Perkalian pecahan biasa

Pertimbangkan sebuah contoh.

Misalkan ada $\frac(1)(3)$ bagian dari sebuah apel di piring. Kita perlu menemukan bagian $\frac(1)(2)$ darinya. Bagian yang diperlukan adalah hasil perkalian pecahan $\frac(1)(3)$ dan $\frac(1)(2)$. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa.

Mengalikan dua pecahan biasa

Aturan perkalian pecahan biasa:

Hasil perkalian pecahan dengan pecahan adalah pecahan yang pembilangnya sama dengan produk pembilang dari pecahan dikalikan, dan penyebutnya sama dengan produk dari penyebutnya:

Contoh 1

Kalikan pecahan biasa $\frac(3)(7)$ dan $\frac(5)(11)$.

Larutan.

Mari kita gunakan aturan perkalian pecahan biasa:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Menjawab:$\frac(15)(77)$

Jika sebagai hasil perkalian pecahan diperoleh pecahan yang dapat dibatalkan atau tidak wajar, maka perlu disederhanakan.

Contoh 2

Kalikan pecahan $\frac(3)(8)$ dan $\frac(1)(9)$.

Larutan.

Kami menggunakan aturan untuk mengalikan pecahan biasa:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Hasilnya, kami mendapatkan pecahan yang dapat direduksi (berdasarkan pembagian dengan $3$. Bagi pembilang dan penyebut pecahan dengan $3$, kami mendapatkan:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Solusi singkat:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Menjawab:$\frac(1)(24).$

Saat mengalikan pecahan, Anda dapat mengurangi pembilang dan penyebut untuk menemukan produk mereka. Dalam hal ini pembilang dan penyebut pecahan dipecah menjadi faktor utama, setelah itu faktor yang berulang dikurangi dan hasilnya ditemukan.

Contoh 3

Hitung hasil kali pecahan $\frac(6)(75)$ dan $\frac(15)(24)$.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus untuk mengalikan pecahan biasa:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Jelas, pembilang dan penyebutnya berisi angka-angka yang dapat dikurangi berpasangan dengan angka $2$, $3$ dan $5$. Kami menguraikan pembilang dan penyebut menjadi faktor-faktor sederhana dan membuat pengurangan:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Menjawab:$\frac(1)(20).$

Saat mengalikan pecahan, Anda dapat menggunakan hukum perpindahan:

Mengalikan pecahan dengan bilangan asli

Aturan untuk mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli:

Hasil perkalian pecahan dengan bilangan asli adalah pecahan yang pembilangnya sama dengan perkalian pembilangnya dengan bilangan asli, dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang dikalikan:

di mana $\frac(a)(b)$ adalah pecahan biasa, $n$ adalah bilangan asli.

Contoh 4

Kalikan pecahan $\frac(3)(17)$ dengan $4$.

Larutan.

Mari kita gunakan aturan mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Menjawab:$\frac(12)(17).$

Jangan lupa untuk memeriksa hasil perkalian untuk kontraktibilitas pecahan atau tidak pecahan biasa.

Contoh 5

Kalikan pecahan $\frac(7)(15)$ dengan $3$.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dengan kriteria pembagian dengan angka $3$), dapat ditentukan bahwa pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Hasilnya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagian:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Solusi singkat:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (lima)\]

Pengurangan pecahan juga dapat dilakukan dengan mengganti bilangan pada pembilang dan penyebut dengan pemuaian menjadi faktor prima. Dalam hal ini, solusinya dapat ditulis sebagai berikut:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Menjawab:$1\frac(2)(5).$

Saat mengalikan pecahan dengan bilangan asli, Anda dapat menggunakan hukum komutatif:

Pembagian pecahan biasa

Operasi pembagian adalah kebalikan dari perkalian dan hasilnya adalah pecahan, di mana Anda perlu mengalikan pecahan yang diketahui untuk mendapatkan karya terkenal dua fraksi.

Pembagian dua pecahan biasa

Aturan pembagian pecahan biasa: Jelas, pembilang dan penyebut dari pecahan yang dihasilkan dapat didekomposisi menjadi faktor-faktor sederhana dan dikurangi:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Akibatnya, kami mendapat pecahan yang tidak tepat, dari mana kami memilih bagian bilangan bulat:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Menjawab:$1\frac(5)(9).$

Dalam perjalanan rata-rata dan sekolah Menengah Atas Para siswa pergi melalui topik "Pecahan". Namun, konsep ini jauh lebih luas daripada yang diberikan dalam proses pembelajaran. Saat ini, konsep pecahan cukup sering ditemui, dan tidak semua orang dapat menghitung ekspresi apa pun, misalnya, mengalikan pecahan.

Apa itu pecahan?

Kebetulan secara historis bahwa bilangan pecahan muncul karena kebutuhan untuk mengukur. Seperti yang ditunjukkan oleh latihan, sering ada contoh untuk menentukan panjang segmen, volume persegi panjang.

Awalnya, siswa diperkenalkan dengan konsep seperti berbagi. Misalnya, jika Anda membagi semangka menjadi 8 bagian, maka masing-masing akan mendapatkan seperdelapan dari semangka. Satu bagian dari delapan ini disebut bagian.

Bagian yang sama dengan dari nilai apa pun disebut setengah; - ketiga; - seperempat. Entri seperti 5/8, 4/5, 2/4 disebut pecahan biasa. Pecahan biasa dibagi menjadi pembilang dan penyebut. Di antara mereka ada garis pecahan, atau garis pecahan. Batang pecahan dapat digambar sebagai garis horizontal atau garis miring. DI DALAM kasus ini itu singkatan dari tanda pembagian.

Penyebut mewakili berapa banyak bagian yang sama nilainya, objek dibagi menjadi; dan pembilangnya adalah berapa banyak bagian yang sama diambil. Pembilang ditulis di atas batang pecahan, penyebut di bawahnya.

Paling mudah untuk menunjukkan pecahan biasa pada balok koordinat. Jika satu segmen dibagi menjadi 4 bagian yang sama, tentukan masing-masing bagian huruf latin, maka sebagai hasilnya Anda bisa mendapatkan yang sangat baik bahan visual. Jadi, titik A menunjukkan bagian yang sama dengan 1/4 dari seluruh unit segmen, dan titik B menandai 2/8 dari segmen ini.

Varietas pecahan

Pecahan adalah bilangan biasa, desimal, dan campuran. Selain itu, pecahan dapat dibagi menjadi benar dan tidak tepat. Klasifikasi ini lebih cocok untuk pecahan biasa.

Pecahan sejati adalah bilangan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Jadi, pecahan biasa adalah bilangan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Jenis kedua biasanya ditulis sebagai bilangan campuran. Ekspresi seperti itu terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Misalnya, 1½. satu - seluruh bagian, - pecahan. Namun, jika Anda perlu melakukan beberapa manipulasi dengan ekspresi (membagi atau mengalikan pecahan, mengurangi atau mengubahnya), bilangan campuran diubah menjadi pecahan biasa.

Ekspresi pecahan yang benar selalu kurang dari satu, dan salah - lebih besar dari atau sama dengan 1.

Adapun ekspresi ini, mereka memahami catatan di mana angka apa pun diwakili, penyebut dari ekspresi pecahan yang dapat dinyatakan melalui satu dengan beberapa nol. Jika pecahan benar, maka seluruh bagian dalam notasi desimal akan sama dengan nol.

Untuk menulis desimal, Anda harus terlebih dahulu menulis bagian bilangan bulat, memisahkannya dari pecahan dengan koma, dan kemudian menulis ekspresi pecahan. Harus diingat bahwa setelah koma, pembilangnya harus mengandung karakter numerik sebanyak nol pada penyebutnya.

Contoh. Nyatakan pecahan 7 21/1000 dalam notasi desimal.

Algoritma untuk mengubah pecahan biasa ke bilangan campuran dan sebaliknya

Tidak tepat menuliskan pecahan biasa dalam jawaban soal, sehingga harus diubah menjadi pecahan campuran:

• membagi pembilang dengan penyebut yang ada;
• di dalam contoh spesifik hasil bagi tidak lengkap - keseluruhan;
• dan sisanya adalah pembilang bagian pecahan, dengan penyebut tetap tidak berubah.

Contoh. Ubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran: 47 / 5 .

Larutan. 47: 5. Hasil bagi tidak lengkap adalah 9, sisanya = 2. Jadi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Terkadang Anda perlu menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa. Maka Anda perlu menggunakan algoritma berikut:

• bagian bilangan bulat dikalikan dengan penyebut dari ekspresi pecahan;
• produk yang dihasilkan ditambahkan ke pembilang;
• hasilnya ditulis di pembilang, penyebutnya tetap tidak berubah.

Contoh. Mewakili nomor di bentuk campuran sebagai pecahan biasa: 9 8 / 10 .

Larutan. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 adalah pembilangnya.

Menjawab: 98 / 10.

Perkalian pecahan biasa

Anda dapat melakukan berbagai operasi aljabar pada pecahan biasa. Untuk mengalikan dua bilangan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilangnya, dan penyebutnya dengan penyebutnya. Selain itu, perkalian pecahan dengan penyebut yang berbeda tidak berbeda dengan produk bilangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Kebetulan setelah menemukan hasilnya, Anda perlu mengurangi pecahan. DI DALAM tanpa kegagalan ekspresi yang dihasilkan harus disederhanakan sebanyak mungkin. Tentu saja, tidak dapat dikatakan bahwa pecahan tidak wajar dalam jawaban adalah kesalahan, tetapi juga sulit untuk menyebutnya sebagai jawaban yang benar.

Contoh. Temukan produk dari dua pecahan biasa: dan 20/18.

Seperti dapat dilihat dari contoh, setelah menemukan produk, notasi pecahan yang dapat direduksi diperoleh. Pembilang dan penyebut dalam hal ini habis dibagi 4, dan hasilnya adalah 5/9.

Mengalikan pecahan desimal

Produk pecahan desimal sangat berbeda dari produk pecahan biasa pada prinsipnya. Jadi, perkalian pecahan adalah sebagai berikut:

• dua pecahan desimal harus ditulis di bawah satu sama lain sehingga digit paling kanan adalah satu di bawah yang lain;
• anda perlu mengalikan angka-angka yang tertulis, terlepas dari koma, yaitu, sebagai bilangan asli;
• menghitung jumlah digit setelah koma di setiap angka;
• dalam hasil yang diperoleh setelah perkalian, Anda perlu menghitung karakter digital di sebelah kanan sebanyak yang terkandung dalam jumlah di kedua faktor setelah titik desimal, dan memberi tanda pemisah;
• jika ada lebih sedikit digit dalam produk, maka banyak nol harus ditulis di depannya untuk menutupi nomor ini, beri koma dan tetapkan bagian bilangan bulat yang sama dengan nol.

Contoh. Hitung produk dari dua desimal: 2,25 dan 3,6.

Larutan.

Perkalian pecahan campuran

Untuk menghitung produk dari dua pecahan campuran, Anda perlu menggunakan aturan untuk mengalikan pecahan:

• mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa;
• menemukan produk dari pembilang;
• temukan hasil kali penyebutnya;
• tuliskan hasilnya;
• menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin.

Contoh. Tentukan hasil kali dari 4½ dan 6 2/5.

Mengalikan angka dengan pecahan (pecahan dengan angka)

Selain menemukan produk dari dua pecahan, bilangan campuran, ada tugas di mana Anda perlu mengalikan dengan pecahan.

Jadi, untuk mencari pekerjaan pecahan desimal dan bilangan asli, Anda perlu:

• tulis angka di bawah pecahan sehingga angka paling kanan satu di atas yang lain;
• temukan pekerjaan, meskipun koma;
• pada hasil yang diperoleh, pisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan menggunakan koma, hitung ke kanan jumlah karakter yang berada setelah titik desimal dalam pecahan.

Untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka, Anda harus menemukan produk dari pembilang dan faktor alam. Jika jawabannya adalah pecahan yang dapat direduksi, itu harus dikonversi.

Contoh. Hitung produk dari 5/8 dan 12.

Larutan. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Menjawab: 7 1 / 2.

Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh sebelumnya, perlu untuk mengurangi hasil yang dihasilkan dan mengubah ekspresi pecahan yang salah menjadi bilangan campuran.

Selain itu, perkalian pecahan juga berlaku untuk menemukan produk dari suatu bilangan dalam bentuk campuran dan faktor alami. Untuk mengalikan kedua bilangan ini, Anda harus mengalikan bagian bilangan bulat dari faktor campuran dengan bilangan tersebut, mengalikan pembilangnya dengan nilai yang sama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Jika perlu, Anda perlu menyederhanakan hasilnya sebanyak mungkin.

Contoh. Tentukan hasil perkalian dari 9 5/6 dan 9.

Larutan. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1/2.

Menjawab: 88 1 / 2.

Perkalian dengan faktor 10, 100, 1000 atau 0,1; 0,01; 0,001

Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya aturan selanjutnya. Untuk mengalikan pecahan desimal dengan 10, 100, 1000, 10000, dst., Anda perlu memindahkan koma ke kanan sebanyak karakter digit sebanyak nol dalam pengali setelah satu.

Contoh 1. Temukan produk dari 0,065 dan 1000.

Larutan. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Menjawab: 65.

Contoh 2. Temukan produk dari 3,9 dan 1000.

Larutan. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Menjawab: 3900.

Jika Anda perlu mengalikan bilangan asli dan 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, dst., Anda harus memindahkan koma ke kiri pada produk yang dihasilkan sebanyak karakter digit sebanyak nol di depannya. Jika perlu, jumlah nol yang cukup ditulis di depan bilangan asli.

Contoh 1. Tentukan hasil kali 56 dan 0,01.

Larutan. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Menjawab: 0,56.

Contoh 2. Temukan produk dari 4 dan 0,001.

Larutan. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Menjawab: 0,004.

Jadi, menemukan produk berbagai pecahan tidak boleh menimbulkan kesulitan, kecuali untuk perhitungan hasil; Dalam hal ini, Anda tidak dapat melakukannya tanpa kalkulator.

87. Penjumlahan pecahan.

Penjumlahan pecahan memiliki banyak kesamaan dengan penjumlahan bilangan bulat. Penjumlahan pecahan adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa beberapa bilangan (suku) yang diberikan digabungkan menjadi satu bilangan (jumlah), yang berisi semua satuan dan pecahan dari satuan suku.

Kami akan mempertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Penjumlahan bilangan campuran.

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh: 1 / 5 + 2 / 5 .

Ambil segmen AB (Gbr. 17), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi dengan 5 bagian yang sama, maka bagian AC dari segmen ini akan sama dengan 1/5 dari segmen AB, dan bagian dari segmen yang sama CD akan sama dengan 2/5 AB.

Dapat dilihat dari gambar bahwa jika kita mengambil segmen AD, maka akan sama dengan 3/5 AB; tetapi segmen AD justru merupakan penjumlahan dari segmen AC dan CD. Jadi, kita dapat menulis:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Dengan mempertimbangkan suku-suku ini dan jumlah yang dihasilkan, kita melihat bahwa pembilang dari jumlah tersebut diperoleh dengan menambahkan pembilang dari suku-suku tersebut, dan penyebutnya tetap tidak berubah.

Dari sini kita mendapatkan aturan berikut: Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda harus menjumlahkan pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mari kita menjumlahkan pecahan: 3/4 + 3/8 Pertama, mereka perlu direduksi menjadi penyebut umum terendah:

Intermediat 6/8 + 3/8 tidak bisa ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan yang lebih besar.

Jadi, untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda harus terlebih dahulu menurunkannya ke penyebut umum terendah, menambahkan pembilangnya dan tanda faktor persekutuan.

Perhatikan contoh ( pengganda tambahan kami akan menulis di atas pecahan yang sesuai):

3. Penjumlahan bilangan campuran.

Mari kita tambahkan angkanya: 2 3/8 + 3 5/6.

Mari kita pertama-tama membawa bagian pecahan dari angka kita ke penyebut yang sama dan menulis ulang lagi:

Sekarang tambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara berurutan:

88. Pengurangan pecahan.

Pengurangan pecahan didefinisikan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan bulat. Ini adalah tindakan di mana, mengingat jumlah dari dua istilah dan salah satunya, istilah lain ditemukan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Pengurangan bilangan campuran.

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

13 / 15 - 4 / 15

Mari kita ambil segmen AB (Gbr. 18), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi menjadi 15 bagian yang sama; maka bagian AC dari segmen ini akan menjadi 1/15 AB, dan bagian AD dari segmen yang sama akan sesuai dengan 13/15 AB. Mari kita sisihkan segmen lain ED, sama dengan 4/15 AB.

Kita perlu mengurangi 4/15 dari 13/15. Dalam gambar, ini berarti bahwa segmen ED harus dikurangi dari segmen AD. Akibatnya, segmen AE akan tetap ada, yaitu 9/15 segmen AB. Jadi kita bisa menulis:

Contoh yang kami buat menunjukkan bahwa pembilang dari selisih diperoleh dengan mengurangkan pembilangnya, dan penyebutnya tetap sama.

Oleh karena itu, untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Contoh. 3/4 - 5/8

Pertama, mari kita kurangi pecahan ini menjadi penyebut bersama terkecil:

Tautan perantara 6 / 8 - 5 / 8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi dapat dilewati di masa mendatang.

Jadi, untuk mengurangkan pecahan dari pecahan, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut bersama terkecil, kemudian mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilang dari minuend dan menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan mereka.

Pertimbangkan sebuah contoh:

3. Pengurangan bilangan campuran.

Contoh. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Mari kita bawa bagian pecahan dari minuend dan subtrahend ke penyebut umum terendah:

Kami mengurangi keseluruhan dari keseluruhan dan pecahan dari pecahan. Tetapi ada kasus ketika bagian pecahan dari subtrahend lebih besar dari bagian pecahan dari minuend. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu mengambil satu unit dari bagian bilangan bulat dari yang dikurangi, membaginya menjadi bagian-bagian di mana bagian pecahan dinyatakan, dan menambahkan bagian pecahan dari yang dikurangi. Dan kemudian pengurangan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya:

89. Perkalian pecahan.

Saat mempelajari perkalian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan berikutnya:

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu.
3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan.
5. Perkalian bilangan campuran.
6. Konsep bunga.
7. Menemukan persentase dari angka yang diberikan. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.

Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan bilangan bulat. Mengalikan pecahan (multiplicand) dengan bilangan bulat (multiplier) berarti menyusun jumlah suku yang identik, di mana setiap suku sama dengan perkalian, dan jumlah suku sama dengan pengali.

Jadi, jika Anda perlu mengalikan 1/9 dengan 7, maka ini bisa dilakukan seperti ini:

Kami dengan mudah mendapatkan hasilnya, karena aksinya dikurangi menjadi penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Akibatnya,

Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat sama dengan meningkatkan pecahan ini sebanyak unit dalam bilangan bulat. Dan karena peningkatan pecahan dicapai dengan meningkatkan pembilangnya

atau dengan mengurangi penyebutnya , maka kita dapat mengalikan pembilang dengan bilangan bulat, atau membagi penyebutnya, jika pembagian seperti itu memungkinkan.

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat ini dan membiarkan penyebutnya sama atau, jika mungkin, membagi penyebutnya dengan angka ini, membiarkan pembilangnya tidak berubah.

Saat mengalikan, singkatan dimungkinkan, misalnya:

2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Ada banyak masalah di mana Anda harus menemukan, atau menghitung, bagian dari angka yang diberikan. Perbedaan antara tugas-tugas ini dan yang lain adalah bahwa mereka memberikan jumlah beberapa objek atau unit pengukuran dan Anda perlu menemukan bagian dari angka ini, yang juga ditunjukkan di sini dengan pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan metode penyelesaiannya.

Tugas 1. Saya punya 60 rubel; 1/3 dari uang ini saya habiskan untuk pembelian buku. Berapa harga buku-buku itu?

Tugas 2. Kereta api harus menempuh jarak antara kota A dan B, sama dengan 300 km. Dia telah menempuh 2/3 dari jarak itu. Berapa kilometer ini?

Tugas 3. Ada 400 rumah di desa ini, 3/4nya terbuat dari batu bata, sisanya dari kayu. Ada berapa rumah bata?

Berikut adalah beberapa dari banyak masalah yang harus kita tangani untuk menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Mereka biasanya disebut masalah untuk menemukan sebagian kecil dari angka yang diberikan.

Solusi masalah 1. Dari 60 rubel. Saya menghabiskan 1/3 untuk buku; Jadi, untuk mencari harga buku, kamu harus membagi angka 60 dengan 3:

Soal 2 solusi. Arti masalahnya adalah Anda harus menemukan 2 / 3 dari 300 km. Hitung 1/3 pertama dari 300; ini dicapai dengan membagi 300 km dengan 3:

300: 3 = 100 (itu 1/3 dari 300).

Untuk menemukan dua pertiga dari 300, Anda perlu menggandakan hasil bagi, yaitu, kalikan dengan 2:

100 x 2 = 200 (itu 2/3 dari 300).

Solusi masalah 3. Di sini Anda perlu menentukan jumlah rumah bata, yaitu 3/4 dari 400. Mari kita cari dulu 1/4 dari 400,

400: 4 = 100 (itu 1/4 dari 400).

Untuk perhitungan tiga seperempat dari 400, hasil bagi yang dihasilkan harus tiga kali lipat, yaitu dikalikan 3:

100 x 3 = 300 (itu 3/4 dari 400).

Berdasarkan solusi dari masalah ini, kita dapat memperoleh aturan berikut:

Untuk menemukan nilai pecahan dari angka tertentu, Anda perlu membagi angka ini dengan penyebut pecahan dan mengalikan hasil bagi dengan pembilangnya.

3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.

Sebelumnya (§ 26) ditetapkan bahwa perkalian bilangan bulat harus dipahami sebagai penambahan suku yang identik (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Dalam paragraf ini (paragraf 1) ditetapkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat berarti menemukan jumlah suku identik yang sama dengan pecahan ini.

Dalam kedua kasus, perkalian terdiri dari menemukan jumlah suku yang identik.

Sekarang kita beralih ke mengalikan bilangan bulat dengan pecahan. Di sini kita akan bertemu dengan, misalnya, perkalian: 9 2 / 3. Jelas sekali bahwa definisi perkalian sebelumnya tidak berlaku untuk kasus ini. Ini terbukti dari fakta bahwa kita tidak dapat mengganti perkalian seperti itu dengan menambahkan angka yang sama.

Karena itu, kita harus memberikan definisi baru tentang perkalian, yaitu dengan kata lain, untuk menjawab pertanyaan tentang apa yang harus dipahami dengan perkalian dengan pecahan, bagaimana tindakan ini harus dipahami.

Arti mengalikan bilangan bulat dengan pecahan jelas dari definisi berikut: mengalikan bilangan bulat (pengganda) dengan pecahan (pengganda) berarti menemukan pecahan pengali ini.

Yaitu, mengalikan 9 dengan 2/3 berarti menemukan 2/3 dari sembilan unit. Dalam paragraf sebelumnya, masalah seperti itu diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahwa kita berakhir dengan 6.

Tapi sekarang ada yang menarik dan pertanyaan penting: mengapa seperti itu pada pandangan pertama berbagai kegiatan cara mencari jumlah angka yang sama dan menemukan pecahan dari suatu bilangan, dalam aritmatika disebut dengan kata yang sama "perkalian"?

Hal ini terjadi karena tindakan sebelumnya (mengulang suatu bilangan dengan suku beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan suatu bilangan) memberikan jawaban atas pertanyaan homogen. Ini berarti bahwa kami melanjutkan di sini dari pertimbangan bahwa pertanyaan atau tugas yang homogen diselesaikan dengan satu tindakan yang sama.

Untuk memahami ini, pertimbangkan masalah berikut: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 4 m kain tersebut?

Masalah ini diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (4), yaitu 50 x 4 = 200 (rubel).

Mari kita ambil masalah yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai bilangan pecahan: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 3/4 m kain tersebut?

Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (3/4).

Anda juga dapat mengubah angka di dalamnya beberapa kali tanpa mengubah arti soal, misalnya, ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dll.

Karena masalah ini memiliki konten yang sama dan hanya berbeda dalam jumlah, kami menyebut tindakan yang digunakan dalam menyelesaikannya dengan kata yang sama - perkalian.

Bagaimana bilangan bulat dikalikan dengan pecahan?

Mari kita ambil angka yang ditemui dalam masalah terakhir:

Menurut definisi, kita harus menemukan 3/4 dari 50. Pertama kita menemukan 1/4 dari 50, lalu 3/4.

1/4 dari 50 adalah 50/4;

3/4 dari 50 adalah .

Akibatnya.

Perhatikan contoh lain: 12 5 / 8 = ?

1/8 dari 12 adalah 12/8,

5/8 dari bilangan 12 adalah .

Akibatnya,

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan produk ini pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan yang diberikan sebagai penyebut.

Kami menulis aturan ini menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk mengalikan angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38

Harus diingat bahwa sebelum melakukan perkalian, Anda harus melakukan (jika memungkinkan) pemotongan, Misalnya:

4. Mengalikan pecahan dengan pecahan. Mengalikan pecahan dengan pecahan memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, yaitu, ketika mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu menemukan pecahan di pengali dari pecahan pertama (pengganda).

Yaitu, mengalikan 3/4 dengan 1/2 (setengah) berarti menemukan setengah dari 3/4.

Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?

Mari kita ambil contoh: 3/4 kali 5/7. Ini berarti Anda harus mencari 5 / 7 dari 3 / 4 . Cari 1/7 pertama dari 3/4 dan kemudian 5/7

1/7 dari 3/4 akan dinyatakan seperti ini:

5/7 angka 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:

Lewat sini,

Contoh lain: 5/8 kali 4/9.

1/9 dari 5/8 adalah ,

4/9 bilangan 5/8 adalah .

Lewat sini,

Dari contoh-contoh ini, aturan berikut dapat ditarik:

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut dan membuat produk pertama pembilang dan produk kedua penyebut produk.

Ini adalah aturan di pandangan umum dapat ditulis seperti ini:

Saat mengalikan, perlu untuk membuat (jika mungkin) pengurangan. Pertimbangkan contoh:

5. Perkalian bilangan campuran. Karena bilangan campuran dapat dengan mudah diganti dengan pecahan biasa, keadaan ini biasanya digunakan untuk mengalikan bilangan campuran. Ini berarti bahwa dalam kasus di mana pengali, atau faktor, atau kedua faktor diekspresikan angka campuran, kemudian diganti dengan pecahan biasa. Kalikan, misalnya, angka campuran: 2 1/2 dan 3 1/5. Kami mengubah masing-masing menjadi pecahan biasa dan kemudian kami akan mengalikan pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan:

Aturan. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan dengan pecahan.

Catatan. Jika salah satu faktornya adalah bilangan bulat, maka perkalian dapat dilakukan berdasarkan hukum distribusi sebagai berikut:

6. Konsep bunga. Saat memecahkan masalah dan saat melakukan berbagai perhitungan praktis, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi kita harus ingat bahwa banyak kuantitas tidak mengakui apa pun, tetapi pembagian alami untuk mereka. Misalnya, Anda dapat mengambil seperseratus (1/100) rubel, itu akan menjadi satu sen, dua perseratus adalah 2 kopek, tiga perseratus adalah 3 kopek. Anda dapat mengambil 1/10 rubel, itu akan menjadi "10 kopeck, atau sepeser pun. Anda dapat mengambil seperempat rubel, yaitu 25 kopeck, setengah rubel, yaitu 50 kopeck (lima puluh kopeck). Tapi praktis tidak 't mengambil, misalnya , 2/7 rubel karena rubel tidak dibagi menjadi tujuh.

Satuan pengukuran berat, yaitu kilogram, memungkinkan, pertama-tama, pembagian desimal, misalnya, 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1 /13 jarang terjadi.

Secara umum ukuran (metrik) kami adalah desimal dan memungkinkan pembagian desimal.

Namun, perlu dicatat bahwa sangat berguna dan nyaman dalam berbagai kasus untuk menggunakan metode pembagian kuantitas yang sama (seragam). Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahwa pembagian yang dapat dibenarkan seperti itu adalah pembagian "keseratus". Mari kita perhatikan beberapa contoh yang berkaitan dengan bidang praktik manusia yang paling beragam.

1. Harga buku turun 12/100 dari harga sebelumnya.

Contoh. Harga buku sebelumnya adalah 10 rubel. Dia turun 1 rubel. 20 kop.

2. Bank tabungan membayar selama setahun kepada deposan 2/100 dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

Contoh. 500 rubel dimasukkan ke meja kas, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini adalah 10 rubel.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5/100 dari jumlah siswa.

CONTOH Hanya 1.200 siswa yang belajar di sekolah tersebut, 60 di antaranya tamat sekolah.

Perseratus dari suatu bilangan disebut persentase..

Kata "persentase" dipinjam dari Latin dan akarnya "sen" berarti seratus. Bersama dengan kata depan (pro centum), kata ini berarti "untuk seratus." Arti dari ungkapan ini mengikuti dari fakta bahwa pada awalnya di Roma kuno bunga adalah uang yang dibayarkan debitur kepada pemberi pinjaman "untuk setiap seratus". Kata "sen" terdengar dengan kata-kata yang begitu akrab: centner (seratus kilogram), sentimeter (mereka mengatakan sentimeter).

Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa pabrik memproduksi 1/100 dari semua produk yang dihasilkannya selama sebulan terakhir, kita akan mengatakan ini: pabrik menghasilkan satu persen dari produk yang ditolak selama sebulan terakhir. Alih-alih mengatakan: pabrik menghasilkan 4/100 produk lebih banyak dari rencana yang ditetapkan, kita akan mengatakan: pabrik melebihi rencana sebesar 4 persen.

Contoh di atas dapat dinyatakan secara berbeda:

1. Harga buku turun 12 persen dari harga sebelumnya.

2. Bank tabungan membayar deposan 2 persen per tahun dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5 persen dari jumlah seluruh siswa di sekolah tersebut.

Untuk mempersingkat surat, biasanya ditulis tanda % alih-alih kata "persentase".

Namun harus diingat bahwa tanda % biasanya tidak tertulis dalam perhitungan, dapat ditulis dalam rumusan masalah dan pada hasil akhir. Saat melakukan perhitungan, Anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100 alih-alih bilangan bulat dengan ikon ini.

Anda harus dapat mengganti bilangan bulat dengan ikon yang ditentukan dengan pecahan dengan penyebut 100:

Sebaliknya, Anda perlu membiasakan diri menulis bilangan bulat dengan ikon yang ditunjukkan alih-alih pecahan dengan penyebut 100:

7. Menemukan persentase dari angka yang diberikan.

Tugas 1. Sekolah menerima 200 meter kubik. m kayu bakar, dengan kayu bakar birch terhitung 30%. Berapa banyak kayu birch di sana?

Arti dari soal ini adalah kayu bakar birch hanya sebagian dari kayu bakar yang dikirimkan ke sekolah, dan bagian ini dinyatakan dalam pecahan 30/100. Jadi, kita dihadapkan pada tugas menemukan pecahan dari suatu bilangan. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengalikan 200 dengan 30/100 (tugas untuk menemukan pecahan suatu bilangan diselesaikan dengan mengalikan suatu bilangan dengan pecahan.).

Jadi 30% dari 200 sama dengan 60.

Pecahan 30 / 100 , yang ditemui dalam masalah ini, memungkinkan pengurangan sebesar 10. Pengurangan ini dapat dilakukan sejak awal; solusi untuk masalah tidak akan berubah.

Tugas 2. Ada 300 anak dari berbagai usia di kamp. Anak usia 11 tahun sebanyak 21%, anak usia 12 tahun sebanyak 61% dan terakhir anak usia 13 tahun sebanyak 18%. Berapa banyak anak dari setiap usia berada di kamp?

Dalam soal ini, Anda perlu melakukan tiga perhitungan, yaitu mencari jumlah anak yang berusia 11 tahun, kemudian 12 tahun, dan akhirnya 13 tahun.

Jadi, di sini perlu menemukan pecahan dari angka tiga kali. Ayo lakukan:

1) Berapa banyak anak berusia 11 tahun?

2) Berapa banyak anak yang berumur 12 tahun?

3) Berapa banyak anak yang berumur 13 tahun?

Setelah menyelesaikan masalah, akan berguna untuk menjumlahkan angka yang ditemukan; jumlah mereka harus 300:

63 + 183 + 54 = 300

Anda juga harus memperhatikan fakta bahwa jumlah persentase yang diberikan dalam kondisi masalah adalah 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ini menunjukkan bahwa jumlah total anak-anak yang berada di kamp diambil sebagai 100%.

3 a da cha 3. Pekerja menerima 1.200 rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, ia menghabiskan 65% untuk makanan, 6% untuk apartemen dan pemanas, 4% untuk gas, listrik, dan radio, 10% untuk kebutuhan budaya, dan 15% untuk tabungan. Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan yang ditunjukkan dalam tugas?

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu mencari pecahan dari bilangan 1.200 sebanyak 5 kali.

1) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk makan? Tugas mengatakan bahwa pengeluaran ini adalah 65% dari semua pendapatan, yaitu 65/100 dari angka 1.200. Mari kita lakukan perhitungan:

2) Berapa banyak uang yang dibayarkan untuk apartemen dengan pemanas? Berdebat seperti yang sebelumnya, kita sampai pada perhitungan berikut:

3) Berapa banyak uang yang Anda bayarkan untuk gas, listrik dan radio?

4) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan budaya?

5) Berapa banyak uang yang dihemat oleh pekerja tersebut?

Untuk verifikasi, ada baiknya menambahkan angka yang ditemukan dalam 5 pertanyaan ini. Jumlahnya harus 1.200 rubel. Semua pendapatan diambil sebagai 100%, yang mudah diperiksa dengan menjumlahkan persentase yang diberikan dalam pernyataan masalah.

Kami telah memecahkan tiga masalah. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas-tugas ini adalah tentang hal-hal yang berbeda (pengiriman kayu bakar untuk sekolah, jumlah anak dari berbagai usia, biaya pekerja), mereka diselesaikan dengan cara yang sama. Ini terjadi karena dalam semua tugas perlu menemukan beberapa persen dari angka yang diberikan.

90. Pembagian pecahan.

Saat mempelajari pembagian pecahan, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat
3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Pembagian pecahan dengan pecahan.
5. Pembagian bilangan campuran.
6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.
7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.

Seperti yang ditunjukkan pada bagian bilangan bulat, pembagian adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa, mengingat produk dari dua faktor (dividen) dan salah satu faktor ini (pembagi), faktor lain ditemukan.

Pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat yang kami pertimbangkan di departemen bilangan bulat. Kami bertemu di sana dua kasus pembagian: pembagian tanpa sisa, atau "seluruhnya" (150: 10 = 15), dan pembagian dengan sisa (100: 9 = 11 dan 1 sisanya). Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa dalam bidang bilangan bulat, pembagian eksak tidak selalu mungkin, karena dividen tidak selalu merupakan produk dari pembagi dan bilangan bulat. Setelah pengenalan perkalian dengan pecahan, kita dapat mempertimbangkan setiap kasus pembagian bilangan bulat mungkin (hanya pembagian dengan nol yang dikecualikan).

Misalnya, membagi 7 dengan 12 berarti menemukan bilangan yang hasil kali 12 adalah 7. Bilangan ini adalah pecahan 7/12 karena 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14:25 = 14/25 karena 14/25 25 = 14.

Jadi, untuk membagi bilangan bulat dengan bilangan bulat, Anda perlu membuat pecahan, yang pembilangnya sama dengan pembagiannya, dan penyebutnya adalah pembaginya.

2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat.

Bagilah pecahan 6 / 7 dengan 3. Menurut definisi pembagian yang diberikan di atas, kita mendapatkan hasil kali (6 / 7) dan salah satu faktornya (3); diperlukan untuk menemukan faktor kedua seperti itu, yang dari perkalian dengan 3 akan menghasilkan pekerjaan ini 6/7. Jelas, itu harus tiga kali lebih kecil dari produk ini. Ini berarti tugas yang diberikan kepada kita adalah mengurangi pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.

Kita sudah tahu bahwa pengurangan suatu pecahan dapat dilakukan dengan mengurangi pembilangnya atau dengan meningkatkan penyebutnya. Karena itu, Anda dapat menulis:

Dalam hal ini, pembilang 6 habis dibagi 3, jadi pembilangnya harus dikurangi 3 kali.

Mari kita ambil contoh lain: 5 / 8 dibagi 2. Di sini pembilang 5 tidak habis dibagi 2, yang berarti penyebutnya harus dikalikan dengan angka ini:

Berdasarkan ini, kita dapat menyatakan aturan: Untuk membagi pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan bilangan bulat itu(jika memungkinkan), meninggalkan penyebut yang sama, atau mengalikan penyebut pecahan dengan angka ini, meninggalkan pembilang yang sama.

3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 5 dengan 1/2, yaitu menemukan angka yang, setelah dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan produk 5. Jelas, angka ini harus lebih besar dari 5, karena 1/2 adalah pecahan biasa, dan ketika mengalikan suatu bilangan dengan pecahan biasa, hasil kali harus lebih kecil dari perkalian. Agar lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita sebagai berikut: 5:1 / 2 = x , jadi x 1/2 \u003d 5.

Kita harus menemukan nomor seperti itu x , yang, jika dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan 5. Karena mengalikan suatu bilangan dengan 1/2 berarti menemukan 1/2 dari bilangan ini, maka, oleh karena itu, 1/2 tanggal tidak diketahui x adalah 5, dan bilangan bulat x dua kali lipat, yaitu 5 2 \u003d 10.

Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Mari kita periksa:

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Biarkan diperlukan untuk membagi 6 dengan 2 / 3 . Mari kita coba mencari hasil yang diinginkan dengan menggunakan gambar (Gbr. 19).

Gbr.19

Gambarlah segmen AB, sama dengan 6 dari beberapa unit, dan bagi setiap unit menjadi 3 bagian yang sama. Di setiap unit, tiga pertiga (3/3) di seluruh segmen AB di 6 kali lebih banyak, t. e.18/3. Kami menghubungkan dengan bantuan kurung kecil 18 diperoleh segmen 2; Hanya akan ada 9 segmen. Artinya, pecahan 2/3 terdapat dalam b satuan sebanyak 9 kali, atau dengan kata lain pecahan 2/3 adalah 9 kali lebih kecil dari 6 satuan bilangan bulat. Akibatnya,

Bagaimana cara mendapatkan hasil ini tanpa menggambar hanya menggunakan perhitungan? Kita akan berargumentasi sebagai berikut: harus membagi 6 dengan 2 / 3, yaitu diminta untuk menjawab pertanyaan, berapa kali 2 / 3 terkandung dalam 6. Mari kita cari tahu dulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam satu unit - 3 pertiga, dan dalam 6 unit - 6 kali lebih banyak, yaitu 18 pertiga; untuk mencari bilangan tersebut, kita harus mengalikan 6 dengan 3. Jadi, 1/3 terdapat dalam satuan b sebanyak 18 kali, dan 2/3 terdapat pada satuan b bukan 18 kali, melainkan setengahnya, yaitu 18: 2 = 9 Oleh karena itu, saat membagi 6 dengan 2 / 3 kami melakukan hal berikut:

Dari sini kita mendapatkan aturan untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan. Untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat ini dengan penyebut dari pecahan yang diberikan dan, menjadikan produk ini pembilangnya, membaginya dengan pembilang dari pecahan yang diberikan.

Kami menulis aturan menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk membagi angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38. Perhatikan bahwa rumus yang sama diperoleh di sana.

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

4. Pembagian pecahan dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 3/4 dengan 3/8. Apa yang akan menunjukkan nomor yang akan diperoleh sebagai hasil dari pembagian? Ini akan menjawab pertanyaan berapa kali pecahan 3/8 terdapat dalam pecahan 3/4. Untuk memahami masalah ini, mari kita membuat gambar (Gbr. 20).

Ambil ruas AB, ambil sebagai satu kesatuan, bagi menjadi 4 bagian yang sama dan tandai 3 bagian tersebut. Ruas AC akan sama dengan 3/4 ruas AB. Sekarang mari kita bagi masing-masing dari empat segmen awal menjadi dua, kemudian segmen AB akan dibagi menjadi 8 bagian yang sama dan setiap bagian tersebut akan sama dengan 1/8 dari segmen AB. Kami menghubungkan 3 segmen tersebut dengan busur, maka masing-masing segmen AD dan DC akan sama dengan 3/8 dari segmen AB. Gambar menunjukkan bahwa segmen yang sama dengan 3/8 terdapat dalam segmen yang sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Sehingga hasil pembagiannya dapat dituliskan seperti ini:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Misalkan diperlukan untuk membagi 15/16 dengan 3/32:

Kita dapat bernalar seperti ini: kita perlu menemukan angka yang, setelah dikalikan dengan 3 / 32, akan menghasilkan produk yang sama dengan 15 / 16. Mari kita tulis perhitungannya seperti ini:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 nomor tidak dikenal x make up 15/16

1/32 nomor tidak dikenal x adalah ,

32/32 angka x dandan .

Akibatnya,

Jadi, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua dan menjadikan produk pertama pembilang dan kedua penyebutnya.

Mari kita menulis aturan menggunakan huruf:

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

5. Pembagian bilangan campuran.

Saat membagi bilangan campuran, mereka harus terlebih dahulu dikonversi ke pecahan tidak wajar, kemudian bagilah pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan pembagian bilangan pecahan. Pertimbangkan sebuah contoh:

Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa:

Sekarang mari kita pisahkan:

Jadi, untuk membagi bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian membaginya sesuai dengan aturan pembagian pecahan.

6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.

Di antara berbagai tugas pada pecahan, kadang-kadang ada di mana nilai pecahan dari bilangan yang tidak diketahui diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini. Soal jenis ini akan berbanding terbalik dengan soal menemukan pecahan dari bilangan tertentu; ada nomor yang diberikan dan itu diperlukan untuk menemukan beberapa pecahan dari nomor ini, di sini sebagian kecil dari nomor diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini sendiri. Ide ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih ke solusi dari jenis masalah ini.

Tugas 1. Pada hari pertama, tukang kaca melapisi 50 jendela, yang merupakan 1/3 dari semua jendela rumah yang dibangun. Berapa banyak jendela di rumah ini?

Larutan. Soal mengatakan bahwa 50 jendela kaca membuat 1/3 dari semua jendela rumah, yang berarti ada 3 kali lebih banyak jendela, yaitu.

Rumah itu memiliki 150 jendela.

Tugas 2. Toko tersebut menjual 1.500 kg tepung, yang merupakan 3/8 dari total stok tepung di toko. Berapa persediaan awal tepung dari toko tersebut?

Larutan. Terlihat dari kondisi permasalahan bahwa 1.500 kg tepung terigu yang terjual merupakan 3/8 dari total stok; ini berarti 1/8 dari stok ini akan menjadi 3 kali lebih sedikit, yaitu, untuk menghitungnya, Anda perlu mengurangi 1500 sebanyak 3 kali:

1.500: 3 = 500 (itu 1/8 dari stok).

Jelas, seluruh stok akan menjadi 8 kali lebih besar. Akibatnya,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Pasokan awal tepung di toko adalah 4.000 kg.

Dari pertimbangan masalah ini, aturan berikut dapat ditarik.

Untuk menemukan bilangan dengan nilai pecahan tertentu, cukup membagi nilai ini dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan.

Kami memecahkan dua masalah dalam menemukan bilangan yang diberikan pecahannya. Masalah seperti itu, seperti yang terlihat dengan jelas dari yang terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembagian (bila satu bagian ditemukan) dan perkalian (bila seluruh bilangan ditemukan).

Namun, setelah kita mempelajari pembagian pecahan, masalah di atas dapat diselesaikan dalam satu tindakan, yaitu: pembagian dengan pecahan.

Misalnya, tugas terakhir dapat diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:

Di masa depan, kami akan memecahkan masalah menemukan angka dengan fraksinya dalam satu tindakan - pembagian.

7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Dalam tugas-tugas ini, Anda perlu menemukan angka, mengetahui beberapa persen dari angka ini.

Tugas 1. Pada awalnya tahun ini Saya menerima 60 rubel dari bank tabungan. pendapatan dari jumlah yang saya masukkan ke dalam tabungan setahun yang lalu. Berapa banyak uang yang saya simpan di bank tabungan? (Kantor kas memberikan deposan 2% dari pendapatan per tahun.)

Arti masalahnya adalah bahwa sejumlah uang telah saya simpan di bank tabungan dan disimpan di sana selama setahun. Setelah satu tahun, saya menerima 60 rubel darinya. penghasilan, yaitu 2/100 dari uang yang saya masukkan. Berapa banyak uang yang saya setorkan?

Oleh karena itu, mengetahui bagian dari uang ini, dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan dalam pecahan), kita harus menemukan jumlah keseluruhan, yang belum diketahui. Ini adalah masalah biasa untuk menemukan bilangan yang diberikan pecahannya. Tugas-tugas berikut diselesaikan dengan pembagian:

Jadi, 3.000 rubel dimasukkan ke dalam bank tabungan.

Tugas 2. Dalam dua minggu, nelayan memenuhi rencana bulanan sebesar 64%, dengan menyiapkan 512 ton ikan. Apa rencana mereka?

Dari kondisi permasalahan tersebut diketahui para nelayan telah menyelesaikan sebagian dari rencana tersebut. Bagian ini sama dengan 512 ton, yaitu 64% dari rencana. Berapa ton ikan yang perlu dipanen sesuai rencana, kami belum tahu. Solusi dari masalah akan terdiri dalam menemukan nomor ini.

Tugas-tugas tersebut diselesaikan dengan membagi:

Jadi, menurut rencana, Anda perlu menyiapkan 800 ton ikan.

Tugas 3. Kereta pergi dari Riga ke Moskow. Saat melewati kilometer ke-276, salah satu penumpang bertanya kepada kondektur yang lewat berapa jarak yang telah mereka tempuh. Untuk ini kondektur menjawab: "Kami telah menutupi 30% dari seluruh perjalanan." Berapa jarak dari Riga ke Moskow?

Dari kondisi permasalahan tersebut terlihat bahwa 30% perjalanan dari Riga ke Moskow adalah 276 km. Kita perlu menemukan seluruh jarak antara kota-kota ini, yaitu, untuk bagian ini, temukan keseluruhannya:

91. Bilangan timbal balik. Mengganti pembagian dengan perkalian.

Ambil pecahan 2/3 dan atur ulang pembilangnya ke tempat penyebut, kita mendapatkan 3/2. Kami mendapat pecahan, kebalikan dari yang satu ini.

Untuk mendapatkan kebalikan pecahan dari yang diberikan, Anda harus menempatkan pembilangnya di tempat penyebut, dan penyebut di tempat pembilangnya. Dengan cara ini, kita bisa mendapatkan pecahan yang merupakan kebalikan dari pecahan apa pun. Sebagai contoh:

3/4, mundur 4/3; 5/6 , mundur 6/5

Dua pecahan yang memiliki sifat pembilang pertama adalah penyebut kedua dan penyebut pertama adalah pembilang kedua disebut saling terbalik.

Sekarang mari kita pikirkan pecahan apa yang merupakan kebalikan dari 1/2. Jelas, itu akan menjadi 2 / 1, atau hanya 2. Mencari pecahan, kebalikan dari ini, kami mendapat bilangan bulat. Dan kasus ini tidak terisolasi; sebaliknya, untuk semua pecahan dengan pembilang 1 (satu), kebalikannya adalah bilangan bulat, misalnya:

1/3, kebalikan 3; 1 / 5, mundur 5

Karena ketika menemukan timbal balik kita juga bertemu dengan bilangan bulat, di masa depan kita tidak akan berbicara tentang timbal balik, tetapi tentang timbal balik.

Mari kita cari tahu cara menulis kebalikan dari bilangan bulat. Untuk pecahan, ini diselesaikan secara sederhana: Anda harus meletakkan penyebut di tempat pembilang. Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan kebalikan dari bilangan bulat, karena bilangan bulat apa pun dapat memiliki penyebut 1. Jadi kebalikan dari 7 adalah 1 / 7, karena 7 \u003d 7 / 1; untuk angka 10 kebalikannya adalah 1/10 karena 10 = 10 / 1

Ide ini dapat diungkapkan dengan cara lain: kebalikan dari suatu bilangan diperoleh dengan membagi satu dengan nomor yang diberikan . Pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk pecahan. Memang, jika Anda ingin menulis angka yang merupakan kebalikan dari 5 / 9, maka kita dapat mengambil 1 dan membaginya dengan 5 / 9, yaitu.

Sekarang mari kita tunjukkan satu Properti angka yang saling timbal balik, yang akan berguna bagi kita: hasil kali bilangan yang saling timbal balik sama dengan satu. Memang:

Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menemukan timbal balik dengan cara berikut. Mari kita cari kebalikan dari 8.

Mari kita tunjukkan dengan huruf x , lalu 8 x = 1, maka x = 1 / 8 . Mari kita cari angka lain, kebalikan dari 7/12, dilambangkan dengan huruf x , lalu 7 / 12 x = 1, maka x = 1:7 / 12 atau x = 12 / 7 .

Kami memperkenalkan di sini konsep bilangan timbal balik untuk sedikit melengkapi informasi tentang pembagian pecahan.

Saat kita membagi angka 6 dengan 3 / 5, maka kita lakukan hal berikut:

Membayar Perhatian khusus untuk ekspresi dan membandingkannya dengan yang diberikan: .

Jika kita mengambil ekspresi secara terpisah, tanpa koneksi dengan yang sebelumnya, maka tidak mungkin untuk menyelesaikan pertanyaan dari mana asalnya: dari membagi 6 dengan 3/5 atau dari mengalikan 6 dengan 5/3. Dalam kedua kasus, hasilnya sama. Jadi kita bisa mengatakan bahwa membagi satu angka dengan yang lain dapat diganti dengan mengalikan dividen dengan kebalikan dari pembagi.

Contoh-contoh yang kami berikan di bawah ini sepenuhnya mengkonfirmasi kesimpulan ini.

Perkalian dan pembagian pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Operasi ini jauh lebih bagus daripada penjumlahan-pengurangan! Karena lebih mudah. Saya ingatkan Anda: untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasilnya) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebutnya). Yaitu:

Sebagai contoh:

Semuanya sangat sederhana. Dan tolong jangan mencari penyebut yang sama! Tidak perlu di sini ...

Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu membalik kedua(ini penting!) pecahan dan kalikan, yaitu:

Sebagai contoh:

Jika perkalian atau pembagian dengan bilangan bulat dan pecahan tertangkap, tidak apa-apa. Seperti halnya penjumlahan, kita membuat pecahan dari bilangan bulat dengan penyebut satuan - dan lanjutkan! Sebagai contoh:

Di sekolah menengah, Anda sering kali harus berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau bahkan empat tingkat!). Sebagai contoh:

Bagaimana cara membawa pecahan ini ke bentuk yang layak? Ya, sangat mudah! Gunakan pembagian melalui dua titik:

Tapi jangan lupa tentang urutan pembagiannya! Tidak seperti perkalian, ini sangat penting di sini! Tentu saja, kita tidak akan mengacaukan 4:2 atau 2:4. Tetapi dalam pecahan tiga lantai mudah untuk membuat kesalahan. Harap dicatat, misalnya:

Dalam kasus pertama (ekspresi di sebelah kiri):

Di yang kedua (ekspresi di sebelah kanan):

Rasakan perbedaan nya? 4 dan 1/9!

Bagaimana urutan pembagiannya? Atau kurung, atau (seperti di sini) panjang garis horizontal. Kembangkan mata. Dan jika tidak ada tanda kurung atau tanda hubung, seperti:

lalu bagi-kalikan berurutan, kiri ke kanan!

Dan sangat sederhana dan trik penting. Dalam tindakan dengan derajat, itu akan berguna untuk Anda! Mari kita bagi unit dengan pecahan apa pun, misalnya, dengan 13/15:

Tembakan telah berbalik! Dan itu selalu terjadi. Saat membagi 1 dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.

Itu semua tindakan dengan pecahan. Masalahnya cukup sederhana, tetapi memberikan lebih dari cukup kesalahan. Catatan saran praktis, dan mereka (kesalahan) akan lebih sedikit!

Tip Praktis:

1. Hal terpenting saat bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Tidak kata-kata umum, bukan keinginan baik! Ini adalah kebutuhan yang parah! Lakukan semua perhitungan pada ujian sebagai tugas penuh, dengan konsentrasi dan kejelasan. Lebih baik menulis dua baris ekstra dalam konsep daripada mengacaukan saat menghitung di kepala Anda.

2. Dalam contoh dengan jenis yang berbeda pecahan - pergi ke pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai berhenti.

4. Berlantai banyak ekspresi pecahan kami mengurangi menjadi yang biasa menggunakan pembagian melalui dua titik (kami mengikuti urutan pembagian!).

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Berikut adalah tugas yang harus Anda selesaikan. Jawaban diberikan setelah semua tugas. Gunakan materi topik ini dan saran praktis. Perkirakan berapa banyak contoh yang dapat Anda selesaikan dengan benar. Pertama kali! Tanpa kalkulator! Dan menarik kesimpulan yang benar...

Ingat jawaban yang benar diperoleh dari kedua (terutama yang ketiga) waktu - tidak masuk hitungan! Begitulah kerasnya hidup.

Jadi, selesaikan dalam mode ujian ! Omong-omong, ini adalah persiapan untuk ujian. Kami memecahkan sebuah contoh, kami memeriksa, kami memecahkan yang berikut ini. Kami memutuskan segalanya - kami memeriksa lagi dari yang pertama hingga yang terakhir. Hanya Kemudian lihat jawabannya.

Menghitung:

Apa anda sudah memutuskan?

Mencari jawaban yang cocok dengan Anda. Saya secara khusus menuliskannya dalam kekacauan, jauh dari godaan, sehingga untuk berbicara ... Ini dia, jawabannya, ditulis dengan titik koma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dan sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil - senang untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak...

Jadi Anda memiliki satu dari dua masalah. Atau keduanya sekaligus.) Kurangnya pengetahuan dan (atau) kurangnya perhatian. Tapi ini larut Masalah.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Bilangan pecahan biasa pertama kali bertemu anak-anak sekolah di kelas 5 dan menemani mereka sepanjang hidup mereka, karena dalam kehidupan sehari-hari seringkali perlu untuk mempertimbangkan atau menggunakan beberapa objek tidak seluruhnya, tetapi dalam potongan-potongan yang terpisah. Awal studi topik ini - bagikan. Saham adalah bagian yang sama di mana suatu objek dibagi. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk menyatakan, misalnya, panjang atau harga suatu produk sebagai bilangan bulat; seseorang harus memperhitungkan bagian atau bagian dari ukuran apa pun. Dibentuk dari kata kerja "untuk menghancurkan" - untuk membagi menjadi beberapa bagian, dan memiliki akar bahasa Arab, pada abad VIII kata "fraksi" itu sendiri muncul dalam bahasa Rusia.

Ekspresi pecahan lama dianggap sebagai cabang matematika yang paling sulit. Pada abad ke-17, ketika buku teks matematika pertama kali muncul, mereka disebut "angka rusak", yang sangat sulit untuk ditampilkan dalam pemahaman orang.

tampilan modern residu pecahan sederhana, yang bagian-bagiannya dipisahkan dengan tepat oleh garis horizontal, pertama kali disumbangkan ke Fibonacci - Leonardo dari Pisa. Tulisan-tulisannya bertanggal 1202. Tetapi tujuan dari artikel ini adalah untuk menjelaskan secara sederhana dan jelas kepada pembaca bagaimana perkalian pecahan campuran dengan penyebut yang berbeda terjadi.

Perkalian pecahan dengan penyebut berbeda

Awalnya, perlu untuk menentukan macam-macam pecahan:

• benar;
• salah;
• Campuran.

Selanjutnya, Anda perlu mengingat bagaimana bilangan pecahan dengan penyebut yang sama dikalikan. Aturan dari proses ini mudah dirumuskan secara independen: hasil perkalian pecahan sederhana dengan penyebut yang sama adalah ekspresi pecahan, yang pembilangnya adalah produk dari pembilangnya, dan penyebutnya adalah produk dari penyebut dari pecahan yang diberikan. Artinya, pada kenyataannya, penyebut baru adalah kuadrat dari salah satu yang sudah ada pada awalnya.

Saat mengalikan pecahan sederhana dengan penyebut yang berbeda untuk dua atau lebih faktor, aturan tidak berubah:

Sebuah/B * C/D = a*c / b*d.

Satu-satunya perbedaan adalah itu bilangan yang dibentuk di bawah bilah pecahan akan menjadi produk dari angka yang berbeda dan, tentu saja, kuadrat dari satu ekspresi numerik tidak mungkin untuk menyebutnya.

Perlu mempertimbangkan perkalian pecahan dengan penyebut yang berbeda menggunakan contoh:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Contoh menggunakan cara untuk mengurangi ekspresi pecahan. Anda hanya dapat membatalkan nomor pembilang dengan nomor penyebut, di sebelah pengganda berdiri di atas bilah pecahan atau di bawahnya tidak dapat disingkat.

Selain sederhana bilangan pecahan, ada konsep pecahan campuran. Bilangan campuran terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan, yaitu jumlah dari bilangan-bilangan ini:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Bagaimana cara kerja perkalian?

Beberapa contoh diberikan untuk dipertimbangkan.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Contoh menggunakan perkalian suatu bilangan dengan bagian pecahan biasa, Anda dapat menuliskan aturan untuk tindakan ini dengan rumus:

Sebuah * B/C = a*b /C.

Faktanya, produk semacam itu adalah jumlah dari sisa pecahan yang identik, dan jumlah suku menunjukkan bilangan asli ini. kasus spesial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Ada opsi lain untuk menyelesaikan perkalian suatu bilangan dengan sisa pecahan. Anda hanya perlu membagi penyebut dengan angka ini:

D* e/F = e/f: d.

Sangat berguna untuk menggunakan teknik ini ketika penyebut dibagi dengan bilangan asli tanpa sisa atau, seperti yang mereka katakan, sepenuhnya.

Ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa dan dapatkan produk dengan cara yang dijelaskan sebelumnya:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Contoh ini melibatkan cara untuk menyatakan pecahan campuran sebagai pecahan biasa, itu juga dapat direpresentasikan sebagai rumus umum:

Sebuah BC = a*b+ c / c, di mana penyebut pecahan baru dibentuk dengan mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan menambahkannya ke pembilang aslinya sisa pecahan, dan penyebutnya tetap sama.

Proses ini juga bekerja di sisi sebaliknya. Untuk memilih bagian bilangan bulat dan sisa pecahan, Anda perlu membagi pembilang dari pecahan biasa dengan penyebutnya dengan "sudut".

Perkalian pecahan tak wajar diproduksi dengan cara biasa. Kapan perekaman sedang berlangsung di bawah garis pecahan tunggal, jika perlu, Anda perlu mengurangi pecahan untuk mengurangi angka menggunakan metode ini dan lebih mudah untuk menghitung hasilnya.

Ada banyak pembantu di Internet untuk memecahkan masalah yang rumit sekalipun. Soal matematika dalam berbagai program. Sejumlah layanan semacam itu menawarkan bantuan mereka dalam menghitung perkalian pecahan dengan nomor yang berbeda dalam penyebut - yang disebut kalkulator online untuk menghitung pecahan. Mereka tidak hanya dapat berkembang biak, tetapi juga menghasilkan semua yang paling sederhana lainnya operasi aritmatika dengan pecahan biasa dan bilangan campuran. Mudah untuk bekerja dengannya, bidang yang sesuai diisi di halaman situs, tanda dipilih aksi matematika dan klik "hitung". Program menghitung secara otomatis.

Tema operasi aritmatika dengan bilangan pecahan relevan di seluruh pendidikan anak sekolah menengah dan atas. Di sekolah menengah, mereka tidak lagi mempertimbangkan spesies yang paling sederhana, tapi ekspresi pecahan bilangan bulat, tetapi pengetahuan tentang aturan untuk transformasi dan perhitungan, yang diperoleh sebelumnya, diterapkan dalam bentuk aslinya. dicerna dengan baik pengetahuan dasar memberi percaya diri penuh di dalam keputusan yang bagus paling tugas yang menantang.

Sebagai kesimpulan, masuk akal untuk mengutip kata-kata Leo Tolstoy, yang menulis: “Manusia adalah pecahan. Bukanlah kekuatan manusia untuk meningkatkan pembilangnya - kelebihannya sendiri, tetapi siapa pun dapat mengurangi penyebutnya - pendapatnya tentang dirinya sendiri, dan dengan pengurangan ini mendekati kesempurnaannya.