काफी अच्छा, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, जटिल परिभाषा देने के लिए शब्दों की तलाश कर रहे हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।

संख्या ई का अर्थ है विकास

संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, e x हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: 300% की वृद्धि पर 3 वर्ष 300% पर 1 वर्ष के समान है, जो "चक्रवृद्धि ब्याज" के अधीन है।

आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों में 50%) को स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों में 100% निकला)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:

ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय

जाहिर है, ई एक्स का अर्थ है:

• x इकाइयों में मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानकर)।
• उदाहरण के लिए, 3 समय अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना "चीजें" मिल जाएगी।

ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दिखाता है कि हम एक्स समय अवधि में किस स्तर तक बढ़ेंगे।

प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय

प्राकृतिकई का विलोम है, विपरीत के लिए ऐसा फैंसी शब्द। विचित्रताओं की बात हो रही है; लैटिन में इसे लॉगरिदमस नेचुरली कहा जाता है, इसलिए संक्षिप्त नाम ln।

और इस उलटा या विपरीत का क्या अर्थ है?

• ई एक्स हमें समय में प्लग इन करने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
• ln(x) हमें विकास या आय लेने और इसे प्राप्त करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

• ई 3 20.08 के बराबर है। तीन अवधियों के बाद, हमारे पास 20.08 गुना होगा इसके अतिरिक्तजहां हमने शुरुआत की थी।
• ln(20.08) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 गुना (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए) की आवश्यकता होगी।

क्या आप अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने में लगने वाले समय को दर्शाता है।

यह गैर-मानक लघुगणकीय गणना

आपने लघुगणक पारित कर दिया - यह है अजीब प्राणी. उन्होंने गुणन को योग में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? घटाव में विभाजन के बारे में क्या? आइए देखते हैं।

ln(1) किसके बराबर है? सहज रूप से, प्रश्न यह है: मेरे पास जो है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितने समय तक प्रतीक्षा करनी होगी?

शून्य। शून्य। बिल्कुल भी नहीं। आपके पास पहले से ही एक बार है। लेवल 1 से लेवल 1 तक बढ़ने में इसे ज्यादा समय नहीं लगता है।

• लॉग (1) = 0

ठीक है, किस बारे में भिन्नात्मक मान? हमारे पास जो कुछ बचा है उसका 1/2 भाग लेने में हमें कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का अर्थ है कि इसे दोगुना होने में लगने वाला समय। हम अगर समय को लौटा लाना(अर्थात ऋणात्मक समय की प्रतीक्षा करें), तब हमारे पास जो है उसका आधा प्राप्त होता है।

• एलएन(1/2) = -एलएन(2) = -0.693

तार्किक, है ना? यदि हम 0.693 सेकेंड पीछे (बैकटाइम) जाते हैं, तो हमें उपलब्ध राशि का आधा मिल जाएगा। सामान्य तौर पर, आप भिन्न को पलट सकते हैं और ले सकते हैं नकारात्मक अर्थ: एलएन(1/3) = -एलएन(3) = -1.09। इसका मतलब यह है कि अगर हम समय में 1.09 गुना पीछे जाते हैं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।

ठीक है, ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? बैक्टीरिया की एक कॉलोनी को 1 से -3 तक "बढ़ने" में कितना समय लगता है?

यह नामुमकिन है! आप एक नकारात्मक बैक्टीरिया गिनती नहीं प्राप्त कर सकते हैं, है ना? आप शून्य का अधिकतम (उह ... न्यूनतम) प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन इन छोटे क्रिटर्स की ऋणात्मक संख्या प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है। पर ऋणात्मक संख्याबैक्टीरिया बस समझ में नहीं आता है।

• एलएन (ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित

"अपरिभाषित" का अर्थ है कि ऋणात्मक मान प्राप्त करने के लिए प्रतीक्षा करने के लिए कोई समय नहीं है।

लॉगरिदमिक गुणा सिर्फ प्रफुल्लित करने वाला है

चौगुनी वृद्धि में कितना समय लगेगा? बेशक, आप केवल ln(4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर जाएंगे।

आप चौगुनी के बारे में सोच सकते हैं कि दोहरीकरण (ln(2) समय इकाइयों की आवश्यकता होती है) और फिर दोहरीकरण (एक और ln(2) समय इकाइयों की आवश्यकता होती है):

• 4x वृद्धि का समय = ln(4) = दोगुना और फिर दोगुना होने का समय = ln(2) + ln(2)

दिलचस्प। कोई भी विकास दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के तुरंत बाद दोगुने के रूप में देखा जा सकता है। या 4 बार वृद्धि, और फिर 5 बार। या तीन गुना और फिर 6.666 गुना की वृद्धि। पैटर्न देखें?

• एलएन (ए * बी) = एलएन (ए) + एलएन (बी)

ए टाइम्स बी का लॉगरिदम लॉग (ए) + लॉग (बी) है। यदि आप विकास के संदर्भ में कार्य करते हैं तो यह संबंध तुरंत समझ में आता है।

यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप एक बार में ln(30) की प्रतीक्षा कर सकते हैं, या ln(3) के तिगुने होने की प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर दूसरे ln(10) को दस से गुणा कर सकते हैं। अंतिम परिणामवही, तो निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और रहता है)।

विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने में कितना समय लगता है और फिर उसका 1/3 प्राप्त होता है?

बढ़िया, 5 का गुणनखंड ln(5) है। 1/3 गुना बढ़ने में -ln(3) यूनिट समय लगेगा। इसलिए,

• एलएन(5/3) = एलएन(5) - एलएन(3)

इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय पर वापस जाएं" उस बिंदु पर जहां उस राशि का केवल एक तिहाई शेष रहता है, इसलिए आपको 5/3 की वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर, यह पता चला है

• एलएन (ए / बी) = एलएन (ए) - एलएन (बी)

मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय की इकाइयाँ जोड़ना बन जाता है, और विभाजन समय की घटाव इकाइयाँ बन जाता है। नियमों को याद न रखें, उन्हें समझने की कोशिश करें।

मनमाना विकास के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना

ठीक है, निश्चित रूप से, - आप कहते हैं, - यह सब अच्छा है यदि विकास 100% है, लेकिन उस 5% का क्या जो मुझे मिलता है?

कोई बात नहीं। एलएन () के साथ हम जिस "समय" की गणना करते हैं, वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, जो एक्स समीकरण से समान एक्स है। हमने सरलता के लिए प्रतिशत को 100% पर सेट करना चुना है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

मान लीजिए कि हम 30x की वृद्धि हासिल करना चाहते हैं: हम ln (30) लेते हैं और 3.4 प्राप्त करते हैं इसका मतलब है:

• ई एक्स = ऊंचाई
• ई 3.4 = 30

जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना बढ़ जाता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

• ई एक्स = ई दर * समय
• ई 100% * 3.4 वर्ष = 30

हम "दर" और "समय" के मूल्यों को तब तक बदल सकते हैं जब तक दर * समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% ब्याज दर पर कब तक इंतजार करना होगा?

• लॉग (30) = 3.4
• दर * समय = 3.4
• 0.05 * समय = 3.4
• समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष

मैं इस तरह से तर्क करता हूं: "ln(30) = 3.4, इसलिए 100% की वृद्धि पर इसे 3.4 साल लगेंगे। अगर मैं विकास दर को दोगुना कर दूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाएगा।"

• 3.4 वर्षों में 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 वर्षों में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 वर्षों में 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 वर्षों में 5% = .05 * 68 = 3.4 ।

यह बढ़िया है, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है, जब तक कि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप वेरिएबल्स के मानों को जितना चाहें उतना स्थानांतरित कर सकते हैं।

बुरा उदाहरण: बहत्तर नियम

बहत्तर का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपके पैसे को दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसे प्राप्त करेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।

हर साल बढ़ने वाली 100% की दर से आपके पैसे को दोगुना करने में कितना समय लगता है?

ओपी-पा। हमने निरंतर वृद्धि के मामले में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया है, और अब आप वार्षिक उपार्जन के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह सूत्र ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं होगा? हां, यह होगा, लेकिन वास्तविक ब्याज दरों जैसे 5%, 6% या 15% के लिए, सालाना चक्रवृद्धि और लगातार बढ़ने के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटे तौर पर अनुमान काम करता है, उह, मोटे तौर पर, इसलिए हम दिखावा करने जा रहे हैं कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर प्रोद्भवन है।

अब प्रश्न सरल है: आप कितनी तेजी से 100% विकास के साथ दोगुना कर सकते हैं? एलएन(2) = 0.693। 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगते हैं।

तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, लेकिन मान लीजिए 5% या 10% है?

सरलता! चूंकि दर * समय = 0.693, हम राशि को दोगुना कर देंगे:

• दर * समय = 0.693
• समय = 0.693 / दर

तो अगर विकास 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693 / 0.10 = 6.93 वर्ष लगेंगे।

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों भागों को 100 से गुणा करें, फिर हम "10" कह सकते हैं न कि "0.10":

• दोहरीकरण समय = 69.3 / शर्त, जहां शर्त प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

अब 5%, 69.3/5 = 13.86 वर्ष पर दोगुना होने का समय है। हालांकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या 72 चुनें, जो 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से आसानी से विभाज्य हो।

• दोहरीकरण समय = 72 / शर्त

जो बहत्तर का नियम है। सब कुछ ढका हुआ है।

यदि आपको तीन गुना समय निकालने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~ 109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

• तिगुना समय = 110 / शर्त

दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "नियम 72" द्वारा वृद्धि पर लागू होता है ब्याज दर, जनसंख्या वृद्धि, बैक्टीरिया संस्कृतियां, और वह सब कुछ जो तेजी से बढ़ता है।

आगे क्या होगा?

मुझे उम्मीद है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपके लिए समझ में आता है - यह किसी भी संख्या को तेजी से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि ई विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए एलएन को यह निर्धारित करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जा सकता है कि इसे बढ़ने में कितना समय लगता है।

हर बार जब आप ln(x) देखते हैं, तो याद रखें "x गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आने वाले लेख में मैं ई और एलएन का संयोजन में वर्णन करूंगा, जिससे गणित की ताजा सुगंध हवा में भर जाएगी।

पूरक: e . का प्राकृतिक लघुगणक

त्वरित प्रश्नोत्तरी: ln(e) कितना होगा?

• गणित रोबोट कहेगा: चूंकि उन्हें एक दूसरे के प्रतिलोम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1.
• समझने वाला व्यक्ति: ln(e) "e" गुना (लगभग 2.718) बढ़ने की संख्या है। हालांकि, संख्या ई स्वयं 1 के कारक द्वारा वृद्धि का एक उपाय है, इसलिए एलएन (ई) = 1।

स्पष्ट सोचो।

9 सितंबर, 2013

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . लघुगणक खत्म इस कारणकहा जाता है प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, संकेत के साथ काम करना आम है मैंएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए, इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस तरह दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त होना एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य, इसलिये इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

गणना की कि इ = 2,7182818284... .

प्राय: किसी संख्या को स्मृति में स्थिर करने के लिए आवश्यक संख्या के अंकों को कुछ के साथ जोड़ दिया जाता है बकाया तारीख. किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद अंक बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज काफी हैं पूरा टेबलप्राकृतिक लघुगणक।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ(कार्य वाई =एलएन एक्स) घातांक के ग्राफ का एक परिणाम है दर्पण छविअपेक्षाकृत सीधा वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्ससे 1 इससे पहले एक.

इस सूत्रीकरण की प्रारंभिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, तब यह कार्य करता है उलटा काम करना प्रति घातांक प्रकार्य, जो पहचान को कम करता है:

एलएन (ए) = ए (ए> 0)

एलएन (ई ए) = ए

सभी लघुगणक के साथ सादृश्य द्वारा, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एलएन(xy) = एलएन(एक्स) + एलएन(आप)

एलएन(एक्स/वाई)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक प्रत्येक सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, न कि केवल के लिए इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं स्थिर कारक, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं।

विश्लेषण करने के बाद प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह मौजूद है सकारात्मक मूल्यचर एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ) अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति समारोह एक्स एएक सकारात्मक घातांक के साथ एकलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकगुजरते समय बहुत तर्कसंगत उच्च गणित. इस प्रकार, उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणना में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बहुत सुविधा प्रदान करना संभव बनाता है एक बड़ी संख्या की गणितीय सूत्र. आधार लघुगणक इ एक महत्वपूर्ण संख्या को हल करने में मौजूद हैं शारीरिक कार्यऔर स्वाभाविक रूप से शामिल हैं गणितीय विवरणव्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाएं। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग क्षय स्थिरांक की गणना के लिए किया जाता है ज्ञात अवधिआधा जीवन, या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए। वे में प्रदर्शन करते हैं अग्रणी भूमिकागणित की कई शाखाओं में और व्यावहारिक विज्ञान, उन्हें हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में सहारा लिया जाता है एक बड़ी संख्या मेंचक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित कार्य।

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समूह, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर फलन ln x को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में निरूपित करते हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन है y= एलएन एक्स, घातांक के व्युत्क्रम, x \u003d e y , और जो संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का सबसे सरल रूप है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई 2.718281828459045...;
.

फलन का ग्राफ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातांक के ग्राफ से सीधी रेखा y = x के बारे में दर्पण परावर्तन द्वारा प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक x के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

एक्स → . के रूप में 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत (- ∞) है।

x → + के रूप में, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत ( + ) है। बड़े x के लिए, लघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। सकारात्मक घातांक के साथ कोई भी शक्ति फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

लॉग 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

प्रतिलोम फलन की परिभाषा से उत्पन्न होने वाले सूत्र:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम प्रतिपादक है।

तो अगर

तो अगर ।

व्युत्पन्न ln x

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मॉड्यूलो x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

एक जटिल चर z के एक फलन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में, एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है: एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सकिसी की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज" हो जाता है ऊर्जा समीकरणसे एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे इएक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.718281 828 के बराबर है। प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर ln के रूप में दर्शाया जाता है ( एक्स), लकड़ी का लट्ठा इ (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग ( एक्स) यदि आधार इनिहित।

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा लॉग (एक्स)) वह घातांक है जिस पर आप संख्या बढ़ाना चाहते हैं इ, प्राप्त होना एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ (एलएन (ई)) 1 के बराबर है क्योंकि इ 1 = इ, और प्राकृतिक लघुगणक 1 ( लॉग(1)) 0 है क्योंकि इ 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्स 1 से . तक एक. इस परिभाषा की सादगी, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, ने "प्राकृतिक" नाम को जन्म दिया है। इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में मानते हैं, तो यह घातीय कार्य का उलटा कार्य है, जो पहचान की ओर जाता है:

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

इस प्रकार, लघुगणक फलन धनात्मक के समूह का एक समरूपता है वास्तविक संख्याएक समूह द्वारा गुणा के संबंध में वास्तविक संख्याइसके अलावा, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं। लॉगरिदम उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक ज्ञात करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय ज्ञात करने के लिए किया जाता है। वे खेल रहे हैं महत्वपूर्ण भूमिकागणित के कई क्षेत्रों में और अनुप्रयुक्त विज्ञान, चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए वित्त में उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिदमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित हुआ, हालांकि गणित के शिक्षक जॉन स्पाईडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका तैयार की। पहले, इसे अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाती है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक कहा जाता है, हालांकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

संकेतन सम्मेलन

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 लघुगणक के माध्यम से "lg( एक्स)", और यह अन्य आधारों को स्पष्ट रूप से "लॉग" प्रतीक के साथ इंगित करने के लिए प्रथागत है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स, कंप्यूटर विज्ञान पर कई पत्रों में, लेखक "लॉग" संकेतन का उपयोग करते हैं। एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन इस सम्मेलन को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, या तो इस्तेमाल किए गए नोटेशन की सूची में या (यदि ऐसी कोई सूची मौजूद नहीं है) एक फुटनोट या पहले उपयोग पर टिप्पणी द्वारा।

लघुगणक के तर्क के आसपास के कोष्ठक (यदि यह सूत्र के गलत पढ़ने की ओर नहीं ले जाता है) को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है, और जब एक लघुगणक को एक शक्ति में बढ़ाते हैं, तो घातांक को सीधे लघुगणक के संकेत के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एलएन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद और कुछ इंजीनियर आमतौर पर या तो "लॉग ( एक्स)", या "एलएन ( एक्स)" , और लघुगणक को आधार 10 - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य पेशेवर हमेशा "ln( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और संकेतन "लॉग ( एक्स)" का अर्थ है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा इ"प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से होता है और गणित में बहुत बार प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न समस्या पर विचार करें लॉगरिदमिक फ़ंक्शन:

यदि आधार बीबराबरी इ, तो व्युत्पन्न केवल 1/ एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। एक अन्य औचित्य जिसके लिए आधार इलघुगणक सबसे स्वाभाविक है, यह है कि इसे काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है सरल अभिन्नया एक टेलर श्रृंखला, जिसे अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के और प्रमाण संख्या से जुड़े नहीं हैं। तो, उदाहरण के लिए, कई हैं सरल पंक्तियाँप्राकृतिक लघुगणक के साथ। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लॉगरिदमस नेचुरलिसकई दशकों तक जब तक न्यूटन और लाइबनिज ने अंतर और अभिन्न कलन विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( एक) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक्स 1 से . तक एक, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह संतुष्ट करता है मौलिक संपत्तिलघुगणक:

इसे निम्नलिखित मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

अंकीय मूल्य

गणना के लिए अंकीय मूल्यकिसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक, आप टेलर श्रृंखला में इसके विस्तार का उपयोग इस रूप में कर सकते हैं:

अभिसरण की सर्वोत्तम दर प्राप्त करने के लिए, आप निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया आप = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए ( एक्स), कहाँ पे एक्स> 1 से निकट अर्थ एक्स 1 करने के लिए, तेज गतिअभिसरण। लघुगणक से जुड़ी पहचान का उपयोग लक्ष्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

इन विधियों का उपयोग कैलकुलेटरों के आगमन से पहले भी किया जाता था, जिसके लिए इनका उपयोग किया जाता था संख्यात्मक सारणीऔर ऊपर वर्णित लोगों के समान जोड़तोड़ किए।

उच्च सटीकता

के साथ प्राकृतिक लघुगणक की गणना करने के लिए बड़ी मात्रासटीकता के अंक, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग एक घातीय फ़ंक्शन में उलटा करने के लिए किया जाए, जिसकी श्रृंखला तेजी से परिवर्तित होती है।

बहुत अधिक गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ पे एम 1 और 4/s के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है, और

एमचुना ताकि पीसटीकता के निशान प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त होता है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो प्राकृतिक लघुगणक के न्यूटन के व्युत्क्रम को घातीय फ़ंक्शन की कुशलता से गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक ln 2 और pi किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

अभिकलनात्मक जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O है ( एम(एन)एलएन एन) यहां एनसटीकता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना है, और एम(एन) दो गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंकीय संख्याएँ।

निरंतर भिन्न

यद्यपि लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई सरल निरंतर अंश नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है इ एक्सकिसी भी मनमानी के लिए जटिल संख्या एक्स, एक जटिल के साथ एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करते समय एक्स. इस घातांक प्रकार्यएक जटिल लघुगणक बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है, जिसमें होगा अधिकाँश समय के लिएसाधारण लघुगणक के गुण। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए इ एक्स= 0, और यह पता चला है कि इ 2अनुकरणीय = 1 = इ 0. चूंकि गुणक गुण एक जटिल घातांक फलन के लिए मान्य है, तो इ जेड = इ जेड+2एनपीआईसभी परिसर के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को पूरे जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमान है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समतुल्य" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है अनुकरणीय. जटिल लघुगणक केवल एक स्लाइस पर एकल-मूल्यवान हो सकता है जटिल विमान. उदाहरण के लिए ln मैं = 1/2 अनुकरणीयया 5/2 अनुकरणीयया -3/2 अनुकरणीय, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4लोग मैं 2 . के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अनुकरणीय, या 10 अनुकरणीयया -6 अनुकरणीय, और इसी तरह।

यह सभी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित। - 3. - अकादमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ "कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई। द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपदों का उपयोग करके समाकलनों का अनुमान लगाना। मूल से 12 फरवरी, 2012 को संग्रहीत किया गया।