प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है: एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सकिसी की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज" हो जाता है ऊर्जा समीकरणसे एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे इएक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.718281 828 के बराबर है। प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर ln के रूप में दर्शाया जाता है ( एक्स), लॉग इ (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग ( एक्स) यदि आधार इनिहित।

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा लॉग (एक्स)) वह घातांक है जिस पर आप संख्या बढ़ाना चाहते हैं इ, प्राप्त करना एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि इ 2 =7,389... . स्वयं संख्या का प्राकृतिक लघुगणक इ (एलएन (ई)) 1 के बराबर है क्योंकि इ 1 = इ, ए प्राकृतिक 1 (लॉग(1)) 0 है क्योंकि इ 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्स 1 से . तक ए. इस परिभाषा की सादगी, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, ने "प्राकृतिक" नाम को जन्म दिया है। इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक फलन के रूप में मानते हैं, तो यह का व्युत्क्रम फलन है घातांक प्रकार्य, जो पहचान की ओर जाता है:

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

इस प्रकार, लघुगणक फलन धनात्मक के समूह का एक समरूपता है वास्तविक संख्याएक समूह द्वारा गुणा के संबंध में वास्तविक संख्याइसके अलावा, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं स्थिर कारक, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं। लॉगरिदम उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग खोजने के लिए किया जाता है क्षय स्थिरांकके लिए ज्ञात अवधिआधा जीवन, या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय खोजने के लिए। वे खेल रहे हैं महत्वपूर्ण भूमिकागणित के कई क्षेत्रों में और अनुप्रयुक्त विज्ञान, चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए वित्त में उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिदमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित हुआ, हालांकि गणित के शिक्षक जॉन स्पाईडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका तैयार की। पहले, इसे अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाती है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक कहा जाता है, हालांकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

संकेतन सम्मेलन

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 लघुगणक के माध्यम से "lg( एक्स)", और यह अन्य आधारों को स्पष्ट रूप से "लॉग" प्रतीक के साथ इंगित करने के लिए प्रथागत है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स, कंप्यूटर विज्ञान पर कई पत्रों में, लेखक "लॉग" संकेतन का उपयोग करते हैं। एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन इस सम्मेलन को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, या तो इस्तेमाल किए गए नोटेशन की सूची में या (यदि ऐसी कोई सूची मौजूद नहीं है) एक फुटनोट या पहले उपयोग पर टिप्पणी द्वारा।

लघुगणक के तर्क के आसपास के कोष्ठक (यदि इससे सूत्र का गलत पठन नहीं होता है) आमतौर पर छोड़े जाते हैं, और जब लघुगणक को एक शक्ति में बढ़ाते हैं, तो घातांक को सीधे लघुगणक के संकेत के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एलएन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद और कुछ इंजीनियर आमतौर पर या तो "लॉग ( एक्स)", या "एलएन ( एक्स)" , और लघुगणक को आधार 10 - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य पेशेवर हमेशा "ln( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और संकेतन "लॉग ( एक्स)" का अर्थ है लॉग 10 ( एक्स).

लॉग इ"प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से होता है और गणित में बहुत बार प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समस्या पर विचार करें:

यदि आधार बीबराबरी इ, तो व्युत्पन्न केवल 1/ एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। एक अन्य औचित्य जिसके लिए आधार इलघुगणक सबसे स्वाभाविक है, यह है कि इसे काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है सरल अभिन्नया एक टेलर श्रृंखला, जिसे अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के और प्रमाण संख्या से जुड़े नहीं हैं। तो, उदाहरण के लिए, कई हैं सरल पंक्तियाँप्राकृतिक लघुगणक के साथ। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लॉगरिदमस नेचुरलिसकई दशकों तक जब तक न्यूटन और लाइबनिज ने अंतर और अभिन्न कलन विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( ए) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक्स 1 से . तक ए, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह संतुष्ट करता है मौलिक संपत्तिलघुगणक:

इसे निम्नलिखित मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

अंकीय मूल्य

गणना के लिए अंकीय मूल्यकिसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक, आप टेलर श्रृंखला में इसके विस्तार का उपयोग इस रूप में कर सकते हैं:

अभिसरण की सर्वोत्तम दर प्राप्त करने के लिए, आप निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया आप = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए ( एक्स), कहाँ पे एक्स> 1 से निकट अर्थ एक्स 1 करने के लिए, तेज गतिअभिसरण। लघुगणक से जुड़ी पहचान का उपयोग लक्ष्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

इन विधियों का उपयोग कैलकुलेटरों के आगमन से पहले भी किया जाता था, जिसके लिए इनका उपयोग किया जाता था संख्यात्मक सारणीऔर ऊपर वर्णित लोगों के समान जोड़तोड़ किए।

उच्च सटिकता

के साथ प्राकृतिक लघुगणक की गणना करने के लिए बड़ी मात्रासटीकता के अंक, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग किसी घातांकीय फलन को उलटने के लिए किया जाए, जिसकी श्रृंखला तेजी से अभिसरण करती है।

बहुत अधिक गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ पे एम 1 और 4/s के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है, और

एमचुना ताकि पीसटीकता के निशान प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त होता है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो न्यूटन के प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्क्रम को घातीय फ़ंक्शन की कुशलता से गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक ln 2 और pi किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

अभिकलनात्मक जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O है ( एम(एन)एलएन एन) यहां एनसटीकता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना है, और एम(एन) दो गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंकीय संख्याएँ।

निरंतर भिन्न

यद्यपि लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई सरल निरंतर अंश नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है इ एक्सकिसी भी मनमानी के लिए जटिल संख्या एक्स, एक जटिल के साथ एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करते समय एक्स. इस घातांकीय फलन को जटिल लघुगणक बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है, जिसमें होगा अधिकाँश समय के लिएसाधारण लघुगणक के गुण। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए इ एक्स= 0, और यह पता चला है कि इ 2अनुकरणीय = 1 = इ 0. चूंकि गुणक गुण एक जटिल घातांक फलन के लिए मान्य है, तो इ जेड = इ जेड+2एनपीआईसभी परिसर के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को पूरे जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यवान है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समतुल्य" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है अनुकरणीय. जटिल लघुगणक केवल एक स्लाइस पर एकल-मूल्यवान हो सकता है जटिल विमान. उदाहरण के लिए ln मैं = 1/2 अनुकरणीयया 5/2 अनुकरणीयया -3/2 अनुकरणीय, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4लोग मैं 2 . के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अनुकरणीय, या 10 अनुकरणीयया -6 अनुकरणीय, आदि।

यह सभी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित। - 3. - अकादमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ "कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई। द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपदों का उपयोग करके समाकलनों का अनुमान लगाना। मूल से 12 फरवरी, 2012 को संग्रहीत किया गया।

काफी अच्छा, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, जटिल परिभाषा देने के लिए शब्दों की तलाश कर रहे हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।

संख्या ई का अर्थ है विकास

संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, ई एक्स हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: 30% की वृद्धि पर 3 वर्ष 300% पर 1 वर्ष के समान है, जो "चक्रवृद्धि ब्याज" के अधीन है।

आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों में 50%) को स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों में 100% हो जाता है)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:

ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय

जाहिर है, ई एक्स का अर्थ है:

• x इकाइयों में मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानकर)।
• उदाहरण के लिए, 3 समय अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना "चीजें" मिल जाएगी।

ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दिखाता है कि हम एक्स समय अवधि में किस स्तर तक बढ़ेंगे।

प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय

प्राकृतिक लघुगणक ई का विलोम है, विपरीत के लिए ऐसा फैंसी शब्द। विचित्रताओं की बात हो रही है; लैटिन में इसे लॉगरिदमस नेचुरली कहा जाता है, इसलिए संक्षिप्त नाम ln।

और इस उलटा या विपरीत का क्या अर्थ है?

• ई एक्स हमें समय में प्लग इन करने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
• ln(x) हमें विकास या आय लेने और इसे प्राप्त करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

• ई 3 20.08 के बराबर है। तीन अवधियों के बाद, हमारे पास 20.08 गुना होगा इसके अलावाजहां हमने शुरुआत की थी।
• ln(20.08) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 गुना (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए) की आवश्यकता होगी।

क्या आप अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने में लगने वाले समय को दर्शाता है।

यह गैर-मानक लघुगणकीय गणना

आपने लघुगणक पारित कर दिया - यह है अजीब प्राणी. उन्होंने गुणन को योग में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? घटाव में विभाजन के बारे में क्या? आइए एक नजर डालते हैं।

ln(1) किसके बराबर है? सहज रूप से, प्रश्न यह है: मेरे पास जो है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितने समय तक प्रतीक्षा करनी होगी?

शून्य। शून्य। बिल्कुल भी नहीं। आपके पास पहले से ही एक बार है। लेवल 1 से लेवल 1 तक बढ़ने में इसे ज्यादा समय नहीं लगता है।

• लॉग (1) = 0

ठीक है, किस बारे में भिन्नात्मक मान? हमारे पास जो कुछ बचा है उसका 1/2 भाग लेने में हमें कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का अर्थ है कि इसे दोगुना होने में लगने वाला समय। हम अगर पिछले समय में जाएं(अर्थात ऋणात्मक समय की प्रतीक्षा करें), तब हमारे पास जो है उसका आधा प्राप्त होता है।

• एलएन(1/2) = -एलएन(2) = -0.693

तार्किक, है ना? यदि हम 0.693 सेकेंड पीछे (बैकटाइम) जाते हैं, तो हमें उपलब्ध राशि का आधा मिल जाएगा। सामान्य तौर पर, आप भिन्न को पलट सकते हैं और ले सकते हैं नकारात्मक अर्थ: एलएन(1/3) = -एलएन(3) = -1.09। इसका अर्थ यह हुआ कि यदि हम समय से 1.09 गुना पीछे जाते हैं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।

ठीक है, ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? बैक्टीरिया की एक कॉलोनी को 1 से -3 तक "बढ़ने" में कितना समय लगता है?

यह नामुमकिन है! आप एक नकारात्मक बैक्टीरिया गिनती नहीं प्राप्त कर सकते हैं, है ना? आप शून्य का अधिकतम (उह ... न्यूनतम) प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन इन छोटे क्रिटर्स की ऋणात्मक संख्या प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है। पर ऋणात्मक संख्याबैक्टीरिया बस समझ में नहीं आता है।

• एलएन (ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित

"अपरिभाषित" का अर्थ है कि ऋणात्मक मान प्राप्त करने के लिए प्रतीक्षा करने के लिए कोई समय नहीं है।

लॉगरिदमिक गुणा सिर्फ प्रफुल्लित करने वाला है

चौगुनी वृद्धि में कितना समय लगेगा? बेशक, आप केवल ln(4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर जाएंगे।

आप चौगुनी के रूप में सोच सकते हैं (ln(2) समय इकाइयों की आवश्यकता है) और फिर दोहरीकरण (एक और ln(2) समय इकाइयों की आवश्यकता है):

• 4x वृद्धि का समय = ln(4) = दोगुना और फिर दोगुना होने का समय = ln(2) + ln(2)

दिलचस्प। कोई भी विकास दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के तुरंत बाद दोगुने के रूप में देखा जा सकता है। या 4 बार वृद्धि, और फिर 5 बार। या तीन गुना और फिर 6.666 गुना की वृद्धि। पैटर्न देखें?

• एलएन (ए * बी) = एलएन (ए) + एलएन (बी)

ए टाइम्स बी का लॉगरिदम लॉग (ए) + लॉग (बी) है। यदि आप विकास के संदर्भ में कार्य करते हैं तो यह संबंध तुरंत समझ में आता है।

यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप एक बार में ln(30) की प्रतीक्षा कर सकते हैं, या ln(3) के तिगुने होने की प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर दूसरे ln(10) को दस से गुणा कर सकते हैं। अंतिम परिणामवही, तो निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और रहता है)।

विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने में कितना समय लगता है और फिर उसका 1/3 प्राप्त होता है?

बढ़िया, 5 का गुणनखंड ln(5) है। 1/3 गुना बढ़ने में -ln(3) यूनिट समय लगेगा। इसलिए,

• एलएन(5/3) = एलएन(5) - एलएन(3)

इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय पर वापस जाएं" उस बिंदु पर जहां उस राशि का केवल एक तिहाई शेष रहता है, इसलिए आपको 5/3 की वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर, यह पता चला है

• एलएन (ए / बी) = एलएन (ए) - एलएन (बी)

मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय की इकाइयाँ जोड़ना बन जाता है, और विभाजन समय की घटाव इकाइयाँ बन जाता है। नियमों को याद न रखें, उन्हें समझने की कोशिश करें।

मनमाना विकास के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना

ठीक है, निश्चित रूप से, - आप कहते हैं, - यह सब अच्छा है यदि विकास 100% है, लेकिन उस 5% का क्या जो मुझे मिलता है?

कोई समस्या नहीं। एलएन () के साथ हम जिस "समय" की गणना करते हैं, वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, जो एक्स समीकरण से समान एक्स है। हमने सरलता के लिए प्रतिशत को 100% पर सेट करना चुना है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

मान लीजिए कि हम 30x की वृद्धि हासिल करना चाहते हैं: हम ln (30) लेते हैं और 3.4 प्राप्त करते हैं इसका मतलब है:

• ई एक्स = ऊंचाई
• ई 3.4 = 30

जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना बढ़ जाता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

• ई एक्स = ई दर * समय
• ई 100% * 3.4 वर्ष = 30

हम "दर" और "समय" के मूल्यों को तब तक बदल सकते हैं जब तक दर * समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% ब्याज दर पर कब तक इंतजार करना होगा?

• लॉग (30) = 3.4
• दर * समय = 3.4
• 0.05 * समय = 3.4
• समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष

मैं इस तरह से तर्क करता हूं: "ln(30) = 3.4, इसलिए 100% की वृद्धि पर इसे 3.4 साल लगेंगे। अगर मैं विकास दर को दोगुना कर देता हूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाता है।"

• 3.4 वर्षों में 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 वर्षों में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 वर्षों में 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 वर्षों में 5% = .05 * 68 = 3.4 ।

यह बढ़िया है, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है, जब तक कि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप वेरिएबल्स के मानों को जितना चाहें उतना स्थानांतरित कर सकते हैं।

बुरा उदाहरण: बहत्तर नियम

बहत्तर का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपके पैसे को दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसे प्राप्त करेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।

हर साल बढ़ने वाली 100% की दर से आपके पैसे को दोगुना करने में कितना समय लगता है?

ओपी-पा। हमने निरंतर वृद्धि के मामले में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया है, और अब आप वार्षिक उपार्जन के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह सूत्र ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं होगा? हां, यह होगा, लेकिन वास्तविक ब्याज दरों जैसे 5%, 6% या 15% के लिए, सालाना चक्रवृद्धि और लगातार बढ़ने के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटे तौर पर अनुमान काम करता है, उह, मोटे तौर पर, इसलिए हम दिखावा करने जा रहे हैं कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर प्रोद्भवन है।

अब प्रश्न सरल है: आप कितनी तेजी से 100% विकास के साथ दोगुना कर सकते हैं? एलएन(2) = 0.693। 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगते हैं।

तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, लेकिन मान लीजिए 5% या 10% है?

सरलता! चूंकि दर * समय = 0.693, हम राशि को दोगुना कर देंगे:

• दर * समय = 0.693
• समय = 0.693 / दर

तो अगर विकास 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693 / 0.10 = 6.93 वर्ष लगेंगे।

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों भागों को 100 से गुणा करें, फिर हम "10" कह सकते हैं न कि "0.10":

• दोहरीकरण समय = 69.3 / शर्त, जहां शर्त प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

अब 5%, 69.3/5 = 13.86 वर्ष पर दोगुना होने का समय है। हालांकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या 72 चुनें, जो 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से आसानी से विभाज्य हो।

• दोहरीकरण समय = 72 / शर्त

जो बहत्तर का नियम है। सब कुछ ढका हुआ है।

यदि आपको तीन गुना समय निकालने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~ 109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

• तिगुना समय = 110 / शर्त

दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "नियम 72" द्वारा वृद्धि पर लागू होता है ब्याज दर, जनसंख्या वृद्धि, बैक्टीरिया संस्कृतियां, और वह सब कुछ जो तेजी से बढ़ता है।

आगे क्या होगा?

मुझे उम्मीद है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपके लिए समझ में आता है - यह किसी भी संख्या को तेजी से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि ई विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए एलएन को यह निर्धारित करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जा सकता है कि इसे बढ़ने में कितना समय लगता है।

हर बार जब आप ln(x) देखते हैं, तो याद रखें "x गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आने वाले लेख में मैं ई और एलएन का संयोजन में वर्णन करूंगा, जिससे गणित की ताजा सुगंध हवा में भर जाएगी।

पूरक: e . का प्राकृतिक लघुगणक

त्वरित प्रश्नोत्तरी: ln(e) कितना होगा?

• गणित रोबोट कहेगा: चूंकि उन्हें एक दूसरे के प्रतिलोम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1.
• समझने वाला व्यक्ति: ln(e) "e" गुना (लगभग 2.718) बढ़ने की संख्या है। हालांकि, संख्या ई स्वयं 1 के कारक द्वारा वृद्धि का एक उपाय है, इसलिए एलएन (ई) = 1।

स्पष्ट सोचो।

9 सितंबर, 2013

संख्या b से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाना होगा।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है जरूरी गणितीय मूल्य , चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुस न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ काम करने के लिए, घातीय अंतर करने के लिए और लघुगणक कार्य, उन्हें एकीकृत करें और गणना के लिए उन्हें अधिक स्वीकार्य रूप में लाएं।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे गुणों से संबंधित होते हैं घातीय कार्य. उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हल करते समय विशिष्ट कार्यों, शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में लघुगणक के गुण अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजीय व्यंजक हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने की कोशिश करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे " दशमलव लघुगणक". दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या ई है। यह उसके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम अंक द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। आप चाहें तो फंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फंक्शन को सही तरीके से बना रहे हैं या नहीं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम बताते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना एक काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

बिंदुओं द्वारा एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात सभी अनुमत मानतर्क X) - सभी संख्याएँ शून्य से बड़ी हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल हैं सकारात्मक संख्या! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है कि जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लॉगइस तरह लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। इसलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई भी संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर लघुगणक किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वत्रिक सूत्र प्राप्त होता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तब:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

फेसला:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

टास्क 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस प्रकार:

.

आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

फेसला:आइए एक प्रतिस्थापन करें: टी = एलएन एक्स। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

.

समीकरण की दूसरी जड़:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हम प्राप्त करते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, स्मृति में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लॉगरिदम का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी मदद से निर्धारित होते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण और इसी तरह ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण का प्रमाण

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . इस आधार में लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, संकेत के साथ काम करना आम है मैंएन, लेकिन नहीं लॉग; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए, इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस तरह दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त करना एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . स्वयं संख्या का प्राकृतिक लघुगणक इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य के बराबर है, क्योंकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

गणना की कि इ = 2,7182818284... .

प्राय: किसी संख्या को स्मृति में स्थिर करने के लिए आवश्यक संख्या के अंकों को किसी बकाया तिथि से जोड़ दिया जाता है। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद अंक बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज तक, प्राकृतिक लघुगणक की काफी पूर्ण तालिकाएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ(कार्य वाई =एलएन एक्स) सीधी रेखा के संबंध में दर्पण छवि के रूप में घातांक की साजिश का परिणाम है वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्ससे 1 इससे पहले ए.

इस सूत्रीकरण की प्रारंभिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, तब यह कार्य करता है उलटा काम करना एक घातीय कार्य के लिए, जो पहचान को कम करता है:

एलएन (ए) = ए (ए> 0)

एलएन (ई ए) = ए

सभी लघुगणक के साथ सादृश्य द्वारा, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एलएन(xy) = एलएन(एक्स) + एलएन(आप)

एलएन(एक्स/वाई)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक प्रत्येक सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, न कि केवल के लिए इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं।

विश्लेषण करने के बाद प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मूल्यों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ) अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति समारोह एक्स एएक सकारात्मक घातांक के साथ एलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित के पारित होने में बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, उन समीकरणों के उत्तर खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणना में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बड़ी संख्या में गणितीय सूत्रों को बहुत सुविधाजनक बनाना संभव बनाता है। आधार लघुगणक इ भौतिक समस्याओं की एक महत्वपूर्ण संख्या को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई वर्गों में अग्रणी भूमिका निभाते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में उनका सहारा लिया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है: एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सके किसी भी पावर फंक्शन की तुलना में 0 ("धीरे" और "तेज़" की ओर जाता है) एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.72 के बराबर है। इसे के रूप में नामित किया गया है एलएन ⁡ एक्स (\displaystyle \ln x), लॉग ई एक्स (\displaystyle \लॉग _(ई) एक्स)या कभी कभी बस लॉग एक्स (\displaystyle \लॉग एक्स)अगर आधार ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)निहित। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त करना एक्स. इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक भी बढ़ाया जा सकता है।

एलएन ⁡ ई = 1 (\displaystyle \ln ई=1), क्योंकि ई 1 = ई (\displaystyle ई^(1)=ई); एलएन ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), क्योंकि ई 0 = 1 (\displaystyle ई^(0)=1).

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक को ज्यामितीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))बीच में [ एक ; ए] (\ डिस्प्लेस्टाइल). इस परिभाषा की सादगी, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक फलन के रूप में मानते हैं, तो यह घातांकीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

ई लॉग ⁡ ए = ए (ए> 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) लॉग ई ए = ए (ए> 0)। (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

एलएन ⁡ एक्स वाई = एलएन ⁡ एक्स + एलएन ⁡ वाई। (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)