ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს: შემთხვევით მოვლენებს, შემთხვევით ცვლადებს, მათ თვისებებს და მათზე მოქმედებებს.

Დიდი ხანის განმვლობაშიალბათობის თეორიას არ ჰქონდა მკაფიო განმარტება. იგი ჩამოყალიბდა მხოლოდ 1929 წელს. ალბათობის თეორიის მეცნიერებად გაჩენა შუა საუკუნეებს და პირველ მცდელობებს მიაწერენ მათემატიკური ანალიზიაზარტული თამაშები (ჩაგდება, კამათელი, რულეტკა). ფრანგი მათემატიკოსები XVII საუკუნის ბლეზ პასკალი და პიერ ფერმა, იკვლევენ მოგების პროგნოზს აზარტული თამაშები, აღმოაჩინა პირველი ალბათური ნიმუშები, რომლებიც წარმოიქმნება კამათლის სროლისას.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა როგორც მეცნიერება იმ რწმენიდან, რომ გარკვეული კანონზომიერებები უდევს მასიური შემთხვევითი მოვლენების საფუძველს. ალბათობის თეორია სწავლობს ამ შაბლონებს.

ალბათობის თეორია ეხება მოვლენების შესწავლას, რომელთა წარმოშობა ზუსტად არ არის ცნობილი. ის საშუალებას გაძლევთ განსაჯოთ ზოგიერთი მოვლენის მოვლენის ალბათობის ხარისხი სხვებთან შედარებით.

მაგალითად: შეუძლებელია ცალსახად დადგინდეს მონეტის სროლის შედეგად „თავების“ ან „კუდების“ დაკარგვის შედეგი, მაგრამ მრავალჯერადი სროლით, დაახლოებით. იგივე ნომერითავები და კუდები, რაც ნიშნავს, რომ თავების ან კუდების მიღების 50% შანსია.

ტესტიამ შემთხვევაში, გარკვეული პირობების განხორციელებას უწოდებენ, ანუ ში ამ საქმესხუდრა. გამოწვევის თამაში შეიძლება შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ამ შემთხვევაში პირობების კომპლექსი მოიცავს შემთხვევით ფაქტორებს.

ტესტის შედეგი არის ღონისძიება. მოვლენა ხდება:

1. სანდო (ყოველთვის ხდება ტესტირების შედეგად).
2. შეუძლებელია (არასდროს ხდება).
3. შემთხვევითი (შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის შედეგად).

მაგალითად, მონეტის სროლისას შეუძლებელი მოვლენა- მონეტა იქნება ზღვარზე, შემთხვევითი მოვლენა - "თავების" ან "კუდების" დაკარგვა. კონკრეტული ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული მოვლენა. ტესტის შედეგად ხდება მხოლოდ ელემენტარული მოვლენები. ყველა შესაძლო, განსხვავებული, კონკრეტული ტესტის შედეგის მთლიანობა ეწოდება ღონისძიების ელემენტარული სივრცე.

თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობა- მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი. როდესაც რაიმე შესაძლო მოვლენის რეალურად წარმოქმნის მიზეზები აღემატება საპირისპირო მიზეზებს, მაშინ ამ მოვლენას ეწოდება სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნაკლებად სავარაუდო ან წარმოუდგენელი.

შემთხვევითი მნიშვნელობა- ეს არის მნიშვნელობა, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის მნიშვნელობა და წინასწარ არ არის ცნობილი რომელი. მაგალითად: სახანძრო სადგურების რაოდენობა დღეში, დარტყმების რაოდენობა 10 გასროლით და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება დაიყოს ორ კატეგორიად.

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ისეთ მნიშვნელობას, რომელიც ტესტის შედეგად შეიძლება მიიღოს გარკვეული ღირებულებებიგარკვეული ალბათობით, თვლადი სიმრავლის ფორმირება (სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია). ეს ნაკრები შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, დარტყმების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რადგან ამ მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობების უსასრულო, თუმცა თვლადი რაოდენობა.
2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან. ცხადია, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა.

ალბათობის სივრცე- კონცეფცია შემოიღო ა.ნ. კოლმოგოროვმა XX საუკუნის 30-იან წლებში ალბათობის ცნების ფორმალიზება, რამაც დასაბამი მისცა სწრაფი განვითარებაალბათობის თეორია, როგორც მკაცრი მათემატიკური დისციპლინა.

ალბათობის სივრცე არის სამმაგი (ზოგჯერ ჩასმულია კუთხის ფრჩხილებში: , სადაც

ეს არის თვითნებური ნაკრები, რომლის ელემენტებს ეწოდება ელემენტარული მოვლენები, შედეგები ან წერტილები;
- ქვესიმრავლეების სიგმა-ალგებრა, რომელსაც ეწოდება (შემთხვევითი) მოვლენები;
- ალბათობის საზომი ან ალბათობა, ე.ი. სიგმა-დანამატის სასრული ზომა ისეთი, რომ .

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა- ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი შემზღუდველი თეორემა, რომელიც დაარსდა ლაპლასის მიერ 1812 წელს. იგი აცხადებს, რომ წარმატებების რაოდენობა ერთი და იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის გამეორებისას ორი შესაძლო შედეგით არის დაახლოებით ნორმალურად განაწილებული. ეს საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

თუ ყოველი დამოუკიდებელი ცდისთვის რაიმე შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის () და არის ცდების რაოდენობა, რომლებშიც ის რეალურად ხდება, მაშინ უთანასწორობის მართებულობის ალბათობა ახლოა (დიდისთვის) ლაპლასის ინტეგრალის მნიშვნელობამდე.

განაწილების ფუნქცია ალბათობის თეორიაში- შემთხვევითი ცვლადის ან შემთხვევითი ვექტორის განაწილების დამახასიათებელი ფუნქცია; იმის ალბათობა შემთხვევითი მნიშვნელობა X მიიღებს x-ზე ნაკლებ ან ტოლ მნიშვნელობას, სადაც x არის თვითნებური ნამდვილი რიცხვი. გარკვეულ პირობებში, ის მთლიანად განსაზღვრავს შემთხვევით ცვლადს.

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა (ეს არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, განხილული ალბათობის თეორიაში). ინგლისურ ლიტერატურაში იგი აღინიშნება, რუსულად -. სტატისტიკაში, აღნიშვნა ხშირად გამოიყენება.

მიეცით ალბათობის სივრცე და მასზე განსაზღვრული შემთხვევითი ცვლადი. ეს არის, განსაზღვრებით, გაზომვადი ფუნქცია. მაშინ, თუ არსებობს ზესივრცის Lebesgue ინტეგრალი, მაშინ მას ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი, ან საშუალო მნიშვნელობა და აღინიშნება .

შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია- მოცემული შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების საზომი, ანუ მისი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან. მითითებულია რუსულ და უცხოურ ლიტერატურაში. სტატისტიკაში აღნიშვნა ან ხშირად გამოიყენება. Კვადრატული ფესვიდისპერსიას ეწოდება სტანდარტული გადახრა, სტანდარტული გადახრა ან სტანდარტული გავრცელება.

მოდით იყოს შემთხვევითი ცვლადი განსაზღვრული ზოგიერთზე ალბათობის სივრცე. მერე

სადაც სიმბოლო დგას მოსალოდნელი ღირებულება.

ალბათობის თეორიაში ორი შემთხვევითი მოვლენებიდაურეკა დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. ანალოგიურად, ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოკიდებულითუ ერთი მათგანის ღირებულება გავლენას ახდენს მეორის მნიშვნელობების ალბათობაზე.

კანონის უმარტივესი ფორმა დიდი რიცხვები- ეს არის ბერნულის თეორემა, სადაც ნათქვამია, რომ თუ მოვლენის ალბათობა ყველა ცდაში ერთნაირია, მაშინ ცდების რაოდენობის მატებასთან ერთად მოვლენის სიხშირე მიდრეკილია მოვლენის ალბათობისკენ და წყვეტს შემთხვევითობას.

დიდი რიცხვების კანონი ალბათობის თეორიაში ამბობს, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან სასრული ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული მიახლოებაა ამ განაწილების თეორიულ საშუალოსთან. კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ დიდი რიცხვების სუსტ კანონს, როდესაც ხდება ალბათობის კონვერგენცია და დიდი რიცხვების ძლიერ კანონს, როდესაც დაახლოება თითქმის აუცილებლად ხდება.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა - ერთობლივი მოქმედება დიდი რიცხვიიდენტური და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ფაქტორები იწვევს შედეგს, რომელიც არ არის დამოკიდებული ლიმიტის შემთხვევაზე.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითიარის არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის გამოკითხვის საფუძველზე.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემები- თეორემების კლასი ალბათობის თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამს, რომლებსაც აქვთ დაახლოებით იგივე მასშტაბი (არცერთი ტერმინი არ დომინირებს, გადამწყვეტი წვლილი არ აქვს ჯამში) აქვს განაწილება ახლოს. ნორმალური.

ვინაიდან აპლიკაციებში მრავალი შემთხვევითი ცვლადი ყალიბდება რამდენიმე სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ფაქტორის გავლენის ქვეშ, მათი განაწილება ნორმალურად ითვლება. ამ შემთხვევაში უნდა იყოს დაცული პირობა, რომ არცერთი ფაქტორი არ არის დომინანტი. ცენტრალური ლიმიტის თეორემები ამ შემთხვევებში ამართლებს ნორმალური განაწილების გამოყენებას.

ნაწილი 6. ტიპიური განაწილების კანონები და შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები

F(x), p(x), ან p(x i) ფუნქციების ფორმას შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ეწოდება. მიუხედავად იმისა, რომ შეიძლება წარმოიდგინოთ შემთხვევითი ცვლადების უსასრულო მრავალფეროვნება, არსებობს გაცილებით ნაკლები განაწილების კანონი. პირველი, სხვადასხვა შემთხვევით ცვლადს შეიძლება ჰქონდეს ზუსტად იგივე განაწილების კანონები. მაგალითად: y აიღოს მხოლოდ 2 მნიშვნელობა 1 და -1 0,5 ალბათობით; მნიშვნელობა z = -y აქვს ზუსტად იგივე განაწილების კანონი.
მეორეც, ძალიან ხშირად შემთხვევით ცვლადებს აქვთ განაწილების მსგავსი კანონები, ანუ, მაგალითად, p(x) მათთვის გამოიხატება იმავე ფორმის ფორმულებით, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ ერთი ან მეტი მუდმივობით. ამ მუდმივებს უწოდებენ განაწილების პარამეტრებს.

თუმცა, პრინციპში, ყველაზე სხვადასხვა კანონებიგანაწილება, აქ განიხილება ზოგიერთი ყველაზე ტიპიური კანონი. მნიშვნელოვანია ყურადღება მიაქციოთ იმ პირობებს, რომლებშიც ისინი წარმოიქმნება, ამ განაწილების პარამეტრებსა და თვისებებს.

ერთი . ერთგვაროვანი განაწილება
ეს არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სახელი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ინტერვალში (a,b), ხოლო (a,b) შიგნით რომელიმე სეგმენტში მოხვედრის ალბათობა პროპორციულია სეგმენტის სიგრძისა და არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე და (a,b) გარეთ მნიშვნელობების ალბათობა 0-ის ტოლია.

ნახ 6.1 ერთგვაროვანი განაწილების ფუნქცია და სიმკვრივე

განაწილების პარამეტრები: a , b

2. Ნორმალური დისტრიბუცია
ფორმულით აღწერილი სიმკვრივით განაწილება

(6.1)

ნორმალურად წოდებული.
განაწილების პარამეტრები: a , σ

სურათი 6.2 სიმკვრივისა და ნორმალური განაწილების ფუნქციის ტიპიური ხედი

3 . ბერნულის განაწილება
თუ კეთდება დამოუკიდებელი ცდების სერია, რომელთაგან თითოეულში A მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს იგივე p ალბათობით, მაშინ მოვლენის შემთხვევების რიცხვი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ბერნულის კანონის ან ბინომის კანონის მიხედვით. (სხვა სადისტრიბუციო სახელი).

აქ n არის ცდების რაოდენობა სერიაში, m არის შემთხვევითი ცვლადი (A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა), P n (m) არის ალბათობა იმისა, რომ A მოხდება ზუსტად m-ჯერ, q \u003d 1 - p ( ალბათობა იმისა, რომ A არ გამოჩნდება ტესტში).

მაგალითი 1: კვარცხლბეკი 5-ჯერ შემოხვეულია, რა არის ალბათობა იმისა, რომ 6-ს ორჯერ დააგორებენ?
n=5, m=2, p=1/6, q=5/6

განაწილების პარამეტრები: n, p

ოთხი . პუასონის განაწილება
პუასონის განაწილება მიიღება როგორც ბერნულის განაწილების შემზღუდველი შემთხვევა, თუ p იხრება ნულისკენ და n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, მაგრამ ისე, რომ მათი ნამრავლი რჩება მუდმივი: nр = a. ფორმალურად ასეთი ზღვარზე გადასვლამივყავართ ფორმულამდე

განაწილების პარამეტრი: ა

პუასონის განაწილება ექვემდებარება ბევრ შემთხვევით ცვლადს, რომლებიც გვხვდება მეცნიერებაში და პრაქტიკულ ცხოვრებაში.

მაგალითი 2: სასწრაფო დახმარების სადგურზე მიღებული ზარების რაოდენობა საათში.
დროის ინტერვალი T (1 საათი) გავყოთ მცირე dt ინტერვალებად, ისე, რომ dt-ის დროს ორი ან მეტი ზარის მიღების ალბათობა უმნიშვნელოა და ერთი ზარის p ალბათობა dt-ის პროპორციულია: p = μdt;
dt მომენტებში დაკვირვებას დამოუკიდებელ ცდებად განვიხილავთ, ასეთი ცდების რაოდენობას T დროის განმავლობაში: n = T / dt;
თუ დავუშვებთ, რომ ზარების მიღების ალბათობა არ იცვლება საათის განმავლობაში, მაშინ საერთო რაოდენობაზარები ემორჩილება ბერნულის კანონს პარამეტრებით: n = T / dt, p = μdt. თუ dt მიდრეკილია ნულისკენ, მივიღებთ, რომ n მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, ხოლო ნამრავლი n × p რჩება მუდმივი: a = n × p = μT.

მაგალითი 3: მოლეკულების რაოდენობა იდეალური გაზიზოგიერთ ფიქსირებულ მოცულობაში V.
მოდით გავყოთ V მოცულობა მცირე მოცულობებად dV ისე, რომ dV-ში ორი ან მეტი მოლეკულის პოვნის ალბათობა უმნიშვნელო იყოს, ხოლო ერთი მოლეკულის პოვნის ალბათობა dV-ის პროპორციულია: р = μdV; თითოეული მოცულობის dV-ზე დაკვირვებას განვიხილავთ როგორც დამოუკიდებელი ტესტი, ასეთი ტესტების რაოდენობა n=V/dV; თუ ვივარაუდებთ, რომ V-ის შიგნით სადმე მოლეკულის პოვნის ალბათობა იგივეა, V მოცულობის მოლეკულების საერთო რაოდენობა ემორჩილება ბერნულის კანონს პარამეტრებით: n = V / dV, p = μdV. თუ dV მიდრეკილია ნულისკენ, მივიღებთ, რომ n მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, ხოლო ნამრავლი n × p რჩება მუდმივი: a = n × p = μV.

შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები

ერთი . მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა)

განმარტება:
მათემატიკური მოლოდინი არის
  (6.4)

ჯამი აღებულია ყველა იმ მნიშვნელობაზე, რომელსაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს. სერია უნდა იყოს აბსოლუტურად კონვერგენტული (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შემთხვევით ცვლადს არ აქვს მათემატიკური მოლოდინი)

;   (6.5)

ინტეგრალი უნდა იყოს აბსოლუტურად კონვერგენტული (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შემთხვევით ცვლადს არ აქვს მოსალოდნელი მნიშვნელობა)

მათემატიკური მოლოდინის თვისებები:

ა. თუ ერთად - მუდმივი, შემდეგ MS = C
ბ. Mx = Smx
გ. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: М(х+y) = Мх + Мy d . შემოღებულია პირობითი მათემატიკური მოლოდინის ცნება. თუ შემთხვევითი ცვლადი იღებს თავის მნიშვნელობებს x i სხვადასხვა ალბათობით p(x i /H j) at სხვადასხვა პირობები H j , მაშინ განისაზღვრება პირობითი მოლოდინი

როგორ ან ;   (6.6)

თუ ცნობილია H j მოვლენების ალბათობა, სრული

მოსალოდნელი ღირებულება: ;   (6.7)

მაგალითი 4: საშუალოდ რამდენჯერ გჭირდებათ მონეტის გადაყრა, სანამ პირველი გერბი გამოჩნდება? ამ პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია "შუბლზე"

x i	1 2 3 ... კ..
p(x i) :		,

მაგრამ ეს თანხა მაინც უნდა გამოითვალოს. ამის გაკეთება შეგიძლიათ უფრო მარტივად, პირობითი და სრული მათემატიკური მოლოდინის ცნებების გამოყენებით. განვიხილოთ ჰიპოთეზა H 1 - გერბი პირველად ამოვარდა, H 2 - პირველად არ ამოვარდა. ცხადია, p (H 1) \u003d p (H 2) \u003d ½; Mx / H 1 \u003d 1;
Mx / H 2 არის 1-ით მეტი, ვიდრე სასურველი სრული მოლოდინი, რადგან მონეტის პირველი გადაყრის შემდეგ სიტუაცია არ შეცვლილა, მაგრამ მას შემდეგ რაც უკვე გადააგდეს. სრული მათემატიკური მოლოდინის ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს Mx \u003d Mx / H 1 × p (H 1) + Mx / H 2 × p (H 2) \u003d 1 × 0.5 + (Mx + 1) × 0.5, ამოხსნა Mx-ის განტოლება, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ Mx = 2-ს.

ე. თუ f(x) არის x შემთხვევითი ცვლადის ფუნქცია, მაშინ განისაზღვრება შემთხვევითი ცვლადის ფუნქციის მათემატიკური მოლოდინის კონცეფცია:

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის: ;   (6.8)

ჯამი აღებულია ყველა იმ მნიშვნელობაზე, რომელსაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს. სერია უნდა იყოს აბსოლუტურად კონვერგენტული.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის: ;   (6.9)

ინტეგრალი უნდა იყოს აბსოლუტურად კონვერგენტული.

2. შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია
განმარტება:
x შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია არის სიდიდის მნიშვნელობის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მისი მათემატიკური მოლოდინისაგან: Dx = M(x-Mx) 2

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის: ;   (6.10)

ჯამი აღებულია ყველა იმ მნიშვნელობაზე, რომელსაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს. სერია უნდა იყოს კონვერგენტული (თორემ შემთხვევით ცვლადს არ აქვს ვარიაცია)

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის: ;   (6.11)

ინტეგრალი უნდა გადაიზარდოს (თორემ შემთხვევით ცვლადს არ აქვს ვარიაცია)

დისპერსიული თვისებები:
ა. თუ C არის მუდმივი მნიშვნელობა, მაშინ DC = 0
ბ. DСх = С 2 Dх
გ. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის ვარიაცია ყოველთვის ტოლია მათი ვარიაციების ჯამის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ცვლადები დამოუკიდებელია (დამოუკიდებელი ცვლადების განმარტება)
დ. დისპერსიის გამოსათვლელად მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

რიცხვითი მახასიათებლების კავშირი
და ტიპიური განაწილების პარამეტრები

განაწილება	პარამეტრები	ფორმულა	Mx	Dx
ერთიანი	ა , ბ		(ბ+ა) / 2	(ბ-ა) 2/12
ნორმალური	ა , ს		ა	σ2
ბერნული	n, გვ		np	npq
პუასონი	ა		ა	ა

პრაქტიკაში, ყველაზე შემთხვევითი ცვლადები გავლენას ახდენს დიდი რიცხვიშემთხვევითი ფაქტორები, დაემორჩილე ნორმალური კანონიალბათობის განაწილება. ამიტომ, ალბათობის თეორიის სხვადასხვა გამოყენებაში ამ კანონს განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს.

შემთხვევითი ცვლადი $X$ ემორჩილება ნორმალური ალბათობის განაწილების კანონს, თუ მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე აქვს შემდეგი ფორმა

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

სქემატურად $f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე და აქვს სახელწოდება "გაუსის მრუდი". ამ გრაფიკის მარჯვნივ არის გერმანული 10 მარკის ბანკნოტი, რომელიც ევროს შემოღებამდეც სარგებლობდა. თუ კარგად დააკვირდებით, ამ ბანკნოტზე შეგიძლიათ იხილოთ გაუსის მრუდი და მისი აღმომჩენი უდიდესი მათემატიკოსიკარლ ფრიდრიხ გაუსი.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს სიმკვრივის ფუნქციას $f\left(x\right)$ და მივცეთ ახსნა განაწილების პარამეტრების შესახებ $a,\ (\sigma )^2$. პარამეტრი $a$ ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დისპერსიის ცენტრს, ანუ მას აქვს მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობა. როდესაც $a$ პარამეტრი იცვლება და პარამეტრი $(\sigma )^2$ უცვლელი რჩება, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ $f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკის ცვლას აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო სიმკვრივე თავად გრაფიკი არ ცვლის თავის ფორმას.

პარამეტრი $(\sigma )^2$ არის განსხვავება და ახასიათებს სიმკვრივის მრუდის ფორმას $f\left(x\right)$. $(\sigma )^2$ პარამეტრის $a$ უცვლელი პარამეტრის შეცვლისას შეგვიძლია დავაკვირდეთ, როგორ იცვლის სიმკვრივის გრაფიკი ფორმას, იკუმშება ან იჭიმება, ხოლო აბსცისის გასწვრივ არ გადადის.

ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა

როგორც ცნობილია, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მოხვდება $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ინტერვალში შეიძლება გამოითვალოს $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

აქ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები აღებულია. შეიძლება აღინიშნოს $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის შემდეგი თვისებები.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ანუ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)$ არის უცნაური.

2 . $\Phi \left(x\right)$ არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ მარცხენა(x\მარჯვნივ)\ )=-0.5$.

$\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ Excel პაკეტის $f_x$ ფუნქციის ოსტატი: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left. (x;0;1;1\მარჯვნივ) -0.5$. მაგალითად, გამოვთვალოთ $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობები $x=2$-ისთვის.

ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ მოხვდება სიმეტრიულ ინტერვალში $a$ მოლოდინის მიმართ, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

სამი სიგმის წესი. პრაქტიკულად დარწმუნებულია, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი $X$ ხვდება $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ინტერვალში.

მაგალითი 1 . შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ნორმალურ ალბათობის განაწილების კანონს $a=2,\ \sigma =3$ პარამეტრებით. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ $X$ მოხვდება $\left(0,5;1\right)$ ინტერვალში და ალბათობა იმისა, რომ უტოლობა $\left|X-a\right|< 0,2$.

ფორმულის გამოყენებით

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

იპოვეთ $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ (3))\მარჯვნივ)=\Phi \left(-0.33\მარჯვნივ)-\Phi \left(-0.5\მარჯვნივ)=\Phi \left(0.5\მარჯვნივ) -\Phi \ მარცხნივ(0.33\მარჯვნივ) =0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

მაგალითი 2 . დავუშვათ, რომ წლის განმავლობაში გარკვეული კომპანიის აქციების ფასი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით, მათემატიკური მოლოდინით, რომელიც უდრის 50 ჩვეულებრივი ფულადი ერთეულის და სტანდარტული გადახრის ტოლი 10. რა არის ალბათობა, რომ შემთხვევითად განსახილველი პერიოდის არჩეული დღე, აქციის ფასი იქნება:

ა) 70-ზე მეტი ჩვეულებრივი ფულადი ერთეული?

ბ) 50-ზე ქვემოთ თითო აქციაზე?

გ) 45-დან 58-მდე პირობით ფულადი ერთეულებითითო აქციაზე?

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს ზოგიერთი კომპანიის აქციების ფასი. პირობით, $X$ ექვემდებარება ნორმალურ განაწილებას პარამეტრებით $a=50$ - მათემატიკური მოლოდინი, $\sigma =10$ - სტანდარტული გადახრა. ალბათობა $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\მარჯვნივ)-\Phi \left(((70-50)\ მეტი (10))\მარჯვნივ)=0.5-\Phi \left(2\მარჯვნივ)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\ P\ მარცხენა (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\მარცხენა(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

მიუხედავად ეგზოტიკური სახელებისა, საერთო დისტრიბუციები ერთმანეთთან საკმაოდ ინტუიციურად და საინტერესო გზებირაც აადვილებს მათ დამახსოვრებას და მათზე თავდაჯერებულად ლაპარაკს. ზოგიერთი ბუნებრივად მოყვება, მაგალითად, ბერნულის განაწილებას. დროა აჩვენოთ ამ კავშირების რუკა.

თითოეული განაწილება ილუსტრირებულია მისი განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის (DDF) მაგალითით. ეს სტატია ეხება მხოლოდ იმ განაწილებებს, რომელთა შედეგებია − ერთჯერადი ნომრები. Ამიტომაც, ჰორიზონტალური ღერძითითოეული გრაფიკი არის შესაძლო რიცხვ-შედეგების ნაკრები. ვერტიკალური - თითოეული შედეგის ალბათობა. ზოგიერთი განაწილება დისკრეტულია - მათი შედეგები უნდა იყოს მთელი რიცხვები, როგორიცაა 0 ან 5. ისინი მითითებულია მწირი ხაზებით, თითო თითოეული შედეგისთვის, სიმაღლით, რომელიც შეესაბამება ამ შედეგის ალბათობას. ზოგიერთი უწყვეტია, მათი შედეგები შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვითი მნიშვნელობა, როგორიცაა -1.32 ან 0.005. ისინი ნაჩვენებია როგორც მკვრივი მრუდები მრუდის მონაკვეთების ქვეშ მდებარე უბნებით, რომლებიც იძლევა ალბათობას. მრუდის ქვეშ ხაზებისა და ფართობების სიმაღლეების ჯამი ყოველთვის არის 1.

ამობეჭდეთ, გაჭერით წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ და თან წაიღეთ საფულეში. ეს არის თქვენი გზამკვლევი განაწილების ქვეყანაში და მათი ნათესავების შესახებ.

ბერნული და უნიფორმა

თქვენ უკვე შეხვდით ბერნულის განაწილებას ზემოთ, ორი შედეგით - თავები ან კუდები. წარმოიდგინეთ ახლა, როგორც განაწილება 0-ზე და 1-ზე, 0 არის თავები და 1 არის კუდები. როგორც უკვე ცხადია, ორივე შედეგი თანაბრად სავარაუდოა და ეს ასახულია დიაგრამაში. ბერნულის PDF შეიცავს ორ ხაზს იგივე სიმაღლეწარმოადგენს 2 ​​თანაბრად სავარაუდო შედეგს: 0 და 1, შესაბამისად.

ბერნულის განაწილება ასევე შეიძლება წარმოადგენდეს არათანაბარ შედეგებს, როგორიცაა არასწორი მონეტის გადატრიალება. მაშინ თავების ალბათობა იქნება არა 0,5, არამედ სხვა მნიშვნელობა p, ხოლო კუდების ალბათობა იქნება 1-p. მრავალი სხვა განაწილების მსგავსად, ის რეალურად არის განაწილების მთელი ოჯახი გარკვეული პარამეტრების გათვალისწინებით, როგორიცაა p ზემოთ. როდესაც ფიქრობთ "ბერნული" - იფიქრეთ "მონეტის (შესაძლოა არასწორი) გადაყრაზე."

ამიტომ ძალიან პატარა ნაბიჯირამდენიმე თანაბარ შედეგზე განაწილების წარდგენამდე: ერთიანი განაწილება, რომელიც ხასიათდება ბრტყელი PDF-ით. წარმოადგინე სწორი კამათელი. მისი შედეგები 1-6 თანაბრად სავარაუდოა. მისი დაყენება შესაძლებელია ნებისმიერი რაოდენობის n შედეგისთვის და თუნდაც უწყვეტი განაწილებისთვის.

იფიქრე ამის შესახებ ერთგვაროვანი განაწილებაროგორც „სწორი კამათელი“.

ბინომიური და ჰიპერგეომეტრიული

ბინომალური განაწილება შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც იმ საგნების შედეგების ჯამი, რომელიც მოჰყვება ბერნულის განაწილებას.

ორჯერ გადაატრიალეთ პატიოსანი მონეტა - რამდენჯერ იქნება ის თავები? ეს არის რიცხვი, რომელიც ემორჩილება ბინომურ განაწილებას. მისი პარამეტრებია n, ცდების რაოდენობა და p არის "წარმატების" ალბათობა (ჩვენს შემთხვევაში, ხელმძღვანელები ან 1). თითოეული რულონი არის ბერნულის განაწილებული შედეგი ან ტესტი. გამოიყენეთ ბინომიალური განაწილება წარმატებების რაოდენობის დათვლისას ისეთ საკითხებში, როგორიცაა მონეტის გადახვევა, სადაც თითოეული ამობრუნება დამოუკიდებელია სხვებისგან და აქვს წარმატების ერთნაირი ალბათობა.

ან წარმოიდგინეთ ურნა იგივე რაოდენობის თეთრი და შავი ბურთებით. დახუჭეთ თვალები, ამოიღეთ ბურთი, ჩაწერეთ მისი ფერი და დააბრუნეთ უკან. გაიმეორეთ. რამდენჯერ არის დახატული შავი ბურთი? ეს რიცხვი ასევე მიჰყვება ბინომურ განაწილებას.

ეს უცნაური სიტუაციაჩვენ შემოვიღეთ ჰიპერგეომეტრიული განაწილების მნიშვნელობის გასაგებად. ეს არის იგივე რიცხვის განაწილება, მაგრამ იმ სიტუაციაში, თუ ჩვენ არადააბრუნეთ ბურთები. რა თქმა უნდა ბიძაშვილიბინომალური განაწილება, მაგრამ არა იგივე, რადგან წარმატების ალბათობა იცვლება ყოველი გათამაშებით. თუ ბურთების რაოდენობა საკმარისად დიდია გათამაშების რაოდენობასთან შედარებით, მაშინ ეს განაწილებები თითქმის ერთნაირია, რადგან წარმატების შანსი ძალიან ცოტა იცვლება ყოველ გათამაშებასთან ერთად.

როდესაც ვინმე საუბრობს ურნებიდან ბურთების დაბრუნების გარეშე გამოტანაზე, თითქმის ყოველთვის უსაფრთხოდ შეიძლება ითქვას „დიახ, ჰიპერგეომეტრიული განაწილება“, რადგან ჩემს ცხოვრებაში ჯერ არ შემხვედრია ის, ვინც რეალურად აავსებდა ურნებს ბურთებით, შემდეგ ამოიღებდა მათ და დაბრუნდებოდა. მათ, ან პირიქით. ურმებთან მეგობრებიც კი არ მყავს. უფრო ხშირად, ეს განაწილება უნდა გამოჩნდეს ზოგიერთი ზოგადი პოპულაციის მნიშვნელოვანი ქვეჯგუფის შერჩევისას.

Შენიშვნა. თარგმნა.

შეიძლება აქ არც ისე ნათელი იყოს, მაგრამ რადგან დამწყებთათვის გაკვეთილი და ექსპრეს კურსი, საჭირო იქნება ახსნა. მოსახლეობა არის ის, რისი შეფასებაც გვინდა სტატისტიკურად. შესაფასებლად ვირჩევთ გარკვეულ ნაწილს (ქვესიმრავლეს) და მასზე ვაკეთებთ საჭირო შეფასებას (მაშინ ამ ქვეჯგუფს ეწოდება ნიმუში), იმ ვარაუდით, რომ შეფასება მსგავსი იქნება მთელი პოპულაციისთვის. მაგრამ ეს რომ იყოს სიმართლე, ხშირად საჭიროა დამატებითი შეზღუდვები ნიმუშის ქვეჯგუფის განსაზღვრაზე (ან პირიქით, ცნობილი ნიმუშიდან, ჩვენ უნდა შევაფასოთ, აღწერს თუ არა ის პოპულაციას საკმარისად ზუსტად).

პრაქტიკული მაგალითი - ჩვენ უნდა შევარჩიოთ წარმომადგენლები 100 კაციანი კომპანიისგან E3-ზე გასამგზავრებლად. ცნობილია, რომ გასულ წელს მასში უკვე 10-მა ადამიანმა იმოგზაურა (თუმცა არავინ არის აღიარებული). რამდენი მინიმუმი უნდა იქნას მიღებული იმისთვის, რომ ჯგუფში ერთი გამოცდილი თანამებრძოლი მაინც იყოს? Ამ შემთხვევაში მოსახლეობა- 100, შერჩევა - 10, შერჩევის მოთხოვნები - მინიმუმ ერთი, ვინც უკვე იმოგზაურა E3-ზე.

ვიკიპედიას აქვს ნაკლებად სასაცილო, მაგრამ უფრო პრაქტიკული მაგალითი პარტიაში დეფექტური ნაწილების შესახებ.

შხამი

რაც შეეხება მომხმარებელთა რაოდენობას დარეკავს ცხელი ხაზიტექნიკური მხარდაჭერა ყოველ წუთს? ეს არის შედეგი, რომლის განაწილება ერთი შეხედვით ორობითია, თუ ყოველ წამს განვიხილავთ, როგორც ბერნულის საცდელს, რომლის დროსაც მომხმარებელი ან არ რეკავს (0) ან რეკავს (1). მაგრამ ელექტრომომარაგების ორგანიზაციებმა ძალიან კარგად იციან: როდესაც ელექტროენერგია გამორთულია, წამში ორ ადამიანს შეუძლია დარეკოს. ან თუნდაც ასზე მეტიხალხის. 60 000 მილიწამიან საცდელად წარმოდგენაც არ შველის - მეტი საცდელია, ზარის ალბათობა ერთ მილიწამში ნაკლებია, მაშინაც კი, თუ ერთდროულად ორ ან მეტს არ ითვლით, მაგრამ ტექნიკურად ეს მაინც არ არის ბერნულის ტესტი. თუმცა, ლოგიკური მსჯელობა მუშაობს უსასრულობაზე გადასვლასთან. მოდით n წავიდეს უსასრულობამდე და p გადავიდეს 0-მდე, ასე რომ np მუდმივია. ეს ჰგავს დროის უფრო და უფრო მცირე ნაწილებად დაყოფას ზარის ნაკლები და ნაკლები შანსით. ლიმიტში ვიღებთ პუასონის განაწილებას.

ისევე როგორც ბინომალური განაწილება, პუასონის განაწილება არის რაოდენობრივი განაწილება: რამდენჯერმე ხდება რაღაც. ის პარამეტრიზებულია არა p ალბათობით და n ცდების რაოდენობით, არამედ საშუალო ინტენსივობით λ, რომელიც, ბინომის ანალოგიით, უბრალოდ არის მუდმივი მნიშვნელობან.პ. პუასონის განაწილება არის რა საჭიროდაიმახსოვრეთ, როდესაც საქმე ეხება მოვლენების დათვლას გარკვეული დრომუდმივი მოცემული ინტენსივობით.

როდესაც რაღაც პაკეტები მოდის როუტერში ან მომხმარებლები ჩნდებიან მაღაზიაში ან რაღაც ელოდება რიგში, იფიქრეთ Poisson.

გეომეტრიული და უარყოფითი ბინომი

დან მარტივი ტესტებიბერნულის სხვა განაწილება ჩანს. რამდენჯერ ამოდის კუდები მონეტა თავებზე ამოსვლამდე? კუდების რაოდენობა მიჰყვება გეომეტრიულ განაწილებას. ბერნულის განაწილების მსგავსად, ის პარამეტრიზებულია წარმატებული შედეგის ალბათობით, გვ. ის არ არის პარამეტრიზებული n რიცხვით, ცდების რაოდენობით, რადგან წარუმატებელი ცდების რაოდენობა არის ზუსტად შედეგი.

თუ ბინომალური განაწილება არის "რამდენი წარმატება", მაშინ გეომეტრიული განაწილება არის "რამდენი მარცხი წარმატებამდე?".

უარყოფითი ბინომიალური განაწილება წინას მარტივი განზოგადებაა. ეს არის წარუმატებლობის რიცხვი, სანამ არ იქნება r და არა 1 წარმატება. მაშასადამე, იგი დამატებით პარამეტრიზებულია ამ რ. მას ზოგჯერ აღწერენ, როგორც წარმატებების რაოდენობას r წარუმატებლობამდე. მაგრამ, როგორც ჩემი ცხოვრების მწვრთნელი ამბობს: „თქვენ გადაწყვიტეთ რა არის წარმატება და რა წარუმატებლობა“, ასე რომ, ეს იგივეა, თუ არ დაგავიწყდებათ, რომ p ალბათობაც უნდა იყოს. სწორი ალბათობაწარმატება ან წარუმატებლობა, შესაბამისად.

თუ დაძაბულობის შესამსუბუქებლად ხუმრობა გჭირდებათ, შეგიძლიათ ახსენოთ, რომ ბინომიალური და ჰიპერგეომეტრიული განაწილებები აშკარა წყვილია, მაგრამ გეომეტრიული და უარყოფითი ბინომიალური განაწილებები ასევე საკმაოდ მსგავსია და შემდეგ თქვათ „აბა, ვინ უწოდებს მათ ასე, ჰა? ”

ექსპონენციალური და ვეიბული

ისევ ტექნიკურ მხარდაჭერაზე ზარების შესახებ: რამდენი დრო დასჭირდება შემდეგ ზარს? როგორც ჩანს, ამ ლოდინის დროის განაწილება გეომეტრიულია, რადგან ყოველი წამი, სანამ არავინ დარეკავს, წარუმატებლობას ჰგავს, მეორემდე, სანამ საბოლოოდ არ მოხდება ზარი. წარუმატებლობის რაოდენობა ჰგავს წამების რაოდენობას, სანამ არავინ დაურეკავს და ეს ასეა პრაქტიკულადშემდეგ ზარამდე დრო, მაგრამ "პრაქტიკულად" საკმარისი არ არის ჩვენთვის. დასკვნა ის არის, რომ ეს დრო იქნება მთელი წამების ჯამი და, შესაბამისად, შეუძლებელი იქნება ამ წამის განმავლობაში ლოდინის გამოთვლა თავად ზარამდე.

ისე, როგორც ადრე, მივდივართ გეომეტრიული განაწილებალიმიტამდე, დროის გაზიარებასთან დაკავშირებით - და voila. ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალურ განაწილებას, რომელიც ზუსტად აღწერს ზარამდე დროს. ის უწყვეტი განაწილებაჩვენ გვაქვს პირველი, რადგან შედეგი სულაც არ არის მთელი წამები. პუასონის განაწილების მსგავსად, ის პარამეტრიზებულია λ ინტენსივობით.

ეხმიანება კავშირს ბინომილსა და გეომეტრიულს შორის, პუასონის "რამდენი მოვლენაა დროში?" დაკავშირებულია ექსპონენციასთან „მოვლენამდე რამდენი ხნით ადრე?“. თუ არის მოვლენები, რომელთა რიცხვი დროის ერთეულში ემორჩილება პუასონის განაწილებას, მაშინ მათ შორის დრო ემორჩილება ექსპონენციალურ განაწილებას იგივე პარამეტრით λ. ეს კორესპონდენცია ორ განაწილებას შორის უნდა აღინიშნოს, როდესაც რომელიმე განიხილება.

ექსპონენციალური განაწილება მხედველობაში უნდა მივიღოთ, როდესაც ვფიქრობთ „მოვლენის დროზე“, შესაძლოა „მარცხის დროზე“. სინამდვილეში, ეს ისეთი მნიშვნელოვანი სიტუაციაა, რომ არსებობს უფრო განზოგადებული განაწილებები MTBF-ის აღსაწერად, როგორიცაა Weibull განაწილება. მიუხედავად იმისა, რომ ექსპონენციალური განაწილება მიზანშეწონილია, როდესაც ცვეთა ან წარუმატებლობის მაჩვენებელი, მაგალითად, მუდმივია, ვეიბულის განაწილებას შეუძლია დროთა განმავლობაში მზარდი (ან კლებადი) წარუმატებლობის სიხშირის მოდელირება. ექსპონენციალური, ზოგადად, განსაკუთრებული შემთხვევა.

იფიქრეთ ვეიბულზე, როდესაც საქმე ეხება MTBF-ს.

ნორმალური, ლოგინორმული, სტუდენტური და ჩი-კვადრატი

ნორმალური ან გაუსიანი განაწილება ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია. მისი ზარის ფორმის მყისვე შესამჩნევია. მაგალითად, ეს არის განსაკუთრებით ცნობისმოყვარე არსება, რომელიც ვლინდება ყველგან, თუნდაც ყველაზე გარეგნულად მარტივი წყაროები. აიღეთ მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც ემორჩილება იმავე განაწილებას - ნებისმიერს! - და დაკეცეთ ისინი. მათი ჯამის განაწილება ექვემდებარება (დაახლოებით) ნორმალური დისტრიბუცია. რაც უფრო მეტი რამ არის შეჯამებული, მით უფრო ახლოსაა მათი ჯამი ნორმალურ განაწილებასთან (ხრიკი: ტერმინების განაწილება უნდა იყოს პროგნოზირებადი, დამოუკიდებელი, ის მხოლოდ ნორმალურზე მიდრეკილია). ეს ასეა, მიუხედავად ორიგინალური განაწილებისა, გასაოცარია.

Შენიშვნა. თარგმნა.

გამიკვირდა, რომ ავტორი არ წერს შეჯამებათა განაწილების შესადარებელი მასშტაბის აუცილებლობის შესახებ: თუ ერთი მნიშვნელოვნად დომინირებს სხვებზე, ის უკიდურესად ცუდად გადაიყრება. და საერთოდ, აბსოლუტური ურთიერთდამოუკიდებლობა არ არის საჭირო, საკმარისია სუსტი დამოკიდებულება.

ისე, ალბათ წვეულებისთვისაა, როგორც წერდა.

ამას ჰქვია "ცენტრალური ლიმიტის თეორემა" და თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის, რატომ ჰქვია ასე და რას ნიშნავს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი მყისიერად იცინიან მასზე.

მის კონტექსტში, ნორმალური დაკავშირებულია ყველა განაწილებასთან. თუმცა, ძირითადად, ეს დაკავშირებულია ყველა თანხის განაწილებასთან. ბერნულის ცდების ჯამი მიჰყვება ბინომურ განაწილებას და, რაც იზრდება ცდების რაოდენობა, ეს ორნომული განაწილება უფრო და უფრო უახლოვდება ნორმალურ განაწილებას. ანალოგიურად, მისი ბიძაშვილი არის ჰიპერგეომეტრიული განაწილება. პუასონის განაწილება - ლიმიტის ფორმაბინომიური - ასევე უახლოვდება ნორმას ინტენსივობის პარამეტრის ზრდით.

შედეგები, რომლებიც მოჰყვება ლოგინურ განაწილებას, იძლევა მნიშვნელობებს, რომელთა ლოგარითმი ჩვეულებრივ განაწილებულია. ან სხვა გზით: ნორმალურად განაწილებული მნიშვნელობის მაჩვენებელი ლოგნორმალურად არის განაწილებული. თუ თანხები ჩვეულებრივ ნაწილდება, მაშინ გახსოვდეთ, რომ პროდუქტები ლოგიკურად არის განაწილებული.

სტუდენტის t-განაწილება არის t-ტესტის საფუძველი, რომელსაც ბევრი არასტატისტიკოსი სწავლობს სხვა დარგებში. იგი გამოიყენება ნორმალური განაწილების საშუალოზე დაშვების გასაკეთებლად და ასევე მიდრეკილია ნორმალური განაწილებისკენ, როდესაც მისი პარამეტრი იზრდება. გამორჩეული თვისება t-განაწილება არის მისი კუდები, რომლებიც უფრო სქელია ვიდრე ნორმალური განაწილების.

თუ მსუქანმა ანეკდოტმა მეზობელს საკმარისად არ შეაძრწუნა, გადადით საკმაოდ სასაცილო ლუდის ზღაპარზე. 100 წელზე მეტი ხნის წინ, გინესმა გამოიყენა სტატისტიკა მისი სიმტკიცის გასაუმჯობესებლად. შემდეგ უილიამ სილი გოსეტმა სრულიად ახალი გამოიგონა სტატისტიკური თეორიაქერის გაუმჯობესებული კულტივირებისთვის. გოსეტმა დაარწმუნა ბოსი, რომ სხვა ლუდსახარშებს არ ესმოდათ როგორ გამოეყენებინათ მისი იდეები და მიიღო ნებართვა გამოექვეყნებინა, მაგრამ ფსევდონიმით "სტუდენტი". უმეტესობა ცნობილი მიღწევა Gosset არის სწორედ ეს t-დისტრიბუცია, რომელიც, შეიძლება ითქვას, მისი სახელია.

და ბოლოს, ჩი-კვადრატის განაწილება არის ნორმალურად განაწილებული სიდიდეების კვადრატების ჯამების განაწილება. ამ განაწილებაზე აგებულია chi-კვადრატის ტესტი, რომელიც დაფუძნებულია კვადრატული განსხვავებების ჯამზე, რომელიც ჩვეულებრივ უნდა იყოს განაწილებული.

გამა და ბეტა

ამ დროს, თუ უკვე ლაპარაკობთ რაღაც ჩი-კვადრატზე, საუბარი სერიოზულად იწყება. თქვენ ალბათ უკვე ესაუბრებით რეალურ სტატისტიკოსებს და, ალბათ, ღირს უკვე თაყვანისცემა, რადგან შეიძლება გამოჩნდეს ისეთი რამ, როგორიცაა გამა განაწილება. ეს არის განზოგადება დაექსპონენციალური და chi-კვადრატული განაწილება. ექსპონენციური განაწილების მსგავსად, იგი გამოიყენება რთული შეყოვნების მოდელებისთვის. მაგალითად, გამა განაწილება ჩნდება, როდესაც სიმულირებულია შემდეგი n მოვლენის დრო. ის ჩნდება მანქანათმცოდნეობაროგორც "კონიუგატი ადრე" რამდენიმე სხვა განაწილებაზე.

არ ჩაერთოთ ამ კონიუგატ დისტრიბუციებზე საუბარში, მაგრამ თუ ჩაერთვებით, არ დაგავიწყდეთ აღნიშნოთ ბეტა განაწილება, რადგან ეს არის აქ ნახსენები დისტრიბუციების უმეტესობის წინა კონიუგატი. მონაცემთა მეცნიერები დარწმუნებულნი არიან, რომ სწორედ ამისთვის შეიქმნა. ეს უნებურად ახსენე და კარისკენ წადი.

სიბრძნის დასაწყისი

ალბათობის განაწილება არის ის, რის შესახებაც ძალიან ბევრი არ იცით. ჭეშმარიტად დაინტერესებულებს შეუძლიათ მიმართონ ყველა ალბათობის განაწილების ამ სუპერ დეტალურ რუკას, დაამატეთ ტეგები

როგორც ცნობილია, შემთხვევითი ცვლადი დაურეკა ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები შემთხვევის მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღნიშნავენ დიდი ასოები ლათინური ანბანი(X, Y, Z) და მათი მნიშვნელობები მათი შესაბამისი მცირე ასოებით (x, y, z). შემთხვევითი ცვლადები იყოფა წყვეტილ (დისკრეტულ) და უწყვეტად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მხოლოდ სასრულ ან უსასრულო (დათვლადი) მნიშვნელობათა სიმრავლეს გარკვეული არანულოვანი ალბათობით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს მათ შესაბამის ალბათობებთან. განაწილების კანონი შეიძლება დაზუსტდეს ერთ-ერთი შემდეგი გზით.

1 . განაწილების კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილით:

სადაც λ>0, k = 0, 1, 2, ... .

in)გამოყენებით განაწილების ფუნქცია F(x) , რომელიც განსაზღვრავს თითოეული x მნიშვნელობისთვის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი. F(x) = P(X< x).

F(x) ფუნქციის თვისებები

3 . განაწილების კანონი შეიძლება დაინიშნოს გრაფიკულად – განაწილების მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი) (იხ. ამოცანა 3).

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად არ არის აუცილებელი განაწილების კანონის ცოდნა. ზოგიერთ შემთხვევაში, საკმარისია იცოდეთ ერთი ან მეტი რიცხვი, რომელიც ყველაზე მეტად ასახავს მნიშვნელოვანი თვისებებიგანაწილების კანონი. ეს შეიძლება იყოს რიცხვი, რომელსაც აქვს შემთხვევითი ცვლადის „საშუალო მნიშვნელობის“ მნიშვნელობა, ან რიცხვი, რომელიც აჩვენებს საშუალო ზომაშემთხვევითი ცვლადის გადახრა მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. ამ ტიპის რიცხვებს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები.

მთავარი რიცხვითი მახასიათებლებიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი :

• მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის (საშუალო მნიშვნელობა). M(X)=Σ x i p i.
  ბინომური განაწილებისთვის M(X)=np, პუასონის განაწილებისთვის M(X)=λ
• დისპერსია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი D(X)=M2ან D(X) = M(X 2) - 2. განსხვავება X–M(X) ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის გადახრას მისი მათემატიკური მოლოდინიდან.
  ბინომური განაწილებისთვის D(X)=npq, პუასონის განაწილებისთვის D(X)=λ
• Სტანდარტული გადახრა (სტანდარტული გადახრა) σ(X)=√D(X).

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე "დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი"

დავალება 1.

გამოცემული 1000 ლატარიის ბილეთები: 5 მათგანი იღებს მოგებას 500 რუბლის ოდენობით, 10 - 100 რუბლის მოგება, 20 - 50 რუბლის მოგება, 50 - 10 რუბლის მოგება. დაადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი - მოგება ბილეთზე.

გამოსავალი. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი მნიშვნელობებიშემთხვევითი ცვლადი X: 0, 10, 50, 100 და 500.

მოგების გარეშე ბილეთების რაოდენობაა 1000 - (5+10+20+50) = 915, შემდეგ P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა სხვა ალბათობას: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. წარმოგიდგენთ მიღებულ კანონს ცხრილის სახით:

იპოვეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

დავალება 3.

მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის, შექმენით განაწილების პოლიგონი. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) და დახაზეთ იგი. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გამოსავალი. 1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X=(წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა ერთ ექსპერიმენტში) აქვს შემდეგი შესაძლო ღირებულებები: x 1 \u003d 0 (მოწყობილობის არცერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 2 \u003d 1 (ერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 3 \u003d 2 (ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა) და x 4 \u003d 3 (სამი ელემენტი ვერ მოხერხდა).

ელემენტების გაუმართაობა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, თითოეული ელემენტის გაუმართაობის ალბათობა ერთმანეთის ტოლია, შესაბამისად, იგი გამოიყენება ბერნულის ფორმულა . იმის გათვალისწინებით, რომ პირობით, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების ალბათობებს:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
შეამოწმეთ: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

ამრიგად, სასურველ ბინომიალური განაწილების კანონს X აქვს ფორმა:

აბსცისის ღერძზე გამოვსახავთ შესაძლო მნიშვნელობებს x i, ხოლო ორდინატთა ღერძზე შესაბამის ალბათობებს р i. ავაშენოთ წერტილები M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). ამ წერტილების ხაზის სეგმენტებთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განაწილების მრავალკუთხედს.

3. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) = P(X

x ≤ 0-ისთვის გვაქვს F(x) = P(X<0) = 0;
0-ისთვის< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ისთვის< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ისთვის< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ისთვის იქნება F(x) = 1, რადგან მოვლენა გარკვეულია.

F(x) ფუნქციის გრაფიკი

4. ბინომალური X განაწილებისთვის:
- მათემატიკური მოლოდინი М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- დისპერსია D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- საშუალო სტანდარტული გადახრაσ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.