილი გამოიხატება წილად 30/100. ასე რომ, ჩვენ წინაშე დგას დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად უნდა გავამრავლოთ 200 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).

ასე რომ, 200-დან 30% უდრის 60-ს.

წილადი 30 / 100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, იძლევა 10-ით შემცირების საშუალებას. ამ შემცირების განხორციელება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლება.

დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები იყო 21%, 12 წლის ბავშვები 61% და ბოლოს 13 წლის 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.

ასე რომ, აქ საჭირო იქნება რიცხვის წილადის სამჯერ პოვნა. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

1) რამდენი ბავშვი იყო 11 წლის?

2) რამდენი ბავშვი იყო 12 წლის?

3) რამდენი ბავშვი იყო 13 წლის?

პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:

63 + 183 + 54 = 300

ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმასაც, რომ პრობლემის პირობებში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:

21% + 61% + 18% = 100%

ეს იმაზე მეტყველებს საერთო რაოდენობაბანაკში მყოფი ბავშვები 100%-ით იქნა აღებული.

3 და ჩა 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინასა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოს, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა დავალებაში მითითებულ საჭიროებებზე?

ამ პრობლემის გადასაჭრელად 1200 რიცხვის წილადი უნდა იპოვო 5-ჯერ.მოდით გავაკეთოთ.

1) რა თანხა იხარჯება საკვებზე? ამოცანაში ნათქვამია, რომ ეს ხარჯი არის მთელი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:

2) რა თანხა გადაიხადეს ბინაში გათბობით? წინანდელივით კამათით მივდივართ შემდეგ გამოთვლებამდე:

3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?

4) რა თანხა იხარჯება კულტურულ საჭიროებებზე?

5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?

გადამოწმებისთვის სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი ნომრების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია, როგორც 100%, რაც ადვილი შესამოწმებელია პრობლემის განცხადებაში მოცემული პროცენტების დამატებით.

სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ამოცანები სხვადასხვა რამეს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად წყდებოდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა ამოცანაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.

§ 90. წილადების დაყოფა.

წილადების გაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.

როგორც აღინიშნა მთელი რიცხვების განყოფილებაში, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთ-ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, გვხვდება სხვა ფაქტორი.

მთელი რიცხვის დაყოფა მთელ რიცხვზე ჩვენ განვიხილეთ მთელი რიცხვების განყოფილებაში. ჩვენ შევხვდით იქ გაყოფის ორ შემთხვევას: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთში). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფისა და მთელი რიცხვის პროდუქტი. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).

მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7. ეს რიცხვი არის წილადი 7/12, რადგან 7/12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14/25, რადგან 14/25 25 = 14.

ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გააკეთოთ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი არის გამყოფი.

2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა ისეთი მეორე ფაქტორის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებიდან მისცემს ეს სამუშაო 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენს წინაშე დასახული დავალება იყო წილადის 6/7 3-ჯერ შემცირება.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ, შეგიძლიათ დაწეროთ:

ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი 3-ჯერ უნდა შემცირდეს.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:

ამის საფუძველზე შეგვიძლია განვაცხადოთ წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი ამ მთელ რიცხვზე(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე, დატოვოთ იგივე მრიცხველი.

3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.

დაე, საჭირო გახდეს 5-ის გაყოფა 1/2-ზე, ანუ იპოვეთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი 5-ზე მეტი უნდა იყოს, რადგან 1/2 არის სწორი წილადი. ხოლო რიცხვის სათანადო წილადზე გამრავლებისას ნამრავლი უნდა იყოს ნამრავლზე ნაკლები. უფრო გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , ასე რომ x 1/2 \u003d 5.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, 1/2. უცნობი ნომერი X არის 5 და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 \u003d 10.

ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10

მოდით შევამოწმოთ:

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).

სურ.19

დახაზეთ AB სეგმენტი, რომელიც უდრის ზოგიერთი ერთეულის 6-ს ​​და დაყავით თითოეული ერთეული 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში სამი მესამედი (3/3) მთელ AB სეგმენტში 6-ში ჯერ მეტი, ტ. ე 18/3. ჩვენ ვაკავშირებთ პატარა ფრჩხილების დახმარებით 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს b ერთეულში 9-ჯერ, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 არის 9-ჯერ ნაკლები 6 მთელი რიცხვის ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,

როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? ვიკამათებთ შემდეგნაირად: საჭიროა 6-ის გაყოფა 2/3-ზე, ანუ საჭიროა პასუხის გაცემა კითხვაზე, რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ არის 1/3. შეიცავს 6-ში? მთლიან ერთეულში - 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში - 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად 6 უნდა გავამრავლოთ 3-ზე. აქედან გამომდინარე, 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b-ს არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივეჯერ, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვი წილადზე რომ გავყოთ, ეს მთელი რიცხვი უნდა გავამრავლოთ მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გავყოთ მოცემული წილადის მრიცხველზე.

ჩვენ ვწერთ წესს ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გაითვალისწინეთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

4. წილადის გაყოფა წილადზე.

დაე, საჭირო გახდეს 3/4-ის გაყოფა 3/8-ზე. რა იქნება რიცხვი, რომელიც მიიღება გაყოფის შედეგად? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).

აიღეთ AB სეგმენტი, აიღეთ ერთეულად, გაყავით 4 ტოლ ნაწილად და მონიშნეთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით, ახლა გავყოთ ოთხი საწყისი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ AB სეგმენტი დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი. 3 ასეთ სეგმენტს ვაკავშირებთ რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ასე რომ, გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს ასე:

3 / 4: 3 / 8 = 2

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 15/16-ის გაყოფა 3/32-ზე:

შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 უცნობი ნომერი X შეადგინეთ 15/16

1/32 უცნობი ნომერი X არის,

32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გაამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი და მრიცხველი. მეორე მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

5. შერეული რიცხვების გაყოფა.

შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაკეთდეს არასწორი წილადები,შემდეგ გაყავით მიღებული წილადები წილადი რიცხვების გაყოფის წესების მიხედვით. განვიხილოთ მაგალითი:

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად:

ახლა გავყოთ:

ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად საჭიროა მათი გადაყვანა არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოფა წილადების გაყოფის წესის მიხედვით.

6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.

მათ შორის სხვადასხვა ამოცანებიწილადებზე, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც უცნობი რიცხვის რომელიმე წილადის მნიშვნელობაა მოცემული და საჭიროა ამ რიცხვის პოვნა. ამ ტიპის ამოცანები შებრუნებული იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანზე; იქ რიცხვი იყო მოცემული და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭიროა თავად იპოვო ეს რიცხვი. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაწყვეტას მივმართავთ.

დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 ფანჯარა შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?

გადაწყვეტილება.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც იმას ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.

სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.

დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?

გადაწყვეტილება.პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ მარაგის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მის გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:

1500: 3 = 500 (ეს არის მარაგის 1/8).

ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,

500 8 \u003d 4000 (კგ).

მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.

ამ პრობლემის განხილვიდან გამომდინარე, შემდეგი წესი შეიძლება გამოიტანოს.

რიცხვის საპოვნელად მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობით საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც ბოლოდან განსაკუთრებით კარგად ჩანს, წყდება ორი მოქმედებით: გაყოფით (ერთი ნაწილის აღმოჩენისას) და გამრავლებით (როცა მთელი რიცხვი იპოვება).

თუმცა წილადების დაყოფის შესწავლის შემდეგ ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთ მოქმედებაში, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.

მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:

სამომავლოდ მოვაგვარებთ რიცხვის მისი წილადით პოვნის პრობლემას ერთ მოქმედებაში - გაყოფაში.

7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

ამ ამოცანებში მოგიწევთ რიცხვის პოვნა, ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტის ცოდნა.

დავალება 1.Დასაწყისში მიმდინარე წელსშემნახველი ბანკიდან მივიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს შემოსავლის 2%-ს წელიწადში.)

პრობლემის აზრი ის არის, რომ გარკვეული თანხა შემნახველ ბანკში ჩავდე და იქ ერთი წელი ვიწექი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ ჩადებული თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?

მაშასადამე, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, რომელიც გამოიხატება ორი გზით (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერჯერობით უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. შემდეგი ამოცანები წყდება გაყოფით:

ასე რომ, შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაიდო.

დავალება 2.ორ კვირაში მეთევზეებმა თვიური გეგმა 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოამზადეს. რა იყო მათი გეგმა?

პრობლემის მდგომარეობიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. რამდენი ტონა თევზია საჭირო გეგმის მიხედვით, არ ვიცით. პრობლემის გადაწყვეტა იქნება ამ რიცხვის პოვნა.

ასეთი ამოცანები წყდება გაყოფით:

ასე რომ, გეგმის მიხედვით, თქვენ უნდა მოამზადოთ 800 ტონა თევზი.

დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა ჰქონდათ უკვე გავლილი. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: ”ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?

პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მგზავრობის 30% არის 276 კმ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:

§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.

აიღეთ წილადი 2/3 და გადააწყვეთ მრიცხველი მნიშვნელის ადგილზე, მივიღებთ 3/2. ჩვენ მივიღეთ ფრაქცია, ამის საპასუხო.

იმისათვის, რომ მიიღოთ წილადის საპასუხო წილადი, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ადგილას, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ადგილზე. ამ გზით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ წილადი, რომელიც არის ნებისმიერი წილადის საპასუხო. Მაგალითად:

3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5

ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი იყოს მეორის მნიშვნელი და პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ეწოდება. ურთიერთშებრუნებული.

ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. ვეძებთ ამის საპასუხოდ, მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1/3, ინვერსიული 3; 1/5, საპირისპირო 5

ვინაიდან საპასუხო რიცხვების პოვნისას ჩვენ ასევე შევხვდით მთელ რიცხვებს, მომავალში ჩვენ არ ვისაუბრებთ საპასუხო რიცხვებზე, არამედ ორმხრივები.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის საპასუხო. წილადებისთვის ეს მარტივად წყდება: მრიცხველის ადგილას მნიშვნელი უნდა დააყენოთ. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის საპასუხო, რადგან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ასე რომ, 7-ის საპასუხო იქნება 1/7, რადგან 7 \u003d 7/1; 10 რიცხვისთვის საპირისპირო არის 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1

ეს აზრი შეიძლება სხვაგვარად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის ორმხრივი მიიღება ერთის გაყოფით მოცემული ნომერი . ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. მართლაც, თუ გსურთ დაწეროთ რიცხვი, რომელიც არის 5/9-ის საპასუხო, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.

ახლა ავღნიშნოთ ერთი ქონებაორმხრივი ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: ურთიერთ საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:

ამ თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ რეციპროკულები შემდეგი გზით. ვიპოვოთ 8-ის საპასუხო.

ასოთი ავღნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, 7/12-ის შებრუნებული, აღვნიშნოთ იგი ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1:7 / 12 ან X = 12 / 7 .

ჩვენ აქ შემოვიღეთ საპასუხო რიცხვების კონცეფცია, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.

როდესაც რიცხვ 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, მაშინ ვაკეთებთ შემდეგს:

გადაიხადე Განსაკუთრებული ყურადღებაგამოთქმას და შეადარე მოცემულს: .

თუ გამონათქვამს ავიღებთ ცალ-ცალკე, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში შედეგი ერთნაირია. ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის საპასუხოზე გამრავლებით.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.

წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ეს ოპერაცია ბევრად უფრო ლამაზია ვიდრე შეკრება-გამოკლება! იმიტომ რომ უფრო ადვილია. შეგახსენებთ: წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველები (ეს იქნება შედეგის მრიცხველი) და მნიშვნელები (ეს იქნება მნიშვნელი). ანუ:

Მაგალითად:

ყველაფერი უკიდურესად მარტივია. და გთხოვთ ნუ ეძებთ საერთო მნიშვნელს! აქ არ გჭირდება...

წილადის წილადზე გასაყოფად საჭიროა გადაატრიალოთ მეორე(ეს მნიშვნელოვანია!) წილადი და გაამრავლე, ე.ი.

Მაგალითად:

თუ გამრავლება ან გაყოფა მთელი რიცხვებითა და წილადებით არის დაჭერილი, არაუშავს. როგორც შეკრებისას, ჩვენ ვაკეთებთ წილადს მთელი რიცხვიდან ერთეულით მნიშვნელში - და წავიდეთ! Მაგალითად:

საშუალო სკოლაში ხშირად გიწევს საქმე სამსართულიან (ან თუნდაც ოთხსართულიან!) წილადებთან. Მაგალითად:

როგორ მივიყვანოთ ეს წილადი ღირსეულ ფორმამდე? დიახ, ძალიან მარტივია! გამოიყენეთ გაყოფა ორი წერტილით:

მაგრამ არ დაივიწყოთ გაყოფის ბრძანება! გამრავლებისგან განსხვავებით, აქ ეს ძალიან მნიშვნელოვანია! რა თქმა უნდა, ჩვენ არ აგვირევთ 4:2 ან 2:4. მაგრამ სამსართულიან ფრაქციაში ადვილია შეცდომის დაშვება. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, მაგალითად:

პირველ შემთხვევაში (გამოთქმა მარცხნივ):

მეორეში (გამოთქმა მარჯვნივ):

Იგრძენი განსხვავება? 4 და 1/9!

როგორია გაყოფის თანმიმდევრობა? ან ფრჩხილები, ან (როგორც აქ) ჰორიზონტალური ტირეების სიგრძე. განავითარეთ თვალი. და თუ არ არის ფრჩხილები ან ტირეები, მაგალითად:

შემდეგ გაყოფა-გამრავლება თანმიმდევრობით, მარცხნიდან მარჯვნივ!

და ძალიან მარტივი და მნიშვნელოვანი ხრიკი. გრადუსით მოქმედებებში ის გამოგადგებათ! მოდით გავყოთ ერთეული რომელიმე წილადზე, მაგალითად, 13/15-ზე:

გასროლა გადატრიალდა! და ეს ყოველთვის ხდება. 1-ის რომელიმე წილადზე გაყოფისას შედეგი არის იგივე წილადი, მხოლოდ შებრუნებული.

ეს არის ყველა მოქმედება წილადებთან. საქმე საკმაოდ მარტივია, მაგრამ საკმარისზე მეტ შეცდომებს იძლევა. შენიშვნა პრაქტიკული რჩევა, და ისინი (შეცდომები) ნაკლები იქნება!

პრაქტიკული რჩევები:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას ყველაზე მნიშვნელოვანია სიზუსტე და ყურადღება! Არ არის საერთო სიტყვები, არა კარგი სურვილები! ეს სერიოზული საჭიროებაა! შეასრულეთ ყველა გამოთვლა გამოცდაზე, როგორც სრულფასოვანი დავალება, კონცენტრაციით და სიცხადით. სჯობს დაწეროთ ორი დამატებითი სტრიქონი მონახაზში, ვიდრე აურიოთ თქვენს თავში გაანგარიშებისას.

2. მაგალითებში განსხვავებული ტიპებიწილადები - გადადით ჩვეულებრივ წილადებზე.

3. ყველა წილადს ვამცირებთ გაჩერებამდე.

4. მრავალსართულიანი წილადი გამონათქვამებიჩვენ ვამცირებთ ჩვეულებრივებს გაყოფის გამოყენებით ორი წერტილით (ვიცავთ გაყოფის რიგს!).

5. ჩვენ გონებაში ვყოფთ ერთეულს წილადად, უბრალოდ წილადის გადაბრუნებით.

აქ არის ამოცანები, რომლებიც უნდა შეასრულოთ. პასუხები მოცემულია ყველა დავალების შემდეგ. გამოიყენეთ ამ თემის მასალები და პრაქტიკული რჩევები. გამოთვალეთ რამდენი მაგალითის ამოხსნა შეგიძლიათ სწორად. Პირველად! კალკულატორის გარეშე! და გამოიტანე სწორი დასკვნები...

დაიმახსოვრე სწორი პასუხი მეორე (განსაკუთრებით მესამე) დროიდან მიღებული - არ ითვლება!ასეთია მკაცრი ცხოვრება.

Ისე, ამოხსნა საგამოცდო რეჟიმში ! სხვათა შორის, ეს გამოცდისთვის მზადებაა. ვხსნით მაგალითს, ვამოწმებთ, ვხსნით შემდეგს. ჩვენ ყველაფერი გადავწყვიტეთ - ისევ შევამოწმეთ პირველიდან ბოლომდე. მხოლოდ შემდეგშეხედე პასუხებს.

გამოთვალეთ:

გადაწყვიტე?

ვეძებ პასუხებს, რომლებიც შეესაბამება თქვენს პასუხს. მე კონკრეტულად ჩავწერე არეულად, ცდუნებისგან მოშორებით, ასე ვთქვათ... აი, პასუხები, მძიმით დაწერილი.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

და ახლა ჩვენ გამოვიტანთ დასკვნებს. თუ ყველაფერი გამოვიდა - ბედნიერია თქვენთვის! ელემენტარული გამოთვლები წილადებით არ არის თქვენი პრობლემა! შეგიძლიათ უფრო სერიოზული საქმეების გაკეთება. Თუ არა...

ასე რომ, თქვენ გაქვთ ორი პრობლემა. ან ორივე ერთდროულად.) ცოდნის ნაკლებობა და (ან) უყურადღებობა. Მაგრამ ეს ხსნადი პრობლემები.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ჩვეულებრივი წილადი რიცხვები პირველად ხვდებიან მე-5 კლასის მოსწავლეებს და თან ახლავს მათ მთელი ცხოვრების განმავლობაში, რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად საჭიროა რომელიმე ობიექტის განხილვა ან გამოყენება არა მთლიანად, არამედ ცალკეულ ნაწილებად. ამ თემის შესწავლის დასაწყისი - გააზიარეთ. აქციები თანაბარი ნაწილებიარომელშიც ობიექტი იყოფა. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, პროდუქტის სიგრძის ან ფასის მთელი რიცხვის სახით გამოხატვა; მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ნებისმიერი ზომის ნაწილები ან წილი. ჩამოყალიბებული ზმნიდან "დამსხვრევა" - ნაწილებად დაყოფა და არაბული ფესვების მქონე, VIII საუკუნეში თავად სიტყვა "ფრაქცია" გამოჩნდა რუსულად.

წილადი გამონათქვამები დიდი დროითვლება მათემატიკის ყველაზე რთულ დარგად. მე-17 საუკუნეში, როდესაც მათემატიკის პირველი სახელმძღვანელოები გამოჩნდა, მათ უწოდეს "გატეხილი რიცხვები", რაც ძალიან რთული იყო ხალხის გაგებაში.

თანამედროვე სახემარტივი წილადი ნარჩენები, რომელთა ნაწილები ზუსტად გამოყოფილია ჰორიზონტალური ხაზით, პირველად შემოიტანა ფიბონაჩის - ლეონარდო პიზას. მისი ნაწერები 1202 წლით თარიღდება. მაგრამ ამ სტატიის მიზანია უბრალოდ და ნათლად აუხსნას მკითხველს, თუ როგორ ხდება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე შერეული წილადების გამრავლება.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება

თავდაპირველად აუცილებელია დადგინდეს ფრაქციების ჯიშები:

• სწორი;
• არასწორი;
• შერეული.

შემდეგი, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, თუ როგორ მრავლდება წილადი რიცხვები იგივე მნიშვნელებით. თავად ამ პროცესის წესი მარტივია დამოუკიდებლად ჩამოყალიბებული: გამრავლების შედეგი მარტივი წილადებიერთი და იგივე მნიშვნელებით არის წილადი გამოსახულება, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მოცემული წილადების მნიშვნელების ნამრავლი. ანუ, ფაქტობრივად, ახალი მნიშვნელი არის ერთ-ერთი არსებულის კვადრატი თავდაპირველად.

გამრავლებისას მარტივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელითორი ან მეტი ფაქტორისთვის, წესი არ იცვლება:

ა/ბ * გ/დ = a*c / ბ*დ.

განსხვავება მხოლოდ ისაა ჩამოყალიბებული ნომერიწილადი ზოლის ქვეშ იქნება სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლი და, რა თქმა უნდა, ერთის კვადრატი რიცხვითი გამოხატულებამისი დასახელება შეუძლებელია.

ღირს წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელით მაგალითების გამოყენებით:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

მაგალითებში გამოიყენება წილადური გამონათქვამების შემცირების გზები. მრიცხველის ნომრების გაუქმება შეგიძლიათ მხოლოდ მნიშვნელის ნომრებით, გვერდით მდგარი მულტიპლიკატორებიწილადი ზოლის ზემოთ ან მის ქვემოთ არ შეიძლება შემოკლებული იყოს.

მარტივისთან ერთად წილადი რიცხვები, არსებობს შერეული წილადების ცნება. შერეული რიცხვი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან, ანუ ეს არის ამ რიცხვების ჯამი:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

როგორ მუშაობს გამრავლება?

განსახილველად მოცემულია რამდენიმე მაგალითი.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

მაგალითი იყენებს რიცხვის გამრავლებას ჩვეულებრივი წილადი ნაწილი, შეგიძლიათ დაწეროთ ამ მოქმედების წესი ფორმულით:

a * ბ/გ = a*b /გ.

სინამდვილეში, ასეთი ნამრავლი არის იდენტური წილადი ნაშთების ჯამი და ტერმინების რაოდენობა მიუთითებს ამ ბუნებრივ რიცხვზე. განსაკუთრებული შემთხვევა:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

არსებობს რიცხვის წილადის ნაშთით გამრავლების ამოხსნის კიდევ ერთი ვარიანტი. თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე:

d* ე/ვ = ე/ვ: დ.

ამ ტექნიკის გამოყენება სასარგებლოა, როდესაც მნიშვნელი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნაშთის გარეშე ან, როგორც ამბობენ, მთლიანად.

გადააკეთეთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და მიიღეთ ნამრავლი ადრე აღწერილი გზით:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ეს მაგალითი მოიცავს შერეული წილადის არასწორ წილადად წარმოჩენის გზას, ის ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ზოგადი ფორმულა:

ა ბგ = a*b+ c/c, სადაც ახალი წილადის მნიშვნელი იქმნება მნიშვნელთან მთელი ნაწილის გამრავლებით და ორიგინალის მრიცხველთან მიმატებით. წილადი ნაშთი, და მნიშვნელი იგივე რჩება.

ეს პროცესი ასევე მუშაობს საპირისპირო მხარეს. მთელი ნაწილისა და წილადი ნაშთის შესარჩევად, თქვენ უნდა გაყოთ არასწორი წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე "კუთხით".

გამრავლება არასწორი წილადები დამზადებულია ჩვეულებრივი გზით. Როდესაც ჩაწერა მიმდინარეობსერთი წილადი ხაზის ქვეშ, საჭიროებისამებრ, თქვენ უნდა შეამციროთ წილადები, რათა შეამციროთ რიცხვები ამ მეთოდის გამოყენებით და უფრო ადვილია შედეგის გამოთვლა.

ინტერნეტში ბევრი დამხმარეა რთული პრობლემების გადასაჭრელად. მათემატიკური პრობლემებისხვადასხვა პროგრამებში. ასეთი სერვისების საკმარისი რაოდენობა გვთავაზობს მათ დახმარებას წილადების გამრავლების დათვლაში სხვადასხვა ნომრებიმნიშვნელებში - ე.წ. ონლაინ კალკულატორები წილადების გამოსათვლელად. მათ შეუძლიათ არა მხოლოდ გამრავლება, არამედ ყველა სხვა უმარტივესის წარმოებაც არითმეტიკული მოქმედებებისაერთო წილადებითა და შერეული რიცხვებით. მასთან მუშაობა მარტივია, საიტის გვერდზე ივსება შესაბამისი ველები, არჩეულია ნიშანი მათემატიკური მოქმედებადა დააჭირეთ "გამოთვლა". პროგრამა ავტომატურად ითვლის.

Თემა არითმეტიკული მოქმედებებიწილადი რიცხვებით აქტუალურია საშუალო და უფროსი სკოლის მოსწავლეების განათლების მთელი პერიოდის განმავლობაში. საშუალო სკოლაში უმარტივეს სახეობებს აღარ განიხილავენ, მაგრამ მთელი რიცხვის წილადი გამოსახულებები, მაგრამ ადრე მიღებული ტრანსფორმაციისა და გამოთვლების წესების ცოდნა გამოიყენება თავდაპირველი სახით. კარგად მონელებული საბაზისო ცოდნამისცეს სრული ნდობა in კარგი გადაწყვეტილებაყველაზე რთული ამოცანები.

დასასრულს, აზრი აქვს მოვიყვანოთ ლეო ტოლსტოის სიტყვები, რომელიც წერდა: ”ადამიანი არის წილადი. ადამიანის ძალაში არ არის გაზარდოს მრიცხველი - საკუთარი დამსახურება, მაგრამ ნებისმიერს შეუძლია შეამციროს მისი მნიშვნელი - მისი აზრი საკუთარ თავზე და ამ შემცირებით მიუახლოვდეს მის სრულყოფილებას.