შესავალი

1. თეორიული ნაწილი

1.1 ძირითადი ცნებები და განმარტებები

1.3 კარდანოს ფორმულა

2. პრობლემის გადაჭრა

დასკვნა

შესავალი

განტოლებები. დანამდვილებით შეიძლება ითქვას, რომ არ არის არც ერთი ადამიანი, ვინც მათ არ იცნობს. ადრეული ასაკიდან ბავშვები იწყებენ "X-ის პრობლემების" გადაჭრას. უფრო მეტი. მართალია, ბევრისთვის განტოლებების გაცნობა სასკოლო საქმეებით მთავრდება. ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსი კურანტი წერდა: „ორი ათას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში მათემატიკის სფეროში გარკვეული, არც თუ ისე ზედაპირული ცოდნის ფლობა აუცილებელი იყო. შემადგენელი ნაწილიათითოეულის ინტელექტუალურ ინვენტარში განათლებული ადამიანი". და ამ ცოდნას შორის იყო განტოლებების ამოხსნის უნარი.

უკვე ძველ დროში ხალხმა გააცნობიერა, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ისწავლონ ფორმის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა.

a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an = 0

ყოველივე ამის შემდეგ, პრაქტიკისა და საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ძალიან ბევრი და ძალიან მრავალფეროვანი კითხვა მათზეა დაყვანილი (რა თქმა უნდა, აქ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ a0 ¹ 0, რადგან სხვაგვარად განტოლების ხარისხი რეალურად არ არის n, არამედ ნაკლები). ბევრს, რა თქმა უნდა, გაუჩნდა მაცდური იდეა, ეპოვათ ფორმულები n-ის ნებისმიერი სიმძლავრისთვის, რომელიც გამოთქვამდა განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტებით, ანუ ხსნიდა განტოლებას რადიკალებში. თუმცა, „პირქუში შუა საუკუნეები“ რაც შეიძლება პირქუში აღმოჩნდა განსახილველ პრობლემასთან მიმართებაში - მთელი შვიდი საუკუნის მანძილზე ვერავინ იპოვა საჭირო ფორმულები! მხოლოდ მე -16 საუკუნეში იტალიელმა მათემატიკოსებმა შეძლეს წინსვლა - იპოვონ ფორმულები n \u003d 3 და 4-ისთვის. მათი აღმოჩენების ისტორია და ნაპოვნი ფორმულების ავტორობაც კი საკმაოდ ბუნდოვანია დღემდე და ჩვენ ვერ გავიგებთ. აქ რთული ურთიერთობაფეროს, კარდანოს, ტარტალლიასა და ფერარის შორის, მაგრამ მოდი უკეთესად ვთქვა მათემატიკური არსისაქმეები.

ნაშრომის მიზანია მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა.

ამ მიზნის მისაღწევად აუცილებელია მთელი რიგი დავალების შესრულება:

-ანალიზი სამეცნიერო ლიტერატურა;

-სასკოლო სახელმძღვანელოების ანალიზი;

-ამოხსნის მაგალითების შერჩევა;

-განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდით.

ნამუშევარი ორი ნაწილისგან შედგება. პირველი ეხება განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდებს. მეორე ნაწილი ეთმობა განტოლებების ამოხსნას სხვადასხვა გზები.

1. თეორიული ნაწილი

1 ძირითადი ცნებები და განმარტებები

კუბური განტოლება არის ფორმის მესამე ხარისხის განტოლება:

რიცხვს x, რომელიც აქცევს განტოლებას იდენტურად, ეწოდება განტოლების ფესვი ან ამონახსნი. ის ასევე არის მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფესვი, რომელიც არის კანონიკური აღნიშვნის მარცხენა მხარეს.

რთული რიცხვების ველზე, ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით, კუბურ განტოლებას ყოველთვის აქვს 3 ფესვი (სიმრავლის გათვალისწინებით).

ვინაიდან ყველა რეალური მრავალწევრი არ არის ხარისხიც კიაქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი, კუბური განტოლების ფესვების შედგენის ყველა შესაძლო შემთხვევა ამოწურულია ქვემოთ აღწერილი სამით. ეს შემთხვევები ადვილად გამოირჩევა დისკრიმინანტის გამოყენებით

ასე რომ, შესაძლებელია მხოლოდ სამი შემთხვევა:

Თუ? > 0, მაშინ განტოლებას სამი განსხვავებული რეალური ფესვი აქვს.

Თუ?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Თუ? = 0, მაშინ მინიმუმ ორი ფესვი ემთხვევა. ეს შეიძლება იყოს, როდესაც განტოლებას აქვს ორმაგი რეალური ფესვი და მათგან განსხვავებული სხვა რეალური ფესვი; ან სამივე ძირი ემთხვევა 3-ის სიმრავლის ფესვს. კუბური განტოლების შედეგი და მისი მეორე წარმოებული გვეხმარება ამ ორი შემთხვევის გამიჯვნაში: მრავალწევრს აქვს 3 სიმრავლის ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მითითებული შედეგიც არის ნული.

კუბური განტოლების ფესვები დაკავშირებულია კოეფიციენტებთან შემდეგნაირად:

1.2 კუბური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კუბური განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია აღრიცხვის მეთოდი.

პირველ რიგში, ჩამოთვლით ვპოულობთ განტოლების ერთ-ერთ ფესვს. ფაქტია რომ კუბური განტოლებებიყოველთვის ჰქონდა მინიმუმერთი ნამდვილი ფესვი, ხოლო კუბური განტოლების მთელი ძირი კოეფიციენტებით არის d თავისუფალი წევრის გამყოფი. ამ განტოლებების კოეფიციენტები, როგორც წესი, ისეა შერჩეული, რომ სასურველი ფესვი იყოს მცირე მთელ რიცხვებს შორის, როგორიცაა: 0, ± 1, ± 2, ± 3. ამიტომ, ჩვენ ვეძებთ ფესვს ამ რიცხვებს შორის და შევამოწმებთ მას ჩანაცვლებით. განტოლება. ამ მიდგომით წარმატების მაჩვენებელი ძალიან მაღალია. დავუშვათ ეს ფესვი.

ამოხსნის მეორე საფეხურია მრავალწევრის გაყოფა x - x1 ორწევრზე. ბეზუტის თეორემის მიხედვით, ნაშთის გარეშე ეს გაყოფა შესაძლებელია და შედეგად მივიღებთ მეორე ხარისხის მრავალწევრს, რომელიც უნდა გავტოლოთ ნულის ტოლფასი. მიღებული კვადრატული განტოლების ამოხსნით ჩვენ ვიპოვით (ან არა) დარჩენილ ორ ფესვს.

ორმხრივი კუბური განტოლების ამოხსნა

ორმხრივი კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა (2)

ეს განტოლება მცირდება ფორმამდე არანულოვანი კოეფიციენტ A-ზე გაყოფით. შემდეგი, გამოიყენება კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით და კვადრატულ ტრინომს აქვს მხოლოდ რთული ფესვები.

განმეორებადი კუბური განტოლებები

საპასუხო კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა და B- კოეფიციენტები.

დავაჯგუფოთ:

ცხადია, x=-1 არის ასეთი განტოლების ფესვი და მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები ადვილად იპოვება დისკრიმინანტის მეშვეობით.

1.3 კარდანოს ფორმულა

AT ზოგადი შემთხვევაკუბური განტოლების ფესვები გვხვდება კარდანოს ფორმულით.

კუბური განტოლებისთვის (1), მნიშვნელობები ნაპოვნია ჩანაცვლების გამოყენებით: x= (2) და განტოლება მცირდება ფორმაში:

არასრული კუბური განტოლება, რომელშიც არ იქნება მეორე ხარისხის შემცველი ტერმინი.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ განტოლებას აქვს კოეფიციენტები რთული რიცხვები. ამ განტოლებას ყოველთვის ექნება რთული ფესვები.

ავღნიშნოთ ამ ძირებიდან ერთ-ერთი: . შემოგვაქვს დამხმარე უცნობი u და განვიხილავთ მრავალწევრს f(u)=.

ავღნიშნოთ ამ მრავალწევრის ფესვები? და?, ვიეტის თეორემის მიხედვით (იხ. გვ. 8):

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (3), გამოსახულებაში (4), მივიღებთ:

(5) მეორე მხრიდან: (7)

აქედან გამომდინარეობს, ანუ ფორმულებიდან (6), (7), რომ რიცხვები არის განტოლების ფესვები:

ბოლო განტოლებიდან:

დანარჩენი ორი ფესვი გვხვდება ფორმულით:

1.4 ტრიგონომეტრიული ფორმულავიეტა

ეს ფორმულა პოულობს ამონახსნებს შემცირებული კუბური განტოლებისთვის, ანუ ფორმის განტოლებისთვის

ცხადია, ნებისმიერი კუბური განტოლება შეიძლება შემცირდეს (4) ფორმის განტოლებამდე მისი უბრალოდ a კოეფიციენტზე გაყოფით. ასე რომ, ამ ფორმულის გამოყენების ალგორითმი:

გამოთვალეთ

2. გამოთვალეთ

3. ა) თუ, მაშინ გამოთვალეთ

და ჩვენს განტოლებას აქვს 3 ფესვი (რეალური):

ბ) თუ, მაშინ შეცვალეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიჰიპერბოლური.

გამოთვალეთ

მაშინ ერთადერთი ფესვი (რეალური):

წარმოსახვითი ფესვები:

გ) თუ, მაშინ განტოლებას აქვს სამზე ნაკლები სხვადასხვა გადაწყვეტილებები:

2. პრობლემის გადაჭრა

მაგალითი 1. იპოვეთ კუბური განტოლების ნამდვილი ფესვები

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლებისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით, რომ მეორე ფრჩხილში კვადრატულ ტრინომს არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან დისკრიმინანტი უარყოფითია.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება ორმხრივია. დავაჯგუფოთ:

არის განტოლების ფესვი. კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა

მაგალითი 3. იპოვეთ კუბური განტოლების ფესვები

გადავიყვანოთ განტოლება შემცირებულად: გავამრავლოთ ორივე ნაწილზე და შევცვალოთ ცვლადი.

თავისუფალი წევრი არის 36. მოდით ჩამოვწეროთ მისი ყველა გამყოფი:

ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით თანასწორად, სანამ არ მივიღებთ იდენტურობას:

ამრიგად, არის ფესვი. ემთხვევა

გაყოფა ჰორნერის სქემის გამოყენებით.

პოლინომიური კოეფიციენტები2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

ვიღებთ

ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები:

ცხადია, ანუ მისი მრავალჯერადი ფესვი არის.

მაგალითი 4. იპოვეთ განტოლების ნამდვილი ფესვები

არის განტოლების ფესვი. იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები.

ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლები, მაშინ ტრინომილს რეალური ფესვები არ აქვს.

მაგალითი 5. იპოვეთ მე-2 კუბური განტოლების ფესვები.

აქედან გამომდინარე,

ჩვენ ვანაცვლებთ კარდანოს ფორმულას:

იღებს სამ მნიშვნელობას. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი.

როცა გვაქვს

როცა გვაქვს

როცა გვაქვს

მოდით დავყოთ ეს მნიშვნელობები წყვილებად, რომლებიც მოცემულია პროდუქტში

მნიშვნელობების პირველი წყვილი და

მნიშვნელობების მეორე წყვილი და

მნიშვნელობების მესამე წყვილი და

დაუბრუნდით კარდანოს ფორმულას

ამრიგად,

დასკვნა

კუბური ტრინომალური განტოლება

აღსრულების შედეგად საკურსო ნაშრომიგამოკვლეული იქნა მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი, როგორებიცაა აღრიცხვის მეთოდი, კარანოს ფორმულა, ვიეტას ფორმულა, საპასუხო, ორმხრივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

გამოყენებული წყაროების სია

1)ბრონშტეინი I.N., Semendyaev K.A. „მათემატიკის სახელმძღვანელო ტექნიკური უნივერსიტეტების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის“, მ., 1986 წ.

2)კოლმოგოროვი ა.ნ. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. სასწავლო სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის უმაღლესი სკოლა, 1977.

)ომელჩენკო ვ.პ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო/ ვ.პ. ომელჩენკო, E.V. კურბატოვა. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s.

რეპეტიტორობა

გჭირდებათ დახმარება თემის შესწავლაში?

ჩვენი ექსპერტები გაგიწევენ კონსულტაციას ან გაგიწევენ სადამრიგებლო მომსახურებას თქვენთვის საინტერესო თემებზე.
განაცხადის გაგზავნათემის მითითება ახლავე, რათა გაიგოთ კონსულტაციის მიღების შესაძლებლობის შესახებ.

ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ კუბური განტოლებები. განიხილება შემთხვევა, როდესაც ცნობილია ერთი ფესვი. მთელი რიცხვების პოვნის მეთოდები და რაციონალური ფესვები. კარდანოს და ვიეტას ფორმულების გამოყენება ნებისმიერი კუბური განტოლების ამოსახსნელად.

აქ განვიხილავთ ფორმის კუბური განტოლებების ამოხსნას
(1) .
გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს ასეა რეალური რიცხვები.

(2) ,
შემდეგ მისი გაყოფით ვიღებთ (1) ფორმის განტოლებას კოეფიციენტებით
.

განტოლებას (1) აქვს სამი ფესვი: , და . ერთ-ერთი ფესვი ყოველთვის რეალურია. ნამდვილ ფესვს აღვნიშნავთ როგორც . ფესვები და შეიძლება იყოს ნამდვილი ან რთული კონიუგატი. ნამდვილი ფესვები შეიძლება იყოს მრავალჯერადი. მაგალითად, თუ , მაშინ და არის ორმაგი ფესვები (ან სიმრავლის ფესვები 2), და არის მარტივი ფესვი.

თუ ცნობილია მხოლოდ ერთი ფესვი

გავიგოთ კუბური განტოლების ერთი ფესვი (1). აღნიშნეთ ცნობილი ფესვიროგორც . შემდეგ (1) განტოლებაზე გაყოფით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას. კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ვიპოვით კიდევ ორ ფესვს და .

დასამტკიცებლად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ კუბური მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
.
შემდეგ, (1)-ზე გაყოფით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას.

გვერდზე წარმოდგენილია მრავალწევრების გაყოფის მაგალითები
„მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფა და გამრავლება კუთხესა და სვეტზე“.
გვერდზე განხილულია კვადრატული განტოლებების ამოხსნა
"კვადრატული განტოლების ფესვები".

თუ ერთ-ერთი ფესვი არის

თუ თავდაპირველი განტოლებაა:
(2) ,
და მისი კოეფიციენტები , , , არის მთელი რიცხვები, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ მთელი რიცხვი ფესვი. თუ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის კოეფიციენტის გამყოფი. მთელი რიცხვის ფესვების ძიების მეთოდი არის ის, რომ ჩვენ ვპოულობთ რიცხვის ყველა გამყოფს და ვამოწმებთ, მოქმედებს თუ არა განტოლება (2) მათთვის. თუ განტოლება (2) დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიპოვეთ მისი ფესვი. აღვნიშნოთ როგორც. შემდეგი, ჩვენ ვყოფთ განტოლებას (2)-ზე. ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. მისი ამოხსნით, ჩვენ ვიპოვით კიდევ ორ ფესვს.

გვერდზე მოცემულია მთელი რიცხვების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები
მრავალწევრების ფაქტორიზაციის მაგალითები > > > .

რაციონალური ფესვების პოვნა

თუ განტოლებაში (2) , , არის მთელი რიცხვები და , და არ არსებობს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ რაციონალური ფესვების პოვნა, ანუ ფორმის ფესვები, სადაც და არის მთელი რიცხვები.

ამისათვის ვამრავლებთ განტოლებას (2) და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
;
(3) .
შემდეგი, ჩვენ ვეძებთ (3) განტოლების მთელ ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

თუ ჩვენ ვიპოვეთ (3) განტოლების მთელი ფესვი, მაშინ ცვლადში დაბრუნების შემდეგ მივიღებთ რაციონალური ფესვიგანტოლებები (2):
.

კარდანოს და ვიეტას ფორმულები კუბური განტოლების ამოხსნისთვის

თუ ჩვენ არ ვიცით არცერთი ფესვი და არ არსებობს მთელი რიცხვები, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ კუბური განტოლების ფესვები კარდანოს ფორმულების გამოყენებით.

განვიხილოთ კუბური განტოლება:
(1) .
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:
.
ამის შემდეგ, განტოლება მცირდება არასრულ ან შემცირებულ ფორმამდე:
(4) ,
სადაც
(5) ; .

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო ამისთვის მეცნიერებიდა ინჟინრები, 2012 წ.

კუბური განტოლება - ალგებრული განტოლებამესამე ხარისხი. კუბური განტოლების ზოგადი ხედი: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

x ამ განტოლებაში x-თან დაკავშირებული ახალი უცნობი y-ით ჩანაცვლებით x \u003d y - (b / 3a) ტოლობით, კუბური განტოლება შეიძლება შემცირდეს უფრო მარტივ (კანონიკურ) ფორმამდე: y3 + pу + q \u003d 0, სადაც p \u003d - b2 + c , q = 2b – bc + d

3a2 a 27a3 3a2 a ამ განტოლების ამონახსნი შეიძლება მივიღოთ კარდანოს ფორმულის გამოყენებით.

1.1 კუბური განტოლებების ისტორია

ტერმინი „კუბური განტოლება“ შემოიღეს R. Descartes-მა (1619) და W. Outred-მა (1631).

კუბურ განტოლებამდე შემცირებული ამოცანების ამოხსნის პირველი მცდელობები გაკეთდა უძველესი მათემატიკოსების მიერ (მაგალითად, კუბის გაორმაგების და კუთხის გაკვეთის ამოცანები).

აღმოსავლეთის შუა საუკუნეების მათემატიკოსები ქმნიდნენ საკმაოდ განვითარებული თეორია(ში გეომეტრიული ფორმა) კუბური განტოლებები; ის ყველაზე დეტალურად არის წარმოდგენილი ტრაქტატში ალგებრასა და ალმუკაბალას ამოცანების მტკიცებულებაზე "ომარ ხაია" (დაახლოებით 1070 წ.), სადაც კითხულობს პოვნას. დადებითი ფესვები 14 ტიპის კუბური განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მხოლოდ დადებითი კოეფიციენტების მქონე პირებს ორივე ნაწილში.

პირველად ევროპაში ტრიგონომეტრიული ფორმაკუბური განტოლების ერთი შემთხვევის ამონახსნი იყო ვიეტმა (1953).

კუბური განტოლების ერთ-ერთი ტიპის რადიკალებში პირველი ამონახსნი იპოვა ს.ფერომ (დაახლოებით 1515), მაგრამ ის არ გამოქვეყნებულა. აღმოჩენა დამოუკიდებლად გაიმეორა ტარტალიამ (1535), რაც მიუთითებს ორი სხვა ტიპის კუბური განტოლების ამოხსნის წესზე. ეს აღმოჩენები 1545 წელს გამოაქვეყნა გ.კარდანომ, რომელმაც ახსენა ნ.ტარტალლიას ავტორობა.

XV საუკუნის ბოლოს. რომისა და მილანის უნივერსიტეტების მათემატიკის პროფესორი ლუკა პაჩიოლი თავის ცნობილ სახელმძღვანელოში "ცოდნის ჯამი არითმეტიკაში, გეომეტრიაში, მიმართებებსა და პროპორციულობაში" პრობლემის პოვნა. ზოგადი მეთოდიკუბური განტოლებების ამოსახსნელად მან ის დააყენა წრის კვადრატის ამოცანთან. და მაინც, იტალიელი ალგებრაისტების ძალისხმევით, ასეთი მეთოდი მალევე იქნა ნაპოვნი.

დავიწყოთ გამარტივებით

თუ კუბური განტოლება ზოგადი ხედი ax3 + bx2 + cx + d = 0, სადაც a ≠ 0, გაყოფილი a-ზე, მაშინ კოეფიციენტი x3-ზე ხდება 1-ის ტოლი. ამიტომ, მომავალში გამოვიყვანთ განტოლებიდან x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)

ისევე, როგორც ხსნარის გულში კვადრატული განტოლებადევს ჯამის კვადრატის ფორმულა, კუბური განტოლების ამოხსნა ეფუძნება ჯამის კუბის ფორმულას:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

კოეფიციენტებში რომ არ აგვერიოს, აქ ვცვლით a-ს x-ით და ვაწყობთ ტერმინებს:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

ჩვენ ვხედავთ, რომ სწორი გზით b, კერძოდ, b = P/3 აღებით, ჩვენ შეგვიძლია მივაღწიოთ ამას მარჯვენა ნაწილიამ ფორმულის განტოლების მარცხენა მხრიდან x3 + Px2 + Qx + R = 0 განსხვავდება მხოლოდ x-ის კოეფიციენტით და თავისუფალი წევრით. ვამატებთ განტოლებას x3 + Px2 + Qx + R = 0 და (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 და ვაძლევთ მსგავსებს:

(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.

თუ აქ ცვლილებას შევასრულებთ y = x + b, მივიღებთ y-ის კუბურ განტოლებას წევრის გარეშე y2-ით: y3 + py + q = 0.

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ კუბურ განტოლებაში x3 + Px2 + Qx + R = 0, შესაბამისი ჩანაცვლების გამოყენებით, შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ ტერმინს, რომელიც შეიცავს უცნობის კვადრატს. მაშასადამე, ახლა ჩვენ ამოვხსნით x3 + px + q = 0 ფორმის განტოლებას. (3)

1.2 კარდანოს ფორმულის ისტორია

კარდანოს ფორმულას ეწოდა ჯ.კარდანოს სახელი, რომელმაც ის პირველად გამოაქვეყნა 1545 წელს.

ამ ფორმულის ავტორია ნიკოლო ტარტალია. მან ეს გამოსავალი 1535 წელს შექმნა სპეციალურად მათემატიკურ კონკურსში მონაწილეობისთვის, რომელშიც, რა თქმა უნდა, გაიმარჯვა. ტარტალია, რომელიც იძლევა ფორმულას (in პოეტური ფორმა) კარდანო, წარმოდგენილია კუბური განტოლების ამოხსნის მხოლოდ ის ნაწილი, რომელშიც ფესვს აქვს ერთი (რეალური) მნიშვნელობა.

კარდანოს შედეგები ამ ფორმულაში ეხება ეგრეთ წოდებული შეუქცევადი შემთხვევის განხილვას, რომელშიც განტოლებას აქვს სამი მნიშვნელობა (რეალური მნიშვნელობები, იმ დღეებში არ იყო წარმოსახვითი ან თუნდაც უარყოფითი რიცხვები, თუმცა იყო ამის მცდელობები. მიმართულება). თუმცა, იმის საპირისპიროდ, რომ კარდანომ თავის პუბლიკაციაში მიუთითა ტარტაგლიას ავტორობაზე, ფორმულას ეწოდება კარდანოს სახელი.

1. 3 კარდანოს ფორმულა

ახლა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჯამის კუბის ფორმულას, მაგრამ სხვანაირად დავწეროთ:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b).

შეადარეთ ეს ჩანაწერი x3 + px + q = 0 განტოლებას და შეეცადეთ დაამყაროთ კავშირი მათ შორის. ჩაანაცვლეთ ჩვენს ფორმულაში x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, ან x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

ახლა უკვე გასაგებია: x3 + px + q = 0 განტოლების ფესვის საპოვნელად საკმარისია ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, ან

3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,

3 და აიღეთ x-ად a და b-ის ჯამი. u = a3, v = b3 შეცვლით ეს სისტემა მთლიანად მცირდება a-მდე უბრალო ხედვა: და + v = - q, და v = - p 3.

შემდეგ შეგიძლიათ იმოქმედოთ სხვადასხვა გზით, მაგრამ ყველა "გზა" მიგვიყვანს იმავე კვადრატულ განტოლებამდე. მაგალითად, ვიეტას თეორემის მიხედვით, მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის x კოეფიციენტს მინუს ნიშნით, ნამრავლი კი თავისუფალი წევრია. ეს ნიშნავს, რომ და და v არის t2 + qt განტოლების ფესვები - (p/3)3 = 0.

ჩამოვწეროთ ეს ფესვები: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

ცვლადები a და b უდრის t1 და t2 კუბურ ფესვებს, ხოლო x3 + px + q = 0 კუბური განტოლების სასურველი ამონახსნი არის ამ ფესვების ჯამი: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .

ეს ფორმულა ცნობილია როგორც კარდანოს ფორმულა.

განტოლებების ამოხსნა

სანამ ნაშრომში კარდანოს ფორმულას შევხედავთ, მოდით ავუხსნათ, თუ როგორ ვიპოვოთ მისი სხვა ფესვები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, კუბური განტოლების ერთი ფესვიდან x3 + px + q = 0.

მოდით ვიცოდეთ, რომ ჩვენს განტოლებას აქვს ფესვი h. შემდეგ მისი მარცხენა მხარე შეიძლება დაიშალოს წრფივ და კვადრატული მამრავლები. ეს კეთდება ძალიან მარტივად. ჩვენ ვცვლით თავისუფალი ტერმინის გამოხატვას ფესვის q \u003d - h3 - ph განტოლებაში და ვიყენებთ ფორმულას კუბურების სხვაობისთვის:

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება x2 + hx + h2 + p = 0 და იპოვოთ ამ კუბური განტოლების დანარჩენი ფესვები.

ასე რომ, ჩვენ სრულად შეიარაღებულები ვართ და, როგორც ჩანს, შეგვიძლია გავუმკლავდეთ ნებისმიერ კუბურ განტოლებას. მოდით ვცადოთ ჩვენი ძალა.

1. დავიწყოთ განტოლებით x3 + 6x - 2 = 0

ჩვენ ვცვლით p = 6 და q = -2 კარდანოს ფორმულაში და მარტივი შემცირების შემდეგ ვიღებთ პასუხს: x = 3√4 - 3√2. ისე, ფორმულა საკმაოდ კარგია. მხოლოდ განტოლების მარცხენა მხრიდან x - (3√4 - 3√2) ფაქტორის აღების პერსპექტივა და დარჩენილი კვადრატული განტოლების "საშინელი" კოეფიციენტებით ამოხსნის სხვა ფესვების გამოსათვლელად არ არის ძალიან შთამაგონებელი. თუმცა, განტოლებას უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, შეგვიძლია დავმშვიდდეთ: მარცხენა მხარეს ფუნქცია მკაცრად იზრდება და, შესაბამისად, შეიძლება გაქრეს მხოლოდ ერთხელ. ეს ნიშნავს, რომ ნაპოვნი რიცხვი განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვია.

y y \u003d x3 + 6x - 2

3√4 – 3√2 x

ბრინჯი. 1 ფუნქციის y \u003d x3 + 6x - 2 გრაფიკი კვეთს x ღერძს ერთ წერტილში - 3√4 - 3√2.

2. შემდეგი მაგალითი- განტოლება x3 + 3x - 4 = 0.

კარდანოს ფორმულა იძლევა x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ფესვი უნიკალურია. მაგრამ არ არის აუცილებელი იყო სუპერ გამჭრიახი, რომ შეხედო განტოლებას და გამოიცნო მისი ფესვი: x = 1. უნდა ვაღიაროთ, რომ ფორმულამ გამოსცა ჩვეულებრივი ერთეული ასეთი უცნაური ფორმით. სხვათა შორის, ამ რთული, მაგრამ არა ელეგანტურობის გამოხატვის გარეშე ალგებრული გარდაქმნებიმარცხდება - მასში კუბური ირაციონალურობა გარდაუვალია.

3. კარგი, ახლა ავიღოთ განტოლება, რომელსაც აშკარად სამი რეალური ფესვი აქვს. მისი შედგენა მარტივია - უბრალოდ გაამრავლეთ x - b ფორმის სამი ფრჩხილები. თქვენ უბრალოდ უნდა იზრუნოთ, რომ ფესვების ჯამი ნულის ტოლია, რადგან, შესაბამისად ზოგადი თეორემასხვათა შორის, ის განსხვავდება x2 კოეფიციენტისგან მხოლოდ ნიშნით. ასეთი ფესვების უმარტივესი ნაკრებია 0, 1 და -1.

გამოვიყენოთ კარდანოს ფორმულა განტოლებაზე x (x - 1) (x + 1) = 0, ან x3 - x = 0.

თუ დავუშვებთ მასში p = -1 და q = 0, მივიღებთ x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

y y \u003d x (x - 1) (x + 1)

ბრინჯი. 2 განტოლებას x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 აქვს სამი რეალური ფესვი: -1, 0 და 1. შესაბამისად, y \u003d x (x - 1) ფუნქციის გრაფიკი (x + 1) კვეთს x ღერძს სამ წერტილში.

გამოჩნდა კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ უარყოფითი რიცხვი. ეს ასევე ხდება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. მაგრამ კვადრატულ განტოლებას ამ შემთხვევაში არ აქვს რეალური ფესვები, ხოლო კუბურს სამი მათგანი აქვს!

უფრო დეტალური ანალიზი გვიჩვენებს, რომ ამ მახეში შემთხვევით არ გავვარდით. განტოლებას x3 + px + q = 0 აქვს სამი რეალური ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამონათქვამი Δ = (q/2)2 + (p/3)3 ქვეშ კვადრატული ფესვიკარდანოს ფორმულაში უარყოფითია. თუ Δ > 0, მაშინ არის ერთი რეალური ფესვი (ნახ. 3b), ხოლო თუ Δ = 0, მაშინ არის ორი მათგანი (ერთი მათგანი ორმაგია), გარდა შემთხვევისა p = q = 0, როდესაც სამივე ფესვები ერწყმის.

y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 ა) ბ)

ბრინჯი. 3 კუბური განტოლება x3 + px + q = 0 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x3 = -px - q. ეს აჩვენებს, რომ განტოლების ფესვები შეესაბამება ორი გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს: y \u003d x3 და y \u003d -px - q. თუ Δ 0 არის ერთი.

1.4 ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემა. თუ მთელი რიცხვი რაციონალური განტოლებახარისხი n შემცირდა სტანდარტული ხედი, აქვს n განსხვავებული ნამდვილი ფესვი x1, x2,. xn, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ ტოლობებს: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.

მესამე ხარისხის განტოლების ფესვებისთვის a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, სადაც a0 ≠ 0, ტოლობები x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 მოქმედებს.

1. 5 ბეზუტის თეორემა. ჰორნერის სქემა

განტოლებათა ამოხსნა მჭიდრო კავშირშია მრავალწევრების ფაქტორიზაციასთან. ამიტომ განტოლებების ამოხსნისას მნიშვნელოვანია ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია შერჩევასთან მრავალწევრში ხაზოვანი ფაქტორები, ანუ A(x) მრავალწევრის x - α ორწევრზე გაყოფით. მრავალი ცოდნის საფუძველი A(x) მრავალწევრის x - α ბინომით გაყოფის შესახებ არის თეორემა, რომელიც ეკუთვნის ფრანგი მათემატიკოსიეტიენ ბეზი (1730-1783) და მის სახელს ატარებს.

ბეზუტის თეორემა. A (x) მრავალწევრის x - α ორწევრზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის A (α) (ანუ A (x) მრავალწევრის მნიშვნელობა x = α-ზე).

იპოვეთ ნაშთი A(x) = x4 - 6x3 + 8 მრავალწევრის x + 2-ზე გაყოფის შემდეგ.

გადაწყვეტილება. ბეზოუთის თეორემის მიხედვით, x + 2-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.

მოსახერხებელი გზა მრავალწევრის მნიშვნელობების მოსაძებნად, როდესაც დააყენეთ მნიშვნელობაცვლადი x შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა უილიამსმა ჯორჯ ჰორნერმა (1786-1837). ამ მეთოდს მოგვიანებით ჰორნერის სქემა უწოდეს. იგი შედგება ორი სტრიქონიანი ცხრილის შევსებაში. მაგალითად, წინა მაგალითში A(-2) გამოსათვლელად, ცხრილის ზედა სტრიქონში ჩამოვთვლით კოეფიციენტებს მოცემული მრავალწევრი, დაწერილი სტანდარტული ფორმით x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.

კოეფიციენტს ვიმეორებთ ყველაზე მაღალი ხარისხით ქვედა ხაზში და მის წინ ვწერთ x = -2 ცვლადის მნიშვნელობას, რომელზეც გამოითვლება მრავალწევრის მნიშვნელობა. ეს იწვევს შემდეგ ცხრილს:

ცხრილის ცარიელ უჯრებს ვავსებთ შემდეგი წესის მიხედვით: ქვედა მწკრივის ყველაზე მარჯვენა რიცხვი მრავლდება -2-ზე და ემატება ცარიელი უჯრედის ზემოთ არსებულ რიცხვს. ამ წესის მიხედვით, პირველი ცარიელი უჯრედი შეიცავს რიცხვს (-2) 1 + (-6) = -8, მეორე უჯრედი შეიცავს რიცხვს (-2) (-8) + 0 = 16, მესამე უჯრედი შეიცავს ნომერი (- 2) 16 + 0 = - 32, ინ ბოლო გალია- ნომერი (-2) (-32) + 8 \u003d 72. ჰორნერის სქემის მიხედვით მთლიანად შევსებული ცხრილი ასე გამოიყურება:

2 1 -8 16 -32 72

ბოლო უჯრედის რიცხვი არის მრავალწევრის x + 2-ზე გაყოფის ნარჩენი, A(-2) = 72.

სინამდვილეში, მიღებული ცხრილიდან, რომელიც შევსებულია ჰორნერის სქემის მიხედვით, შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ დარჩენილი, არამედ არასრული კოეფიციენტიც.

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, რადგან რიცხვი მეორე სტრიქონზე (უკანასკნელიდან არ ითვლება) არის Q (x) მრავალწევრის კოეფიციენტები - x + 2-ზე გაყოფის არასრული კოეფიციენტი.

ამოხსენით განტოლება x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

ჩვენ ვწერთ განტოლების თავისუფალი წევრის ყველა გამყოფს: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x=1, x=-2, x=3

პასუხი: x = 1, x = -2, x = 3

2. დასკვნა

ჩამოვაყალიბებ ძირითად დასკვნებს შესრულებული სამუშაოს შესახებ.

მუშაობის პროცესში გავეცანი მესამე ხარისხის განტოლების ამოხსნის პრობლემის განვითარების ისტორიას. მიღებული შედეგების თეორიული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი განზრახ იკავებს კარდანოს ფორმულას მესამე ხარისხის ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას. მე დავრწმუნდი, რომ მესამე ხარისხის განტოლების ამოხსნის ფორმულა არსებობს, მაგრამ მისი უხერხულობის გამო ის არ არის პოპულარული და არც ისე სანდო, რადგან ის ყოველთვის არ აღწევს საბოლოო შედეგს.

მომავალში შეგვიძლია განვიხილოთ ასეთი კითხვები: როგორ გავარკვიოთ წინასწარ, რა ფესვები აქვს მესამე ხარისხის განტოლებას; შეიძლება კუბური განტოლების ამოხსნა გრაფიკულადთუ შესაძლებელია, როგორ; როგორ გამოვთვალოთ დაახლოებით კუბური განტოლების ფესვები?

გაკვეთილის მიზნები.

1. მოსწავლეთა ცოდნის გაღრმავება თემაზე „უმაღლესი საფეხურების განტოლებების ამოხსნა“ და სასწავლო მასალის შეჯამება.
2. გააცნოს მოსწავლეებს უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
3. ასწავლოს სტუდენტებს გაყოფის თეორიის გამოყენება უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნისას.
4. ასწავლოს მოსწავლეებს მრავალწევრის მრავალწევად დაყოფა „კუთხით“.
5. განუვითარდებათ უმაღლესი ხარისხის განტოლებებთან მუშაობის უნარები და უნარები.

განვითარება:

1. მოსწავლეთა ყურადღების განვითარება.
2. მუშაობის შედეგების მიღწევის უნარის განვითარება.
3. ალგებრის სწავლისადმი ინტერესის განვითარება და დამოუკიდებელი მუშაობის უნარები.

აღზრდა:

1. კოლექტივიზმის გრძნობის ამაღლება.
2. სამუშაოს შედეგზე პასუხისმგებლობის გრძნობის ჩამოყალიბება.
3. ფორმირება მოსწავლეებში ადეკვატური თვითშეფასებაგაკვეთილზე სამუშაოსთვის ნიშნის არჩევისას.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, პროექტორი.

გაკვეთილების დროს

მუშაობის 1 ეტაპი. ორგანიზების დრო.

მუშაობის 2 ეტაპი. მოტივაცია და პრობლემის გადაჭრა

განტოლება ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებებიმათემატიკა. განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შემუშავება, დაწყებული მათემატიკის, როგორც მეცნიერების დაბადებიდან, დიდი დროიყო ალგებრის შესწავლის მთავარი საგანი.

AT სკოლის კურსიმათემატიკის შესწავლას დიდი ყურადღება ეთმობა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნას. მეცხრე კლასამდე მხოლოდ წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შეგვეძლო. განტოლებები მესამე, მეოთხე და ა.შ. გრადუსებს უწოდებენ უმაღლესი ხარისხის განტოლებებს. მეცხრე კლასში გავეცანით მესამე და მეოთხე ხარისხის ზოგიერთი განტოლების ამოხსნის ორ ძირითად მეთოდს: მრავალწევრის ფაქტორებად დაყოფა და ცვლადის ცვლილების გამოყენება.

შესაძლებელია თუ არა უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა? ამ კითხვაზე პასუხის პოვნა დღეს შევეცდებით.

მუშაობის 3 ეტაპი. გადახედეთ ადრე ნასწავლ მასალას. უფრო მაღალი ხარისხის განტოლების ცნების გაცნობა.

1) წრფივი განტოლების ამოხსნა.

ხაზოვანი არის ფორმის განტოლება, სადაც განმარტებით. ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

2) კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

ფორმის განტოლება , სადაც . ფესვების რაოდენობა და თავად ფესვები განისაზღვრება განტოლების დისკრიმინანტით. განტოლებას არ აქვს ფესვები, for აქვს ერთი ფესვი (ორი იდენტური ფესვები)

, for აქვს ორი განსხვავებული ფესვი .

განხილული წრფივი და კვადრატული განტოლებიდან ვხედავთ, რომ განტოლების ფესვების რაოდენობა არ აღემატება მის ხარისხს. უმაღლესი ალგებრის მსვლელობისას დადასტურდა, რომ -მე ხარისხის განტოლებას არაუმეტეს n ფესვი აქვს. რაც შეეხება თავად ფესვებს, სიტუაცია ბევრად უფრო რთულია. მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებისთვის ცნობილია ფორმულები ფესვების საპოვნელად. თუმცა, ეს ფორმულები ძალიან რთული და რთულია და პრაქტიკული გამოყენებაარ აქვს. მეხუთე და უმაღლესი ხარისხის განტოლებისთვის ზოგადი ფორმულებიარ არსებობს და ვერც იარსებებს (როგორც XIX საუკუნეში დაამტკიცეს ნ. აბელმა და ე. გალუამ).

განტოლებებს ვუწოდებთ მესამეს, მეოთხეს და ა.შ. გრადუსი უმაღლესი ხარისხის განტოლებით. ზოგიერთი განტოლება მაღალი გრადუსიშეიძლება ამოხსნას ორი ძირითადი ტექნიკის გამოყენებით: მრავალწევრის ფაქტორებად გადაქცევა ან ცვლადის ცვლილების გამოყენებით.

3) კუბური განტოლების ამოხსნა.

ამოხსნათ კუბური განტოლება

ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს მრავალწევრის წევრებს და ფაქტორზე ვდებთ მას. ჩვენ ვიღებთ:

ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. ჩვენ ვიღებთ სამ წრფივ განტოლებას:

ამრიგად, ამ კუბურ განტოლებას სამი ფესვი აქვს: ; ;.

4) ბიკვადრატული განტოლების ამოხსნა.

ძალიან გავრცელებულია ორმხრივი განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფორმა (ე.ი. განტოლებები, რომლებიც კვადრატულია ). მათ გადასაჭრელად შემოიღეს ახალი ცვლადი.

ჩვენ გადავწყვეტთ ბიკვადრატული განტოლება.

შემოვიღოთ ახალი ცვლადი და მივიღოთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია რიცხვები და 4.

მოდით დავუბრუნდეთ ძველ ცვლადს და მივიღოთ ორი მარტივი კვადრატული განტოლება:

(ფესვები და ) (ფესვები და )

ამრიგად, ამ ბიკვადრატულ განტოლებას ოთხი ფესვი აქვს:

; ;.

ვცადოთ განტოლების ამოხსნა ზემოაღნიშნული მეთოდებით.

მარცხი!!!

მუშაობის 4 ეტაპი. მიეცით რამდენიმე დებულება ფორმის მრავალწევრის ფესვების შესახებ, სადაც მრავალწევრი nthგრადუსი

აქ მოცემულია რამდენიმე განცხადება ფორმის მრავალწევრის ფესვების შესახებ:

1) მე-ე ხარისხის მრავალწევრს აქვს მაქსიმუმ ფესვები (მათი სიმრავლეების გათვალისწინებით). მაგალითად, მესამე ხარისხის მრავალწევრს არ შეიძლება ჰქონდეს ოთხი ფესვი.

2) კენტი ხარისხის მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი. მაგალითად, პირველი, მესამე, მეხუთე მრავალწევრები და ა.შ. გრადუსს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი. ლუწი ხარისხის მრავალწევრებს შეიძლება ჰქონდეთ ფესვები ან არ ჰქონდეთ.

3) თუ სეგმენტის ბოლოებში მრავალწევრის მნიშვნელობებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ (ე.ი. ), მაშინ ინტერვალი შეიცავს მინიმუმ ერთ ფესვს. ეს განცხადება ფართოდ გამოიყენება მრავალწევრის ფესვების სავარაუდო გამოსათვლელად.

4) თუ რიცხვი არის ფორმის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი შეიძლება წარმოვიდგინოთ ნამრავლის სახით, სადაც პოლინომი (-მე ხარისხი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფორმის მრავალწევრი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს ბინომი.ეს საშუალებას იძლევა, რომ th ხარისხის განტოლება შემცირდეს განტოლებამდე (-th ხარისხი (განტოლების ხარისხის შემცირება).

5) თუ განტოლებას ყველა მთელი კოეფიციენტით (უფრო მეტიც, თავისუფალ წევრთან) აქვს მთელი ძირი, მაშინ ეს ფესვი არის თავისუფალი წევრის გამყოფი. ასეთი განცხადება საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ მრავალწევრის მთელი ფესვი (თუ ის არსებობს).

მუშაობის 5 ეტაპი. აჩვენეთ, როგორ გამოიყენება გაყოფის თეორია უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად. განვიხილოთ უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მაგალითები, რომლებშიც მარცხენა მხარე ფაქტორიზებულია მრავალწევრის მრავალწევრზე „კუთხით“ გაყოფის მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება .

თუ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის თავისუფალი წევრის (-1) გამყოფი, ე.ი. უდრის ერთ რიცხვს: . შემოწმება აჩვენებს, რომ განტოლების ფესვი არის რიცხვი -1. მაშასადამე, მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით, ე.ი. მრავალწევრი შეიძლება დაიყოს ბინომად ნაშთის გარეშე. შევასრულოთ შემდეგი დაყოფა „კუთხით“:

ამრიგად, ჩვენ რეალურად დავშალეთ განტოლების მარცხენა მხარე ფაქტორებად:

ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას.

კუბურ განტოლებებს აქვთ ფორმა ნაჯახი 3 + bx 2 + cx + დ= 0). ასეთი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ცნობილია რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში (ის აღმოაჩინეს მე-16 საუკუნეში იტალიელმა მათემატიკოსებმა). ზოგიერთი კუბური განტოლების ამოხსნა საკმაოდ რთულია, მაგრამ სწორი მიდგომით (და კარგი დონე თეორიული ცოდნა) თქვენ შეძლებთ ამოხსნათ ყველაზე რთული კუბური განტოლებებიც კი.

ნაბიჯები

ამოხსნა კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყენებით

როგორც ზემოთ აღინიშნა, კუბურ განტოლებებს აქვთ ფორმა a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), სადაც კოეფიციენტები c (\displaystyle c)და d (\displaystyle d)შეიძლება იყოს თანაბარი 0 (\displaystyle 0)ანუ, კუბური განტოლება შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ერთი წევრისაგან (ცვლადი მესამე ხარისხით). ჯერ შეამოწმეთ, აქვს თუ არა თქვენთვის მოცემულ კუბურ განტოლებას კვეთა, ანუ, d (\displaystyle d). თუ არ არის თავისუფალი ტერმინი, შეგიძლიათ ამოხსნათ ეს კუბური განტოლება კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყენებით.

• თუ არსებობს კვეთა, გამოიყენეთ გადაწყვეტის სხვა მეთოდი (იხილეთ შემდეგი განყოფილებები).

1. მას შემდეგ, რაც ში მოცემული განტოლებაარ არსებობს თავისუფალი ვადა, მაშინ ამ განტოლების ყველა ტერმინი შეიცავს ცვლადს x (\displaystyle x), რომელიც შეიძლება იყოს ფრჩხილებში: x (a x 2 + b x + c) (\ჩვენების სტილი x(ax^(2)+bx+c)).

   • მაგალითი. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). თუ გაუძლებ x (\displaystyle x)ფრჩხილებში, თქვენ მიიღებთ x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება ფრჩხილებში არის ფორმის კვადრატული განტოლება ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), რომლის ამოხსნა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით ((- ბ +/-√ (). ამოხსენით კვადრატული განტოლება და თქვენ ამოხსნით კუბურ განტოლებას.

   • ჩვენს მაგალითში შეცვალეთ კოეფიციენტების მნიშვნელობები a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) ფორმულაში: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14)))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • გამოსავალი 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • გამოსავალი 2: 2 − 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. გახსოვდეთ, რომ კვადრატულ განტოლებებს აქვს ორი ამონახსნები, ხოლო კუბურ განტოლებებს სამი ამონახსნები.თქვენ იპოვნეთ კვადრატული და, შესაბამისად, კუბური განტოლების ორი ამონახსნი. იმ შემთხვევებში, როდესაც ფრჩხილებიდან ამოიღებთ "x", მესამე გამოსავალი ყოველთვის არის 0 (\displaystyle 0).

   • ეს მართალია, რადგან ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა გამრავლებულია 0 (\displaystyle 0), უდრის 0 (\displaystyle 0). რადგან გაუძლო x (\displaystyle x)ფრჩხილებიდან, მაშინ თქვენ დაშალეთ კუბური განტოლება ორ ფაქტორად ( x (\displaystyle x)და კვადრატული განტოლება), რომელთაგან ერთი ტოლი უნდა იყოს 0 (\displaystyle 0)ისე რომ მთელი განტოლება უდრის 0 (\displaystyle 0).

   მთელი გადაწყვეტილებების პოვნა ფაქტორიზაციის გამოყენებით

   1. შეამოწმეთ აქვს თუ არა თქვენთვის მოცემულ კუბურ განტოლებას კვეთა.წინა ნაწილში აღწერილი მეთოდი არ არის შესაფერისი კუბური განტოლებების ამოსახსნელად, რომლებშიც არის თავისუფალი ტერმინი. ამ შემთხვევაში მოგიწევთ ამ ან შემდეგ ნაწილში აღწერილი მეთოდის გამოყენება.

      • მაგალითი. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). აქ გადაიტანეთ ფხვიერი დიკი d = - 6 (\displaystyle d=-6)განტოლების მარცხენა მხარეს ისე, რომ მარჯვენა მხარემიიღეთ 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. იპოვეთ კოეფიციენტების მულტიპლიკატორები a (\displaystyle a)(კოეფიციენტი ზე x 3 (\displaystyle x^(3))) და თავისუფალი წევრი d (\displaystyle d). რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა ორიგინალური ნომერი. მაგალითად, რიცხვის ფაქტორები 6 (\displaystyle 6)არის ნომრები 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\ჯერ 1)და 2 × 3 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3)).

      • ჩვენს მაგალითში a = 2 (\displaystyle a=2)და d = 6 (\displaystyle d=6). მულტიპლიკატორები 2 (\displaystyle 2)არის რიცხვები 1 (\displaystyle 1)და 2 (\displaystyle 2). მულტიპლიკატორები 6 (\displaystyle 6)არის რიცხვები 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), და 6 (\displaystyle 6).

   3. გაყოფა კოეფიციენტების მამრავლებს a (\displaystyle a)თავისუფალი ვადის ფაქტორებით d (\displaystyle d). თქვენ მიიღებთ წილადებს და მთელ რიცხვებს. თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების მთელი რიცხვის ამონახსნი იქნება ან ამ მთელი რიცხვებიდან, ან ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის უარყოფითი მნიშვნელობა.

      • ჩვენს მაგალითში გაყავით ფაქტორები a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) ფაქტორების მიხედვით d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) და მიიღე: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)და . ახლა დაამატეთ რიცხვების ამ მწკრივს მათი უარყოფითი მნიშვნელობები: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))და − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების მთელი რიცხვი ამონახსნები ამ რიცხვებშია.

   4. ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენი კუბური განტოლების მთელი რიცხვების ამონახსნები მასში ნაპოვნი რიცხვების სერიიდან მთელი რიცხვების ჩანაცვლებით. მაგრამ თუ არ გსურთ დაკარგოთ დრო ამაზე, გამოიყენეთ. ეს სქემა გულისხმობს მთელი რიცხვების მნიშვნელობებად დაყოფას a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d)მოცემული კუბური განტოლება. თუ დარჩენილია 0 (\displaystyle 0), მთელი რიცხვი არის კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

      • ჰორნერის დაყოფა არ არის ადვილი თემა; მიღება დამატებითი ინფორმაციამიჰყევით ზემოთ მოცემულ ბმულს. აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები ჰორნერის გაყოფის გამოყენებით: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 მას შემდეგ რაც დარჩენილი 0 (\displaystyle 0), მაშინ განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები არის მთელი რიცხვი − 1 (\displaystyle -1).

   დისკრიმინანტის გამოყენება

   1. ამ მეთოდით იმუშავებთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებთან a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). ამიტომ უმჯობესია ამ კოეფიციენტების მნიშვნელობები წინასწარ ჩაწეროთ.

      • მაგალითი. მათემატიკა>x^3-3x^2+3x-1. Აქ a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). ნუ დაგავიწყდებათ, რომ როდის x (\displaystyle x)კოეფიციენტი არ არის, ეს ნიშნავს, რომ კოეფიციენტი უდრის 1 (\displaystyle 1).

   2. გამოთვალეთ △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \სამკუთხედი _(0)=b^(2)-3ac). ამ მეთოდს დასჭირდება რთული გამოთვლები, მაგრამ თუ გაიგებთ, შეძლებთ ამოხსნათ ყველაზე რთული კუბური განტოლებები. დასაწყებად, გამოთვალეთ △ 0 (\displaystyle \სამკუთხედი _(0)), რამდენიმე მნიშვნელოვანი რაოდენობადან ერთ-ერთი, რომელიც დაგვჭირდება შესაბამისი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით.

      • ჩვენს მაგალითში: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\სამკუთხედი _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\ჩვენების სტილი 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\სამკუთხედი _(1))

   3. გამოთვალეთ Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 ა 2 . ახლა გამოთვალეთ განტოლების დისკრიმინანტი Δ0 და Δ1 ნაპოვნი მნიშვნელობების გამოყენებით. დისკრიმინანტი არის რიცხვი, რომელიც გაძლევთ ინფორმაციას მრავალწევრის ფესვების შესახებ (შეიძლება უკვე იცით, რომ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის ბ 2 - 4აწ). კუბური განტოლების შემთხვევაში, თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ განტოლებას სამი ამონახსნი აქვს; თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ან ორი ამონახსნი; თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი. კუბურ განტოლებას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, რადგან ასეთი განტოლების გრაფიკი კვეთს x ღერძს მინიმუმ ერთ წერტილში.

      • თუ ამ ფორმულაში ჩაანაცვლებთ რაოდენობების შესაბამის მნიშვნელობებს, მიიღებთ შესაძლო გადაწყვეტილებებითქვენთვის მოცემული კუბური განტოლება. ჩაანაცვლეთ ისინი თავდაპირველ განტოლებაში და თუ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ამონახსნები სწორია. მაგალითად, თუ შეაერთებთ მნიშვნელობებს ფორმულაში და მიიღეთ 1, შეაერთეთ 1 x 3 - 3x 2 + 3x- 1 და მიიღეთ 0. ანუ ტოლობა დაცულია და 1 არის თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.