Panjang segmen sumbu koordinat ditemukan sesuai dengan rumus:
Panjang segmen bidang koordinat dicari dengan rumus:
Untuk menemukan panjang segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, rumus berikut digunakan:
Koordinat tengah segmen (untuk sumbu koordinat hanya rumus pertama yang digunakan, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung dengan rumus:
Fungsi adalah korespondensi dari bentuk kamu= f(x) antar variabel, yang karenanya masing-masing mempertimbangkan nilai beberapa variabel x(argumen atau variabel independen) cocok nilai tertentu variabel lain, kamu(variabel dependen, terkadang nilai ini hanya disebut nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi mengasumsikan bahwa satu nilai argumen X hanya ada satu nilai variabel terikat pada. Namun, nilai yang sama pada dapat diperoleh dengan berbagai X.
Lingkup fungsi adalah semua nilai dari variabel independen (argumen fungsi, biasanya X) yang fungsinya didefinisikan, mis. maknanya ada. Domain definisi ditunjukkan D(kamu). Pada umumnya, Anda sudah akrab dengan konsep ini. Ruang lingkup suatu fungsi disebut ruang lingkup nilai yang diizinkan, atau ODZ, yang telah lama Anda temukan.
Rentang fungsi:- itu semua nilai yang mungkin variabel terikat dari fungsi ini. Dilambangkan E(pada).
Fungsi naik dalam interval dimana nilai yang lebih besar argumen sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi Penurunan pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Interval fungsi adalah interval variabel independen di mana variabel dependen mempertahankan tanda positif atau negatifnya.
fungsi nol adalah nilai-nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik ini, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Sangat sering, kebutuhan untuk menemukan nol dari suatu fungsi berarti kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan. Juga, seringkali kebutuhan untuk menemukan interval keteguhan berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.
Fungsi kamu = f(x) disebut bahkan X
Ini berarti bahwa untuk setiap arti yang berlawanan argumen, nilai fungsi genap adalah sama. Jadwal fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y dari y.
Fungsi kamu = f(x) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan terpenuhi:
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.
Jumlah akar genap dan fitur aneh(titik perpotongan sumbu x OX) selalu nol, karena untuk setiap akar positif X akun untuk akar negatif –X.
Penting untuk dicatat bahwa beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Fungsi seperti ini disebut fungsi pandangan umum , dan tidak ada persamaan atau properti di atas yang berlaku untuk mereka.
Fungsi linear disebut fungsi yang dapat diberikan dengan rumus:
Grafik fungsi linier adalah garis lurus dan dalam kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus ketika k> 0, dalam hal ini fungsi bertambah; untuk acara ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:
Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX di titik-titik akarnya: ( x satu ; 0) dan ( x 2; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX, jika ada satu akar, maka di titik ini ( x 0; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu berpotongan dengan sumbu OY pada suatu titik dengan koordinat: (0; c). Jadwal fungsi kuadrat(parabola) mungkin terlihat seperti ini (pada gambar, contoh yang jauh dari melelahkan semua kemungkinan jenis parabola):
Di mana:
- jika koefisien sebuah> 0, dalam fungsi kamu = kapak 2 + bx + c, maka cabang parabola diarahkan ke atas;
- jika sebuah < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinat titik parabola dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. atasan X (p- pada gambar di atas) dari parabola (atau titik di mana trinomial persegi mencapai nilai maksimum atau minimumnya):
Atasan Y (q- pada gambar di atas) dari parabola atau maksimum jika cabang parabola diarahkan ke bawah ( sebuah < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (sebuah> 0), nilai trinomial persegi:
Grafik fungsi lainnya
fungsi daya
Berikut adalah beberapa contoh grafik fungsi daya:
Ketergantungan berbanding terbalik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada tanda nomor k bagan kembali ketergantungan proporsional dapat memiliki dua opsi utama:
asimtot adalah garis di mana garis grafik fungsi mendekati dekat tak terhingga, tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk Grafik proporsionalitas terbalik ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat di mana grafik fungsi mendekati dekat, tetapi tidak memotongnya.
Fungsi eksponensial dengan dasar sebuah panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
sebuah grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi mendasar (kami juga akan memberikan contoh, lihat di bawah):
fungsi logaritma panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada apakah lebih atau kurang dari satu nomor sebuah jadwal fungsi logaritma dapat memiliki dua opsi utama:
Grafik Fungsi kamu = |x| sebagai berikut:
Grafik fungsi periodik (trigonometri)
Fungsi pada = f(x) disebut berkala, jika ada angka bukan nol seperti itu T, Apa f(x + T) = f(x), untuk siapa saja X di luar ruang lingkup fungsi f(x). Jika fungsi f(x) periodik dengan periode T, maka fungsi:
di mana: A, k, b – bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1 , yang ditentukan dengan rumus:
Sebagian besar contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik fungsi trigonometri utama. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi: kamu= dosa x(seluruh grafik berlanjut ke kiri dan kanan tanpa batas), grafik fungsi kamu= dosa x ditelepon sinusoida:
Grafik Fungsi kamu= cos x ditelepon gelombang kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus, itu berlanjut tanpa batas di sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:
Grafik Fungsi kamu=tg x ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Dan akhirnya, grafik fungsi kamu=ctg x ditelepon kotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Implementasi yang sukses, rajin dan bertanggung jawab dari ketiga poin ini akan memungkinkan Anda untuk menunjukkan hasil yang sangat baik pada CT, maksimal dari apa yang Anda mampu.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, lalu tulis, tolong, tentang hal itu melalui surat. Anda juga dapat melaporkan bug di jaringan sosial(). Dalam surat itu, tunjukkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau tes, nomor tugas, atau tempat dalam teks (halaman) di mana, menurut Anda, ada kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahan itu. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
konsep fungsi salah satu yang paling penting dalam matematika.
Anda sering mendengar kata ini di kelas matematika. Anda membuat grafik fungsi, mempelajari fungsi, menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi. Tetapi untuk memahami semua tindakan ini, mari kita definisikan apa itu fungsi.
Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan beberapa cara. Semuanya akan saling melengkapi.
1. Fungsinya adalah ketergantungan satu variabel pada variabel lain. Dengan kata lain, hubungan antara kuantitas.
Setiap hukum fisika, rumus apa pun mencerminkan hubungan besaran seperti itu. Misalnya, rumusnya adalah ketergantungan tekanan fluida pada kedalaman.
Semakin dalam kedalamannya, semakin lebih banyak tekanan cairan. Dapat dikatakan bahwa tekanan fluida adalah fungsi dari kedalaman di mana ia diukur.
Sebutan yang akrab bagi Anda hanya mengungkapkan gagasan tentang ketergantungan satu kuantitas pada kuantitas lainnya. Nilai y tergantung pada nilai menurut hukum, atau aturan tertentu, yang dilambangkan dengan .
Dengan kata lain: kita ubah (variabel bebas, atau argumen) - dan aturan tertentu sedang berubah.
Variabel dan . Misalnya, adalah ketergantungan panjang pada suhu, yaitu hukum ekspansi termal. Notasi itu sendiri berarti bahwa nilainya tergantung pada .
2. Definisi lain dapat diberikan.
Fungsi adalah spesifik tindakan atas sebuah variabel.
Ini berarti bahwa kita mengambil nilai , melakukan beberapa tindakan dengannya (misalnya, kita mengkuadratkannya atau menghitung logaritmanya) - dan kita mendapatkan nilai .
PADA literatur teknis ada definisi fungsi sebagai perangkat, inputnya diumpankan - dan outputnya adalah .
Jadi fungsinya adalah tindakan atas sebuah variabel. Dalam pengertian ini, kata "fungsi" juga digunakan di bidang yang jauh dari matematika. Misalnya, kita dapat berbicara tentang fungsi telepon genggam, tentang fungsi otak atau fungsi wakil. Dalam semua kasus ini kita sedang berbicara tentang tindakan yang dilakukan.
3. Mari kita berikan satu definisi lagi dari sebuah fungsi - yang paling sering ditemukan di buku teks.
Fungsi adalah korespondensi antara dua himpunan, dengan setiap elemen dari himpunan pertama bersesuaian dengan satu dan hanya satu elemen dari himpunan kedua.
Misalnya, fungsi untuk setiap bilangan asli cocok dengan angka dua kali lebih besar dari .
Kami ulangi sekali lagi: menurut aturan tertentu, kami mengasosiasikan setiap elemen himpunan dengan elemen himpunan. Himpunan tersebut disebut lingkup fungsi. Sekelompok - jangkauan.
Tetapi mengapa ada klarifikasi yang begitu panjang di sini: "setiap elemen dari himpunan pertama sesuai dengan satu dan hanya satu elemen dari yang kedua"? Ternyata korespondensi antar himpunan juga berbeda.
Pertimbangkan sebagai contoh korespondensi antara dua set - warga negara Rusia yang memiliki paspor dan nomor paspor mereka. Jelas bahwa korespondensi ini adalah satu-ke-satu - setiap warga negara hanya memiliki satu paspor Rusia. Dan sebaliknya - Anda dapat menemukan seseorang dengan nomor paspor.
Matematika juga memiliki fungsi satu-satu. Sebagai contoh, fungsi linear. Setiap nilai sesuai dengan satu dan hanya satu nilai. Dan sebaliknya - mengetahui, Anda dapat menemukan secara unik.
Mungkin ada jenis lain dari korespondensi antara set. Ambil contoh sekelompok teman dan bulan di mana mereka lahir:
Setiap orang dilahirkan di beberapa bulan tertentu. Tapi korespondensi ini tidak satu-ke-satu. Misalnya, Sergey dan Oleg lahir pada bulan Juni.
Contoh korespondensi semacam itu dalam matematika adalah fungsi. Elemen yang sama dari set kedua sesuai dengan dua elemen yang berbeda set pertama: dan .
Dan apa yang harus menjadi korespondensi antara dua himpunan sehingga bukan fungsi? Sangat sederhana! Mari kita ambil kelompok teman yang sama dan hobi mereka:
Kita melihat bahwa pada himpunan pertama terdapat elemen-elemen yang bersesuaian dengan dua atau tiga elemen dari himpunan kedua.
Akan sangat sulit untuk menggambarkan korespondensi seperti itu secara matematis, bukan?
Berikut adalah contoh lain. Angka-angka menunjukkan kurva. Manakah yang menurut Anda merupakan graf fungsi dan mana yang bukan?
Jawabannya jelas. Kurva pertama adalah grafik dari beberapa fungsi, dan yang kedua bukan. Lagi pula, ada titik di mana setiap nilai tidak sesuai dengan satu, tetapi tiga nilai keseluruhan.
Ayo daftar cara mendefinisikan fungsi.
satu . Dengan sebuah rumus. Ini adalah cara yang nyaman dan akrab bagi kami. Sebagai contoh:
Ini adalah contoh fungsi yang didefinisikan oleh rumus.
2 . cara grafis. Dia yang paling terlihat. Semuanya langsung terlihat pada grafik - kenaikan dan penurunan fungsi, terbesar dan nilai terkecil, poin maksimum dan minimum. Artikel selanjutnya akan membahas tentang penjelajahan suatu fungsi menggunakan grafik.
Selain itu, tidak selalu mudah untuk mendapatkan rumus pasti dari suatu fungsi. Misalnya, nilai tukar dolar (yaitu, ketergantungan nilai dolar pada waktu) hanya dapat ditampilkan pada grafik.
3 . Dengan bantuan meja. Dengan metode ini, Anda pernah mulai mempelajari topik "Fungsi" - Anda membuat tabel dan hanya setelah itu - grafik. Dan kapan studi percontohan setiap pola baru, ketika baik rumus maupun grafiknya belum diketahui, metode ini akan menjadi satu-satunya yang mungkin.
4 . Dengan bantuan deskripsi. Kebetulan di bagian yang berbeda fungsinya diatur rumus yang berbeda. Fungsi yang Anda ketahui diberikan oleh deskripsi.
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
gimnasium Rusia
ABSTRAK
Terpenuhi
siswa 10"F" kelas Burmistrov Sergey
Pengawas
guru matematika
Yulina O.A.
Nizhny Novgorod
Fungsi dan sifat-sifatnya
Fungsi- ketergantungan variabel pada dari sebuah variabel x , jika setiap nilai X sesuai arti tunggal pada .
Variabel x- variabel bebas atau argumen.
Variabel y- variabel tak bebas
Nilai fungsi- berarti pada sesuai tetapkan nilai X .
Lingkup fungsi- semua nilai yang diambil oleh variabel independen.
Rentang fungsi (set nilai) - semua nilai yang diambil oleh fungsi tersebut.
Fungsinya merata- jika untuk apapun X f(x)=f(-x)
Fungsinya ganjil- jika untuk apapun X dari ruang lingkup fungsi, persamaan f(-x)=-f(x)
Meningkatkan fungsi- jika untuk apapun x 1 dan x2, seperti yang x 1
<
x 2, ketidaksetaraan f(
x 1
)
Fungsi penurunan- jika untuk apapun x 1 dan x2, seperti yang x 1 < x 2, ketidaksetaraan f( x 1 )>f( x 2 )
Cara untuk mengatur fungsi
Untuk mendefinisikan suatu fungsi, Anda perlu menentukan cara di mana untuk setiap nilai argumen Anda dapat menemukan nilai fungsi yang sesuai. Yang paling umum adalah cara untuk mendefinisikan fungsi menggunakan rumus pada =f(x), di mana f(x)- beberapa ekspresi dengan variabel X. Dalam hal ini, kita katakan bahwa fungsi tersebut diberikan oleh sebuah rumus atau bahwa fungsi tersebut diberikan oleh secara analitis.
Dalam praktiknya, sering digunakan datar cara fungsi didefinisikan. Dengan metode ini, disediakan tabel yang menunjukkan nilai-nilai fungsi untuk nilai-nilai argumen yang ada dalam tabel. Contoh definisi fungsi tabel adalah tabel kotak, tabel kubus.
Jenis-jenis fungsi dan sifat-sifatnya
1) Fungsi permanen- fungsi, diberikan oleh rumus y= b , di mana b- beberapa nomor. jadwal fungsi permanen y \u003d b adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melewati titik (0; b) pada sumbu y
2) Proporsionalitas langsung- fungsi yang diberikan oleh rumus y= kx , dimana k¹0. Nomor k ditelepon koefisien proporsionalitas .
Properti fungsi y=kx :
1. Domain definisi fungsi - set semua bilangan real
2. y=kx- fungsi ganjil
3. Untuk k>0, fungsinya meningkat, dan untuk k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Fungsi linear- fungsi yang diberikan oleh rumus y=kx+b, di mana k dan b - bilangan asli. Jika, khususnya, k=0, maka kita mendapatkan fungsi konstan y=b; jika b=0, maka kita mendapatkan proporsionalitas langsung y=kx .
Properti Fungsi y=kx+b :
1. Domain definisi - himpunan semua bilangan real
2. Fungsi y=kx+b pandangan umum, yaitu tidak genap maupun ganjil.
3. Untuk k>0, fungsinya meningkat, dan untuk k<0 убывает на всей числовой прямой
Grafik fungsinya adalah lurus .
4)proporsionalitas terbalik- fungsi yang diberikan oleh rumus y=k /X, dimana k¹0 Nomor k ditelepon faktor proporsionalitas terbalik.
Properti Fungsi y=k / x:
1. Domain definisi - himpunan semua bilangan real kecuali nol
2. y=k / x - fungsi ganjil
3. Jika k>0, maka fungsi menurun pada interval (0;+¥) dan pada interval (-¥;0). jika k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Grafik fungsinya adalah hiperbola .
5)Fungsi y=x2
Properti Fungsi y=x2:
2. y=x2 - fungsi genap
3. Fungsi menurun pada interval
Grafik fungsinya adalah parabola .
6)Fungsi y=x 3
Properti Fungsi y=x3:
1. Domain definisi adalah seluruh garis bilangan
2. y=x 3 - fungsi ganjil
3. Fungsi bertambah pada seluruh garis bilangan
Grafik fungsinya adalah parabola kubik
7)Fungsi daya dengan eksponen alami- fungsi yang diberikan oleh rumus y=xn, di mana n- bilangan asli. Untuk n=1 kita mendapatkan fungsi y=x, sifat-sifatnya dipertimbangkan dalam Bagian 2. Untuk n=2;3 kita mendapatkan fungsi y=x 2 ; y=x3 . Properti mereka dibahas di atas.
Biarkan n menjadi bilangan genap sewenang-wenang lebih besar dari dua: 4,6,8... Dalam kasus ini, fungsi y=xn memiliki sifat yang sama dengan fungsi y=x 2 . Grafik fungsinya menyerupai parabola y=x 2 , hanya cabang grafik untuk |x|>1 naik semakin curam, n semakin besar, dan untuk |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Biarkan n menjadi bilangan ganjil arbitrer yang lebih besar dari tiga: 5,7,9... Dalam kasus ini, fungsi y=xn memiliki sifat yang sama dengan fungsi y=x 3 . Grafik fungsi menyerupai parabola kubik.
8)Fungsi daya dengan eksponen negatif bilangan bulat - fungsi yang diberikan oleh rumus y=x-n , di mana n- bilangan asli. Untuk n=1 kita mendapatkan y=1/x, sifat-sifat fungsi ini dipertimbangkan dalam Bagian 4.
Misalkan n bilangan ganjil lebih besar dari satu: 3,5,7... Dalam kasus ini, fungsi y=x-n pada dasarnya memiliki sifat yang sama dengan fungsi y=1/x.
Misalkan n bilangan genap, misalnya n=2.
Properti Fungsi y=x -2 :
1. Fungsi didefinisikan untuk semua x¹0
2. y=x -2 - fungsi genap
3. Fungsi berkurang (0;+¥) dan bertambah (-¥;0).
Setiap fungsi dengan n genap lebih besar dari dua memiliki sifat yang sama.
9)Fungsi y= Ö X
Properti Fungsi y= Ö X :
1. Domain definisi - sinar)
