pengantar

1. Bagian teoretis

1.1 Konsep dan definisi dasar

1.3 rumus Cardano

2. Pemecahan masalah

Kesimpulan

pengantar

Persamaan. Dapat dikatakan dengan pasti bahwa tidak ada satu orang pun yang tidak mengenal mereka. Sejak usia dini, anak-anak mulai memecahkan "masalah dengan X". Lebih-lebih lagi. Benar, bagi banyak orang, kenalan dengan persamaan berakhir dengan urusan sekolah. Courant matematikawan terkenal Jerman menulis: “Selama lebih dari dua ribu tahun, kepemilikan beberapa, tidak terlalu dangkal, pengetahuan di bidang matematika adalah suatu keharusan. bagian yang tidak terpisahkan dalam inventaris intelektual masing-masing orang terpelajar". Dan di antara pengetahuan ini adalah kemampuan untuk memecahkan persamaan.

Sudah di zaman kuno, orang-orang menyadari betapa pentingnya mempelajari cara menyelesaikan persamaan aljabar bentuk

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

lagi pula, sangat banyak dan sangat beragam pertanyaan tentang praktik dan ilmu pengetahuan alam direduksi menjadi mereka (tentu saja, di sini kita dapat langsung berasumsi bahwa a0 ¹ 0, karena jika tidak, derajat persamaan sebenarnya bukan n, tetapi kurang). Banyak, tentu saja, datang dengan ide yang menggoda untuk menemukan formula untuk kekuatan n apa pun yang akan mengungkapkan akar persamaan dalam hal koefisiennya, yaitu, akan menyelesaikan persamaan dalam radikal. Namun, "Abad Pertengahan yang suram" ternyata sesuram mungkin sehubungan dengan masalah yang sedang dibahas - selama tujuh abad penuh tidak ada yang menemukan formula yang diperlukan! Hanya pada abad ke-16, ahli matematika Italia berhasil bergerak lebih jauh - untuk menemukan formula untuk n \u003d 3 dan 4. Sejarah penemuan mereka dan bahkan kepenulisan formula yang ditemukan agak tidak jelas hingga hari ini, dan kami tidak akan mengetahuinya di sini hubungan yang rumit antara Ferro, Cardano, Tartaglia dan Ferrari, tapi mari kita lebih baik esensi matematika urusan.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mengeksplorasi berbagai metode untuk memecahkan persamaan derajat ketiga.

Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk melakukan sejumlah tugas:

-Analisis literatur ilmiah;

-Analisis buku teks sekolah;

-Pemilihan contoh untuk solusi;

-Solusi persamaan dengan berbagai metode.

Karya tersebut terdiri dari dua bagian. Yang pertama berkaitan dengan berbagai metode untuk memecahkan persamaan. Bagian kedua dikhususkan untuk memecahkan persamaan cara yang berbeda.

1. Bagian teoretis

1 Konsep dan definisi dasar

Persamaan kubik adalah persamaan derajat ketiga yang bentuknya:

Bilangan x yang mengubah persamaan menjadi identitas disebut akar atau solusi persamaan. Ini juga merupakan akar dari polinomial derajat ketiga, yang berada di sisi kiri notasi kanonik.

Di bidang bilangan kompleks, menurut teorema dasar aljabar, persamaan kubik selalu memiliki 3 akar (dengan mempertimbangkan multiplisitas).

Karena setiap polinomial nyata bukan derajat genap memiliki setidaknya satu akar real, semua kemungkinan kasus komposisi akar persamaan kubik habis oleh tiga yang dijelaskan di bawah ini. Kasus-kasus ini mudah dibedakan menggunakan diskriminan

Jadi hanya ada tiga kemungkinan kasus:

Jika sebuah? > 0, maka persamaan tersebut memiliki tiga akar real yang berbeda.

Jika sebuah?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Jika sebuah? = 0, maka setidaknya dua akar bertepatan. Ini bisa terjadi jika persamaan memiliki akar real ganda dan akar real lain yang berbeda darinya; atau, ketiga akarnya berhimpitan, membentuk akar multiplisitas 3. Resultan dari persamaan kubik dan turunan keduanya membantu memisahkan dua kasus ini: polinomial memiliki akar multiplisitas 3 jika dan hanya jika resultan yang ditunjukkan juga nol.

Akar persamaan kubik berhubungan dengan koefisien sebagai berikut:

1.2 Metode untuk menyelesaikan persamaan kubik

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kubik adalah metode enumerasi.

Pertama, dengan enumerasi, kami menemukan salah satu akar persamaan. Faktanya adalah bahwa persamaan kubik selalu punya paling sedikit satu akar asli, dan akar bilangan bulat dari persamaan kubik dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari suku bebas d. Koefisien dari persamaan ini biasanya dipilih sehingga akar yang diinginkan terletak di antara bilangan bulat kecil, seperti: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Oleh karena itu, kita akan mencari akar di antara bilangan-bilangan ini dan memeriksanya dengan mensubstitusikannya ke persamaan. Tingkat keberhasilan dengan pendekatan ini sangat tinggi. Mari kita asumsikan akar ini.

Tahap kedua dari penyelesaian adalah pembagian polinomial dengan binomial x - x1. Menurut teorema Bezout, pembagian tanpa sisa ini dimungkinkan, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan polinomial derajat kedua, yang harus disamakan dengan nol. Dengan memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan, kita akan menemukan (atau tidak) dua akar yang tersisa.

Solusi persamaan kubik dua suku

Persamaan kubik dua suku memiliki bentuk (2)

Persamaan ini direduksi menjadi bentuk dengan membaginya dengan koefisien bukan nol A. Selanjutnya, rumus untuk perkalian singkat dari jumlah kubus diterapkan:

Dari kurung pertama kita temukan, dan trinomial persegi hanya memiliki akar kompleks.

persamaan kubik berulang

Persamaan kubik timbal balik memiliki bentuk dan koefisien B.

Mari kita kelompok:

Jelas, x=-1 adalah akar dari persamaan tersebut, dan akar dari trinomial kuadrat yang dihasilkan mudah ditemukan melalui diskriminan.

1.3 rumus Cardano

PADA kasus umum, akar persamaan kubik ditemukan dengan rumus Cardano.

Untuk persamaan kubik (1), nilainya ditemukan menggunakan substitusi: x= (2), dan persamaan direduksi menjadi bentuk:

persamaan kubik tidak lengkap di mana tidak akan ada istilah yang mengandung derajat kedua.

Kami berasumsi bahwa persamaan memiliki koefisien bilangan kompleks. Persamaan ini akan selalu memiliki akar kompleks.

Mari kita tunjukkan salah satu akar ini: . Kami memperkenalkan u tambahan yang tidak diketahui dan mempertimbangkan polinomial f(u)=.

Mari kita tunjukkan akar polinomial ini melalui? dan?, menurut teorema Viette (lihat hal. 8):

Substitusi ke persamaan (3), ekspresi (4), kita peroleh:

Dari sisi lain (5): (7)

Maka dari sini, yaitu dari rumus (6), (7), bahwa bilangan-bilangan itu adalah akar-akar persamaan:

Dari persamaan terakhir:

Dua akar lainnya ditemukan dengan rumus:

1.4 rumus trigonometri Vieta

Rumus ini menemukan solusi untuk persamaan kubik tereduksi, yaitu persamaan bentuk

Jelas, setiap persamaan kubik dapat direduksi menjadi persamaan bentuk (4) hanya dengan membaginya dengan koefisien a. Jadi, algoritma untuk menerapkan rumus ini:

Menghitung

2. Hitung

3. a) Jika, maka hitunglah

Dan persamaan kita memiliki 3 akar (nyata):

b) Jika, maka ganti fungsi trigonometri hiperbolis.

Menghitung

Maka satu-satunya root (nyata):

Akar imajiner:

C) Jika, maka persamaan memiliki kurang dari tiga berbagai solusi:

2. Pemecahan masalah

Contoh 1. Temukan akar real dari persamaan kubik

Kami menerapkan rumus untuk perkalian singkat dari selisih kubus:

Dari kurung pertama kita temukan bahwa trinomial bujur sangkar pada kurung kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Persamaan ini adalah timbal balik. Mari kita kelompok:

adalah akar persamaan. Menemukan akar-akar trinomial persegi

Contoh 3. Temukan akar persamaan kubik

Mari kita ubah persamaan menjadi persamaan yang dikurangi: kalikan dengan kedua bagian dan buat perubahan variabel.

Anggota gratisnya adalah 36. Mari kita tuliskan semua pembaginya:

Kami menggantinya secara bergantian menjadi kesetaraan sampai kami mendapatkan identitas:

Jadi, adalah akarnya. Ini cocok

Bagilah dengan menggunakan skema Horner.

Koefisien polinomial2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Kita mendapatkan

Mari kita cari akar-akar trinomial kuadrat:

Jelas, yaitu, akar gandanya adalah.

Contoh 4. Temukan akar real dari persamaan

adalah akar persamaan. Temukan akar-akar trinomial persegi.

Sejak diskriminan kurang dari nol, maka trinomial tidak memiliki akar real.

Contoh 5. Temukan akar persamaan kubik 2.

Karena itu,

Kita substitusikan ke dalam rumus Cardano:

mengambil tiga nilai. Mari kita tuliskan.

Kapan kita punya

Kapan kita punya

Kapan kita punya

Mari kita pecahkan nilai-nilai ini menjadi pasangan, yang diberikan dalam produk

Pasangan nilai pertama dan

Pasangan kedua nilai dan

Pasangan ketiga nilai dan

Kembali ke rumus Cardano

Dengan demikian,

Kesimpulan

persamaan trinomial kubik

Akibat eksekusi makalah berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan derajat ketiga diselidiki, seperti metode pencacahan, rumus Carano, rumus Vieta, metode untuk menyelesaikan persamaan dua suku timbal balik.

Daftar sumber yang digunakan

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Universitas Teknik", M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Aljabar dan awal dari analisis. Panduan belajar untuk kelas 9 sekolah menengah atas, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematika: tutorial/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380-an.

Bimbingan Belajar

Butuh bantuan untuk mempelajari suatu topik?

Pakar kami akan memberi saran atau memberikan layanan bimbingan belajar tentang topik yang Anda minati.
Kirim lamaran menunjukkan topik sekarang untuk mencari tahu tentang kemungkinan mendapatkan konsultasi.

Pelajari cara menyelesaikan persamaan kubik. Kasus ketika satu akar diketahui dipertimbangkan. Metode untuk menemukan bilangan bulat dan akar rasional. Penerapan rumus Cardano dan Vieta untuk menyelesaikan persamaan kubik apa pun.

Di sini kami mempertimbangkan solusi persamaan kubik bentuk
(1) .
Selanjutnya, kami berasumsi bahwa ini adalah bilangan asli.

(2) ,
kemudian membaginya dengan , kita memperoleh persamaan bentuk (1) dengan koefisien
.

Persamaan (1) memiliki tiga akar: , dan . Salah satu akar selalu nyata. Kami menyatakan akar nyata sebagai . Akar dan dapat berupa konjugat nyata atau kompleks. Akar nyata bisa banyak. Misalnya, jika , maka dan adalah akar ganda (atau akar multiplisitas 2), dan merupakan akar sederhana.

Jika hanya satu akar yang diketahui

Beri tahu kami satu akar persamaan kubik (1). Menunjukkan akar yang diketahui sebagai . Kemudian membagi persamaan (1) dengan , kita memperoleh persamaan kuadrat. Memecahkan persamaan kuadrat, kami menemukan dua akar lagi dan .

Untuk pembuktiannya, kita menggunakan fakta bahwa polinomial kubik dapat direpresentasikan sebagai:
.
Kemudian, membagi (1) dengan , kita memperoleh persamaan kuadrat.

Contoh pembagian polinomial disajikan di halaman
“Pembagian dan perkalian polinomial dengan polinomial dengan sudut dan kolom”.
Solusi persamaan kuadrat dipertimbangkan di halaman
"Akar-akar persamaan kuadrat".

Jika salah satu akarnya adalah

Jika persamaan awalnya adalah:
(2) ,
dan koefisiennya , , , adalah bilangan bulat, maka Anda dapat mencoba mencari akar bilangan bulat. Jika persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka itu adalah pembagi koefisien. Metode pencarian akar bilangan bulat adalah kita menemukan semua pembagi suatu bilangan dan memeriksa apakah persamaan (2) berlaku untuk mereka. Jika persamaan (2) terpenuhi, maka kita telah menemukan akarnya. Mari kita nyatakan sebagai . Selanjutnya, kita bagi persamaan (2) dengan . Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Memecahkannya, kami menemukan dua akar lagi.

Contoh mendefinisikan akar bilangan bulat diberikan pada halaman
Contoh faktorisasi polinomial > > > .

Menemukan Akar Rasional

Jika dalam persamaan (2) , , , adalah bilangan bulat, dan , dan tidak ada akar bilangan bulat, maka Anda dapat mencoba mencari akar rasional, yaitu, akar bentuk , di mana dan adalah bilangan bulat.

Untuk melakukan ini, kita mengalikan persamaan (2) dengan dan membuat substitusi:
;
(3) .
Selanjutnya, kita mencari akar bilangan bulat dari persamaan (3) di antara pembagi dari suku bebas.

Jika kita telah menemukan akar bilangan bulat dari persamaan (3), maka, kembali ke variabel , kita memperoleh akar rasional persamaan (2):
.

Rumus Cardano dan Vieta untuk menyelesaikan persamaan kubik

Jika kita tidak mengetahui akar tunggal, dan tidak ada akar bilangan bulat, maka kita dapat mencari akar-akar persamaan kubik menggunakan rumus Cardano.

Perhatikan persamaan kubik:
(1) .
Mari kita lakukan substitusi:
.
Setelah itu, persamaan direduksi menjadi bentuk yang tidak lengkap atau tereduksi:
(4) ,
di mana
(5) ; .

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk ilmuwan dan insinyur, 2012.

Persamaan Kubik - persamaan aljabar derajat ketiga. Gambaran umum persamaan kubik: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 0

Mengganti x dalam persamaan ini dengan y baru yang tidak diketahui terkait dengan x dengan persamaan x \u003d y - (b / 3a), persamaan kubik dapat direduksi menjadi bentuk (kanonik) yang lebih sederhana: y3 + pу + q \u003d 0, di mana p \u003d - b2 + c , q = 2b – bc + d

3a2 a 27a3 3a2 a solusi persamaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan rumus Cardano.

1.1 Sejarah persamaan kubik

Istilah "persamaan kubik" diperkenalkan oleh R. Descartes (1619) dan W. Outred (1631).

Upaya pertama untuk menemukan solusi untuk masalah yang mengurangi persamaan kubik dilakukan oleh matematikawan kuno (misalnya, masalah menggandakan kubus dan membagi tiga sudut).

Para matematikawan Abad Pertengahan di Timur menciptakan cukup teori yang dikembangkan(di bentuk geometris) persamaan kubik; itu dijelaskan secara paling rinci dalam risalah tentang bukti masalah aljabar dan almukabala "Omar Haya" (sekitar 1070), di mana pertanyaan tentang menemukan akar positif 14 jenis persamaan kubik yang hanya berisi suku-suku dengan koefisien positif di kedua bagian.

Untuk pertama kalinya di Eropa bentuk trigonometri solusi untuk satu kasus persamaan kubik diberikan oleh Viet (1953).

Solusi pertama dalam radikal dari salah satu jenis persamaan kubik ditemukan oleh S. Ferro (sekitar tahun 1515), tetapi tidak dipublikasikan. Penemuan ini diulang secara independen oleh Tartaglia (1535), menunjukkan aturan untuk memecahkan dua jenis persamaan kubik lainnya. Penemuan-penemuan ini diterbitkan pada tahun 1545 oleh G. Cardano, yang menyebutkan kepenulisan N. Tartaglia.

Pada akhir abad XV. Profesor Matematika di Universitas Roma dan Milan Luca Pacioli dalam bukunya yang terkenal "Jumlah pengetahuan dalam aritmatika, geometri, hubungan dan proporsionalitas" masalah menemukan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik, ia menyamakannya dengan masalah mengkuadratkan lingkaran. Namun, melalui upaya aljabar Italia, metode seperti itu segera ditemukan.

Mari kita mulai dengan penyederhanaan

Jika persamaan kubik pandangan umum ax3 + bx2 + cx + d = 0, dimana a 0, dibagi dengan a, maka koefisien pada x3 menjadi sama dengan 1. Oleh karena itu, selanjutnya kita akan melanjutkan dari persamaan x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)

Sama seperti inti dari solusi persamaan kuadrat terletak rumus kuadrat jumlah, solusi persamaan kubik didasarkan pada rumus pangkat tiga jumlah:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Agar tidak bingung dengan koefisien, di sini kita mengganti a dengan x dan mengatur ulang istilah:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

Kita melihat bahwa dengan cara b yang tepat, yaitu dengan mengambil b = P/3, kita dapat mencapainya bagian kanan rumus ini akan berbeda dari ruas kiri persamaan x3 + Px2 + Qx + R = 0 hanya dengan koefisien pada x dan suku bebasnya. Kami menambahkan persamaan x3 + Px2 + Qx + R = 0 dan (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 dan memberikan persamaan yang serupa:

(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.

Jika kita membuat perubahan di sini y = x + b, kita mendapatkan persamaan kubik untuk y tanpa suku dengan y2: y3 + py + q = 0.

Jadi, kami telah menunjukkan bahwa dalam persamaan kubik x3 + Px2 + Qx + R = 0, dengan menggunakan substitusi yang sesuai, Anda dapat menyingkirkan suku yang mengandung kuadrat dari yang tidak diketahui. Oleh karena itu, sekarang kita akan menyelesaikan persamaan berbentuk x3 + px + q = 0. (3)

1.2 Sejarah formula Cardano

Rumus Cardano dinamai J. Cardano, yang pertama kali menerbitkannya pada tahun 1545.

Penulis rumus ini adalah Niccolò Tartaglia. Dia menciptakan solusi ini pada tahun 1535 khusus untuk berpartisipasi dalam kompetisi matematika, di mana, tentu saja, dia menang. Tartaglia, memberikan rumus (dalam bentuk puisi) Cardano, disajikan hanya bagian dari solusi persamaan kubik di mana akarnya memiliki satu nilai (nyata).

Hasil Cardano dalam rumus ini mengacu pada pertimbangan apa yang disebut kasus yang tidak dapat direduksi, di mana persamaan memiliki tiga nilai (nilai riil, pada masa itu tidak ada bilangan imajiner atau bahkan negatif, meskipun ada upaya dalam hal ini). arah). Namun, bertentangan dengan fakta bahwa Cardano menunjukkan dalam publikasinya kepenulisan Tartaglia, formula itu disebut dengan nama Cardano.

1. 3 Formula Cardano

Sekarang mari kita lihat kembali rumus jumlah kubus, tetapi tuliskan secara berbeda:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Bandingkan entri ini dengan persamaan x3 + px + q = 0 dan coba buat hubungan di antara keduanya. Substitusi ke rumus kita x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, atau x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

Sekarang sudah jelas: untuk mencari akar persamaan x3 + px + q = 0, cukup dengan menyelesaikan sistem persamaan a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, atau

3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,

3 dan ambil sebagai x jumlah dari a dan b. Dengan mengubah u = a3, v = b3 sistem ini direduksi menjadi sepenuhnya pemandangan biasa: dan + v = - q, dan v = - p 3.

Kemudian Anda dapat bertindak dengan cara yang berbeda, tetapi semua "jalan" akan mengarah ke persamaan kuadrat yang sama. Misalnya, menurut teorema Vieta, jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien di x dengan tanda minus, dan hasil kali sama dengan suku bebas. Ini menyiratkan bahwa dan dan v adalah akar-akar persamaan t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Mari kita tuliskan akar-akar ini: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Variabel a dan b sama dengan akar pangkat tiga dari t1 dan t2, dan solusi yang diinginkan dari persamaan kubik x3 + px + q = 0 adalah jumlah dari akar-akar ini: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .

Rumus ini dikenal sebagai rumus Cardano.

Menyelesaikan Persamaan

Sebelum melihat rumus Cardano dalam pekerjaan, mari kita jelaskan cara mencari akar lainnya, jika ada, dari satu akar persamaan kubik x3 + px + q = 0.

Diketahui bahwa persamaan kita memiliki akar h. Kemudian ruas kirinya dapat didekomposisi menjadi linier dan pengganda persegi. Ini dilakukan dengan sangat sederhana. Kami mengganti ekspresi suku bebas melalui akar q \u003d - h3 - ph ke dalam persamaan dan menggunakan rumus untuk selisih kubus:

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).

Sekarang Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat x2 + hx + h2 + p = 0 dan menemukan sisa akar persamaan kubik ini.

Jadi, kami bersenjata lengkap dan, tampaknya, kami dapat mengatasi persamaan kubik apa pun. Mari kita coba tangan kita.

1. Mari kita mulai dengan persamaan x3 + 6x - 2 = 0

Kami mengganti p = 6 dan q = -2 ke dalam rumus Cardano dan setelah pengurangan sederhana kami mendapatkan jawabannya: x = 3√4 - 3√2. Nah, formulanya cukup bagus. Hanya prospek mengambil faktor x - (3√4 - 3√2) dari sisi kiri persamaan dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang tersisa dengan koefisien "mengerikan" untuk menghitung akar lainnya tidak terlalu menginspirasi. Namun, melihat persamaan lebih dekat, kita dapat menenangkan diri: fungsi di sisi kiri meningkat secara ketat dan karena itu hanya dapat menghilang satu kali. Ini berarti bahwa angka yang ditemukan adalah satu-satunya akar nyata dari persamaan.

y y \u003d x3 + 6x - 2

3√4 – 3√2 x

Beras. 1 Grafik fungsi y \u003d x3 + 6x - 2 melintasi sumbu x pada satu titik - 3√4 - 3√2.

2. Contoh berikutnya- persamaan x3 + 3x - 4 = 0.

Rumus Cardano memberikan x = 3 2 + 5 + 3 2 - 5.

Seperti pada contoh sebelumnya, kita melihat bahwa akar ini unik. Tetapi Anda tidak perlu terlalu berwawasan luas untuk melihat persamaan dan menebak akarnya: x = 1. Kita harus mengakui bahwa rumus memberikan satuan biasa dalam bentuk yang begitu aneh. Ngomong-ngomong, untuk menyederhanakan hal yang rumit ini tapi bukan tanpa ekspresi elegan transformasi aljabar gagal - irasionalitas kubik di dalamnya tidak dapat dihindari.

3. Nah, sekarang mari kita ambil persamaan yang jelas-jelas memiliki tiga akar real. Membuatnya mudah - cukup kalikan tiga tanda kurung berbentuk x - b. Anda hanya perlu berhati-hati bahwa jumlah akarnya sama dengan nol, karena, menurut teorema umum Vieta, itu berbeda dari koefisien di x2 hanya dalam tanda. Himpunan paling sederhana dari akar tersebut adalah 0, 1, dan -1.

Mari kita terapkan rumus Cardano ke persamaan x (x - 1) (x + 1) = 0, atau x3 - x = 0.

Dengan asumsi p = -1 dan q = 0 di dalamnya, kita mendapatkan x = 3 - 1/27 + 3 - - 1/27.

y y \u003d x (x - 1) (x + 1)

Beras. 2 Persamaan x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 memiliki tiga akar real: -1, 0 dan 1. Dengan demikian, grafik fungsi y \u003d x (x - 1) (x + 1) memotong sumbu x di tiga titik.

muncul di bawah tanda akar kuadrat bilangan negatif. Ini juga terjadi ketika memecahkan persamaan kuadrat. Tetapi persamaan kuadrat dalam hal ini tidak memiliki akar real, sedangkan persamaan kubik memiliki tiga akar!

Analisis lebih dekat menunjukkan bahwa kita tidak jatuh ke dalam perangkap ini secara kebetulan. Persamaan x3 + px + q = 0 memiliki tiga akar real jika dan hanya jika ekspresi = (q/2)2 + (p/3)3 di bawah akar pangkat dua dalam rumus Cardano adalah negatif. Jika > 0, maka ada satu akar real (Gbr. 3b), dan jika = 0, maka ada dua (salah satunya ganda), kecuali untuk kasus p = q = 0, ketika ketiganya akar menyatu.

y 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)

Beras. 3 Persamaan kubik x3 + px + q = 0 dapat direpresentasikan sebagai x3 = -px - q. Ini menunjukkan bahwa akar persamaan akan sesuai dengan absis titik potong kedua grafik: y \u003d x3 dan y \u003d -px - q. Jika 0 adalah satu.

1.4 teorema Vieta

teorema Vieta. Jika bilangan bulat persamaan rasional derajat n direduksi menjadi bentuk standar, memiliki n akar real berbeda x1, x2,. xn, maka memenuhi persamaan: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.

Untuk akar-akar persamaan derajat ketiga a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, dimana a0 0, persamaan x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 valid.

1. 5 Teorema Bezout. Skema Horner

Penyelesaian persamaan berkaitan erat dengan faktorisasi polinomial. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, segala sesuatu yang berhubungan dengan pemilihan dalam polinomial itu penting faktor linier, yaitu, dengan pembagian polinomial A(x) dengan binomial x - . Dasar dari banyak pengetahuan tentang pembagian polinomial A(x) oleh binomial x - adalah teorema milik matematikawan Prancis Etienne Bez (1730-1783) dan menyandang namanya.

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial A (x) dengan binomial x - sama dengan A (α) (yaitu, nilai polinomial A (x) pada x = ).

Temukan sisanya setelah membagi polinomial A(x) = x4 - 6x3 + 8 dengan x + 2.

Keputusan. Menurut teorema Bezout, sisa pembagian dengan x + 2 adalah A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.

Cara mudah untuk menemukan nilai polinomial ketika tetapkan nilai Variabel x diperkenalkan oleh matematikawan Inggris Williams George Horner (1786-1837). Metode ini kemudian disebut skema Horner. Ini terdiri dalam mengisi beberapa tabel dari dua baris. Misalnya, untuk menghitung A(-2) pada contoh sebelumnya, di baris atas tabel kami mencantumkan koefisien diberikan polinomial, ditulis dalam bentuk standar x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.

Kami menduplikasi koefisien pada tingkat tertinggi di garis bawah, dan sebelum itu kami menulis nilai variabel x = -2, di mana nilai polinomial dihitung. Ini menghasilkan tabel berikut:

Sel-sel kosong dari tabel diisi sesuai dengan aturan berikut: angka paling kanan dari baris bawah dikalikan dengan -2 dan ditambahkan ke angka di atas sel kosong. Menurut aturan ini, sel kosong pertama berisi angka (-2) 1 + (-6) = -8, sel kedua berisi angka (-2) (-8) + 0 = 16, sel ketiga berisi bilangan (- 2) 16 + 0 = - 32, in kandang terakhir- nomor (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Tabel yang terisi penuh sesuai dengan skema Horner terlihat seperti ini:

2 1 -8 16 -32 72

Angka pada sel terakhir adalah sisa pembagian polinomial dengan x + 2, A(-2) = 72.

Faktanya, dari tabel yang dihasilkan, diisi sesuai dengan skema Horner, seseorang tidak hanya dapat menuliskan sisanya, tetapi juga hasil bagi yang tidak lengkap.

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, karena angka pada baris kedua (tidak termasuk dari yang terakhir) adalah koefisien polinomial Q (x) - hasil bagi tidak lengkap dari pembagian dengan x + 2.

Selesaikan persamaan x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

Kami menulis semua pembagi dari suku bebas persamaan: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x=1, x=-2, x=3

Jawaban: x = 1, x = -2, x = 3

2. KESIMPULAN

Saya akan merumuskan kesimpulan utama tentang pekerjaan yang dilakukan.

Dalam proses kerja, saya berkenalan dengan sejarah perkembangan masalah penyelesaian persamaan tingkat ketiga. Signifikansi teoretis dari hasil yang diperoleh terletak pada kenyataan bahwa itu dengan sengaja menggantikan rumus Cardano dalam menyelesaikan beberapa persamaan derajat ketiga. Saya memastikan bahwa rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat ketiga ada, tetapi karena rumitnya, rumus ini tidak populer dan tidak terlalu andal, karena tidak selalu mencapai hasil akhir.

Di masa depan, kita dapat mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan seperti itu: bagaimana mengetahui terlebih dahulu apa akar persamaan derajat ketiga; dapatkah persamaan kubik diselesaikan? secara grafis jika mungkin, bagaimana; bagaimana memperkirakan kira-kira akar persamaan kubik?

tujuan pelajaran.

1. Untuk memperdalam pengetahuan siswa tentang topik "Memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi" dan merangkum materi pendidikan.
2. Untuk memperkenalkan siswa pada metode penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi.
3. Untuk mengajar siswa menerapkan teori pembagian ketika memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi.
4. Untuk mengajari siswa cara membagi polinomial menjadi polinomial dengan "sudut".
5. Kembangkan keterampilan dan kemampuan untuk bekerja dengan persamaan derajat yang lebih tinggi.

Mengembangkan:

1. Pengembangan perhatian siswa.
2. Pengembangan kemampuan untuk mencapai hasil kerja.
3. Pengembangan minat belajar aljabar dan keterampilan kerja mandiri.

Pengasuhan:

1. Menumbuhkan rasa kolektivisme.
2. Terbentuknya rasa tanggung jawab atas hasil kerja.
3. Formasi pada siswa harga diri yang memadai saat memilih tanda untuk pekerjaan dalam pelajaran.

Peralatan: komputer, proyektor.

Selama kelas

1 tahap pekerjaan. Mengatur waktu.

2 tahap pekerjaan. Motivasi dan pemecahan masalah

persamaan satu dari konsep yang paling penting matematika. Perkembangan metode penyelesaian persamaan dimulai dari lahirnya matematika sebagai ilmu pengetahuan, lama adalah subjek utama studi aljabar.

PADA kursus sekolah studi matematika banyak perhatian diberikan untuk memecahkan berbagai jenis persamaan. Sampai kelas sembilan, kami hanya bisa menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat. Persamaan ketiga, keempat, dst. derajat disebut persamaan derajat yang lebih tinggi. Di kelas sembilan, kami berkenalan dengan dua metode dasar untuk menyelesaikan beberapa persamaan derajat ketiga dan keempat: memfaktorkan polinomial menjadi faktor dan menggunakan perubahan variabel.

Apakah mungkin untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi? Kami akan mencoba menemukan jawaban untuk pertanyaan ini hari ini.

3 tahap pekerjaan. Mengulas materi yang telah dipelajari sebelumnya. Perkenalkan konsep persamaan derajat yang lebih tinggi.

1) Solusi persamaan linier.

Linear adalah persamaan bentuk , dimana menurut definisi. Persamaan ini hanya memiliki satu akar.

2) Solusi persamaan kuadrat.

persamaan bentuk , di mana . Jumlah akar dan akar itu sendiri ditentukan oleh diskriminan persamaan. Untuk persamaan tidak memiliki akar, untuk memiliki satu akar (dua akar identik)

, untuk memiliki dua akar yang berbeda .

Dari persamaan linier dan kuadrat yang dipertimbangkan, kita melihat bahwa jumlah akar persamaan tidak lebih dari derajatnya. Dalam aljabar yang lebih tinggi, terbukti bahwa persamaan derajat - memiliki tidak lebih dari n akar. Adapun akarnya sendiri, situasinya jauh lebih rumit. Untuk persamaan derajat ketiga dan keempat, rumus diketahui untuk mencari akar. Namun, formula ini sangat kompleks dan rumit dan aplikasi praktis tidak punya. Untuk persamaan derajat kelima dan yang lebih tinggi rumus umum tidak ada dan tidak mungkin ada (seperti yang dibuktikan pada abad ke-19 oleh N. Abel dan E. Galois).

Kami akan menyebut persamaan ketiga, keempat, dll. derajat dengan persamaan derajat yang lebih tinggi. Beberapa Persamaan derajat tinggi dapat diselesaikan dengan menggunakan dua teknik utama: memfaktorkan polinomial menjadi faktor atau menggunakan perubahan variabel.

3) Solusi persamaan kubik.

Selesaikan persamaan kubik

Kami mengelompokkan suku-suku polinomial di ruas kiri persamaan dan memfaktorkannya. Kita mendapatkan:

Hasil kali faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol. Kami mendapatkan tiga persamaan linier:

Jadi, persamaan kubik ini memiliki tiga akar: ; ;.

4) Solusi persamaan biquadratic.

Persamaan biquadratic sangat umum, yang memiliki bentuk (yaitu, persamaan yang kuadrat terhadap ). Untuk menyelesaikannya, variabel baru diperkenalkan.

Kami akan memutuskan persamaan biquadratic.

Mari kita perkenalkan variabel baru dan dapatkan persamaan kuadrat , yang akarnya adalah angka dan 4.

Mari kembali ke variabel lama dan dapatkan dua persamaan kuadrat sederhana:

(akar dan ) (akar dan )

Jadi, persamaan biquadratic ini memiliki empat akar:

; ;.

Mari kita coba selesaikan persamaan dengan menggunakan metode di atas.

GAGAL!!!

4 tahap pekerjaan. Berikan beberapa pernyataan tentang akar-akar polinomial berbentuk , dimana polinomial nth derajat

Berikut adalah beberapa pernyataan tentang akar polinomial dari bentuk:

1) Sebuah polinomial derajat th memiliki akar paling banyak (dengan mempertimbangkan multiplisitasnya). Misalnya, polinomial derajat ketiga tidak dapat memiliki empat akar.

2) Suatu polinomial berderajat ganjil memiliki paling sedikit satu akar. Misalnya polinomial pertama, ketiga, kelima, dst. derajat memiliki setidaknya satu akar. Polinomial derajat genap mungkin atau mungkin tidak memiliki akar.

3) Jika di ujung segmen nilai polinomial memiliki tanda yang berbeda (yaitu, ), maka interval tersebut mengandung setidaknya satu akar. Pernyataan ini banyak digunakan untuk perkiraan perhitungan akar polinomial.

4) Jika bilangan tersebut adalah akar dari polinomial berbentuk , maka polinomial ini dapat direpresentasikan sebagai produk , di mana polinomial (-derajat. Dengan kata lain, polinomial dari bentuk dapat dibagi tanpa sisa oleh binomial Hal ini memungkinkan persamaan derajat ke-th direduksi menjadi persamaan (derajat-ke-th (mengurangi derajat persamaan).

5) Jika persamaan dengan semua koefisien bilangan bulat (selain itu, suku bebasnya) memiliki akar bilangan bulat, maka akar ini adalah pembagi dari suku bebasnya. Pernyataan seperti itu memungkinkan Anda untuk memilih seluruh akar polinomial (jika ada).

5 tahap pekerjaan. Tunjukkan bagaimana teori keterbagian diterapkan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi. Pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi, di mana ruas kiri difaktorkan menggunakan metode membagi polinomial dengan polinomial dengan "sudut".

Contoh 1. Selesaikan persamaan .

Jika persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka itu adalah pembagi dari istilah bebas (-1), yaitu. sama dengan salah satu bilangan: . Pemeriksaan menunjukkan bahwa akar persamaan adalah angka -1. Oleh karena itu, polinomial dapat direpresentasikan sebagai produk, yaitu. polinomial dapat dibagi menjadi binomial tanpa sisa. Mari kita lakukan pembagian berikut dengan "sudut":

Jadi, kita sebenarnya telah menguraikan ruas kiri persamaan menjadi faktor-faktor:

Hasil kali faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol. Kami mendapatkan dua persamaan.

Persamaan kubik memiliki bentuk kapak 3 + bx 2 + cx + d= 0). Sebuah metode untuk memecahkan persamaan tersebut telah dikenal selama beberapa abad (ditemukan pada abad ke-16 oleh matematikawan Italia). Memecahkan beberapa persamaan kubik cukup sulit, tetapi dengan pendekatan yang tepat (dan tingkat yang baik pengetahuan teoretis) Anda akan dapat menyelesaikan persamaan kubik yang paling rumit sekalipun.

Langkah

Penyelesaian menggunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Seperti disebutkan di atas, persamaan kubik memiliki bentuk a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), dimana koefisien c (\gaya tampilan c) dan d (\gaya tampilan d) mungkin sama 0 (\gaya tampilan 0), yaitu, persamaan kubik hanya dapat terdiri dari satu suku (dengan variabel pada derajat ketiga). Pertama, periksa apakah persamaan kubik yang diberikan kepada Anda memiliki intersep, yaitu, d (\gaya tampilan d). Jika tidak ada suku bebas, Anda dapat menyelesaikan persamaan kubik ini menggunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

• Jika ada intersep, gunakan metode solusi yang berbeda (lihat bagian berikut).

1. Sejak di persamaan yang diberikan tidak ada istilah bebas, maka semua istilah persamaan ini mengandung variabel x (\gaya tampilan x), yang dapat dikurung: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Contoh. 3 x 3 + 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Jika Anda bertahan x (\gaya tampilan x) kurung, Anda mendapatkan x (3 x 2 + 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Perhatikan bahwa persamaan dalam kurung adalah persamaan kuadrat berbentuk ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus ((- b +/-√ (). Memecahkan persamaan kuadrat dan Anda akan memecahkan persamaan kubik.

   • Dalam contoh kita, substitusikan nilai koefisien a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b), c (\gaya tampilan c) (3 (\gaya tampilan 3), 2 (\displaystyle -2), 14 (\gaya tampilan 14)) ke dalam rumus: b ± b 2 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) (− 2) ± ((− 2) 2 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Solusi 1: 2 + 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • Solusi 2: 2 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. Ingatlah bahwa persamaan kuadrat memiliki dua solusi, sedangkan persamaan kubik memiliki tiga solusi. Anda telah menemukan dua solusi untuk kuadrat, dan karena itu persamaan kubik. Dalam kasus di mana Anda meletakkan "x" di luar tanda kurung, solusi ketiga selalu 0 (\gaya tampilan 0).

   • Ini benar karena angka atau ekspresi apa pun dikalikan dengan 0 (\gaya tampilan 0), sama dengan 0 (\gaya tampilan 0). Sejak kamu bertahan x (\gaya tampilan x) dari tanda kurung, maka Anda telah menguraikan persamaan kubik menjadi dua faktor ( x (\gaya tampilan x) dan persamaan kuadrat), salah satunya harus sama dengan 0 (\gaya tampilan 0) sehingga seluruh persamaan sama dengan 0 (\gaya tampilan 0).

   Menemukan seluruh solusi menggunakan faktorisasi

   1. Periksa apakah persamaan kubik yang diberikan kepada Anda memiliki intersep. Metode yang dijelaskan pada bagian sebelumnya tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kubik yang memiliki suku bebas. Dalam hal ini, Anda harus menggunakan metode yang dijelaskan di bagian ini atau selanjutnya.

      • Contoh. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Di sini, pindahkan kontol yang longgar d = 6 (\displaystyle d=-6) ke sisi kiri persamaan sehingga sisi kanan Dapatkan 0 (\gaya tampilan 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Temukan pengganda koefisien a (\gaya tampilan a)(koefisien di x 3 (\gaya tampilan x^(3))) dan anggota gratis d (\gaya tampilan d). Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan menghasilkan nomor asli. Misalnya faktor bilangan 6 (\displaystyle 6) adalah angka-angkanya? 1 (\gaya tampilan 1), 2 (\gaya tampilan 2), 3 (\gaya tampilan 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1) dan 2 × 3 (\displaystyle 2\times 3)).

      • Dalam contoh kita a = 2 (\gaya tampilan a=2) dan d = 6 (\gaya tampilan d=6). Pengganda 2 (\gaya tampilan 2) adalah angka 1 (\gaya tampilan 1) dan 2 (\gaya tampilan 2). Pengganda 6 (\displaystyle 6) adalah angka 1 (\gaya tampilan 1), 2 (\gaya tampilan 2), 3 (\gaya tampilan 3), dan 6 (\displaystyle 6).

   3. Bagi koefisien pengali a (\gaya tampilan a) oleh faktor-faktor dari istilah bebas d (\gaya tampilan d). Anda akan mendapatkan pecahan dan bilangan bulat. Solusi bilangan bulat dari persamaan kubik yang diberikan kepada Anda akan menjadi salah satu dari bilangan bulat ini, atau nilai negatif dari salah satu bilangan bulat ini.

      • Dalam contoh kita, bagilah faktor-faktornya a (\gaya tampilan a) (1 (\gaya tampilan 1), 2 (\gaya tampilan 2)) berdasarkan faktor d (\gaya tampilan d) (1 (\gaya tampilan 1), 2 (\gaya tampilan 2), 3 (\gaya tampilan 3), 6 (\displaystyle 6)) dan dapatkan: 1 (\gaya tampilan 1), , , , 2 (\gaya tampilan 2) dan . Sekarang tambahkan ke deretan angka ini mereka nilai negatif: 1 (\gaya tampilan 1), 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\gaya tampilan 2), 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) dan 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Solusi bilangan bulat dari persamaan kubik yang diberikan kepada Anda ada dalam rangkaian angka ini.

   4. Sekarang Anda dapat menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan kubik Anda dengan mengganti bilangan bulat dari deret angka yang ditemukan ke dalamnya. Tetapi jika Anda tidak ingin membuang waktu untuk ini, gunakan. Skema ini melibatkan pembagian bilangan bulat menjadi nilai a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b), c (\gaya tampilan c), d (\gaya tampilan d) diberikan persamaan kubik. Jika sisanya adalah 0 (\gaya tampilan 0), bilangan bulat adalah salah satu solusi dari persamaan kubik.

      • Divisi Horner bukanlah topik yang mudah; menerima informasi tambahan ikuti tautan yang diberikan di atas. Berikut adalah contoh bagaimana menemukan salah satu solusi untuk persamaan kubik yang diberikan kepada Anda menggunakan pembagian Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Sejak sisa 0 (\gaya tampilan 0), maka salah satu solusi persamaan tersebut adalah bilangan bulat 1 (\displaystyle -1).

   Menggunakan diskriminan

   1. Dalam metode ini, Anda akan bekerja dengan nilai koefisien a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b), c (\gaya tampilan c), d (\gaya tampilan d). Karena itu, lebih baik untuk menuliskan nilai koefisien ini terlebih dahulu.

      • Contoh. matematika>x^3-3x^2+3x-1. Di Sini a = 1 (\gaya tampilan a=1), b = 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\gaya tampilan c=3), d = 1 (\displaystyle d=-1). Jangan lupa itu kapan x (\gaya tampilan x) tidak ada koefisien, ini berarti koefisiennya sama dengan 1 (\gaya tampilan 1).

   2. Menghitung = b 2 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Metode ini memerlukan beberapa perhitungan yang rumit, tetapi jika Anda memahaminya, Anda akan dapat menyelesaikan persamaan kubik yang paling kompleks. Untuk memulai, hitung 0 (\displaystyle \triangle _(0)), salah satu dari beberapa besaran penting yang akan kita perlukan dengan memasukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus.

      • Dalam contoh kami: b 2 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 9 = 0 = 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) 54 + 81 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 81 = 0 = 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. Hitung = 1 2 - 4Δ0 3) -27 sebuah 2 . Sekarang hitung diskriminan persamaan menggunakan nilai yang ditemukan dari 0 dan 1. Diskriminan adalah angka yang memberi Anda informasi tentang akar polinomial (Anda mungkin sudah tahu bahwa diskriminan persamaan kuadrat adalah b 2 - 4ac). Dalam kasus persamaan kubik, jika diskriminannya positif, maka persamaan tersebut memiliki tiga solusi; jika diskriminan adalah nol, maka persamaan memiliki satu atau dua solusi; jika diskriminan negatif, maka persamaan hanya memiliki satu solusi. Persamaan kubik selalu memiliki setidaknya satu solusi karena grafik persamaan tersebut memotong sumbu x di setidaknya satu titik.

      • Jika Anda mengganti nilai kuantitas yang sesuai ke dalam rumus ini, Anda mendapatkan: solusi yang memungkinkan persamaan kubik yang diberikan kepada Anda. Substitusikan ke persamaan awal dan jika persamaan terpenuhi, maka penyelesaiannya benar. Misalnya, jika Anda memasukkan nilai ke dalam rumus dan mendapatkan 1, masukkan 1 ke dalam x 3 - 3x 2 + 3x- 1 dan dapatkan 0. Artinya, persamaan diamati, dan 1 adalah salah satu solusi untuk persamaan kubik yang diberikan kepada Anda.