Das Konzept eines Monoms

Definition eines Monoms: Ein Monom ist Algebraischer Ausdruck, die nur Multiplikation verwendet.

Standardform eines Monoms

Was ist die Standardform eines Monoms? Das Monom wird in Standardform geschrieben, wenn es überhaupt einen Zahlenfaktor hat und dieser Faktor, man nennt es den Koeffizienten des Monoms, nur einen, in dem sich die Buchstaben des Monoms befinden alphabetischer Reihenfolge und jeder Buchstabe kommt nur einmal vor.

Ein Beispiel für ein Monom in Standardform:

hier ist an erster Stelle die Zahl, der Koeffizient des Monoms, und diese Zahl ist in unserem Monom nur eins, jeder Buchstabe kommt nur einmal vor und die Buchstaben sind alphabetisch geordnet, in dieser Fall ist das lateinische Alphabet.

Ein weiteres Beispiel für ein Monom in Standardform:

jeder Buchstabe kommt nur einmal vor, sie sind in lateinischer alphabetischer Reihenfolge angeordnet, aber wo ist der Koeffizient des Monoms, d.h. Zahlenfaktor, der zuerst kommen sollte? Er ist hier gleich eins: 1adm.

Kann der Monomkoeffizient negativ sein? Ja, vielleicht, Beispiel: -5a.

Kann ein Monomkoeffizient gebrochen sein? Ja, vielleicht, Beispiel: 5.2a.

Besteht das Monom nur aus einer Zahl, d.h. hat keine Buchstaben, wie bringt man es in die Standardform? Jedes Monom, das eine Zahl ist, ist bereits in Standardform, zum Beispiel: Die Zahl 5 ist ein Standardform-Monom.

Reduktion von Monomen auf Standardform

Wie bringt man ein Monom in die Normalform? Betrachten Sie Beispiele.

Sei das Monom 2a4b gegeben, wir müssen es auf die Standardform bringen. Wir multiplizieren zwei seiner numerischen Faktoren und erhalten 8ab. Jetzt wird das Monom in der Standardform geschrieben, d.h. hat nur einen numerischen Faktor, der an erster Stelle geschrieben wird, jeder Buchstabe im Monom kommt nur einmal vor, und diese Buchstaben sind alphabetisch geordnet. Also 2a4b = 8ab.

Gegeben: Monom 2a4a, bringe das Monom in Normalform. Wir multiplizieren die Zahlen 2 und 4, das Produkt aa wird durch die zweite Potenz a 2 ersetzt. Wir erhalten: 8a 2 . Dies ist die Standardform dieses Monoms. Also 2a4a = 8a 2 .

Ähnliche Monome

Was sind ähnliche Monome? Wenn sich Monome nur in Koeffizienten unterscheiden oder gleich sind, werden sie als ähnlich bezeichnet.

Ein Beispiel für ähnliche Monome: 5a und 2a. Diese Monome unterscheiden sich nur in Koeffizienten, was bedeutet, dass sie ähnlich sind.

Sind die Monome 5abc und 10cba ähnlich? Wir bringen das zweite Monom in die Standardform, wir erhalten 10abc. Nun ist klar, dass sich die Monome 5abc und 10abc nur in ihren Koeffizienten unterscheiden, also ähnlich sind.

Addition von Monomen

Was ist die Summe der Monome? Wir können nur ähnliche Monome summieren. Betrachten Sie das Beispiel der Addition von Monomen. Wie groß ist die Summe der Monome 5a und 2a? Die Summe dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizienten ist gleich der Summe die Koeffizienten der Terme. Die Summe der Monome ist also 5a + 2a = 7a.

Weitere Beispiele für die Addition von Monomen:

2a2 + 3a2 = 5a2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Noch einmal. Sie können nur ähnliche Monome addieren; die Addition reduziert sich auf die Addition ihrer Koeffizienten.

Subtraktion von Monomen

Was ist der Unterschied zwischen Monomen? Wir können nur ähnliche Monome subtrahieren. Betrachten Sie ein Beispiel für das Subtrahieren von Monomen. Was ist der Unterschied zwischen den Monomen 5a und 2a? Die Differenz dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizient gleich der Differenz der Koeffizienten dieser Monome ist. Die Differenz der Monome ist also gleich 5a - 2a = 3a.

Weitere Beispiele zum Subtrahieren von Monomen:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Multiplikation von Monomen

Was ist das Produkt von Monomen? Betrachten Sie ein Beispiel:

jene. das Produkt von Monomen ist gleich dem Monom, dessen Faktoren sich aus den Faktoren der ursprünglichen Monome zusammensetzen.

Ein anderes Beispiel:

2a 2 b 3 * ein 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Wie kam es zu diesem Ergebnis? Jeder Faktor hat „a“ im Grad: im ersten – „a“ im Grad 2 und im zweiten – „a“ im Grad 5. Das bedeutet, dass das Produkt im Grad „a“ hat von 7, denn beim Multiplizieren identischer Buchstaben addieren sich deren Exponenten:

Ein 2 * ein 5 = ein 7 .

Gleiches gilt für den Faktor "b".

Der Koeffizient des ersten Faktors ist gleich zwei und der zweite gleich eins, also erhalten wir als Ergebnis 2 * 1 = 2.

So wurde das Ergebnis 2a 7 b 12 berechnet.

Diese Beispiele zeigen, dass die Koeffizienten von Monomen multipliziert werden, und identische Buchstaben werden durch die Summen ihrer Potenzen im Produkt ersetzt.

Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten. Theorem (das zweite Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken). Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, dann sind diese Dreiecke ähnlich. Ähnliche Dreiecke werden genannt, in denen die Winkel gleich sind und ähnliche Seiten proportional sind: , wobei der Ähnlichkeitskoeffizient ist.

Beispiele für die Anwendung dieser Folgerung finden Sie unten in den Abschnitten: "Beispiele ähnlicher Dreiecke" und "Eigenschaften der Parallelität (Antiparallelität) der Seiten verwandter Dreiecke". Daher sind beispielsweise das Orthodreieck eines Orthodreiecks und das ursprüngliche Dreieck ähnlich, ebenso wie Dreiecke mit parallele Seiten. Punkte, die nicht auf einer geraden Linie liegen, gehen mit irgendeiner Ähnlichkeit zu Punkten, die nicht auf einer geraden Linie liegen. Eine Ähnlichkeit heißt echt (unecht), wenn die Bewegung D(\displaystyle D) echt (unecht) ist.

In ähnlichen Dreiecken wichtiger Platz belegt das Konzept des Verhältnisses von Segmenten. Dreiecke sind in gewisser Weise ähnlich. Um die Ähnlichkeit von Dreiecken festzustellen, ist es notwendig, die Gültigkeit der sechs Gleichheiten (Winkel und Seitenverhältnisse) festzustellen, aber dies ist nicht immer möglich. Insgesamt gibt es drei Ähnlichkeiten. Erklärung: Die Fläche eines Dreiecks ist das Produkt zweier linearer Elemente - einer Seite und einer Höhe.

Der Umfang des Dreiecks wird uns gegeben, wir können den Umfang des Dreiecks finden, da uns die Längen seiner Seiten gegeben sind, also finden wir den Ähnlichkeitskoeffizienten und bestimmen die gewünschten Seitenlängen. Der Ähnlichkeitskoeffizient drückt die Proportionalität aus, dies ist das Verhältnis der Seitenlängen eines Dreiecks zu den ähnlichen Seiten eines anderen: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

Finden Sie das Verhältnis ähnlicher Seiten, das der Ähnlichkeitskoeffizient ist

Zum Beispiel in der gegebenen Aufgabe ähnliche Dreiecke und die Längen ihrer Seiten sind gegeben. Da die Dreiecke in Bezug auf den Zustand ähnlich sind, finden Sie ihre ähnlichen Seiten. Teilen Sie die Flächen ähnlicher Dreiecke nacheinander und extrahieren Sie sie Quadratwurzel aus dem Ergebnis. Die Verhältnisse von Umfängen, Längen von Medianen, Medianen, die zu ähnlichen Seiten gebaut sind, sind gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten.

Ähnlichkeitsgesetze - in der Aerodynamik

Nach dem Sinussatz gilt für jedes Dreieck das Verhältnis von Seiten zu Sinus gegenüberliegende Ecken gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises. Verwenden Sie eine ähnliche Methode, um den Koeffizienten zu finden, wenn Sie Kreise haben, die in ähnliche Dreiecke mit bekannten Radien eingeschrieben sind.

Eigene Ähnlichkeit bewahrt die Orientierung der Figuren und unangemessene - ändert die Orientierung in das Gegenteil. Ähnlichkeit wird in ähnlicher Weise (unter Beibehaltung der obigen Eigenschaften) im dreidimensionalen euklidischen Raum sowie in n-dimensionalen euklidischen und pseudo-euklidischen Räumen definiert. Ähnliche Seiten in Dreiecken sind entgegengesetzt gleiche Winkel. Der Ähnlichkeitskoeffizient kann gefunden werden verschiedene Wege. Notieren Sie dazu die Seitenlängen der einen und der anderen Seite in aufsteigender Reihenfolge.

Sie können den Ähnlichkeitsfaktor für Dreiecke berechnen, wenn Sie ihre Flächen kennen. Wenn Sie die Länge von Winkelhalbierenden oder Höhen dividieren, die aus denselben Winkeln gezogen werden, erhalten Sie ebenfalls einen Ähnlichkeitskoeffizienten.

Verwenden Sie diese Eigenschaft, um den Koeffizienten zu finden, wenn diese Werte in der Problemstellung angegeben sind

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich. Ähnlichkeitskoeffizient k ist gleich dem Verhältnis die entsprechenden Längenmaße der Figuren F und damit die Fläche ähnliche Figuren stehen in Beziehung zu den Quadraten ihrer jeweiligen linearen Dimensionen. Wir haben herausgefunden, dass die Gleichheit von Dreiecken ist besonderer FallÄhnlichkeit.

Ist ein . In diesem Artikel werden wir ähnliche Terme definieren, herausfinden, was die Reduktion gleicher Terme genannt wird, die Regeln betrachten, nach denen diese Aktion ausgeführt wird, und Beispiele für die Reduktion gleicher Terme mit geben detaillierte Beschreibung Lösungen.

Seitennavigation.

Definition und Beispiele ähnlicher Begriffe.

Ein Gespräch über solche Begriffe entsteht, nachdem man sich mit wörtlichen Ausdrücken vertraut gemacht hat, wenn es notwendig wird, mit ihnen Transformationen durchzuführen. Nach den Lehrbüchern der Mathematik N. Ya. Vilenkin Definition ähnlicher Begriffe wird in der 6. Klasse unterrichtet und hat folgenden Wortlaut:

Definition.

Ähnliche Begriffe sind Begriffe, die den gleichen Buchstabenteil haben.

Es lohnt sich, diese Definition sorgfältig zu prüfen. Erstens, wir redenüber die Begriffe, und bekanntlich sind die Begriffe Bestandteile Beträge. Meint, wie Begriffe können nur in Ausdrücken vorkommen, die Summen darstellen. Zweitens gibt es in der stimmhaften Definition solcher Begriffe ein ungewohntes Konzept des „wörtlichen Teils“. Was ist mit dem Buchstabenteil gemeint? Wenn diese Definition in der sechsten Klasse gegeben wird, bezieht sich der Buchstabenteil auf einen Buchstaben (variabel) oder das Produkt mehrerer Buchstaben. Drittens bleibt die Frage: „Was sind das für Begriffe mit Buchstabenteil“? Das sind Terme, die das Produkt aus einer bestimmten Zahl, dem sogenannten Zahlenkoeffizienten, und dem Buchstabenteil sind.

Jetzt können Sie bringen Beispiele für ähnliche Begriffe. Betrachten Sie die Summe zweier Terme 3·a und 2·a der Form 3·a+2·a . Die Begriffe in dieser Summe haben denselben Buchstabenteil, der durch den Buchstaben a dargestellt wird, daher sind diese Begriffe per Definition ähnlich. Die numerischen Koeffizienten dieser ähnlichen Terme sind die Zahlen 3 und 2 .

Anderes Beispiel: total 5xy3z+12xy3z+1 die Terme 5·x·y 3 ·z und 12·x·y 3 ·z mit demselben wörtlichen Teil x·y 3 ·z sind ähnlich. Beachten Sie, dass y 3 im wörtlichen Teil vorhanden ist, seine Anwesenheit verstößt nicht gegen die oben gegebene Definition des wörtlichen Teils, da es tatsächlich das Produkt von y·y·y ist.

Unabhängig davon stellen wir fest, dass die numerischen Koeffizienten 1 und −1 für solche Terme oft nicht explizit geschrieben werden. Beispielsweise sind in der Summe 3 z 5 + z 5 – z 5 alle drei Terme 3 z 5 , z 5 und –z 5 ähnlich, sie haben denselben Buchstabenteil z 5 und Koeffizienten 3 , 1 bzw. –1 von wobei 1 und −1 nicht deutlich sichtbar sind.

Davon ausgehend sind in der Summe 5+7 x−4+2 x+y nicht nur 7 x und 2 x ähnliche Terme, sondern auch die Terme ohne den wörtlichen Teil 5 und −4 .

Später erweitert sich auch das Konzept des wörtlichen Teils - ich beginne, den wörtlichen Teil nicht nur als Produkt von Buchstaben zu betrachten, sondern als willkürlichen wörtlichen Ausdruck. Zum Beispiel wird im Lehrbuch der Algebra für die Autoren der 8. Klasse Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, herausgegeben von S. A. Telyakovsky, eine Summe der Form angegeben, und es wird gesagt, dass ihre Komponentenbegriffe ähnlich sind . Der gemeinsame wörtliche Teil dieser ähnlichen Begriffe ist ein Ausdruck mit einer Wurzel der Form .

Ebenso ähnliche Begriffe im Ausdruck 4 (x 2 + x – 1/x) – 0,5 (x 2 + x – 1/x) – 1 wir können die Terme 4 (x 2 +x−1/x) und −0.5 (x 2 +x−1/x) betrachten, da sie denselben Buchstabenteil (x 2 +x−1/x) haben.

Wenn wir alle oben genannten Informationen zusammenfassen, können wir die folgende Definition ähnlicher Begriffe geben.

Definition.

Ähnliche Begriffe heißen Terme in wörtlicher Ausdruck, die den gleichen wörtlichen Teil haben, sowie Begriffe, die keinen wörtlichen Teil haben, wobei der wörtliche Teil als jeder wörtliche Ausdruck verstanden wird.

Unabhängig davon sagen wir, dass ähnliche Terme gleich sein können (wenn ihre numerischen Koeffizienten gleich sind) oder sie können unterschiedlich sein (wenn ihre numerischen Koeffizienten unterschiedlich sind).

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir einen sehr subtilen Punkt erörtern. Betrachten Sie den Ausdruck 2 x y+3 y x . Sind die Terme 2 x y und 3 y x ähnlich? Diese Frage lässt sich auch so formulieren: „Sind die wörtlichen Teile x y und y x der angegebenen Terme gleich“? Die Reihenfolge der wörtlichen Faktoren in ihnen ist unterschiedlich, so dass sie tatsächlich nicht gleich sind, daher sind die Begriffe 2·x·y und 3·y·x im Lichte der oben eingeführten Definition nicht ähnlich.

Solche Begriffe werden jedoch häufig als ähnliche Begriffe bezeichnet (aber aus Gründen der Genauigkeit ist es besser, dies nicht zu tun). In diesem Fall lassen sie sich von Folgendem leiten: Gemäß der Permutation der Faktoren im Produkt hat dies keinen Einfluss auf das Ergebnis, sodass der ursprüngliche Ausdruck 2 x y+3 y x umgeschrieben werden kann als 2 x y+3 x y . deren Bedingungen ähnlich sind. Das heißt, wenn sie im Ausdruck 2 x y+3 y x von ähnlichen Termen 2 x y und 3 y x sprechen, meinen sie die Terme 2 x y und 3 x y in transformiertem Ausdruck der Form 2 x y+3 x y .

Reduktion ähnlicher Begriffe, Regel, Beispiele

Die Umwandlung von Ausdrücken, die ähnliche Begriffe enthalten, impliziert das Hinzufügen dieser Begriffe. Diese Aktion hat einen besonderen Namen - Reduzierung gleicher Terme.

Die Kürzung ähnlicher Begriffe erfolgt in drei Stufen:

• zuerst werden die Begriffe neu angeordnet, so dass ähnliche Begriffe nebeneinander stehen;
• danach wird der wörtliche Teil ähnlicher Begriffe aus Klammern entfernt;
• schließlich wird der Wert des in Klammern gebildeten numerischen Ausdrucks berechnet.

Analysieren wir die aufgezeichneten Schritte anhand eines Beispiels. Ähnliche Terme präsentieren wir im Ausdruck 3 x y+1+5 x y . Zuerst ordnen wir die Terme so um, dass die gleichen Terme 3 x y und 5 x y nebeneinander stehen: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Zweitens entfernen wir den wörtlichen Teil der Klammern, wir erhalten den Ausdruck x·y·(3+5)+1 . Drittens berechnen wir den Wert des in Klammern gebildeten Ausdrucks: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Da es üblich ist, den Zahlenkoeffizienten vor den Buchstabenteil zu schreiben, übertragen wir ihn hierher: x·y·8+1=8·x·y+1. Damit ist die Reduktion ähnlicher Terme abgeschlossen.

Der Einfachheit halber werden die drei obigen Schritte kombiniert Regel zur Reduktion gleicher Terme: Um ähnliche Begriffe zu erhalten, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem Buchstabenteil (falls vorhanden) multiplizieren.

Die Lösung des vorherigen Beispiels unter Verwendung der Reduktionsregel gleicher Terme wird kürzer sein. Bringen wir ihn. Die Koeffizienten ähnlicher Terme 3 x y und 5 x y im Ausdruck 3 x y+1+5 x y sind die Zahlen 3 und 5, ihre Summe ist 8, multipliziert mit dem Buchstabenteil x y , wir erhalten das Ergebnis der Reduzierung dieser Terme 8·x·y . Es bleibt der Term 1 im ursprünglichen Ausdruck nicht zu vergessen, als Ergebnis haben wir 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Ausführliche Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir das ein unangenehmer Satz: "den Ausdruck vereinfachen." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu (gerade!) gewöhnliche Nummer(ja, zum Teufel mit diesen Briefen).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie verschiedene Buchstaben verschiedene Dinge darstellen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise das meiste Hauptteil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren , sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen möchte ich aufmerksam machen typischer Fehler beim Reduzieren. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein Schnitt- das heisst Teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren können, dh durch und dann durch dividieren:

Sie können sofort dividieren durch:

Denken Sie daran, solche Fehler zu vermeiden einfacher Weg So bestimmen Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Addition und Subtraktion gewöhnliche Brüche- Die Operation ist bekannt: Wir suchen einen gemeinsamen Nenner, wir multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Als erstes hier gemischte Fraktionen in falsche umwandeln, und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alles mit verschiedene Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche zu bringen gemeinsamer Nenner, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie den Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also analog Hauptfaktoren in die du die Zahlen zerlegst. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide vertreten:

Bußgeld! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Machen wir es erstmal so Höchstbetrag Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren hinzu, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie ist das Verfahren zum Zählen numerischer Ausdruck? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur stattdessen Rechenoperationen Sie müssen algebraische Aktionen ausführen, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Aktionen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

Das ist es. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: wenn sie haben gleiche Nenner, dann sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;