Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kahdella muuttuva menetelmä lisäksi tarvitset:

1) kerro toisen tai molempien yhtälöiden vasen ja oikea osa tietyllä luvulla siten, että yhden yhtälön muuttujan kertoimista tulee vastakkaisia ​​lukuja;

2) taita aikaväliltä vastaanotettu yhtälöt ja löytää yhden muuttujan arvo;

3) korvaa yhden muuttujan löydetty arvo johonkin näistä yhtälöistä ja etsi toisen muuttujan arvo.

Jos tässä järjestelmässä yhden muuttujan kertoimet ovat vastakkaisia ​​lukuja, niin aloitamme järjestelmän ratkaisemisen välittömästi kohdasta 2).

Esimerkkejä. Ratkaise kahden muuttujan lineaarinen yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä.

Koska y:n kertoimet ovat vastakkaisia ​​lukuja (-1 ja 1), aloitamme ratkaisun kohdasta 2). Lisäämme yhtälöt termi kerrallaan ja saamme yhtälön 8x = 24. Mikä tahansa yhtälö voidaan kirjoittaa järjestelmän toiseksi yhtälöksi alkuperäinen järjestelmä.

Etsi x ja korvaa sen arvo 2. yhtälöllä.

Ratkaisemme toisen yhtälön: 9-y \u003d 14, joten y \u003d -5.

Tehdään todentaminen. Korvaa arvot x = 3 ja y = -5 alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään.

Huomautus. Tarkastus voidaan tehdä suullisesti eikä kirjata, jos sekkiä ei ole määritelty ehdossa.

Vastaus: (3; -5).

Jos kerromme ensimmäisen yhtälön (-2), muuttujan x kertoimista tulee vastakkaisia ​​lukuja:

Lisäämme nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan.

Saadaan vastaava yhtälöjärjestelmä, jossa 1. yhtälö on edellisen järjestelmän kahden yhtälön summa ja järjestelmän 2. yhtälö kirjoitamme alkuperäisen järjestelmän 1. yhtälön ( kirjoita yhtälö yleensä pienemmillä kertoimilla):

Löydämme klo 1. yhtälöstä ja tuloksena oleva arvo korvataan 2. yhtälöllä.

Ratkaisemme järjestelmän viimeisen yhtälön ja saamme x = -2.

Vastaus: (-2; 1).

Tehdään kertoimet muuttujalle klo vastakkaiset numerot. Tätä varten kerromme kaikki 1. yhtälön ehdot viidellä ja kaikki 2. yhtälön ehdot 2:lla.

Korvaa arvo x=4 toisessa yhtälössä.

3 · 4 - 5y \u003d 27. Yksinkertaistetaan: 12 - 5y \u003d 27, eli -5y \u003d 15 ja y \u003d -3.

Vastaus: (4; -3).

Ratkaistaksemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa korvausmenetelmällä, toimimme seuraavasti:

1) ilmaisemme muuttujan toisen kautta jossakin järjestelmän yhtälöistä (x - y tai y - x);

2) korvaamme tuloksena olevan lausekkeen järjestelmän toisella yhtälöllä ja saamme lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla;

3) ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön yhdellä muuttujalla ja löydämme tämän muuttujan arvon;

4) muuttujan löydetty arvo korvataan toisen muuttujan lausekkeella (1) ja löydämme tämän muuttujan arvon.

Esimerkkejä. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä.

Ilmaista X y:n kautta 1. yhtälöstä. Saamme: x \u003d 7 + y. Korvaamme lausekkeen (7 + y) sen sijaan X järjestelmän 2. yhtälöön.

Saimme yhtälön: 3 · (7+y)+2v=16. Tämä on yhden muuttujan yhtälö klo. Me ratkaisemme sen. Avataan sulut: 21+3v+2v=16. Termien kerääminen muuttujalla klo vasemmalla puolella ja ilmaiset ehdot oikealla. Kun siirretään termiä tasa-arvon yhdestä osasta toiseen, vaihdamme termin merkin päinvastaiseksi.

Saamme: 3v + 2v \u003d 16-21. Esitämme kuten termit jokaisessa yhtälön osassa. 5v = -5. Jaamme yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella. y = -5:5; y = -1. Korvaa tämä arvo klo lausekkeeseen x=7+y ja etsi X. Saamme: x=7-1; x=6. Muuttujien arvojen x=6 ja y=-1 pari on ratkaisu tähän järjestelmään.

Kirjoita muistiin: (6; -1). Vastaus: (6; -1). On kätevää kirjoittaa nämä argumentit alla olevan kuvan mukaisesti, ts. yhtälöjärjestelmät - vasemmalla toistensa alla. Oikealla - laskelmat, tarvittavat selitykset, ratkaisun tarkistaminen jne.

Sivu 1/1 1

I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt

1.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka suhteuttaa riippumattoman muuttujan x, haluttu toiminto y ja sen johdannaiset tai differentiaalit.

Symbolisesti differentiaaliyhtälö on kirjoitettu näin:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Differentiaaliyhtälöä kutsutaan tavalliseksi, jos haluttu funktio riippuu yhdestä riippumattomasta muuttujasta.

Ratkaisemalla differentiaaliyhtälön kutsutaan sellaiseksi funktioksi, joka muuttaa tämän yhtälön identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön järjestys on tämän yhtälön suurimman derivaatan kertaluku

Esimerkkejä.

1. Tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio y = 5 ln x. Todellakin korvaamalla y" yhtälöön, saamme - identiteetin.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio y = 5 ln x– on tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu.

2. Tarkastellaan toisen asteen differentiaaliyhtälöä y" - 5y" + 6y = 0. Funktio on ratkaisu tähän yhtälöön.

Todella, .

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön, saadaan: , - identiteetti.

Ja tämä tarkoittaa, että funktio on tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu.

Differentiaaliyhtälöiden integrointi on prosessi, jossa etsitään ratkaisuja differentiaaliyhtälöihin.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kutsutaan muodon funktioksi , joka sisältää yhtä monta riippumatonta mielivaltaista vakiota kuin yhtälön järjestys.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu kutsutaan ratkaisuksi, joka saadaan yleisestä ratkaisusta mielivaltaisten vakioiden eri numeerisille arvoille. Mielivaltaisten vakioiden arvot löytyvät tietyistä argumentin ja funktion alkuarvoista.

Differentiaaliyhtälön tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Esimerkkejä

1. Etsi ratkaisu ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle

xdx + ydy = 0, jos y= 4 klo x = 3.

Päätös. Integroimalla yhtälön molemmat puolet, saamme

Kommentti. Integroinnin tuloksena saatu mielivaltainen vakio C voidaan esittää missä tahansa muodossa, joka on sopiva lisämuunnoksille. Tässä tapauksessa, kun otetaan huomioon ympyrän kanoninen yhtälö, on kätevää esittää mielivaltainen vakio С muodossa .

on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Erityinen yhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 4 klo x = 3 saadaan yleisestä korvaamalla alkuehdot yleiseen ratkaisuun: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C = 5.

Korvaamalla yleisen ratkaisun C=5, saadaan x2+y2 = 5 2 .

Tämä on erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka saadaan yleisestä ratkaisusta tietyissä alkuolosuhteissa.

2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

Tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa muodon funktio, jossa C on mielivaltainen vakio. Todellakin, korvaamalla yhtälöitä, saamme: , .

Siksi tällä differentiaaliyhtälöllä on ääretön joukko ratkaisuja, koska vakion C eri arvoille yhtäläisyys määrää erilaisia ​​ratkaisuja yhtälöt.

Esimerkiksi suoralla korvauksella voidaan varmistaa, että toiminnot toimivat ovat yhtälön ratkaisuja.

Ongelma, jossa yhtälöön on löydettävä tietty ratkaisu y" = f(x, y) alkuehtoa tyydyttävällä tavalla y(x0) = y0, kutsutaan Cauchyn ongelmaksi.

Yhtälön ratkaisu y" = f(x, y), joka täyttää alkuperäisen ehdon, y(x0) = y0, kutsutaan ratkaisuksi Cauchyn ongelmaan.

Cauchyn ongelman ratkaisulla on yksinkertainen geometrinen merkitys. Todellakin, näiden määritelmien mukaan Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi y" = f(x, y) olettaen että y(x0) = y0, tarkoittaa yhtälön integraalikäyrän löytämistä y" = f(x, y) joka menee läpi annettu piste M0 (x0,v 0).

II. Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt

2.1. Peruskonseptit

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö F(x,y,y") = 0.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö sisältää ensimmäisen derivaatan, eikä se sisällä korkeamman asteen derivaattoja.

Yhtälö y" = f(x, y) kutsutaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi, joka on ratkaistu derivaatan suhteen.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää yhden mielivaltaisen vakion.

Esimerkki. Tarkastellaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä.

Tämän yhtälön ratkaisu on funktio .

Todellakin, jos korvaamme tämän yhtälön sen arvolla, saamme

eli 3x = 3x

Siksi funktio on yhtälön yleinen ratkaisu mille tahansa vakiolle C.

Etsi tälle yhtälölle erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon y(1)=1 Alkuehtojen korvaaminen x = 1, y = 1 yhtälön yleiseen ratkaisuun saamme mistä C=0.

Siten saamme tietyn ratkaisun yleisestä korvaamalla tähän yhtälöön tuloksena olevan arvon C=0 on yksityinen päätös.

2.2. Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö on muotoa: y"=f(x)g(y) tai differentiaalien kautta, missä f(x) ja g(y) annetaan toimintoja.

Niille y, jolle , yhtälö y"=f(x)g(y) vastaa yhtälöä jossa muuttuja y on vain vasemmalla puolella ja muuttuja x vain oikealla puolella. He sanovat: "yhtälössä y"=f(x)g(y erottamalla muuttujat.

Tyyppiyhtälö kutsutaan erotetuksi muuttujayhtälöksi.

Kun yhtälön molemmat osat on integroitu päällä x, saamme G(y) = F(x) + C on yhtälön yleinen ratkaisu, jossa G(y) ja F(x) ovat joitakin antijohdannaisia, vastaavasti, funktioista ja f(x), C mielivaltainen vakio.

Algoritmi ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi erotettavilla muuttujilla

Esimerkki 1

ratkaise yhtälö y" = xy

Päätös. Johdannainen funktiosta y" korvata

erotamme muuttujat

Integroidaan molemmat tasa-arvon osat:

Esimerkki 2

2yy" = 1-3x 2, jos y 0 = 3 klo x0 = 1

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Esitetään se differentiaaleissa. Tätä varten kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen muotoon Täältä

Integroimalla molemmat osat viimeisestä tasa-arvosta löydämme

Alkuarvojen korvaaminen x 0 = 1, y 0 = 3 löytö Kanssa 9=1-1+C, eli C = 9.

Siksi haluttu osaintegraali on tai

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle käyrälle M(2;-3) ja tangentti, jolla on kaltevuus

Päätös. Ehdon mukaan

Tämä on erotettavissa oleva muuttujayhtälö. Jakamalla muuttujat, saamme:

Integroimalla yhtälön molemmat osat, saamme:

Alkuehtoja käyttämällä x=2 ja y = -3 löytö C:

Siksi halutulla yhtälöllä on muoto

2.3. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö on muodon yhtälö y" = f(x)y + g(x)

missä f(x) ja g(x)- joitain annettuja toimintoja.

Jos g(x) = 0 silloin lineaarista differentiaaliyhtälöä kutsutaan homogeeniseksi ja sen muoto on: y" = f(x)y

Jos sitten yhtälö y" = f(x)y + g(x) kutsutaan heterogeenisiksi.

Lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y annetaan kaavalla: missä Kanssa on mielivaltainen vakio.

Varsinkin jos C \u003d 0, sitten ratkaisu on y = 0 Jos lineaarinen homogeeninen yhtälö on muotoa y" = ky missä k on jokin vakio, niin sen yleisratkaisu on muotoa: .

Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu y" = f(x)y + g(x) annetaan kaavalla ,

nuo. on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tämän yhtälön erityisratkaisun summa.

Lineaariselle epähomogeeniselle muodon yhtälölle y" = kx + b,

missä k ja b- jotkin luvut ja tietty ratkaisu ovat vakiofunktio . Siksi yleisellä ratkaisulla on muoto .

Esimerkki. ratkaise yhtälö y" + 2y +3 = 0

Päätös. Esitämme yhtälön muodossa y" = -2y - 3 missä k = -2, b = -3 Yleinen ratkaisu saadaan kaavalla .

Siksi missä C on mielivaltainen vakio.

2.4. Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisu Bernoullin menetelmällä

Yleisen ratkaisun löytäminen ensimmäisen asteen lineaariseen differentiaaliyhtälöön y" = f(x)y + g(x) pelkistyy ratkaisemaan kaksi differentiaaliyhtälöä erotetuilla muuttujilla käyttämällä substituutiota y=uv, missä u ja v- tuntemattomat toiminnot x. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan Bernoullin menetelmäksi.

Algoritmi ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi

y" = f(x)y + g(x)

1. Syötä korvaus y=uv.

2. Erota tämä tasa-arvo y"=u"v + uv"

3. Korvaava y ja y" sisään annettu yhtälö: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) tai u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Ryhmittele yhtälön ehdot niin, että u ota se pois suluista:

5. Etsi funktio hakasulkeesta ja laske se nollaan

Tämä on erotettava yhtälö:

Jaa muuttujat ja saa:

Missä . .

6. Korvaa vastaanotettu arvo v yhtälöön (kohdasta 4):

ja etsi funktio Tämä on erotettava yhtälö:

7. Kirjoita yleinen ratkaisu muotoon: , eli .

Esimerkki 1

Etsi yhtälölle tietty ratkaisu y" = -2y +3 = 0 jos y = 1 klo x=0

Päätös. Ratkaistaan ​​se korvaamalla y=uv,.y"=u"v + uv"

Korvaaminen y ja y" tähän yhtälöön, saamme

Ryhmittelemällä toinen ja kolmas termi yhtälön vasemmalle puolelle, otamme pois yhteisen tekijän u pois suluista

Yhdistämme suluissa olevan lausekkeen nollaan ja ratkaistuamme tuloksena olevan yhtälön löydämme funktion v = v(x)

Saimme yhtälön, jossa on erotetut muuttujat. Integroimme tämän yhtälön molemmat osat: Etsi funktio v:

Korvaa tuloksena oleva arvo v yhtälöön Saamme:

Tämä on erotettu muuttujayhtälö. Integroimme yhtälön molemmat osat: Etsitään funktio u = u(x,c) Etsitään yleinen ratkaisu: Etsitään yhtälölle tietty ratkaisu, joka täyttää alkuehdot y = 1 klo x=0:

III. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt

3.1. Peruskäsitteet ja määritelmät

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää derivaattoja, jotka eivät ole korkeampia kuin toisen kertaluvun. Yleisessä tapauksessa toisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti: F(x,y,y,y") = 0

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muodon funktio, joka sisältää kaksi mielivaltaista vakiota C1 ja C2.

Toisen asteen differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu on ratkaisu, joka saadaan yleisestä joillekin mielivaltaisten vakioiden arvoille C1 ja C2.

3.2. Lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt toisen kertaluvun kanssa vakiosuhteet.

Toisen asteen lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla kutsutaan muodon yhtälöksi y" + py" + qy = 0, missä p ja q ovat vakioarvoja.

Algoritmi toisen kertaluvun homogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi vakiokertoimilla

1. Kirjoita differentiaaliyhtälö muotoon: y" + py" + qy = 0.

2. Laadi sen ominaisyhtälö, merkitsee y" kautta r2, y" kautta r, y kohdassa 1: r2 + pr +q = 0

1. Korvausmenetelmä: mistä tahansa järjestelmän yhtälöstä ilmaisemme yhden tuntemattoman toisella ja korvaamme sen järjestelmän toisella yhtälöllä.

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Päätös. Ilmaisemme järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä klo kautta X ja korvaa järjestelmän toiseen yhtälöön. Otetaan systeemi vastaava kuin alkuperäinen.

Tällaisten ehtojen käyttöönoton jälkeen järjestelmä saa muodon:

Toisesta yhtälöstä löydämme: . Korvaa tämä arvo yhtälöön klo = 2 - 2X, saamme klo= 3. Siksi tämän järjestelmän ratkaisu on lukupari .

2. Menetelmä algebrallinen lisäys : lisäämällä kaksi yhtälöä saat yhtälön yhdellä muuttujalla.

Tehtävä. Ratkaise systeemiyhtälö:

Päätös. Kerrotaan toisen yhtälön molemmat puolet kahdella, saadaan järjestelmä vastaava kuin alkuperäinen. Lisäämällä tämän järjestelmän kaksi yhtälöä pääsemme järjestelmään

Samanlaisten ehtojen vähentämisen jälkeen tämä järjestelmä saa muotonsa: Toisesta yhtälöstä löydämme . Korvaa tämä arvo yhtälöön 3 X + 4klo= 5, saamme , missä . Siksi tämän järjestelmän ratkaisu on numeropari .

3. Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi: etsimme järjestelmästä joitain toistuvia lausekkeita, jotka merkitään uusilla muuttujilla, mikä yksinkertaistaa järjestelmän muotoa.

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Päätös. Kirjoitetaanpa ylös tämä järjestelmä muuten:

Anna olla x + y = u, hu = v. Sitten hankimme järjestelmän

Ratkaistaan ​​se korvausmenetelmällä. Ilmaisemme järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä u kautta v ja korvaa järjestelmän toiseen yhtälöön. Otetaan systeemi nuo.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä löydämme v 1 = 2, v 2 = 3.

Korvaa nämä arvot yhtälöön u = 5 - v, saamme u 1 = 3,
u 2 = 2. Sitten meillä on kaksi järjestelmää

Ratkaisemalla ensimmäisen järjestelmän saamme kaksi lukuparia (1; 2), (2; 1). Toisessa järjestelmässä ei ole ratkaisuja.

Harjoituksia itsenäiseen työskentelyyn

1. Ratkaise yhtälöjärjestelmät korvausmenetelmällä.

Ensimmäisen asteen yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät

Kaksi numeroa tai joitain lausekkeita, jotka on yhdistetty merkki "="-muodolla tasa-arvo. Jos annetut numerot tai lausekkeet ovat yhtä suuria mille tahansa kirjainten arvolle, tällaista yhtäläisyyttä kutsutaan identiteetti.

Esimerkiksi kun sanotaan, että mille tahansa a pätevä:

a + 1 = 1 + a Tässä tasa-arvo on identiteetti.

Yhtälö kutsutaan tasa-arvoksi tuntemattomia numeroita merkitty kirjaimilla. Näitä kirjaimia kutsutaan tuntematon. Yhtälössä voi olla useampi kuin yksi tuntematon.

Esimerkiksi yhtälössä 2 X + klo = 7X– 3 kaksi tuntematonta: X ja klo.

Lauseke yhtälön vasemmalla puolella (2 X + klo) kutsutaan yhtälön vasemmaksi puolelle ja lauseke yhtälön oikealla puolella (7 X– 3) kutsutaan sen oikeaksi puolelle.

Kutsutaan tuntemattoman arvoa, jolla yhtälöstä tulee identiteetti päätös tai juuri yhtälöt.

Esimerkiksi jos yhtälössä 3 X+ 7=13 tuntemattoman sijaan X korvaa numero 2, saamme identiteetin. Siksi arvo X= 2 täyttää annetun yhtälön ja numero 2 on annetun yhtälön ratkaisu tai juuri.

Näitä kahta yhtälöä kutsutaan vastaava(tai vastaava), jos kaikki ensimmäisen yhtälön ratkaisut ovat toisen yhtälön ratkaisuja ja päinvastoin, kaikki toisen yhtälön ratkaisut ovat ensimmäisen yhtälön ratkaisuja. Vastaanottaja vastaavat yhtälöt sisältävät myös yhtälöitä, joilla ei ole ratkaisuja.

Esimerkiksi yhtälöt 2 X– 5 = 11 ja 7 X+ 6 = 62 ovat ekvivalentteja, koska niillä on sama juuri X= 8; yhtälöt X + 2 = X+ 5 ja 2 X + 7 = 2X ovat samanarvoisia, koska molemmilla ei ole ratkaisuja.

Ekvivalenttiyhtälöiden ominaisuudet

1. Yhtälön molemmille puolille voit lisätä minkä tahansa lausekkeen, joka sopii kaikille sallitut arvot tuntematon; tuloksena oleva yhtälö on sama kuin annettu.

Esimerkki. Yhtälö 2 X– 1 = 7:llä on juuri X= 4. Lisäämällä molemmille puolille 5, saadaan yhtälö 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 tai 2 X+ 4 = 12, jolla on sama juuri X = 4.

2. Jos yhtälön molemmilla osilla on samat termit, ne voidaan jättää pois.

Esimerkki. Yhtälö 9 x + 5X = 18 + 5X on yksi juuri X= 2. Jätetään pois molemmista osista 5 X, saamme yhtälön 9 X= 18, jolla on sama juuri X = 2.

3. Mikä tahansa yhtälön termi voidaan siirtää yhtälön osasta toiseen muuttamalla sen etumerkki päinvastaiseksi.

Esimerkki. Yhtälö 7 X - 11 = 3:lla on yksi juuri X= 2. Jos siirrämme 11:een oikea puoli kanssa vastakkainen merkki, saamme yhtälön 7 X= 3 + 11, jolla on sama ratkaisu X = 2.

4. Yhtälön molemmat osat voidaan kertoa millä tahansa lausekkeella (luvulla), jolla on järkeä ja joka on muu kuin nolla kaikille sallituille tuntemattoman arvoille, tuloksena oleva yhtälö on sama kuin tämä.

Esimerkki. Yhtälö 2 X - 15 = 10 – 3X on juurta X= 5. Kerrotaan molemmat puolet 3:lla, saadaan yhtälö 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) tai 6 X – 45 =30 – 9X, jolla on sama juuri X = 5.

5. Yhtälön kaikkien ehtojen etumerkit voidaan kääntää (tämä vastaa molempien osien kertomista (-1)).

Esimerkki. Yhtälö - 3 x + 7 = -8, kun molemmat osat on kerrottu (-1):llä, tulee muotoon 3 X - 7 = 8. Ensimmäisellä ja toisella yhtälöllä on yksi juuri X = 5.

6. Yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa samalla luvulla, joka ei ole nolla (eli ei ole nolla).

Esimerkki..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> vastaa tätä, koska sillä on samat kaksi juurta: ja https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> kun molemmat osat on kerrottu 14:llä, se näyttää tältä:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, jossa mielivaltaiset numerot, X- tuntematon, soitettu ensimmäisen asteen yhtälö, jossa on yksi tuntematon(tai lineaarinen yhtälö yhden tuntemattoman kanssa).

Esimerkki. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Ensimmäisen asteen yhtälöllä, jossa on yksi tuntematon, on aina yksi ratkaisu; lineaarisella yhtälöllä ei välttämättä ole ratkaisuja () tai niitä voi olla ääretön määrä (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Päätös. Kerro kaikki yhtälön termit nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella, joka on 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Ryhmittelemme yhteen osaan (vasemmalla) termit, jotka sisältävät tuntemattoman, ja toiseen osaan (oikealle) - vapaat termit:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Jakamalla molemmat osat (-22) saadaan X = 7.

Kahden ensimmäisen asteen yhtälön järjestelmät kahdella tuntemattomalla

Kaavaa, kuten https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> kutsutaan ensimmäisen asteen yhtälö kahdella tuntemattomalla x ja klo. Jos löytyy yleisiä ratkaisuja kaksi tai useampia yhtälöitä, silloin he sanovat, että nämä yhtälöt muodostavat järjestelmän, ne kirjoitetaan yleensä toistensa alle ja yhdistetään esimerkiksi kiharaan hakasulkeeseen.

Jokaista tuntemattomien paria, joka samanaikaisesti täyttää molemmat järjestelmän yhtälöt, kutsutaan järjestelmäratkaisu. Ratkaise järjestelmä- Tämä tarkoittaa, että etsitään kaikki tämän järjestelmän ratkaisut tai osoitetaan, ettei niitä ole. Näitä kahta yhtälöjärjestelmää kutsutaan vastaava (vastaava), jos yhden kaikki ratkaisut ovat toisen ratkaisuja ja päinvastoin, kaikki toisen ratkaisut ovat ensimmäisen ratkaisuja.

Esimerkiksi järjestelmän ratkaisu on numeropari X= 4 ja klo= 3. Nämä luvut ovat myös ainoa ratkaisu järjestelmät . Siksi nämä yhtälöjärjestelmät ovat samanarvoisia.

Tapoja yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

1. Algebrallinen summausmenetelmä. Jos kertoimet jollekin tuntemattomalle molemmissa yhtälöissä ovat itseisarvoltaan yhtä suuret, niin lisäämällä molemmat yhtälöt (tai vähentämällä toinen toisesta), saat yhtälön, jossa on yksi tuntematon. Ratkaisemalla tämä yhtälö määritetään yksi tuntematon, ja korvaamalla se johonkin järjestelmän yhtälöistä, löydetään toinen tuntematon.

Esimerkkejä: Ratkaise yhtälöjärjestelmät: 1) .

Tässä kertoimet klo ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta etumerkissä vastakkaiset. Saadaksesi yhtälön yhden kanssa tuntematon yhtälö lisäämme järjestelmät termeiltä:

Vastaanotettu arvo X= 4 korvaamme johonkin järjestelmän yhtälöön, esimerkiksi ensimmäiseen, ja löydämme arvon klo: .

Vastaus: X = 4; klo = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Korvausmenetelmä. Mistä tahansa järjestelmän yhtälöstä ilmaistamme yhden tuntemattomista lopuilla, ja sitten korvaamme tämän tuntemattoman arvon jäljellä olevilla yhtälöillä. Harkitse tätä menetelmää erityisillä esimerkeillä:

1) Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä. Ilmaistakaamme esimerkiksi yksi ensimmäisen yhtälön tuntemattomista X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Korvaava klo= 1 lausekkeeseen for X, saamme .

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Tässä tapauksessa on kätevää ilmaista klo toisesta yhtälöstä:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Korvaa arvo X= 5 lausekkeeseen for klo, saamme https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Korvaa tämä arvo toiseen yhtälöön, saamme yhtälö yhden tuntemattoman kanssa klo: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Kirjoitetaan järjestelmä uudelleen seuraavasti: . Korvaamme tuntemattomat asettamalla, saamme lineaarinen järjestelmä ..gif" width="11 height=17" height="17"> toiseen yhtälöön, saamme yhtälön, jossa on yksi tuntematon:

Arvon korvaaminen v ilmaisuun for t, saamme: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> löydämme .

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, missä ovat kertoimet tuntemattomille, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, järjestelmässä on ainoa asia päätös.

B) Jos https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, järjestelmässä on ääretön joukko ratkaisuja.

Esimerkki..gif" width="47" height="48 src=">), joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Todella, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Esimerkki..gif" width="91 height=48" height="48"> tai pienennyksen jälkeen , joten järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki..gif" width="116 height=48" height="48"> tai lyhennyksen jälkeen , joten järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.

Yhtälöt, jotka sisältävät moduulin

Moduulin sisältävien yhtälöiden ratkaisemisessa käytetään moduulin käsitettä oikea numero. moduuli (itseisarvo ) oikea numero a itse numeroa kutsutaan jos ja vastakkainen numero (– a), jos https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Joten https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, koska numero 3 > 0; , koska luku on 5< 0, поэтому ; , kuten (); , kuten .

Moduulin ominaisuudet:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Kun otetaan huomioon, että moduulin alla oleva lauseke voi saada kaksi arvoa https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, tämä yhtälö pelkistyy ratkaisemaan kaksi yhtälöä: ja tai ja ..gif" width="52" height="20 src=">. Tehdään tarkistus korvaamalla jokainen arvo X ehtoon: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Esimerkki..gif" width="408" height="55">

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Esimerkki..gif" width="137" height="20"> ja . Laita sivuun saadut arvot X päällä numeerinen akseli, jakaa se aikaväleihin:

Jos https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, koska tällä välillä molemmat lausekkeet ovat moduulimerkin alla alle nolla, ja poistamalla moduulin, meidän on vaihdettava lausekkeen etumerkki päinvastaiseksi. Ratkaistaan ​​tuloksena oleva yhtälö:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Raja-arvo voidaan sisällyttää sekä ensimmäiseen että toiseen jaksoon, aivan kuten arvo voidaan sisällyttää sekä toiseen että kolmanteen. Toisessa välissä yhtälömme tulee muotoon: - tällä lausekkeella ei ole järkeä, eli tällä välillä ratkaisuyhtälössä ei ole ratkaisuja moduulimerkin alla, me rinnastamme ne nollaan. Löydämme kaikkien lausekkeiden juuret,

Seuraava välitys https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​numeroita ( a≠ 0), ja x on muuttuja nimeltä neliö-. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on laskettava diskriminantti D = b 2 – 4ac. Jos D> 0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua (juuria): ja .

Jos D= 0, toisen asteen yhtälössä on ilmeisesti kaksi identtisiä ratkaisuja(juuren monta kertaa).

Jos D< 0, квадратное уравнение не имеет todelliset juuret.

Jos jokin kertoimista b tai c nolla, niin toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista ilman diskriminantin laskemista:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(kirves+ b)=0

2)kirves 2 + c = 0 kirves 2 = – c; jos https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Toisen yhtälön kertoimien ja juurien välillä on riippuvuuksia, jotka tunnetaan kaavoina tai Vietan lauseena:

Bisquare yhtälöt ovat muotoa https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> olevia yhtälöitä, jolloin alkuperäisestä yhtälöstä saadaan toisen asteen yhtälö, mistä jonka löydämme klo, ja sitten X, kaavan mukaan.

Esimerkki. ratkaise yhtälö . Tuomme ilmaisut tasa-arvon molemmissa osissa yhteinen nimittäjä..gif" width="212" height="29 src=">. Ratkaisemme tuloksena olevan toisen asteen yhtälön: , tässä yhtälössä a= 1, b= –2,c= -15, silloin diskriminantti on yhtä suuri: D = b 2 – 4ac= 64. Yhtälön juuret: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Teemme korvauksen. Sitten yhtälöstä tulee on toisen asteen yhtälö, jossa a= 1, b= – 4,c= 3, sen erottaja on: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Neliöyhtälön juuret ovat vastaavasti yhtä suuret: ja .

Alkuperäisen yhtälön juuret , , , ..gif" width="78" height="51">, missä PN(x) ja pm(x) ovat astepolynomeja n ja m vastaavasti. Murtoluku on nolla, jos osoittaja on nolla ja nimittäjä ei, mutta tällainen polynomiyhtälö saadaan pääosin vasta pitkien muunnosten, siirtymien yhtälöstä toiseen jälkeen. Ratkaisuprosessissa jokainen yhtälö korvataan siis jollain uudella, ja uudella voi olla uudet juuret. Tehtävänä on seurata näitä muutoksia juurissa, estää juurien menetys ja pystyä hylkäämään ylimääräiset oikea päätös yhtälöt.

On selvää että paras tapa- korvaa joka kerta yksi yhtälö vastaavalla, niin viimeisen yhtälön juuret ovat alkuperäisen yhtälön juuret. Sellaisia ​​kuitenkin täydellinen polku vaikea toteuttaa käytännössä. Yhtälö korvataan pääsääntöisesti sen seurauksella, joka ei välttämättä vastaa sitä ollenkaan, kun taas ensimmäisen yhtälön kaikki juuret ovat toisen juuria, eli juurien menetystä ei tapahdu, vaan vieraita. saattaa ilmestyä (tai ei näy). Siinä tapauksessa, että yhtälö korvattiin vähintään kerran muunnosprosessissa epäyhtälöllä, tarvitsemme pakollinen tarkistus saadut juuret.

Eli jos päätös tehtiin ilman vastaavuuden ja esiintymislähteiden analyysiä vieraita juuria, sekki on pakollinen osa ratkaisuja. Ilman vahvistusta ratkaisua ei pidetä täydellisenä, vaikka vieraita juuria ei ilmestyisikään. Kun ne ilmestyivät eikä niitä hylätty, tämä päätös on yksinkertaisesti väärä.

Tässä on joitain polynomin ominaisuuksia:

Polynomin juuri kutsu arvoa x, jonka polynomi on yhtä suuri kuin nolla. Jokaisella n-asteisella polynomilla on täsmälleen n juuret. Jos polynomiyhtälö kirjoitetaan muodossa , niin , missä x 1, x 2,…, xn ovat yhtälön juuret.

Jokaisella polynomilla on tasainen tutkinto todellisilla kertoimilla on ainakin yksi reaalijuuri, mutta yleensä sillä on aina pariton numero todelliset juuret. Parillisen asteen polynomilla ei välttämättä ole todellisia juuria, ja kun niillä on, niiden lukumäärä on parillinen.

Polynomi voidaan hajottaa kaikissa olosuhteissa lineaariset tekijät ja neliömäiset trinomit kanssa negatiivinen syrjintä. Jos tiedämme sen juuren x 1 siis PN(x) = (x -x 1) Pn- 1(x).

Jos PN(x) = 0 on parillisen asteen yhtälö, niin sen tekijöiden laskentatavan lisäksi voidaan yrittää ottaa käyttöön muuttujan muutos, jonka avulla yhtälön aste pienenee.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö:

Tämä kolmannen (parittoman) asteen yhtälö tarkoittaa, että on mahdotonta ottaa käyttöön apumuuttujaa, joka alentaa yhtälön astetta. Se on ratkaistava huomioimalla vasen puoli, jota varten avaamme ensin sulut ja kirjoitamme sen sitten vakiomuotoon.

Saamme: x 3 + 5x – 6 = 0.

Tämä on pelkistetty yhtälö (kerroin at korkein aste yhtä suuri kuin yksi), joten etsimme sen juuria vapaan termin - 6 tekijöistä. Nämä ovat luvut ±1, ±2, ±3, ±6. Korvaaminen x= 1 yhtälöön, näemme sen x= 1 on sen juuri, eli polynomi x 3 + 5x–6 = 0 jaettuna ( x- 1) ei jäämiä. Tehdään tämä jako:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

Niin x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

Ensimmäinen yhtälö antaa juuren x= 1, joka on jo valittu, ja toisessa yhtälössä D< 0, sillä ei ole todellisia ratkaisuja. Koska tämän yhtälön ODZ , on mahdollista olla tarkistamatta.

Esimerkki..gif" width="52" height="21 src=">. Jos kerrot ensimmäisen kertoimen kolmannella ja toisen neljännellä, näissä tuotteissa on samat osat, jotka riippuvat x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Anna olla x 2 + 4x = y, sitten kirjoitamme yhtälön muodossa ( y – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Tällä toisen asteen yhtälöllä on ratkaisut: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Jos vähennämme tämän yhtälön yhteiseksi nimittäjäksi, neljännen asteen polynomi ilmestyy osoittajaan. Joten on sallittua muuttaa muuttujaa, mikä alentaa yhtälön astetta. Siksi tätä yhtälöä ei tarvitse välittömästi pelkistää yhteiseksi nimittäjäksi. Tästä näet, että vasemmalla on neliöiden summa. Joten voit lisätä sen täysi neliö summia tai eroja. Itse asiassa vähennä ja lisää kahdesti näiden neliöiden kanta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, sitten y 2 + 18y– 40 = 0. Vieta-lauseen mukaan y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> ja toisessa D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Vastaus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Saamme toisen asteen yhtälön a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Irrationaaliset yhtälöt

irrationaalinen kutsutaan yhtälöksi, jossa muuttuja on radikaalin merkin alla (juuri ) tai korkeusmerkin alla murto-aste()..gif" width="120" height="32"> ja niillä on sama tuntemattoman määritelmäalue. Kun neliöimme ensimmäisen ja toisen yhtälön, saamme saman yhtälön . Tämän yhtälön ratkaisut ovat molempien irrationaalisten yhtälöiden ratkaisuja.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynnissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuuden, lainvalvonta- tai muiden julkisten kannalta. tärkeitä tilaisuuksia.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.