Cukup bagus, bukan? Sementara matematikawan mencari kata-kata untuk memberi Anda definisi yang panjang dan berbelit-belit, mari kita lihat lebih dekat definisi yang sederhana dan jelas ini.

Angka e berarti pertumbuhan

Angka e berarti pertumbuhan terus menerus. Seperti yang kita lihat pada contoh sebelumnya, e x memungkinkan kita untuk menghubungkan bunga dan waktu: 3 tahun dengan pertumbuhan 100% sama dengan 1 tahun pada 300%, tunduk pada "bunga majemuk".

Anda dapat mengganti persentase dan nilai waktu apa pun (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik menetapkan persentase sebagai 100% untuk kenyamanan (ternyata 100% selama 2 tahun). Dengan berpindah ke 100%, kita hanya bisa fokus pada komponen waktu:

e x = e persentase * waktu = e 1,0 * waktu = e waktu

Jelas, e x berarti:

• berapa banyak kontribusi saya akan tumbuh dalam x unit waktu (dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).
• misalnya, setelah 3 interval waktu saya akan mendapatkan e 3 = 20,08 kali lebih banyak "benda".

e x adalah faktor penskalaan yang menunjukkan tingkat apa yang akan kita kembangkan dalam periode waktu x.

Logaritma natural berarti waktu

logaritma natural adalah kebalikan dari e, istilah yang bagus untuk kebalikannya. Berbicara tentang kebiasaan; dalam bahasa Latin disebut logarithmus naturali, maka singkatannya ln.

Dan apa arti inversi atau kebalikan ini?

• e x memungkinkan kita untuk memasukkan waktu dan mendapatkan pertumbuhan.
• ln(x) memungkinkan kita untuk mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkannya.

Sebagai contoh:

• e 3 sama dengan 20,08. Setelah tiga periode waktu, kita akan memiliki 20,08 kali Lebih-lebih lagi di mana kita mulai.
• ln(20,08) akan menjadi sekitar 3. Jika Anda tertarik dengan peningkatan 20,08x, Anda perlu 3 kali (sekali lagi, dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).

Apakah Anda masih membaca? Logaritma natural menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai level yang diinginkan.

Hitungan logaritma non-standar ini

Anda melewati logaritma - ini adalah makhluk aneh. Bagaimana mereka bisa mengubah perkalian menjadi penjumlahan? Bagaimana dengan pembagian menjadi pengurangan? Mari kita lihat.

Apa ln(1) sama dengan? Secara intuitif, pertanyaannya adalah: berapa lama saya harus menunggu untuk mendapatkan 1 kali lebih banyak dari yang saya miliki?

Nol. Nol. Tidak semuanya. Anda sudah memilikinya sekali. Tidak perlu waktu lama untuk tumbuh dari level 1 ke level 1.

• log(1) = 0

Oke, bagaimana dengan nilai pecahan? Berapa lama waktu yang dibutuhkan bagi kita untuk memiliki 1/2 dari apa yang tersisa? Kita tahu bahwa dengan pertumbuhan berkelanjutan 100%, ln(2) berarti waktu yang dibutuhkan untuk menggandakan. Jika kita memutar kembali waktu(yaitu menunggu waktu negatif), maka kita mendapatkan setengah dari apa yang kita miliki.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logis, kan? Jika kita mundur (waktu mundur) dengan 0,693 detik, kita akan menemukan setengah dari jumlah yang tersedia. Secara umum, Anda dapat membalik pecahan dan mengambil arti negatif: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Artinya, jika kita kembali ke 1,09 kali, kita hanya akan menemukan sepertiga dari angka saat ini.

Oke, bagaimana dengan logaritma dari angka negatif? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk "menumbuhkan" koloni bakteri dari 1 hingga -3?

Tidak mungkin! Anda tidak bisa mendapatkan jumlah bakteri negatif, bukan? Anda bisa mendapatkan maksimum (uh... minimum) dari nol, tetapi tidak mungkin Anda bisa mendapatkan angka negatif dari makhluk kecil ini. PADA angka negatif bakteri tidak masuk akal.

• ln(bilangan negatif) = tidak terdefinisi

"Tidak terdefinisi" berarti tidak ada waktu menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.

Perkalian logaritma hanya lucu

Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk pertumbuhan empat kali lipat? Tentu saja, Anda bisa mengambil ln(4). Tapi itu terlalu mudah, kita akan pergi ke arah lain.

Anda dapat menganggap melipat empatkan sebagai menggandakan (membutuhkan ln(2) satuan waktu) dan kemudian menggandakan lagi (membutuhkan ln(2) satuan waktu lainnya):

• Waktu untuk pertumbuhan 4x = ln(4) = Waktu untuk menggandakan dan kemudian menggandakan lagi = ln(2) + ln(2)

Menarik. Setiap tingkat pertumbuhan, katakanlah 20, dapat dilihat berlipat ganda segera setelah peningkatan 10x. Atau tumbuh 4 kali, lalu 5 kali. Atau tiga kali lipat dan kemudian meningkat 6,666 kali. Lihat polanya?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritma dari A kali B adalah log(A) + log(B). Hubungan ini segera masuk akal jika Anda beroperasi dalam hal pertumbuhan.

Jika Anda tertarik dengan pertumbuhan 30x, Anda bisa menunggu ln(30) sekaligus, atau menunggu ln(3) menjadi tiga kali lipat, lalu ln(10) lainnya dikalikan sepuluh. Hasil akhir sama, jadi tentu saja waktunya harus tetap (dan tetap).

Bagaimana dengan divisi? Secara khusus, ln(5/3) berarti: berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh 5 kali dan kemudian mendapatkan 1/3 dari itu?

Bagus, faktor dari 5 adalah ln(5). Tumbuh 1/3 kali akan memakan waktu -ln(3) satuan waktu. Jadi,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ini berarti: biarkan tumbuh 5 kali, dan kemudian "kembali ke masa lalu" ke titik di mana hanya sepertiga dari jumlah itu yang tersisa, sehingga Anda mendapatkan pertumbuhan 5/3. Secara umum, ternyata

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Saya harap aritmatika aneh logaritma mulai masuk akal bagi Anda: mengalikan tingkat pertumbuhan menjadi menambahkan satuan waktu pertumbuhan, dan membagi menjadi mengurangkan satuan waktu. Jangan menghafal aturan, cobalah untuk memahaminya.

Menggunakan Logaritma Alami untuk Pertumbuhan Sewenang-wenang

Yah, tentu saja, - Anda berkata, - semuanya baik-baik saja jika pertumbuhannya 100%, tetapi bagaimana dengan 5% yang saya dapatkan?

Tidak ada masalah. "Waktu" yang kita hitung dengan ln() sebenarnya adalah kombinasi dari suku bunga dan waktu, X yang sama dari persamaan e x. Kami baru saja memilih untuk menyetel persentase ke 100% untuk kesederhanaan, tetapi kami bebas menggunakan nomor apa pun.

Katakanlah kita ingin mencapai pertumbuhan 30x: kita ambil ln(30) dan dapatkan 3,4 Artinya:

• e x = tinggi
• e 3.4 = 30

Jelas, persamaan ini berarti "pengembalian 100% selama 3,4 tahun menghasilkan 30 kali lipat." Kita dapat menulis persamaan ini seperti ini:

• e x = e laju * waktu
• e 100% * 3,4 tahun = 30

Kita dapat mengubah nilai "rate" dan "time", selama rate *time tetap 3.4. Misalnya, jika kita tertarik pada pertumbuhan 30x, berapa lama kita harus menunggu pada tingkat bunga 5%?

• log(30) = 3,4
• tingkat * waktu = 3,4
• 0,05 * waktu = 3,4
• waktu = 3,4 / 0,05 = 68 tahun

Saya beralasan seperti ini: "ln(30) = 3,4, jadi pada pertumbuhan 100% akan memakan waktu 3,4 tahun. Jika saya menggandakan laju pertumbuhan, waktu yang dibutuhkan menjadi setengahnya."

• 100% dalam 3,4 tahun = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% dalam 1,7 tahun = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% dalam 6,8 tahun = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% selama 68 tahun = .05 * 68 = 3.4 .

Ini bagus, kan? Logaritma natural dapat digunakan dengan tingkat bunga dan waktu berapa pun, selama hasil kali mereka tetap konstan. Anda dapat memindahkan nilai variabel sebanyak yang Anda suka.

Contoh Buruk: Aturan Tujuh Puluh Dua

Aturan tujuh puluh dua adalah teknik matematika yang memungkinkan Anda memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar uang Anda berlipat ganda. Sekarang kita akan menurunkannya (ya!), dan terlebih lagi, kita akan mencoba memahami esensinya.

Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menggandakan uang Anda pada tingkat 100% yang meningkat setiap tahun?

Op-pa. Kami menggunakan logaritma natural untuk kasus pertumbuhan berkelanjutan, dan sekarang Anda berbicara tentang akrual tahunan? Bukankah formula ini menjadi tidak cocok untuk kasus seperti itu? Ya, itu akan terjadi, tetapi untuk suku bunga riil seperti 5%, 6%, atau bahkan 15%, perbedaan antara peracikan setiap tahun dan pertumbuhan yang stabil akan kecil. Jadi perkiraan kasarnya bekerja, eh, kira-kira, jadi kita akan berpura-pura memiliki akrual yang benar-benar kontinu.

Sekarang pertanyaannya sederhana: Seberapa cepat Anda bisa menggandakan dengan pertumbuhan 100%? ln(2) = 0,693. Dibutuhkan 0,693 unit waktu (dalam kasus kami dalam tahun) untuk menggandakan jumlah kami dengan pertumbuhan berkelanjutan 100%.

Lantas, bagaimana jika suku bunganya tidak 100%, tapi misalkan 5% atau 10%?

Mudah! Karena rate * time = 0,693, kami akan menggandakan jumlahnya:

• tingkat * waktu = 0,693
• waktu = 0,693 / tarif

Jadi jika pertumbuhannya 10%, dibutuhkan 0,693 / 0,10 = 6,93 tahun untuk berlipat ganda.

Untuk menyederhanakan perhitungan, mari kita kalikan kedua bagian dengan 100, lalu kita dapat mengatakan "10" dan bukan "0,10":

• waktu penggandaan = 69,3 / taruhan, di mana taruhan dinyatakan sebagai persentase.

Sekarang saatnya melipatgandakan 5%, 69,3 / 5 = 13,86 tahun. Namun, 69,3 bukanlah dividen yang paling nyaman. Mari kita pilih bilangan terdekat, 72, yang mudah dibagi dengan 2, 3, 4, 6, 8, dan bilangan lainnya.

• waktu penggandaan = 72 / taruhan

yang merupakan aturan tujuh puluh dua. Semuanya ditutupi.

Jika Anda perlu mencari waktu untuk melipattigakan, Anda dapat menggunakan ln(3) ~ 109.8 dan dapatkan

• waktu tiga kali lipat = 110 / taruhan

Apa yang lain? aturan yang berguna. "Aturan 72" berlaku untuk pertumbuhan dengan suku bunga, pertumbuhan populasi, kultur bakteri, dan segala sesuatu yang tumbuh secara eksponensial.

Apa berikutnya?

Saya harap logaritma natural sekarang masuk akal bagi Anda - ini menunjukkan waktu yang diperlukan untuk setiap angka untuk tumbuh secara eksponensial. Saya pikir ini disebut alami karena e adalah ukuran pertumbuhan universal, jadi ln dapat dianggap sebagai cara universal untuk menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh.

Setiap kali Anda melihat ln(x), ingat "waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh x kali". Dalam artikel yang akan datang, saya akan menjelaskan e dan ln secara bersamaan, sehingga aroma matematika yang segar akan memenuhi udara.

Pelengkap: Logaritma natural dari e

Kuis cepat: berapa ln(e)?

• robot matematika akan berkata: karena mereka didefinisikan sebagai kebalikan dari satu sama lain, jelas bahwa ln(e) = 1.
• orang yang mengerti: ln(e) adalah jumlah kali untuk menumbuhkan "e" kali (sekitar 2,718). Namun, angka e itu sendiri adalah ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln(e) = 1.

Berpikir jernih.

9 September 2013

sering ambil nomor e = 2,718281828 . Logaritma selesai alasan ini disebut alami. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma natural, biasanya beroperasi dengan tanda akun, tapi tidak catatan; sedangkan nomor 2,718281828 , mendefinisikan dasar, tidak menunjukkan.

Dengan kata lain, kata-katanya akan terlihat seperti: logaritma natural angka X adalah eksponen ke mana bilangan tersebut akan dinaikkan e, Untuk memperoleh x.

Jadi, ln(7.389...)= 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e= 1 karena e 1 =e, dan logaritma natural dari kesatuan nol, sebagai e 0 = 1.

Nomornya sendiri e mendefinisikan limit barisan berbatas monoton

menghitung itu e = 2,7182818284... .

Cukup sering, untuk memperbaiki nomor dalam memori, angka dari nomor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tanggal luar biasa. Kecepatan mengingat sembilan digit pertama dari suatu angka e setelah titik desimal akan bertambah jika Anda perhatikan bahwa tahun 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Hari ini cukup tabel lengkap logaritma natural.

grafik log alami(fungsi y=di x) adalah konsekuensi dari grafik eksponen refleksi cermin relatif lurus y = x dan terlihat seperti:

Logaritma natural dapat ditemukan untuk setiap bilangan real positif sebuah sebagai area di bawah kurva kamu = 1/x dari 1 sebelum sebuah.

Sifat dasar dari rumusan ini, yang cocok dengan banyak rumus lain yang melibatkan logaritma natural, adalah alasan pembentukan nama "alami".

Jika kita menganalisis logaritma natural, sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka ia bertindak fungsi terbalik ke Fungsi eksponensial, yang direduksi menjadi identitas:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma natural mengubah perkalian menjadi penambahan, pembagian menjadi pengurangan:

ln(xy) = ln(x) + ln(kamu)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma dapat ditemukan untuk setiap basis positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural saja faktor konstan, dan biasanya didefinisikan dalam logaritma natural.

Setelah dianalisis grafik log alami, kami menemukan bahwa itu ada di nilai positif variabel x. Secara monoton meningkat pada domain definisinya.

Pada x → 0 limit dari logaritma natural adalah minus tak terhingga ( -∞ ).Pada x → +∞ limit dari logaritma natural adalah ditambah tak hingga ( + ∞ ). Pada umumnya x logaritma meningkat agak lambat. Fungsi daya apa pun x a dengan eksponen positif sebuah meningkat lebih cepat dari logaritma. Logaritma natural adalah fungsi yang naik secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem.

Penggunaan logaritma natural sangat rasional ketika lewat matematika yang lebih tinggi. Jadi, penggunaan logaritma lebih mudah untuk menemukan jawaban persamaan di mana yang tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma natural dalam perhitungan memungkinkan untuk sangat memudahkan sejumlah besar rumus matematika. logaritma dasar e hadir dalam memecahkan bilangan penting tugas fisik dan secara alami termasuk dalam deskripsi matematika proses kimia, biologi dan proses lainnya. Jadi, logaritma digunakan untuk menghitung konstanta peluruhan untuk periode yang diketahui waktu paruh, atau untuk menghitung waktu peluruhan dalam memecahkan masalah radioaktivitas. Mereka tampil di peran utama di banyak cabang matematika dan ilmu praktis, mereka terpaksa di bidang keuangan untuk memecahkan jumlah yang besar tugas, termasuk perhitungan bunga majemuk.

Sifat-sifat utama logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian seri daya dan menyatakan fungsi ln x dalam bilangan kompleks.

Definisi

logaritma natural adalah fungsi y = di x, terbalik dengan eksponen, x \u003d e y , dan yang merupakan logaritma ke basis angka e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari grafik eksponen dengan refleksi cermin terhadap garis lurus y = x .

Logaritma natural didefinisikan untuk nilai positif dari x . Secara monoton meningkat pada domain definisinya.

Sebagai x → 0 limit dari logaritma natural adalah minus tak terhingga ( - ).

Karena x → + , limit dari logaritma natural adalah plus tak terhingga ( + ). Untuk x besar, logaritma meningkat agak lambat. Fungsi pangkat apa pun x a dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat daripada logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural adalah fungsi yang naik secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama dari logaritma natural disajikan dalam tabel.

nilai ln x

log 1 = 0

Rumus dasar untuk logaritma natural

Rumus yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Setiap logaritma dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus perubahan dasar:

Bukti dari rumus-rumus ini disajikan di bagian "Logarithm".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika kemudian

Jika kemudian .

Turunan ln x

Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural dari modulo x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Integral

Integral dihitung dengan integrasi per bagian:
.
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks z :
.
Mari kita nyatakan variabel kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh:
.
Atau
.
Argumen tidak didefinisikan secara unik. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

logaritma natural

Grafik fungsi logaritma natural. Fungsi secara perlahan mendekati tak terhingga positif sebagai x dan dengan cepat mendekati tak terhingga negatif ketika x cenderung 0 ("lambat" dan "cepat" dibandingkan dengan apapun fungsi daya dari x).

logaritma natural adalah logaritma dasar , di mana e adalah konstanta irasional yang sama dengan kira-kira 2.718281 828 . Logaritma natural biasanya dilambangkan sebagai ln( x), catatan e (x) atau terkadang hanya log( x) jika dasar e tersirat.

Logaritma natural dari suatu bilangan x(ditulis sebagai log(x)) adalah eksponen yang ingin Anda naikkan angkanya e, Untuk memperoleh x. Sebagai contoh, ln(7.389...) sama dengan 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e (ln(e)) sama dengan 1 karena e 1 = e, dan logaritma natural 1 ( log(1)) adalah 0 karena e 0 = 1.

Logaritma natural dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real positif sebuah sebagai area di bawah kurva kamu = 1/x dari 1 sampai sebuah. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang menggunakan logaritma natural, telah menyebabkan nama "alami". Definisi ini dapat diperluas ke bilangan kompleks, yang akan dibahas di bawah ini.

Jika kita menganggap logaritma natural sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka itu adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, yang mengarah ke identitas:

Seperti semua logaritma, logaritma natural memetakan perkalian ke penjumlahan:

Jadi, fungsi logaritma adalah isomorfisme dari grup positif bilangan asli sehubungan dengan perkalian dengan grup bilangan asli dengan penambahan, yang dapat direpresentasikan sebagai fungsi:

Logaritma dapat didefinisikan untuk sembarang basis positif selain 1, bukan hanya e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya didefinisikan dalam logaritma natural. Logaritma berguna untuk memecahkan persamaan di mana yang tidak diketahui hadir sebagai eksponen. Misalnya, logaritma digunakan untuk menemukan konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menemukan waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka sedang bermain peran penting di banyak bidang matematika dan ilmu terapan, digunakan dalam keuangan untuk memecahkan banyak masalah, termasuk menemukan bunga majemuk.

Cerita

Penyebutan pertama dari logaritma natural dibuat oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, meskipun guru matematika John Spydell menyusun tabel logaritma natural pada tahun 1619. Sebelumnya, itu disebut logaritma hiperbolik karena sesuai dengan area di bawah hiperbola. Kadang-kadang disebut logaritma Napier, meskipun arti asli dari istilah ini agak berbeda.

Konvensi notasi

Logaritma natural biasanya dilambangkan dengan "ln( x)", logaritma basis 10 melalui "lg( x)", dan merupakan kebiasaan untuk menunjukkan alasan lain secara eksplisit dengan simbol "log".

Dalam banyak makalah tentang matematika diskrit, sibernetika, ilmu komputer, penulis menggunakan notasi “log( x)" untuk logaritma ke basis 2, tetapi konvensi ini tidak diterima secara universal dan memerlukan klarifikasi, baik dalam daftar notasi yang digunakan atau (jika tidak ada daftar tersebut) dengan catatan kaki atau komentar pada penggunaan pertama.

Tanda kurung di sekitar argumen logaritma (jika ini tidak menyebabkan pembacaan rumus yang salah) biasanya dihilangkan, dan ketika menaikkan logaritma ke pangkat, eksponen dikaitkan langsung dengan tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistem Anglo-Amerika

Matematikawan, ahli statistik, dan beberapa insinyur biasanya menggunakan salah satu dari "log( x)", atau "ln( x)" , dan untuk menyatakan logaritma ke basis 10 - "log 10 ( x)».

Beberapa insinyur, ahli biologi, dan profesional lainnya selalu menulis "ln( x)" (atau kadang-kadang "log e ( x)") ketika mereka berarti logaritma natural, dan notasi "log( x)" berarti log 10 ( x).

catatan e adalah logaritma "alami" karena muncul secara otomatis dan sangat sering muncul dalam matematika. Misalnya, pertimbangkan masalah turunan fungsi logaritma:

Jika dasar b sama dengan e, maka turunannya hanya 1/ x, dan kapan x= 1 turunan ini sama dengan 1. Pembenaran lain yang basisnya e logaritma adalah yang paling alami, adalah bahwa hal itu dapat secara sederhana didefinisikan dalam hal integral sederhana atau deret Taylor, yang tidak dapat dikatakan tentang logaritma lain.

Pembuktian lebih lanjut kealamian tidak terhubung dengan nomor. Jadi, misalnya, ada beberapa baris sederhana dengan logaritma natural. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekade sampai Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus diferensial dan integral.

Definisi

Secara resmi ln( sebuah) dapat didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva dari grafik 1/ x dari 1 sampai sebuah, yaitu sebagai integral:

Ini memang logaritma karena memenuhi properti dasar logaritma:

Hal ini dapat dibuktikan dengan asumsi sebagai berikut:

Nilai numerik

Untuk perhitungan nilai numerik logaritma natural suatu bilangan, Anda dapat menggunakan perluasannya dalam deret Taylor dalam bentuk:

Untuk mendapatkan tingkat konvergensi terbaik, Anda dapat menggunakan identitas berikut:

dengan ketentuan kamu = (x−1)/(x+1) dan x > 0.

Untuk ln( x), di mana x> 1 dari arti lebih dekat x ke 1, kecepatan lebih cepat konvergensi. Identitas yang terkait dengan logaritma dapat digunakan untuk mencapai tujuan:

Metode ini digunakan bahkan sebelum munculnya kalkulator, yang digunakan untuk itu tabel numerik dan melakukan manipulasi serupa dengan yang dijelaskan di atas.

Akurasi tinggi

Untuk menghitung logaritma natural dengan jumlah besar digit presisi, deret Taylor tidak efisien karena konvergensinya lambat. Alternatifnya adalah dengan menggunakan metode Newton untuk membalikkan ke fungsi eksponensial, yang deretnya lebih cepat konvergen.

Alternatif untuk akurasi perhitungan yang sangat tinggi adalah rumus:

di mana M menunjukkan mean aritmatika-geometris dari 1 dan 4/s, dan

m dipilih sehingga p tanda akurasi tercapai. (Dalam kebanyakan kasus, nilai 8 untuk m sudah cukup.) Memang, jika metode ini digunakan, inversi Newton dari logaritma natural dapat diterapkan untuk menghitung fungsi eksponensial secara efisien. (Konstanta ln 2 dan pi dapat dihitung sebelumnya dengan akurasi yang diinginkan menggunakan salah satu deret konvergen cepat yang diketahui.)

Kompleksitas komputasi

Kompleksitas komputasi logaritma natural (menggunakan mean aritmatika-geometris) adalah O( M(n) ln n). Di Sini n adalah jumlah digit presisi yang logaritma naturalnya akan dievaluasi, dan M(n) adalah kompleksitas komputasi dari mengalikan dua n-digit angka.

pecahan lanjutan

Meskipun tidak ada pecahan lanjutan yang sederhana untuk mewakili logaritma, beberapa pecahan lanjutan yang digeneralisasi dapat digunakan, termasuk:

Logaritma kompleks

Fungsi eksponensial dapat diperluas ke fungsi yang memberikan bentuk bilangan kompleks e x untuk sembarang bilangan kompleks x, saat menggunakan deret tak hingga dengan kompleks x. Ini Fungsi eksponensial dapat dibalik untuk membentuk logaritma kompleks, yang akan memiliki untuk sebagian besar sifat-sifat logaritma biasa. Namun, ada dua kesulitan: tidak ada x, untuk itu e x= 0, dan ternyata e 2pi = 1 = e 0 . Karena sifat perkalian berlaku untuk fungsi eksponensial kompleks, maka e z = e z+2npi untuk semua kompleks z dan utuh n.

Logaritma tidak dapat didefinisikan pada seluruh bidang kompleks, dan meskipun demikian itu multinilai - setiap logaritma kompleks dapat diganti dengan logaritma "ekuivalen" dengan menambahkan kelipatan bilangan bulat dari 2 pi. Logaritma kompleks hanya dapat bernilai tunggal pada irisan pesawat yang kompleks. Misalnya ln saya = 1/2 pi atau 5/2 pi atau 3/2 pi, dll., dan meskipun saya 4 = 1.4log saya dapat didefinisikan sebagai 2 pi, atau 10 pi atau -6 pi, dll.

Lihat juga

• John Napier - penemu logaritma

Catatan

1. Matematika untuk kimia fisik. - 3 - Pers Akademik, 2005. - Hal. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Ekstrak halaman 9
2. J J O "Connor dan EF Robertson Nomor e. Arsip Sejarah Matematika MacTutor (September 2001). Diarsipkan
3. Cajori Florian Sejarah Matematika, edisi ke-5. - Toko Buku AMS, 1991. - Hal. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Menaksir Integral menggunakan Polinomial . Diarsipkan dari versi asli pada 12 Februari 2012.