Ang konsepto ng isang set ay ang orihinal na hindi mahigpit na tinukoy na konsepto. Ibinigay namin dito ang kahulugan ng isang set (mas tiyak, isang paliwanag ng ideya ng isang set) na pag-aari ni G. Cantor: "Sa ilalim ng iba't-ibang o isang set, ang ibig kong sabihin sa pangkalahatan ay ang lahat ng maraming bagay na maaaring isipin bilang isang solong isa, ibig sabihin, tulad ng isang hanay ng ilang mga elemento na maaaring konektado sa pamamagitan ng isang batas sa isang kabuuan."

Ang mga set ay, bilang panuntunan, ay ilalarawan ng malalaking titik ng alpabetong Latin, at ang kanilang mga elemento sa pamamagitan ng maliliit na titik, bagaman kung minsan ang kumbensyong ito ay kailangang ilihis, dahil ang mga elemento ng isang tiyak na hanay ay maaaring iba pang mga hanay. Ang katotohanan na ang isang elemento a ay kabilang sa set A ay nakasulat bilang a\sa A .

Sa matematika, nakikitungo kami sa isang malawak na iba't ibang mga set. Para sa mga elemento ng mga set na ito, gumagamit kami ng dalawang pangunahing uri ng notasyon: mga constant at variable.

Ang isang indibidwal na pare-pareho (o isang pare-pareho lamang) na may hanay A ay nagsasaad ng isang nakapirming elemento ng set A . Ganito, halimbawa, ang mga pagtatalaga (mga tala sa isang tiyak na sistema ng numero) ng mga tunay na numero: 0;\,2;\,7,\!34. Para sa dalawang constants b at b na may saklaw na A, isusulat namin ang a=b , ibig sabihin sa pamamagitan nito ang pagkakataon ng mga elemento ng set A na tinutukoy ng mga ito.

Ang isang indibidwal na variable (o isang variable lang) na may range A ay tumutukoy sa isang arbitrary, hindi paunang natukoy na elemento ng set A . Dito sinasabi natin na ang variable x ay tumatakbo sa set A o ang variable na x ay tumatagal ng mga arbitrary na halaga sa set A . Maaari mong ayusin ang halaga ng isang variable x sa pamamagitan ng pagsusulat x=a , kung saan ang a ay isang pare-pareho na may parehong hanay bilang x . Sa kasong ito, sinasabi namin na sa halip na ang variable na x, ang tiyak na halaga nito ay pinalitan, o ang a ay pinalitan ng x, o ang variable na x ay kinuha sa halagang a.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga variable na x=y ay nauunawaan bilang mga sumusunod: sa tuwing ang variable na x ay tumatagal ng isang arbitrary na halaga a , ang variable na y ay tumatagal sa parehong halaga a , at vice versa. Kaya, ang mga pantay na variable ay "sabay-sabay" ay palaging tumatagal sa parehong mga halaga.

Karaniwan ang mga constant at variable na ang hanay ay ilang numerical set, lalo na ang isa sa mga set \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R) at \mathbb(C) ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, natural, integer (o integer), rational, real, at kumplikadong mga pare-pareho at mga variable. Sa kurso ng discrete mathematics, gagamit tayo ng iba't ibang constants at variables, ang hanay nito ay hindi palaging isang numerical set.

Upang paikliin ang tala, gagamit tayo ng lohikal na simbolismo, na nagbibigay-daan sa amin na magsulat ng mga pahayag nang maikli, tulad ng mga formula. Hindi tinukoy ang konsepto ng isang pahayag. Ipinapahiwatig lamang na ang anumang pahayag ay maaaring totoo o mali (siyempre, hindi pareho sa parehong oras!).

Mga lohikal na operasyon (bindings) sa mga set

Upang makabuo ng mga bagong pahayag mula sa mga umiiral na pahayag, ang mga sumusunod na lohikal na operasyon (o mga lohikal na connective) ay ginagamit.

1. Disjunction \lor : ang proposisyon P\lor Q (basahin: "P o Q") ay totoo kung at kung kahit isa man lang sa mga proposisyon P at Q ay totoo.

2. \land conjunction: P\land Q (basahin ang: "P at Q") ay totoo kung at kung ang parehong P at Q ay totoo.

3. \lnot negation: \lnot P (basahin: "not P") ay totoo kung at kung P ay mali.

4. Implikasyon \Rightarrow : ang proposisyon P \Rightarrow Q (basahin: "kung ang P kung gayon ang Q" o "P ay nagpapahiwatig ng Q") ay totoo kung at kung ang panukala ay totoo o ang parehong mga proposisyon ay mali.

5. Equivalence (o equivalence) \Leftrightarrow : isang proposition (read: "P if and only if Q") ay true kung at only if both propositions P and Q are either true or both false. Anumang dalawang pahayag na P at Q ay totoo P \Leftrightarrow Q, ay tinatawag na lohikal na katumbas o katumbas.

Pagsusulat ng mga pangungusap na may lohikal na operasyon, ipinapalagay namin na ang pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng lahat ng mga operasyon ay tinutukoy ng pag-aayos ng mga bracket. Upang pasimplehin ang notasyon, madalas na inaalis ang mga panaklong, habang tinatanggap ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ("priority convention").

Ang operator ng negation ay palaging ginagawa muna, at samakatuwid ay hindi ito nakapaloob sa mga panaklong. Ang pangalawa ay gumaganap ng operasyon ng pang-ugnay, pagkatapos ay disjunction, at sa wakas ay implikasyon at katumbas. Halimbawa, ang pahayag (\lnot P)\lor Q ay isinulat bilang \lnot P\lor Q . Ang proposisyong ito ay ang disjunction ng dalawang proposisyon: ang una ay ang negasyon ng P at ang pangalawa ay ang negasyon ng Q. Sa kaibahan, ang proposisyon \lnot (P\lor Q) ay ang negasyon ng disjunction ng mga proposisyon P at Q .

Halimbawa, ang pahayag \lhindi P\land Q\lor\lnot Q\land P \Rightarrow\lnot Q pagkatapos ilagay ang mga bracket alinsunod sa mga priyoridad, ito ay kukuha ng form

\bigl(((\lnot P)\land Q)\lor ((\lnot Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnot Q).

Gumawa tayo ng ilang komento tungkol sa mga lohikal na connective na ipinakilala sa itaas. Ang makabuluhang interpretasyon ng disjunction, conjunction at negation ay hindi nangangailangan ng mga espesyal na paliwanag. Ang implikasyon na P \Rightarrow Q ay totoo, ayon sa kahulugan, sa tuwing ang Q ay totoo (kahit na ang P ay totoo) o ang P at Q ay parehong mali. Kaya, kung ang implikasyon na P\Rightarrow Q ay totoo, kung gayon kapag ang P ay totoo, ang Q ay totoo, ngunit ang kabaligtaran ay maaaring hindi totoo, i.e. kapag ang P ay mali, ang Q ay maaaring maging tama o mali. Ito ang nag-uudyok sa pagbabasa ng implikasyon sa anyong "kung P , pagkatapos Q ". Madali ding makita na ang pahayag na P\Rightarrow Q ay katumbas ng pahayag na \lhindi P\lor Q at, sa gayon, makabuluhang "kung P , kung gayon ang Q" ay kinilala sa "hindi P o Q ".

Ang katumbas na \Leftrightarrow ay walang iba kundi isang "two-sided implication", i.e. P\Leftrightarrow Q ay katumbas ng (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P). Nangangahulugan ito na ang katotohanan ng P ay nagpapahiwatig ng katotohanan ng Q, at kabaliktaran, ang katotohanan ng Q ay nagpapahiwatig ng katotohanan ng P.

Halimbawa 1.1. Upang matukoy ang katotohanan o kamalian ng isang kumplikadong pahayag, depende sa katotohanan o kamalian ng mga pahayag na kasama dito, ginagamit ang mga talahanayan ng katotohanan.

Ang unang dalawang hanay ng talahanayan ay nagtatala ng lahat ng posibleng hanay ng mga halaga na maaaring kunin ng mga pahayag na P at Q. Ang katotohanan ng pahayag ay ipinahiwatig ng titik "I" o ang numero 1, at ang kasinungalingan - sa pamamagitan ng letrang "L" o ang numero 0. Ang natitirang mga hanay ay pinupunan mula kaliwa hanggang kanan. Kaya para sa bawat hanay ng mga halaga ng P at Q, ang mga katumbas na halaga ng proposisyon ay matatagpuan.

Ang mga talahanayan ng katotohanan ng mga lohikal na operasyon ay may pinakasimpleng anyo (Mga Talahanayan 1.1-1.5).

Isaalang-alang ang isang tambalang pahayag (\lhindi P\land Q)\Rightarrow (\lnot Q\land P). Para sa computational convenience, tinutukoy namin ang statement \lnot P\land Q by A , ang statement \lnot Q\land P by B , at isulat ang orihinal na statement bilang A \Rightarrow B . Ang talahanayan ng katotohanan ng pahayag na ito ay binubuo ng mga hanay na P,\,Q,\,A,\,B at A \Rightarrow B (Talahanayan 1.6).

Predicates at quantifiers

Ang mga compound na pahayag ay nabuo hindi lamang sa pamamagitan ng mga lohikal na pag-uugnay, kundi pati na rin sa tulong ng mga predicate at quantifier.

Ang panaguri ay isang pahayag na naglalaman ng isa o higit pang mga indibidwal na variable. Halimbawa, "ang x ay kahit na numero" o "x ay isang mag-aaral ng Moscow State Technical University. Bauman, natanggap noong 1999". Sa unang panaguri x ay isang integer variable, sa pangalawa - isang variable na tumatakbo sa hanay ng "mga indibidwal na tao". Ang isang halimbawa ng isang panaguri na naglalaman ng ilang indibidwal na mga variable ay: "x ay ang anak ng y", "x, y at z ay nag-aaral sa parehong pangkat", "x ay nahahati sa y", "x ay mas mababa sa y", atbp. Isusulat natin ang mga panaguri sa anyo P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z), ipagpalagay na ang lahat ng mga variable na kasama sa ibinigay na panaguri ay nakalista sa mga bracket.

Pagpapalit sa halip ng bawat variable na kasama sa panaguri P(x_1,\ldots,x_n), tiyak na halaga, ibig sabihin. pag-aayos ng mga halaga, kung saan ang a_1,\ldots,a_n ay ilang mga constant na may katumbas na hanay ng mga halaga, nakakakuha kami ng isang pahayag na hindi naglalaman ng mga variable. Halimbawa, "2 ay isang even na numero", "Si Isaac Newton ay isang mag-aaral ng Moscow State Technical University na pinangalanang Bauman, na pumasok noong 1999", "Ivanov ay anak ni Petrov", "5 ay nahahati sa 7", atbp. Depende sa kung ang pahayag na nakuha ay totoo o mali, ang panaguri P ay sinasabing nasiyahan o hindi nasiyahan sa hanay ng mga halaga ng mga variable. x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. Ang isang panaguri na nasiyahan sa anumang hanay ng mga variable na kasama dito ay tinatawag na identically true, at ang isang predicate na hindi nasiyahan sa anumang hanay ng mga halaga ng mga variable nito ay tinatawag na identically false.

Ang isang pahayag mula sa isang panaguri ay maaaring makuha hindi lamang sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng mga variable nito, kundi pati na rin sa pamamagitan ng mga quantifier. Dalawang quantifier ang ipinakilala - ang pag-iral at pagiging pandaigdigan, na tinukoy na \umiiral at \para sa lahat ayon sa pagkakabanggit.

pahayag (\para sa lahat x\sa A)P(x)("para sa bawat elementong x sa A , P(x) ay totoo ", o, sa madaling sabi, "para sa lahat ng x\in A, P(x) ay totoo ") ay totoo, ayon sa kahulugan, kung at kung ang panaguri lamang Ang P (x) ay isinasagawa para sa bawat halaga ng variable x .

pahayag (\umiiral x\sa A)P(x)("may umiiral, o mayroon, tulad ng elementong x ng set A na ang P(x) ay totoo ", gayundin ang "para sa ilang x\sa A P(x) ay totoo ") ay totoo, ayon sa kahulugan, kung at lamang kung sa ilang mga value na variable x, ang predicate na P(x) ay nasiyahan.

Pag-uugnay ng mga variable ng panaguri sa mga quantifier

Kapag ang isang pahayag ay nabuo mula sa isang panaguri sa pamamagitan ng isang quantifier, ang predicate variable ay sinasabing nakatali sa pamamagitan ng quantifier. Katulad nito, ang mga variable ay nakatali sa mga predicate na naglalaman ng ilang mga variable. Sa pangkalahatang kaso, ang mga expression ng form

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

kung saan ang alinman sa mga quantifiers \forall o \exists ay maaaring palitan para sa bawat titik Q na may index.

Halimbawa, ang pahayag (\para sa lahat x\sa A)(\umiiral y\sa B)P(x,y) ganito ang mababasa: "para sa bawat x\in A mayroong y\in B na ang P(x,y) ay totoo ". Kung ang mga set na tumatakbo sa mga variable ng predicate ay naayos (ibig sabihin "sa pamamagitan ng default"), ang mga quantifier ay isusulat sa pinaikling anyo: (\forall x)P(x) o (\exists x)P(x) .

Tandaan na marami mga teorema sa matematika maaaring isulat sa isang anyo na katulad ng ibinigay na mga pahayag ng quantifier, halimbawa: "para sa lahat ng f at para sa lahat ng isang totoo: kung ang f ay isang function na naiba-iba sa a, kung gayon ang function na f ay tuloy-tuloy sa a".

Mga paraan ng pagtukoy ng mga set

Ang pagtalakay sa mga tampok ng paggamit ng lohikal na simbolismo, bumalik tayo sa pagsasaalang-alang ng mga set.

Dalawang set A at B ay itinuturing na pantay kung anumang elemento x ng set A ay isang elemento ng set B at vice versa. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan sa itaas ng mga pantay na hanay na ang isang set ay ganap na tinutukoy ng mga elemento nito.

Isaalang-alang natin ang mga paraan ng pagtukoy ng mga kongkretong set. Para sa isang may hangganan na hanay, ang bilang ng mga elemento ay medyo maliit, ang paraan ng direktang pagbilang ng mga elemento ay maaaring gamitin. Ang mga elemento ng isang finite set ay nakalista sa mga kulot na brace sa isang arbitrary nakapirming order\(1;3;5\) . Binibigyang-diin namin na dahil ang isang set ay ganap na tinutukoy ng mga elemento nito, kung gayon kapag ang isang may hangganan na set ay tinukoy, ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga elemento nito ay nakalista ay hindi mahalaga. Samakatuwid mga talaan \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} atbp. lahat ay tumutukoy sa parehong hanay. Bilang karagdagan, kung minsan ang mga pag-uulit ng mga elemento ay ginagamit sa notasyon ng mga hanay. Ipagpalagay namin na ang notation na \(1;3;3;5;5\) ay tumutukoy sa parehong set bilang ang notation \(1;3;5\) .

Sa pangkalahatang kaso, para sa isang may hangganan na hanay, ginagamit ang notasyon. Bilang isang patakaran, ang pag-uulit ng mga elemento ay iniiwasan. Pagkatapos ay ang hangganan set na ibinigay ng notasyon \(a_1,\ldots,a_n\), ay binubuo ng n elemento. Tinatawag din itong n-element set.

Gayunpaman, ang paraan ng pagtukoy ng isang set sa pamamagitan ng direktang pag-enumerate ng mga elemento nito ay naaangkop sa isang napakakitid na hanay ng mga finite set. Ang pinaka-pangkalahatang paraan upang tukuyin ang mga kongkretong hanay ay ang pagtukoy ng ilang ari-arian na dapat mayroon ang lahat ng elemento ng inilarawang hanay, at sila lamang.

Ang ideyang ito ay ipinatupad sa sumusunod na paraan. Hayaang tumakbo ang variable x sa ilang set U , na tinatawag na universal set. Ipinapalagay namin na ang mga ganoong hanay lamang ang isinasaalang-alang na ang mga elemento ay mga elemento rin ng hanay na U . Sa kasong ito, ang isang property na mayroon lamang ang mga elemento ng isang set A ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng predicate na P(x) , na isasagawa kung at kung ang variable na x ay kukuha ng arbitrary na halaga mula sa set A . Sa madaling salita, ang P(x) ay totoo kung at kung ang indibidwal na pare-parehong a\in A ay papalitan ng x.

Ang panaguri P ay tinatawag sa kasong ito ang katangiang panaguri ng set A , at ang ari-arian na ipinahayag gamit ang panaguri na ito ay tinatawag na katangiang katangian o collectivizing property.

Ang set na tinukoy sa pamamagitan ng katangian na panaguri ay nakasulat sa sumusunod na anyo:

A=\bigl\(x\colon~ P(x)\bigr\).

Halimbawa, A=\(x\in\mathbb(N)\colon\, 2x\) nangangahulugan na "Ang A ay ang set na binubuo ng lahat ng elemento x na ang bawat isa sa kanila ay isang natural na numero".

Ang terminong "pagsasama-sama ng ari-arian" ay naudyukan ng katotohanan na ang ari-arian na ito ay nagpapahintulot sa iyo na mangolekta ng magkakaibang mga elemento sa isang solong kabuuan. Kaya, ang pag-aari na tumutukoy sa set G (tingnan sa ibaba) ay literal na bumubuo ng isang uri ng "collective":

Kung babalik tayo sa depinisyon ni Cantor ng isang set, kung gayon ang katangian ng predicate ng isang set ay ang batas kung saan ang isang set ng mga elemento ay pinagsama sa isang solong kabuuan. Ang isang panaguri na tumutukoy sa isang collectivizing property ay maaaring magkaparehong mali. Ang isang set na tinukoy sa ganitong paraan ay hindi magkakaroon ng isang elemento. Ito ay tinatawag na walang laman na hanay at tinutukoy ng \varnothing .

Sa kaibahan, ang isang identically true characteristic predicate ay tumutukoy sa isang unibersal na set.

Tandaan na hindi lahat ng panaguri ay nagpapahayag ng ilang collectivizing property.

Puna 1.1. Ang tiyak na nilalaman ng konsepto ng isang unibersal na hanay ay tinutukoy ng katotohanan tiyak na konteksto, kung saan inilalapat natin ang mga set-theoretic na ideya. Halimbawa, kung haharapin lamang natin ang iba't ibang mga numerical set, ang set \mathbb(R) ng lahat ng tunay na numero ay maaaring lumabas bilang isang unibersal. Ang bawat sangay ng matematika ay tumatalakay sa medyo limitadong hanay ng mga set. Samakatuwid, madaling ipalagay na ang mga elemento ng bawat isa sa mga set na ito ay mga elemento din ng ilang unibersal na set na "nagyakap" sa kanila. Sa pamamagitan ng pag-aayos ng unibersal na hanay, sa gayon ay inaayos namin ang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable at constant na lumilitaw sa aming mathematical na pangangatwiran. Sa kasong ito, tiyak na posibleng hindi ipahiwatig sa mga quantifier ang set na tumatakbo sa variable na nakatali ng quantifier. Sa mga sumusunod, makakatagpo tayo ng iba't ibang mga halimbawa ng mga kongkretong unibersal na hanay.

TEORYANG SET NG CANTOR. Bumuo ang Kantor ng isang tiyak na pamamaraan para sa pagpapatakbo sa aktwal na mga infinite set at nakagawa ng isang tiyak na analogue ng konsepto ng dami para sa mga infinite set. Ang batayan ng diskarteng ito ay ang konsepto ng isang isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga elemento ng dalawang set. Sinasabi nila na ang mga elemento ng dalawang set ay maaaring ilagay sa isang one-to-one na sulat kung ang bawat elemento ng unang set ay maaaring iugnay sa isang elemento ng pangalawang set, iba - iba, at sa parehong oras, ang bawat elemento ng ang pangalawang set ay tumutugma sa ilang elemento ng una. Ang mga nasabing set ay sinasabing katumbas, na mayroon silang parehong kardinal, o parehong numero ng kardinal. Kung mapapatunayan na ang mga elemento ng set A ay maaaring ilagay sa isang one-to-one na sulat sa mga elemento ng subset B1 ng set B, at ang mga elemento ng set B ay hindi maaaring ilagay sa isang one-to. -isang sulat sa mga elemento ng A, pagkatapos ay sinasabi nila na ang kardinalidad ng hanay B ay mas malaki kaysa sa kardinalidad ng hanay A. Ang mga kahulugang ito ay nalalapat din sa mga may hangganang hanay. Sa kasong ito, ang kapangyarihan ay kahalintulad sa mga may hangganang numero. Ngunit ang mga infinite set ay may kabalintunaan na mga katangian sa ganitong kahulugan. Ang isang walang katapusang set ay lumalabas na katumbas ng bahagi nito, halimbawa. ang paraan ng nangyayari sa tinatawag na. Ang Kabalintunaan ni Galileo:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Ang mga kabalintunaan na ito ay kilala sa mahabang panahon, at sila, sa partikular, ang nagsilbing hadlang sa pagsasaalang-alang ng aktwal na walang katapusang mga hanay. Ipinaliwanag ni Bolzano sa Paradoxes of the Infinite na ang pagtitiyak ng aktwal na walang hanggan ay nakakaapekto lamang dito. Itinuring ng Dedekind na katangian ang property na ito ng aktwal na infinite set.

Binubuo ni Cantor ang aritmetika ng mga numero ng kardinal. Ang kabuuan ng dalawang numero ng kardinal ay ang kardinalidad ng unyon ng mga hanay na naaayon sa kanila, ang produkto ay ang kardinalidad ng tinatawag. set-produkto ng dalawang ibinigay na set, at iba pa. Ang pinakamahalaga ay ang paglipat mula sa ibinigay na hanay sa set-degree, ibig sabihin, ayon sa kahulugan, sa hanay ng lahat ng mga subset ng orihinal na hanay. Pinatunayan ni Cantor ang isang pundamental na teorama para sa kanyang teorya: ang cardinality ng isang set-degree ay mas malaki kaysa sa cardinality ng orihinal na set. Kung ang kapangyarihan ng orihinal na hanay ay nakasulat sa mga tuntunin ng a, kung gayon, alinsunod sa arithmetic ng mga cardinal na numero, ang kapangyarihan ng set-degree ay magiging 2a, at mayroon tayo, samakatuwid, 2a >a.

Kaya, ang pagpasa mula sa ilang walang katapusang set, hal. mula sa lahat ng marami natural na mga numero na may cardinality ℵα (notation ng Cantor) sa set ng lahat ng subset ng set na ito, sa set ng lahat ng subset ng bagong set na ito, atbp., makakakuha tayo ng serye ng mga set ng patuloy na pagtaas ng cardinality. Mayroon bang limitasyon sa pagtaas na ito? Ang tanong na ito ay masasagot lamang sa pamamagitan ng pagpapakilala ng ilang karagdagang konsepto.

Sa pangkalahatan, imposibleng gumana nang walang katapusan na mga set na walang anumang karagdagang istraktura. Samakatuwid, ipinakilala ni Cantor ang mga ordered set sa pagsasaalang-alang, i.e. set, para sa alinmang dalawang elemento kung saan ang kaugnayan ay "mas malaki kaysa" > (o "mas mababa sa"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ordinals)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ (“tau”-cardinals)

Ayon sa theorems ng set theory, ang anumang "segment" ng scale Ω ng mga ordinal na numero, mismo bilang isang ganap na ordered set, ay magkakaroon ng mas malaking ordinal kaysa sa lahat ng nasa segment na ito. Ipinahihiwatig nito na imposibleng isaalang-alang ang lahat ng Ω bilang isang set, dahil kung hindi, ang Ω ay magkakaroon ng ordinal na β nito, na mas malaki kaysa sa lahat ng ordinal sa Ω, ngunit dahil ang huli ay naglalaman ng lahat ng ordinal, i.e. at β, kung gayon ito ay magiging: β > β (ang Burali–Forti na kabalintunaan, 1897). Sinikap ng Kantor na iwasan ang kabalintunaan na ito sa pamamagitan ng pagpapakilala (mula noong 1880s) ang konsepto ng pagkakapare-pareho. Hindi lahat ng plurality (Vielheit) ay plurality (Menge). Ang plurality ay tinatawag na pare-pareho, o isang plurality kung ito ay maituturing na isang kumpletong kabuuan. Kung ang pagpapalagay ng "magkasamang pag-iral" ng lahat ng elemento ng multiplicity ay humahantong sa isang kontradiksyon, kung gayon ang multiplicity ay lumalabas na hindi naaayon, at, sa katunayan, hindi ito maaaring isaalang-alang sa set theory. Ang mga hindi magkatugmang set ay, sa partikular, Ω, ang set ng lahat ng ordinal na numero, at τ (“tau”), ang set ng lahat ng cardinals (“alefs”). Kaya, muli tayong bumalik sa kawalang-hanggan bilang isang proseso. Gaya ng isinulat ng mathematician noong ika-20 siglo, P. Vopenka: "Ang teorya ng mga hanay, na ang mga pagsisikap ay nakadirekta sa aktuwalisasyon ng potensyal na kawalang-hanggan, ay lumabas na hindi maalis ang potensyal, ngunit pinamamahalaang lamang na ilipat ito sa isang mas mataas na globo" (Vopenka P. Mathematics sa alternatibong teorya ng set . - "Bago sa dayuhang agham. Matematika ", 1983, No. 31, p. 124.) Gayunpaman, hindi nito napahiya si Kantor mismo. Naniniwala siya na ang sukat ng "alephs" ay tumataas sa kawalang-hanggan ng Diyos mismo, at samakatuwid ang katotohanan na ang huli ay lumalabas na hindi maipahayag sa matematika ay maliwanag para sa kanya: "Hindi ako kailanman nagmula sa anumang "Genus supremum" ng aktwal na kawalang-hanggan . Sa kabaligtaran, mahigpit kong pinatunayan ang ganap na hindi pag-iral ng "Genus supremum" para sa aktwal na kawalang-hanggan. Ang lumalampas sa lahat ng bagay na walang katapusan at walang katapusan ay hindi "Genus"; ito ay ang tanging, mataas na indibidwal na pagkakaisa kung saan ang lahat ay kasama, na kinabibilangan ng "Ganap", na hindi maintindihan ng tao. Ito ay "Actus Purissimus", na tinatawag na Diyos ng marami" (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. - "Der Mathematilkuntemcht", 1971, No. 4, S. 30–34).

B. H. Katasonov

Bagong Philosophical Encyclopedia. Sa apat na volume. / Institute of Philosophy RAS. Scientific ed. payo: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Thought, 2010, vol. I, A - D, p. 249-250.

Ako ay isang theoretical physicist sa pamamagitan ng edukasyon, ngunit mayroon akong isang mahusay na mathematical background. Sa mahistrado isa sa mga paksa ay pilosopiya, kinakailangan na pumili ng isang paksa at magsumite ng isang papel tungkol dito. Dahil ang karamihan sa mga opsyon ay higit sa isang beses obmusoleny, nagpasya akong pumili ng isang bagay na mas kakaiba. Hindi ako nagkukunwaring bago, nakuha ko lang ang lahat / halos lahat ng magagamit na literatura sa paksang ito. Ang mga pilosopo at mathematician ay maaaring magbato sa akin, ako ay magpapasalamat lamang para sa nakabubuo na pagpuna.

P.S. Napaka "dry language", ngunit medyo nababasa pagkatapos ng programa sa unibersidad. Para sa karamihan, ang mga kahulugan ng mga kabalintunaan ay kinuha mula sa Wikipedia (pinasimpleng salita at handa na TeX markup).

Panimula

Parehong ang set theory mismo at ang mga kabalintunaan na likas dito ay lumitaw hindi pa katagal, mahigit isang daang taon na ang nakalipas. Gayunpaman, sa panahong ito ay malayo na ang nalakbay, ang teorya ng mga set, sa isang paraan o iba pa, ay talagang naging batayan ng karamihan sa mga seksyon ng matematika. Ang mga kabalintunaan nito, na konektado sa infinity ng Cantor, ay matagumpay na naipaliwanag nang literal sa kalahating siglo.

Dapat kang magsimula sa isang kahulugan.

Ano ang maraming tao? Ang tanong ay medyo simple, ang sagot dito ay medyo intuitive. Ang set ay isang set ng mga elemento na kinakatawan ng isang bagay. Ang Cantor sa kanyang akdang Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ay nagbibigay ng kahulugan: sa pamamagitan ng “set” ang ibig naming sabihin ay ang kumbinasyon sa isang tiyak na buong M ng ilang mga bagay na malinaw na tinukoy m ng ating pagmumuni-muni o ng ating pag-iisip (na tatawaging “mga elemento” ng set M). Tulad ng makikita mo, ang kakanyahan ay hindi nagbago, ang pagkakaiba ay nasa bahagi lamang na nakasalalay sa pananaw sa mundo ng determinant. Ang kasaysayan ng set theory, kapwa sa lohika at sa matematika, ay lubos na kontrobersyal. Sa katunayan, inilatag ni Kantor ang pundasyon para dito noong ika-19 na siglo, pagkatapos ay ipinagpatuloy ni Russell at ng iba pa ang gawain.

Mga Kabalintunaan (lohika at teorya ng set) - (Griyego - hindi inaasahan) - mga pormal na lohikal na kontradiksyon na lumitaw sa makabuluhang teorya ng hanay at pormal na lohika habang pinapanatili ang lohikal na kawastuhan ng pangangatwiran. Lumilitaw ang mga kabalintunaan kapag ang dalawang proposisyong magkasalungat (magkasalungat) ay pantay na napapatunayan. Ang mga kabalintunaan ay maaaring lumitaw kapwa sa loob ng siyentipikong teorya at sa ordinaryong pangangatwiran (halimbawa, ang kabalintunaan ni Russell tungkol sa hanay ng lahat ng mga normal na hanay ay ibinigay ni Russell: "Ang barbero sa baryo ay nag-aahit ng lahat ng iyon at tanging ang mga naninirahan sa kanyang nayon na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Dapat inahit niya ang iyong sarili?"). Dahil ang pormal-lohikal na kontradiksyon ay sumisira sa pangangatwiran bilang isang paraan ng pagtuklas at pagpapatunay ng katotohanan (sa isang teorya kung saan lumilitaw ang isang kabalintunaan, anumang pangungusap, parehong totoo at mali, ay mapapatunayan), ang problema ay bumangon sa pagtukoy sa mga mapagkukunan ng naturang mga kontradiksyon at paghahanap ng mga paraan upang maalis ang mga ito. Ang problema ng pilosopikal na pag-unawa sa mga tiyak na solusyon sa mga kabalintunaan ay isa sa mga mahahalagang problema sa pamamaraan pormal na lohika at lohikal na pundasyon ng matematika.

Ang layunin ng gawaing ito ay pag-aralan ang mga kabalintunaan ng set theory bilang tagapagmana ng mga sinaunang antinomies at medyo lohikal na mga kahihinatnan ng paglipat sa isang bagong antas ng abstraction - infinity. Ang gawain ay isaalang-alang ang mga pangunahing kabalintunaan, ang kanilang pilosopikal na interpretasyon.

Mga pangunahing kabalintunaan ng set theory

Ang barbero ay nag-aahit lamang ng mga taong hindi nag-aahit sa kanilang sarili. Inaahit ba niya ang sarili niya?

Magpatuloy tayo sa isang maikling iskursiyon sa kasaysayan.

Ang ilan sa mga lohikal na kabalintunaan ay kilala mula noong sinaunang panahon, ngunit dahil sa katotohanan na ang teorya ng matematika ay limitado sa aritmetika at geometry lamang, imposibleng iugnay ang mga ito sa set na teorya. Noong ika-19 na siglo, radikal na nagbago ang sitwasyon: Naabot ni Kantor ang isang bagong antas ng abstraction sa kanyang mga gawa. Ipinakilala niya ang konsepto ng kawalang-hanggan, sa gayon ay lumilikha bagong seksyon matematika at sa gayon ay nagpapahintulot sa iba't ibang mga infinity na maihambing gamit ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang set". Gayunpaman, sa paggawa nito, lumikha siya ng maraming kabalintunaan. Ang una ay ang tinatawag na Burali-Forti kabalintunaan. Sa panitikan sa matematika, mayroong iba't ibang mga pormulasyon batay sa iba't ibang terminolohiya at isang ipinapalagay na hanay ng mga kilalang teorema. Narito ang isa sa mga pormal na kahulugan.

Mapapatunayan na kung ang x ay isang arbitrary na hanay ng mga ordinal, kung gayon ang sum-set ay isang ordinal na mas malaki kaysa o katumbas ng bawat isa sa mga elemento. x. Ipagpalagay ngayon na ang set ng lahat ng ordinal na numero. Kung gayon ay isang ordinal na numero na mas malaki sa o katumbas ng alinman sa mga numero sa . Ngunit pagkatapos at ay isang ordinal na numero, bukod dito, ito ay mahigpit na mas malaki, at samakatuwid ay hindi katumbas ng alinman sa mga numero sa . Ngunit ito ay sumasalungat sa kondisyon na ang set ng lahat ng ordinal na numero.

Ang kakanyahan ng kabalintunaan ay kapag ang hanay ng lahat ng ordinal na numero ay nabuo, ang isang bago ay nabuo. uri ng ordinal, na hindi pa kabilang sa "lahat" ng transfinite ordinal na numero na umiral bago ang pagbuo ng set ng lahat ng ordinal na numero. Ang kabalintunaan na ito ay natuklasan mismo ni Cantor, independiyenteng natuklasan at inilathala ng Italyano na matematiko na si Burali-Forti, ang mga pagkakamali ng huli ay naitama ni Russell, pagkatapos ay nakuha ng pormulasyon ang pangwakas na anyo nito.

Sa lahat ng mga pagtatangka upang maiwasan ang mga kabalintunaan at sa ilang mga lawak subukang ipaliwanag ang mga ito, ang ideya ng nabanggit na Russell ay nararapat na bigyang pansin. Iminungkahi niyang ibukod mula sa matematika at lohika ang mga impredicative na pangungusap kung saan ang kahulugan ng isang elemento ng isang set ay nakasalalay sa huli, na nagiging sanhi ng mga kabalintunaan. Ganito ang tunog ng panuntunan: "walang set C ang maaaring maglaman ng mga elemento m, na tinukoy lamang sa mga tuntunin ng set C, pati na rin ang mga elemento n, kung ipagpalagay na ang set na ito sa kanilang kahulugan" . Ang ganitong paghihigpit sa kahulugan ng isang set ay nagpapahintulot sa amin na maiwasan ang mga kabalintunaan, ngunit sa parehong oras ay makabuluhang pinaliit ang saklaw ng aplikasyon nito sa matematika. Bilang karagdagan, ito ay hindi sapat upang ipaliwanag ang kanilang kalikasan at mga dahilan para sa kanilang hitsura, na nakaugat sa dichotomy ng pag-iisip at wika, sa mga tampok ng pormal na lohika. Sa ilang lawak, ang paghihigpit na ito ay maaaring masubaybayan ng isang pagkakatulad sa kung ano sa mga huling panahon ay nagsimulang tawagin ng mga cognitive psychologist at linguist na "basic level categorization": ang kahulugan ay binawasan sa pinaka madaling maunawaan at pag-aaral na konsepto.

Ipagpalagay na ang set ng lahat ng set ay umiiral. Sa kasong ito, ito ay totoo, iyon ay, anumang set t ay isang subset ng V. Ngunit ito ay sumusunod mula dito na ang kapangyarihan ng anumang set ay hindi lalampas sa kapangyarihan ng V. Ngunit sa pamamagitan ng bisa ng axiom ng set ng lahat subsets, para sa V, pati na rin ang anumang set, mayroong isang set ng lahat ng subsets , at sa pamamagitan ng Cantor's theorem, na sumasalungat sa nakaraang pahayag. Samakatuwid, hindi maaaring umiral ang V, na sumasalungat sa "naive" na hypothesis na anumang syntactically tama kondisyon ng boolean tumutukoy sa isang set, ibig sabihin, para sa anumang formula A na hindi naglalaman ng y malayang. Isang kapansin-pansing patunay ng kawalan ng naturang mga kontradiksyon sa batayan ng axiomatized Zermelo-Fraenkel set theory ay ibinigay ni Potter.

Mula sa isang lohikal na pananaw, ang parehong mga kabalintunaan sa itaas ay magkapareho sa "Sinungaling" o "Ang Barbero": ang ipinahayag na paghatol ay nakadirekta hindi lamang sa isang bagay na may kaugnayan sa kanya, kundi pati na rin sa kanyang sarili. Gayunpaman, dapat bigyang-pansin hindi lamang ang lohikal na bahagi, kundi pati na rin ang konsepto ng kawalang-hanggan, na naroroon dito. Ang panitikan ay tumutukoy sa akda ni Poincaré, kung saan isinulat niya: "ang paniniwala sa pagkakaroon ng isang aktwal na kawalang-hanggan ... ginagawa itong mga di-predicative na kahulugan na kinakailangan"" .
Sa pangkalahatan, ang mga pangunahing punto ay:

• sa mga kabalintunaan na ito, nilalabag ang tuntunin upang malinaw na paghiwalayin ang "mga globo" ng panaguri at ng paksa; ang antas ng pagkalito ay malapit sa pagpapalit ng isang konsepto para sa isa pa;
• kadalasan sa lohika ay ipinapalagay na sa proseso ng pangangatwiran ang paksa at panaguri ay nagpapanatili ng kanilang dami at nilalaman, sa kasong ito
  paglipat mula sa isang kategorya patungo sa isa pa, na nagreresulta sa isang mismatch;
• ang pagkakaroon ng salitang "lahat" ay may katuturan para sa isang may hangganang bilang ng mga elemento, ngunit sa kaso ng isang walang katapusang bilang ng mga ito, posibleng magkaroon ng isa na
  upang tukuyin ang sarili ay mangangailangan ng kahulugan ng isang set;
• nilalabag ang mga pangunahing lohikal na batas:
  • nilalabag ang batas ng pagkakakilanlan kapag nahayag ang hindi pagkakakilanlan ng paksa at panaguri;
  • ang batas ng kontradiksyon - kapag ang dalawang magkasalungat na paghatol ay hinango na may parehong karapatan;
  • ang batas ng ibinukod na pangatlo - kapag ang ikatlong ito ay kailangang kilalanin, at hindi ibinukod, dahil ang una o ang pangalawa ay hindi makikilala ng isa kung wala ang isa, dahil pareho silang balido.

Ang ikatlong kabalintunaan ay nagtataglay ng pangalan ni Russell.. Isang kahulugan ang ibinigay sa ibaba.
Hayaang K ang set ng lahat ng set na hindi naglalaman ng kanilang mga sarili bilang kanilang elemento. Ang K ba ay naglalaman ng sarili bilang isang elemento? Kung oo, kung gayon, ayon sa kahulugan ng K, hindi ito dapat maging elemento ng K - isang kontradiksyon. Kung hindi - kung gayon, ayon sa kahulugan ng K, dapat itong elemento ng K - muli isang kontradiksyon. Ang pahayag na ito ay lohikal na nagmula sa kabalintunaan ni Cantor, na nagpapakita ng kanilang relasyon. Gayunpaman, ang pilosopikal na kakanyahan ay nagpapakita ng sarili nang mas malinaw, dahil ang "paggalaw sa sarili" ng mga konsepto ay nagaganap mismo "sa harap ng ating mga mata".

Ang kabalintunaan ni Tristram Shandy:
Sa Stern's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, natuklasan ng bayani na kailangan niya buong taon upang ilarawan ang mga pangyayari sa unang araw ng kanyang buhay, at isa pang taon ang kailangan para ilarawan ang ikalawang araw. Kaugnay nito, ang bayani ay nagrereklamo na ang materyal ng kanyang talambuhay ay maipon nang mas mabilis kaysa sa maproseso niya ito, at hindi niya ito makukumpleto. “Ngayon ay pinaninindigan ko,” tumutol dito si Russell, “na kung mabubuhay siya magpakailanman at ang kanyang trabaho ay hindi magiging pabigat sa kanya, kahit na ang kanyang buhay ay patuloy na maging kasing-kaganapan gaya noong simula, kung gayon walang bahagi ng kanyang talambuhay ang hindi mananatiling hindi nakasulat.
Sa katunayan, mailalarawan ni Shandy ang mga kaganapan sa ika-10 araw para sa ika-1 taon at, sa gayon, ang bawat araw ay makukuha sa kanyang sariling talambuhay.

Sa madaling salita, kung ang buhay ay tatagal nang walang katiyakan, magkakaroon ito ng maraming taon ng mga araw.

Gumuhit si Russell ng pagkakatulad sa pagitan ng nobelang ito at ni Zeno sa kanyang pagong. Sa kanyang opinyon, ang solusyon ay nakasalalay sa katotohanan na ang kabuuan ay katumbas ng bahagi nito sa kawalang-hanggan. Yung. humahantong sa isang kontradiksyon lamang "axiom bait» . Gayunpaman, ang solusyon sa problema ay nasa larangan ng purong matematika. Malinaw, mayroong dalawang set - mga taon at araw, sa pagitan ng mga elemento kung saan mayroong isa-sa-isang sulat - isang bijection. Pagkatapos sa ilalim ng kondisyon walang katapusang buhay ang pangunahing karakter ay may dalawang walang katapusang hanay ng pantay na kapangyarihan, na kung isasaalang-alang natin ang kapangyarihan bilang isang generalisasyon ng konsepto ng bilang ng mga elemento sa isang set, ay malulutas ang kabalintunaan.

Kabalintunaan (theorem) ng Banach-Tarski o pagdodoble ng bola kabalintunaan- isang theorem sa set theory na nagsasaad na ang isang three-dimensional na bola ay pantay na binubuo ng dalawa sa mga kopya nito.
Dalawang subset ng Euclidean space ang sinasabing pantay na binubuo kung ang isa ay maaaring hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga bahagi, inilipat, at binubuo ng pangalawa.
Sa mas tiyak, dalawang set A at B ay pantay na binubuo kung maaari silang katawanin bilang isang may hangganang pagsasama ng magkahiwalay na mga subset na para sa bawat i ang subset ay magkatugma.

Kung gagamitin natin ang pagpipiliang teorama, ang kahulugan ay ganito:
Ang axiom of choice ay nagpapahiwatig na mayroong isang dibisyon ng ibabaw ng isang unit sphere sa isang may hangganan na bilang ng mga bahagi, na, sa pamamagitan ng mga pagbabagong-anyo ng three-dimensional na Euclidean space na hindi nagbabago sa hugis ng mga bahaging ito, ay maaaring tipunin sa dalawa. mga sphere ng unit radius.

Malinaw, dahil sa pangangailangan para sa mga bahaging ito na masusukat, ang pahayag na ito ay hindi magagawa. Ang sikat na physicist na si Richard Feynman sa kanyang talambuhay ay nagsabi kung paano sa isang pagkakataon ay nagawa niyang manalo sa hindi pagkakaunawaan tungkol sa paghahati ng isang orange sa isang tiyak na bilang ng mga bahagi at muling pagbubuo nito.

Sa ilang mga punto, ang kabalintunaan na ito ay ginagamit upang pabulaanan ang axiom ng pagpili, ngunit ang problema ay ang itinuturing nating elementarya na geometry ay hindi mahalaga. Ang mga konseptong iyon na itinuturing naming intuitive ay dapat na pahabain sa antas ng mga katangian ng transendental na mga function.

Upang higit pang pahinain ang kumpiyansa ng mga naniniwalang mali ang axiom of choice, dapat banggitin ang theorem nina Mazurkiewicz at Sierpinski, na nagsasaad na mayroong isang non-empty subset E ng Euclidean plane na may dalawang magkahiwalay na subset, bawat isa sa na maaaring hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga bahagi, upang ang mga ito ay maisalin ng isometries sa isang takip ng set E.
Ang patunay ay hindi nangangailangan ng paggamit ng axiom of choice.
Ang mga karagdagang konstruksyon batay sa axiom of certainty ay nagbibigay ng resolusyon sa Banach-Tarski na kabalintunaan, ngunit hindi ganoong interes.

• Ang kabalintunaan ni Richard: kinakailangang pangalanan ang " pinakamaliit na bilang hindi pinangalanan sa aklat na ito. Ang kontradiksyon ay na sa isang banda, ito ay maaaring gawin, dahil mayroong pinakamaliit na bilang na pinangalanan sa aklat na ito. Mula dito, maaari ding pangalanan ng isa ang pinakamaliit na hindi pinangalanan. Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw: ang continuum ay hindi mabilang, sa pagitan ng anumang dalawang numero maaari kang magpasok ng isang walang katapusang bilang ng mga intermediate na numero. Sa kabilang banda, kung mapapangalanan natin ang numerong ito, awtomatiko itong lilipat mula sa klase na hindi nabanggit sa aklat patungo sa klase na nabanggit.
• Ang Grelling-Nilson na kabalintunaan: ang mga salita o palatandaan ay maaaring magpahiwatig ng ilang pag-aari at kasabay nito ay mayroon o wala. Ang pinakawalang kuwenta na pagbabalangkas ay ganito: ang salitang "heterological" (na nangangahulugang "hindi naaangkop sa sarili nito") heterological?.. Ito ay halos kapareho sa kabalintunaan ni Russell dahil sa pagkakaroon ng isang diyalektikong kontradiksyon: ang duality ng anyo at nilalaman ay nilabag. Sa kaso ng mga salita na may mataas na antas ng abstraction, imposibleng magpasya kung heterological ang mga salitang ito.
• Ang kabalintunaan ng Skolem: gamit ang teorema ng pagkakumpleto ni Godel at ang teorama ng Löwenheim-Skolem, nalaman natin na ang teorya ng axiomatic set ay nananatiling totoo kahit na isang mabibilang na hanay lamang ng mga set ang ipinapalagay (magagamit) para sa interpretasyon nito. Sa parehong oras
  Ang teorya ng axiomatic ay kinabibilangan ng nabanggit na teorem ng Cantor, na nagdadala sa atin sa hindi mabilang na mga infinite set.

Paglutas ng mga kabalintunaan

Ang paglikha ng set theory ay nagbunga ng kung ano ang itinuturing na ikatlong krisis ng matematika, na hindi pa nareresolba nang kasiya-siya para sa lahat.
Sa kasaysayan, ang unang diskarte ay set-theoretic. Ito ay batay sa paggamit ng aktwal na infinity, nang ikonsidera na ang anumang infinite sequence ay nakumpleto sa infinity. Ang ideya ay na sa set theory ay madalas na kailangan ng isa na gumana sa mga set na maaaring bahagi ng iba, mas malalaking set. Ang mga matagumpay na aksyon sa kasong ito ay posible lamang sa isang kaso: ang mga ibinigay na set (finite at infinite) ay nakumpleto. Ang isang tiyak na tagumpay ay maliwanag: ang axiomatic set theory ni Zermelo-Fraenkel, isang buong paaralan ng matematika ni Nicolas Bourbaki, na umiral nang mahigit kalahating siglo at nagdudulot pa rin ng maraming kritisismo.

Ang logicism ay isang pagtatangka na bawasan ang lahat ng kilalang matematika sa mga termino ng aritmetika, at pagkatapos ay bawasan ang mga termino ng aritmetika sa mga konsepto. lohika ng matematika. Sinagot ito ni Frege nang malapitan, ngunit pagkatapos ng trabaho sa trabaho, napilitan siyang ituro ang kanyang hindi pagkakapare-pareho, pagkatapos ituro ni Russell ang mga kontradiksyon sa teorya. Ang parehong Russell, gaya ng nabanggit kanina, ay sinubukang alisin ang paggamit ng mga impredicative na kahulugan sa tulong ng "type theory". Gayunpaman, ang kanyang mga konsepto ng set at infinity, pati na rin ang axiom ng reducibility, ay naging hindi makatwiran. Ang pangunahing problema ay ang mga pagkakaiba sa husay sa pagitan ng pormal at matematikal na lohika ay hindi isinasaalang-alang, pati na rin ang pagkakaroon ng mga kalabisan na mga konsepto, kabilang ang mga may likas na intuitive.
Bilang resulta, hindi maalis ng teorya ng lohisismo ang mga diyalektikong kontradiksyon ng mga kabalintunaan na nauugnay sa kawalang-hanggan. Mayroon lamang mga prinsipyo at pamamaraan na naging posible upang maalis ang hindi bababa sa mga di-predicative na kahulugan. Sa sarili niyang pangangatwiran, si Russell ang tagapagmana ni Cantor.

Sa pagtatapos ng XIX - simula ng XX siglo. ang pagkalat ng pormalistang pananaw sa matematika ay nauugnay sa pag-unlad ng pamamaraang axiomatic at ang programa ng pagpapatibay ng matematika, na inilagay ni D. Hilbert. Ang kahalagahan ng katotohanang ito ay ipinahiwatig ng katotohanan na ang una sa dalawampu't tatlong mga problema na ipinakita niya sa komunidad ng matematika ay ang problema ng kawalang-hanggan. Kinailangan ang pormalisasyon upang patunayan ang pagkakapare-pareho ng klasikal na matematika, "habang hindi kasama rito ang lahat ng metapisika." Dahil sa mga paraan at pamamaraan na ginamit ni Hilbert, ang kanyang layunin ay naging imposible, ngunit ang kanyang programa ay may malaking epekto sa buong kasunod na pag-unlad ng mga pundasyon ng matematika. Si Hilbert ay nagtrabaho sa problemang ito sa loob ng mahabang panahon, na unang itinayo ang axiomatics ng geometry. Dahil ang solusyon sa problema ay naging matagumpay, nagpasya siyang ilapat ang axiomatic method sa teorya ng natural na mga numero. Narito ang isinulat niya kaugnay nito: “I pursue mahalagang layunin: Ako ang nagnanais na harapin ang mga tanong ng pundasyon ng matematika tulad nito, na ginagawang mahigpit na derivable formula ang bawat pahayag ng matematika. Kasabay nito, pinlano na alisin ang infinity sa pamamagitan ng pagbawas nito sa isang tiyak na bilang ng mga operasyon. Upang gawin ito, bumaling siya sa physics kasama ang atomismo nito, upang ipakita ang buong hindi pagkakapare-pareho ng walang katapusang dami. Sa katunayan, itinaas ni Hilbert ang tanong ng relasyon sa pagitan ng teorya at layunin na katotohanan.

Humigit-kumulang buong view may hangganang pamamaraan ang ibinigay ng mag-aaral ni Hilbert na si J. Herbrand. Sa pamamagitan ng may hangganang pangangatwiran, ang ibig niyang sabihin ay pangangatwiran na tumutugon sa mga sumusunod na kondisyon: lohikal na mga kabalintunaan"- tanging may hangganan at tiyak na bilang ng mga bagay at function ang palaging isinasaalang-alang;

May mga function tumpak na kahulugan, at ang kahulugang ito ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang kanilang halaga;

Ito ay hindi kailanman iginigiit na "Ang bagay na ito ay umiiral" maliban kung ang isang paraan sa pagbuo nito ay kilala;

Ang hanay ng lahat ng mga bagay X ng anumang walang katapusang koleksyon ay hindi kailanman isinasaalang-alang;

Kung alam na ang anumang pangangatwiran o teorama ay totoo para sa lahat ng X na ito, nangangahulugan ito na ang pangkalahatang pangangatwiran na ito ay maaaring ulitin para sa bawat partikular na X, at ang pangkalahatang pangangatwiran na ito mismo ay dapat isaalang-alang lamang bilang isang modelo para sa naturang partikular na pangangatwiran.

Gayunpaman, sa oras ng huling publikasyon sa lugar na ito, natanggap na ni Gödel ang kanyang mga resulta, sa esensya ay muli niyang natuklasan at inaprubahan ang pagkakaroon ng dialectics sa proseso ng cognition. Sa esensya, ang karagdagang pag-unlad ng matematika ay nagpakita ng kabiguan ng programa ni Hilbert.

Ano nga ba ang pinatunayan ni Gödel? Mayroong tatlong pangunahing resulta:

1. Ipinakita ni Gödel ang imposibilidad ng isang mathematical na patunay ng pagkakapare-pareho ng anumang sistemang sapat na malaki upang isama ang lahat ng arithmetic, isang patunay na hindi gagamit ng anumang iba pang mga alituntunin ng hinuha kaysa sa mga makikita sa system mismo. Maaaring maging kapaki-pakinabang ang gayong patunay, na gumagamit ng mas makapangyarihang tuntunin ng hinuha. Ngunit kung ang mga alituntuning ito ng hinuha ay mas malakas kaysa sa lohikal na paraan ng arithmetic calculus, kung gayon ay walang tiwala sa pagkakapare-pareho ng mga pagpapalagay na ginamit sa patunay. Sa anumang kaso, kung ang mga pamamaraan na ginamit ay hindi finitist, kung gayon ang programa ni Hilbert ay magiging hindi praktikal. Ang Gödel ay nagpapakita lamang ng hindi pagkakapare-pareho ng mga kalkulasyon para sa paghahanap ng isang finitistang patunay ng pagkakapare-pareho ng aritmetika.
2. Itinuro ni Godel ang mga pangunahing limitasyon ng mga posibilidad ng pamamaraang axiomatic: ang sistemang Principia Mathematica, tulad ng anumang iba pang sistema kung saan binuo ang aritmetika, ay mahalagang hindi kumpleto, ibig sabihin, para sa anumang pare-parehong sistema ng mga axiom ng aritmetika mayroong mga tunay na pangungusap na aritmetika na hindi nagmula sa mga axiom ng sistemang ito.
3. Ang theorem ni Gödel ay nagpapakita na walang extension ng isang arithmetic system ang makakapagpakumpleto nito, at kahit na punan natin ito ng isang walang katapusang hanay ng mga axiom, kung gayon sa bagong sistema ay palaging magiging totoo, ngunit hindi mababawas sa pamamagitan ng sistemang ito, mga posisyon. Ang axiomatic approach sa aritmetika ng mga natural na numero ay hindi maaaring sumaklaw sa buong larangan ng tunay na arithmetic propositions, at ang ibig sabihin natin sa proseso ng mathematical proof ay hindi limitado sa paggamit ng axiomatic method. Pagkatapos ng teorama ni Godel, naging walang kabuluhan ang asahan na ang konsepto ng isang nakakumbinsi na patunay sa matematika ay maaaring ibigay minsan at para sa lahat ng mga delineate na anyo.

Ang pinakabago sa seryeng ito ng mga pagtatangka na ipaliwanag ang set theory ay intuitionism.

Dumaan siya sa ilang yugto sa kanyang ebolusyon - semi-intuitionism, intuitionism proper, ultra-intuitionism. Sa iba't ibang yugto, ang mga mathematician ay nag-aalala tungkol sa iba't ibang mga problema, ngunit ang isa sa mga pangunahing problema ng matematika ay ang problema ng infinity. Ang mga matematikal na konsepto ng infinity at continuity ay naging paksa ng pilosopikal na pagsusuri mula noong sila ay mabuo (mga ideya ng mga atomista, aporias ng Zeno ng Elea, infinitesimal na pamamaraan noong unang panahon, infinitesimal calculus sa modernong panahon, atbp.). Ang pinakamalaking kontrobersya ay sanhi ng paggamit ng iba't ibang uri ng infinity (potensyal, aktwal) bilang mga bagay sa matematika at ang kanilang interpretasyon. Ang lahat ng mga problemang ito, sa aming opinyon, ay nabuo ng isang mas malalim na problema - ang papel ng paksa sa kaalamang pang-agham. Ang katotohanan ay ang estado ng krisis sa matematika ay nabuo ng epistemological na kawalan ng katiyakan ng paghahambing ng mundo ng bagay (infinity) at ang mundo ng paksa. Ang mathematician bilang isang paksa ay may posibilidad na pumili ng paraan ng pag-unawa - alinman sa potensyal o aktwal na kawalang-hanggan. Ang paggamit ng potensyal na kawalang-hanggan bilang isang pagiging isa ay nagbibigay sa kanya ng pagkakataong isagawa, upang bumuo ng isang walang katapusang hanay ng mga konstruksyon na maaaring itayo sa ibabaw ng mga may hangganan, nang walang pagkakaroon ng isang may hangganang hakbang, nang hindi nakumpleto ang pagtatayo, ito ay posible lamang. Ang paggamit ng aktwal na infinity ay nagbibigay sa kanya ng pagkakataong magtrabaho kasama ang infinity bilang na realizable, natapos sa pagbuo nito, bilang aktwal na ibinigay sa parehong oras.

Sa yugto ng semi-intuitionism, ang problema ng infinity ay hindi pa independyente, ngunit hinabi sa problema ng pagbuo ng mga bagay sa matematika at mga paraan upang bigyang-katwiran ito. Ang semi-intuitionism ng A. Poincaré at ang mga kinatawan ng Parisian school ng theory of functions Baire, Lebesgue at Borel ay itinuro laban sa pagtanggap ng axiom of free choice, sa tulong kung saan napatunayan ang theorem ni Zermelo, na nagsasabi na ang anumang set ay maaaring gawin ganap na iniutos, ngunit hindi nagpapahiwatig ng isang teoretikal na paraan upang matukoy ang mga elemento ng anumang subset ng mga nais na set. Walang paraan upang makabuo ng isang mathematical object, at walang mathematical object mismo. Naniniwala ang mga mathematician na ang pagkakaroon o kawalan ng isang teoretikal na pamamaraan para sa pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga bagay ng pag-aaral ay maaaring magsilbing batayan para sa pagpapatunay o pagpapabulaanan ng axiom na ito. Sa bersyong Ruso, ang semi-intuitionistic na konsepto sa pilosopikal na pundasyon ng matematika ay binuo sa direksyon tulad ng effectivism na binuo ni N.N. Luzin. Ang pagiging epektibo ay isang pagsalungat sa mga pangunahing abstraction ng doktrina ng Cantor ng walang katapusan - aktuwalidad, pagpili, transfinite induction, atbp.

Para sa effectivism, ang abstraction ng potensyal na pagiging posible ay epistemologically mas mahalaga kaysa sa abstraction ng aktwal na infinity. Dahil dito, nagiging posible na ipakilala ang konsepto ng transfinite ordinals (infinite ordinal number) batay sa epektibong konsepto ng paglago ng mga function. Ang epistemological setting ng pagiging epektibo para sa pagpapakita ng tuloy-tuloy (continuum) ay batay sa mga discrete na paraan (arithmetic) at ang deskriptibong teorya ng mga set (function) na nilikha ni N.N. Luzin. Ang intuitionism ng Dutchman L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting ay malayang nakikita ang mga umuusbong na pagkakasunud-sunod ng iba't ibang uri bilang isang tradisyonal na bagay ng pag-aaral. Sa yugtong ito, ang paglutas ng mga problema sa matematika nang wasto, kabilang ang muling pagsasaayos ng lahat ng matematika sa isang bagong batayan, itinaas ng mga intuitionist ang pilosopikal na tanong ng papel ng isang mathematician bilang isang nakakaalam na paksa. Ano ang kanyang posisyon, kung saan siya ay mas malaya at aktibo sa pagpili ng mga paraan ng katalusan? Ang mga intuitionist ang una (at sa yugto ng semi-intuitionism) na pumuna sa konsepto ng aktwal na kawalang-hanggan, ang teorya ng mga set ni Cantor, na nakikita sa loob nito ang paglabag sa kakayahan ng paksa na maimpluwensyahan ang proseso ng siyentipikong paghahanap para sa isang solusyon sa isang nakabubuo na problema. . Sa kaso ng paggamit ng potensyal na kawalang-hanggan, ang paksa ay hindi linlangin ang kanyang sarili, dahil para sa kanya ang ideya ng potensyal na kawalang-hanggan ay intuitively na mas malinaw kaysa sa ideya ng aktwal na kawalang-hanggan. Para sa isang intuitionist, ang isang bagay ay itinuturing na umiiral kung ito ay direktang ibinigay sa isang mathematician o kung ang paraan ng pagbuo nito ay kilala. Sa anumang kaso, maaaring simulan ng paksa ang proseso ng pagkumpleto ng pagtatayo ng isang bilang ng mga elemento ng kanyang hanay. Ang unconstructed object ay hindi umiiral para sa mga intuitionist. Kasabay nito, ang paksang nagtatrabaho sa aktwal na infinity ay aalisan ng pagkakataong ito at madarama ang dobleng kahinaan ng pinagtibay na posisyon:

1) hindi kailanman posible na isakatuparan ang walang katapusang konstruksyon na ito;
2) nagpasya siyang gumana nang may aktwal na kawalang-hanggan tulad ng sa isang bagay na may hangganan, at sa kasong ito ay nawawala ang kanyang pagtitiyak ng konsepto ng kawalang-hanggan. Sinasadyang nililimitahan ng intuitionism ang mga posibilidad ng isang mathematician sa pamamagitan ng katotohanan na maaari siyang bumuo ng mga bagay sa matematika ng eksklusibo sa pamamagitan ng paraan na, kahit na nakuha sa tulong ng mga abstract na konsepto, ay mabisa, nakakumbinsi, mapapatunayan, functionally constructive tumpak na praktikal at ang kanilang mga sarili intuitively malinaw bilang constructions, constructions, ang pagiging maaasahan ng kung saan sa pagsasanay, walang duda. Ang intuitionism, na umaasa sa konsepto ng potensyal na kawalang-hanggan at nakabubuo na mga pamamaraan ng pananaliksik, ay tumatalakay sa matematika ng pagiging, ang set theory ay tumutukoy sa matematika ng pagiging.

Para sa intuitionist na si Brouwer, bilang isang kinatawan ng mathematical empiricism, ang lohika ay pangalawa; pinupuna niya ito at ang batas ng ibinukod na gitna.

Sa kanyang bahagyang mystical na mga gawa, hindi niya itinatanggi ang pagkakaroon ng kawalang-hanggan, ngunit hindi pinapayagan ang aktuwalisasyon nito, ang potensyalisasyon lamang. Ang pangunahing bagay para sa kanya ay ang interpretasyon at pagbibigay-katwiran ng praktikal na ginagamit na lohikal na paraan at pangangatwiran sa matematika. Ang paghihigpit na pinagtibay ng mga intuitionist ay nagtagumpay sa kawalan ng katiyakan ng paggamit ng konsepto ng infinity sa matematika at nagpapahayag ng pagnanais na malampasan ang krisis sa pundasyon ng matematika.

Ang ultra-intuitionism (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov at iba pa) ay ang huling yugto sa pagbuo ng intuitionism, kung saan ang mga pangunahing ideya nito ay na-moderno, makabuluhang pupunan at binago, nang hindi binabago ang kakanyahan nito, ngunit nagtagumpay sa mga pagkukulang at pagpapalakas ng mga positibong aspeto, ginagabayan ng ang pamantayan ng mathematical rigor. Ang kahinaan ng intuitionist na diskarte ay isang makitid na pag-unawa sa papel ng intuition bilang ang tanging mapagkukunan ng pagbibigay-katwiran para sa kawastuhan at pagiging epektibo ng mga pamamaraan sa matematika. Ang pagkuha ng "intuitive clarity" bilang isang criterion ng katotohanan sa matematika, intuitionist methodologically pinapahirapan ang mga posibilidad ng isang mathematician bilang isang paksa ng kaalaman, binawasan ang kanyang aktibidad sa mental operations lamang batay sa intuition at hindi isinama ang pagsasanay sa proseso ng kaalaman sa matematika. Ang ultra-intuitionistic na programa ng pagpapatibay ng matematika ay isang priyoridad ng Russia. Samakatuwid, ang mga domestic mathematician, na nagtagumpay sa mga limitasyon ng intuitionism, ay nagpatibay ng epektibong pamamaraan ng materyalistikong dialectics, na kinikilala ang kasanayan ng tao bilang isang mapagkukunan ng pagbuo ng parehong mga konsepto ng matematika at mga pamamaraan ng matematika (mga hinuha, mga konstruksyon). Nalutas ng mga ultraintuitionist ang problema ng pagkakaroon ng mga bagay sa matematika, hindi umaasa sa hindi natukoy na subjective na konsepto ng intuwisyon, ngunit sa kasanayan sa matematika at isang tiyak na mekanismo para sa pagbuo ng isang bagay sa matematika - isang algorithm na ipinahayag ng isang computable, recursive function.

Pinahuhusay ng ultra-intuitionism ang mga pakinabang ng intuitionism, na binubuo sa posibilidad ng pag-order at pag-generalize ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nakabubuo na problema na ginagamit ng mga mathematician sa anumang direksyon. Samakatuwid, ang intuitionism ng huling yugto (ultraintuitionism) ay malapit sa constructivism sa matematika. Sa aspetong epistemolohiko, ang mga pangunahing ideya at prinsipyo ng ultraintuitionism ay ang mga sumusunod: pagpuna sa klasikal na axiomatics ng lohika; ang paggamit at makabuluhang pagpapalakas (sa tahasang mga tagubilin ng A.A. Markov) ng papel ng abstraction ng pagkakakilanlan (mental abstraction mula sa hindi magkatulad na katangian ng mga bagay at ang sabay-sabay na paghihiwalay karaniwang katangian bagay) bilang isang paraan ng pagbuo at nakabubuo na pag-unawa sa mga abstract na konsepto, matematikal na paghuhusga; patunay ng pagkakapare-pareho ng mga pare-parehong teorya. AT pormal na aspeto ang paggamit ng abstraction ng pagkakakilanlan ay nabibigyang katwiran sa pamamagitan ng tatlong katangian nito (axioms) ng pagkakapantay-pantay - reflexivity, transitivity at symmetry.

Upang malutas ang pangunahing kontradiksyon sa matematika sa problema ng kawalang-hanggan, na nagbunga ng isang krisis ng mga pundasyon nito, sa yugto ng ultra-intuitionism sa mga gawa ni A.N. Iminungkahi ni Kolmogorov ang mga paraan sa labas ng krisis sa pamamagitan ng paglutas sa problema ng mga relasyon sa pagitan ng klasikal at intuitionistic na lohika, klasikal at intuitionistic na matematika. Sa pangkalahatan, tinanggihan ng intuitionism ni Brouwer ang lohika, ngunit dahil hindi magagawa ng sinumang mathematician nang walang lohika, napanatili pa rin ang pagsasanay ng lohikal na pangangatwiran sa intuitionism, pinahintulutan ang ilang mga prinsipyo ng klasikal na lohika, na mayroong axiomatics bilang batayan nito. S.K. Kleene, R. Wesley kahit na tandaan na ang intuitionistic mathematics ay maaaring inilarawan bilang isang uri ng calculus, at ang calculus ay isang paraan ng pag-aayos ng kaalaman sa matematika batay sa lohika, pormalisasyon at anyo nito - algorithmization. Isang bagong bersyon ng ugnayan sa pagitan ng lohika at matematika sa loob ng balangkas ng intuitionistic na mga kinakailangan para sa intuitive na kalinawan ng mga paghatol, lalo na ang mga may kasamang negasyon, A.N. Iminungkahi ni Kolmogorov ang mga sumusunod: ipinakita niya ang intuitionistic na lohika, malapit na nauugnay sa intuitionistic mathematics, sa anyo ng isang axiomatic implicative minimal calculus ng mga proposisyon at predicates. Kaya, ipinakita ng siyentipiko ang isang bagong modelo ng kaalaman sa matematika, na nagtagumpay sa mga limitasyon ng intuitionism sa pagkilala lamang sa intuwisyon bilang isang paraan ng katalusan at mga limitasyon ng lohisismo, na nagpapawalang-bisa sa mga posibilidad ng lohika sa matematika. Ang posisyong ito ay naging posible upang ipakita sa matematikal na anyo ang synthesis ng intuitive at logical bilang batayan ng flexible rationality at ang constructive effect nito.

Natuklasan. Kaya, ang epistemological na aspeto ng kaalaman sa matematika ay nagpapahintulot sa amin na suriin rebolusyonaryong pagbabago sa yugto ng krisis ng mga pundasyon ng matematika sa pagliko ng XIX-XX mga siglo mula sa mga bagong posisyon sa pag-unawa sa proseso ng cognition, ang kalikasan at papel ng paksa sa loob nito. Gnoseological na paksa tradisyonal na teorya Ang kaalaman, na naaayon sa panahon ng dominasyon ng set-theoretic na diskarte sa matematika, ay isang abstract, hindi kumpleto, "bahagyang" paksa, na kinakatawan sa mga ugnayan ng paksa-bagay, pinunit ng abstractions, lohika, pormalismo mula sa katotohanan, makatwiran, theoretically alam bagay nito at nauunawaan bilang isang salamin, tumpak na sumasalamin at gumagaya sa katotohanan. Sa katunayan, ang paksa ay hindi kasama sa katalusan bilang isang tunay na proseso at resulta ng pakikipag-ugnayan sa bagay. Ang pagpasok ng intuitionism sa arena ng pakikibaka ng mga pilosopikal na uso sa matematika ay humantong sa isang bagong pag-unawa sa matematiko bilang isang paksa ng kaalaman - isang taong nakakaalam, na ang pilosopikal na abstraction ay dapat na itayo, tulad ng dati. Ang mathematician ay lumitaw bilang isang empirical na paksa, na nauunawaan bilang isang integral na tunay na tao, kasama ang lahat ng mga katangian na nakuha mula sa epistemological na paksa - empirical concreteness, variability, historicity; ito ay isang kumikilos at kumikilala sa tunay na katalusan, isang malikhain, intuitive, mapag-imbento na paksa. Ang pilosopiya ng intuitionistic na matematika ay naging batayan, ang pundasyon ng modernong epistemological paradigm, na binuo sa konsepto ng flexible rationality, kung saan ang isang tao ay isang integral (holistic) na paksa ng cognition, nagtataglay ng mga bagong cognitive na katangian, pamamaraan, pamamaraan; pinagsasama-sama niya ang kanyang abstract-epistemological at lohikal-methodological na kalikasan at anyo, at kasabay nito ay tumatanggap ng isang existential-anthropological at "historical-metaphysical" comprehension.

Ang isang mahalagang punto ay din intuwisyon sa katalusan at, sa partikular, sa pagbuo ng mga konsepto ng matematika. Muli, mayroong isang pakikibaka sa pilosopiya, mga pagtatangka na ibukod ang batas ng ibinukod na gitna, bilang walang kahulugan sa matematika at nanggagaling sa pilosopiya. Gayunpaman, ang pagkakaroon ng labis na diin sa intuwisyon at ang kakulangan ng malinaw na mga katwiran sa matematika ay hindi nagpapahintulot sa paglilipat ng matematika sa isang matatag na pundasyon.

Gayunpaman, pagkatapos ng paglitaw noong 1930s mahigpit na konsepto Ang baton ng algorithm mula sa intuitionism ay kinuha ng mathematical constructivism, na ang mga kinatawan ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa modernong teorya ng computability. Bilang karagdagan, noong 1970s at 1980s, natuklasan ang mga makabuluhang koneksyon sa pagitan ng ilan sa mga ideya ng mga intuitionist (kahit na ang mga dati ay tila walang katotohanan) at ang matematikal na teorya ng topos. Ang matematika na matatagpuan sa ilang topoi ay halos kapareho sa sinusubukang likhain ng mga intuitionist.

Bilang isang resulta, ang isa ay maaaring gumawa ng isang pahayag: karamihan sa mga kabalintunaan sa itaas ay hindi umiiral sa teorya ng mga set na may pagmamay-ari sa sarili. Pangwakas ba ang ganitong paraan - kontrobersyal na isyu, mga iba pang gawain sa lugar na ito ay magpapakita.

Konklusyon

Ang dialectical-materialistic analysis ay nagpapakita na ang mga kabalintunaan ay bunga ng dichotomy ng wika at pag-iisip, isang pagpapahayag ng malalim na dialectical (Gödel's theorem na naging posible upang maipakita ang dialectics sa proseso ng cognition) at epistemological na mga paghihirap na nauugnay sa mga konsepto ng isang bagay at paksa. lugar sa pormal na lohika, isang set (klase) sa lohika at set theory, na may paggamit ng abstraction na prinsipyo, na nagpapahintulot sa pagpapakilala ng mga bagong (abstract) na bagay (infinity), na may mga pamamaraan para sa pagtukoy ng abstract na mga bagay sa agham, atbp. Samakatuwid, isang Ang unibersal na paraan upang maalis ang lahat ng mga kabalintunaan ay hindi maibibigay.

Kung ang ikatlong krisis ng matematika ay tapos na (dahil ito ay nasa sanhi ng kaugnayan sa mga kabalintunaan; ngayon ang mga kabalintunaan ay isang mahalagang bahagi) - ang mga opinyon ay naiiba dito, bagaman ang pormal na kilalang mga kabalintunaan ay inalis noong 1907. Gayunpaman, ngayon sa matematika ay may iba pang mga pangyayari na maaaring ituring na alinman sa krisis o nagbabadya ng isang krisis (halimbawa, ang kawalan ng isang mahigpit na katwiran para sa integral ng landas).

Tulad ng para sa mga kabalintunaan, ang kilalang sinungaling na kabalintunaan ay may napakahalagang papel sa matematika, gayundin ang isang buong serye ng mga kabalintunaan sa tinatawag na walang muwang (nauna na axiomatic) set na teorya na nagdulot ng krisis ng mga pundasyon (isa sa mga paradox na ito ang gumanap. isang nakamamatay na papel sa buhay ni H. Frege) . Ngunit, marahil, ang isa sa mga pinaka-underestimated na phenomena sa modernong matematika, na maaaring tawaging parehong kabalintunaan at krisis, ay ang solusyon ni Paul Cohen noong 1963 ng unang problema ni Hilbert. Mas tiyak, hindi ang mismong katotohanan ng desisyon, ngunit ang likas na katangian ng desisyong ito.

Panitikan

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. SA. Burova. Mga kabalintunaan ng set theory at dialectics. Agham, 1976.
3. M.D. Magpapalayok. Itakda ang teorya at ang pilosopiya nito: isang kritikal na panimula. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Pilosopikal na pundasyon ng matematika. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Siyempre, nagbibiro ka, Mr. Feynman!: ang mga pakikipagsapalaran ng isang kamangha-manghang tao, na sinabi niya kay R. Layton. Hummingbird, 2008.
6. O. M. Mizhevich. Dalawang Paraan para Malampasan ang Mga Kabalintunaan sa Set Theory ni G. Kantor. Logical and Philosophical Studies, (3):279--299, 2005.
7. S. I. Masalova. PILOSOPIYA NG INTUITIONIST MATHEMATICS. Bulletin ng DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teorya ng mga set na may pagmamay-ari ng sarili (pundasyon at ilang aplikasyon). Perm. estado un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Isang maikling abstract ng mga lektura sa disiplina ""Philosophy of Mathematics"". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Mga pag-aaral sa set theory at non-classical logics. Agham, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: itong walang katapusang garland. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Panimula sa mathematical logic. Publishing house na "Nauka", 1976.
13. OO. Bochvar. Sa tanong ng mga kabalintunaan ng mathematical logic at set theory. Koleksyon ng Matematika, 57(3):369--384, 1944.

Sa halip na isang anotasyon:

"... Ang diagonal proof ng Cantor ay isang aktibidad para sa mga idiot na walang kinalaman sa karaniwang tinatawag na deduction sa classical logic."

L. Wittgenstein

“... Inilalahad ng teorya ni Cantor isang pathological na insidente sa kasaysayan matematika, kung saan nanggagaling ang mga henerasyon ay matatakot lang"

K. Bauer, tagapagtatag ng topology

1. Ang krisis ng modernong kaalaman sa matematika.

Ang matematika ay gumaganap ng isang nangungunang papel sa proseso ng pagbabago ng sinaunang at medyebal na nuka sa modernong European, dahil ang teoretikal na natural na agham ay imposible nang walang matematika. Sa modernong European natural science, hindi aksidente na ang matematika ay tinatawag na "reyna ng mga agham." Kung sa panahon ng unang panahon ay nahiwalay ito sa mga agham ng kalikasan at ang paksa nito ay ang globo ng ideal mga entidad sa matematika, at sa makabagong panahon ay kapansin-pansing nagbabago ang sitwasyon. Ang matematika ay lumalapit sa mga agham ng kalikasan at nagsimulang magdikta ng kanilang sariling mga alituntunin ng magkakasamang buhay sa kanila. Kaugnay nito, ang makabagong konseptwal na natural na agham ay tumatanggap ng kahulugan ng matematika. Malaki ang utang ng mga modernong natural na agham sa kanilang tagumpay sa modernong matematika sa Europa. Gayunpaman, ang huling, ikatlong krisis, na nangyayari nang higit sa isang daang taon, ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng mga seryosong problema sa mga pundasyon nito.

Mayroong isang tradisyonal na pananaw na sa pagliko ng XIX-XX na siglo. nagkaroon ng ika-3 krisis sa mga pundasyon ng matematika, ang mga sanhi nito ay nauugnay sa convergence ng matematika na may lohika, pati na rin sa pangangailangan na linawin ang mga konseptong matematikal tulad ng numero, set, limitasyon, function, atbp.

Ang mga pinagmulan ng krisis na ito ay bumalik sa ika-17-18 na siglo, nang ang matematika ay bumuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa natural na agham. Ang mga mathematician noong panahong iyon ay hindi partikular na nagmamalasakit sa katwiran para sa kanilang sariling mga pamamaraan [L.S. Freynman. Mga tagalikha ng mas mataas na matematika. M., 1968. S. 83-84]

Noong ika-19 na siglo mayroong rebisyon ng mga pangunahing konsepto at pagbuo ng teoretikal na matematika. Ito ay humahantong sa pagbuo ng set theory at ang arithmetization ng matematika.

Ang pinakadakilang mathematician ng ikalabinsiyam na siglo ay naghangad na bawasan ang lahat ng mga katotohanan ng matematika numero at masinsinang bumuo, simula sa Gauss' Arithmetical Investigations (1801), ang teorya ng numero [F.A. Medvedev. Ang pagbuo ng set theory noong ika-19 na siglo. M., 1965. S. 35-36.]. Una sa lahat, inilapat ito sa pagsusuri sa matematika. Ang pinaka-problema ay ang mga lohikal na pundasyon nito. Kaugnay nito, noong ika-19 na siglo. ang pagbuo ng mga pundasyon ng matematika at mas mahigpit na pamamaraan para sa mga kahulugan at patunay nito ay nagsisimula.

Sa proseso ng restructuring mathematical analysis, mayroong isang kumbiksiyon na ang theorems ng algebra at mathematical analysis ay maaaring buuin bilang isang theorem sa natural na mga numero [Dedekind R. Ano ang mga numero at kung ano ang kanilang pinaglilingkuran. Kazan: Ed. Pamantasang Imperial, 1905. S. 5].

Ang resulta ng prosesong ito ay ang pagsasakatuparan ng numero bilang isang pangunahing konsepto ng lahat ng matematika at ang pagbuo ng teorya ng tunay na mga numero ng mga mathematician tulad ng Bolzano, Weierstrass, Dedekind at Kantor.

Sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo, ang problema ng pagpapatibay ng matematika ay lumitaw na. Ang isang natitirang papel sa solusyon nito ay nilalaro ng pagbuo ng teorya ng mga set ni G. Kantor. Bilang resulta, ang mga konsepto ng pagsusuri at teorya ng pag-andar ay nabuo sa mga tuntunin ng set theory. Ang pangunahing konsepto para sa huli ay ang konsepto ng isang aktwal na walang katapusang set.

Ang pagbuo ng set theory sa pamamagitan ng pagsasama ng konsepto ng aktwal na infinity ay nangangahulugan, sa katunayan, isang rebolusyon sa kasaysayan ng matematika, na maihahambing sa rebolusyon ni Copernicus, ang teorya ng relativity at quantum mechanics. Ang teorya ng set ay nagbigay ng isang unibersal na pamamaraan, na naging batayan karagdagang pag-unlad matematika.

Ang susunod na yugto sa pag-unlad ng matematika ay nauugnay sa tagpo ng algebra, lohika at set theory. Ang matematika ay tumatagal sa isang hindi pa nagagawang abstract na anyo. Nangangahulugan ito ng paglipat sa lohikal na batayan ng matematika. Isang namumukod-tanging kontribusyon sa mga pundasyon ng matematika ang ginawa ni G. Frege (“Mga Batayan ng Arithmetic” at “Mga Batayang Batas ng Arithmetic na Nakuha sa pamamagitan ng Calculus of Concepts”). Isinasagawa nito ang axiomatic deductive construction ng mathematical logic (propositional calculus, predicate calculus). Ang problema ng lohikal na pagpapatibay ng numero, kalayaan, pagkakapare-pareho at pagkakumpleto ng mga sistema ng axiom ay nalutas. Ang "Logistics" ay lumitaw bilang isang pagtatanghal ng matematika sa wika ng lohika. Mayroong proseso ng pag-unlad ng isang makapangyarihan lohikal na pagsusuri at pormalisasyon ng lohika.

Ang ideya ng deducibility ng matematika mula sa lohika ay nakakakuha ng saligan. Si Frege, na tinukoy ang mga konsepto ng "numero" at "dami" sa mga lohikal na termino ng "klase" at "relasyon", ay namamahala upang gawing pormal ang teorya ng mga set, at ipakita ang matematika bilang isang extension ng lohika.

Ang prosesong ito ay nagtatapos sa paglikha ng pangunahing tatlong-volume na gawaing Principia Mathematica (1910-1913) nina Russell at Whitehead.

Sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, ang isang sitwasyon sa matematika ay halos kapareho ng sa pisika sa simula ng 1990s, nang ang ideya ng pagkakumpleto ng klasikal na pisika ay naitatag. At pagkatapos ay sinundan ang mga dramatikong kaganapan, kung saan kami tumira kanina.

Sa pagliko ng XIX-XX na siglo. pumapasok ang matematika sa panahon ng matinding krisis na dulot ng paglitaw ng isang serye ng mga hindi malulutas na mathematical, logical at semantic na kabalintunaan na nagdududa sa teorya ng mga set ni Cantor at ang mga pundasyon ng klasikal na matematika. Ito ay nagbunsod kahit na ang mga kilalang mathematician gaya nina Cantor, Frege, at iba pa sa kawalan ng pag-asa. Si G. Weyl, kahit pagkaraan ng maraming taon, ay sumulat ng mga sumusunod na linya tungkol sa panahong ito sa kasaysayan ng kaalaman sa matematika: “ Hindi na tayo sigurado ngayon sa mga pangunahing pundasyon ng matematika at lohika. Nararanasan natin ang ating "krisis" sa parehong paraan na nararanasan ng lahat at lahat ng bagay sa modernong mundo. Ang krisis na ito ay nangyayari sa loob ng limampung taon na (ang mga linyang ito ay isinulat noong 1946). Sa unang tingin, tila hindi ito partikular na nakakasagabal sa ating pang-araw-araw na gawain. Gayunpaman, dapat kong agad na aminin na ang aking gawaing matematika ang krisis na ito ay nagkaroon ng kapansin-pansing praktikal na epekto: itinuro nito ang aking mga interes sa mga lugar na itinuturing kong medyo "ligtas", at patuloy na nagpapahina sa sigasig at determinasyon kung saan ko itinuloy ang aking pananaliksik. Ang aking karanasan ay marahil ay ibinahagi ng iba pang mga mathematician na walang malasakit sa kung ano ang lugar ng kanilang sariling siyentipikong aktibidad sa mundong ito sa pangkalahatang konteksto ng pagiging isang taong interesado, naghihirap at lumilikha.» [M. Kline. Mathematics. Pagkawala ng katiyakan. M.: Mir, 1984. S. 387]. “... Ang estado kung saan tayo ngayon ay may kinalaman sa mga kabalintunaan,” isinulat ni D. Gilbert, “sa matagal na panahon hindi mabata. Isipin: sa matematika - ang modelong iyon ng katiyakan at katotohanan - ang pagbuo ng mga konsepto at ang kurso ng mga hinuha, habang pinag-aaralan, itinuturo at inilalapat ng sinuman ang mga ito, ay humahantong sa kahangalan. Saan hahanapin ang pagiging maaasahan at katotohanan, kung kahit na ang pag-iisip ng matematika mismo ay mali? [D. Gilbert. Mga pundasyon ng geometry. M.-L., 1948. S.349].

Ang mga hindi matagumpay na pagtatangka upang malutas ang mga kabalintunaan ay humantong sa mga mathematician na maniwala na ang mga sanhi ng krisis ay nasa larangan ng mga pangunahing konsepto at pamamaraan ng pangangatwiran. Kailangang pag-isipang muli ang mga prinsipyo ng matematika at iwanan ang ilan sa mga lumang konsepto. At ito, una sa lahat, ay may kinalaman sa muling pagsasaayos ng teorya ng mga set at ang pagpipino ng mismong konsepto ng isang set sa isang ganap na bagong batayan [S. Kleene. Panimula sa metamathematics. M., 1957. S. 42.]. Ang pinaka-ideal ng lohika bilang isang criterion para sa higpit ng mathematical proof ay nawasak. Samakatuwid, ang matematika ay nahaharap sa gawain ng pagpapanumbalik ng dating pagiging maaasahan at pagiging maaasahan ng kaalaman sa matematika. Ang intuitive na katangian ng lohikal na pangangatwiran at ang kaukulang wika ay hindi na angkop sa mga siyentipiko [Kh. Curry. Mga pundasyon ng lohika ng matematika. M., 1969. S. 26.]. Lumilitaw ang tatlong programa sa pananaliksik: lohisismo, pormalismo at intuitionismo.

Ang isang maikling paglihis sa kasaysayan ng modernong matematika ay nagpapakita na sa pundasyon nito, at, dahil dito, ang buong matematikal na natural na agham ay namamalagi pangunahing teorya Nagtatakda ang Cantor na may pangunahing siyentipikong konsepto ng aktwal na infinity. At ang matematika mismo ay napakalapit na konektado sa konsepto ng kawalang-hanggan na madalas itong tinukoy bilang agham ng walang katapusan.

Ang matematika, tulad ng ibang mga agham (at pilosopiya), ay lubos na natutukoy ng mga pangunahing espirituwal at makasaysayang paradigma. Ang paniniwalang ito ay kinumpirma ng mga gawa ni P.P. Gaidenko, na nakatuon sa ebolusyon ng konsepto ng agham sa konteksto ng kasaysayan ng pilosopiya [P.P. Gaidenko. Ang ebolusyon ng konsepto ng agham (pagbuo at pag-unlad ng mga unang siyentipikong programang pang-agham). M. "Science", 1980. – (walang footnote) – [ Elektronikong mapagkukunan]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. At kahit na sa kanyang pananaliksik ang may-akda ay nakatuon sa pakikipag-ugnayan ng siyentipiko at pilosopikal na kaalaman, gayunpaman, ang epekto ng konteksto ng relihiyon sa mga programang pang-agham ay maaaring masubaybayan sa kanila nang hindi gaanong malinaw. Ang impluwensya ng relihiyon, teolohikal na lugar sa nilalaman ng modernong matematika ay nakakumbinsi ring ipinakita sa mga gawa ni V.N. Katasonova [V.N. Katasonov. Mga konseptong pang-agham at pilosopiko ng kawalang-hanggan at Kristiyanismo. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] at A.A. Zenkin [A.A. Zenkin. Transfinite Paradise ni Georg Cantor: Mga kwento sa Bibliya sa bisperas ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/] atbp.

Kaya, ang ideya na ang matematika ay isang libre (independyente) at unibersal na agham na umuunlad ayon sa sarili nitong mga batas ay labis na pinalalaki.

2. Buod ng teorya ng mga set ni G. Kantor.

Isinasaalang-alang ni G. Kantor ang programang pang-agham na Pythagorean-Platonic bilang batayan ng teorya ng mga set, ang pagpuna na ibinigay ni Aristotle, ngunit muling binuhay sa pilosopiya ng Renaissance. Upang patunayan ito, ginagamit ang mga teolohikong argumento ng turong Katoliko. Ang kaisipang pilosopikal at matematika, simula noong ika-15 siglo, ay unti-unting inihanda ang paglikha ng teoryang ito.

Si Georg Cantor ang lumikha ng set theory at theory of transfinite numbers. Ang pangunahing ideya ng kanyang teorya ng walang katapusan na mga hanay ay binubuo sa isang mapagpasyang pagtanggi sa tesis ni Aristotle tungkol sa aktwal na walang katapusan na mga hanay. Ibinatay ni Kantor ang kanyang pag-aaral ng mga walang katapusang set sa ideya ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng pinaghahambing na set. Kung ang gayong pagsusulatan ay maaaring maitatag sa pagitan ng mga elemento ng dalawang hanay, kung gayon ang mga hanay ay sinasabing may parehong kardinalidad, iyon ay, sila ay katumbas o katumbas. "Sa kaso ng mga finite set," isinulat ni Kantor, "ang cardinality ay kapareho ng bilang ng mga elemento." Iyon ang dahilan kung bakit ang kapangyarihan ay tinatawag ding cardinal (quantitative) na numero ng isang naibigay na hanay [P. Stakhov. Sa ilalim ng tanda ng "Golden Section": Pagtatapat ng anak ng isang estudyanteng mag-aaral Kabanata 5. Algorithmic theory of measurement. 5.5. Ang problema ng infinity sa matematika. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Noong 1874, itinatag niya ang pagkakaroon ng hindi katumbas, iyon ay, walang katapusang set na may iba't ibang mga kardinal; noong 1878, ipinakilala niya pangkalahatang konsepto mga kardinal ng mga hanay (sa pagtatalaga ng mga kardinal ng mga hanay na iminungkahi niya at tinanggap sa matematika ng mga titik ng alpabetong Hebreo, malamang na apektado ang kanyang pinagmulang Hudyo, ayon sa kanyang ama). Sa pangunahing gawain na "Sa walang katapusang linear point formations" (1879–84), sistematikong ipinaliwanag ni Kantor ang doktrina ng mga set at natapos ito sa pamamagitan ng pagbuo ng isang halimbawa ng isang perpektong set (ang tinatawag na Cantor set) [Kantor G. On infinite linear mga pormasyon ng punto. // Mga bagong ideya sa matematika, 1994, No. 6, St. Petersburg].

Ang Kantor ay nagbigay ng mathematical na nilalaman sa ideya ng aktwal na kawalang-hanggan. Inisip ni Kantor ang kanyang teorya bilang isang ganap na bagong calculus ng walang katapusan, "transfinite" (iyon ay, "superfinite") na matematika. Ang aktwal na infinity ay, kumbaga, isang "lalagyan" kung saan ang isang serye ng potensyal na infinity ay nagbubukas, at ang lalagyang ito ay dapat na aktwal na data.

Ayon sa kanyang ideya, ang paglikha ng naturang calculus ay dapat na baguhin hindi lamang ang matematika, kundi pati na rin ang metapisika at teolohiya, na mas interesado kay Cantor kaysa sa siyentipikong pananaliksik mismo. Siya ang tanging matematiko at pilosopo na naniniwala na ang aktwal na kawalang-hanggan ay hindi lamang umiiral, ngunit naiintindihan din ng tao sa buong kahulugan, at ang pag-unawang ito ay magtataas ng mga mathematician, at pagkatapos nila ay mga teologo, na mas mataas at mas malapit sa Diyos.. Inialay niya ang kanyang buhay sa gawaing ito. Ang siyentipiko ay matatag na naniniwala na siya ay pinili ng Diyos upang gumawa ng isang mahusay na rebolusyon sa agham, at ang paniniwalang ito ay suportado ng mga mystical na pangitain.

Ang diskarte na ito ay humantong sa Cantor sa maraming mga kabalintunaan na pagtuklas na mahigpit na sumasalungat sa aming intuwisyon. Kaya, hindi tulad ng mga may hangganan na set, na napapailalim sa Euclidean axiom na "The whole is greater than the part", ang mga infinite set ay hindi sumusunod sa axiom na ito. Madali, halimbawa, na itatag ang pagkakapareho ng set ng mga natural na numero at ang bahagi nito - ang set ng even na mga numero sa pamamagitan ng pagtatatag ng sumusunod na isa-sa-isang sulat: [P. Stakhov. Sa ilalim ng tanda ng "Golden Section": Pagkumpisal ng anak ng isang estudyanteng estudyante Kabanata 5. Algorithmic theory of measurement. 5.5. Ang problema ng infinity sa matematika. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Ang isang set, ayon kay Cantor, ay tinatawag na infinite kung ito ay katumbas ng isa sa mga subset nito. Ang isang set ay tinatawag na may hangganan kung ito ay hindi katumbas ng alinman sa mga subset nito. Ang mabibilang na hanay ay isang set na katumbas ng set ng mga natural na numero, dahil ang mga elemento nito ay maaaring mabilang [Ibid.].

Naniniwala si Kantor na ang mga set ng natural, rational at algebraic na numero ay may parehong cardinality, i.e. ay mabibilang [Ibid.].

Sinubukan din ni Cantor na patunayan na ang set N ng mga natural na numero ay maaaring imapa sa isang bahagi ng set R ng mga tunay na numero, habang ang cardinality ng mga tunay na numero ay mas malaki kaysa sa cardinality ng set ng natural na mga numero [Ibid.].

Noong 1886, hinangad ng Kantor na patunayan na wala nang mga puntos sa isang unit square kaysa sa isang unit segment. Samakatuwid, ang kapangyarihan ng dalawang-dimensional na continuum ay katumbas ng kapangyarihan ng continuum ng isang dimensyon [Ibid.].

Ang mga ideya ni Cantor ay naging hindi inaasahan at kontra-intuitive na ang sikat Pranses na matematiko Tinawag ni Henri Poincaré ang teorya ng transfinite na mga numero bilang isang "sakit" kung saan ang matematika ay dapat gumaling balang araw. Si Leopold Kronecker - guro ni Kantor at isa sa mga pinaka iginagalang na mathematician sa Germany - ay personal na inatake si Kantor, tinawag siyang "charlatan", "renegade" at "molester of youth" [Sa mundo ng agham. Scientific American · Russian Edition No. 8 · Agosto 1983 · P. 76–86 / Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory].

Ang teorya ng set ay nagbukas din ng isang bagong pahina sa pag-aaral ng mga pundasyon ng matematika - Ang gawain ni Kantor ay naging posible sa unang pagkakataon na malinaw na bumalangkas ng mga modernong pangkalahatang ideya tungkol sa paksa ng matematika, ang istraktura ng mga teoryang matematika, ang papel ng axiomatics at ang konsepto. ng isomorphism ng mga sistema ng mga bagay, na ibinigay kasama ang mga relasyon na nag-uugnay sa kanila. Ang kanyang set theory ay isa sa mga pundasyon ng matematika.

Sa pilosopiya ng matematika, sinuri ni Kantor ang problema ng infinity. Ang pagkilala sa dalawang uri ng mathematical na walang hanggan - hindi wasto (potensyal) at wasto (aktwal, nauunawaan bilang isang kumpletong kabuuan), - Kantor, hindi katulad ng kanyang mga predecessors, insisted sa legalidad ng operating sa matematika na may konsepto ng aktwal na walang hanggan. Isang tagasuporta ng Platonismo, nakita ni Kantor sa matematikal na aktuwal-walang hanggan ang isa sa mga anyo ng aktwal na walang hanggan sa pangkalahatan, na nakakakuha ng pinakamataas na pagkakumpleto sa ganap na Banal na nilalang.

3. Ang mahusay na paghaharap sa pagitan ng mga Cantorian at mga anti-Cantorian.

Pagpuna ni A.A. Zenkin ng abstract set theory

G. Kantor at "Mga Pagtuturo tungkol sa Transfinite".

Kabilang sa maraming kritikal na panitikan na nakatuon sa set theory ni G. Kantor, ang mga pag-aaral ng Russian mathematician na si A. A. Zenkin ay nararapat na espesyal na atensyon. Ayon sa sikat na matematiko na si A.P. Stakhov, marahil ay siya (Zenkin) ang maglalagay ng huling punto sa pagtatalo sa Kantor at sa paglutas ng krisis sa matematika sa modernong matematika.[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Sa orihinal na artikulong "Transfinite Paradise ni George Kantor. Mga kwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse "Russian scientist na si A.A. Zenkin sinusuri ang mga epistemological flaws sa lohika ng patunay ni Cantor ng hindi mabilang na continuum, batay sa konsepto ng aktwal na infinity[A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Para sa millennia, - ang sabi ni A.A. Zenkin, - ang mga namumukod-tanging siyentipiko at pilosopo gaya ni Aristotle, Euclid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky ay sumuporta at nagbahagi ng negatibong saloobin sa konsepto ng AB , Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, Baer, ​​​​Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin, at ngayon - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Pyotr Vopenka at marami pang iba.

Mula noong 70s ng ika-19 na siglo, nagkaroon ng matinding negatibong saloobin sa teorya ng mga set ni Georg Cantor, batay sa konsepto ng AB. Si A.A. Zenkin ay nagbibigay ng mga halimbawa ng pinakakategoryang mga pahayag na tinutugunan sa kanya. Kaya, dumating si Henri Poincaré sa konklusyon na “walang aktwal na kawalang-hanggan; nakalimutan ito ng mga Cantorian at nahulog sa kontrobersya. Titingnan ng mga susunod na henerasyon ang set theory ni Cantor bilang isang sakit na sa wakas ay gumaling na."[A.Poincaré, Sa Agham. – M.: Nauka, 1983]. Ang nagtatag ng modernong topology, si L. Brouwer, ay hindi gaanong radikal sa kanyang mga pahayag: “ Ang teorya ni Cantor sa kabuuan ay isang pathological na insidente sa kasaysayan ng matematika, kung saan ang mga susunod na henerasyon ay matatakot lamang.[A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Mga pundasyon ng set theory. - M.: "Mir"].

"Gayunpaman, kahit ngayon," ang isinulat ng Russian mathematician, "tulad ng sa simula ng ika-20 siglo, mayroong isang "mahusay na paghaharap" sa pagitan ng meta-mathematical na lohika ng mga Cantorian, na kinikilala ang pagiging lehitimo ng "Pagtuturo sa Pagtuturo ng Cantor" Transfinite” sa anyo ng “non-naive” (tingnan sa ibaba) na mga bersyon nitong "Pagtuturo", i.e. sa anyo ng modernong axiomatic set theory (simula dito - ATM), batay sa (tacit - tingnan sa ibaba) na paggamit ng konsepto ng AB, at ang mathematical intuition ng mga anti-Cantorian na tumatanggi sa konsepto ng AB at G. Cantor's "Doctrine ng Transfinite" batay sa konseptong ito" [ A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Ang paggamit ng konsepto ng AB ay humahantong sa mga kabalintunaan ng lohika at matematika, ang mga mekanismo ng henerasyon na nananatiling hindi natuklasan hanggang ngayon. Kaugnay nito, ang pagsisiwalat ng lohikal na katangian ng mga kabalintunaan at ang pagiging lehitimo ng paggamit ng konsepto ng AB sa matematika ay may kaugnayan ngayon. Itinuro nina Frenkel at Bahr-Hillel na walang ganap sa tradisyunal na interpretasyon ng lohika at matematika na maaaring magsilbing batayan sa pag-aalis ng antinomy ni Russell.<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Naniniwala kami na ang anumang mga pagtatangka na makawala sa sitwasyon sa tulong ng tradisyonal ... mga paraan ng pag-iisip, sa ngayon ay palaging nabigo, ay malinaw na hindi sapat para sa layuning ito. Ang ilang pag-alis mula sa karaniwang paraan ng pag-iisip ay malinaw na kinakailangan, bagaman ang lugar ng pag-alis na ito ay hindi malinaw nang maaga” [A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Mga pundasyon ng set theory. - M.: "Mir"].

Ang abstract set theory at ang paninindigan nito sa modernong agham, ayon kay A.A. Zenkin, ay isang matingkad na halimbawa ng pseudo-science, isang hindi pa nagagawang kaso ng paglikha ng maling mito sa agham sa pamamagitan ng paggamit ng mga teknolohiyang PR.

Bukod dito, hindi sinasadyang ibinunyag ni A.A. Zenkin ang tunay na walang kinikilingan na esensya ng modernong agham bilang isang institusyong panlipunan: “ATM - ang inisyatiba ay nagbunga ng isang malakihang negatibong kababalaghan tulad ng bourbakism, i.e. sobra-sobra, hindi kailangan, walang kabuluhan, nakakabigla, nakakabigla at nakaka-zombifying na pormalisasyon ng matematika at edukasyong matematika. Inilarawan ang mga negatibong kahihinatnan ng naturang burbakization, isang natitirang Russian mathematician at guro, ang akademikong si V.I. Arnold ay sumulat: "Sa kalagitnaan ng ika-20 siglo, ang mafia ng "left-hemispheric mathematician", na may malaking impluwensya, ay nagawang ibukod ang geometry mula sa matematika. edukasyon ... pinapalitan ang buong bahagi ng nilalaman ng disiplinang ito ng pagsasanay sa pormal na pagmamanipula ng mga abstract na konsepto. Ang ganitong abstract na paglalarawan ng matematika ay hindi angkop para sa pagtuturo o para sa anumang praktikal na aplikasyon. Modernong pormal (burbakized) na edukasyon sa matematika - ganap na kabaligtaran pagtuturo ng kakayahang mag-isip at ang mga pangunahing kaalaman sa agham. Ito ay mapanganib para sa lahat ng sangkatauhan. Ang kinabukasan ng matematika na nahawaan ng sakit na ito ay mukhang madilim” [A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Ang Russian mathematician ay bumalangkas ng apat na halimbawa ng "kasinungalingan para iligtas ang ATM ni H. Kantor":

Magsinungaling ka muna. "Ang matematika ay ang reyna ng lahat ng agham, at ang ATM ay ang reyna ng matematika"! Sa pagkakataong ito, isinulat ni A.A. Zenkin na niloloko ng modernong ATM ang propesyonal na komunidad ng matematika at ni-zombifie ang kabataang henerasyon ng mga mathematician. Ang mga Cantorian ay nangangatuwiran na kung sa simula ng ika-20 siglo maraming mga namumukod-tanging mathematician ang tiyak na tumanggi sa ATM bilang isang pseudo-science, ngayon, "ang mga modernong mathematician, sa wakas, naliwanagan tungkol dito na ang lahat ng infinities ay kaugnay nagbago ang kanilang isip sa paksa na ang teorya pangwakas Ang mga natural na numero ay "derivable" mula sa teorya transfinite mga numero, na ang konsepto ng isang walang laman na hanay ay hinihinuha mula sa konsepto ng isang aktwal na walang katapusan na hanay, na lahat ng modernong matematika ay maaaring makuha sa ATM at opisyal na kinikilala na "Ang Matematika ay ang Reyna ng lahat ng agham, at ang ATM ay ang Reyna ng Matematika"! Sumasang-ayon ang lahat ng kahapon sa ATM ngayon na ang ATM ay pambihirang tagumpay modernong matematika, isang tagumpay na nagpabago sa mukha ng lahat ng matematika noong ika-20 siglo” [Ibid.].

"Ito ay isang empirical na katotohanan," Martin Davis at Reuben Hersh ay nag-zombify na ng siyentipikong komunidad ngayon, " na halos 90% ng mga nagtatrabahong mathematician tinanggap ang set theory ni Cantor, kapwa sa teorya at sa praktika, sa ilang lawak» [Ibid.].

Pagkatapos, tulad ng sa katunayan, sinabi ni A.A. Zenkin, ang mga Cantorians ay sadyang tuso at hindi gumagawa ng makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng wika ng abstract set theory at ng doktrina ni Cantor ng transfinite ordinals at cardinals. Sa katunayan, ang wika ng set theory ay naging isang unibersal na wikang matematika. Habang ang doktrina ng transfinite ordinals at cardinals, dahil sa kanilang ganap na kawalang-silbi, 90% ng mga talagang nagtatrabahong mathematician ay hindi nalalapat kahit saan. Sa natitira, 9% ng mga mathematician ay tiyak na hindi tumatanggap ng doktrinang ito, at 1% lamang ang mga ATM-adept o Bourbakist.

Pangalawang kasinungalingan. Ang batayan ng modernong ATM ay isang maliwanag na pseudo-siyentipiko, semi-kriminal na "paraan ng paglutas" ng pangunahing siyentipikong tanong tungkol sa lohikal na kalikasan mathematical infinity . Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang set theory ni Cantor, batay sa konsepto ng AB, ay idineklara na "walang muwang", at ang terminong AB mismo ay inalis sa mga hangganan ng isang kagalang-galang na meta-mathematical science. Isa ito sa pinakamabisang kampanya sa PR na ipinatupad sa kasaysayan ng agham.

Gayunpaman, hiniram ng modernong teorya ng ATM mula sa teoryang "walang muwang" ang teorama sa hindi mabilang na continuum, ang patunay nito ay batay sa paggamit ng malinaw na kontradiksyon na konsepto ng AB. Kaugnay nito, isinasaalang-alang ni A.A. Zenkin ang teorya ng mga set ng Cantor bilang isa sa mga pangunahing mapagkukunanAng Ikatlong Dakilang Krisis ng Mga Pundasyon ng Matematika, na nagpapatuloy hanggang ngayon.

Pangatlong kasinungalingan. Ang mga kondisyon para sa pagpapatunay ng ATM ay hindi tahasang nabalangkas, ngunit ipinahiwatig sa antas ng mga probisyong pilosopikal. Mula sa punto ng view ng klasikal na lohika at matematika, ang "AB assumption" ay isang kinakailangang kondisyon para sa pagbabawas ng karamihan sa mga teorema ng ATM.

Pang-apat na kasinungalingan. Nabigo ang set theory, sa huli, upang maalis ang potensyal sa pamamagitan ng siyentipikong pamamaraan, ibig sabihin. patunayan ang hindi pagkakatugma ng konsepto ng PB. Ang ATM ay pumunta sa ibang paraan. Ipinahayag niya ang problema ng pagiging lehitimo ng paggamit ng AB bilang isang pilosopikal. Nakikita ito ni A.A. Zenkin bilang instinct ng pag-iingat sa sarili ng mga tagasuporta ng ATM, dahil ang pagtatangkang magbigay ng mahigpit na kahulugan ng konsepto ng AB ay hahantong sa isang malinaw na pag-unawa sa hindi pagkakapare-pareho nito. At ito ay malalagay sa alanganin ang mahusay na pinondohan at nakagawian ang kapakanan ng mga regular na ATM sa "transfinite paradise" ng Cantor. Sa ganoong semi-kriminal at pseudo-siyentipikong paraan, ang ATM - "clan", ay humarap sa mga kalaban nito.

At sa wakas, ang ikalimang kasinungalingan. Pagpapataw ng isang "kuwento ng katatakutan" sa komunidad ng matematika na ang patunay ng Uncountable Continuum Theorem ay napakahirap na ito ay magagamit lamang sa mga piling propesyonal . Maraming mga mathematician ang naniwala sa mito na ito at inamin ang kanilang kawalang kakayahan kapag tinatalakay ang pangunahing teorama ni Cantor tungkol sa hindi mabilang ng continuum. Bilang patunay ng maliwanag na kasinungalingan ng mito na ito, iminungkahi ni A.A. Zenkin na ihambing ang pamamaraan ng pagpapatunay ng Cantor theorem at ang kilalang Pythagorean theorem.

Sa Pythagorean theorem, ang sabi ni A.A. Zenkin, tatlo (!) mga konseptong elementarya matematika (konsepto kanang tatsulok, ang konsepto ng pagkakapareho ng mga tatsulok, ang konsepto ng proporsyon) at tatlong (!) na mga operasyong matematika ay ginaganap: dalawang multiplikasyon at isang karagdagan algebraic expression. Ang mismong patunay (nang walang larawan) ay tumatagal ng 5 (limang!) na linya. Gumagamit ang patunay ni Cantor ng tatlong (!) elementaryang konsepto ng matematika (ang konsepto ng natural na numero, ang konsepto ng tunay na numero, at ang konsepto ng walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga enumerated real number) at hindi isang solong (!) mathematical operation ang ginagawa. Ang patunay mismo ay tumatagal ng 5 (limang!) na linya, na nakasulat sa wika ng elementarya na lohika ng ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo[Ibid].

Ang katumpakan ng patunay na ito ay nakakatugon sa mga seryosong pagtutol mula sa mga kilalang mathematician, logicians at pilosopo. " Sa paradigm na implikasyon nito para sa pilosopiya, lohika, matematika, at sikolohiya ng kaalaman, ang teorama ni Cantor ay walang kapantay. Ang ganitong kakaibang epistemological "fate" ng mga theorem na ito, na magkatulad sa pormal na pamantayan (at sa "pagsigawan" na walang kabuluhan ng mga patunay), ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang patunay ng teorama ni Cantor ay gumagamit ng (implicitly) na magkasalungat na konsepto ng aktwal na kawalang-hanggan» [Ibid.].

Hindi huminto si A.A. Zenkin sa argumentong ito at direktang nagpapatuloy sa pagsusuri ng diagonal na pamamaraan (DM) bilang patunay ng teorama ng Cantor sa hindi mabilang na continuum.

Isinasaalang-alang ang canonical form ng DM, ang Russian scientist ay dumating sa konklusyon na "ang kanyang (Cantor's) diagonal na patunay ng quantitative incommensurability ng dalawang infinite set X at N ay batay sa katotohanan na ang isang infinite set X ay palaging naglalaman ng isang karagdagang elemento (Cantor's bagong AD-d.h. x*), para sa enumeration kung saan, "gaya ng nakasanayan", mayroong isang elemento na nawawala mula sa walang katapusan na set N, o, pormal, mula sa katotohanan na ang walang katapusan na set X ay may isa pang elemento kaysa sa walang katapusan na set N. Sa tingin ko ito ay - ito ay tiyak na lugar sa patunay ni Cantor na palaging sanhi ng kategoryang pagtanggi (pagtanggi) sa bahagi ng siyentipikong intuwisyon ng mga natitirang propesyonal sa matematika (tingnan ang Listahan-1)” [Ibid.]. Si A.A. Zenkin ay nagbigay ng pagtatasa ng gayong katibayan ni Wittgenstein: "Ang isang tao ay nagtatrabaho araw-araw sa pawis ng kanyang noo - siya ay gumagawa ng isang listahan ng lahat ng tunay na mga numero, at ngayon, kapag ang listahan ay sa wakas ay natapos, isang salamangkero ay lilitaw, kinuha ang dayagonal ng listahang ito at sa harap ng kanyang mga mata ng nagtatakang madla, sa tulong ng isang medyo "esoteric" na algorithm, ay nagiging ... isang anti-diagonal, i.e. sa isang bagong AD-real number na wala sa orihinal na listahan . Ng ganyang klaseAng diagonal proof ng Cantor ay isang aktibidad para sa mga idiot na walang kinalaman sa tinatawag na deduction sa classical logic..

Bukod dito, natuklasan ng Russian mathematician sa unang pagkakataon natatanging katotohanan sa patunay ni Cantor. Ang pangunahing punto ng patunay ni Cantor ay ang tahasang paggamit ng counter-example na paraan. At "ang kontra-halimbawa mismo ay hindi matatagpuan sa hanay ng lahat ng posibleng pagsasakatuparan ng isang ibinigay pangkalahatan assertions, ngunit algorithmically deduced mula sa pangkalahatang assertion na ang counterexample na ito ay inilaan upang pabulaanan (sa form deduktibo output , dito B= "list (1) ay naglalaman ng lahat ng d.h. mula sa X”)” [A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Bilang resulta ng pagkakakilala ng mga propesyonal sa ATM sa pagkatuklas kay A.A. Zenkin, lumitaw ang isang matalim na kontrobersya, kung saan "lahat ng pekeng propesyonalismo ng isang bilang ng mga kinikilalang awtoridad ng ATM ay tiyak na ipinakita sa larangan ng elementarya na lohika" [Ibid.] .

Sa pagbubuod ng mga resulta ng kontrobersya, dumating si A.A. Zenkin sa sumusunod na hindi inaasahang konklusyon: "Ang isang iskandalosong sitwasyon ay lumitaw! – Sa loob ng higit sa isang daang taon, ang mga natitirang (at hindi ganoon) mga propesyonal sa larangan ng meta-matematika, lohika ng matematika, teorya ng axiomatic set at iba pang mga Bourbakist ay nagtuturo (mas tama, nag-zombify) ng mga bagong henerasyon ng mga mag-aaral bawat taon, "kung paano upang patunayan nang tama" ang hindi mabilang ng continuum gamit ang sikat na diagonal na paraan na Cantor, ganap na hindi nauunawaan ang lohikal na katangian ng pamamaraang ito!

Tunay, "isang pathological na insidente kung saan, ayon kay Brouwer, ang mga susunod na henerasyon ay masisindak"! - O, sa halip, tatawa sila "mula sa kaibuturan ng kanilang mga kaluluwa", ngunit ... "hanggang sa tuluyan akong mahulog." - Sa kanino? - Iniisip ko ang tungkol sa 90% ng mga "nagtatrabaho" na mathematician na sa loob ng isang buong siglo ay "ganap na walang interes" na pumayag sa kanilang "reyna ng lahat ng agham" para sa malinaw na "maling paggamit" ng "mga pasyente sa kaliwang utak". Sapagkat ang pagtawanan sa maysakit, kahit ang kaliwang utak, ay makasalanan at walang kabuluhan.[Ibid].

Kinumpleto ng Russian mathematician ang kritikal na pagsusuri ng patunay ng DMC sa kuwento ng dramatikong kabalintunaan ni David Hilbert na iminungkahi mga 80 taon na ang nakakaraan. Noong 1920s, si D. Hilbert, upang maipakita ang mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng finite at infinite set sa set theory ni Cantor, ay nagmungkahi ng isang tanyag na kabalintunaan sa ilalim ng pangalang "Grand Hotel". Ang pagtatanghal ng kabalintunaan mismo ay medyo mahirap, kaya hayaan nating bumalangkas ang kakanyahan nito. Ang kabalintunaan ng "Grand Hotel" ay nagpapakita ng isang pangunahing pag-aari ng mga walang katapusan na hanay: "... kung ang isang may hangganan o mabibilang na walang katapusan na hanay ay idinagdag sa isang walang katapusan na hanay, kung gayon ang kardinalidad ng unang hanay ay hindi magbabago" [Ibid.].

Ang paghahambing ng DMC proof sa D. Hilbert's paradox, A. A. Zenkin ay dumating sa isang kapansin-pansing konklusyon: ang DMC proof ng uncountability ng continuum ay isang deductive model (sa kahulugan ng Tarski) ng D. Hilbert's "Grand Hotel" paradox.

Sa kabalintunaan ni D. Hilbert, nakikitungo tayo sa isang posibleng walang katapusan na proseso, na mayroong sumusunod na pangunahing katangian: hanggang sa matapos ang prosesong ito, “Walang (lohikal at mathematical) na dahilan upang igiit na mali ang pagpapalagay na "X is countable". Samakatuwid, kung sakaling ang set Y 1 ay countably infinite, ang pahayag ng Cantor's Theorem "X is uncountable" ay unprovable"[Ibid].

Ang mga argumento sa itaas, ang pagtatapos ni A.A. Zenkin, ay nagpapahiwatig na "Ang teorama ni Cantor sa hindi mabilang ng continuum ay hindi mapapatunayan. Nangangahulugan ito na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga infinity ayon sa bilang ng mga elemento ay gawa-gawa. Ngunit kung ang hindi mabilang ng continuum ay hindi mapapatunayan, kung gayon ang teorya ni G. Cantor ng transfinite set ay hindi lamang "walang muwang", ngunit lantad na pseudo-science, at samakatuwid ang transfinite na "paraiso" ni G. Cantor ay maaaring isara nang walang anumang pinsala sa talagang "paggawa. "matematika"[Ibid].

Sa pagtatapos ng pagtatanghal ng mga kritikal na pag-aaral ni A.A. Zenkin sa teorya ng walang katapusang set ni Georg Kantor, nais kong bigyang-diin ang kahalagahan ng kanyang sumusunod na konklusyon. Ang teorama ni Cantor ay hindi tama mula sa pananaw ng klasikal na lohika ni Aristotle.

4. Pagpuna sa axiomatic approach ng A.A. Zenkin

Ang axiomatic approach na iminungkahi ni A. Zenkin para sa konsepto ng AB at PB ay, mula sa aming pananaw, hindi tama sa pamamaraan.

Ang axiom ni Aristotle at ang axiom ni Cantor ay nabuo sa pamamagitan ng konsepto ng infinity, na hindi mahigpit at pormal na tinukoy. Batay sa pormulasyon ng mga axiom, sumusunod na ang PB at AB ay mga uri ng walang hanggan tulad nito, i.e. mabait.

Pangalawang sandali. Ang konsepto ng PB at AB Aristotle ay isinasaalang-alang sa batayan ng kanyang sariling doktrina ng pagiging at kakanyahan batay sa mga batas ng klasikal na lohika (tradisyonal). Habang si Cantor, sa kanyang teorya ng mga set, ay nagpatuloy mula sa Pythagorean-Platonic research program. Ang doktrina ng pagiging at esensya ni Plato ay alternatibo sa peripatetic philosophy at naaayon sa dialectical logic at ang prinsipyo ng coincidence of opposites.

Hindi isinasaalang-alang ni Aristotle ang mga konsepto ng AB at PB bilang magkasalungat, pangunahin dahil ang konsepto ng infinity ay napaka-espesipiko at ang mga prinsipyo at batas ng tradisyonal na lohika ay hindi naaangkop dito. Tinawag ito ni Aristotle na isang hindi lehitimong konsepto, na sa pangkalahatan ay hindi ibinibigay sa alinman sa ating damdamin o pag-iisip. Ang Walang-hanggan ay umiiral lamang sa posibilidad, hindi sa katotohanan. Sapagkat kung ito ay umiiral sa katotohanan, ito ay isang tiyak (tiyak) na dami, o isang may hangganang halaga. Samakatuwid, ang walang hanggan ay umiiral bilang isang pag-aari.

Ang Infinity, ayon kay Aristotle, ay kung saan, ang pagkuha ng isang tiyak na halaga, maaari mong palaging kumuha ng isang bagay pagkatapos nito. At kung saan walang bagay sa labas, ito ang kabuuan. Ang walang hanggan ay yaong wala sa isang bagay, na nasa labas nito. "Ang buo at limitado (walang hanggan) ay wala sa sarili nito, ngunit may kaugnayan sa iba; at dahil ito ay walang hanggan, hindi ito niyayakap, ngunit niyakap. Samakatuwid, hindi ito nakikilala bilang walang katapusan, dahil ang bagay [gaya ng] ay may walang anyo. Kaya, malinaw na ang walang katapusan ay umaangkop sa kahulugan ng isang bahagi sa halip na isang kabuuan, dahil ang bagay ay bahagi ng kabuuan, tulad ng tanso para sa isang tansong estatwa. naiintindihan na "malaki" at "maliit" ay dapat na yakapin ang mga naiintindihan na [mga ideya], ngunit ito ay walang katotohanan at imposible para sa hindi alam at hindi tiyak na yakapin at tukuyin" [Aristotle. Mga nakolektang gawa sa 4 na volume. V.3, Moscow, "Thought ", 1981, p.120 ].

Dahil dito, isinasaalang-alang ni Aristotle ang konsepto ng kawalang-hanggan na malapit na nauugnay sa mga pangunahing kategorya ng kanyang pilosopiya: anyo - bagay, posibilidad - katotohanan, bahagi - ang kabuuan. Sa kontekstong ito, ang konsepto ng AB ay hindi sumasalungat sa PB, ngunit ganap na hindi maiisip mula sa punto ng view ng lohika ni Aristotle. Ang kontradiktoryal na PB ay sa halip ay ang konsepto ng may hangganan, bilang ang kaugnayan ng hindi tiyak at ang tiyak. Kung ang PB ay isinasaalang-alang sa konteksto ng isang bahagi - isang buo, kung gayon ang kahulugan ng isang bahagi ay mas angkop para dito. Pagkatapos kaugnay nito, ang aktwal na walang hanggan ay higit na tumutugma sa konsepto ng kabuuan. Sa kasong ito, ang PB ay isang konsepto na nasa ilalim ng konsepto ng AB. Ganito mismo ang interpretasyon ni G. Kantor.

Kaya, para kay Aristotle, maaari lamang magsalita ng kawalang-hanggan sa tanging kahulugan ng PB. Ang isang konsepto ay hindi maaaring nauugnay dito, na hindi kinikilala bilang isang konsepto, i.e. AB. At ang mismong konsepto ng PB ay indefinite, unknowable at walang realidad.

Ito ang espesyal na katayuan ng konsepto ng kawalang-hanggan, na binanggit ni Aristotle, na hindi nagpapahintulot sa amin na ilapat ang mga tradisyonal na operasyon ng pormal na lohika dito. Ang konsepto ng PB ay hindi isang mathematical object sa mahigpit na kahulugan ng salita.

Na ang konsepto ng infinity ay hindi nabibilang, sa mahigpit na kahulugan, sa matematika ay sumusunod mula sa mga kahulugan ng numero at magnitude. Narito muli ang kahulugan ni Aristotle. “Ang dami ay yaong nahahati sa mga bahaging bahagi, na ang bawat isa, dalawa man o higit pa sa kanila, ay likas na isang bagay na isa at isang tiyak na bagay. Ang bawat dami ay isang set kung ito ay mabibilang, at magnitude kung ito ay masusukat. Ang isang set ay kung ano ang nahahati sa hindi tuloy-tuloy na mga bahagi, isang dami - sa tuluy-tuloy na mga bahagi ... Sa lahat ng mga dami na ito limitado ang set ay numero limitado haba ng linya, limitado lapad - patag, limitado ang lalim ay ang katawan” [Aristotle. Op. sa 4 na volume. Tomo 1. M.: Thought, 1976, p.164]. Mula sa sipi sa itaas ni Aristotle ay sumusunod na ang pangunahing paksa ng matematika ay ang konsepto ng magnitude at numero. Ang numero ay isang limitadong hanay, ang halaga ay isang limitadong geometric na espasyo (linya, eroplano, katawan). Ang unlimited set at unlimited space ay infinity, bilang dalawang anyo ng quantity, walang hangganan, dulo o limitasyon. Samakatuwid, ang mga ito ay hindi tiyak, at samakatuwid ay hindi malalaman.

At saka, Ang kawalang-hanggan para kay Aristotle ay isang pag-aari ng pag-iisip, una sa lahat, at hindi ang paksa ng pisika o matematika. « Ang magtiwala sa pag-iisip sa tanong ng walang katapusan ay walang katotohanan, dahil ang labis at kakulangan (sa kasong ito) ay wala sa bagay, ngunit sa pag-iisip. Pagkatapos ng lahat, ang bawat isa sa atin ay maaaring maisip sa isip ng maraming beses na higit pa kaysa sa kanya, na tumataas ito sa kawalang-hanggan, gayunpaman, hindi dahil ang isang tao ay nasa labas ng lungsod o may ilang sukat dahil ang isang tao ay nag-iisip sa ganitong paraan, ngunit dahil ito ay gayon [sa aktwal] ; at ang katotohanan [na ang isang tao ay nag-iisip sa ganitong paraan] ay magiging [para sa kanya] isang aksidenteng pangyayari” [Ibid.]. Kung ang walang hanggan ay hindi umiiral sa bagay, kung gayon ano ang ating axiomatize - ang aktibidad ng pag-iisip? At ano ang kinalaman ng matematika dito? Para sa paksa nito ay puro dami: numero at magnitude?

Ang konsepto ng aktwal na infinity Cantor constructs, sumusunod sa tradisyon ng Pythagoreans, na, bilang Aristotle testifies, "binubuo magnitude mula sa mga numero." Naniniwala ang Kantor na ang tuluy-tuloy na dami ay maaaring masukat sa pamamagitan ng isang numero bilang isang tunay na hanay ng mga hindi mahahati na yunit. Malinaw na ang ganitong paraan ay ganap na hindi katanggap-tanggap para kay Aristotle. Para sa kanya, ang halaga ay nahahati lamang sa mga bahaging mahahati. Samakatuwid, ang isang dami ay hindi maaaring binubuo ng mga hindi mahahati. Kung hindi, ang mga aporia ni Zeno tungkol sa kontradiksyon ng paggalaw ay hindi malulutas, at magiging imposible rin na ipaliwanag ang posibilidad ng paggalaw, ang pagpapatuloy ng oras at espasyo.

Ayon sa axiom ni Kantor, ayon kay Zenkin, kasunod nito na itinatanggi niya ang potensyal na infinity. Hindi lamang tinanggihan ng Kantor si PB, ngunit hindi ito itinuring na talagang walang katapusan. Para sa kanya, ang PB ay isang variable finite quantity. Bukod dito, naniwala siya na kung kukuha ka ng PB, mas dapat kang kumuha ng AB.

Ang konklusyon ay ang mga sumusunod. Ang mga axioms ng Aristotle at Cantor, na binuo ni Zenkin, ay hindi nagpapakita ng aktwal na saloobin sa konsepto ng PB at AB ng Aristotle at Cantor. Sa parehong mga axiom, sa axiom ni Aristotle (4th century BC): "Lahat ng infinite sets are potentially infinite sets", at sa mahigit isang daang taon ng de facto na umiiral at contradict Cantor's axiom (XIX century AD): "Lahat ng infinite sets ay aktuwal-walang hanggan set" [tingnan ang A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], ang generic na konsepto ng "infinite set" ay tinukoy sa pamamagitan ng uri nito. Sa axiom ni Aristotle - sa pamamagitan ng potentially-infinite sets, sa Cantor's axiom - sa pamamagitan ng actually-infinite sets. Ni ang konsepto ng PB o AB ay mga bagay sa matematika sa mahigpit na kahulugan ng salita, dahil umiiral lamang ang mga ito sa posibilidad, ay hindi alam at hindi tiyak. Ang konsepto ng AB at PB ay hindi isang numero o isang magnitude, ngunit isang pag-aari ng aming abstract rational na pag-iisip.

Ang lahat ng nasa itaas ay walang kinalaman sa bahaging iyon ng gawain ni Zenkin, kung saan pinatunayan niya, sa batayan ng klasikal na lohika, na ang teorama ni Cantor sa hindi mabilang na continuum ay hindi mapapatunayan. Ipinakita ni Zenkin na ang Cantor's Diagonal Method (DMC), na pinagbabatayan ng patunay ng theorem, ay isang tiyak na bersyon ng isang counter-example na kilala ni Pythagoras at Euclid. At ang sikat na kabalintunaan na "Grand Hotel" ni D. Hilbert ay isang deductive na modelo (sa kahulugan ng A. Tarsky) ng DMC-patunay ng uncountability ng continuum ni G. Kantor. Batay sa modelong ito, napagpasyahan ni Zenkin na ang patunay ng DMC ay hindi tama mula sa punto ng view ng klasikal na lohika. Samakatuwid, walang mga hindi mabibilang na hanay, at lahat ng walang katapusan na hanay ay may parehong kardinalidad. Kaya, ang buong engrande na "Pagtuturo tungkol sa Transfinite" ni G. Kantor ay gumuho.

Kaya, ang pangunahing konklusyon na nagmumungkahi sa sarili nito sa maingat na pag-aaral ng teorama sa hindi mabilang na continuum at ang teorya ng mga transfinite na numero ng Cantor batay dito, ay ang kasinungalingan nito ay medyo madali (tulad ng ipinakita ni A.A. Zenkin) na pinabulaanan sa batayan ng Aristotle's klasikal na lohika.

At hindi gaanong mahalaga, ang huling konklusyon. Ang teorya ni Cantor ay hindi isang aksidenteng phenomenon sa European mathematics, ngunit isang natural na resulta ng pagkakakilanlan ng mga konsepto ng numero at magnitude, na humantong sa unti-unting arithmetization ng matematika, ang speculativeness nito at hindi katamtamang abstractness.

5. Ang misteryo ng potensyal na kawalang-hanggan

Ang isang pare-parehong mahalagang tanong, na hindi sinasadyang itinaas ni Zenkin nang patunayan ang hindi pagkakapare-pareho ng teorama ni Cantor sa hindi mabilang na continuum, ay direktang nauugnay sa kakanyahan ng potensyal na infinity na kinikilala sa matematika.

Noong 1920s, iminungkahi ni David Hilbert ang isang tanyag na kabalintunaan na tinatawag na "Grand Hotel" (pagkatapos nito, para sa kaiklian, GO), na naglalarawan ng pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng finite at infinite set sa Cantor's (pati na rin sa modernong axiomatic) set theory. Hindi namin ipapakita ang kabalintunaan mismo, dahil ito ay medyo mahirap. Ang nilalaman nito ay napakalinaw nitong ipinapakita ang pangunahing katangian ng mga infinite set: kung ang isang finite o countably infinite set ay idinagdag sa isang infinite set, kung gayon ang cardinality ng unang set ay hindi magbabago.

Ipinapakita ni Zenkin na ang patunay ng DMC ng hindi mabilang na continuum ay isang deductive na modelo (sa kahulugan ng Tarski) ng GO paradox ni D. Hilbert [A.A. Zenkin. Transfinite na paraiso ng Georg Kantor: Mga kuwento sa Bibliya sa threshold ng Apocalypse. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Ang pagkakaroon ng itinatag na sa paraan ng DNA na hindi ginagamit ng Kantor ang proseso ng AB, ngunit ang proseso ng PB, sinabi ni Zenkin na walang makakaalam ng katotohanan ng assertion ng theorem na ito, dahil ang walang katapusang proseso ay walang huling elemento.

Ipinakita ni Zenkin na ang aktwal na infinity ni Cantor, pagiging kailangan kondisyon ng DMC patunay ng hindi mabilang ng continuum, sa katunayan, ay potensyal- walang katapusang talakayan. "Ito ang nagpapatunay na" pangkasalukuyan" at "walang hanggan" sa balangkas ng patunay ni Cantor. Ang mga theorems sa hindi mabilang ng continuum ay (logically at algorithmically) magkasalungat mga konsepto, at, dahil dito, ang mga konsepto ng " pangkasalukuyan"at" pangwakas»ay algorithmically magkapareho» [Ibid.]. At kung ito ay isang potensyal na walang katapusan na pahayag, kung gayon ang katotohanan nito ay hindi maitatag, dahil ang isang walang katapusang proseso ay walang huling elemento. Ang konklusyon ni Zenkin na ito ay nagpapatunay sa aming palagay na ang paniwala ng may hangganan, at hindi AB, ay sumasalungat sa paniwala ng PB.

Kaya, isinulat ni Zenkin, unang napatunayan mahusay na intuitive providence (at babala!) ni Aristotle, Euclid, Leibniz, at marami pang iba (tingnan ang Listahan-1) mga natatanging logician, mathematician at pilosopo na “ aktwal na kawalang-hanggan" ay isang salungat sa loob konsepto (tulad ng " tapos na(ni Cantor) kawalang-hanggan”) at samakatuwid ang paggamit nito sa matematika ay hindi katanggap-tanggap” [Ibid.].

Sa kasamaang palad, upang patunayan ang panloob na hindi pagkakapare-pareho ng konsepto ng aktwal (nakumpleto, i.e. nakumpleto, may hangganan) kawalang-hanggan ay, sa isang tiyak na lawak, walang kabuluhang gawain, dahil sa halatang direktang hindi pagkakapare-pareho nito. Sa loob ng balangkas ng klasikal na lohika ng Aristotelian, imposible lamang ito. Sa konteksto ng haka-haka (dialectical) na lohika, na tumatanggi sa batas ng kontradiksyon, ito ay lubos na katanggap-tanggap.

Natuklasan din ni Zenkin na ang canonical form ng "diagonal" na patunay ng Cantor ng uncountable continuum theorem ay kapareho ng canonical infinite form (P2) ng "Liar" na kabalintunaan:

"May nagsasabi na "Ako ay sinungaling". - Siya ba ay isang sinungaling? Kung siya ay isang sinungaling, kung gayon siya ay nagsisinungaling, na sinasabing siya ay isang sinungaling; kaya hindi siya sinungaling. Ngunit kung siya ay hindi isang sinungaling, kung gayon siya ay nagsasabi ng katotohanan, na sinasabing siya ay isang sinungaling; samakatuwid, siya ay isang knave, o, sa madaling salita (dito A = "Ako ay isang knave"): at [ØA ® A] (P1)" [Ibid.]

Sinabi rin ni Zenkin, "Ang simulation ng sinungaling na kabalintunaan ay hindi sa isang analog na computer ay nagpapatunay. Na ang kabalintunaang ito ay walang hangganang anyo, ngunit ang sumusunod na walang hanggan A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) at walang lohikal at matematikal na mga dahilan, dahilan o batayan para sa pagkumpleto nito potensyal-walang katapusang proseso” [Ibid.].

Bilang isang resulta, ang Russian mathematician ay gumawa ng isang kawili-wiling konklusyon. “Dapat bigyang-diin na ang infinite form (P2) ang nagpapatupad ng kailangan at sapat kundisyon (sa mahigpit na lohikal at mathematical na kahulugan) ng mismong kababalaghan ng kabalintunaan. Sa kasong ito, ang tunay na "semantika" ng kabalintunaang ito ay hindi na ang pahayag na "Ako ay isang sinungaling" "ay hindi maaaring totoo o mali", ngunit ang pahayag na ito, sa kabaligtaran, ay pareho. parehong totoo at mali"sa parehong oras, sa parehong lugar at sa parehong paggalang." Sa madaling salita, sa "Sinungaling" na kabalintunaan sa anyo (P2), ang katotohanan at kasinungalingan ay magkahalong-halo, na nangangahulugan na ang katotohanan at kasinungalingan ay nagiging hindi makilala" [Ibid.].

Mahirap hindi sumang-ayon dito. Ayon kay Plato, ang infinite ay yaong may walang tiyak na quantitative na katangian at hindi nagpapahintulot ng mahigpit na kahulugan. Tinatawag niya ang walang katapusan na "indefinite duality", ito ay palaging may dalawang kahulugan at hindi maaaring magkaroon ng isang kahulugan, hindi matukoy.“... ang walang katapusan ay maaaring umiral bilang isang araw na umiiral o bilang isang kompetisyon - sa kahulugan na ito nagiging palaging iba at iba» [P.P. Gaidenko. Ang kasaysayan ng pilosopiyang Griyego sa koneksyon nito sa agham. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Ang tanong ay lumitaw, ano ang lohikal na kahulugan ng Platonic na konsepto ng walang katapusan bilang isang proseso ng "pagiging palaging naiiba at naiiba"? Sa aming opinyon, ang mismong konsepto ng potensyal na kawalang-hanggan ay tuwirang naglalaman ng isang prinsipyo na tumatanggi sa batas ng kontradiksyon. Ang "iba pa at iba pa," sa halip na "iba pa," ay ang prinsipyo ng kawalan ng katiyakan. Kung ang batas ng kontradiksyon sa interpretasyon ni Aristotle ay nabuo tulad ng sumusunod: "Imposible na ang parehong bagay ay maging at hindi likas sa parehong bagay at sa parehong kahulugan," kung gayon, sa aming kaso sa kahulugan ng PB, "isa at pareho" ay magkapareho sa kahulugan sa konsepto ng "iba" sa Plato. Samakatuwid, sa depinisyon ni Plato, nakikitungo tayo sa isang pahayag na tumatanggi sa batas ng kontradiksyon. Halimbawa, isaalang-alang ang isang serye ng mga natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5… bilang isang halimbawa ng potensyal na infinity. Kung kukuha tayo ng anumang pares ng mga kalapit na numero, imposibleng ang lahat ng tatlong uri ng kanilang mga ratio ay totoo sa magnitude: 3 > 4, 4 > 3, o 3 = 4. Kung kukuha tayo ng isang may hangganang numero 4, kung gayon, halimbawa, na may kaugnayan sa magnitude nito, hindi ito maaaring mas malaki kaysa sa sarili nito. Samantalang, sa isang walang katapusang serye ng numero, ang halaga ng isang numero ay palaging nagbabago, at hindi natin mailalapat ang batas ng kontradiksyon bilang batas ng katiyakan dito. Samakatuwid, ang potensyal na infinity ay pantay na likas sa lahat ng numero ng natural na serye: 1, at iba pa (2), at iba pa (3), at iba pa (4). Samakatuwid, ang tanda ng disjunction ay dapat mapalitan ng conjunction. At ang pagpapakilala ng batas na coincidentia oppositorum sa halip na batas ng kontradiksyon ay humahantong sa mga kabalintunaan. Ano ang isang kabalintunaan? Ito ay isang salungat na pahayag.

At sa wakas, isang halimbawa ng Liar paradox. May nagsasabing, "Nagsisinungaling ako." Kung nagsisinungaling siya, kung gayon ang sinabi niya ay kasinungalingan, at samakatuwid ay hindi siya nagsisinungaling. Kung hindi siya magsisinungaling, kung ano ang sinasabi niya ay ang katotohanan, at samakatuwid siya ay nagsisinungaling. Sa anumang kaso, lumalabas na siya ay nagsisinungaling at hindi nagsisinungaling sa parehong oras [Logical Dictionary-Reference. N.I. Kondakov. Ang agham. M., 1976. S.433]. Sa ganitong kabalintunaan, tayo ay nakikitungo sa isang sadyang paglabag sa batas ng kontradiksyon. Imposible para sa isang tao na magsinungaling at hindi magsinungaling sa parehong paggalang. At ang paglabag na ito ay likas sa istruktura ng kabalintunaan.

Kaya, tulad ng ipinakita ni Zenkin, at ito ay sumusunod mula sa pagsusuri ng kabalintunaan na ito batay sa klasikal na lohika, ang paglabag sa batas ng kontradiksyon ay tahasang nakapaloob sa nilalaman ng konsepto ng potensyal na kawalang-hanggan, na humahantong sa hindi pangkaraniwang bagay ng kabalintunaan.. Kung pinag-uusapan natin ang isang serye ng mga natural na numero, ang bawat isa sa mga natural na numero na bumubuo sa serye ay parehong kasama at hindi kasama sa walang katapusang serye ng mga natural na numero. Una, ang isang numero, halimbawa 5, ay pumapasok kapag naabot namin ito sa panahon ng pagkalkula, at pagkatapos, ang numero 6 ay nagbabago nito, at iba pa. Ang katiyakan ay patuloy na nagbabago, at, samakatuwid, marahil imposible, ang hitsura ng mga kabalintunaan.

Kung sa konsepto ng AB ay kitang-kita ang inconsistency at paradoxical na katangian ng konseptong ito, kung gayon sa konsepto ng PB ito ay nakatago.

Ang pag-unawa sa likas na katangian ng PB, hindi maaaring balewalain ng isa ang mga konsepto ng arithmetic at geometric infinity. Isaalang-alang natin ang mga konseptong ito nang mas detalyado.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga natural na numero 1, 2, 3, ..., (1)

kumakatawan sa una at pinakamahalagang halimbawa ng isang walang katapusang set. Mula noong panahon ni Hegel, ang arithmetic infinity ng natural na serye 1 + 1 + 1 + ..., dahil sa kawalan ng pag-asa nito, ay tinawag na "masamang" o "masamang" kawalang-hanggan.

Ang geometric infinity ay binubuo sa walang limitasyong dibisyon ng segment sa kalahati. Isinulat ni Pascal ang sumusunod tungkol sa geometric infinity: “Walang geometer na hindi maniniwala na ang espasyo ay nahahati sa infinity. Hindi niya magagawa kung wala ito, tulad ng isang tao na hindi maaaring walang kaluluwa. At gayon pa man, walang tao na nakakaunawa ng walang katapusang pagkakahati…” [ A.P. Stakhov Sa ilalim ng tanda ng "Golden Section": Pag-amin ng anak ng isang batalyon ng mag-aaral. Kabanata 5. Algorithmic measurement theory. 5.5. Ang problema ng infinity sa matematika. Potensyal at aktwal na kawalang-hanggan. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Sa katunayan, ito ay isang napakahalagang tanong na hindi malulutas sa loob ng balangkas ng kasalukuyang nangingibabaw na anthropocentric na paradigm.

“Ang unang walang muwang na impresyon na dulot ng natural na mga pangyayari at bagay,” ang isinulat ni D. Gilbert, “ay ang impresyon ng isang bagay na tuluy-tuloy, tuluy-tuloy. Kung mayroon tayong isang piraso ng metal o isang tiyak na dami ng likido sa harap natin, kung gayon ang ideya ay ipinataw sa atin na sila ay walang hanggan na mahahati, na ang isang arbitraryong maliit na piraso ng mga ito ay muli ay may parehong mga katangian. Ngunit saanman ang mga pamamaraan ng pagsisiyasat sa pisika ng bagay ay sapat na napabuti, nararating natin ang mga limitasyon ng divisibility na ito, na hindi nakasalalay sa di-kasakdalan ng ating karanasan, ngunit sa likas na katangian ng bagay mismo, upang ang isa ay direktang madama ang kalakaran ng modernong agham bilang pagpapalaya mula sa walang katapusang maliit; ngayon ay posible nang kontrahin ang lumang thesis na "natura non facit saltus" (nature does not make leaps) na may antithesis na: "nature makes leaps" [Gilbert D. On the Infinite. Scan source: Gilbert D. On the Infinite // Him. Mga pundasyon ng geometry. - M.-L., 1948. 491 p. (pinaikling artikulo mula sa Mathematischen Annalen, v. 95.) - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm].

"Ang walang katapusang divisibility ay umiiral lamang sa matematika. Sa likas na katangian, ang mga eksperimento ng pisika at kimika ay wala kahit saan - samakatuwid, ito ay isang ideya lamang sa matematika - isang produkto ng pag-iisip ng matematika! Idea walang katapusang uniberso nangibabaw nang mahabang panahon bago si Kant at pagkatapos. Ngunit ang ideyang ito ay ang kabaligtaran ng mga limitasyon ng ating karanasan at ang proseso ng pag-unawa” [Ibid.].

Ang pag-aari ng geometric infinity bilang isang walang limitasyong divisibility ng isang segment sa kalahati ay hindi malulutas sa loob ng balangkas ng geometry, at nangangailangan ng paglahok ng pilosopiya at teolohiya.

Una, ang proseso ng paghahati ng segment ay nagpapahayag ng pangunahing pag-aari ng makatwirang pag-iisip - ang pagkawasak (dibisyon) ng bagay na pinag-aaralan. Ang pag-unawa ay kumikilos sa isang paghahati na paraan na may kaugnayan sa mga bagay nito, salamat sa kung saan ang katiyakan ay nakamit.

Pangalawa. Ang walang katapusang divisibility ng isang segment ay dahil sa katotohanan na ang isang geometric na segment ay isang anyo ng tuluy-tuloy na dami. At ang dami mismo ay isang abstraction ng mga matinong bagay, walang malasakit sa kalidad.

Sa layunin ng materyal na mundo walang dalisay na dami, lahat ng bagay ay may sukat at salamat dito sila ay magkapareho sa kanilang sarili at naiiba sa iba. Ang sukat ay ang direktang pagkakaisa ng kalidad at dami. Sa isang geometric na segment, kami ay nakikitungo sa kalawakan, i.e. panukalang lampas sa mga limitasyon ng katiyakang husay nito. Ang anumang layunin na bagay ay may mga limitasyon ng pagiging husay nito. Kung sila ay nawasak, ang bagay mismo ay nawasak. Samakatuwid, ang isang matinong (may hangganan) na bagay ay hindi maaaring hatiin sa estado ng potensyal (masamang) kawalang-hanggan. Ang qualitative definiteness ng isang bagay ay sumasalungat sa prosesong ito ng paghahati. Halimbawa, ang isang piraso ng isang puno ay maaaring hatiin hangga't ang mga piraso mula sa paghahati ay nagpapanatili ng mga katangian ng punong ito, i.e. sa molecular boundary ng cellulose molecule. Ang karagdagang dibisyon ng molekula ng selulusa ay isang proseso ng paghahati ng isa pang bagay, samakatuwid, ang proseso ng paghahati ng kahoy ay may mas mababang limitasyon - mga molekula ng selulusa. Molecular division ay magkakaroon ng mas mababang limitasyon sa atomic level. Dibisyon tiyak na mga atomo Ang mga elemento ay hahantong sa paghahati sa antas ng mga subatomic na bahagi, atbp. Dahil dito, ang anumang dibisyon ng mga bagay na layunin ay may hangganan. Kung isasaalang-alang natin ang proseso ng paghahati nang hindi isinasaalang-alang ang kalidad at sukat, kung gayon ang proseso ng paghahati ay talagang nagiging walang hanggan. Ngunit ano ang sinusukat natin pagkatapos? Abstraction ng mga bagay na may hangganan - bagay. Ang bagay bilang isang layunin na makabuluhang bagay (sa isang natural, katutubong, hindi nabagong katotohanan) ay hindi umiiral, ito ay ang parehong produkto ng isang abstract na kaisipan bilang ang geometric na segment mismo.

Kaya, pareho ang geometric na segment at matter ay nahahati hanggang sa isang masamang (potensyal) na infinity. Ngunit dito tayo ay hindi nakikitungo sa mga tunay na makatwirang bagay, ngunit sa dalisay na dami, na walang sukat sa sarili nito, at samakatuwid ay patuloy na lumalampas sa mga limitasyon nito. Ito ay hindi nagkataon na isinulat ni Hegel sa Science of Logic na ang konsepto ng dami ay naglalaman ng pangangailangan na lumampas sa mga hangganan nito.

Pagbabalik sa kahulugan ng Aristotle: "Ang dami ay ang nahahati sa mga bahagi nito, na ang bawat isa, kung mayroon man dalawa o higit pa sa kanila, ay likas na isang bagay at isang tiyak na bagay ..." [Aristotle. Op. sa 4 na volume. Tomo 1. M .: Thought, 1976, p. 164], maliwanag na ang matematika ay tumatalakay sa dalisay na dami, i.e. hindi sa matinong dami ng mga bagay na may hangganan na pinag-aaralan ng pisika, ngunit sa abstract na dalisay na hindi masusukat na dami - bilang at magnitude. Samakatuwid, sa matinong kalikasan bilang isang paksa ng pisika, hindi lamang aktuwal o potensyal na kawalang-hanggan. Ang mundo ay may hangganan sa parehong malawak at masinsinang kahulugan. Hindi nakakagulat, nabanggit iyon ni Aristotle ang walang hanggan ay hindi ibinibigay sa alinman sa damdamin o isip, at tinawag itong isang ilegal na konsepto. Inayos ng Diyos ang lahat ng bagay sa nilikhang mundo ayon sa sukat, bilang at sukat (Banal na Kasulatan).

Sa kanyang hierarchy ng mga anyo ng kaalaman, si Aristotle, pagkatapos ng metapisika (kung saan naunawaan niya sa mahigpit na kahulugan ang teolohiya bilang ang agham ng walang hanggan) bilang ang unang pilosopiya, naglagay ng pisika, at pagkatapos lamang ng matematika. At ito ay ganap na totoo, dahil ang paksa ng matematika - purong dami, ay may mga ugat sa matinong materyal na kalikasan. Ang paksa nito ay numero at magnitude bilang mga anyo ng abstract na dami. Makasaysayang pag-unlad abstract na anyo sa matematika ay humantong sa katotohanan na ang pangunahing paksa ng pag-aaral nito ay ang globo ng perpektong mga bagay sa matematika: numero, magnitude, punto, linya, set, atbp, na higit sa lahat ay hindi nag-tutugma sa mundo ng mga tunay na pisikal na bagay. Ang konsepto ng potensyal na infinity ay isa sa kanila. Samakatuwid, ang konklusyon na nagmumungkahi sa sarili dito ay, una, na kinakailangan na malinaw na kilalanin ang mga tampok at hangganan ng matematika at mga natural na agham. At, pangalawa, sa pag-aaral ng kalikasan (physics, biology, atbp.) Ito ay kinakailangan upang umasa sa at magpatuloy mula sa nilalaman ng agarang paksa, at hindi mula sa isang priori mathematical na mga modelo. At kahit na ang kasaysayan ng matematika ay may maraming mga halimbawa ng baligtad na pakikipag-ugnayan, gayunpaman, ang kasanayang ito ay may maraming mga pangunahing pagbubukod.

6. Teorya ng numero at teorya ng set G. Kantor

"Ang paksa ng teorya ng numero ay nag-tutugma sa

paksa (pag-aaral) ng lahat ng matematika.

A.M. Vinogradov

Sa kasaysayan, ang pagbuo ng konsepto ng numero ay naganap batay sa isang pormal na operasyon ng generalization (pagpapalawak) ng volume dahil sa pagsasama ng mga bagong uri ng mga numero (set) sa komposisyon nito.

Ang mga unang ideya tungkol sa bilang ay lumitaw mula sa pagbibilang ng mga tao, hayop, prutas, iba't ibang produkto, atbp. Ang resulta ay natural na mga numero: 1, 2, 3, 4, ...

Kapag nagbibilang ng mga indibidwal na bagay, ang isa ay ang pinakamaliit na bilang, at hindi kinakailangan, at kung minsan imposible, na hatiin ito sa mga pagbabahagi, gayunpaman, kahit na may mga magaspang na sukat ng mga dami, ang isa ay kailangang hatiin ang 1 sa mga pagbabahagi. Sa kasaysayan, ang unang extension ng konsepto ng numero ay ang pagdaragdag ng mga fractional na numero sa isang natural na numero. Ang pagpapakilala ng mga fractional na numero ay nauugnay sa pangangailangang gumawa ng mga sukat. Ang pagsukat ng anumang dami ay binubuo sa paghahambing nito sa isa pa, qualitatively homogenous dito at kinuha bilang isang yunit ng pagsukat. Ang paghahambing na ito ay isinasagawa sa pamamagitan ng isang pamamaraan na partikular na operasyon ng "pagtabi" sa yunit ng panukat sa panukat at pagbibilang ng bilang ng mga naturang pag-urong. Ito ay kung paano sinusukat ang haba sa pamamagitan ng pagtabi ng isang segment na kinuha bilang isang yunit ng pagsukat, ang dami ng likido ay sinusukat gamit ang isang sukat na sisidlan, atbp.

Ang fraction ay isang bahagi (bahagi) ng isang yunit o ilang pantay na bahagi nito.

Itinalaga: kung saan ang m at n ay mga integer; - pagbawas ng fraction; - extension. Ang mga fraction na may denominator na 10 n, kung saan ang n ay isang integer, ay tinatawag na decimal.

Among decimal fractions espesyal na lugar sakupin ang mga periodic fraction: - purong periodic fraction, - mixed periodic fraction

Ang karagdagang pagpapalawak ng konsepto ng numero ay sanhi na ng pag-unlad ng matematika mismo (algebra). Descartes noong ika-17 siglo nagpapakilala ng konsepto negatibong numero, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon nito bilang direksyon ng mga segment. Nilikha ni Descartes analytical geometry, na naging posible na isaalang-alang ang mga ugat ng equation bilang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng ilang curve na may abscissa axis, sa wakas ay nabura ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga ugat ng equation, ang kanilang interpretasyon ay naging mahalagang pareho.

Ang mga numerong buo (positibo at negatibo), fractional (positibo at negatibo) at zero ay tinatawag makatwirang mga numero. Ang anumang rational na numero ay maaaring isulat bilang isang finite at periodic fraction.

Ang hanay ng mga rational na numero ay naging hindi sapat para sa pag-aaral ng patuloy na pagbabago ng mga variable. Dito, ang isang bagong extension ng konsepto ng numero ay naging kinakailangan, na binubuo sa paglipat mula sa hanay ng mga makatwirang numero hanggang sa hanay ng mga tunay (totoong) numero. Ang pagpapakilala ng mga tunay na numero ay naganap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga hindi makatwirang numero sa mga rational na numero: ang mga hindi makatwiran na numero ay walang katapusang decimal na hindi pana-panahong mga fraction.

Ang mga hindi makatwirang numero ay lumitaw kapag sinusukat ang mga hindi katumbas na mga segment (ang gilid at dayagonal ng isang parisukat), sa algebra - kapag kumukuha ng mga ugat, isang halimbawa ng isang transendental, hindi makatwiran na numero ay π, e.

Ang isang malinaw na kahulugan ng konsepto ng isang tunay na numero ay ibinigay ni I. Newton, isa sa mga tagapagtatag ng mathematical analysis, sa "General Arithmetic": "Sa pamamagitan ng numero, ang ibig naming sabihin ay hindi isang hanay ng mga yunit, ngunit isang abstract ratio ng ilang dami sa isa pang dami ng parehong uri, na kinukuha namin bilang isang yunit." Ang pagbabalangkas na ito ay nagbibigay ng isang solong kahulugan ng isang tunay na numero, makatwiran o hindi makatwiran. Mamaya, noong 70s. Ika-19 na siglo, ang konsepto ng isang tunay na numero ay pinino sa batayan ng isang malalim na pagsusuri ng konsepto ng pagpapatuloy sa mga gawa ni R. Dedekind, G. Kantor at K. Weierstrass.

Ayon kay Dedekind, ang continuity property ng isang tuwid na linya ay kung ang lahat ng mga punto na bumubuo sa isang tuwid na linya ay nahahati sa dalawang klase upang ang bawat punto ng unang klase ay nasa kaliwa ng bawat punto ng pangalawang klase ("break ” ang tuwid na linya sa dalawang bahagi), pagkatapos ay alinman sa unang klase mayroong pinakakanang punto, o sa pangalawa - ang pinakakaliwang punto, ibig sabihin, ang punto kung saan naganap ang "break" ng linya.

Ang set ng lahat ng rational na numero ay walang continuity property. Kung ang hanay ng lahat ng mga makatwirang numero ay nahahati sa dalawang klase upang ang bawat numero ng unang klase ay mas mababa kaysa sa bawat numero ng pangalawang klase, kung gayon sa ganoong partisyon ("seksyon" ni Dedekind) ay maaaring lumabas na sa unang klase hindi magkakaroon ng pinakamalaking bilang, at sa pangalawa - hindi bababa. Magiging ganito, halimbawa, kung ang lahat ng negatibong rational na numero, zero at lahat ng positibong numero na ang parisukat ay mas mababa sa dalawa, ay itinalaga sa unang klase, at lahat ng positibong numero na ang parisukat ay mas malaki sa dalawa ay itinalaga sa pangalawa. Ang ganitong hiwa ay tinatawag na hindi makatwiran. Pagkatapos ang sumusunod na kahulugan ng isang hindi makatwiran na numero ay ibinigay: ang bawat hindi makatwiran na seksyon sa hanay ng mga rational na numero ay nauugnay sa isang hindi makatwiran na numero, na itinuturing na mas malaki kaysa sa anumang bilang ng unang klase, at mas mababa kaysa sa anumang bilang ng nakatataas na uri. Ang kabuuan ng lahat ng tunay na bilang, makatuwiran at hindi makatwiran, ay mayroon nang pag-aari ng pagpapatuloy.

Ang katwiran ni Cantor para sa konsepto ng isang tunay na numero ay naiiba sa Dedekind, ngunit nakabatay din sa pagsusuri ng konsepto ng pagpapatuloy. Parehong ginagamit ng depinisyon ni Dedekind at ng kahulugan ni Cantor ang abstraction ng aktwal na infinity. Kaya, sa teorya ni Dedekind, ang isang hindi makatwirang numero ay tinutukoy sa pamamagitan ng isang seksyon sa kabuuan ng lahat ng mga makatwirang numero, na kung saan ay conceived bilang ibinigay bilang isang buo.

Lahat tunay na mga numero maaaring ipakita sa linya ng numero. Numerical axis (linya ng numero):

a) isang pahalang na tuwid na linya na may napiling direksyon dito;

b) reference point - punto 0;

c) yunit ng sukat

[Great Soviet Encyclopedia. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

Sa ngayon, mayroong pitong karaniwang tinatanggap na antas ng generalization ng mga numero: natural, rational, real, complex, vector, matrix at transfinite na mga numero. Ang ilang mga siyentipiko ay nagmumungkahi na isaalang-alang ang mga function bilang mga functional na numero at palawakin ang antas ng generalization ng mga numero sa labindalawang antas.

[Anishchenko Evgeny Alexandrovich. "Numero bilang Pangunahing Konsepto ng Matematika". - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401].

Ang siyentipikong Ruso na si Ozolin E.E. nagpahayag ng isang mahalagang kaisipan na napakatumpak na naghahatid ng modernong intelektwal na kapaligiran sa komunidad ng matematika. Alam ng lahat na ang teorya ng numero ay ang pinakamasalimuot at mahalagang sangay ng matematika. Gayunpaman, ang teorya ng mga numero ay tila hindi napapansin. Samantalang ang pinakamaliit na pagbabago sa teoryang ito ay maaaring magdulot ng "bagyo" sa lahat ng seksyon ng matematika [Ozolin E.E. (Ozes) Oktubre 2004. Ang konsepto ng isang numero. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Bukod dito, - sumulat si E.E. Ozolin nang may pagtataka, - sa kabila ng katotohanan na ang mga sinaunang Griyego ay alam na malayo sa lahat ng bagay tungkol sa mga numero, ang mas nakakalungkot ay ang katotohanan na "ang mga modernong mathematician (hindi banggitin ang lahat ng iba pa) ay may mga konsepto at kaalaman na ang bilang ay minsan ay mas mababa. sa sinaunang Griyego.

Ito, tingnan mo, ay kalokohan na” [Ibid.].

Bilang kumpirmasyon ng pagsasaalang-alang na ito, ang E.E. Ozolin ay nagsasagawa ng makasaysayang pagsusuri ng mga prinsipyo para sa pagbuo ng konsepto ng numero at dumating sa sumusunod na konklusyon. Ang European mathematics, lalo na mula noong ika-13 siglo, ay nagtatayo ng konsepto ng numero ayon sa prinsipyo ng nesting ng Thales spheres, "iyon ay, ang hanay ng mga natural na numero ay namuhunan sa hanay ng mga integer, ang hanay ng mga integer ay namuhunan sa hanay. ng mga rational na numero, ang hanay ng mga rational na numero ay inilalagay sa hanay ng mga tunay na numero, ang hanay ng mga tunay na numero ay naka-embed sa hanay ng mga kumplikadong numero, atbp.)” [Ibid.]. "At, sa kabila ng katotohanan na parehong si Kurt Gödel mula sa pananaw ng pormal na lohika (noong 1931), at ang aking sarili mula sa pananaw ng metamathematics, ay matagal nang pinatunayan at muling pinatunayan na ang limang-layer na istraktura ng mga nested sphere ay hindi maaaring kumpleto at lohikal na tama, muli at muli tayong nakatagpo ng maling "mga dogma ng paaralan" sa anyo ng diumano'y patas na mga pahayag na, halimbawa, ang mga natural na numero ay isang subset ng mga rational na numero.

Samakatuwid, muli nais kong iguhit ang iyong pansin sa katotohanan na hindi ito maaaring mangyari. Halimbawa, sa balangkas ng matematika, maaari lamang nating pag-usapan ang pormal na pagkakapantay-pantay ng natural na bilang 1 (isa) sa rasyonal na bilang na 1.00(0) sa isa. Kasabay nito, ang lohikal, mathematical (at pisikal!) na kahulugan ng mga numerong ito ay ganap na naiiba. Halimbawa, ang natural na unit ay isang numero na, kapag idinagdag sa umiiral na isa, ay nagbibigay ng susunod na numero, ang isang rational unit ay isang numero, kapag pinarami kung saan binigay na numero hindi nagbabago ang kahulugan! Paano mababago ng isang yunit ang kahulugan” [Ibid.] ???

"Bukod dito, - patuloy ng E.E. Ozolin, - ang mga natural at rational na numero ay nabibilang sa ganap na magkakaibang mga istrukturang metalohikal. Samakatuwid, hindi natin maaaring pag-usapan ang pormal na kaugnayang pangmatematika ng mga numerong ito.

Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang problema ng lohikal na pagkakaiba sa pagitan ng natural at rational na mga numero na aking ipinahiwatig ay "hindi katumbas ng halaga". At ang karamihan ng mga mathematician, kahit na sumasang-ayon sila sa akin, ay tiyak na magsasabi na "ang mga yunit ay mga yunit din sa Africa, at anong pagkakaiba ang ginagawa kung ano ang kahulugan ng matematika at lohikal na ilalagay sa kanila, pareho o naiiba" [Ibid.] .

Ngunit ang ganitong pananaw ay isang malaking maling kuru-kuro - isang "mapanganib na alamat ng edukasyon sa paaralan", na walang batayan sa matematika at lohikal. "At sa mas malapit at mas detalyadong pagsasaalang-alang, lumalabas na ang pagkakaiba sa lohikal na kahulugan ng natural at rational na mga numero ay nangangailangan ng medyo malubhang kahihinatnan. praktikal na aplikasyon matematika" [ibid.].

At sa konklusyon, ginawa ni E.E. Ozolin ang sumusunod na tapat na konklusyon: " ... ang matematika ay isang napakalayang agham, at ang hirap ng matematika ay nakikita lamang. Sa matematika, maaari kang bumuo ng anuman, ang pinaka hindi kapani-paniwalang mga istruktura ng axiomatic, at galugarin ang mga ito, gaano man sila kawalang kahulugan at abstract mula sa katotohanan. Sa madaling salita, mag-imbento at subukan sa nilalaman ng iyong puso. Sa metamathematics, halos imposibleng gawin ito, at lahat ng istruktura ng metamathematics, sa isang paraan o iba pa, ay konektado sa realidad. Kabalintunaan man, ang katotohanan ay lumalabas na mas mayaman kaysa sa "ating imahinasyon".“[Ibid.].

Sa pagbabalik sa agarang paksa ng ating pag-aaral, maaari nating gawin ang sumusunod na konklusyon. Ang lahat ng uri ng mga numero (numerical set) ay may ibang lohikal na katangian at mga katangian ng matematika. Samakatuwid, hindi tama ang pamamaraan na bumuo ng teorya ng mga numero sa pamamagitan ng direktang paglalahat. Ang pinakamahalagang kaugnayan ng konklusyong ito ay may kinalaman sa natural at totoong mga numero. Ang yunit ng mga natural na numero at ang yunit ng mga tunay na numero ay may ganap na magkakaibang pinagmulan at magkakaibang mga katangian ng matematika. Hindi mo masusukat ang bilang ng mga mansanas gamit ang isang ruler; gayundin, imposible, ang alam lamang kung paano magbilang at walang ruler sa kamay, upang sukatin ang haba ng mesa. Ang isa ay hindi maaaring bawasan sa isa pa. Ang yunit ng una ay hindi mahahati, habang ang yunit ng huli ay kinakailangang mahahati. Ang mga natural na integer ay talagang mga numero sa mahigpit na kahulugan, habang ang mga tunay na numero ay nabibilang sa isang anyo ng dami bilang magnitude. Ang pagkalito sa pagitan ng anyo ng numero at magnitude, na bumalik sa Pythagoreans, ay ang pangunahing pinagmumulan ng modernong krisis sa matematika at ang pinakamahalagang kinakailangan para sa arithmetization ng geometry at set theory ni G. Kantor, mula noong ideya ng ... constructing divisible mathematical objects from indivisible ones underlies G. Kantor's construction of the concept of actual infinity.

Isa pang tala. Ang mga modernong mathematician ay hindi lamang nauunawaan ang likas na katangian ng isang numero, tulad ng tama na nabanggit ni E. Ozolin, ngunit hindi rin nauunawaan ang lohikal at matematikal na katangian ng isang dami at iba pang mga pangunahing konsepto ng matematika (halimbawa, isang set).

Narito, halimbawa, ang isinulat ng mga sikat na mathematician tungkol sa halaga:

"Ang halaga ay isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika, ang kahulugan nito, sa pag-unlad ng matematika, ay sumailalim sa isang bilang ng mga pangkalahatan," ang isinulat ni A.N. Kolmogorov [Kolmogorov A.N. Halaga. - TSB. - T. 7. - M., 1951. C. 340]. “Itong ... teorya - ang doktrina ng magnitude - halos hindi gumaganap mahalagang papel sa usapin ng pagpapatibay sa kabuuan ng matematika,” ang isinulat ng prominenteng matematikong Sobyet na si V.F. Kagan [Kagan V.F. Mga sanaysay sa Geometry. - M.: Moscow University, 1963. S. 109].

Pag-isipan natin ang huli, kung saan ang kahulugan ng konsepto ng dami ay ang pinaka-pare-pareho at malinaw. "... para sa isang mathematician," isinulat ni V.F. Kagan, "ang halaga ay ganap na natutukoy kapag ang hanay ng mga elemento at pamantayan sa paghahambing ay ipinahiwatig" [Ibid., P. 107]. Sa madaling salita, ang halaga ay isang hanay ng mga homogenous na bagay, ang paghahambing ng mga elemento na nagpapahintulot sa amin na gamitin ang mga terminong "pantay", "mas malaki", "mas mababa". Ang isang sagot na tanong ay lumitaw, kung ihahambing natin ang isang tiyak na hanay ng mga natural na numero sa isa pang tiyak na hanay ng parehong natural na mga numero, halimbawa, ang mga numero 5 at ang mga numero 7, maaari ba nating ilapat ang mga termino sa itaas sa kanila? Ang tanong ay retorika. Ang iminungkahing kahulugan ng konsepto ng magnitude, sa katunayan, ay nagpapahiwatig na ang may-akda nito ay hindi nakikilala sa pagitan ng dalawang ito. pangunahing mga konsepto(mga numero at magnitude). Ang mga tagapagtaguyod ng set theory at si Cantor mismo ay nalungkot din na ang batayang konsepto ng teoryang ito ay mahirap ding tukuyin. E. Ozolin sa kanyang artikulo ay nagsasaad na napakahirap tukuyin ang matematika bilang isang paksa [Ozolin E.E. (Ozes) Oktubre 2004. Ang konsepto ng isang numero. - [Electronic na mapagkukunan]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Upang matiyak na ang lahat ng mga pagdududa na ito ay walang batayan, kinakailangang bumalik muli kay Aristotle, na, sa ilang mga kahulugan, ay nagbibigay ng kumpletong mga sagot sa aming mga katanungan.

“Ang dami ay yaong nahahati sa mga bahaging bahagi, na ang bawat isa, dalawa man o higit pa sa kanila, ay likas na isang bagay na isa at isang tiyak na bagay. Ang bawat dami ay isang set kung ito ay mabibilang, at ang magnitude ay kung ito ay masusukat. Ang isang set ay kung ano ang nahahati sa hindi tuloy-tuloy na mga bahagi, isang dami - sa tuluy-tuloy na mga bahagi ... Sa lahat ng mga dami na ito, ang isang limitadong hanay ay isang numero, isang limitadong haba ay isang linya, isang limitadong lapad ay isang eroplano, isang limitadong lalim. ay isang katawan ”[Aristotle. Op. sa apat na volume. T.1. Metaphysics. P.164].

Mula sa fragment na ito ni Aristotle. Nakukuha namin ang mga sumusunod na mahigpit na kahulugan.

Ang matematika ay isang agham na ang paksa ay purong dami.

Ang dami ay yaong nahahati sa mga bahaging bahagi nito, na ang bawat isa, may dalawa man o higit pa sa kanila, ay likas na isang bagay na isa at isang tiyak na bagay.

Ang set ay isang dami na mabibilang, i.e. nahahati sa hindi tuloy-tuloy na mga bahagi.

Ang dami ay isang dami na nasusukat, i.e. hatiin sa mga bahagi na tuloy-tuloy

Ang numero ay isang limitadong hanay.

Limitado ang haba ng linya.

Ang eroplano ay isang limitadong lapad.

Ang katawan ay limitado ang lalim.

Mula sa mga probisyong ito ay sumusunod:

Ang unit ng isang numero ay walang dimensyon, ito ay isang unit ng account, i.e. ay hindi mahahati, dahil nagbibilang lamang tayo sa buong numero.

Ang yunit ng magnitude ay palaging nahahati.

Ang yunit ng numero ay ang purong anyo ng abstract na dami, i.e. ito ay isang anyo na walang malasakit sa geometric na espasyo.

Ang yunit ng magnitude ay ang dalisay na dami kasama ang geometric na espasyo.

Ang geometric space ay isang abstraction ng pisikal na katotohanan. Ang pisikal na realidad ay may qualitative na katiyakan at extension. Kung abstract tayo mula sa qualitative na katiyakan ng pisikal na katotohanan, makakakuha tayo ng isang geometric na espasyo.

Sa pormal, parehong numero ang unit ng isang numero at ang unit ng magnitude, ngunit magkaiba ang esensya at mathematical na katangian ng mga numerong ito. Mula sa yunit ng isang numero imposibleng makakuha ng isang yunit ng magnitude. Samantalang mula sa halaga maaari kang makakuha ng isang purong numero. Upang gawin ito, kinakailangan na abstract mula sa geometric na espasyo - ang sukat. Ang mga puntong ito ay mahusay na nasuri sa Physics ni Aristotle.

Samakatuwid, mula sa isang numero (sa mahigpit na kahulugan) imposibleng makakuha ng isang halaga. At dahil ang paksa ng aritmetika ay ang konsepto ng numero, at ang paksa ng geometry ay magnitude, kung gayon ang geometry ay hindi maaaring bawasan sa aritmetika. Ito ay iba't ibang paraan ng pagkakaroon ng quantitative na katiyakan ng materyal na mundo.

Kaya, sa gitna ng modernong matematika ay namamalagi ang isang malalim na maling akala - ang iligal na pagkakakilanlan ng numero at magnitude, aritmetika at geometry. Ang konsepto ng magnitude ay mas pangunahing, dahil mula dito maaari nating makuha ang konsepto ng numero. Bilang karagdagan, ang konseptong ito ay "nag-uugnay" ng matematika sa pisika, lumilikha ng mga hadlang para sa hindi makatarungang pormalisasyon at mga haka-haka na konstruksyon. Samakatuwid, ang arithmetization ng geometry ay humantong sa pagkabulok ng paksa ng matematika, ang pormalisasyon nito (Bourbakization) at ang teorya ng transfinite na mga numero. Ang arithmetization ng matematika ay, sa katunayan, ang proseso ng pagbabawas ng paksa ng matematika sa isang numero.