Löse das System mit zwei Unbekannten - das bedeutet, alle Paare von Variablenwerten zu finden, die jede der gegebenen Gleichungen erfüllen. Jedes solche Paar wird aufgerufen Systemlösung.

Beispiel:
Das Wertepaar \(x=3\);\(y=-1\) ist eine Lösung für das erste System, denn durch Einsetzen dieser Tripel und Minus-Einsen in das System anstelle von \(x\) und \ (y\), beide Gleichungen werden zu gültigen Gleichungen \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Aber \(x=1\); \(y=-2\) - ist keine Lösung für das erste System, weil nach Substitution die zweite Gleichung "nicht konvergiert" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Beachten Sie, dass solche Paare oft kürzer geschrieben werden: statt "\(x=3\); \(y=-1\)" schreiben sie so: \((3;-1)\).

Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?

Es gibt drei Hauptwege, um Systeme zu lösen lineare Gleichungen:

1. Substitutionsmethode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle dieser Variablen in eine andere Gleichung des Systems ein.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   In der zweiten Gleichung ist jeder Term gerade, also vereinfachen wir die Gleichung, indem wir sie durch \(2\) dividieren.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Dieses System kann auf beliebige Weise gelöst werden, aber mir scheint, dass die Substitutionsmethode hier am bequemsten ist. Lassen Sie uns y aus der zweiten Gleichung ausdrücken.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ersetze \(6x-13\) für \(y\) in der ersten Gleichung.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Die erste Gleichung ist normal geworden. Wir lösen es.

   Lassen Sie uns zuerst die Klammern öffnen.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Lassen Sie uns \(117\) nach rechts verschieben und ähnliche Terme angeben.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Teilen Sie beide Seiten der ersten Gleichung durch \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurra, wir haben \(x\) gefunden! Setze seinen Wert in die zweite Gleichung ein und finde \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Schreiben wir die Antwort auf.

Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) brauchen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, deshalb müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

Möchten Sie sich kostenlos auf Prüfungen vorbereiten? Tutor im Internet kostenlos. Im Ernst.

Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen (nicht unbedingt linearen) Gleichungen mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Abschnitt verwendet, als das Problem von zweistellig führte zu mathematisches Modell, das ist ein Gleichungssystem. Wir haben dieses Gleichungssystem oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Algorithmus zur Anwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Setze der Reihe nach jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x ein.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf, die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Ersetzen Sie wiederum jeden der gefundenen Werte von y in die Formel x \u003d 5 - Zy. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen ebenso wie die Substitutionsmethode aus dem Algebra-Kurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwendet wurde. Erinnern wir uns an das Wesen der Methode folgendes Beispiel.

Beispiel 2 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir multiplizieren alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 und lassen die zweite Gleichung unverändert:
Subtrahiere die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen ursprüngliches System die resultierende Gleichung ist einfacher als die erste und zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede Gleichung eines gegebenen Systems zu ersetzen, zum Beispiel die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir. Setzen wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems ein, erhalten wir

Es bleibt übrig, die gefundenen Werte von x in die Formel einzusetzen

Wenn x = 2 dann

Somit haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Verfahren zur Einführung neuer Variablen

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen haben Sie im Algebrakurs der 8. Klasse kennengelernt. Das Wesen dieser Methode beim Lösen von Gleichungssystemen ist das gleiche, aber mit technischer Punkt Vision, gibt es einige Funktionen, die wir in den folgenden Beispielen besprechen werden.

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Dann kann die erste Gleichung des Systems in mehr umgeschrieben werden einfache Form: Lösen wir diese Gleichung nach der Variablen t:

Diese beiden Werte erfüllen die Bedingung und sind daher Wurzeln rationale gleichung mit variablem t. Aber das bedeutet entweder, wo wir finden, dass x = 2y, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen ist es uns also gelungen, die erste Gleichung des Systems, die ziemlich komplex erscheint, in zwei einfachere Gleichungen zu „stratifizieren“:

x = 2y; j - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann empfing jeder der beiden einfache Gleichungen es ist notwendig, wiederum im System mit der Gleichung x 2 - y 2 \u003d 3 zu berücksichtigen, an die wir uns noch nicht erinnert haben. Mit anderen Worten reduziert sich das Problem auf die Lösung zweier Gleichungssysteme:

Es ist notwendig, Lösungen für das erste System, das zweite System zu finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort aufzunehmen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Wenden wir die Substitutionsmethode an, zumal hier alles dafür bereit ist: Wir setzen den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Werden

Da x \u003d 2y ist, finden wir x 1 \u003d 2 bzw. x 2 \u003d 2. Somit werden zwei Lösungen für das gegebene System erhalten: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Wenden wir wieder die Substitutionsmethode an: Wir ersetzen den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Werden

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher sollten nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort aufgenommen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Die zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Das lernen wir dann

Dadurch können Sie umschreiben dieses System in viel einfacherer Form, aber mit Bezug auf die neuen Variablen a und b:

Da a \u003d 1, finden wir aus der Gleichung a + 6 \u003d 2: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Somit erhalten wir für die Variablen a und b eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir das Gleichungssystem

Um dieses System zu lösen, wenden wir die Methode an algebraische Addition:

Seitdem finden wir aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit erhalten wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Abschnitt mit einer kurzen, aber ziemlich ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits Erfahrungen beim Lösen gesammelt verschiedene Gleichungen: linear, quadratisch, rational, irrational. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, allmählich von einer Gleichung zu einer anderen zu wechseln, die einfacher, aber der gegebenen entspricht. Im vorigen Abschnitt haben wir den Begriff der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind vom Standpunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten, wir ersetzen mit diesen Methoden ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System gleichwertiges.

Graphisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise zu lösen, wie die Methode der Substitution, algebraischen Addition und der Einführung neuer Variablen. Und jetzt erinnern wir uns an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Fassen wir also zusammen, was Sie wissen grafische Methode Lösungen.

Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen grafisch stellt die Konstruktion eines Graphen für jede der spezifischen Gleichungen dar, die in diesem System enthalten sind und in einem sind Koordinatenebene, und auch wo es erforderlich ist, die Schnittpunkte der Punkte dieser Graphen zu finden. Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte daran erinnert werden, dass für Grafiksystem Gleichungen neigen dazu, entweder eine eindeutig zu haben die richtige Entscheidung, oder unendlicher Satz Lösungen, oder gar keine Lösungen haben.

Sehen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Und so kann das Gleichungssystem haben einzige Entscheidung wenn sich die Linien, die die Graphen der Gleichungen des Systems sind, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem absolut keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems zusammenfallen, können Sie mit einem solchen System viele Lösungen finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten mit einer grafischen Methode an:

Zunächst erstellen wir zunächst einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, einen Graphen zu zeichnen, der sich auf die zweite Gleichung bezieht;
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, der die Lösung des Gleichungssystems darstellt.

Sehen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Gegeben ist ein zu lösendes Gleichungssystem:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Zeitplan gegebene Gleichung: x2+y2=9.

Aber es sollte beachtet werden, dass dieser Graph von Gleichungen ein Kreis sein wird, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und sein Radius gleich drei sein wird.

2. Unser nächster Schritt wird sein, eine Gleichung zu zeichnen, wie z. B.: y = x - 3.

In diesem Fall müssen wir eine Linie bauen und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis an zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die am Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis erhaltenen Zahlen (3;0) und (0;−3) sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort dieser Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).

Erhaltene Gleichungssysteme Breite Anwendung im Wirtschaftsbereich mathematische Modellierung verschiedene Prozesse. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es darum geht, Probleme bei der Bestimmung der Populationsgröße zu lösen.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineargleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene Systeme linearer Gleichungen sind Systeme rechter Teil was gleich null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt kein gemeinsames analytische Methode Lösungen ähnlicher Systeme basieren alle Methoden auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt detailliert Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution, sowie die graphische und Matrizenmethode, die Lösung nach Gauß.

Die Hauptaufgabe beim Lehren von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und findet optimaler Algorithmus Lösungen für jedes Beispiel. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Lösungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme der 7. Klasse des Programms Weiterführende Schule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Entscheidung dieses Beispiel verursacht keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die empfangenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Lösungssuche von Systemen nach der Additionsmethode, Termweise Addition und Multiplikation von Gleichungen durch verschiedene Nummern. ultimatives Ziel mathematische Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Für Bewerbungen diese Methode es erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Ergebend Arithmetische Operation Einer der Koeffizienten der Variablen muss gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Das Beispiel zeigt, dass durch Einführung einer neuen Variablen t die 1. Gleichung des Systems auf den Standard reduziert werden konnte quadratisches Trinom. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante durch zu finden altbekannte Formel: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. BEIM gegebenes Beispiel a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante weniger als Null, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Die Methode ist darauf aufzubauen Koordinatenachse Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven und werden sein gemeinsame Lösung Systeme.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Das folgende Beispiel muss finden grafische Lösung lineare Gleichungssysteme: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet für Abkürzung Systeme linearer Gleichungen. Eine Tabelle wird als Matrix bezeichnet. besondere Art mit Zahlen gefüllt. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Null Elemente Einzahl genannt.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile dies nicht ist Null. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 - inverse Matrix, und |K| - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Die Matrixmethode zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Schreibweisen beim Lösen von Systemen mit zu reduzieren große Menge Variablen und Gleichungen.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

BEIM höhere Mathematik Die Gauß-Methode wird zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um zu finden Systemvariablen mit vielen linearen Gleichungen.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Weg algebraische Transformationen und Substitutionen ist der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

BEIM Schulbücher Für die Klasse 7 wird ein Beispiel für eine Lösung nach dem Gauß-Verfahren wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauß-Methode ist für Schüler schwer verständlich weiterführende Schule, aber ist einer der meisten interessante Wege um den Einfallsreichtum der am Programm teilnehmenden Kinder zu entwickeln vertieftes Studium im Mathematik- und Physikunterricht.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Zahlen bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten sollen, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt weiterhin das Notwendige aus algebraische Aktionen bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.