Die Praxis der letztjährigen USE und GIA zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Studierenden Schwierigkeiten bereiten. Sie können leicht mit ihnen fertig werden, wenn Sie sich alles merken notwendige Formeln und Problemlösung üben.

In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Die gleichen können Ihnen in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden begegnen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.

Was müssen Sie über das Trapez wissen?

Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, das zwei hat gegenüberliegende Seiten, sie werden auch Basen genannt, sind parallel, die anderen beiden nicht.

Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Grundfläche) auch weggelassen werden. Die mittlere Linie wird gezeichnet - dies ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und gleich der Hälfte ihrer Summe ist. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können, scharfe bilden und stumpfe Winkel. Oder in einigen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann außerdem ein Kreis darin eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.

Trapezflächenformeln

Überlegen Sie zunächst Standardformeln Finden der Fläche eines Trapezes. Im Folgenden werden Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen betrachtet.

Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Basen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Basis abgesenkt wird. Die Berechnung der Fläche einer Figur ist in diesem Fall einfach. Sie müssen nur die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.

Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, das Trapez hat zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zur Bestimmung der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir zu Recht die Formel für die Fläche eines Trapezes zu vereinfachen folgende Art: S = m * h. Mit anderen Worten, um die Fläche eines Trapezes zu finden, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.

Betrachten wir eine weitere Option: Die Diagonalen d 1 und d 2 werden in einem Trapez gezeichnet, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen halbieren und das Ergebnis mit der Sünde des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn nichts darüber bekannt ist, außer den Längen aller seiner Seiten: a, b, c und d. Es ist sperrig und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sich daran zu erinnern, nur für den Fall: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Übrigens gelten die obigen Beispiele auch für den Fall, dass Sie die Flächenformel benötigen rechteckiges Trapez. Dies ist ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, dessen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenklig. Wir betrachten mehrere Varianten der Flächenformel gleichschenkliges Trapez.

Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit Radius r in ein gleichschenkliges Trapez einbeschrieben ist und die seitliche Seite und die größere Grundfläche sich bilden scharfe Ecke a. Ein Kreis kann einem Trapez einbeschrieben werden, wenn die Summe der Seitenlängen gleich der Summe der Seitenlängen ist.

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des einbeschriebenen Kreises mit vier und teilen Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.

Die zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Wenn die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander stehen, ist die Höhe die Hälfte der Summe der Basen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die bereits bekannte Trapezflächenformel leicht in diese Form umwandeln: S = h2.

Die Formel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes

Beginnen wir mit dem Verständnis: Was ist ein krummliniges Trapez? Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer kontinuierlichen und nicht negativen Funktion f vor, die darin kein Vorzeichen ändert ein bestimmtes Segment auf der x-achse. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gebildet - oben die x-Achse - unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen der Funktion.

Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie sich bewerben mathematische Analyse und verwende das Integral. Nämlich die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b ein f(x)dx = F(x)│ b ein = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion im ausgewählten Intervall. Und das Quadrat krummliniges Trapez entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf dem gegebenen Segment.

Aufgabenbeispiele

Um all diese Formeln besser im Kopf zu haben, hier einige Beispiele für Probleme, um die Fläche eines Trapezes zu finden. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen, und überprüfen erst dann die Antwort, die Sie erhalten haben, mit der fertigen Lösung.

Aufgabe 1: Gegeben ein Trapez. Seine größere Basis misst 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine 12 cm lang, die andere 9 cm lang.

Lösung: Baue ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Linie PX durch den Scheitelpunkt P, so dass es ist parallel diagonal MC und kreuzte die Linie AC an Punkt X. Sie erhalten das Dreieck ARCH.

Wir betrachten zwei durch diese Manipulationen erhaltene Figuren: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMPX.

Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MP = 4 cm. Wo können wir die Seite AX des Dreiecks ARCH berechnen: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Wir können auch beweisen, dass das Dreieck ARCH rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die (oben bereits bewiesene) Gleichheit der Seiten MP und CX sein. Und auch die Höhen, die Sie an diesen Seiten absenken - sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.

All dies ermöglicht es Ihnen zu behaupten, dass S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2 ist.

Aufgabe Nr. 2: Gegeben sei ein trapezförmiges KRMS. Die Punkte O und E befinden sich an seinen lateralen Seiten, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen des Trapezes ORME und OXE im Verhältnis 1:5 stehen. PM = a und KS = b. Sie müssen einen OE finden.

Lösung: Zeichne eine Linie durch Punkt M parallel zu RK und bezeichne ihren Schnittpunkt mit OE als T. A - der Schnittpunkt der Linie, die durch Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis von KS.

Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen - OE = x. Sowie die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).

Wir nehmen an, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OXE stehen in Beziehung zu 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung aufzustellen: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombinieren Sie beide Einträge und erhalten Sie: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Somit ist OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Fazit

Geometrie ist nicht die einfachste der Wissenschaften, aber man kommt damit durchaus zurecht Prüfungsaufgaben. Es braucht nur etwas Geduld bei der Zubereitung. Und merken Sie sich natürlich alle notwendigen Formeln.

Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und Wiederholung des Materials verwenden können.

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In unserem Leben haben wir sehr oft mit der Anwendung von Geometrie in der Praxis zu tun, zum Beispiel im Bauwesen. Zu den häufigsten geometrischen Formen gehört ein Trapez. Und damit das Projekt erfolgreich und schön wird, ist eine korrekte und genaue Berechnung der Elemente für eine solche Figur erforderlich.

Was ist konvexes Viereck, das ein Paar paralleler Seiten hat, die als Basen eines Trapezes bezeichnet werden. Aber es gibt zwei andere Seiten, die diese Basen verbinden. Sie werden lateral genannt. Eine der Fragen zu dieser Figur lautet: "Wie findet man die Höhe des Trapezes?" Es ist sofort darauf zu achten, dass die Höhe ein Segment ist, das den Abstand von einer Basis zur anderen bestimmt. Abhängig von den bekannten Werten gibt es mehrere Möglichkeiten, diesen Abstand zu bestimmen.

1. Die Werte beider Basen sind bekannt, wir bezeichnen sie mit b und k sowie die Fläche dieses Trapezes. Unter Verwendung bekannter Werte ist es in diesem Fall sehr einfach, die Höhe des Trapezes zu finden. Sie errechnet sich, wie aus der Geometrie bekannt, als Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe. Aus dieser Formel lässt sich leicht der gewünschte Wert ableiten. Dazu müssen Sie die Fläche durch die Hälfte der Summe der Basen teilen. In Formelform sähe das so aus:

S=((b+k)/2)*h, also h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Die Länge der Mittellinie ist bekannt, nennen wir sie d, und die Fläche. Für diejenigen, die es nicht wissen, ich nenne die Mittellinie den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Seiten. Wie findet man in diesem Fall die Höhe des Trapezes? Gemäß der Eigenschaft des Trapezes entspricht die Mittellinie der halben Summe der Basen, also d=(b+k)/2. Auch hier verwenden wir die Flächenformel. Wenn wir die halbe Summe der Basen durch den Wert der Mittellinie ersetzen, erhalten wir Folgendes:

Wie Sie sehen können, ist es sehr einfach, die Höhe aus der resultierenden Formel abzuleiten. Indem wir die Fläche durch den Wert der Mittellinie dividieren, finden wir den gewünschten Wert. Schreiben wir diese Formel:

3. Die Länge einer Seite (b) und der zwischen dieser Seite und der größten Basis gebildete Winkel sind bekannt. Die Antwort auf die Frage, wie man die Höhe eines Trapezes findet, ist auch in diesem Fall. Stellen Sie sich ein Trapez ABCD vor, bei dem AB und CD Seiten sind und AB=b. Größter Grund ist AD. Der durch AB und AD gebildete Winkel wird mit α bezeichnet. Von Punkt B senken wir die Höhe h auf die Basis AD. Betrachten Sie nun das resultierende Dreieck ABF, das ein rechtwinkliges Dreieck ist. Seite AB ist die Hypotenuse und BF ist das Bein. Aus der Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht das Verhältnis des Beinwerts und des Hypotenusewerts dem Sinus des Winkels gegenüber dem Bein (BF). Daher multiplizieren wir auf der Grundlage des Vorstehenden den Wert, um die Höhe des Trapezes zu berechnen bekannte Seite und dem Sinus des Winkels α. In Formelform sieht das so aus:

4. Ähnlich wird der Fall betrachtet, wenn die Größe der Seite und der Winkel bekannt sind, nennen wir ihn mit β, der zwischen dieser Seite und der kleineren Basis gebildet wird. Bei der Lösung eines solchen Problems beträgt der Winkel zwischen der bekannten lateralen Seite und der gezeichneten Höhe 90 ° - β. Aus den Eigenschaften von Dreiecken - das Verhältnis der Beinlänge und der Hypotenuse entspricht dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels. Aus dieser Formel lässt sich der Höhenwert leicht ableiten:

h = b *cos(β-90°)

5. Wie findet man die Höhe eines Trapezes, wenn man nur den Radius des einbeschriebenen Kreises kennt? Von der Definition eines Kreises berührt er einen Punkt auf jeder Basis. Außerdem liegen diese Punkte auf derselben Linie wie der Mittelpunkt des Kreises. Daraus folgt, dass der Abstand zwischen ihnen der Durchmesser und gleichzeitig die Höhe des Trapezes ist. Sieht so aus:

6. Oft gibt es Probleme, bei denen es notwendig ist, die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes zu finden. Denken Sie daran, dass ein Trapez mit gleichen Seiten gleichschenklig genannt wird. Wie findet man die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes? Beim senkrechte Diagonalen die Höhe ist die Hälfte der Summe der Basen.

Was aber, wenn die Diagonalen nicht senkrecht sind? Betrachten Sie ein gleichschenkliges Trapez ABCD. Gemäß seinen Eigenschaften sind die Basen parallel. Daraus folgt, dass auch die Winkel an den Basen gleich sind. Lassen Sie uns zwei Höhen BF und CM zeichnen. Auf der Grundlage des Vorstehenden kann argumentiert werden, dass die Dreiecke ABF und DCM gleich sind, dh AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Nun, basierend auf der Bedingung des Problems, wir wird darüber entscheiden bekannte Mengen, und erst dann finden wir die Höhe unter Berücksichtigung aller Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes.

Trapez heißt Viereck nur zwei Seiten sind parallel zueinander.

Sie werden die Basen der Figur genannt, der Rest - die Seiten. Ein Parallelogramm wird als Sonderfall einer Figur betrachtet. Es gibt auch ein krummliniges Trapez, das einen Funktionsgraphen enthält. Die Formeln für die Fläche eines Trapezes enthalten fast alle seine Elemente und Die beste Entscheidung abhängig von den gegebenen Werten ausgewählt.
Die Hauptrollen im Trapez sind der Höhe und der Mittellinie zugeordnet. Mittellinie- Dies ist eine Linie, die die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Höhe Trapez ist rechtwinklig aus gehalten obere Ecke zur Basis.
Die Fläche eines Trapezes durch die Höhe ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Längen der Basen, multipliziert mit der Höhe:

Wenn die Mittellinie gemäß den Bedingungen bekannt ist, vereinfacht sich diese Formel stark, da sie gleich der halben Summe der Basenlängen ist:

Wenn gemäß den Bedingungen die Längen aller Seiten gegeben sind, können wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Trapezes anhand dieser Daten betrachten:

Angenommen, wir haben ein Trapez mit Grundflächen a = 3 cm, b = 7 cm und Seiten c = 5 cm, d = 4 cm. Bereich finden Zahlen:

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein Sonderfall ist ein gleichschenkliges oder, wie es auch genannt wird, ein gleichschenkliges Trapez.
Ein Sonderfall ist auch das Auffinden der Fläche eines gleichschenkligen (gleichschenkligen) Trapezes. Formel abgeleitet verschiedene Wege- durch die Diagonalen, durch die an die Basis angrenzenden Winkel und den Radius des einbeschriebenen Kreises.
Wenn die Länge der Diagonalen durch die Bedingungen vorgegeben ist und der Winkel zwischen ihnen bekannt ist, können Sie die folgende Formel verwenden:

Denken Sie daran, dass die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes einander gleich sind!

Das heißt, wenn Sie eine ihrer Basen, Seiten und Winkel kennen, können Sie die Fläche leicht berechnen.

Fläche eines krummlinigen Trapezes

Ein separater Fall ist krummliniges Trapez. Sie befindet sich auf der Koordinatenachse und ist auf einen Graphen einer kontinuierlichen positiven Funktion beschränkt.

Seine Basis befindet sich auf der X-Achse und ist auf zwei Punkte begrenzt:
Integrale helfen bei der Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes.
Die Formel ist wie folgt geschrieben:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes. Die Formel erfordert bestimmte Kenntnisse, um mit bestimmten Integralen zu arbeiten. Analysieren wir zunächst den Wert des bestimmten Integrals:

Hier ist F(a) der Wert Stammfunktion f(x) am Punkt a , F(b) ist der Wert derselben Funktion f(x) am Punkt b .

Jetzt lösen wir das Problem. Die Abbildung zeigt ein krummliniges Trapez, das durch eine Funktion begrenzt ist. Funktion
Wir müssen die Fläche der ausgewählten Figur finden, die ein krummliniges Trapez ist, das oben von einem Diagramm begrenzt wird, rechts eine gerade Linie x = (-8), links eine gerade Linie x = ( -10) und die Achse OX liegt darunter.
Wir berechnen die Fläche dieser Figur mit der Formel:

Wir erhalten eine Funktion durch die Bedingungen des Problems. Ihr zufolge wir finde die Werte Stammfunktion an jedem unserer Punkte:


Jetzt
Antworten: die Fläche eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist 4.

Es ist nicht schwierig, diesen Wert zu berechnen. Lediglich bei der Berechnung kommt es auf äußerste Sorgfalt an.

UND . Jetzt können wir uns mit der Frage befassen, wie man die Fläche eines Trapezes findet. Diese Aufgabe im Alltag tritt sehr selten auf, aber manchmal erweist es sich als notwendig, zum Beispiel die Fläche eines Raumes in Form eines Trapezes zu finden, das zunehmend beim Bau moderner Wohnungen verwendet wird. oder in Renovierungsprojekten.

Trapez ist geometrische Figur, gebildet aus vier sich schneidenden Segmenten, von denen zwei parallel zueinander sind und die Basen eines Trapezes genannt werden. Die anderen beiden Segmente werden die Seiten des Trapezes genannt. Außerdem benötigen wir später noch eine weitere Definition. Dies ist die Mittellinie des Trapezes, ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten und die Höhe des Trapezes verbindet, die gleich dem Abstand zwischen den Basen ist.
Wie Dreiecke hat ein Trapez bestimmte Typen in Form eines gleichschenkligen (gleichschenkligen) Trapezes, bei dem die Längen der Seiten gleich sind, und eines rechteckigen Trapezes, bei dem eine der Seiten mit den Basen einen rechten Winkel bildet.

Trapeze haben einige interessante Eigenschaften:

1. Die Mittellinie eines Trapezes ist die Hälfte der Summe der Basen und parallel zu ihnen.
   
2. Gleichschenklige Trapeze haben gleiche Seiten und Winkel, die sie mit den Basen bilden.
   
3. Die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes und der Schnittpunkt seiner Diagonalen liegen auf derselben Geraden.
   
4. Wenn die Summe der Seiten eines Trapezes gleich der Summe der Basen ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden
   
5. Wenn die Summe der Winkel, die von den Seiten eines Trapezes an einer seiner Basen gebildet werden, 90 beträgt, dann ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
   
6. Ein gleichschenkliges Trapez kann durch einen Kreis beschrieben werden. Umgekehrt. Wenn ein Trapez in einen Kreis einbeschrieben ist, dann ist es gleichschenklig.
   
7. Das Segment, das durch die Mittelpunkte der Basen eines gleichschenkligen Trapezes verläuft, steht senkrecht zu seinen Basen und repräsentiert die Symmetrieachse.
   

So finden Sie die Fläche eines Trapezes.

Die Fläche eines Trapezes ist die Hälfte der Summe seiner Basen multipliziert mit seiner Höhe. In Form einer Formel wird dies als Ausdruck geschrieben:

wobei S die Fläche des Trapezes ist, a,b die Länge jeder der Basen des Trapezes ist, h die Höhe des Trapezes ist.

Sie können diese Formel wie folgt verstehen und sich merken. Wie aus der folgenden Abbildung hervorgeht, kann ein Trapez mithilfe der Mittellinie in ein Rechteck umgewandelt werden, dessen Länge der Hälfte der Summe der Basen entspricht.

Sie können auch jedes Trapez in mehrere zerlegen einfache Zahlen: ein Rechteck und ein oder zwei Dreiecke, und wenn es für Sie einfacher ist, ermitteln Sie die Fläche des Trapezes als Summe der Flächen seiner Bestandteile.

Es gibt noch einen einfache Formel seine Fläche zu berechnen. Demnach ist die Fläche des Trapezes gleich dem Produkt aus seiner Mittellinie und der Höhe des Trapezes und wird geschrieben als: S \u003d m * h, wobei S die Fläche ist, m die Länge von die Mittellinie, h ist die Höhe des Trapezes. Diese Formel eher für Matheaufgaben geeignet als für Alltagsaufgaben, da in reale Bedingungen Sie werden die Länge der Mittellinie ohne vorläufige Berechnungen nicht kennen. Und Sie kennen nur die Längen der Basen und Seiten.

In diesem Fall kann die Fläche des Trapezes mithilfe der Formel ermittelt werden:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

wobei S-Bereich, a,b-Basen, c,d-Seiten Trapez.

Es gibt mehrere weitere Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Aber sie sind ungefähr so ​​unbequem wie die letzte Formel, was bedeutet, dass es keinen Sinn macht, sich mit ihnen zu beschäftigen. Daher empfehlen wir Ihnen, die erste Formel aus dem Artikel zu verwenden und wünschen Ihnen, dass Sie immer genaue Ergebnisse erhalten.

Ein Trapez ist ein Reliefviereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Wenn alle gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise parallel sind, dann ist es ein Parallelogramm.

Du wirst brauchen

• - alle Seiten des Trapezes (AB, BC, CD, DA).

Anweisung

1. nicht parallel Seiten Trapez werden seitliche Seiten und parallele Basen genannt. Die Linie zwischen den Basen, senkrecht zu ihnen - die Höhe Trapez. Wenn Seite Seiten Trapez gleich, heißt es gleichschenklig. Schauen wir uns zunächst die Lösung für an Trapez, die nicht gleichschenklig ist.

2. Linie BE von Punkt B zur unteren Basis AD parallel zur Seite ziehen Trapez CD. Weil BE und CD parallel sind und zwischen parallelen Basen gezogen werden Trapez BC und DA, dann ist BCDE ein Parallelogramm und seine Gegensätze Seiten BE und CD sind gleich. BE=CD.

3. Betrachten Sie das Dreieck ABE. Seiten-AE berechnen. AE=AD-ED. Stiftungen Trapez BC und AD sind bekannt und im Parallelogramm sind BCDE entgegengesetzt Seiten ED und BC sind gleich. ED=BC, also AE=AD-BC.

4. Finden Sie nun die Fläche des Dreiecks ABE mithilfe der Heron-Formel heraus, indem Sie den Halbumfang berechnen. S = Wurzel(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In dieser Formel ist p der Halbumfang des Dreiecks ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Um die Fläche zu berechnen, kennen Sie alle notwendigen Daten: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Drücken Sie mit dieser Formel die Höhe des Dreiecks aus, die auch die Höhe ist Trapez. BH=2*S/AE. Berechnen Sie es.

7. Wenn das Trapez gleichschenklig ist, darf die Entscheidung auf andere Weise ausgeführt werden. Betrachten Sie das Dreieck ABH. Es ist rechteckig, weil eine der Ecken, BHA, gerade ist.

8. Zeichne die Höhe CF vom Scheitelpunkt C.

9. Untersuchen Sie die HBCF-Abbildung. HBCF-Rechteck, aus der Tatsache, dass es zwei davon gibt Seiten sind die Höhen und die anderen beiden sind die Basen Trapez, das heißt, die Winkel sind rechts und entgegengesetzt Seiten sind parallel. Dies bedeutet, dass BC = HF ist.

10. Ansehen rechtwinklige Dreiecke ABH und FCD. Die Ecken bei BHA- und CFD-Höhen sind gerade und die Ecken seitlich Seiten x BAH und CDF sind gleich, weil das Trapez ABCD gleichschenklig ist, die Dreiecke also ähnlich sind. Weil die Höhen von BH und CF entweder lateral sind Seiten gleichschenklig Trapez AB und CD sind gleich, dann sind ähnliche Dreiecke auch gleich. Also ihre Seiten AH und FD sind auch gleich.

11. AH erkennen. AH+FD=AD-HF. Denn aus einem Parallelogramm ist HF=BC und aus Dreiecken AH=FD, dann ist AH=(AD-BC)*1/2.

Ein Trapez ist eine geometrische Figur, ein Viereck, bei dem zwei Seiten, die Basen genannt werden, parallel sind und die anderen beiden nicht parallel sind. Sie werden Seiten genannt. Trapez. Das Segment, das durch die Mittelpunkte der Seiten gezogen wird, wird als Mittellinie bezeichnet. Trapez. Das Trapez kann haben verschiedene Längen Seiten oder identisch, in diesem Fall heißt es gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zur Basis ist, ist das Trapez rechteckig. Aber es ist viel praktischer zu wissen, wie man erkennt Quadrat Trapez .

Du wirst brauchen

• Lineal mit Millimetereinteilung

Anweisung

1. Messen Sie alle Seiten Trapez: AB, BC, CD und DA. Schreiben Sie die Ergebnisse Ihrer Messungen auf.

2. Markieren Sie auf Segment AB den Mittelpunkt K. Markieren Sie auf Segment DA Punkt L, der sich auch in der Mitte von Segment AD befindet. Kombinieren Sie die Punkte K und L, das resultierende Segment KL ist die Mittellinie Trapez A B C D. Messen Sie das Segment KL.

3. Von oben Trapez- Sehnsucht C, senken Sie die Senkrechte zu ihrer Basis AD o Segment CE. Er wird die Höhe sein Trapez A B C D. Messen Sie das Segment CE.

4. Wir nennen das Segment KL den Buchstaben m und das Segment CE den Buchstaben h Quadrat S Trapez Berechnen Sie ABCD mit der Formel: S=m*h, wobei m die Mittellinie ist Trapez ABCD, h - Höhe Trapez A B C D.

5. Es gibt eine andere Formel, mit der Sie berechnen können Quadrat Trapez A B C D. Untere Basis Trapez Nennen wir AD den Buchstaben b und die obere Basis BC den Buchstaben a. Die Fläche wird durch die Formel S = 1/2*(a+b)*h bestimmt, wobei a und b Basen sind Trapez, h - Höhe Trapez .

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Tipp 3: So finden Sie die Höhe eines Trapezes, wenn Sie die Fläche kennen

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei seiner vier Seiten parallel zueinander sind. Parallele Seiten sind die Grundlage dafür Trapez, während die anderen beiden seitliche Seiten des Gegebenen sind Trapez. entdecken Höhe Trapez, wenn sein Gebiet bekannt ist, wird es sehr einfach sein.

Anweisung

1. Wir müssen herausfinden, wie es erlaubt ist, die Fläche der Initiale zu berechnen Trapez. Dafür gibt es je nach Ausgangsdaten mehrere Formeln: S = ((a + b) * h) / 2, wobei a und b die Längen der Basen sind Trapez, und h ist seine Höhe (Höhe Trapez- eine Senkrechte, die von einer Basis fällt Trapez zu einem anderen); S \u003d m * h, wobei m die Mittellinie ist Trapez(Die mittlere Linie ist ein Segment parallel zu den Basen Trapez und Verbinden der Mittelpunkte seiner Seiten).

2. Jetzt kennen Sie die Formeln zur Berechnung der Fläche Trapez, es dürfen daraus neue abgeleitet werden, um die Höhe zu finden Trapez:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Um zu verdeutlichen, wie ähnliche Probleme gelöst werden können, sei es erlaubt, Beispiele zu sehen: Beispiel 1: Gegeben sei ein Trapez mit einer Fläche von 68 cm ?, dessen mittlere Linie 8 cm beträgt Höhe gegeben Trapez. Um zu entscheiden diese Aufgabe, müssen Sie die zuvor abgeleitete Formel verwenden: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Antwort: die Höhe davon Trapez ist 8,5 cm Beispiel 2: Let Trapez die Fläche beträgt 120 cm², die Längen der Basen sind gegeben Trapez 8 cm bzw. 12 cm betragen, muss erkannt werden Höhe diese Trapez. Wenden Sie dazu eine der abgeleiteten Formeln an: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Antwort: die Höhe des Gegebenen Trapez gleich 12cm

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Beachten Sie!
Jedes Trapez hat eine Reihe von Eigenschaften: - die Mittellinie des Trapezes ist gleich der Hälfte der Summe seiner Basen; - das Segment, das die Diagonalen des Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz seiner Basen; - wenn es eine gerade Linie ist durch die Mittelpunkte der Basen gezogen wird, dann schneidet sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes; - es ist erlaubt, einen Kreis in ein Trapez einzuschreiben, wenn die Summe der Basen dieses Trapezes gleich der Summe seiner Basen ist Verwenden Sie diese Eigenschaften beim Lösen von Problemen.

Tipp 4: So finden Sie die Höhe eines Dreiecks anhand der Koordinaten der Punkte

Die Höhe in einem Dreieck ist ein gerades Liniensegment, das die Oberseite der Figur mit der gegenüberliegenden Seite verbindet. Dieses Segment muss auf jeden Fall senkrecht zur Seite stehen, folglich darf von jedem Scheitelpunkt nur einer gezeichnet werden Höhe. Aus der Tatsache, dass es in dieser Figur drei Scheitelpunkte gibt, gibt es ebenso viele Höhen darin. Wenn das Dreieck durch die Koordinaten seiner Ecken gegeben ist, kann die Berechnung der Länge jeder der Höhen beispielsweise mit der Formel zum Ermitteln der Fläche und zum Berechnen der Seitenlängen erfolgen.

Anweisung

1. Basierend auf den Berechnungen, der Fläche Dreieck gleich der Hälfte des Produkts aus der Länge jeder seiner Seiten und der Länge der Höhe, die auf diese Seite abgesenkt ist. Aus dieser Definition folgt, dass Sie zum Ermitteln der Höhe die Fläche der Figur und die Länge der Seite kennen müssen.

2. Beginnen Sie mit der Berechnung der Seitenlängen Dreieck. Bezeichne die Koordinaten der Scheitelpunkte der Figur wie folgt: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) und C(X?,Y?,Z?). Dann können Sie die Länge der Seite AB mit der Formel AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) berechnen. Für die anderen 2 Seiten sehen diese Formeln so aus: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) und AC = ?(( X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Sagen wir für Dreieck mit den Koordinaten A(3,5,7), B(16,14,19) und C(1,2,13) ​​beträgt die Länge der Seite AB ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Die Längen der Seiten BC und AC, berechnet nach der gleichen Methode, sind gleich (15? + 12? + 6?) =? 405? 20.12 und ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. Die im vorherigen Schritt gewonnenen Fähigkeiten der Längen von 3 Seiten reichen aus, um die Fläche zu berechnen Dreieck(S) nach der Formel von Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Angenommen, nachdem Sie die aus den Koordinaten erhaltenen Werte in diese Formel eingesetzt haben Dreieck-Beispiel aus dem vorherigen Schritt, diese Formel ergibt den folgenden Wert: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+ 20.12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Basierend auf der Fläche Dreieck, berechnet im vorherigen Schritt, und den Längen der Seiten, die im zweiten Schritt erhalten wurden, berechnen Sie die Höhen für jede der Seiten. Da die Fläche gleich dem halben Produkt aus der Höhe und der Länge der Seite ist, auf die sie gezeichnet wird, teilen Sie die Fläche zweimal durch die Länge der gewünschten Seite, um die Höhe zu ermitteln: H \u003d 2 * S / a. Für das oben verwendete Beispiel beträgt die zur Seite AB abgesenkte Höhe 2 * 68,815 / 16,09? 8,55, die Höhe zur BC-Seite hat eine Länge von 2 * 68,815 / 20,12? 6,84, und für die AC-Seite entspricht dieser Wert 2 * 68,815 / 7? 19.66.