natürlicher Logarithmus

Graph der Funktion des natürlichen Logarithmus. Die Funktion nähert sich langsam positiv unendlich als x und nähert sich schnell negativ unendlich, wenn x tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu allen Machtfunktion aus x).

natürlicher Logarithmus ist der Basislogarithmus , wo e ist eine irrationale Konstante, die ungefähr 2,718281 828 entspricht. Der natürliche Logarithmus wird üblicherweise als ln( x), Protokoll e (x) oder manchmal einfach log( x) wenn die Basis e impliziert.

Natürlicher Logarithmus einer Zahl x(geschrieben als log(x)) ist der Exponent, auf den Sie die Zahl erhöhen möchten e, um zu bekommen x. Zum Beispiel, ln(7.389...) gleich 2 weil e 2 =7,389... . Der natürliche Logarithmus der Zahl selbst e (In(e)) ist gleich 1, weil e 1 = e, a natürlicher Logarithmus 1 (log(1)) ist 0, weil e 0 = 1.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden a als Fläche unter der Kurve j = 1/x von 1 bis a. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die den natürlichen Logarithmus verwenden, hat zu dem Namen "natürlich" geführt. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden, was weiter unten diskutiert wird.

Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion von Exponentialfunktion, was zu den Identitäten führt:

Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:

Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus der Gruppe der Positiven reale Nummern in Bezug auf die Multiplikation mit einer Gruppe reale Nummern durch Addition, die als Funktion dargestellt werden kann:

Der Logarithmus kann nicht nur für jede andere positive Basis als 1 definiert werden e, aber die Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich nur vom natürlichen Logarithmus konstanter Faktor, und werden normalerweise in Bezug auf den natürlichen Logarithmus definiert. Logarithmen sind nützlich, um Gleichungen zu lösen, in denen die Unbekannten als Exponenten vorhanden sind. Zum Finden werden beispielsweise Logarithmen verwendet Abklingkonstante zum bekannter Zeitraum Halbwertszeit oder zum Auffinden der Abklingzeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen. Sie spielen gerade wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik u angewandte Wissenschaften, werden im Finanzwesen verwendet, um viele Probleme zu lösen, einschließlich der Suche nach Zinseszinsen.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus wurde von Nicholas Mercator in seiner Arbeit gemacht Logarithmotechnik, veröffentlicht im Jahr 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spydell bereits 1619 eine Tabelle natürlicher Logarithmen zusammenstellte. Früher hieß er hyperbolischer Logarithmus, weil er der Fläche unter der Hyperbel entspricht. Er wird manchmal als Napier-Logarithmus bezeichnet, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.

Notationskonventionen

Der natürliche Logarithmus wird üblicherweise mit „ln( x)“, Logarithmus zur Basis 10 bis „lg( x)", und es ist üblich, andere Gründe ausdrücklich mit dem Symbol "log" anzugeben.

In vielen Arbeiten zur diskreten Mathematik, Kybernetik und Informatik verwenden die Autoren die Notation „log( x)" für Logarithmen zur Basis 2, aber diese Konvention ist nicht allgemein akzeptiert und erfordert eine Klarstellung, entweder in einer Liste der verwendeten Notationen oder (falls keine solche Liste existiert) durch eine Fußnote oder einen Kommentar zur ersten Verwendung.

Die Klammern um das Argument von Logarithmen (sofern dies nicht zu einem falschen Lesen der Formel führt) werden normalerweise weggelassen, und beim Potenzieren des Logarithmus wird der Exponent direkt dem Vorzeichen des Logarithmus zugeordnet: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloamerikanisches System

Mathematiker, Statistiker und einige Ingenieure verwenden normalerweise entweder "log( x)" oder "ln( x)" und um den Logarithmus zur Basis 10 zu bezeichnen - "log 10 ( x)».

Einige Ingenieure, Biologen und andere Fachleute schreiben immer "ln( x)" (oder gelegentlich "log e ( x)"), wenn sie den natürlichen Logarithmus meinen, und die Notation "log( x)" bedeutet log 10 ( x).

Protokoll e ist der „natürliche“ Logarithmus, weil er automatisch vorkommt und in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Ableitung einer logarithmischen Funktion:

Wenn die Basis b gleich e, dann ist die Ableitung einfach 1/ x, und wann x= 1 diese Ableitung ist gleich 1. Eine weitere Begründung für die Basis e Logarithmus am natürlichsten ist, ist, dass er ganz einfach in Bezug auf definiert werden kann einfaches Integral oder eine Taylor-Reihe, was von anderen Logarithmen nicht gesagt werden kann.

Weitere Natürlichkeitsbegründungen sind mit der Zahl nicht verbunden. So gibt es beispielsweise mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator nannten sie Logarithmus naturalis mehrere Jahrzehnte, bis Newton und Leibniz die Differential- und Integralrechnung entwickelten.

Definition

Formell ln( a) kann definiert werden als die Fläche unter der Kurve des Diagramms 1/ x von 1 bis a, also als Integral:

Es ist tatsächlich ein Logarithmus, da es erfüllt grundlegende Eigenschaft Logarithmus:

Dies lässt sich anhand folgender Annahmen demonstrieren:

Numerischer Wert

Zur Berechnung numerischer Wert natürlicher Logarithmus einer Zahl, können Sie die Entwicklung davon in einer Taylor-Reihe in der Form verwenden:

Um die beste Konvergenzrate zu erhalten, können Sie die folgende Identität verwenden:

unter der Vorraussetzung, dass j = (x−1)/(x+1) und x > 0.

Für ln( x), wo x> 1 als nähere Bedeutung x zu 1, die schnellere Geschwindigkeit Konvergenz. Die mit dem Logarithmus verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:

Diese Methoden wurden bereits vor dem Aufkommen von Taschenrechnern verwendet, für die sie verwendet wurden numerische Tabellen und Manipulationen ähnlich den oben beschriebenen durchgeführt.

Hohe Genauigkeit

Den natürlichen Logarithmus berechnen mit große Menge Stellen der Genauigkeit ist die Taylor-Reihe nicht effizient, da ihre Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode zu verwenden, um in eine Exponentialfunktion zu invertieren, deren Reihe schneller konvergiert.

Eine Alternative für sehr hohe Rechengenauigkeit ist die Formel:

wo M bezeichnet das arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und 4/s, und

m so gewählt p Genauigkeitsmarken erreicht werden. (In den meisten Fällen ist ein Wert von 8 für m ausreichend.) In der Tat, wenn diese Methode verwendet wird, kann die Newtonsche Umkehrung des natürlichen Logarithmus angewendet werden, um die Exponentialfunktion effizient zu berechnen. (Die Konstanten ln 2 und pi können unter Verwendung einer der bekannten schnell konvergenten Reihen mit der gewünschten Genauigkeit vorberechnet werden.)

Rechenkomplexität

Der Rechenaufwand natürlicher Logarithmen (unter Verwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels) ist O( M(n)ln n). Hier n die Anzahl der Stellen der Genauigkeit ist, für die der natürliche Logarithmus ausgewertet werden soll, und M(n) ist die Rechenkomplexität der Multiplikation von zwei n-stellige Zahlen.

Fortgesetzte Brüche

Obwohl es keine einfachen fortgesetzten Brüche gibt, um den Logarithmus darzustellen, können mehrere verallgemeinerte fortgesetzte Brüche verwendet werden, darunter:

Komplexe Logarithmen

Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl der Form liefert e x für jede beliebige komplexe Zahl x, während eine unendliche Reihe mit einem Komplex verwendet wird x. Diese Exponentialfunktion kann invertiert werden, um den komplexen Logarithmus zu bilden, der haben wird hauptsächlich Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Es gibt keine x, wofür e x= 0, und es stellt sich heraus, dass e 2Pi = 1 = e 0 . Da die Multiplikativitätseigenschaft für eine komplexe Exponentialfunktion gilt, dann e z = e z+2npi für alle komplex z und ganz n.

Der Logarithmus kann nicht auf der gesamten komplexen Ebene definiert werden, und trotzdem ist er mehrwertig - jeder komplexe Logarithmus kann durch einen "äquivalenten" Logarithmus ersetzt werden, indem ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von 2 hinzugefügt wird Pi. Der komplexe Logarithmus kann nur auf einem Slice einwertig sein komplexe Ebene. Zum Beispiel ln ich = 1/2 Pi oder 5/2 Pi oder -3/2 Pi, etc., und obwohl ich 4 = 1,4log ich kann als 2 definiert werden Pi, oder 10 Pi oder -6 Pi, usw.

siehe auch

• John Napier - Erfinder des Logarithmus

Anmerkungen

1. Mathematik für Physikalische Chemie. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Auszug aus Seite 9
2. JJO „Connor und E. F. Robertson Die Zahl e. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv (September 2001). Archiviert
3. Cajori Florian Eine Geschichte der Mathematik, 5. Aufl. - AMS Bookstore, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Blitzmann, Martin Abschätzen von Integralen mit Polynomen . Archiviert vom Original am 12. Februar 2012.

Ganz gut, oder? Während Mathematiker nach Wörtern suchen, um Ihnen eine lange, verworrene Definition zu geben, werfen wir einen genaueren Blick auf diese einfache und klare.

Die Zahl e bedeutet Wachstum

Die Zahl e bedeutet kontinuierliches Wachstum. Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, ermöglicht uns e x, Zinsen und Zeit zu verknüpfen: 3 Jahre bei 100 % Wachstum sind dasselbe wie 1 Jahr bei 300 %, vorbehaltlich des „Zinseszinses“.

Sie können beliebige Prozent- und Zeitwerte (50 % über 4 Jahre) ersetzen, aber es ist besser, den Prozentsatz der Einfachheit halber auf 100 % einzustellen (es ergibt 100 % über 2 Jahre). Indem wir zu 100 % wechseln, können wir uns ausschließlich auf die Zeitkomponente konzentrieren:

e x = e Prozent * Zeit = e 1,0 * Zeit = e Zeit

Offensichtlich bedeutet e x:

• Wie viel wird mein Beitrag in x Zeiteinheiten wachsen (unter der Annahme von 100 % kontinuierlichem Wachstum).
• Zum Beispiel bekomme ich nach 3 Zeitintervallen e 3 = 20,08 mal so viele "Dinge".

e x ist ein Skalierungsfaktor, der zeigt, auf welches Niveau wir in x Zeiträumen wachsen werden.

Natürlicher Logarithmus bedeutet Zeit

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung von e, so ein schicker Begriff für das Gegenteil. Apropos Macken; im Lateinischen heißt es logarithmus naturali, daher die Abkürzung ln.

Und was bedeutet diese Umkehrung oder das Gegenteil?

• e x ermöglicht es uns, die Zeit einzustecken und das Wachstum zu erhalten.
• ln(x) ermöglicht es uns, Wachstum oder Einkommen zu nehmen und die Zeit herauszufinden, die benötigt wird, um es zu erhalten.

Zum Beispiel:

• e 3 entspricht 20.08. Nach drei Zeitspannen haben wir 20,08 Mal Darüber hinaus wo wir angefangen haben.
• ln(20,08) wird ungefähr 3 sein. Wenn Sie an einer 20,08-fachen Erhöhung interessiert sind, benötigen Sie das Dreifache (wieder unter der Annahme eines 100% kontinuierlichen Wachstums).

Liest du noch? Der natürliche Logarithmus zeigt die Zeit, die benötigt wird, um das gewünschte Niveau zu erreichen.

Diese nicht standardmäßige logarithmische Zählung

Sie haben die Logarithmen bestanden - das ist merkwürdige Kreaturen. Wie haben sie es geschafft, Multiplikation in Addition umzuwandeln? Was ist mit Division in Subtraktion? Mal schauen.

Was ist ln(1) gleich? Intuitiv stellt sich die Frage: Wie lange muss ich warten, bis ich 1-mal mehr bekomme als ich habe?

Null. Null. Gar nicht. Du hast es schon einmal. Es braucht keine Zeit, um von Level 1 zu Level 1 zu wachsen.

• Log(1) = 0

Okay, was ist mit Bruchwert? Wie lange wird es dauern, bis wir 1/2 von dem haben, was wir noch haben? Wir wissen, dass bei 100 % kontinuierlichem Wachstum ln(2) die Zeit bedeutet, die benötigt wird, um sich zu verdoppeln. Wenn wir die Zeit zurückdrehen(d. h. eine negative Zeitspanne warten), dann bekommen wir die Hälfte von dem, was wir haben.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisch, oder? Wenn wir um 0,693 Sekunden zurückgehen (Rückwärtszeit), finden wir die Hälfte der verfügbaren Menge. Im Allgemeinen kannst du den Bruch umdrehen und nehmen negative Bedeutung: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Das bedeutet, wenn wir in der Zeit auf das 1,09-fache zurückgehen, finden wir nur ein Drittel der aktuellen Zahl.

Okay, was ist mit dem Logarithmus einer negativen Zahl? Wie lange dauert es, eine Bakterienkolonie von 1 auf -3 zu „wachsen“?

Es ist unmöglich! Sie können keine negative Bakterienzahl erhalten, oder? Sie können ein Maximum (äh... Minimum) von Null erreichen, aber es gibt keine Möglichkeit, eine negative Zahl dieser kleinen Viecher zu bekommen. BEI negative Zahl Bakterien macht einfach keinen Sinn.

• ln(negative Zahl) = undefiniert

"Undefiniert" bedeutet, dass es keine Wartezeit gibt, um einen negativen Wert zu erhalten.

Die logarithmische Multiplikation ist einfach urkomisch

Wie lange wird es dauern, bis sich das Wachstum vervierfacht? Natürlich können Sie auch einfach ln(4) nehmen. Aber es ist zu einfach, wir gehen den anderen Weg.

Sie können sich das Vervierfachen als Verdoppeln (das ln(2) Zeiteinheiten erfordert) und dann erneutes Verdoppeln (das weitere ln(2) Zeiteinheiten erfordert) vorstellen:

• Zeit bis zum 4-fachen Wachstum = ln(4) = Zeit zum Verdoppeln und dann nochmal verdoppeln = ln(2) + ln(2)

Interessant. Jede Wachstumsrate, sagen wir 20, kann unmittelbar nach einer 10-fachen Steigerung als Verdoppelung angesehen werden. Oder Wachstum 4 mal und dann 5 mal. Oder eine Verdreifachung und dann eine Steigerung um das 6,666-fache. Sehen Sie das Muster?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Der Logarithmus von A mal B ist log(A) + log(B). Diese Beziehung macht sofort Sinn, wenn Sie auf Wachstum setzen.

Wenn Sie an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, können Sie entweder auf ln(30) auf einmal warten oder warten, bis sich ln(3) verdreifacht, und dann ein weiteres ln(10), um sich mit zehn zu multiplizieren. Endergebnis gleich, also muss natürlich die Zeit konstant bleiben (und bleibt).

Was ist mit der Teilung? Insbesondere bedeutet ln(5/3): Wie lange dauert es, 5-mal zu wachsen und dann 1/3 davon zu bekommen?

Toll, ein Faktor von 5 ist ln(5). Das 1/3-fache Wachsen dauert -ln(3) Zeiteinheiten. So,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Das bedeutet: 5 Mal wachsen lassen und dann „in der Zeit zurückgehen“ bis zu dem Punkt, an dem nur noch ein Drittel dieser Menge übrig ist, also 5/3 Wachstum erhalten. Im Allgemeinen stellt sich heraus

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Ich hoffe, die seltsame Arithmetik der Logarithmen beginnt für Sie einen Sinn zu ergeben: Das Multiplizieren von Wachstumsraten wird zum Addieren von Einheiten der Wachstumszeit, und das Dividieren wird zum Subtrahieren von Zeiteinheiten. Lerne die Regeln nicht auswendig, versuche sie zu verstehen.

Verwendung des natürlichen Logarithmus für willkürliches Wachstum

Nun, natürlich, sagen Sie, ist alles gut, wenn das Wachstum 100 % beträgt, aber was ist mit den 5 %, die ich bekomme?

Kein Problem. Die „Zeit“, die wir mit ln() berechnen, ist eigentlich eine Kombination aus Zinssatz und Zeit, das gleiche X aus der e x -Gleichung. Wir haben uns nur entschieden, den Prozentsatz der Einfachheit halber auf 100 % zu setzen, aber es steht uns frei, eine beliebige Zahl zu verwenden.

Nehmen wir an, wir wollen das 30-fache Wachstum erreichen: Wir nehmen ln(30) und erhalten 3,4. Das bedeutet:

• e x = Höhe
• e 3,4 = 30

Offensichtlich bedeutet diese Gleichung „100 % Rendite über 3,4 Jahre ergibt das 30-fache“. Wir können diese Gleichung wie folgt schreiben:

• e x = e Rate*Zeit
• e 100 % * 3,4 Jahre = 30

Wir können die Werte von "Rate" und "Zeit" ändern, solange die Rate * Zeit 3.4 bleibt. Wenn wir beispielsweise an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, wie lange müssen wir bei einem Zinssatz von 5 % warten?

• log(30) = 3,4
• Rate * Zeit = 3,4
• 0,05 * Zeit = 3,4
• Zeit = 3,4 / 0,05 = 68 Jahre

Ich argumentiere so: "ln(30) = 3,4, also dauert es bei 100 % Wachstum 3,4 Jahre. Wenn ich die Wachstumsrate verdopple, halbiert sich die benötigte Zeit."

• 100 % in 3,4 Jahren = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % in 1,7 Jahren = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % in 6,8 Jahren = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % über 68 Jahre = 0,05 * 68 = 3,4 .

Es ist großartig, oder? Der natürliche Logarithmus kann mit jedem Zinssatz und jeder Zeit verwendet werden, solange ihr Produkt konstant bleibt. Sie können die Werte der Variablen beliebig verschieben.

Schlechtes Beispiel: Die 72-Regel

Die Zweiundsiebzig-Regel ist eine mathematische Technik, mit der Sie abschätzen können, wie lange es dauern wird, bis sich Ihr Geld verdoppelt. Jetzt werden wir es herleiten (ja!), und außerdem werden wir versuchen, sein Wesen zu verstehen.

Wie lange dauert es, Ihr Geld mit einer Rate von 100 % zu verdoppeln, die jedes Jahr steigt?

Op-pa. Wir haben für den Fall des kontinuierlichen Wachstums den natürlichen Logarithmus verwendet, und Sie sprechen jetzt von der jährlichen Abschreibung? Wäre diese Formel für einen solchen Fall nicht ungeeignet? Ja, das wird es, aber bei realen Zinssätzen wie 5 %, 6 % oder sogar 15 % wird der Unterschied zwischen einer jährlichen Aufzinsung und einem stetigen Wachstum gering sein. Die grobe Schätzung funktioniert also, äh, ungefähr, also werden wir so tun, als hätten wir eine vollständig kontinuierliche Rückstellung.

Jetzt ist die Frage einfach: Wie schnell können Sie mit 100 % Wachstum verdoppeln? In(2) = 0,693. Es dauert 0,693 Zeiteinheiten (in unserem Fall Jahre), um unsere Summe bei einem kontinuierlichen Wachstum von 100% zu verdoppeln.

Was also, wenn der Zinssatz nicht 100 % beträgt, sondern sagen wir 5 % oder 10 %?

Leicht! Da Rate * Zeit = 0,693 ist, verdoppeln wir den Betrag:

• Rate * Zeit = 0,693
• Zeit = 0,693 / Rate

Wenn das Wachstum also 10 % beträgt, dauert es 0,693 / 0,10 = 6,93 Jahre, um sich zu verdoppeln.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, multiplizieren wir beide Teile mit 100, dann können wir "10" sagen und nicht "0,10":

• Verdopplungszeit = 69,3 / Einsatz, wobei der Einsatz als Prozentsatz ausgedrückt wird.

Jetzt ist es an der Zeit, bei 5 % zu verdoppeln, 69,3 / 5 = 13,86 Jahre. Allerdings ist 69,3 nicht die bequemste Dividende. Wählen wir eine enge Zahl, 72, die bequem durch 2, 3, 4, 6, 8 und andere Zahlen teilbar ist.

• Verdopplungszeit = 72 / Wette

das ist die Regel von zweiundsiebzig. Alles ist vertuscht.

Wenn Sie Zeit zum Verdreifachen finden müssen, können Sie ln(3) ~ 109,8 verwenden und erhalten

• Verdreifachungszeit = 110 / Wette

Was ist ein anderer nützliche Regel. „Regel 72“ gilt für das Wachstum von Zinsen, Bevölkerungswachstum, Bakterienkulturen und alles, was exponentiell wächst.

Was weiter?

Ich hoffe, der natürliche Logarithmus macht jetzt Sinn für Sie - er zeigt die Zeit, die es dauert, bis eine beliebige Zahl exponentiell wächst. Ich denke, es heißt natürlich, weil e ein universelles Maß für das Wachstum ist, also kann ln als universelle Methode angesehen werden, um zu bestimmen, wie lange es dauert, um zu wachsen.

Denken Sie jedes Mal, wenn Sie ln(x) sehen, an „die Zeit, die es braucht, um x-mal zu wachsen“. In einem der nächsten Artikel werde ich e und ln in Verbindung beschreiben, damit der frische Duft der Mathematik die Luft erfüllt.

Komplement: Natürlicher Logarithmus von e

Schnelles Quiz: Wie viel wird ln(e) sein?

• der Matheroboter wird sagen: Da sie als das Inverse zueinander definiert sind, ist offensichtlich, dass ln(e) = 1 ist.
• verstehende Person: ln(e) ist die Anzahl der Male, um "e" mal zu wachsen (etwa 2,718). Die Zahl e selbst ist jedoch ein Maß für das Wachstum um den Faktor 1, also ist ln(e) = 1.

Klar denken.

9. September 2013

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, mit dem du die Zahl a erhöhen musst, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn, dann .

Der Logarithmus ist extrem wichtig mathematischer Wert , da die logarithmische Rechnung nicht nur zu lösen erlaubt Exponentialgleichungen, sondern auch mit Indikatoren zu operieren, exponentiell zu differenzieren und Logarithmische Funktionen, integrieren und in eine berechenbarere Form bringen.

In Kontakt mit

Alle Eigenschaften von Logarithmen stehen in direktem Zusammenhang mit Eigenschaften Exponentialfunktionen. Zum Beispiel die Tatsache, dass bedeutet, dass:

Das ist beim Lösen zu beachten spezifische Aufgaben, können die Eigenschaften von Logarithmen wichtiger und nützlicher sein als die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Hier sind einige Identitäten:

Hier sind die wichtigsten algebraischen Ausdrücke:

;

.

Aufmerksamkeit! kann nur für x>0, x≠1, y>0 existieren.

Versuchen wir, die Frage zu verstehen, was natürliche Logarithmen sind. Separates Interesse an Mathematik stellen zwei Typen dar- der erste hat die Nummer "10" an der Basis und heißt " dezimaler Logarithmus". Die zweite heißt natürlich. Die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e. Über ihn werden wir in diesem Artikel ausführlich sprechen.

Bezeichnungen:

• lg x - dezimal;
• In x - natürlich.

Anhand der Identität können wir sehen, dass ln e = 1 sowie lg 10=1.

natürlicher Logarithmus

Wir konstruieren einen Graphen des natürlichen Logarithmus auf die klassische Standardmethode durch Punkte. Wenn Sie möchten, können Sie überprüfen, ob wir eine Funktion korrekt erstellen, indem Sie die Funktion untersuchen. Es ist jedoch sinnvoll zu lernen, wie man es "manuell" baut, um zu wissen, wie man den Logarithmus richtig berechnet.

Funktion: y = log x. Lassen Sie uns eine Tabelle mit Punkten schreiben, durch die der Graph verläuft:

Lassen Sie uns erklären, warum wir solche Werte des Arguments x gewählt haben. Es geht um Identität: Für einen natürlichen Logarithmus sieht diese Identität so aus:

Der Einfachheit halber können wir fünf Referenzpunkte nehmen:

;

;

.

;

.

Daher ist das Zählen natürlicher Logarithmen eine ziemlich einfache Aufgabe, außerdem vereinfacht es die Berechnung von Operationen mit Potenzen und verwandelt sie in normale Multiplikation.

Nachdem wir ein Diagramm nach Punkten erstellt haben, erhalten wir ein ungefähres Diagramm:

Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus (also all zulässige Werte Argument X) - alle Zahlen sind größer als Null.

Aufmerksamkeit! Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus umfasst nur positive Zahlen! Der Gültigkeitsbereich umfasst nicht x=0. Dies ist aufgrund der Existenzbedingungen des Logarithmus unmöglich.

Der Wertebereich (also alle gültigen Werte der Funktion y = ln x) sind alle Zahlen im Intervall .

natürliche Protokollgrenze

Beim Studium des Graphen stellt sich die Frage: Wie verhält sich die Funktion, wenn y<0.

Offensichtlich neigt der Graph der Funktion dazu, die y-Achse zu kreuzen, kann dies jedoch nicht, da der natürliche Logarithmus von x<0 не существует.

Natürliche Grenze Protokoll kann so geschrieben werden:

Formel zum Ändern der Basis eines Logarithmus

Der Umgang mit einem natürlichen Logarithmus ist viel einfacher als der Umgang mit einem Logarithmus mit beliebiger Basis. Deshalb werden wir versuchen zu lernen, wie man jeden Logarithmus auf einen natürlichen reduziert oder ihn durch natürliche Logarithmen in einer beliebigen Basis ausdrückt.

Beginnen wir mit der logarithmischen Identität:

Dann kann jede Zahl oder Variable y dargestellt werden als:

wobei x eine beliebige Zahl ist (positiv gemäß den Eigenschaften des Logarithmus).

Dieser Ausdruck kann auf beiden Seiten logarithmiert werden. Machen wir das mit einer beliebigen Basis z:

Lassen Sie uns die Eigenschaft verwenden (nur statt "mit" haben wir einen Ausdruck):

Daraus erhalten wir die universelle Formel:

.

Insbesondere wenn z = e, dann:

.

Wir haben es geschafft, den Logarithmus zu einer beliebigen Basis durch das Verhältnis zweier natürlicher Logarithmen darzustellen.

Wir lösen Probleme

Um besser in natürlichen Logarithmen zu navigieren, betrachten Sie Beispiele für mehrere Probleme.

Aufgabe 1. Es ist notwendig, die Gleichung ln x = 3 zu lösen.

Lösung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then , erhalten wir:

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lösung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then , erhalten wir:

.

Wir wenden wieder die Definition des Logarithmus an:

.

Auf diese Weise:

.

Sie können die Antwort ungefähr berechnen oder in dieser Form belassen.

Aufgabe 3. Löse die Gleichung.

Lösung: Nehmen wir eine Substitution vor: t = ln x. Dann nimmt die Gleichung folgende Form an:

.

Wir haben eine quadratische Gleichung. Lassen Sie uns seine Diskriminante finden:

Erste Wurzel der Gleichung:

.

Zweite Wurzel der Gleichung:

.

Wenn wir uns daran erinnern, dass wir die Substitution t = ln x vorgenommen haben, erhalten wir:

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie sind logarithmische Größen weit verbreitet. Dies ist nicht verwunderlich, da die Zahl e - oft die Wachstumsrate exponentieller Werte widerspiegelt.

In der Informatik, Programmierung und Computertheorie sind Logarithmen weit verbreitet, um beispielsweise N Bits im Speicher zu speichern.

In den Theorien der Fraktale und Dimensionen werden ständig Logarithmen verwendet, da die Dimensionen von Fraktalen nur mit ihrer Hilfe bestimmt werden.

In Mechanik und Physik Es gibt keinen Abschnitt, in dem keine Logarithmen verwendet wurden. Die barometrische Verteilung, alle Prinzipien der statistischen Thermodynamik, die Tsiolkovsky-Gleichung und so weiter sind Prozesse, die mathematisch nur mit Logarithmen beschrieben werden können.

In der Chemie wird der Logarithmus in den Nernst-Gleichungen, Beschreibungen von Redoxprozessen, verwendet.

Erstaunlicherweise werden sogar in der Musik Logarithmen verwendet, um die Anzahl der Teile einer Oktave herauszufinden.

Natürlicher Logarithmus Funktion y=ln x ihre Eigenschaften

Beweis der Haupteigenschaft des natürlichen Logarithmus

nehmen oft eine Nummer e = 2,718281828 . Logarithmen in dieser Basis werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen ist es üblich, mit dem Vorzeichen zu arbeiten ln, und nicht Protokoll; während die Nummer 2,718281828 , die die Basis definieren, nicht angeben.

Mit anderen Worten, der Wortlaut sieht folgendermaßen aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X ist der Exponent, mit dem die Zahl erhöht werden soll e, um zu bekommen x.

So, ln(7.389...)= 2 weil e 2 =7,389... . Der natürliche Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e, und der natürliche Logarithmus der Einheit ist gleich Null, da e 0 = 1.

Die Nummer selbst e definiert die Grenze einer monoton beschränkten Folge

das ausgerechnet e = 2,7182818284... .

Sehr oft werden die Ziffern der erforderlichen Nummer mit einem ausstehenden Datum verknüpft, um eine Nummer im Gedächtnis zu fixieren. Die Geschwindigkeit, sich die ersten neun Ziffern einer Zahl zu merken e nach dem Komma erhöht sich, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!

Bis heute gibt es ziemlich vollständige Tabellen natürlicher Logarithmen.

natürlicher Logarithmus(Funktionen y=In x) ergibt sich aus der Darstellung des Exponenten als Spiegelbild zur Geraden y = x und sieht aus wie:

Den natürlichen Logarithmus findet man für jede positive reelle Zahl a als Fläche unter der Kurve j = 1/x aus 1 Vor a.

Die Elementarität dieser Formulierung, die zu vielen anderen Formeln passt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.

Wenn wir analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann handelt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:

ln(a)=a (a>0)

ln(ea)=a

Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion um:

ln(xy) = ln(x) + ln(j)

ln(x/y)= Inx - lny

Den Logarithmus findet man für jede positive Basis ungleich eins, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur durch einen konstanten Faktor und werden normalerweise in Bezug auf den natürlichen Logarithmus definiert.

Analysiert natürliches Log-Diagramm, wir bekommen, dass es für positive Werte der Variablen existiert x. Es wächst monoton auf seinem Definitionsbereich.

Bei x → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen x der Logarithmus steigt ziemlich langsam an. Jede Potenzfunktion x ein mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema.

Verwendungszweck Natürliche Logarithmen sehr rational im Durchgang der höheren Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen die Unbekannten als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht es, eine große Anzahl mathematischer Formeln erheblich zu vereinfachen. Basislogarithmen e sind bei der Lösung einer beträchtlichen Anzahl physikalischer Probleme vorhanden und werden natürlich in die mathematische Beschreibung einzelner chemischer, biologischer und anderer Prozesse einbezogen. Daher werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu berechnen oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu berechnen. Sie spielen eine führende Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und der praktischen Wissenschaften, sie werden im Bereich der Finanzen zur Lösung einer Vielzahl von Problemen herangezogen, unter anderem bei der Berechnung des Zinseszinses.

Graph der Funktion des natürlichen Logarithmus. Die Funktion nähert sich langsam positiv unendlich als x und nähert sich schnell negativ unendlich, wenn x gegen 0 tendiert („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von x).

natürlicher Logarithmus ist der Basislogarithmus , wo e (\displaystyle e) eine irrationale Konstante von ungefähr 2,72 ist. Es wird als bezeichnet ln ⁡ x (\displaystyle \lnx), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) oder manchmal einfach log ⁡ x (\displaystyle \log x) wenn die basis e (\displaystyle e) impliziert . Mit anderen Worten, der natürliche Logarithmus einer Zahl x ist der Exponent, mit dem die Zahl erhöht werden soll e, um zu bekommen x. Diese Definition lässt sich auch auf komplexe Zahlen erweitern.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), weil e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), weil e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Der natürliche Logarithmus lässt sich auch geometrisch für jede positive reelle Zahl definieren a als Fläche unter der Kurve y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) zwischen [ eines ; a] (\displaystyle). Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die diesen Logarithmus verwenden, erklärt den Ursprung des Namens „natürlich“.

Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist es die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die zu den Identitäten führt:

e log ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)