Turunan dari rumus turunan fungsi daya(x pangkat a). Turunan akar dari x dipertimbangkan. Rumus turunan fungsi pangkat urutan yang lebih tinggi. Contoh menghitung turunan.

Turunan x pangkat a adalah a kali x pangkat minus satu:
(1) .

Turunan dari akar ke-n dari x ke pangkat ke-m adalah:
(2) .

Turunan rumus turunan fungsi pangkat

Kasus x > 0

Pertimbangkan fungsi pangkat variabel x dengan eksponen a :
(3) .
Di sini a sewenang-wenang bilangan asli. Mari kita pertimbangkan kasusnya terlebih dahulu.

Untuk menemukan turunan dari fungsi (3), kami menggunakan sifat-sifat fungsi pangkat dan mengubahnya menjadi bentuk berikut:
.

Sekarang kita cari turunannya dengan menerapkan:
;
.
Di Sini .

Formula (1) terbukti.

Turunan rumus turunan dari akar derajat n dari x ke derajat m

Sekarang perhatikan fungsi yang merupakan akar dari bentuk berikut:
(4) .

Untuk mencari turunannya, kita ubah akarnya menjadi fungsi pangkat:
.
Dibandingkan dengan rumus (3), kita melihat bahwa
.
Kemudian
.

Dengan rumus (1) kami menemukan turunannya:
(1) ;
;
(2) .

Dalam praktiknya, tidak perlu menghafal rumus (2). Jauh lebih mudah untuk terlebih dahulu mengonversi akar ke fungsi pangkat, dan kemudian menemukan turunannya menggunakan rumus (1) (lihat contoh di akhir halaman).

Kasus x = 0

Jika , maka fungsi eksponensial juga didefinisikan untuk nilai variabel x = 0 . Mari kita cari turunan dari fungsi (3) untuk x = 0 . Untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi turunan:
.

Substitusi x = 0 :
.
Dalam hal ini, dengan turunan yang kami maksud adalah limit kanan untuk .

Jadi kami menemukan:
.
Dari sini dapat diketahui bahwa pada , .
Pada , .
Pada , .
Hasil ini juga diperoleh dengan rumus (1):
(1) .
Oleh karena itu, rumus (1) juga berlaku untuk x = 0 .

kasus x< 0

Pertimbangkan fungsi (3) lagi:
(3) .
Untuk beberapa nilai konstanta a , itu juga didefinisikan untuk nilai negatif variabel x . Yaitu, biarkan menjadi bilangan rasional. Maka dapat direpresentasikan sebagai pecahan tak tereduksi:
,
di mana m dan n adalah bilangan bulat tanpa pembagi bersama.

Jika n ganjil, maka fungsi eksponensial juga didefinisikan untuk nilai negatif variabel x. Misalnya, untuk n = 3 dan m = 1 kita memiliki akar pangkat tiga dari x :
.
Ini juga didefinisikan untuk nilai negatif dari x .

Mari kita cari turunan dari fungsi pangkat (3) untuk dan untuk nilai rasional konstanta a , yang didefinisikan. Untuk melakukan ini, kami mewakili x dalam bentuk berikut:
.
Kemudian ,
.
Kami menemukan turunan dengan mengeluarkan konstanta dari tanda turunan dan menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

.
Di Sini . Tetapi
.
Karena , maka
.
Kemudian
.
Artinya, rumus (1) juga berlaku untuk:
(1) .

Turunan dari pesanan yang lebih tinggi

Sekarang kita temukan turunan orde tinggi dari fungsi pangkat
(3) .
Kami telah menemukan turunan orde pertama:
.

Mengambil konstanta a dari tanda turunan, kita menemukan turunan orde kedua:
.
Demikian pula, kami menemukan turunan dari orde ketiga dan keempat:
;

.

Dari sini jelas bahwa turunan dari urutan ke-n arbitrer memiliki bentuk sebagai berikut:
.

perhatikan itu jika a adalah bilangan asli, , maka turunan ke-n adalah konstan:
.
Maka semua turunan berikutnya sama dengan nol:
,
pada .

Contoh turunan

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi:
.

Keputusan

Mari kita ubah akarnya menjadi pangkat:
;
.
Kemudian fungsi aslinya mengambil bentuk:
.

Kami menemukan turunan derajat:
;
.
Turunan dari suatu konstanta adalah nol:
.

Tingkat pertama

Turunan fungsi. Panduan lengkap (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kita juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: berapa banyak perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang sumbu absis) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun jumlah yang berbeda meter relatif terhadap permukaan laut (sepanjang sumbu y).

Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan ukuran.

Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .

Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan kenaikan? Tentu, . Artinya, ketika bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Sangat mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kami berada di ketinggian, dan setelah bergerak kami berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti bahwa kita tidak naik, tetapi turun.

Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) peningkatan ketinggian saat bergerak maju per satuan jarak:

Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan naik sejauh km. Kemudian kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, ketika maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang perhatikan puncak bukit. Jika Anda mengambil bagian awal setengah kilometer ke atas, dan ujungnya - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk estimasi kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi bahkan akurasi ini mungkin tidak cukup untuk kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa melewatinya begitu saja. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

PADA kehidupan nyata mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tapi matematikawan selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu, nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda mengatakan: satu triliun! Kurang berapa? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dll. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung nol"). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.

Konsep yang berlawanan dengan kecil tak terhingga adalah besar tak terhingga (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan ketidaksetaraan: angka ini lebih besar dalam modulus daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda akan mendapatkan lebih banyak lagi. Tapi tetap tak terhingga Lebih-lebih lagi apa yang akan berhasil. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.

Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan cukup nomor umum, Sebagai contoh, . Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.

Mengapa semua ini? Jalannya, tanjakannya... Kami tidak pergi reli, tapi kami belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya sama persis, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen pada kenaikan argumen yang sangat kecil.

Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah ketika bergerak sepanjang sumbu disebut penambahan argumen dan dilambangkan dengan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan jarak disebut peningkatan fungsi dan ditandai.

Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungannya dengan kapan. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan goresan dari kanan atas: atau sederhana. Jadi, mari kita tulis rumus turunan menggunakan notasi ini:

Seperti dalam analogi jalan, di sini, ketika fungsi bertambah, turunannya positif, dan ketika berkurang, itu negatif.

Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya, jika kita mengemudi di jalan horizontal yang datar, kecuramannya adalah nol. Memang, ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Begitu pula dengan turunannya: turunan fungsi permanen(konstanta) adalah nol:

karena kenaikan fungsi tersebut adalah nol untuk sembarang.

Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata ujung-ujung segmen itu bisa diatur sedemikian rupa sisi yang berbeda dari atas, bahwa tinggi ujung-ujungnya sama, yaitu ruas sejajar dengan sumbu:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.

Pada akhirnya, ketika kita sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, itu tetap sejajar dengan sumbu, yaitu, perbedaan ketinggian di ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita dengan tidak berarti.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsi meningkat, dan di kanan menurun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsi meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, itu negatif. Tapi itu berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak mengubah kemiringannya dengan tajam di mana pun). Oleh karena itu, antara negatif dan nilai positif harus. Ini akan berada di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita ubah dari nilai apa? Apa yang dia (argumen) sekarang menjadi? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: tingkatkan koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi sekarang? Ke mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:

Berlatih menemukan kenaikan:

1. Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama untuk fungsi di suatu titik.

Solusi:

PADA titik yang berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Ini berarti bahwa turunan di setiap titik memilikinya sendiri (kami membahas ini di awal - kecuraman jalan pada titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi daya disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).

Dan - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Ingat definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari ke. Apa itu peningkatan fungsi?

Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Jadi:

turunannya adalah:

turunan dari adalah:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karena itu tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami memiliki aturan lain:

c) Kami melanjutkan deret logis: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan cara yang berbeda: buka kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau dekomposisi seluruh ekspresi menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut:

Dan sekali lagi, ingat itu. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasi untuk fungsi pangkat dengan eksponen arbitrer, bahkan bilangan bulat:

(2)

Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari turunan fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuatan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana? Dan di mana gelarnya? ”, Ingat topik“ ”!
   Ya, ya, akarnya juga derajat, hanya pecahan:.
   Jadi akar kuadrat kita hanyalah pangkat dengan eksponen:
   .
   Kami mencari turunannya menggunakan rumus yang baru dipelajari:

   Jika pada titik ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik "" !!! (tentang derajat dengan indikator negatif)

2. . Sekarang eksponennya:

   Dan sekarang melalui definisi (apakah Anda sudah lupa?):
   ;
   .
   Sekarang, seperti biasa, kita mengabaikan istilah yang mengandung:
   .

3. . Kombinasi kasus sebelumnya: .

fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Saat ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:

Kami melihat bahwa ketika fungsi tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya.Inilah yang paling "berusaha".

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.

Jadi mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil arti lebih dekat hubungan dengan.

a) Pertimbangkan sebuah fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik ""):.

Sekarang turunannya:

Mari kita lakukan substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, itu juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Juga, bagaimana jika tak terbatas ukuran kecil dapat diabaikan dalam jumlah (yaitu, di).

Jadi kita mendapatkan aturan selanjutnya:turunan sinus sama dengan cosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

1. Pertama kita cari turunannya di pandangan umum, dan kemudian ganti nilainya dengan itu:
   ;
   .
2. Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi daya. Mari kita coba untuk membawanya ke
   tampilan biasa:
   .
   Oke, sekarang Anda bisa menggunakan rumus:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ada apa????

Oke, Anda benar, kami masih tidak tahu bagaimana menemukan turunan seperti itu. Di sini kita memiliki kombinasi dari beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

eksponen dan logaritma natural.

Ada fungsi seperti itu dalam matematika, yang turunannya untuk sembarang sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial

Basis dari fungsi ini adalah konstanta - tidak terbatas desimal, yaitu, bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", itulah sebabnya dilambangkan dengan huruf.

Jadi aturannya adalah:

Sangat mudah untuk diingat.

Nah jangan jauh-jauh yuk langsung disimak fungsi terbalik. Fungsi mana yang merupakan kebalikan dari Fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulis sebagai gantinya.

Apa yang setara dengan? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Apa turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: peserta pameran dan logaritma natural- fungsi secara unik sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lainnya akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita bahas nanti, setelah ayo ikuti aturannya diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses menemukan turunannya.

Hanya dan segalanya. Apa kata lain dari proses ini? Bukan proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut inkremental dari fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential - perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan formula untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - beberapa bilangan konstan(konstan), maka.

Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .

Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari turunan fungsi:

1. pada intinya;
2. pada intinya;
3. pada intinya;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari suatu produk

Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Cari turunan dari fungsi dan;
2. Tentukan turunan suatu fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari bagaimana menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi di mana beberapa nomor.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: seperti itu, tetap, hanya faktor yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Cari turunan fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu, tidak ada cara untuk menuliskannya lagi bentuk sederhana. Oleh karena itu, kami meninggalkannya dalam bentuk ini di jawaban.

Turunan dari fungsi logaritma

Ini mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya:

Kita perlu membawa logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang alih-alih kita akan menulis:

Penyebutnya ternyata hanya konstanta (angka konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampaknya sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam hal matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang cokelat dalam bungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk makan cokelat, Anda perlu melakukannya tindakan terbalik di urutan terbalik.

Mari kita buat jalur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus dari sebuah angka, dan kemudian kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan kosinusnya (pembungkus), dan kemudian Anda kuadratkan apa yang saya dapatkan (ikat dengan pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini contohnya fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan apa yang terjadi sebagai akibat dari yang pertama.

Kami mungkin melakukan tindakan yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, dan kemudian saya mencari kosinus dari angka yang dihasilkan:. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting fungsi kompleks: ketika Anda mengubah urutan tindakan, fungsi berubah.

Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan disebut fungsi "eksternal", dan tindakan yang dilakukan pertama - masing-masing fungsi "internal"(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:

Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan perubahan variabel: misalnya, dalam fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama kami menghitung sinus, dan baru kemudian kami menaikkannya menjadi kubus. Jadi ini adalah fungsi internal, bukan fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

kita mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak cokelat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama kita cari turunan dari fungsi luar, lalu kita kalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam. Diaplikasikan ke contoh asli terlihat seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita merumuskan aturan resmi:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

Semuanya tampak sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(jangan mencoba untuk mengurangi sekarang! Tidak ada yang diambil dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ada fungsi kompleks tiga tingkat di sini: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami masih mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (masukkan cokelat ke dalam bungkus dan dengan pita di dalam tas kerja). Tetapi tidak ada alasan untuk takut: bagaimanapun, kami akan "membongkar" fungsi ini dalam urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresinya dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lambat tindakan dilakukan, semakin "eksternal" fungsi yang sesuai. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini bersarang umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SINGKAT TENTANG UTAMA

turunan fungsi- rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan kenaikan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta diambil dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Produk turunan:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal", temukan turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", temukan turunannya.
3. Kami mengalikan hasil poin pertama dan kedua.

Dengan video ini, saya memulai serangkaian pelajaran panjang tentang turunan. Pelajaran ini memiliki beberapa bagian.

Pertama-tama, saya akan memberi tahu Anda apa itu turunan secara umum dan bagaimana menghitungnya, tetapi tidak dalam bahasa akademis yang canggih, tetapi dengan cara yang saya pahami sendiri dan bagaimana saya menjelaskannya kepada siswa saya. Kedua, kita akan mempertimbangkan aturan paling sederhana untuk menyelesaikan masalah di mana kita akan mencari turunan dari jumlah, turunan dari perbedaan, dan turunan dari fungsi pangkat.

Kami akan melihat contoh gabungan yang lebih kompleks, yang darinya Anda akan belajar, khususnya, bahwa masalah serupa yang melibatkan akar dan genap dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus turunan fungsi pangkat. Selain itu tentunya akan banyak tugas dan contoh solusi dari level yang berbeda kesulitan.

Secara umum, awalnya saya akan merekam video pendek 5 menit, tetapi Anda dapat melihat sendiri apa yang terjadi. Jadi cukup liriknya - mari kita mulai bisnis.

Apa itu turunan?

Jadi, mari kita mulai dari jauh. Bertahun-tahun yang lalu, ketika pohon lebih hijau dan hidup lebih menyenangkan, matematikawan memikirkan hal ini: pertimbangkan fungsi sederhana yang diberikan oleh grafiknya, sebut saja $y=f\left(x \right)$. Tentu saja, grafik tidak berdiri sendiri, jadi Anda perlu menggambar sumbu $x$, serta sumbu $y$. Dan sekarang mari kita pilih titik mana saja pada grafik ini, benar-benar sembarang. Sebut saja absisnya $((x)_(1))$, ordinatnya, seperti yang Anda duga, adalah $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Pertimbangkan titik lain pada grafik yang sama. Tidak masalah yang mana, yang utama berbeda dari aslinya. Ini, sekali lagi, memiliki absis, sebut saja $((x)_(2))$, serta ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Jadi, kami mendapat dua poin: mereka memiliki absis yang berbeda dan, oleh karena itu, arti yang berbeda fungsi, meskipun yang terakhir adalah opsional. Tetapi yang benar-benar penting adalah bahwa kita mengetahui dari kursus planimetri bahwa garis lurus dapat ditarik melalui dua titik dan, terlebih lagi, hanya satu. Di sini, mari kita jalankan.

Dan sekarang mari kita menggambar garis lurus melalui yang pertama, sejajar dengan sumbu x. Mendapatkan segitiga siku-siku. Sebut saja $ABC$, sudut siku-siku $C$. Segitiga ini memiliki satu yang sangat properti menarik: faktanya adalah bahwa sudut $\alpha $, pada kenyataannya, sama dengan sudut, di mana garis lurus $AB$ berpotongan dengan kelanjutan sumbu absis. Nilai sendiri:

1. garis $AC$ sejajar dengan sumbu $Ox$ menurut konstruksinya,
2. garis $AB$ memotong $AC$ di bawah $\alpha $,
3. maka $AB$ memotong $Ox$ di bawah $\alpha $ yang sama.

Apa yang dapat kita katakan tentang $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Tidak ada yang konkret, kecuali bahwa dalam segitiga $ABC$ rasio kaki $BC$ terhadap kaki $AC$ sama dengan garis singgung sudut ini. Jadi mari kita menulis:

Tentu saja, $AC$ masuk kasus ini mudah dipertimbangkan:

Demikian pula untuk $BC$:

Dengan kata lain, kita dapat menulis sebagai berikut:

\[\namaoperator(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \kanan))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sekarang setelah kita mengetahui semuanya, mari kembali ke bagan kita dan lihat poin baru$B$. Hapus nilai lama dan ambil dan bawa $B$ ke suatu tempat yang lebih dekat ke $((x)_(1))$. Mari kita kembalikan absisnya sebagai $((x)_(2))$, dan ordinatnya sebagai $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Perhatikan kembali segitiga kecil kita $ABC$ dan $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ di dalamnya. Sangat jelas bahwa ini akan menjadi sudut yang sama sekali berbeda, garis singgungnya juga akan berbeda karena panjang segmen $AC$ dan $BC$ telah berubah secara signifikan, dan rumus untuk garis singgung sudut tidak berubah sama sekali. - ini masih rasio antara mengubah fungsi dan mengubah argumen.

Akhirnya, kita terus bergerak $B$ lebih dekat dan lebih dekat ke titik awal $A$, sebagai hasilnya, segitiga akan semakin berkurang, dan garis yang berisi segmen $AB$ akan semakin terlihat seperti garis singgung dengan grafik fungsi.

Akibatnya, jika kita terus mendekati titik-titik, yaitu mengurangi jarak menjadi nol, maka garis lurus $AB$ memang akan berubah menjadi garis singgung grafik pada titik ini, dan $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ akan berubah dari elemen segitiga normal menjadi sudut antara garis singgung grafik dan arah positif sumbu $Ox$.

Dan di sini kita dengan lancar beralih ke definisi $f$, yaitu, turunan dari fungsi di titik $((x)_(1))$ adalah garis singgung sudut $\alpha $ antara garis singgung dengan grafik pada titik $((x)_( 1))$ dan arah positif dari sumbu $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \kanan)=\namaoperator(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Kembali ke grafik kita, perlu dicatat bahwa sebagai $((x)_(1))$, Anda dapat memilih titik mana pun pada grafik. Misalnya, dengan keberhasilan yang sama, kita dapat menghilangkan goresan pada titik yang ditunjukkan pada gambar.

Mari kita sebut sudut antara garis singgung dan arah positif dari sumbu $\beta $. Dengan demikian, $f$ dalam $((x)_(2))$ akan sama dengan garis singgung sudut ini $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \kanan)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Setiap titik grafik akan memiliki garis singgungnya sendiri, dan, akibatnya, nilai fungsinya sendiri. Dalam setiap kasus ini, selain titik di mana kita mencari turunan dari perbedaan atau jumlah, atau turunan dari fungsi pangkat, perlu untuk mengambil titik lain yang terletak agak jauh darinya, dan kemudian arahkan titik ini ke titik asli dan, tentu saja, cari tahu bagaimana dalam prosesnya gerakan seperti itu akan mengubah garis singgung sudut kemiringan.

Turunan fungsi daya

Sayangnya, definisi ini sama sekali tidak cocok untuk kita. Semua rumus, gambar, sudut ini tidak memberi kita ide sedikit pun bagaimana menghitung turunan nyata di tugas nyata. Oleh karena itu, mari kita menyimpang sedikit dari definisi formal dan mempertimbangkan formula dan teknik yang lebih efektif yang dengannya Anda sudah dapat memecahkan masalah nyata.

Mari kita mulai dengan konstruksi paling sederhana, yaitu, fungsi dari bentuk $y=((x)^(n))$, yaitu. fungsi kekuasaan. Dalam hal ini, kita dapat menulis sebagai berikut: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Dengan kata lain, derajat yang dieksponen ditunjukkan pada pengali di depan , dan eksponen itu sendiri dikurangi dengan satuan, misalnya:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Dan inilah opsi lain:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Menggunakan ini aturan sederhana, mari kita coba hilangkan coretan dari contoh berikut:

Jadi kita mendapatkan:

\[((\left(((x)^(6)) \kanan))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sekarang mari kita selesaikan ekspresi kedua:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prima ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Tentu saja, ini sangat tugas sederhana. Namun, masalah nyata lebih kompleks dan tidak terbatas pada kekuatan suatu fungsi.

Jadi, aturan nomor 1 - jika fungsi direpresentasikan sebagai dua lainnya, maka turunan dari jumlah ini sama dengan jumlah turunannya:

\[((\left(f+g \kanan))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Demikian pula, turunan dari selisih dua fungsi sama dengan selisih dari turunannya:

\[((\left(f-g \kanan))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \kanan))^(\ prima ))+((\left(x \kanan))^(\prime ))=2x+1\]

Selain itu, ada satu lagi aturan penting: jika beberapa $f$ didahului oleh konstanta $c$, yang dengannya fungsi ini dikalikan, maka $f$ dari keseluruhan konstruksi ini dianggap sebagai berikut:

\[((\left(c\cdot f \kanan))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \kanan))^(\ prima ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Terakhir, satu lagi aturan yang sangat penting: soal sering kali berisi istilah terpisah yang tidak mengandung $x$ sama sekali. Misalnya, kita dapat mengamati ini dalam ekspresi kita hari ini. Turunan dari suatu konstanta, yaitu suatu bilangan yang sama sekali tidak bergantung pada $x$, selalu sama dengan nol, dan tidak menjadi masalah sama sekali berapa nilai konstanta $c$:

\[((\left(c \kanan))^(\prime ))=0\]

Contoh solusi:

\[((\left(1001 \kanan))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \kanan))^(\prime ))=0\]

Sekali lagi poin-poin penting:

1. Turunan jumlah dua fungsi selalu sama dengan jumlah turunannya: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Untuk alasan yang sama, turunan dari selisih dua fungsi sama dengan selisih dua turunan: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Jika fungsi memiliki pengali konstan, maka konstanta ini dapat dikeluarkan dari tanda turunan: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Jika seluruh fungsi adalah konstanta, maka turunannya selalu nol: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Mari kita lihat bagaimana semuanya bekerja untuk contoh nyata. Jadi:

Kami menuliskan:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \kanan))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

Dalam contoh ini, kita melihat turunan dari jumlah dan turunan dari perbedaan. Jadi turunannya adalah $5((x)^(4))-6x$.

Mari kita beralih ke fungsi kedua:

Tuliskan solusinya:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \kanan))^(\prime ))-((\left(2x \kanan))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \kanan))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Di sini kami telah menemukan jawabannya.

Mari kita beralih ke fungsi ketiga - ini sudah lebih serius:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3)))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \kanan ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \kanan))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Kami telah menemukan jawabannya.

Mari kita beralih ke ekspresi terakhir - yang paling kompleks dan terpanjang:

Jadi, kami menganggap:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7)))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \kanan))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \kanan))^(\prime )) +((\left(4x \kanan))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Tetapi solusinya tidak berakhir di situ, karena kita diminta tidak hanya untuk menghilangkan goresan, tetapi juga menghitung nilainya pada titik tertentu, jadi kita substitusikan 1 sebagai ganti $x$ ke dalam ekspresi:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Kami melangkah lebih jauh dan beralih ke yang lebih kompleks dan contoh menarik. Intinya adalah rumus untuk menyelesaikan turunan pangkat $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ memiliki cakupan yang lebih luas daripada yang diyakini secara umum. Dengan bantuannya, Anda dapat menyelesaikan contoh dengan pecahan, akar, dll. Inilah yang akan kita lakukan sekarang.

Untuk memulainya, mari kita tuliskan rumusnya sekali lagi, yang akan membantu kita menemukan turunan dari fungsi pangkat:

Dan sekarang perhatian: sejauh ini kami hanya menganggapnya sebagai $n$ bilangan bulat, namun, kami tidak mengganggu mempertimbangkan pecahan dan genap angka negatif. Sebagai contoh, kita dapat menulis sebagai berikut:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prima ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\akhir(sejajarkan)\]

Tidak ada yang rumit, jadi mari kita lihat bagaimana rumus ini akan membantu kita saat menyelesaikan lebih banyak tugas yang menantang. Jadi contoh:

Tuliskan solusinya:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \kanan))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Mari kita kembali ke contoh kita dan menulis:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ini keputusan yang begitu sulit.

Mari kita beralih ke contoh kedua - hanya ada dua suku, tetapi masing-masing mengandung derajat dan akar klasik.

Sekarang kita akan belajar bagaimana menemukan turunan dari fungsi pangkat, yang, selain itu, mengandung akar:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left((((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \kanan))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \kanan))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \kanan))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \kanan))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Kedua istilah dihitung, tinggal menuliskan jawaban akhir:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Kami telah menemukan jawabannya.

Turunan dari pecahan dalam hal fungsi pangkat

Tetapi kemungkinan rumus untuk menyelesaikan turunan dari fungsi pangkat tidak berakhir di situ. Faktanya adalah bahwa dengan bantuannya Anda tidak hanya dapat menghitung contoh dengan akar, tetapi juga dengan pecahan. Ini hanya kesempatan langka yang sangat menyederhanakan solusi dari contoh-contoh seperti itu, tetapi sering diabaikan tidak hanya oleh siswa, tetapi juga oleh guru.

Nah, sekarang kita akan mencoba menggabungkan dua formula sekaligus. Di satu sisi, turunan klasik dari fungsi pangkat

\[((\left(((x)^(n)) \kanan))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Di sisi lain, kita tahu bahwa ekspresi bentuk $\frac(1)(((x)^(n)))$ dapat direpresentasikan sebagai $((x)^(-n))$. Karena itu,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \kanan)"=((\left(((x)^(-n)) \kanan))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \kanan))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \kanan)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Jadi turunannya pecahan sederhana, di mana pembilangnya adalah konstanta, dan penyebutnya adalah derajat, juga dihitung menggunakan rumus klasik. Mari kita lihat cara kerjanya dalam praktik.

Jadi fungsi pertama:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ kanan))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Contoh pertama terpecahkan, mari beralih ke yang kedua:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \kanan))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \kanan))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \kanan) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ kiri(3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

Sekarang kami mengumpulkan semua istilah ini dalam satu rumus:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Kami mendapat tanggapan.

Namun, sebelum melanjutkan, saya ingin menarik perhatian Anda pada bentuk penulisan ekspresi aslinya sendiri: pada ekspresi pertama kita menulis $f\left(x \right)=...$, pada ekspresi kedua: $y =...$ Banyak siswa tersesat ketika mereka melihat bentuk yang berbeda catatan. Apa perbedaan antara $f\left(x \right)$ dan $y$? Sebenarnya, tidak ada. Mereka hanya entri yang berbeda dengan arti yang sama. Tepat ketika kita mengatakan $f\left(x \right)$ maka kita sedang berbicara, pertama-tama, tentang fungsi, dan jika menyangkut $y$, maka paling sering grafik fungsi yang dimaksud. Jika tidak, itu sama, yaitu, turunannya dianggap sama dalam kedua kasus.

Masalah kompleks dengan turunan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah gabungan kompleks yang menggunakan semua yang telah kita pertimbangkan hari ini sekaligus. Di dalamnya, kami menunggu akar, dan pecahan, dan jumlah. Namun, contoh-contoh ini akan menjadi kompleks hanya dalam kerangka tutorial video hari ini, karena fungsi turunan yang benar-benar kompleks akan menunggu Anda di depan.

Jadi, bagian terakhir dari tutorial video hari ini, terdiri dari dua tugas gabungan. Mari kita mulai dengan yang pertama:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \kanan))^(\prime ))+\kiri(\sqrt(x) \kanan) \\& ((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \kanan))^(\prime ))=((\ kiri(((x)^(-3)) \kanan))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Turunan dari fungsi tersebut adalah:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Contoh pertama terpecahkan. Pertimbangkan masalah kedua:

Dalam contoh kedua, kami bertindak serupa:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \kanan))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \kanan))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \kanan))^ (\utama))\]

Mari kita hitung setiap suku secara terpisah:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \kanan)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ kiri(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \kanan))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ) ((x)^(\frac(3)(4)))) \kanan))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3 )(4)))) \kanan))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \kanan))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Semua istilah dihitung. Sekarang kembali ke rumus asli dan jumlahkan ketiga suku tersebut. Kami mendapatkan bahwa jawaban akhirnya adalah:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Dan itu saja. Ini adalah pelajaran pertama kami. Dalam pelajaran berikut, kita akan melihat lebih banyak struktur kompleks, dan juga mencari tahu mengapa turunan diperlukan sama sekali.

Perhitungan turunan- salah satu yang paling operasi penting di kalkulus diferensial. Di bawah ini adalah tabel untuk mencari turunan fungsi sederhana. Lagi aturan yang rumit diferensiasi, lihat pelajaran lain:

• Tabel turunan fungsi eksponensial dan logaritma

Gunakan rumus yang diberikan sebagai nilai referensi. Mereka akan membantu Anda memutuskan persamaan diferensial dan tugas. Pada gambar, dalam tabel turunan fungsi sederhana, terdapat "cheat sheet" dari kasus-kasus utama untuk menemukan turunan dalam bentuk yang dapat dipahami untuk digunakan, di sebelahnya adalah penjelasan untuk setiap kasus.

Turunan dari fungsi sederhana

1. Turunan suatu bilangan adalah nol
= 0
Contoh:
5' = 0

Penjelasan:
Derivatif menunjukkan tingkat di mana nilai fungsi berubah ketika argumen berubah. Karena bilangan tidak berubah dengan cara apa pun dalam kondisi apa pun, laju perubahannya selalu nol.

2. Turunan dari sebuah variabel sama dengan satu
x' = 1

Penjelasan:
Dengan setiap kenaikan argumen (x) sebanyak satu, nilai fungsi (hasil perhitungan) meningkat dengan jumlah yang sama. Jadi, laju perubahan nilai fungsi y = x sama persis dengan laju perubahan nilai argumen.

3. Turunan variabel dan faktor sama dengan faktor ini
x´ =
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
Dalam hal ini, setiap kali argumen fungsi ( X) nilainya (y) bertambah dalam dengan sekali. Jadi, laju perubahan nilai fungsi terhadap laju perubahan argumen persis sama dengan nilai dengan.

Darimana jadinya?
(cx + b)" = c
yaitu diferensial fungsi linear y=kx+b adalah koefisien sudut kemiringan garis lurus (k).

4. Turunan modulo dari suatu variabel sama dengan hasil bagi variabel ini dengan modulusnya
|x|"= x / |x| asalkan x 0
Penjelasan:
Karena turunan dari variabel (lihat rumus 2) sama dengan satu, turunan modul hanya berbeda dalam nilai laju perubahan fungsi berubah menjadi kebalikannya ketika melintasi titik asal (cobalah menggambar grafik dari fungsi y = |x| dan lihat sendiri. Ini adalah nilai yang tepat dan mengembalikan ekspresi x / |x| Ketika x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Artinya, dengan nilai negatif dari variabel x, dengan setiap peningkatan perubahan argumen, nilai fungsi berkurang dengan nilai yang persis sama, dan dengan nilai positif, sebaliknya, meningkat, tetapi dengan tepat nilai yang sama.

5. Turunan pangkat dari suatu variabel sama dengan produk dari jumlah kekuatan ini dan variabel dalam kekuatan, dikurangi satu
(x c)"= cx c-1, asalkan x c dan cx c-1 didefinisikan dan c 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk menghafal rumus:
Ambil eksponen variabel "turun" sebagai pengali, lalu kurangi eksponen itu sendiri satu per satu. Misalnya, untuk x 2 - dua di depan x, dan kemudian pengurangan daya (2-1=1) hanya memberi kami 2x. Hal yang sama terjadi untuk x 3 - kami menurunkan tiga kali lipat, menguranginya satu, dan alih-alih kubus, kami memiliki kotak, yaitu 3x 2 . Sedikit "tidak ilmiah", tetapi sangat mudah diingat.

6.turunan pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Karena pecahan dapat direpresentasikan dengan menaikkan ke derajat negatif
(1/x)" = (x -1)" , maka Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5 tabel turunan
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. turunan pecahan dengan variabel derajat arbitrer dalam penyebut
(1/x c)" = - c / x c+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. turunan akar(turunan variabel di bawah akar kuadrat)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" sehingga Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Turunan dari variabel di bawah akar derajat arbitrer
(n x)" = 1 / (n n x n-1)

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari pemecahan masalah menemukan turunan untuk fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana), dengan mendefinisikan turunan sebagai batas rasio kenaikan ke kenaikan argumen, tabel turunan muncul dan tepat aturan tertentu diferensiasi. Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan.

Oleh karena itu, saat ini, untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi yang disebutkan di atas terhadap kenaikan argumen, tetapi hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut cocok untuk mencari turunan.

Untuk mencari turunan, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda guratan uraikan fungsi-fungsi sederhana dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling berhubungan. Turunan lebih lanjut fungsi dasar kami temukan di tabel turunan, dan rumus turunan produk, jumlah dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel aturan turunan dan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan, kita mengetahui bahwa turunan dari "X" sama dengan satu, dan turunan dari sinus sama dengan cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini dalam jumlah turunan dan menemukan turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kami membedakan sebagai turunan dari jumlah, di mana suku kedua dengan faktor konstan dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Jika masih ada pertanyaan tentang dari mana sesuatu berasal, mereka, sebagai suatu peraturan, menjadi jelas setelah membaca tabel turunan dan aturan diferensiasi paling sederhana. Kami akan pergi ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Setiap angka (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu nol. Ini sangat penting untuk diingat, karena sangat sering diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "x". Selalu sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Derivatif akar pangkat dua
6. Turunan sinus
7. Turunan kosinus
8. Turunan tangen
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arc cosinus
12. Turunan dari tangen busur
13. Turunan dari tangen terbalik
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari jumlah atau selisih
2. Turunan dari suatu produk
2a. Turunan dari ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1Jika fungsi

terdiferensialkan pada suatu titik , maka pada titik yang sama fungsi

dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi adalah jumlah aljabar turunan dari fungsi-fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi yang dapat diturunkan berbeda satu konstanta, maka turunannya adalah:, yaitu

Aturan 2Jika fungsi

terdiferensiasi pada suatu titik, maka produknya juga terdiferensiasi pada titik yang sama

dan

itu. turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain.

Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Konsekuensi 2. Turunan produk dari beberapa fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah produk turunan dari masing-masing faktor dan semua faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3Jika fungsi

terdiferensiasi di beberapa titik dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga dapat dibedakan.u/v , dan

itu. turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilangnya dan pembilangnya dengan turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya .

Di mana mencarinya di halaman lain

Ketika menemukan turunan dari produk dan hasil bagi dalam masalah nyata, selalu diperlukan untuk menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, oleh karena itu lebih banyak contoh pada turunan ini - dalam artikel"Turunan dari produk dan hasil bagi".

Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu, angka) sebagai istilah dalam jumlah dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus istilah, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus faktor konstan itu diambil dari tanda turunan. Ini kesalahan tipikal, yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi saat Anda menyelesaikan beberapa contoh satu-dua bagian rata-rata siswa tidak lagi melakukan kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"v, di mana kamu- angka, misalnya, 2 atau 5, yaitu konstanta, maka turunan dari angka ini akan sama dengan nol dan, oleh karena itu, seluruh istilah akan sama dengan nol (kasus seperti itu dianalisis dalam contoh 10) .

Lainnya kesalahan Umum - solusi mekanis turunan dari fungsi kompleks sebagai turunan dari fungsi sederhana. Jadi turunan dari fungsi kompleks dikhususkan untuk artikel terpisah. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang jalan, Anda tidak dapat melakukannya tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual windows baru Tindakan dengan kekuatan dan akar dan Tindakan dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan dengan pangkat dan akar, yaitu, ketika fungsinya terlihat seperti , lalu ikuti pelajaran " Turunan dari jumlah pecahan dengan pangkat dan akar".

Jika Anda memiliki tugas seperti , maka Anda berada dalam pelajaran "Turunan dari fungsi trigonometri sederhana".

Contoh langkah demi langkah - cara menemukan turunannya

Contoh 3 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kami menentukan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, di mana salah satu suku mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi produk: turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain:

Selanjutnya, kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini. Dalam kasus kami, dalam setiap jumlah, istilah kedua dengan tanda minus. Dalam setiap penjumlahan, kita melihat variabel bebas, turunannya sama dengan satu, dan konstanta (angka), turunannya sama dengan nol. Jadi, "X" berubah menjadi satu, dan minus 5 - menjadi nol. Dalam ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita kalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kita mendapatkan nilai-nilai berikut turunan:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan memperoleh turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kita diminta untuk mencari turunan dari hasil bagi. Kami menerapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah perbedaan antara produk dari penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan dari faktor-faktor pembilang pada Contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua dalam pembilang dalam contoh saat ini diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk masalah seperti itu di mana Anda perlu menemukan turunan dari suatu fungsi, di mana ada tumpukan akar dan derajat yang kontinu, seperti, misalnya, lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan dengan kekuatan dan akar" .

Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan dari sinus, cosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu, ketika fungsinya terlihat seperti , maka Anda memiliki pelajaran "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat produk, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel independen, dengan turunan yang kita kenal dalam tabel turunan. Dengan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan dari akar kuadrat kita peroleh:

Contoh 6 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Menurut aturan diferensiasi hasil bagi, yang kami ulangi dan terapkan dalam contoh 4, dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kami mendapatkan:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .