Dari eksponen bilangan bulat dari angka a, transisi ke indikator rasional. Di bawah ini kami mendefinisikan derajat dengan eksponen rasional, dan kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat dipertahankan. Ini diperlukan karena bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan masing-masing bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai positif atau negatif pecahan biasa. Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberikan arti derajat dari bilangan tersebut. sebuah dengan indikator pecahan M N, di mana m adalah bilangan bulat, dan n- alami. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita menentukan akar derajat ke-n, maka logis untuk menerimanya, asalkan dengan data m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika diberikan m, n dan sebuah ekspresi masuk akal, maka kekuatan angka sebuah dengan pecahan M N disebut akar n derajat sebuah sejauh m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan di bawah apa m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal. Tergantung pada batasan yang diterapkan m, n dan sebuah ada dua pendekatan utama.

1. Cara termudah adalah dengan memberlakukan pembatasan pada sebuah, menerima a≥0 untuk positif m dan a>0 untuk negatif m(karena pada m≤0 derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Derajat bilangan positif sebuah dengan pecahan M N , di mana m adalah keseluruhan, dan n adalah bilangan asli, disebut akar n-th dari antara sebuah sejauh m, yaitu, .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Kekuatan nol dengan eksponen positif pecahan M N , di mana m adalah bilangan bulat positif, dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat nol dengan pecahan indikator negatif tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa negatif sebuah dan beberapa m dan n ekspresinya masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisinya a≥0. Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

2. Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan M N terdiri dalam pertimbangan terpisah dari eksponen genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini membutuhkan syarat tambahan: derajat sebuah, yang indikatornya merupakan pecahan biasa tereduksi, dianggap sebagai pangkat dari suatu bilangan sebuah, yang indikatornya sesuai pecahan tak tereduksi(Pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika M N adalah pecahan yang tidak dapat direduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajat sebelumnya digantikan oleh .

untuk genap n dan positif m ekspresi masuk akal untuk semua non-negatif sebuah(akar derajat genap dari angka negatif tidak masuk akal), dengan negatif m nomor sebuah masih harus berbeda dari nol (jika tidak, pembagian dengan nol). Dan untuk ganjil n dan positif m nomor sebuah bisa apa saja (akar ganjil didefinisikan untuk sembarang bilangan asli), dan untuk negatif m nomor sebuah harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarlah M N- pecahan tak tereduksi m adalah keseluruhan, dan n- bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Derajat sebuah dengan eksponen pecahan tak tereduksi M N- ini untuk

o sembarang bilangan asli sebuah, bilangan bulat positif m dan aneh alami n, Sebagai contoh, ;

o sembarang bilangan real bukan nol sebuah, bilangan bulat negatif m dan aneh n, Misalnya, ;

o bilangan non-negatif apa pun sebuah, bilangan bulat positif m dan bahkan n, Sebagai contoh, ;

o positif apapun sebuah, bilangan bulat negatif m dan bahkan n, Misalnya, ;

o dalam kasus lain, derajat dengan eksponen pecahan tidak didefinisikan, seperti, misalnya, derajat tidak ditentukan .entri kami tidak melampirkan arti apa pun, kami mendefinisikan derajat nol untuk eksponen pecahan positif M N sebagai , untuk eksponen pecahan negatif, derajat angka nol tidak didefinisikan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau nomor campuran, Sebagai contoh, . Untuk menghitung nilai ekspresi semacam ini, Anda perlu menulis eksponen sebagai pecahan biasa, dan kemudian menggunakan definisi derajat dengan eksponen pecahan. Untuk contoh-contoh ini, kita memiliki dan

Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan

Mari kita mulai dengan . Ke depan, katakanlah definisi derajat dengan indikator alami n diberikan untuk , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda harus memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi seperti itu juga dapat diterima: "a pangkat ke-n" dan "pangkat ke-n dari angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil derajat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kekuatan kedua belas dari delapan".

Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. pangkat dua suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".

Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .

Harap dicatat bahwa di contoh terakhir basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kita akan mengambil semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah contoh penulisan derajat lainnya dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .

Salah satu masalah kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami adalah masalah menemukan basis derajat dengan nilai yang diketahui derajat dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kami perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita mendefinisikan , maka logis untuk menerimanya, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n disebut akar derajat ke-n dari a ke pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya pertama-tama diganti dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan , tetapi , sebuah .

Derajat dengan eksponen rasional

Khasyanova T.G.,

guru matematika

Materi yang disajikan akan bermanfaat bagi guru matematika saat mempelajari topik “Gelar dengan indikator rasional”.

Tujuan materi yang disajikan: pengungkapan pengalaman saya dalam melakukan pelajaran dengan topik "Gelar dengan indikator rasional" program kerja disiplin "Matematika".

Metodologi pelajaran sesuai dengan jenisnya - pelajaran dalam studi dan konsolidasi utama pengetahuan baru. Pembaruan telah dilakukan pengetahuan dasar dan keterampilan berdasarkan pengalaman sebelumnya; menghafal utama, konsolidasi dan penerapan informasi baru. Konsolidasi dan penerapan materi baru terjadi dalam bentuk pemecahan masalah yang saya uji kompleksitas yang bervariasi memberikan hasil positif dari penguasaan topik.

Di awal pelajaran, saya menetapkan tujuan berikut untuk siswa: mendidik, mengembangkan, mendidik. Di kelas, saya menggunakan berbagai cara kegiatan: frontal, individu, ruang uap, mandiri, tes. Tugas-tugas itu dibedakan dan memungkinkan untuk mengidentifikasi, pada setiap tahap pelajaran, tingkat asimilasi pengetahuan. Volume dan kompleksitas tugas sesuai dengan karakteristik usia siswa. Dari pengalaman saya, pekerjaan rumah mirip dengan masalah yang diselesaikan di kelas memungkinkan Anda untuk secara aman mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh. Di akhir pelajaran, refleksi dilakukan dan pekerjaan individu siswa dievaluasi.

Tujuan telah tercapai. Siswa mempelajari konsep dan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional, belajar bagaimana menggunakan sifat-sifat ini ketika memecahkan tugas praktek. Di belakang kerja mandiri nilai diumumkan di pelajaran berikutnya.

Saya percaya bahwa metodologi yang saya gunakan untuk menyelenggarakan kelas matematika dapat diterapkan oleh guru matematika.

Topik pelajaran: Gelar dengan indikator rasional

Tujuan pelajaran:

Identifikasi tingkat penguasaan oleh siswa dari pengetahuan dan keterampilan yang kompleks dan, atas dasar itu, penerapannya keputusan tertentu untuk memperbaiki proses pendidikan.

Tujuan pelajaran:

Tutorial: untuk membentuk pengetahuan baru di antara siswa tentang konsep dasar, aturan, hukum untuk menentukan derajat dengan indikator rasional, kemampuan untuk secara mandiri menerapkan pengetahuan dalam kondisi standar, dalam kondisi yang berubah dan tidak standar;

mengembangkan: berpikir logis dan implementasikan keterampilan kreatif;

pendidik: mengembangkan minat dalam matematika kosakata istilah baru, dapatkan Informasi tambahan tentang dunia sekitar. Kembangkan kesabaran, ketekunan, kemampuan untuk mengatasi kesulitan.

Mengatur waktu

Memperbarui pengetahuan dasar

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan basis tetap sama:

Sebagai contoh,

2. Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi, dan basisnya tetap sama:

Sebagai contoh,

3. Saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponen dikalikan, dan basisnya tetap sama:

Sebagai contoh,

4. Derajat hasil kali sama dengan hasil kali pangkat faktor-faktornya:

Sebagai contoh,

5. Derajat hasil bagi sama dengan hasil bagi pangkat dari dividen dan pembagi:

Sebagai contoh,

Latihan Solusi

Temukan nilai ekspresi:

Keputusan:

PADA kasus ini dalam bentuk eksplisit, tidak ada sifat derajat dengan eksponen alami yang dapat diterapkan, karena semua derajat memiliki alasan yang berbeda. Mari kita menulis beberapa derajat dalam bentuk yang berbeda:

(derajat produk sama dengan produk derajat faktor);

(ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan basis tetap sama, saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponen dikalikan, tetapi basis tetap sama).

Kemudian kita mendapatkan:

PADA contoh ini empat sifat pertama dari derajat dengan eksponen alami digunakan.

Akar kuadrat aritmatika
- tidak bilangan negatif, yang perseginya adalahsebuah,
. Pada
- ekspresi
tidak ditentukan, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan bilangan negatifsebuah.

Dikte matematika(8-10 menit)

Pilihan

II. Pilihan

1. Temukan nilai dari ekspresi

sebuah)

b)

1. Temukan nilai dari ekspresi

sebuah)

b)

2. Hitung

sebuah)

b)

PADA)

2. Hitung

sebuah)

b)

di)

Tes mandiri(di papan kerah):

Matriks Respons:

№ pilihan/tugas

Tugas 1

Tugas 2

Pilihan 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

di)

pilihan 2

a) 1,5

b)

sebuah)

b)

jam 4

II.Pembentukan pengetahuan baru

Pertimbangkan arti dari ekspresi, di mana - nomor positif – bilangan pecahan dan m-integer, n-natural (n>1)

Definisi: derajat bilangan a›0 dengan pangkat rasionalr = , m-utuh, n- alami ( n1) suatu bilangan disebut.

Jadi:

Sebagai contoh:

Catatan:

1. Untuk sembarang a positif dan r rasional apa pun, bilangan secara positif.

2. Kapan
derajat rasional angkasebuahtidak terdefinisikan.

Ekspresi seperti
tidak masuk akal.

3.Jika bilangan positif pecahan
.

Jika sebuah pecahan bilangan negatif, maka -tidak masuk akal.

Sebagai contoh: - tidak masuk akal.

Pertimbangkan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional.

Misalkan a>0, >0; r, s - bilangan rasional apa pun. Kemudian gelar dengan eksponen rasional apa pun memiliki sifat-sifat berikut:

1.
2.
3.
4.
5.

AKU AKU AKU. Konsolidasi. Pembentukan keterampilan dan kemampuan baru.

Kartu tugas bekerja dalam kelompok kecil dalam bentuk tes.

MBOU "Sidorskaya

sekolah yang komprehensif»

Pengembangan rencana-garis besar buka pelajaran

dalam aljabar di kelas 11 dengan topik:

Disiapkan dan dilakukan

guru matematika

Iskhakova E.F.

Garis besar pelajaran terbuka dalam aljabar di kelas 11.

Subjek : "Gelar dengan eksponen rasional".

Jenis pelajaran : Mempelajari materi baru

Tujuan Pelajaran:

Untuk memperkenalkan siswa dengan konsep gelar dengan indikator rasional dan sifat-sifat utamanya, berdasarkan materi yang dipelajari sebelumnya (gelar dengan indikator bilangan bulat).

Kembangkan keterampilan komputasi dan kemampuan untuk mengubah dan membandingkan angka dengan eksponen rasional.

Untuk menumbuhkan literasi matematika dan minat matematika pada siswa.

Peralatan : Kartu tugas, presentasi siswa pada gelar dengan indikator bilangan bulat, presentasi guru pada gelar dengan indikator rasional, laptop, proyektor multimedia, layar.

Selama kelas:

Mengatur waktu.

Memeriksa asimilasi topik yang dicakup oleh kartu tugas individu.

Tugas nomor 1.

=2;

B) = x + 5;

Memecahkan sistem persamaan irasional: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tugas nomor 2.

Selesaikan persamaan irasional: = - 3;

B) = x - 2;

Memecahkan sistem persamaan irasional: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Presentasi topik dan tujuan pelajaran.

Topik pelajaran kita hari ini Derajat dengan eksponen rasional».

Penjelasan materi baru pada contoh yang dipelajari sebelumnya.

Anda sudah akrab dengan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siapa yang bisa membantu saya mengingatnya?

Pengulangan dengan Presentasi Derajat dengan eksponen bilangan bulat».

Untuk sembarang bilangan a , b dan sembarang bilangan bulat m dan n persamaan adalah benar:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b 0 );

a1 = a; a 0 = 1(a 0)

Hari ini kita akan menggeneralisasi konsep derajat suatu bilangan dan memberikan makna pada ekspresi yang memiliki eksponen pecahan. Mari kita perkenalkan definisi derajat dengan indikator rasional (Presentasi "Gelar dengan indikator rasional"):

derajat > 0 dengan eksponen rasional r = , di mana m adalah bilangan bulat, dan n - alami ( n > 1), disebut nomor m .

Jadi, menurut definisi, kita mendapatkan itu = m .

Mari kita coba menerapkan definisi ini saat melakukan tugas.

CONTOH 1

I Ekspresikan sebagai akar angka ekspresi:

TETAPI) B) PADA) .

Sekarang mari kita coba menerapkan definisi ini secara terbalik

II Nyatakan ekspresi sebagai kekuatan dengan eksponen rasional:

TETAPI) 2 B) PADA) 5 .

Kekuatan 0 hanya didefinisikan untuk eksponen positif.

0 r= 0 untuk sembarang r> 0.

Menggunakan definisi ini, Rumah Anda akan menyelesaikan #428 dan #429.

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa definisi di atas derajat dengan eksponen rasional mempertahankan sifat dasar derajat yang benar untuk setiap eksponen.

Untuk setiap bilangan rasional r dan s dan setiap positif a dan b, persamaannya adalah benar:

1 0 . sebuah r sebuah s =a r+s ;

CONTOH: *

20 . a r: a s =a r-s ;

CONTOH: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

CONTOH: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = sebuah r b r ; 5 0 . ( = .

CONTOH: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

CONTOH pada penggunaan beberapa properti sekaligus: * : .

Fizkultminutka.

Kami meletakkan pena di atas meja, meluruskan punggung, dan sekarang kami menjangkau ke depan, kami ingin menyentuh papan. Dan sekarang kami mengangkat dan bersandar ke kanan, ke kiri, ke depan, ke belakang. Mereka menunjukkan pena, dan sekarang menunjukkan bagaimana jari-jari Anda bisa menari.

Kerjakan materinya

Kami mencatat dua sifat kekuatan dengan eksponen rasional:

60 . Biarlah r- bilangan rasional dan 0< a < b . Тогда

sebuah r < b r pada r> 0,

sebuah r < b r pada r< 0.

7 0 . Untuk sembarang bilangan rasionalr dan s dari ketidaksetaraan r> s mengikuti itu

sebuah r> a r untuk > 1,

sebuah r < а r pada 0< а < 1.

CONTOH: Bandingkan angka:

Dan ; 2 300 dan 3 200 .

Ringkasan pelajaran:

Hari ini dalam pelajaran kita mengingat sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, mempelajari definisi dan sifat dasar derajat dengan eksponen rasional, mempertimbangkan penerapan ini bahan teoretis dalam latihan selama latihan. Saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta bahwa topik "Gelar dengan indikator rasional" adalah wajib di GUNAKAN tugas. Dalam persiapan pekerjaan rumah ( Nomor 428 dan Nomor 429

Pelajaran video "Gelar dengan indikator rasional" berisi visual bahan pendidikan untuk mengajar tentang topik ini. Pelajaran video berisi informasi tentang konsep gelar dengan eksponen rasional, sifat-sifat, derajat tersebut, serta contoh yang menggambarkan penggunaan materi pendidikan untuk memecahkan masalah praktis. Tugas video pembelajaran ini adalah menyajikan materi pendidikan dengan jelas dan jelas, memfasilitasi pengembangan dan penghafalannya oleh siswa, membentuk kemampuan memecahkan masalah dengan menggunakan konsep yang dipelajari.

Keuntungan utama dari video pelajaran adalah kemampuan untuk membuat transformasi visual dan perhitungan, kemampuan untuk menggunakan efek animasi untuk meningkatkan efisiensi belajar. Panduan suara membantu mengembangkan yang benar pidato matematika, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, membebaskannya untuk pekerjaan individu.

Video tutorial dimulai dengan memperkenalkan topik. Menghubungkan studi topik baru dengan materi yang dipelajari sebelumnya, disarankan untuk mengingat bahwa n a dinyatakan dengan a 1/n untuk n alam dan a positif. Representasi ini akar n-power ditampilkan di layar. Selanjutnya, diusulkan untuk mempertimbangkan apa arti ekspresi a m / n, di mana a adalah bilangan positif, dan m / n adalah beberapa pecahan. Definisi derajat yang disorot dalam kotak diberikan dengan eksponen rasional sebagai a m/n = n a m . Dicatat bahwa n dapat bilangan asli, dan m adalah bilangan bulat.

Setelah menentukan derajat dengan pangkat rasional, artinya diungkapkan dengan contoh: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 . Sebuah contoh juga ditunjukkan di mana derajat diwakili oleh desimal, diubah menjadi pecahan direpresentasikan sebagai akar: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 (1/7) 17 dan contoh c nilai negatif derajat: 3 -1/8 \u003d 8 3 -1.

Secara terpisah, fitur dari kasus tertentu ditunjukkan ketika basis derajat adalah nol. Perlu dicatat bahwa derajat ini masuk akal hanya dengan eksponen pecahan positif. Dalam hal ini, nilainya sama dengan nol: 0 m/n =0.

Fitur lain dari derajat dengan eksponen rasional dicatat - bahwa derajat dengan eksponen pecahan tidak dapat dianggap dengan eksponen pecahan. Contoh notasi derajat yang salah diberikan: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Selanjutnya dalam pelajaran video, sifat-sifat gelar dengan eksponen rasional dipertimbangkan. Perlu dicatat bahwa sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat juga akan berlaku untuk derajat dengan eksponen rasional. Diusulkan untuk mengingat daftar properti yang juga valid dalam kasus ini:

1. Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya ditambahkan: a p a q \u003d a p + q.
2. Pembagian derajat dengan basis yang sama direduksi menjadi derajat dengan basis tertentu dan perbedaan eksponen: a p:a q =a p-q .
3. Jika kita menaikkan pangkat ke pangkat tertentu, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan pangkat dengan basis yang diberikan dan produk dari eksponen: (a p) q =a pq .

Semua sifat ini berlaku untuk pangkat dengan eksponen rasional p, q dan basis positif a>0. Juga, transformasi derajat tetap benar saat membuka tanda kurung:

1. (ab) p =a p b p - menaikkan produk dua bilangan ke pangkat tertentu dengan eksponen rasional direduksi menjadi produk bilangan, yang masing-masing dipangkatkan.
2. (a/b) p =a p /b p - pangkat dengan pangkat rasional dari suatu pecahan direduksi menjadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya dipangkatkan.

Video tutorial membahas solusi dari contoh-contoh yang menggunakan sifat-sifat yang dipertimbangkan dari derajat dengan eksponen rasional. Contoh pertama mengusulkan untuk menemukan nilai ekspresi yang berisi variabel x di derajat pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Terlepas dari kompleksitas ekspresi, menggunakan sifat derajat, itu diselesaikan dengan cukup sederhana. Penyelesaian tugas dimulai dengan penyederhanaan ekspresi, yang menggunakan aturan menaikkan derajat dengan pangkat rasional, serta mengalikan derajat dengan dasar yang sama. Setelah substitusi tetapkan nilai x=8 menjadi ekspresi sederhana x 1/3 +48, ​​mudah untuk mendapatkan nilai - 50.

Pada contoh kedua, diperlukan untuk mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung pangkat dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita memilih faktor x 1/3 dari selisihnya, yang kemudian dikurangi pembilang dan penyebutnya, dan menggunakan rumus selisih kuadrat, pembilangnya didekomposisi menjadi faktor-faktor, yang memberikan lebih banyak pengurangan dari faktor pembilang dan penyebutnya sama. Hasil dari transformasi tersebut adalah pecahan pendek x 1/4 +3.

Pelajaran video "Gelar dengan indikator rasional" dapat digunakan sebagai pengganti guru yang menjelaskan topik pelajaran yang baru. Juga panduan ini mengandung cukup informasi lengkap untuk Belajar sendiri murid. Materi dapat berguna dalam pembelajaran jarak jauh.