Herleitung der Ableitungsformel Machtfunktion(x hoch a). Ableitungen von Wurzeln von x werden betrachtet. Die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion Auftrag von oben. Beispiele zur Berechnung von Derivaten.

Die Ableitung von x hoch a ist a mal x hoch a minus eins:
(1) .

Die Ableitung der n-ten Wurzel von x zur m-ten Potenz ist:
(2) .

Herleitung der Formel zur Ableitung einer Potenzfunktion

Fall x > 0

Betrachten Sie eine Potenzfunktion der Variablen x mit dem Exponenten a :
(3) .
Hier ist a beliebig reelle Zahl. Betrachten wir zunächst den Fall.

Um die Ableitung der Funktion (3) zu finden, verwenden wir die Eigenschaften der Potenzfunktion und transformieren sie in die folgende Form:
.

Jetzt finden wir die Ableitung, indem wir anwenden:
;
.
Hier .

Formel (1) ist bewiesen.

Herleitung der Formel für die Ableitung der Wurzel vom Grad n von x zum Grad m

Betrachten Sie nun eine Funktion, die die Wurzel der folgenden Form ist:
(4) .

Um die Ableitung zu finden, wandeln wir die Wurzel in eine Potenzfunktion um:
.
Im Vergleich mit Formel (3) sehen wir das
.
Dann
.

Durch Formel (1) finden wir die Ableitung:
(1) ;
;
(2) .

In der Praxis besteht keine Notwendigkeit, Formel (2) auswendig zu lernen. Es ist viel bequemer, zuerst die Wurzeln in Potenzfunktionen umzuwandeln und dann ihre Ableitungen mit Formel (1) zu finden (siehe Beispiele am Ende der Seite).

Fall x = 0

Wenn , dann ist die Exponentialfunktion auch für den Wert der Variablen x = definiert 0 . Finden wir die Ableitung der Funktion (3) für x = 0 . Dazu verwenden wir die Definition eines Derivats:
.

Ersetze x = 0 :
.
In diesem Fall meinen wir mit Ableitung die rechte Grenze, für die .

Also fanden wir:
.
Daraus ist ersichtlich, dass bei , .
Bei , .
Bei , .
Dieses Ergebnis wird auch durch Formel (1) erhalten:
(1) .
Daher gilt Formel (1) auch für x = 0 .

Fall x< 0

Betrachten Sie noch einmal die Funktion (3):
(3) .
Für einige Werte der Konstanten a ist sie auch für definiert negative Werte Variable x. Lassen Sie nämlich a sein Rationale Zahl. Dann kann es dargestellt werden als irreduzibler Bruch:
,
wobei m und n ganze Zahlen ohne sind gemeinsamer Teiler.

Ist n ungerade, dann ist die Exponentialfunktion auch für negative Werte der Variablen x definiert. Zum Beispiel für n = 3 und m = 1 Wir haben die Kubikwurzel von x :
.
Es ist auch für negative Werte von x definiert.

Finden wir die Ableitung der Potenzfunktion (3) für und für rationale Werte Konstante a , für die sie definiert ist. Dazu stellen wir x in folgender Form dar:
.
Dann ,
.
Wir finden die Ableitung, indem wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung nehmen und die Ableitungsregel einer komplexen Funktion anwenden:

.
Hier . Aber
.
Seit damals
.
Dann
.
Das heißt, Formel (1) gilt auch für:
(1) .

Ableitungen höherer Ordnung

Jetzt finden wir die Ableitungen höherer Ordnung der Potenzfunktion
(3) .
Wir haben bereits die Ableitung erster Ordnung gefunden:
.

Wenn wir die Konstante a aus dem Vorzeichen der Ableitung nehmen, finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Ebenso finden wir Ableitungen dritter und vierter Ordnung:
;

.

Ab hier ist das klar Ableitung beliebiger n-ter Ordnung hat folgende Form:
.

beachte das wenn a eine natürliche Zahl ist, , dann ist die n-te Ableitung konstant:
.
Dann sind alle nachfolgenden Ableitungen gleich Null:
,
bei .

Abgeleitete Beispiele

Beispiel

Finden Sie die Ableitung der Funktion:
.

Lösung

Wandeln wir die Wurzeln in Potenzen um:
;
.
Dann nimmt die ursprüngliche Funktion die Form an:
.

Wir finden Ableitungen von Graden:
;
.
Die Ableitung einer Konstanten ist Null:
.

Erste Ebene

Ableitung der Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal entlang der Straße und vertikal ausgerichtet ist, ist die Straßenlinie dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion sehr ähnlich:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als solches.

Wenn wir uns auf einer solchen Straße vorwärts bewegen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die "Steilheit" unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich um eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? In der Tat werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszissenachse) bewegen, steigen oder fallen unterschiedlicher Betrag Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse).

Wir bezeichnen Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt - dies ist eine Größenänderung, - eine Änderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das heißt zum Beispiel.

Wir haben uns also horizontal vorwärts bewegt. Wenn wir die Linie der Straße mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Na sicher, . Das heißt, wenn wir uns vorwärts bewegen, steigen wir höher auf.

Es ist einfach, den Wert zu berechnen: Wenn wir uns am Anfang auf einer Höhe befanden und nach dem Umzug auf einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ - das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, wie stark (steil) die Höhe beim Vorwärtsbewegen pro Wegeinheit zunimmt:

Angenommen, auf einem Abschnitt des Weges steigt die Straße um Kilometer an, wenn sie um Kilometer vorrückt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße beim Vorrücken um m um km sank? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Beginn des Abschnitts einen halben Kilometer nach oben und das Ende - einen halben Kilometer danach - nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier fast gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und genauere Schätzung der Steilheit berücksichtigt werden. Wenn Sie zum Beispiel die Höhenänderung messen, wenn Sie sich einen Meter bewegen, wird das Ergebnis viel genauer sein. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus - schließlich können wir, wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, einfach durchrutschen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

BEI wahres Leben Die millimetergenaue Abstandsmessung ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulo-Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und Sie teilen diese Zahl durch - und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x strebt gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber ganz nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Wahrscheinlich ist es Ihnen schon begegnet, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist im Modul größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Aber immer noch unendlich Darüber hinaus was wird funktionieren. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für ein unendlich kleines Segment des Weges berechnete Steigung, das heißt:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht bedeutet Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, kann es ganz schön werden gemeinsame Nummer, zum Beispiel, . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir fahren keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs in der Mathematik heißt Veränderung. Wie stark sich das Argument () beim Bewegen entlang der Achse geändert hat, wird aufgerufen Argumenterhöhung und bezeichnet durch Wie viel sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zum Wann. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie mit der Straße ist hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Na sicher. Wenn wir zum Beispiel auf einer flachen horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. So ist es mit der Ableitung: der Ableitung dauerhafte Funktion(Konstante) ist Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für alle Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf dem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Segmentenden so anzuordnen verschiedene Seiten von oben, dass die Höhe an den Enden gleich ist, d.h. das Segment parallel zur Achse ist:

Aber große Segmente sind ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir werden unser Segment parallel zu sich selbst anheben, dann wird seine Länge abnehmen.

Am Ende, wenn wir der Spitze unendlich nahe sind, wird die Länge des Segments unendlich klein. Gleichzeitig blieb es jedoch parallel zur Achse, dh der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (neigt nicht, ist aber gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße nur unwesentlich.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu, rechts fällt sie ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft, ohne Sprünge (weil die Straße ihre Neigung nirgendwo stark ändert). Also zwischen negativ und positive Werte muss sein. Es wird dort sein, wo die Funktion weder zunimmt noch abnimmt - am Scheitelpunkt.

Dasselbe gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Ein bisschen mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) geworden? Wir können einen beliebigen Punkt wählen, und jetzt werden wir von ihm aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist jetzt das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion jetzt? Wo das Argument hingehört, kommt die Funktion dorthin: . Was ist mit dem Funktionsinkrement? Nichts Neues: Um diesen Betrag hat sich die Funktion noch geändert:

Übe das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
2. Dasselbe gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

BEI verschiedene Punkte bei gleichem Inkrement des Arguments ist das Inkrement der Funktion unterschiedlich. Dies bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das ganz am Anfang besprochen - die Steilheit der Straße an verschiedenen Punkten ist unterschiedlich). Wenn wir also eine Ableitung schreiben, müssen wir angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, richtig?) ist.

Und - in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Lassen Sie uns seine Ableitung an einem Punkt finden. Denken Sie an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Zuwachs ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Betrachten Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Das bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein ist und daher vor dem Hintergrund eines anderen Terms unbedeutend ist:

Also haben wir eine andere Regel:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation des Würfels der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck in Faktoren mit der Formel für die Differenz von Würfeln. Versuchen Sie, es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten zu tun.

Also ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Terme vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und nimmt dann um ab“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Sehen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung - durch Zählen des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, das ist eine Potenzfunktion. Bei Fragen wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merkt euch das Thema „ “!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
   Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
   .
   Wir suchen die Ableitung mit der neu gelernten Formel:

   Wenn es an dieser Stelle wieder unklar wurde, wiederholen Sie das Thema "" !!! (über den Abschluss mit negativer Indikator)

2. . Jetzt der Exponent:

   Und nun zur Definition (schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Term, der enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Beim Ausdruck.

Den Beweis lernst du im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, musst du die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass, wenn die Funktion nicht existiert, der Punkt auf dem Graphen punktiert ist. Aber je näher am Wert, desto näher an der Funktion, das ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Taschenrechner in den Radian-Modus zu schalten!

usw. Wir sehen, dass je kleiner die nähere Bedeutung Beziehung zu.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema ""):.

Nun die Ableitung:

Nehmen wir eine Ersetzung vor: . Dann ist sie für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt merken wir uns das mit dem Ausdruck. Auch was wäre, wenn unendlich kleine Größe kann in der Summe vernachlässigt werden (also at).

Also bekommen wir nächste Regel:die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dies sind grundlegende („Tabellen“)-Derivate. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch ein paar weitere hinzufügen, aber das sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Trainieren:

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
2. Finde die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Zuerst finden wir die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie es dann durch seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie zu sich zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination aus mehreren Arten von Funktionen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen Sie einige weitere Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

Es gibt eine solche Funktion in der Mathematik, deren Ableitung für jede gleich dem Wert der Funktion selbst für dieselbe ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, lass uns nicht weit gehen, lass uns sofort überlegen Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man einen „natürlichen“ und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ebenfalls sehr einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller u natürlicher Logarithmus- Funktionen sind in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später besprechen werden Lassen Sie uns die Regeln durchgehen Unterscheidung.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Wieder neuer Ausdruck, wieder?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, dh es gibt keine Möglichkeit, sie weiter aufzuschreiben einfache Form. Daher wird es in der Antwort in dieser Form belassen.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen werden fast nie in der Prüfung gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um Schokolade zu essen, müssen Sie tun umgekehrte Aktionen in umgekehrte Reihenfolge.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist das Beispiel komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrieren Sie, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Wichtiges Merkmal Komplexe Funktionen: Wenn Sie die Reihenfolge der Aktionen ändern, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel, .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Angewendet ursprüngliches Beispiel es sieht aus wie das:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Mit diesem Video beginne ich eine lange Reihe von Lektionen über Derivate. Diese Lektion hat mehrere Teile.

Zunächst erkläre ich Ihnen, was Ableitungen im Allgemeinen sind und wie man sie berechnet, aber nicht in einer anspruchsvollen akademischen Sprache, sondern so, wie ich sie selbst verstehe und meinen Schülern erkläre. Zweitens betrachten wir die einfachste Regel zur Lösung von Problemen, bei der wir nach Ableitungen von Summen, Ableitungen einer Differenz und Ableitungen einer Potenzfunktion suchen.

Wir werden komplexere kombinierte Beispiele betrachten, aus denen Sie insbesondere lernen werden, dass ähnliche Probleme mit Wurzeln und sogar Brüchen mit der Formel zur Ableitung einer Potenzfunktion gelöst werden können. Darüber hinaus wird es natürlich viele Aufgaben und Lösungsbeispiele zu den Aufgaben geben verschiedene Level Schwierigkeiten.

Im Allgemeinen wollte ich zunächst ein kurzes 5-Minuten-Video aufnehmen, aber Sie können selbst sehen, was dabei herausgekommen ist. So genug der Texte - kommen wir zur Sache.

Was ist ein Derivat?

Fangen wir also von weitem an. Vor vielen Jahren, als die Bäume grüner und das Leben lustiger war, dachten Mathematiker darüber nach: Betrachten Sie eine einfache Funktion, die durch ihren Graphen gegeben ist, nennen wir sie $y=f\left(x \right)$. Natürlich existiert der Graph nicht alleine, also müssen Sie sowohl die $x$-Achse als auch die $y$-Achse zeichnen. Und jetzt wählen wir einen beliebigen Punkt in diesem Diagramm, absolut jeden. Nennen wir die Abszisse $((x)_(1))$, die Ordinate ist, wie Sie vielleicht vermuten, $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Betrachten Sie einen anderen Punkt in derselben Grafik. Egal welches, Hauptsache es unterscheidet sich vom Original. Sie hat wiederum eine Abszisse, nennen wir sie $((x)_(2))$, sowie eine Ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Wir haben also zwei Punkte: Sie haben unterschiedliche Abszissen und daher unterschiedliche Bedeutungen Funktionen, obwohl letzteres optional ist. Aber was wirklich wichtig ist, ist, dass wir aus dem Planimetriekurs wissen, dass eine Gerade durch zwei Punkte gezogen werden kann und außerdem nur durch einen. Hier, lassen Sie es uns ausführen.

Und jetzt ziehen wir eine gerade Linie durch den allerersten von ihnen, parallel zur x-Achse. Erhalten rechtwinkliges Dreieck. Nennen wir es $ABC$, rechter Winkel $C$. Dieses Dreieck hat einen sehr interessante Eigenschaft: Tatsache ist, dass der $\alpha $-Winkel tatsächlich gleich dem Winkel, unter der sich die Gerade $AB$ mit der Fortsetzung der Abszissenachse schneidet. Urteile selbst:

1. Die Linie $AC$ ist konstruktionsbedingt parallel zur Achse $Ox$,
2. Linie $AB$ schneidet $AC$ unter $\alpha $,
3. daher schneidet $AB$ $Ox$ unter demselben $\alpha $.

Was können wir über $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ sagen? Nichts Konkretes, außer dass im Dreieck $ABC$ das Verhältnis des Schenkels $BC$ zum Schenkel $AC$ gleich der Tangente dieses Winkels ist. Schreiben wir also:

Natürlich $AC$ rein dieser Fall leicht überlegt:

Ähnlich für $BC$:

Mit anderen Worten, wir können Folgendes schreiben:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Nun, da wir alles herausgefunden haben, gehen wir zurück zu unserem Diagramm und schauen es uns an neuer Punkt$B$. Lösche die alten Werte und nimm und nimm $B$ irgendwo näher an $((x)_(1))$. Lassen Sie uns seine Abszisse wieder als $((x)_(2))$ und seine Ordinate als $f\left(((x)_(2)) \right)$ bezeichnen.

Betrachten Sie noch einmal unser kleines Dreieck $ABC$ und $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ darin. Dass das ein ganz anderer Winkel sein wird, liegt auf der Hand, der Tangens wird auch ein anderer sein, weil sich die Längen der Segmente $AC$ und $BC$ stark geändert haben und die Formel für den Tangens des Winkels sich überhaupt nicht geändert hat - Dies ist immer noch das Verhältnis zwischen dem Ändern der Funktion und dem Ändern des Arguments.

Schließlich bewegen wir $B$ immer näher an den Anfangspunkt $A$, wodurch das Dreieck noch mehr schrumpft und die Linie, die das Segment $AB$ enthält, immer mehr wie eine Tangente an die aussieht Graph der Funktion.

Wenn wir uns also weiter an die Punkte annähern, also den Abstand auf Null verringern, dann wird die Gerade $AB$ an dieser Stelle tatsächlich zu einer Tangente an den Graphen und $\text( )\!\!\ alpha\!\ !\text( )$ ändert sich von einem normalen Dreieckselement in den Winkel zwischen der Tangente an den Graphen und der positiven Richtung der $Ox$-Achse.

Und hier gehen wir nahtlos zur Definition von $f$ über, nämlich die Ableitung der Funktion am Punkt $((x)_(1))$ ist die Tangente des Winkels $\alpha $ zwischen der Tangente an die Graph am Punkt $((x)_( 1))$ und der positiven Richtung der $Ox$-Achse:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Um zu unserem Diagramm zurückzukehren, sollte beachtet werden, dass Sie als $((x)_(1))$ jeden Punkt auf dem Diagramm auswählen können. Beispielsweise könnten wir mit demselben Erfolg den Strich an der in der Abbildung gezeigten Stelle entfernen.

Nennen wir den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse $\beta $. Dementsprechend ist $f$ in $((x)_(2))$ gleich dem Tangens dieses Winkels $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Jeder Punkt des Diagramms hat seine eigene Tangente und folglich seinen eigenen Wert der Funktion. In jedem dieser Fälle ist es notwendig, zusätzlich zu dem Punkt, an dem wir nach der Ableitung einer Differenz oder einer Summe oder einer Ableitung einer Potenzfunktion suchen, einen weiteren Punkt zu nehmen, der sich in einiger Entfernung davon befindet, und dann Richten Sie diesen Punkt auf den ursprünglichen aus und finden Sie natürlich heraus, wie eine solche Bewegung dabei den Tangens des Neigungswinkels ändert.

Ableitung der Potenzfunktion

Leider passt diese Definition überhaupt nicht zu uns. All diese Formeln, Bilder, Winkel geben uns nicht die geringste Vorstellung davon, wie man die echte Ableitung in berechnet echte Aufgaben. Lassen Sie uns daher ein wenig von der formalen Definition abschweifen und über effektivere Formeln und Techniken nachdenken, mit denen Sie bereits echte Probleme lösen können.

Beginnen wir mit den einfachsten Konstruktionen, nämlich Funktionen der Form $y=((x)^(n))$, also Machtfunktionen. In diesem Fall können wir Folgendes schreiben: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Mit anderen Worten, der Grad, der im Exponenten stand, wird im Multiplikator davor angezeigt , und der Exponent selbst wird um eine Einheit reduziert, zum Beispiel:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Und hier noch eine Möglichkeit:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Verwenden Sie diese einfache Regeln, versuchen wir, den Strich der folgenden Beispiele zu entfernen:

Also bekommen wir:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Lösen wir nun den zweiten Ausdruck:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Diese waren natürlich sehr einfache Aufgaben. Echte Probleme sind jedoch komplexer und nicht auf die Potenzen einer Funktion beschränkt.

Also, Regel Nummer 1 - wenn die Funktion als die anderen beiden dargestellt wird, dann ist die Ableitung dieser Summe gleich der Summe der Ableitungen:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Ebenso ist die Ableitung der Differenz zweier Funktionen gleich der Differenz der Ableitungen:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

Außerdem gibt es noch einen wichtige Regel: Wenn vor einem $f$ eine Konstante $c$ steht, mit der diese Funktion multipliziert wird, dann wird das $f$ dieser ganzen Konstruktion wie folgt betrachtet:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Zum Schluss noch eine sehr wichtige Regel: Probleme enthalten oft einen separaten Begriff, der $x$ überhaupt nicht enthält. Das können wir zum Beispiel in unseren heutigen Äußerungen beobachten. Die Ableitung einer Konstanten, also einer Zahl, die in keiner Weise von $x$ abhängt, ist immer gleich Null, und es spielt überhaupt keine Rolle, was die Konstante $c$ gleich ist:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Lösungsbeispiel:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Nochmal die Eckdaten:

1. Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist immer gleich der Summe der Ableitungen: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Aus ähnlichen Gründen ist die Ableitung der Differenz zweier Funktionen gleich der Differenz zweier Ableitungen: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Besitzt die Funktion einen konstanten Multiplikator, so kann diese Konstante aus dem Ableitungszeichen herausgenommen werden: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Wenn die ganze Funktion eine Konstante ist, dann ist ihre Ableitung immer Null: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Mal sehen, wie das alles funktioniert echte Beispiele. So:

Wir schreiben auf:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

In diesem Beispiel sehen wir sowohl die Ableitung der Summe als auch die Ableitung der Differenz. Die Ableitung ist also $5((x)^(4))-6x$.

Kommen wir zur zweiten Funktion:

Schreibe die Lösung auf:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Hier haben wir die Antwort gefunden.

Kommen wir zur dritten Funktion – die ist schon gravierender:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2))) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Kommen wir zum letzten Ausdruck - dem komplexesten und längsten:

Also überlegen wir:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Aber die Lösung endet hier nicht, weil wir aufgefordert werden, nicht nur den Strich zu entfernen, sondern seinen Wert an einer bestimmten Stelle zu berechnen, also ersetzen wir −1 anstelle von $x$ in den Ausdruck:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Wir gehen weiter und gehen weiter zu noch komplexeren und interessante Beispiele. Der Punkt ist, dass die Formel zur Lösung der Potenzableitung $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ hat einen noch größeren Anwendungsbereich, als allgemein angenommen wird. Mit seiner Hilfe können Sie Beispiele mit Brüchen, Wurzeln usw. lösen. Das werden wir jetzt tun.

Schreiben wir zunächst noch einmal die Formel auf, die uns hilft, die Ableitung der Potenzfunktion zu finden:

Und jetzt Achtung: bisher haben wir nur $n$ betrachtet ganze Zahlen, wir mischen uns jedoch nicht in die Berücksichtigung von Brüchen und geraden ein negative Zahlen. Wir können zum Beispiel Folgendes schreiben:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nichts Kompliziertes, also sehen wir uns an, wie uns diese Formel hilft, wenn wir mehr lösen herausfordernde Aufgaben. Also ein Beispiel:

Schreibe die Lösung auf:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Gehen wir zurück zu unserem Beispiel und schreiben:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Das ist so eine schwierige Entscheidung.

Kommen wir zum zweiten Beispiel – es gibt nur zwei Begriffe, aber jeder von ihnen enthält sowohl einen klassischen Abschluss als auch Wurzeln.

Jetzt lernen wir, wie man die Ableitung einer Potenzfunktion findet, die zusätzlich eine Wurzel enthält:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Beide Terme werden berechnet, es bleibt die endgültige Antwort aufzuschreiben:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Ableitung eines Bruchs in Form einer Potenzfunktion

Aber die Möglichkeiten der Formel zur Lösung der Ableitung einer Potenzfunktion enden hier nicht. Tatsache ist, dass Sie mit seiner Hilfe nicht nur Beispiele mit Wurzeln, sondern auch mit Brüchen zählen können. Das ist eben diese seltene Gelegenheit, die die Lösung solcher Beispiele stark vereinfacht, aber nicht nur von Schülern, sondern auch von Lehrern oft übersehen wird.

Also werden wir jetzt versuchen, zwei Formeln gleichzeitig zu kombinieren. Einerseits die klassische Ableitung einer Potenzfunktion

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Andererseits wissen wir, dass ein Ausdruck der Form $\frac(1)(((x)^(n)))$ als $((x)^(-n))$ dargestellt werden kann. Folglich,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Also die Derivate einfache Brüche, wobei der Zähler eine Konstante und der Nenner ein Grad ist, werden ebenfalls mit der klassischen Formel berechnet. Mal sehen, wie es in der Praxis funktioniert.

Also die erste Funktion:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ rechts))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Das erste Beispiel ist gelöst, gehen wir zum zweiten über:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

Jetzt sammeln wir all diese Begriffe in einer einzigen Formel:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Wir haben eine Antwort bekommen.

Bevor ich fortfahre, möchte ich Sie jedoch auf die Schreibweise der ursprünglichen Ausdrücke selbst aufmerksam machen: Im ersten Ausdruck haben wir $f\left(x \right)=...$ geschrieben, im zweiten: $y =...$ Viele Schüler verlieren sich, wenn sie sehen verschiedene Formen Aufzeichnungen. Was ist der Unterschied zwischen $f\left(x \right)$ und $y$? Eigentlich nichts. Es sind nur unterschiedliche Einträge mit der gleichen Bedeutung. Gerade wenn wir dann $f\left(x \right)$ sagen wir reden, zunächst einmal über die Funktion, und wenn es um $y$ geht, dann ist meistens der Graph der Funktion gemeint. Ansonsten ist es gleich, d.h. die Ableitung wird in beiden Fällen als gleich angesehen.

Komplexe Probleme mit Derivaten

Abschließend möchte ich einige komplexe kombinierte Probleme betrachten, die alles, was wir heute betrachtet haben, auf einmal verwenden. In ihnen warten wir auf Wurzeln, Brüche und Summen. Komplex werden diese Beispiele allerdings erst im Rahmen des heutigen Video-Tutorials, denn wirklich komplexe Ableitungsfunktionen erwarten Sie vorab.

Der letzte Teil des heutigen Video-Tutorials besteht also aus zwei kombinierten Aufgaben. Beginnen wir mit dem ersten:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Die Ableitung der Funktion ist:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Das erste Beispiel ist gelöst. Betrachten Sie das zweite Problem:

Im zweiten Beispiel gehen wir ähnlich vor:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3))) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]

Lassen Sie uns jeden Term separat berechnen:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3 )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Alle Begriffe werden gezählt. Nun zurück zu ursprüngliche Formel und addiere alle drei Terme zusammen. Wir bekommen, dass die endgültige Antwort sein wird:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Und das ist alles. Das war unsere erste Unterrichtsstunde. In den folgenden Lektionen werden wir uns mehr ansehen komplexe Strukturen, und finden Sie auch heraus, warum Derivate überhaupt benötigt werden.

Ableitungsrechnung- einer der meisten wichtige Operationen in Differentialrechnung. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle zum Auffinden von Derivaten einfache Funktionen. Mehr komplizierte Regeln Differenzierung, siehe andere Lektionen:

• Tabelle der Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Verwenden Sie die angegebenen Formeln als Richtwerte. Sie helfen Ihnen bei der Entscheidung Differentialgleichung und Aufgaben. Im Bild, in der Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen, gibt es einen "Spickzettel" der Hauptfälle, um die Ableitung in einer für die Verwendung verständlichen Form zu finden, daneben sind Erklärungen für jeden Fall.

Ableitungen einfacher Funktionen

1. Die Ableitung einer Zahl ist Null
с´ = 0
Beispiel:
5' = 0

Erläuterung:
Die Ableitung zeigt die Rate, mit der sich der Wert der Funktion ändert, wenn sich das Argument ändert. Da sich die Zahl unter keinen Umständen in irgendeiner Weise ändert, ist die Änderungsrate immer Null.

2. Ableitung einer Variablen gleich eins
x' = 1

Erläuterung:
Mit jeder Erhöhung des Arguments (x) um eins erhöht sich der Wert der Funktion (Rechenergebnis) um den gleichen Betrag. Somit ist die Änderungsrate des Wertes der Funktion y = x genau gleich der Änderungsrate des Wertes des Arguments.

3. Die Ableitung einer Variablen und eines Faktors ist gleich diesem Faktor
сx´ = с
Beispiel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Erläuterung:
In diesem Fall wird jedes Mal, wenn das Funktionsargument ( X) sein Wert (y) wächst an Mit einmal. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion in Bezug auf die Änderungsrate des Arguments genau gleich dem Wert Mit.

Woraus folgt das
(cx + b)" = c
d.h. Differential lineare Funktion y=kx+b ist Winkelkoeffizient Steigung der Geraden (k).

4. Modulo-Ableitung einer Variablen ist gleich dem Quotienten dieser Variablen zu ihrem Modul
|x|"= x / |x| vorausgesetzt, dass x ≠ 0 ist
Erläuterung:
Da die Ableitung der Variablen (siehe Formel 2) gleich Eins ist, unterscheidet sich die Ableitung des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Änderungsrate der Funktion beim Kreuzen des Nullpunkts ins Gegenteil ändert (versuchen Sie, einen Graphen zu zeichnen der Funktion y = |x| und sehen Sie selbst. Dies ist genau der Wert und liefert den Ausdruck x / |x| Wenn x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - eins. Das heißt, bei negativen Werten der Variablen x nimmt der Wert der Funktion mit jeder Zunahme der Änderung des Arguments um genau denselben Wert ab, und bei positiven Werten dagegen steigt er an, aber um genau den gleichen Wert.

5. Potenzableitung einer Variablen ist gleich dem Produkt aus der Zahl dieser Potenz und der Variablen in der Potenz, reduziert um eins
(xc)"= cxc-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Um sich die Formel zu merken:
Nehmen Sie den Exponenten der Variablen "down" als Multiplikator und verringern Sie dann den Exponenten selbst um eins. Zum Beispiel war für x 2 - zwei vor x, und dann gab uns die reduzierte Potenz (2-1=1) nur 2x. Dasselbe geschah für x 3 - wir verringern das Tripel, reduzieren es um eins, und anstelle eines Würfels haben wir ein Quadrat, dh 3x 2 . Etwas "unwissenschaftlich", aber sehr leicht zu merken.

6.Bruchableitung 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Beispiel:
Da kann ein Bruch als Erhöhung dargestellt werden negativer Grad
(1/x)" = (x -1)" , dann kannst du die Formel aus Regel 5 der Ableitungstabelle anwenden
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Bruchableitung mit einer Variablen beliebigen Grades im Nenner
(1/xc)" = -c / x c+1
Beispiel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Wurzelderivat(Ableitung der Variablen unter Quadratwurzel)
(√x)" = 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x)" = (x 1/2)", sodass Sie die Formel aus Regel 5 anwenden können
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Ableitung einer Variablen unter einer Wurzel beliebigen Grades
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen beim Finden von Ableitungen für die einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau bestimmte Regeln Unterscheidung. Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Weitere Derivate elementare Funktionen wir finden in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Differenzierungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung der Summe, wobei der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

diese. die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist algebraische Summe Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

an einer Stelle differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

diese. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

diese. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es daher immer erforderlich, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden mehr Beispiele auf diesen Derivaten - im Artikel"Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Im Falle eines Terms ist seine Ableitung gleich Null und im Falle von konstanter Faktor es wird aus dem Vorzeichen von Ableitungen herausgenommen. Das typischer Fehler, die am auftritt Erstphase Ableitungen studieren, sondern mehrere ein-zweiteilige Beispiele lösen Durchschnittlicher Schüler macht diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Sonstiges häufiger Fehler - mechanische Lösung Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir bestimmen die Teile des Ausdrucks der Funktion: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir bekommen die folgenden Werte Derivate:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das der zweite Faktor im Zähler ist, in aktuelles Beispiel mit Minuszeichen genommen:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Durch die Ableitungsregel des Produktes und Tabellenwert Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .