Konsep barisan numerik menyiratkan bahwa setiap bilangan asli sesuai dengan beberapa nilai nyata. Serangkaian angka seperti itu dapat bersifat arbitrer dan memiliki sifat tertentu - sebuah perkembangan. PADA kasus terakhir setiap elemen (anggota) berikutnya dari urutan dapat dihitung menggunakan yang sebelumnya.

Deret aritmatika - barisan nilai numerik, di mana anggota tetangganya berbeda satu sama lain dengan jumlah yang sama (semua elemen deret, mulai dari yang ke-2, memiliki properti yang serupa). Nomor yang diberikan- perbedaan antara anggota sebelumnya dan selanjutnya adalah konstan dan disebut perbedaan perkembangan.

Perbedaan Kemajuan: Definisi

Perhatikan barisan yang terdiri dari nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j termasuk himpunan bilangan asli N. Deret aritmatika, menurut definisinya, adalah barisan , dimana a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diinginkan dari perkembangan ini.

d = a(j) - a(j-1).

Alokasikan:

• Progresi yang meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, …
• penurunan progresi, maka d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perbedaan perkembangan dan elemen arbitrernya

Jika 2 anggota arbitrer dari perkembangan (i-th, k-th) diketahui, maka perbedaan untuk barisan ini dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, jadi d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Selisih perkembangan dan suku pertamanya

Ekspresi ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kasus di mana jumlah elemen urutan diketahui.

Selisih progres dan jumlahnya

Jumlah dari suatu perkembangan adalah jumlah dari suku-sukunya. Untuk menghitung nilai total elemen j pertamanya, gunakan rumus yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi karena a(j) = a(1) + d(j – 1), lalu S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Tingkat pertama

Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan numerik

Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:

Urutan numerik
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.
Nomor dengan nomor disebut anggota -th dari urutan.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita punya urutan numerik, di mana perbedaan antara nomor tetangga adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dll.
Barisan numerik seperti itu disebut deret aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada awal abad ke-6 dan dipahami secara lebih pengertian luas, sebagai barisan bilangan tak hingga. Nama "aritmatika" dipindahkan dari teori proporsi kontinu, yang digunakan oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah urutan numerik, yang masing-masing anggotanya sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama. Angka ini disebut selisih deret aritmatika dan ditandai.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

sebuah)
b)
c)
d)

Mengerti? Bandingkan jawaban kami:
Adalah deret aritmatika - b, c.
Tidak deret aritmatika - a, d.

Mari kembali ke progresi yang diberikan () dan coba cari nilai anggota ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menjumlahkan nilai sebelumnya dari bilangan perkembangan sampai kita mencapai suku ke-th dari perkembangan tersebut. Ada baiknya kita tidak memiliki banyak hal untuk diringkas - hanya tiga nilai:

Jadi, anggota -th dari deret aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-th dari deret tersebut? Penjumlahan akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menambahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara di mana Anda tidak perlu menambahkan selisih dari deret aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan baik-baik gambar yang digambar... Tentunya Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apa yang membentuk nilai anggota -th dari deret aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Coba cari sendiri dengan cara ini nilai anggota deret aritmatika ini.

Dihitung? Bandingkan entri Anda dengan jawaban:

Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan anggota deret aritmatika ke nilai sebelumnya secara berurutan.
Mari kita coba "depersonalisasi" rumus ini- mari kita bawa ke bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan deret aritmatika.

Progresi aritmatika meningkat atau menurun.

meningkat- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah lebih besar dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah kurang dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Rumus turunan digunakan dalam penghitungan suku dalam suku naik dan turun dari deret aritmatika.
Mari kita periksa dalam praktek.
Kami diberikan deret aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut:

Dari dulu:

Dengan demikian, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam penurunan maupun peningkatan deret aritmatika.
Coba cari sendiri anggota -th dan -th dari deret aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti deret aritmatika

Mari kita memperumit tugas - kita mendapatkan properti dari perkembangan aritmatika.
Misalkan kita diberikan kondisi berikut:
- deret aritmatika, temukan nilainya.
Mudah, katamu, dan mulailah menghitung sesuai dengan rumus yang sudah kamu ketahui:

Misalkan a, maka:

Benar-benar tepat. Ternyata pertama kita temukan, lalu tambahkan ke angka pertama dan dapatkan yang kita cari. Jika progresi diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit tentangnya, tetapi bagaimana jika kita diberikan angka dalam kondisi? Setuju, ada kemungkinan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan, apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja, ya, dan kami akan mencoba mengeluarkannya sekarang.

Mari kita tunjukkan suku yang diinginkan dari deret aritmatika sebagai, kita tahu rumus untuk menemukannya - ini adalah rumus yang sama yang kita peroleh di awal:
, kemudian:

• anggota progresi sebelumnya adalah:
• suku perkembangan selanjutnya adalah :

Mari kita jumlahkan anggota progresi sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah anggota perkembangan sebelumnya dan selanjutnya adalah dua kali lipat nilai anggota perkembangan yang terletak di antara mereka. Dengan kata lain, untuk menemukan nilai anggota perkembangan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, perlu untuk menambahkannya dan membaginya.

Itu benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari kita perbaiki materinya. Hitung sendiri nilai progresnya, karena sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tetap menemukan hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, "raja matematikawan" - Karl Gauss, dengan mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, sang guru, sibuk memeriksa pekerjaan siswa dari kelas lain, menanyakan tugas berikut di pelajaran: "Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif. " Apa yang mengejutkan guru ketika salah satu muridnya (itu adalah Karl Gauss) setelah satu menit memberikan jawaban yang benar untuk tugas itu, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani setelah perhitungan yang lama menerima hasil yang salah ...

Carl Gauss muda memperhatikan sebuah pola yang dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita memiliki deret aritmatika yang terdiri dari anggota -ti: Kita perlu mencari jumlah anggota deret aritmatika yang diberikan. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu menemukan jumlah sukunya dalam tugas, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengan angka-angka tersebut.


Mencoba? Apa yang Anda perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan seperti itu dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari semua angka, yaitu.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua anggota barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita mendapatkan bahwa jumlah total adalah sama dengan:
.
Jadi, rumus untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal, kita tidak mengetahui suku ke-th, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Cobalah untuk mengganti rumus jumlah, rumus anggota ke-.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th, dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang Anda dapatkan?
Gauss ternyata jumlah istilahnya sama, dan jumlah istilahnya. Apakah itu cara Anda memutuskan?

Faktanya, rumus jumlah anggota deret aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini orang-orang cerdas menggunakan sifat-sifat deret aritmatika dengan kekuatan dan utama.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan kebanyakan konstruksi skala besar waktu itu - pembangunan piramida ... Gambar menunjukkan satu sisinya.

Di mana perkembangannya di sini, katamu? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding piramida.


Mengapa bukan deret aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang diperlukan untuk membangun satu dinding jika bata balok ditempatkan di dasarnya. Saya harap Anda tidak akan menghitung dengan menggerakkan jari Anda melintasi monitor, apakah Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang deret aritmatika?

PADA kasus ini progresnya terlihat seperti ini:
Selisih barisan aritmatika.
Banyaknya anggota barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke rumus terakhir (kita hitung jumlah balok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda juga dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah balok yang ada di piramida kami. Apakah itu setuju? Selamat, Anda telah menguasai jumlah suku ke-th dari suatu deret aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok di pangkalan, tetapi dari? Coba hitung berapa banyak batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Bekerja

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squat. Berapa kali Masha akan jongkok dalam beberapa minggu jika dia melakukan jongkok pada latihan pertama.
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada
3. Saat menyimpan log, penebang kayu menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu dalam satu pasangan bata, jika dasar pasangan bata adalah kayu.

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter deret aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus jongkok sekali sehari.

2. Pertama angka ganjil, nomor terakhir.
   Selisih barisan aritmatika.
   Jumlah bilangan ganjil di - setengah, bagaimanapun, periksa fakta ini menggunakan rumus untuk menemukan anggota -th dari deret aritmatika:

   Angka tersebut memang mengandung angka ganjil.
   Kami mengganti data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya sama dengan.

3. Ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kami, a , karena setiap lapisan atas dikurangi dengan satu log, hanya ada sekelompok lapisan, yaitu.
   Substitusikan data ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada log di batu.

Menyimpulkan

1. - urutan numerik di mana perbedaan antara nomor yang berdekatan adalah sama dan sama. Hal ini meningkat dan menurun.
2. Menemukan rumus Anggota ke deret aritmatika ditulis dengan rumus - , di mana adalah jumlah angka dalam deret.
3. Properti anggota deret aritmatika- - di mana - jumlah angka dalam perkembangan.
4. Jumlah anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana adalah jumlah nilai.

PROGRESI aritmatika. LEVEL RATA-RATA

Urutan numerik

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka. Tetapi Anda selalu dapat membedakan mana di antara mereka yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, yaitu, kita dapat memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari set ini.

Nomor dengan nomor disebut anggota -th dari urutan.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Sangat mudah jika anggota -th dari barisan dapat diberikan oleh beberapa rumus. Misalnya rumus

mengatur urutan:

Dan rumusnya adalah urutan sebagai berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan (suku pertama di sini adalah sama, dan selisihnya). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku -th, Anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, misalnya, suku ke- dari perkembangan menggunakan rumus seperti itu, kita harus menghitung sembilan sebelumnya. Misalnya, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris, kami menambahkan, dikalikan dengan beberapa nomor. Untuk apa? Sangat sederhana: ini adalah jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam deret aritmatika, temukan rumus untuk suku ke-n dan temukan suku keseratus.

Larutan:

Anggota pertama sama. Dan apa perbedaannya? Dan inilah yang:

(Lagi pula, itu disebut perbedaan karena sama dengan perbedaan anggota perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya adalah:

Maka suku keseratusnya adalah:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, matematikawan hebat Carl Gauss, seorang anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua dari belakang adalah sama, jumlah ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Ada berapa pasangan seperti itu? Itu benar, persis setengah jumlah semua angka, yaitu. Jadi,

Rumus umum untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semuanya angka dua digit, kelipatan.

Larutan:

Angka pertama adalah ini. Setiap berikutnya diperoleh dengan menambahkan nomor ke yang sebelumnya. Jadi, jumlah yang menarik bagi kami membentuk deret aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke th untuk deret ini adalah:

Berapa banyak suku dalam deret jika semuanya harus dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir dari progresi akan sama. Maka jumlah:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari 1m lebih banyak dari hari sebelumnya. Berapa kilometer yang akan dia tempuh dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda mengendarai lebih banyak mil setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama ia melakukan perjalanan km. Berapa hari dia harus berkendara untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan?
3. Harga lemari es di toko dikurangi dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, disiapkan untuk dijual seharga rubel, enam tahun kemudian dijual seharga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali deret aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan:, perlu untuk menemukan.
   Jelas, Anda perlu menggunakan rumus jumlah yang sama seperti pada masalah sebelumnya:
   .
   Substitusikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama hari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Itu tidak menjadi lebih mudah:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI aritmatika. SINGKAT TENTANG UTAMA

Ini adalah urutan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.

Deret aritmatika meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Rumus untuk menemukan anggota ke-n dari deret aritmatika

ditulis sebagai rumus, di mana adalah jumlah angka dalam perkembangan.

Properti anggota deret aritmatika

Itu memudahkan untuk menemukan anggota perkembangan jika anggota tetangganya diketahui - di mana jumlah angka dalam perkembangan itu.

Jumlah anggota deret aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlah:

Dimana jumlah nilai.

Dimana jumlah nilai.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Deret aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. indeks huruf, anggota ke-n progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)

Konsep deret aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semua orang ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dll akan melangkah lebih jauh.

Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?

Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin kunci deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.

Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)

Poin kunci pertama.

Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membangun grafik dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...

Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)

Poin kunci kedua.

Dalam deret aritmatika, setiap angka berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.

Poin kunci ketiga.

Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Ini dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.

Itulah intinya.

Tentu saja, di topik baru istilah dan notasi baru muncul. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:

Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2,5.

Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.

Istilah dan sebutan.

Deret aritmatika adalah deretan angka yang setiap angkanya berbeda dengan angka sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.

Selisih barisan aritmatika.

Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.

Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.

Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu menambahkan ke keempat baik, dll.

Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nomor adalah menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.

Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.

Sebagai contoh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke yang sebelumnya, tapi angka negatif, -5.

Omong-omong, ketika bekerja dengan progresi, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.

Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)

Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya, itu. delapan:

Ini adalah jawaban yang benar. Untuk deret aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.

Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)

Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.

Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun mengambil yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.

Istilah dan sebutan lainnya.

Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.

Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, yah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!

Cara merekam progres di pandangan umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).

Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.

Terakhir perkembangan memiliki jumlah terbatas anggota. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.

tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tak terbatas, seperti yang Anda duga.)

Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan titik di akhir:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

PADA singkatan Anda harus menentukan jumlah anggota tambahan. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:

(a n), n = 20

Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.

Contoh tugas untuk deret aritmatika.

Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:

1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami mentransfer tugas ke bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.

Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....

sebuah 3 = sebuah 2 + d

Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!

sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Suku ketiga adalah kurang dari satu detik. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:

sebuah 4 = sebuah 3 + d

sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

sebuah 5 = sebuah 4 + d

sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5

sebuah 6 = sebuah 5 + d

sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Tetap mencari suku pertama sebuah 1 pada kedua yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah membawa pergi:

sebuah 1 = sebuah 2 - d

sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu saja. Tanggapan tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang cara. dia kata menakutkan berarti, hanya, mencari istilah perkembangan dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.

Dari sini tugas sederhana satu kesimpulan penting dapat ditarik.

Ingat:

Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.

Ingat? Derivasi sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah pada topik ini. Semua tugas berputar di sekitar tiga utama parameter: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.

Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berputar di sekitar tiga parameter.

Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer pada topik ini.

2. Tulis deret aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.

Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak dihitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Tetap menuliskan jawabannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh lolos antara 6,5 ​​dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.

Jawaban: tidak.

Dan ini adalah masalah berdasarkan versi asli GI:

4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; limabelas; X; 9; 6; ...

Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa untuk mengetahui dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?

Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.

Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya ada! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:

Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi X dapat dengan mudah ditemukan tambahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:

Itu saja. Menjawab: x=12

Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.

5. Tentukan suku positif pertama dari deret aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Diketahui bilangan 5,5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1,6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari istilah ini.

7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .

8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.

10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.

Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; empat.

Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat mempelajari perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.

Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Di Bagian Khusus 555, semua teka-teki ini diurutkan berdasarkan tulang.) Dan, tentu saja, sederhana teknik praktis, yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, dalam tampilan penuh!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan juga fisika. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke angka, menulis seri, semuanya akan diputuskan.

Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih sulit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)

Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:

Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?

Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, yang menurutnya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu deret aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOO!) ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanya angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara nomor berdiri sudah sama dengan lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sedangkan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya pasangan catatan penting. Pertama, kemajuan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah perkembangan tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat peningkatan yang - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh progresi yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Deret aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
2. menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka progresnya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka progresnya jelas menurun;
3. Akhirnya, ada kasus $d=0$, dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner nomor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...) dll.

Mari kita coba hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita kurang lebih mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen dari barisan kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Baik\)\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang bertetangga terkait dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk menemukan suku ke $n$ dari perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan pada kenyataannya, semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan formula ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal tentang matematika, itu adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangan $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat disubstitusikan - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tulislah tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuhnya adalah 40 dan suku ketujuh belasnya adalah 50.

Larutan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Baik.\]

Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kita perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Sama seperti itu, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap menggantikan nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal menemukan suku kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

perhatikan properti penasaran progresi yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $n$ dan $m$ dan mengurangkannya satu sama lain, maka kita mendapatkan selisih dari progresi dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana tapi sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi dari banyak masalah dalam progresi. Di Sini cerah untuk itu contoh:

Tugas nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan berikut ini:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sementara suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat dari suatu progresi yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kita hanya akan tertidur sampai kita menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba untuk memecahkan masalah ini dengan cara yang lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; -35,8; …?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35,8$, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi memang suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: sampai jam berapa (yaitu sampai apa bilangan asli$n$) negativitas istilah dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \benar. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah tepat $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam deret aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

Selain itu, mari kita coba mengungkapkan istilah kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan angka positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Minimum solusi bilangan bulat pertidaksamaan yang diberikan adalah bilangan 56.

Harap dicatat: di tugas terakhir semuanya turun ke ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya beri tahu Anda, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi gambar menggambarkan artinya dengan baik

Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika bilangan tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan langkah $k$ — dan rumusnya tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berurutan dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Larutan. Karena angka yang ditunjukkan adalah anggota dari perkembangan, mereka memenuhi kondisi rata-rata aritmatika: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sedemikian rupa sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Ayo ekspresikan lagi anggota tengah melalui mean aritmatika anggota tetangga:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa memastikan bahwa jawaban-jawaban ini benar? Mari kita pasang ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk deret aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka -54; 2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan tugas terakhir, kami menemukan yang lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata aritmatika dulu dan yang terakhir, angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk benar-benar "membangun" progresi yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" semacam itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang secara langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengelompokan dan jumlah elemen

Mari kembali ke sumbu numerik. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lain:

6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan "ekor kiri" dalam $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai awal dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke sisi yang berlawanan(ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menghapus), maka jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat direpresentasikan dengan baik secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah lebih mendasar level tinggi kompleksitas dari yang dibahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih suatu barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang ada di dalam tangki: Saya mengeluarkan faktor umum 11 dari kurung kedua. Jadi, produk yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, perhatikan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien pada suku tertinggi adalah 11 - ini adalah nomor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

jadwal fungsi kuadrat- parabola

Catatan: nilai minimum parabola ini mengambil $((d)_(0))$ pada simpulnya dengan absis. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, jadi titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata bilangan aritmatika-66 dan -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang dibutuhkan membutuhkan nilai terkecil(Omong-omong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - kami tidak diharuskan untuk melakukan ini). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Sisipkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama dengan angka yang diberikan, mereka membentuk deret aritmatika.

Larutan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan angka pertama dan terakhir sudah diketahui. Tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan ujung progresi. Ingat mean aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Berdebat sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara bilangan 2 dan 42, sisipkan beberapa bilangan yang bersama-sama dengan bilangan yang diberikan membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah bilangan pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Bahkan lebih tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui mean aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\left(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun, perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini berarti bahwa

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ekspresi di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan progresi

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi kebanyakan siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang ditemukan di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan di masing-masing bulan depan menghasilkan 14 bagian lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak suku cadang yang diproduksi brigade pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, yang dilukis berdasarkan bulan, akan menjadi deret aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.

Tugas nomor 12. Lokakarya penjilidan buku menjilid 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulannya menjilid 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: “tentu saja pejuang muda» dengan progresi aritmatika Anda telah berhasil lulus. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta yang penting dan sangat konsekuensi yang bermanfaat dari dia.

Banyak yang telah mendengar tentang deret aritmatika, tetapi tidak semua orang tahu apa itu deret aritmatika. Pada artikel ini, kami akan memberikan definisi yang sesuai, dan juga mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika, dan memberikan sejumlah contoh.

Definisi matematika

Jadi jika kita sedang berbicara tentang deret aritmatika atau aljabar (konsep-konsep ini mendefinisikan hal yang sama), ini berarti bahwa ada beberapa seri nomor memuaskan hukum berikutnya: setiap dua bilangan bersebelahan dalam deret tersebut berbeda dengan jumlah yang sama. Secara matematis, ini ditulis seperti ini:

Di sini n berarti jumlah elemen a n dalam barisan, dan angka d adalah selisih dari deret (namanya mengikuti rumus yang disajikan).

Apa artinya mengetahui perbedaan d? Tentang seberapa jauh jarak angka yang berdekatan. Namun, pengetahuan tentang d diperlukan, tetapi tidak kondisi cukup untuk menentukan (mengembalikan) seluruh perkembangan. Anda perlu mengetahui satu angka lagi, yang benar-benar dapat berupa elemen apa pun dari deret yang dipertimbangkan, misalnya, a 4, a10, tetapi, sebagai aturan, angka pertama digunakan, yaitu, 1.

Rumus untuk menentukan elemen progresi

Secara umum, informasi di atas sudah cukup untuk melanjutkan ke solusi tugas tertentu. Namun demikian, sebelum deret aritmatika diberikan, dan akan diperlukan untuk menemukan perbedaannya, kami menyajikan pasangan rumus yang berguna, sehingga memudahkan proses pemecahan masalah selanjutnya.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa setiap elemen dari barisan dengan nomor n dapat ditemukan sebagai berikut:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Memang, setiap orang dapat memeriksa rumus ini dengan pencacahan sederhana: jika kita mengganti n = 1, maka kita mendapatkan elemen pertama, jika kita mengganti n = 2, maka ekspresi memberikan jumlah angka pertama dan perbedaannya, dan seterusnya.

Kondisi banyak masalah dikompilasi sedemikian rupa sehingga untuk pasangan angka yang diketahui, yang angka-angkanya juga diberikan secara berurutan, perlu untuk mengembalikan seluruh seri angka (temukan perbedaan dan elemen pertama). Sekarang kita akan menyelesaikan masalah ini secara umum.

Jadi, misalkan kita diberikan dua elemen dengan angka n dan m. Dengan menggunakan rumus yang diperoleh di atas, kita dapat membuat sistem dua persamaan:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Untuk menemukan jumlah yang tidak diketahui mari kita gunakan yang terkenal trik sederhana solusi dari sistem seperti itu: kami mengurangi berpasangan bagian kiri dan kanan, sementara kesetaraan tetap valid. Kita punya:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Jadi, kami telah menghilangkan satu yang tidak diketahui (a 1). Sekarang kita dapat menulis ekspresi akhir untuk menentukan d:

d = (a n - a m) / (n - m), di mana n > m

Kami telah memperoleh rumus yang sangat sederhana: untuk menghitung perbedaan d sesuai dengan kondisi masalah, hanya perlu mengambil rasio perbedaan antara elemen itu sendiri dan elemennya. nomor serial. Perhatian harus diberikan pada satu poin penting: perbedaan diambil antara anggota "senior" dan "junior", yaitu, n\u003e m ("senior" - artinya berdiri lebih jauh dari awal urutan, nilai mutlak bisa lebih besar atau lebih kecil dari elemen "lebih muda").

Ekspresi untuk perbedaan d dari kemajuan harus disubstitusikan ke salah satu persamaan di awal solusi masalah untuk mendapatkan nilai suku pertama.

Di zaman perkembangan kita teknologi komputer banyak anak sekolah mencoba mencari solusi untuk tugas mereka di Internet, jadi pertanyaan semacam ini sering muncul: temukan perbedaan deret aritmatika online. Atas permintaan seperti itu, mesin pencari akan menampilkan sejumlah halaman web, dengan masuk ke sana, Anda harus memasukkan data yang diketahui dari kondisinya (bisa berupa dua anggota perkembangan, atau jumlah dari beberapa di antaranya ) dan langsung mendapatkan jawaban. Namun demikian, pendekatan untuk memecahkan masalah seperti itu tidak produktif dalam hal perkembangan siswa dan memahami esensi tugas yang diberikan kepadanya.

Solusi tanpa menggunakan rumus

Mari kita selesaikan masalah pertama, sementara kita tidak akan menggunakan salah satu rumus di atas. Biarkan elemen-elemen deret tersebut diberikan: a6 = 3, a9 = 18. Temukan perbedaan dari barisan aritmatika.

Elemen yang diketahui berdekatan satu sama lain dalam satu baris. Berapa kali selisih d harus ditambahkan ke yang terkecil untuk mendapatkan yang terbesar? Tiga kali (pertama kali menambahkan d, kami mendapatkan elemen ke-7, kedua kalinya - kedelapan, akhirnya, ketiga kalinya - kesembilan). Berapa angka yang harus ditambahkan menjadi tiga tiga kali untuk mendapatkan 18? Ini nomor lima. Betulkah:

Jadi, perbedaan yang tidak diketahui adalah d = 5.

Tentu saja pemecahannya dapat dilakukan dengan menggunakan formula yang tepat, tetapi hal ini tidak dilakukan dengan sengaja. Penjelasan detail pemecahan masalah harus jelas dan contoh utama Apa itu barisan aritmatika.

Tugas yang mirip dengan yang sebelumnya

Sekarang mari kita putuskan tugas serupa, tetapi mengubah data input. Jadi, Anda harus mencari jika a3 = 2, a9 = 19.

Tentu saja, Anda dapat menggunakan lagi metode penyelesaian "di dahi". Tetapi karena elemen-elemen deret diberikan, yang relatif berjauhan, metode seperti itu menjadi sangat tidak nyaman. Tetapi menggunakan rumus yang dihasilkan akan dengan cepat membawa kita ke jawaban:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 2.83

Di sini kita telah membulatkan angka terakhir. Seberapa besar pembulatan ini menyebabkan kesalahan dapat dinilai dengan memeriksa hasilnya:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Hasil ini hanya berbeda 0,1% dari nilai yang diberikan dalam kondisi. Oleh karena itu, pembulatan yang digunakan ke perseratus dapat dipertimbangkan pilihan sukses.

Tugas untuk menerapkan rumus untuk anggota

Mempertimbangkan contoh klasik tugas untuk menentukan yang tidak diketahui d: temukan perbedaan dari barisan aritmatika jika a1 = 12, a5 = 40.

Ketika dua nomor yang tidak diketahui diberikan barisan aljabar, dan salah satunya adalah elemen a 1 , maka Anda tidak perlu berpikir panjang, tetapi Anda harus segera menerapkan rumus untuk anggota a n. Dalam hal ini kita memiliki:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Kita punya angka pasti saat membagi, jadi tidak masuk akal untuk memeriksa keakuratan hasil yang dihitung, seperti yang dilakukan pada paragraf sebelumnya.

Mari kita selesaikan masalah serupa lainnya: kita harus menemukan perbedaan dari deret aritmatika jika a1 = 16, a8 = 37.

Kami menggunakan pendekatan yang mirip dengan yang sebelumnya dan mendapatkan:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Apa lagi yang harus Anda ketahui tentang deret aritmatika

Selain tugas menemukan perbedaan yang tidak diketahui atau elemen individu, seringkali perlu untuk memecahkan masalah jumlah suku pertama suatu barisan. Pertimbangan atas permasalahan tersebut berada di luar cakupan topik artikel, namun demikian untuk kelengkapan informasi, kami hadirkan rumus umum untuk jumlah n bilangan deret:

n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2