व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति ऊर्जा समीकरण(एक्स की शक्ति के लिए ए)। x से जड़ों के व्युत्पन्न माने जाते हैं। एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र उच्च आदेश. डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण।

x से a की घात का व्युत्पन्न माइनस वन की घात x का गुणा है:
(1) .

x के nवें मूल से mth घात का अवकलज है:
(2) .

एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

केस x > 0

घातांक a के साथ चर x के घात फलन पर विचार करें:
(3) .
यहाँ a मनमाना है वास्तविक संख्या. आइए पहले मामले पर विचार करें।

फ़ंक्शन (3) के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्न रूप में बदलते हैं:
.

अब हम लागू करके व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
यहां ।

सूत्र (1) सिद्ध होता है।

x की डिग्री n से डिग्री m . के मूल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्न रूप का मूल है:
(4) .

व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम रूट को पावर फ़ंक्शन में परिवर्तित करते हैं:
.
सूत्र (3) की तुलना में, हम देखते हैं कि
.
फिर
.

सूत्र (1) द्वारा हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1) ;
;
(2) .

व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले रूट्स को पावर फंक्शन में बदलना और फिर फॉर्मूला (1) (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव्स को खोजना अधिक सुविधाजनक है।

केस x = 0

यदि , तो घातांकीय फलन को चर x = . के मान के लिए भी परिभाषित किया जाता है 0 . आइए x = . के लिए फलन (3) का अवकलज ज्ञात करें 0 . ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
.

स्थानापन्न x = 0 :
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए .

तो हमने पाया:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि पर.
पर , ।
पर , ।
यह परिणाम सूत्र (1) द्वारा भी प्राप्त किया जाता है:
(1) .
इसलिए, x = . के लिए सूत्र (1) भी मान्य है 0 .

केस x< 0

फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:
(3) .
स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए, इसे के लिए भी परिभाषित किया गया है नकारात्मक मानपरिवर्तनीय एक्स। अर्थात्, एक होने दो परिमेय संख्या. तब इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है अपरिवर्तनीय अंश:
,
जहाँ m और n बिना के पूर्णांक हैं सामान्य भाजक.

यदि n विषम है, तो चर x के ऋणात्मक मानों के लिए घातांकीय फलन भी परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, n = के लिए 3 और एम = 1 हमारे पास x का घनमूल है:
.
इसे x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।

आइए हम घात फलन (3) के लिए और के लिए अवकलज ज्ञात करें तर्कसंगत मूल्यस्थिरांक a , जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं:
.
फिर ,
.
हम अवकलज के चिह्न से अचर को निकालकर और एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को लागू करके अवकलज पाते हैं:

.
यहां । लेकिन
.
क्योंकि तब
.
फिर
.
अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(1) .

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव

अब हम घात फलन के उच्च कोटि के अवकलज पाते हैं
(3) .
हमने पहले ही ऑर्डर व्युत्पन्न पाया है:
.

अवकलज के चिह्न से अचर को निकालते हुए, हम द्वितीय कोटि का अवकलज पाते हैं:
.
इसी तरह, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
;

.

यहाँ से यह स्पष्ट है कि एक मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप है:
.

नोटिस जो यदि a एक प्राकृत संख्या है, , तो n वां व्युत्पन्न स्थिर है:
.
फिर सभी बाद के डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं:
,
पर ।

व्युत्पन्न उदाहरण

उदाहरण

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

फेसला

आइए जड़ों को शक्तियों में बदलें:
;
.
तब मूल कार्य रूप लेता है:
.

हम डिग्री के व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है:
.

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज रूप से और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्य के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (भुजाकार अक्ष के साथ आगे बढ़ते हुए), फ़ंक्शन का मान बदलता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ आगे बढ़ता है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे करें? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी को आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी बदलेगी। दरअसल, सड़क के अलग-अलग हिस्सों में, एक किलोमीटर के लिए आगे (एब्सिसा अक्ष के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम ऊपर या नीचे गिरेंगे अलग राशिसमुद्र तल के सापेक्ष मीटर (y-अक्ष के साथ)।

हम आगे की प्रगति को दर्शाते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन है; तब यह क्या है? यह सही है, आकार में बदलाव।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई है, एक चर है। आपको "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए।

तो, हम आगे बढ़े हैं, क्षैतिज रूप से, आगे। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना किसी फलन के ग्राफ से करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे निरूपित करते हैं? निश्चित रूप से, । यानी जब हम आगे बढ़ते हैं तो हम और ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेजी से) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान की खड़ीपन बराबर होती है। और अगर सड़क, मी से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब जाती है? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - इसके बाद आधा किलोमीटर लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

यानी हमारे तर्क के अनुसार पता चलता है कि यहां का ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है. कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उससे फिसल सकते हैं। तब हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

पर असली जीवननिकटतम मिलीमीटर की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा थी बहुत छोता, अर्थात्, मॉड्यूल मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरब! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम होगा। आदि। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर जाता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब है कि इसे में विभाजित किया जा सकता है।

अपरिमित रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे, तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या मापांक में किसी भी संख्या से अधिक है जिसके बारे में आप सोच सकते हैं। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक मिलता है। लेकिन फिर भी अनंत इसके अलावाक्या काम करेगा। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात्, पर, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारी सड़क पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब यह नहीं है शून्य. यदि आप अपरिमित संख्याओं को एक दूसरे से भाग दें, तो आप काफी प्राप्त कर सकते हैं सामान्य संख्या, उदाहरण के लिए, । अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान ... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क के एक अनंतिम वृद्धि पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहा जाता है। अक्ष के अनुदिश चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहलाता है तर्क वृद्धिऔर एक दूरी से अक्ष के साथ आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है, द्वारा दर्शाया गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल ऊपर दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के सादृश्य में, यहाँ, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न धनात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह ऋणात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो यह व्युत्पन्न के साथ है: व्युत्पन्न स्थायी कार्य(स्थिर) शून्य है:

चूंकि इस तरह के फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था विभिन्न पक्षऊपर से, कि सिरों पर ऊँचाई समान है, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर है:

लेकिन बड़े खंड गलत माप के संकेत हैं। हम अपने सेगमेंट को अपने समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम अनंत रूप से शीर्ष के करीब होते हैं, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह बिना छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क अपनी ढलान को कहीं भी तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, ऋणात्मक और के बीच सकारात्मक मूल्यहोना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहाँ फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को एक मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फंक्शन का मान बराबर होता है। फिर हम एक ही वेतन वृद्धि करते हैं: निर्देशांक बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, समारोह वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

पर विभिन्न बिंदुतर्क के समान वेतन वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामलातब है जब घातांक है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर फलन उसके तर्क के बराबर होता है। इसलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

बी) अब विचार करें द्विघात फंक्शन (): .

आइए अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस व्यंजक को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण व्यंजक को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और चलिए इसे फिर से याद करते हैं। इसका मतलब है कि हम सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

डी) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप शब्दों के साथ नियम बना सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाता है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, हाँ, जड़ भी एक डिग्री है, केवल एक भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूल एक घातांक के साथ सिर्फ एक शक्ति है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए फॉर्मूले का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो गया, तो "" विषय दोहराएं !!! (डिग्री के बारे में नकारात्मक संकेतक)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन:।

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में सबूत सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना होगा)। अब मैं इसे केवल ग्राफिक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होता है, कार्य उतना ही करीब होता है। यह बहुत "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर से इस नियम की जांच कर सकते हैं। हां, हां, शरमाएं नहीं, कैलकुलेटर लें, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियन मोड में स्विच करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि छोटा निकट अर्थसे संबंध।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम याद करते हैं कि अभिव्यक्ति के साथ। इसके अलावा, क्या होगा अगर अनंत छोटे आकार कायोग (अर्थात, पर) में उपेक्षित किया जा सकता है।

तो हमें मिलता है अगला नियम:ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

1. पहले हम व्युत्पन्न पाते हैं सामान्य दृष्टि से, और फिर इसके लिए इसके मान को प्रतिस्थापित करें:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईई… .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी भी नहीं जानते कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका अवकलज किसी के लिए उसी के फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फलन का आधार अचर है - यह अनंत है दशमलव, वह है, एक अपरिमेय संख्या (जैसे)। इसे "यूलर नंबर" कहा जाता है, इसलिए इसे एक अक्षर से दर्शाया जाता है।

तो नियम है:

याद रखना बहुत आसान है।

खैर, दूर नहीं चलते, आइए तुरंत विचार करें उलटा काम करना. कौन सा फलन का विलोम है घातांक प्रकार्य? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: प्रदर्शक और प्राकृतिक- व्युत्पन्न के संदर्भ में कार्य विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसके बारे में हम बाद में चर्चा करेंगे आइए नियमों के माध्यम से चलते हैंभेदभाव।

विभेदन नियम

क्या नियम? दोबारा नया शब्द, दोबारा?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? नहीं proizvodnovanie... गणित के अंतर को फ़ंक्शन का बहुत वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंशियल - डिफरेंशियल से आया है। यहां।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जाता है।

अगर कुछ स्थिर संख्या(निरंतर), फिर।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान:

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी घातांकीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . फिर:

अच्छा, यह काम किया। अब अवकलज ज्ञात करने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फलन जटिल है।

हो गई?

यहां, अपने आप को जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक कारक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह सिर्फ एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती है, यानी इसे और अधिक लिखने का कोई तरीका नहीं है अराल तरीका. अतः उत्तर में इसे इस रूप में छोड़ दिया जाता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, :

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की जरूरत है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक केवल एक स्थिरांक (एक स्थिर संख्या, बिना किसी चर के) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के डेरिवेटिव लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालांकि यदि लघुगणक आपको मुश्किल लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "मुश्किल" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रिया कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह एक ऐसी समग्र वस्तु निकलती है: एक चॉकलेट बार लपेटा जाता है और एक रिबन से बंधा होता है। चॉकलेट खाने के लिए, आपको करना होगा रिवर्स एक्शनमें उल्टे क्रम.

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं इसकी कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला है उसे आप वर्गाकार करें (इसे एक रिबन से बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह उदाहरण है जटिल कार्य: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया जो पहले के परिणामस्वरूप हुई उसके साथ होती है।

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में अच्छी तरह से कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। महत्वपूर्ण विशेषताजटिल कार्य: जब आप क्रियाओं का क्रम बदलते हैं, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक अन्य कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूं)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण परिवर्तनशील चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम साइन की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे एक घन तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलट जाती है: पहले, हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। के लिए आवेदन किया मूल उदाहरणयह इस तरह दिख रहा है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करें:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(बस अब तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जाता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इससे जड़ निकालते हैं, अर्थात, हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में डालते हैं) और एक ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोसाइन, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक। और फिर हम इसे सभी गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को नंबर देना सुविधाजनक होता है। यानी हम जो जानते हैं उसकी कल्पना करें। इस व्यंजक के मान की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रिया करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

बाद में कार्रवाई की जाती है, संबंधित फ़ंक्शन जितना अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां नेस्टिंग आमतौर पर 4-स्तर की होती है। आइए कार्रवाई के पाठ्यक्रम को निर्धारित करें।

1. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति. .

2. जड़। .

3. साइनस। .

4. स्क्वायर। .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की एक असीम वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

भेदभाव नियम:

व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाला जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।

इस वीडियो के साथ, मैं डेरिवेटिव पर पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूं। इस पाठ के कई भाग हैं।

सबसे पहले, मैं आपको बताऊंगा कि सामान्य रूप से डेरिवेटिव क्या हैं और उनकी गणना कैसे करें, लेकिन एक परिष्कृत शैक्षणिक भाषा में नहीं, लेकिन जिस तरह से मैं इसे स्वयं समझता हूं और अपने छात्रों को कैसे समझाता हूं। दूसरे, हम समस्याओं को हल करने के लिए सबसे सरल नियम पर विचार करेंगे जिसमें हम योगों के व्युत्पन्न, अंतर के व्युत्पन्न, और एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करेंगे।

हम अधिक जटिल संयुक्त उदाहरणों को देखेंगे, जिनसे आप सीखेंगे, विशेष रूप से, जड़ और यहां तक ​​कि भिन्नों से संबंधित समान समस्याओं को एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके अलावा, निश्चित रूप से, समाधान के कई कार्य और उदाहरण होंगे अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ।

सामान्य तौर पर, शुरू में मैं 5 मिनट का एक छोटा वीडियो रिकॉर्ड करने जा रहा था, लेकिन आप खुद देख सकते हैं कि इससे क्या हुआ। तो गीत के लिए पर्याप्त - चलो व्यापार के लिए नीचे उतरें।

एक व्युत्पन्न क्या है?

तो चलिए शुरू करते हैं दूर से। कई साल पहले, जब पेड़ हरे थे और जीवन अधिक मजेदार था, गणितज्ञों ने इस बारे में सोचा: इसके ग्राफ द्वारा दिए गए एक सरल कार्य पर विचार करें, इसे $y=f\left(x \right)$ कहते हैं। बेशक, ग्राफ़ अपने आप मौजूद नहीं है, इसलिए आपको $x$ अक्ष और साथ ही $y$ अक्ष को खींचने की आवश्यकता है। और अब आइए इस ग्राफ पर किसी भी बिंदु को चुनें, बिल्कुल कोई भी। चलो एब्सिस्सा $((x)_(1))$ को कॉल करें, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, ऑर्डिनेट $f\left(((x)_(1)) \right)$ होगा।

उसी ग्राफ पर एक और बिंदु पर विचार करें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा, मुख्य बात यह है कि यह मूल से अलग है। यह, फिर से, एक एब्सिस्सा है, चलो इसे $((x)_(2))$ कहते हैं, साथ ही एक कोटि - $f\left(((x)_(2)) \right)$।

तो, हमें दो अंक मिले: उनके पास अलग-अलग एब्सिस हैं और इसलिए, विभिन्न अर्थकार्य, हालांकि बाद वाला वैकल्पिक है। लेकिन वास्तव में जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि हम ग्रहमिति पाठ्यक्रम से जानते हैं कि दो बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींची जा सकती है और इसके अलावा, केवल एक। यहाँ, इसे चलाते हैं।

और अब आइए उनमें से सबसे पहले के माध्यम से x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। पाना सही त्रिकोण. आइए इसे $ABC$, समकोण $C$ कहते हैं। इस त्रिभुज में एक बहुत है दिलचस्प संपत्ति: तथ्य यह है कि $\alpha $ कोण, वास्तव में, कोण के बराबर, जिसके तहत सीधी रेखा $AB$ भुज अक्ष की निरंतरता के साथ प्रतिच्छेद करती है। अपने लिए न्यायाधीश:

1. लाइन $AC$ निर्माण द्वारा अक्ष $Ox$ के समानांतर है,
2. लाइन $AB$ $AC$ को $\alpha $ के अंतर्गत काटती है,
3. इसलिए $AB$ उसी $\alpha $ के अंतर्गत $Ox$ को प्रतिच्छेद करता है।

हम $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ के बारे में क्या कह सकते हैं? कुछ भी ठोस नहीं है, सिवाय इसके कि त्रिभुज $BC$ में पैर $BC$ और पैर $AC$ का अनुपात इसी कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है। तो चलिए लिखते हैं:

बेशक, $AC$ in इस मामले मेंआसानी से माना जाता है:

इसी तरह $BC$ के लिए:

दूसरे शब्दों में, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

अब जब हमें यह सब पता चल गया है, तो आइए अपने चार्ट पर वापस जाएं और देखें नया बिंदु$बी$। पुराने मूल्यों को मिटाएं और $B$ को $((x)_(1))$ के करीब ले जाएं और ले जाएं। आइए फिर से इसके एब्सिस्सा को $((x)_(2))$ के रूप में निरूपित करें, और इसके कोर्डिनेट को $f\left(((x)_(2)) \right)$ के रूप में निरूपित करें।

फिर से हमारे छोटे त्रिभुज $ABC$ और $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह एक पूरी तरह से अलग कोण होगा, स्पर्शरेखा भी अलग होगी क्योंकि खंडों की लंबाई $AC$ और $BC$ में काफी बदलाव आया है, और कोण के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र बिल्कुल भी नहीं बदला है। - यह अभी भी फ़ंक्शन बदलने और तर्क बदलने के बीच का अनुपात है।

अंत में, हम $B$ को प्रारंभिक बिंदु $A$ के करीब और करीब ले जाना जारी रखते हैं, नतीजतन, त्रिकोण और भी कम हो जाएगा, और खंड $AB$ वाली रेखा अधिक से अधिक स्पर्शरेखा की तरह दिखेगी फ़ंक्शन का ग्राफ।

नतीजतन, अगर हम बिंदुओं तक पहुंचना जारी रखते हैं, यानी, दूरी को शून्य तक कम कर देते हैं, तो सीधी रेखा $AB$ वास्तव में इस बिंदु पर ग्राफ के स्पर्शरेखा में बदल जाएगी, और $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ एक नियमित त्रिभुज तत्व से ग्राफ़ की स्पर्शरेखा और $Ox$ अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण में बदल जाएगा।

और यहां हम आसानी से $f$ की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं, अर्थात्, बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $((x)_(1))$ स्पर्शरेखा के बीच कोण $\alpha $ की स्पर्शरेखा है। बिंदु $((x)_(1))$ पर ग्राफ और $Ox$ अक्ष की सकारात्मक दिशा:

\[(f)"\बाएं(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

हमारे ग्राफ पर लौटते हुए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि $((x)_(1))$ के रूप में, आप ग्राफ पर किसी भी बिंदु को चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, उसी सफलता के साथ, हम चित्र में दिखाए गए बिंदु पर स्ट्रोक को हटा सकते हैं।

आइए अक्ष $\beta $ की स्पर्शरेखा और धनात्मक दिशा के बीच के कोण को कॉल करें। तदनुसार, $f$ में $((x)_(2))$ इस कोण $\beta $ के स्पर्शरेखा के बराबर होगा।

\[(f)"\बाएं(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु की अपनी स्पर्शरेखा होगी, और फलस्वरूप, फ़ंक्शन का अपना मान होगा। इनमें से प्रत्येक मामले में, जिस बिंदु पर हम अंतर या योग के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं, या किसी शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं, उससे कुछ दूरी पर स्थित एक और बिंदु लेना आवश्यक है, और फिर इस बिंदु को मूल बिंदु पर निर्देशित करें और निश्चित रूप से पता लगाएं कि इस प्रक्रिया में इस तरह के आंदोलन झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा को कैसे बदल देगा।

पावर फ़ंक्शन व्युत्पन्न

दुर्भाग्य से, यह परिभाषा हमें बिल्कुल भी शोभा नहीं देती। ये सभी सूत्र, चित्र, कोण हमें ज़रा भी विचार नहीं देते हैं कि वास्तविक व्युत्पन्न की गणना कैसे करें वास्तविक कार्य. इसलिए, आइए औपचारिक परिभाषा से थोड़ा पीछे हटें और अधिक प्रभावी सूत्रों और तकनीकों पर विचार करें जिनके साथ आप पहले से ही वास्तविक समस्याओं को हल कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल निर्माणों से शुरू करें, अर्थात् $y=((x)^(n))$ के रूप के कार्य, अर्थात्। शक्ति कार्य। इस मामले में, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$। दूसरे शब्दों में, घातांक में जो डिग्री थी, उसे सामने गुणक में दिखाया गया है , और घातांक स्वयं इकाई द्वारा कम किया जाता है, उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

और यहाँ एक और विकल्प है:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

इनका उपयोग करना सरल नियम, आइए निम्नलिखित उदाहरणों के स्ट्रोक को हटाने का प्रयास करें:

तो हमें मिलता है:

\[((\बाएं(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

अब दूसरी अभिव्यक्ति को हल करते हैं:

\[\प्रारंभ (संरेखित करें) और f\बाएं(x \दाएं)=((x)^(100)) \\& ((\बाएं((x)^(100)) \दाएं))^(\ प्राइम ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

बेशक, ये बहुत थे सरल कार्य. हालांकि, वास्तविक समस्याएं अधिक जटिल हैं और वे किसी फ़ंक्शन की शक्तियों तक सीमित नहीं हैं।

तो, नियम संख्या 1 - यदि फ़ंक्शन को अन्य दो के रूप में दर्शाया गया है, तो इस योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है:

\[((\बाएं(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

इसी तरह, दो कार्यों के अंतर का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के अंतर के बराबर है:

\[((\बाएं(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\बाएं(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ प्राइम ))+((\बाएं(x \दाएं))^(\prime ))=2x+1\]

इसके अलावा, एक और है महत्वपूर्ण नियम: यदि कुछ $f$ एक स्थिर $c$ से पहले है, जिससे इस फ़ंक्शन को गुणा किया जाता है, तो इस पूरे निर्माण का $f$ निम्नानुसार माना जाता है:

\[((\बाएं(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\बाएं(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ प्राइम ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

अंत में, एक और बहुत महत्वपूर्ण नियम: समस्याओं में अक्सर एक अलग शब्द होता है जिसमें $x$ बिल्कुल भी नहीं होता है। उदाहरण के लिए, हम इसे अपने आज के भावों में देख सकते हैं। एक स्थिरांक का व्युत्पन्न, यानी, एक संख्या जो किसी भी तरह से $x$ पर निर्भर नहीं करती है, हमेशा शून्य के बराबर होती है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि निरंतर $c$ किसके बराबर है:

\[((\बाएं(सी \दाएं))^(\प्राइम))=0\]

समाधान उदाहरण:

\[((\बाएं(1001 \दाएं))^(\प्राइम))=((\बाएं(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

एक बार फिर प्रमुख बिंदु:

1. दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न हमेशा डेरिवेटिव के योग के बराबर होता है: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. समान कारणों से, दो कार्यों के अंतर का व्युत्पन्न दो डेरिवेटिव के अंतर के बराबर है: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. यदि फ़ंक्शन में एक कारक स्थिरांक है, तो यह स्थिरांक व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. यदि पूरा फ़ंक्शन स्थिर है, तो इसका व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$।

आइए देखें कि यह सब कैसे काम करता है वास्तविक उदाहरण. इसलिए:

हम लिखते हैं:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\ prime ))=((\left) (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

इस उदाहरण में, हम योग के व्युत्पन्न और अंतर के व्युत्पन्न दोनों को देखते हैं। तो व्युत्पत्ति $5((x)^(4))-6x$ है।

आइए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

समाधान लिखिए:

\[\begin(align)& ((\बाएं(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

यहां हमें इसका जवाब मिल गया है।

आइए तीसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं - यह पहले से ही अधिक गंभीर है:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\ prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right) ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

हमें जवाब मिल गया है।

आइए अंतिम अभिव्यक्ति पर चलते हैं - सबसे जटिल और सबसे लंबी:

तो, हम विचार करते हैं:

\[\begin(align)& ((\बाएं(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\बाएं(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\बाएं(4x \दाएं))^(\प्राइम))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

लेकिन समाधान वहाँ समाप्त नहीं होता है, क्योंकि हमें न केवल स्ट्रोक को हटाने के लिए कहा जाता है, बल्कि एक विशिष्ट बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करने के लिए कहा जाता है, इसलिए हम अभिव्यक्ति में $x$ के बजाय −1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

\[(y)"\बाएं(-1 \दाएं)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

हम और आगे बढ़ते हैं और और भी जटिल होते जाते हैं और दिलचस्प उदाहरण. मुद्दा यह है कि शक्ति व्युत्पन्न $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) को हल करने का सूत्र )$ का दायरा सामान्य से कहीं अधिक व्यापक है। इसकी सहायता से आप भिन्नों, मूलों आदि के उदाहरणों को हल कर सकते हैं। अब हम यही करेंगे।

आरंभ करने के लिए, आइए एक बार फिर से सूत्र लिखें, जो हमें पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने में मदद करेगा:

और अब ध्यान दें: अभी तक हमने केवल $n$ के रूप में विचार किया है पूर्णांकों, हालांकि, हम भिन्नों पर विचार करने में हस्तक्षेप नहीं करते हैं और यहां तक ​​कि ऋणात्मक संख्या. उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ प्राइम ))=((\बाएं(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुछ भी जटिल नहीं है, तो आइए देखें कि अधिक हल करते समय यह सूत्र हमारी कैसे मदद करेगा चुनौतीपूर्ण कार्य. तो एक उदाहरण:

समाधान लिखिए:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime) ))+((\बाएं(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ लेफ्ट(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \बाएं(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\अंत (संरेखित करें)\]

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं और लिखें:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

यह इतना कठिन निर्णय है।

आइए दूसरे उदाहरण पर चलते हैं - केवल दो शब्द हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक में शास्त्रीय डिग्री और जड़ें दोनों शामिल हैं।

अब हम सीखेंगे कि एक शक्ति फलन का अवकलज कैसे ज्ञात किया जाए, जिसमें इसके अतिरिक्त, एक जड़ भी शामिल है:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\बाएं(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \बाएं(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11))(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\बाएं(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3)) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

दोनों शर्तों की गणना की जाती है, यह अंतिम उत्तर लिखना बाकी है:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

हमें जवाब मिल गया है।

एक शक्ति समारोह के संदर्भ में एक अंश का व्युत्पन्न

लेकिन एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को हल करने के सूत्र की संभावनाएं यहीं समाप्त नहीं होती हैं। तथ्य यह है कि इसकी मदद से आप न केवल जड़ों के साथ, बल्कि अंशों के साथ भी उदाहरण गिन सकते हैं। यह केवल वह दुर्लभ अवसर है जो ऐसे उदाहरणों के समाधान को बहुत सरल करता है, लेकिन अक्सर न केवल छात्रों द्वारा, बल्कि शिक्षकों द्वारा भी इसे अनदेखा कर दिया जाता है।

तो, अब हम दो सूत्रों को एक साथ मिलाने का प्रयास करेंगे। एक ओर, एक शक्ति समारोह का शास्त्रीय व्युत्पन्न

\[((\बाएं(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि $\frac(1)(((x)^(n)))$ के रूप का एक व्यंजक $((x)^(-n))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिये,

\[\बाएं(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\ prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\बाएं(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

तो डेरिवेटिव साधारण भिन्न, जहां अंश एक स्थिर है, और हर एक डिग्री है, की गणना भी शास्त्रीय सूत्र का उपयोग करके की जाती है। आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे काम करता है।

तो पहला कार्य:

\[((\बाएं(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ दाएं))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

पहला उदाहरण हल हो गया है, चलिए दूसरे पर चलते हैं:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\बाएं(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\ prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\बाएं(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\ prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\ left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ लेफ्ट(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

अब हम इन सभी शब्दों को एक सूत्र में एकत्रित करते हैं:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

हमें एक प्रतिक्रिया मिली।

हालांकि, आगे बढ़ने से पहले, मैं आपका ध्यान मूल भावों को स्वयं लिखने के रूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: पहली अभिव्यक्ति में हमने $f\left(x \right)=...$ लिखा था, दूसरे में: $y =...$ देखते ही देखते कई विद्यार्थी खो जाते हैं अलग - अलग रूपरिकॉर्ड। $f\left(x \right)$ और $y$ में क्या अंतर है? दरअसल, कुछ भी नहीं। वे एक ही अर्थ के साथ अलग-अलग प्रविष्टियां हैं। जब हम $f\left(x \right)$ कहते हैं तो हम बात कर रहे हे, सबसे पहले, फ़ंक्शन के बारे में, और जब $y$ की बात आती है, तो अक्सर फ़ंक्शन का ग्राफ़ मतलब होता है। अन्यथा, यह वही है, यानी, दोनों मामलों में व्युत्पन्न को समान माना जाता है।

डेरिवेटिव के साथ जटिल समस्याएं

अंत में, मैं कुछ जटिल संयुक्त समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा जो आज हमारे द्वारा विचार की गई हर चीज का उपयोग करती हैं। उनमें, हम जड़ों, और अंशों और योगों की प्रतीक्षा कर रहे हैं। हालांकि, ये उदाहरण केवल आज के वीडियो ट्यूटोरियल के ढांचे के भीतर ही जटिल होंगे, क्योंकि वास्तव में जटिल व्युत्पन्न कार्य आगे आपकी प्रतीक्षा कर रहे होंगे।

तो, आज के वीडियो ट्यूटोरियल का अंतिम भाग, जिसमें दो संयुक्त कार्य शामिल हैं। आइए पहले वाले से शुरू करें:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\ prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\ left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\बाएं(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ लेफ्ट (((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\बाएं(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2)))\]

पहला उदाहरण हल हो गया है। दूसरी समस्या पर विचार करें:

दूसरे उदाहरण में, हम इसी तरह कार्य करते हैं:

\[((\बाएं(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\ prime ))+((\left) (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\प्रधान))\]

आइए प्रत्येक पद की अलग से गणना करें:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\ prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\बाएं(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ लेफ्ट(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

सभी शर्तों की गणना की जाती है। अब वापस मूल सूत्रऔर तीनों शब्दों को एक साथ जोड़ दें। हम पाते हैं कि अंतिम उत्तर होगा:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

इतना ही। यह हमारा पहला सबक था। निम्नलिखित पाठों में, हम और अधिक देखेंगे जटिल संरचनाएं, और यह भी पता लगाएं कि डेरिवेटिव की आवश्यकता क्यों है।

व्युत्पन्न गणना- सबसे ज्यादा महत्वपूर्ण संचालनमें अंतर कलन. डेरिवेटिव खोजने के लिए नीचे एक तालिका है सरल कार्य. अधिक जटिल नियमभेदभाव, अन्य पाठ देखें:

• घातीय और लघुगणकीय कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

दिए गए फ़ार्मुलों को संदर्भ मानों के रूप में उपयोग करें। वे आपको निर्णय लेने में मदद करेंगे विभेदक समीकरणऔर कार्य। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, व्युत्पन्न को एक ऐसे रूप में खोजने के मुख्य मामलों की "धोखा शीट" है जो उपयोग के लिए समझ में आता है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का अवकलज शून्य होता है
с´ = 0
उदाहरण:
5' = 0

व्याख्या:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर तर्क बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी स्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
एक्स' = 1

व्याख्या:
तर्क (x) के प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फलन y = x के मान के परिवर्तन की दर, तर्क के मान के परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक कारक का व्युत्पन्न इस कारक के बराबर है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
व्याख्या:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क ( एक्स) इसका मान (y) में बढ़ता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन के मूल्य के परिवर्तन की दर मूल्य के बिल्कुल बराबर है साथ.

जहां से यह इस प्रकार है
(सीएक्स + बी)" = सी
यानी अंतर रैखिक प्रकार्य y=kx+b is कोणीय गुणांकसीधी रेखा का ढलान (k)।

4. एक चर के मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल और उसके मापांक के बराबर है
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x 0
व्याख्या:
चूंकि चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इस मायने में भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करते समय फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मूल्य विपरीत में बदल जाता है (एक ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन का y = |x| और स्वयं देखें। यह बिल्कुल मान है और x / |x| जब x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक। अर्थात्, चर x के ऋणात्मक मानों के साथ, तर्क में परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान ठीक उसी मान से घटता है, और सकारात्मक मानों के साथ, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन ठीक से एक ही मूल्य।

5. एक चर की शक्ति व्युत्पन्नइस शक्ति की संख्या और घात में चर के गुणनफल के बराबर है, जो एक से कम हो जाता है
(एक्स सी)"= सीएक्स सी-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c 0
उदाहरण:
(एक्स 2)" = 2x
(एक्स 3)" = 3x 2
सूत्र याद करने के लिए:
चर "नीचे" के घातांक को गुणक के रूप में लें, और फिर घातांक को स्वयं एक से घटाएं। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दो x से आगे थे, और फिर घटी हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें केवल 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम ट्रिपल को कम करते हैं, इसे एक से कम करते हैं और क्यूब के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2 । थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.भिन्न व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
उदाहरण:
चूँकि भिन्न को तक बढ़ाने के रूप में दर्शाया जा सकता है नकारात्मक डिग्री
(1/x)" = (x -1)" , तो आप व्युत्पन्न तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. भिन्न व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1/एक्स सी)" = - सी / एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. मूल व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" ताकि आप नियम 5 . से सूत्र लागू कर सकें
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. एक मनमाना डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(एन एक्स)" = 1 / (एन एन √ एक्स एन -1)

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

सरलतम (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के लिए व्युत्पन्न खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, व्युत्पन्न को तर्क के वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित करके, डेरिवेटिव की एक तालिका दिखाई दी और वास्तव में निश्चित नियमभेदभाव। आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। आगे डेरिवेटिव प्राथमिक कार्यहम डेरिवेटिव की तालिका में पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के लिए सूत्र - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करें, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा पद, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।

सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है।
4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. व्युत्पन्न वर्गमूल
6. साइन व्युत्पन्न
7. कोसाइन व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न
11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न
12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक का व्युत्पन्न
17. घातीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदन नियम

1. योग या अंतर का व्युत्पन्न
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

नियम 1यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य

और

वे। कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न है बीजीय योगइन कार्यों के व्युत्पन्न।

परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।

नियम 2यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है

और

वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग और , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .

अन्य पृष्ठों पर कहां देखें

वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, हमेशा एक साथ कई भेदभाव नियम लागू करने की आवश्यकता होती है, इसलिए और ज्यादा उदाहरणइन डेरिवेटिव पर - लेख में"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".

टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, और के मामले में स्थिर कारकयह डेरिवेटिव के संकेत से लिया गया है। ये है सामान्य गलती, जो पर होता है आरंभिक चरणडेरिवेटिव का अध्ययन करना, लेकिन जैसा कि आप कई एक-दो-भाग उदाहरणों को हल करते हैं औसत छात्रअब यह गलती नहीं करता।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .

अन्य सामान्य गलती - यांत्रिक समाधानएक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। इसलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाऔर भिन्न के साथ क्रिया .

यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद एक ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हम पाते हैं निम्नलिखित मानडेरिवेटिव:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हम उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का अवकलज पहले ही पा चुके हैं। आइए हम यह भी न भूलें कि गुणनफल, जो अंश में दूसरा गुणनखंड है। वर्तमान उदाहरणमाइनस साइन के साथ लिया गया:

यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .

यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय कार्य, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद के विभेदीकरण के नियम से और तालिका मूल्यवर्गमूल का व्युत्पन्न हमें प्राप्त होता है:

उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

फेसला। इस फलन में, हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।