Estática- Este é um ramo da mecânica teórica, no qual são estudadas as condições de equilíbrio dos corpos materiais sob a influência de forças.

Sob o estado de equilíbrio, em estática, entende-se o estado em que todas as partes sistema mecânico estão em repouso (em relação ao sistema de coordenadas fixo). Embora os métodos da estática também sejam aplicáveis ​​a corpos em movimento, e com sua ajuda seja possível estudar os problemas da dinâmica, os objetos básicos de estudo da estática são corpos e sistemas mecânicos imóveis.

Forçaé a medida do efeito de um corpo sobre outro. Força é um vetor que tem um ponto de aplicação na superfície do corpo. Sob a força corpo livre recebe uma aceleração proporcional ao vetor força e inversamente proporcional à massa do corpo.

A lei da igualdade de ação e reação

A força com que o primeiro corpo atua sobre o segundo é valor absoluto e tem direção oposta à força com que o segundo corpo atua sobre o primeiro.

Princípio de cura

Se o corpo deformável estiver em equilíbrio, seu equilíbrio não será perturbado se o corpo for considerado absolutamente rígido.

Estática do ponto do material

Considere um ponto material que está em equilíbrio. E deixe n forças agirem sobre ele, k = 1, 2, ..., n.

Se o ponto material está em equilíbrio, então a soma vetorial das forças que atuam sobre ele é igual a zero:
(1) .

Em equilíbrio soma geométrica forças que atuam em um ponto é zero.

Interpretação geométrica . Se o início do segundo vetor for colocado no final do primeiro vetor e o início do terceiro for colocado no final do segundo vetor, e esse processo for continuado, o final do último enésimo vetor será ser combinado com o início do primeiro vetor. Ou seja, obtemos uma figura geométrica fechada, cujos comprimentos dos lados são iguais aos módulos dos vetores. Se todos os vetores estiverem no mesmo plano, obtemos um polígono fechado.

Muitas vezes é conveniente escolher sistema retangular coordenadas Oxyz. Então as somas das projeções de todos os vetores de força nos eixos coordenados são iguais a zero:

Se escolhermos qualquer direção definida por algum vetor , então a soma das projeções dos vetores de força nessa direção é igual a zero:
.
Multiplicamos a equação (1) escalarmente pelo vetor:
.
Aqui - produto escalar vetores e .
Observe que a projeção de um vetor na direção do vetor é determinada pela fórmula:
.

Estática do corpo rígido

Momento de força em torno de um ponto

Determinando o momento da força

Momento de força, aplicado ao corpo no ponto A, em relação ao centro fixo O, é chamado de vetor igual ao produto vetorial dos vetores e:
(2) .

Interpretação geométrica

Momento de poder é igual ao produto força F no braço OH.

Sejam os vetores e estejam localizados no plano da figura. De acordo com a propriedade produto vetorial, o vetor é perpendicular aos vetores e , ou seja, é perpendicular ao plano da figura. Sua direção é determinada pela regra do parafuso certo. Na figura, o vetor momento é direcionado para nós. O valor absoluto do momento:
.
Porque, então
(3) .

Usando a geometria, pode-se dar outra interpretação do momento da força. Para fazer isso, desenhe uma linha reta AH através do vetor força . Do centro O deixamos cair a perpendicular OH a esta linha. O comprimento desta perpendicular é chamado ombro de força. Então
(4) .
Como , as fórmulas (3) e (4) são equivalentes.

Por isso, valor absoluto do momento de força em relação ao centro O é produto da força no ombro esta força em relação ao centro escolhido O .

Ao calcular o momento, muitas vezes é conveniente decompor a força em duas componentes:
,
Onde . A força passa pelo ponto O. Então o momento dela zero. Então
.
O valor absoluto do momento:
.

Componentes de momento em coordenadas retangulares

Se escolhermos um sistema de coordenadas retangulares Oxyz centrado no ponto O, então o momento da força terá as seguintes componentes:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Aqui estão as coordenadas do ponto A no sistema de coordenadas selecionado:
.
As componentes são os valores do momento de força em relação aos eixos, respectivamente.

Propriedades do momento de força em relação ao centro

O momento em relação ao centro O, da força que passa por este centro, é igual a zero.

Se o ponto de aplicação da força for movido ao longo de uma linha que passa pelo vetor de força, o momento, durante esse movimento, não mudará.

O momento da soma vetorial das forças aplicadas a um ponto do corpo é igual à soma vetorial dos momentos de cada uma das forças aplicadas ao mesmo ponto:
.

O mesmo se aplica a forças cujas linhas de extensão se cruzam em um ponto. Nesse caso, seu ponto de interseção deve ser considerado como o ponto de aplicação das forças.

Se a soma vetorial das forças for zero:
,
então a soma dos momentos dessas forças não depende da posição do centro, em relação ao qual os momentos são calculados:
.

Casal de poder

Casal de poder são duas forças que são iguais em valor absoluto e têm direções opostas aplicado a pontos diferentes corpo.

Um par de forças é caracterizado pelo momento em que elas criam. Como a soma vetorial das forças incluídas no par é zero, o momento criado pelo binário não depende do ponto em relação ao qual o momento é calculado. Do ponto de vista do equilíbrio estático, a natureza das forças no par é irrelevante. Um par de forças é usado para indicar que um momento de forças atua sobre o corpo, tendo determinado valor.

Momento de força em torno de um eixo dado

Muitas vezes há casos em que não precisamos conhecer todos os componentes do momento de força em relação a um ponto selecionado, mas apenas precisamos conhecer o momento de força em torno de um eixo selecionado.

O momento da força em relação ao eixo que passa pelo ponto O é a projeção do vetor do momento da força, em relação ao ponto O, na direção do eixo.

Propriedades do momento de força em torno de um eixo

O momento em torno do eixo da força que passa por este eixo é igual a zero.

O momento em torno de um eixo de uma força paralela a este eixo é zero.

Cálculo do momento de força em torno de um eixo

Deixe uma força agir sobre o corpo no ponto A. Vamos encontrar o momento dessa força em relação ao eixo O′O′′.

Vamos construir um sistema de coordenadas retangulares. Deixe o eixo Oz coincidir com O′O′′ . Do ponto A deixamos cair a perpendicular OH a O′O′′ . Pelos pontos O e A traçamos o eixo Ox. Traçamos o eixo Oy perpendicular a Ox e Oz. Decompomos a força em componentes ao longo dos eixos do sistema de coordenadas:
.
A força cruza o eixo O′O′′. Portanto, seu momento é zero. A força é paralela ao eixo O′O′′. Portanto, seu momento também é zero. Pela fórmula (5.3) encontramos:
.

Observe que o componente é direcionado tangencialmente ao círculo cujo centro é o ponto O . A direção do vetor é determinada pela regra do parafuso direito.

Condições de equilíbrio para um corpo rígido

Em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo é igual a zero e a soma vetorial dos momentos dessas forças em relação a um centro fixo arbitrário é igual a zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Ressaltamos que o centro O , em relação ao qual são calculados os momentos das forças, pode ser escolhido arbitrariamente. O ponto O pode pertencer ao corpo ou estar fora dele. Normalmente o centro O é escolhido para facilitar os cálculos.

As condições de equilíbrio podem ser formuladas de outra maneira.

Em equilíbrio, a soma das projeções de forças em qualquer direção dada por um vetor arbitrário é igual a zero:
.
A soma dos momentos das forças em torno de um eixo arbitrário O′O′′ também é igual a zero:
.

Às vezes, essas condições são mais convenientes. Há momentos em que, escolhendo os eixos, os cálculos podem ser simplificados.

Centro de gravidade do corpo

Considere uma das forças mais importantes - a gravidade. Aqui, as forças não são aplicadas em determinados pontos do corpo, mas são distribuídas continuamente ao longo de seu volume. Para cada parte do corpo com um volume infinitesimal ∆V, a força gravitacional atua. Aqui ρ é a densidade da matéria do corpo, é a aceleração queda livre.

Let Ser a massa de uma parte infinitamente pequena do corpo. E deixe o ponto A k definir a posição desta seção. Vamos encontrar as grandezas relacionadas à força da gravidade, que estão incluídas nas equações de equilíbrio (6).

Vamos encontrar a soma das forças da gravidade formadas por todas as partes do corpo:
,
onde é a massa do corpo. Assim, a soma das forças de gravidade de partes infinitesimais individuais do corpo pode ser substituída por um vetor de gravidade de todo o corpo:
.

Vamos encontrar a soma dos momentos das forças da gravidade, em relação ao centro escolhido O de forma arbitrária:

.
Aqui nós introduzimos o ponto C que é chamado Centro de gravidade corpo. A posição do centro de gravidade, em um sistema de coordenadas centrado no ponto O, é determinada pela fórmula:
(7) .

Assim, ao determinar o equilíbrio estático, a soma da gravidade seções individuais corpos podem ser substituídos pela resultante
,
aplicado ao centro de massa do corpo C , cuja posição é determinada pela fórmula (7).

A posição do centro de gravidade para vários formas geométricas podem ser encontrados nos guias relevantes. Se o corpo tem um eixo ou plano de simetria, o centro de gravidade está localizado nesse eixo ou plano. Assim, os centros de gravidade de uma esfera, círculo ou círculo estão localizados nos centros dos círculos dessas figuras. Centros de gravidade cubóide, retângulo ou quadrado também estão localizados em seus centros - nos pontos de interseção das diagonais.

Carga distribuída uniformemente (A) e linearmente (B).

Há também casos semelhantes à força da gravidade, quando as forças não são aplicadas em determinados pontos do corpo, mas são distribuídas continuamente sobre sua superfície ou volume. Tais forças são chamadas forças distribuídas ou .

(Figura A). Além disso, como no caso da gravidade, ela pode ser substituída pela força resultante de magnitude , aplicada no centro de gravidade do diagrama. Como o diagrama da figura A é um retângulo, o centro de gravidade do diagrama está em seu centro - ponto C: | CA | = | CB |.

(foto B). Também pode ser substituído pelo resultante. O valor da resultante é igual à área do diagrama:
.
O ponto de aplicação está no centro de gravidade do diagrama. O centro de gravidade de um triângulo, altura h, está a uma distância da base. Então .

Forças de atrito

Fricção deslizante. Deixe o corpo em uma superfície plana. E seja uma força perpendicular à superfície com a qual a superfície atua sobre o corpo (força de pressão). Então a força de atrito deslizante é paralela à superfície e direcionada para o lado, impedindo o movimento do corpo. Seu maior o valor é:
,
onde f é o coeficiente de atrito. O coeficiente de atrito é uma grandeza adimensional.

atrito de rolamento. Deixe o corpo arredondado rolar ou pode rolar na superfície. E seja a força de pressão perpendicular à superfície com a qual a superfície atua sobre o corpo. Em seguida, sobre o corpo, no ponto de contato com a superfície, atua o momento das forças de atrito, o que impede o movimento do corpo. O maior valor do momento de atrito é:
,
onde δ é o coeficiente de atrito de rolamento. Tem a dimensão do comprimento.

Referências:
S. M. Targ, Curso de curta duração mecânica teórica, pós-graduação", 2010.

1. Conceitos básicos de mecânica teórica.

2. A estrutura do curso de mecânica teórica.

1. Mecânica (em sentido amplo) é a ciência do movimento dos corpos materiais no espaço e no tempo. Ele une uma série de disciplinas, cujos objetos de estudo são sólidos, líquidos e corpos gasosos. Mecânica teórica , Teoria da elasticidade , Resistência dos materiais , Mecânica dos fluidos , Dinâmica dos gases e Aerodinâmica- esta não é uma lista completa das várias seções de mecânica.

Como pode ser visto em seus nomes, eles diferem uns dos outros principalmente nos objetos de estudo. O estudo do movimento do mais simples deles - sólidos - está envolvido na mecânica teórica. Simplicidade estudada em mecânica teórica objetos permite que você identifique os mais leis gerais movimentos que são válidos para todos os corpos materiais, independentemente de suas propriedades físicas. Portanto, a mecânica teórica pode ser considerada como a base da mecânica geral.

2. O curso de mecânica teórica consiste em três seções: estática, cinemáticaecaixas de som .

NO estática é considerada doutrina comum sobre forças e condições de equilíbrio para sólidos são derivadas.

Em cinemática estabelecer maneiras matemáticas são derivadas as tarefas do movimento dos corpos e são derivadas fórmulas que determinam as principais características desse movimento (velocidade, aceleração, etc.).

Em dinâmica de acordo com um dado movimento, as forças que causam esse movimento são determinadas e, inversamente, de acordo com as forças dadas, elas determinam como o corpo se move.

ponto material chamado de ponto geométrico que tem massa.

Sistema de pontos materiais tal conjunto deles é chamado em que a posição e movimento de cada ponto depende da posição e movimento de todos os outros pontos do sistema dado. Muitas vezes um sistema de pontos materiais é chamado sistema mecânico . Um caso especial de sistema mecânico é um corpo absolutamente rígido.

Absolutamente sólido um corpo é chamado, no qual a distância entre dois pontos quaisquer permanece sempre inalterada (ou seja, é um corpo absolutamente forte e não deformável).

gratuitamente chamado de corpo rígido, cujo movimento não é limitado por outros corpos.

não é grátis chamado de corpo, cujo movimento, de uma forma ou de outra, é limitado por outros corpos. Os últimos em mecânica são chamados conexões .

À força chame a medida ação mecânica um corpo para outro. Como a interação dos corpos é determinada não apenas por sua intensidade, mas também por sua direção, a força é uma grandeza vetorial e é representada nos desenhos como um segmento direcionado (vetor). Por unidade de força no sistema SI adotado newton (N) . Denota força letras maiúsculas alfabeto latino(A,S,Z,Y...). Valores numéricos(ou módulos quantidades vetoriais) será denotado pelas mesmas letras, mas sem as setas superiores (F, S, P, Q...).

linha de forçaé a linha reta ao longo da qual o vetor força é direcionado.

Sistema de força qualquer conjunto finito de forças atuando em um sistema mecânico é chamado. É costume dividir os sistemas de forças em plano (todas as forças atuam no mesmo plano) e espacial . Cada um deles, por sua vez, pode ser arbitrário ou paralelo (as linhas de ação de todas as forças são paralelas) ou sistema de força convergente (as linhas de ação de todas as forças se cruzam em um ponto).

Os dois sistemas de forças são chamados equivalente , se suas ações sobre o sistema mecânico forem as mesmas (ou seja, a substituição de um sistema de forças por outro não altera a natureza do movimento do sistema mecânico).

Se algum sistema de forças é equivalente a uma força, então essa força é chamada resultante este sistema de forças. Note que nem todo sistema de forças tem uma resultante. Uma força igual à resultante em módulo, oposta a ela em direção e agindo ao longo da mesma linha reta é chamada equilibrando à força.

O sistema de forças sob a ação do qual um corpo rígido livre está em repouso ou se move de forma uniforme e retilínea é chamado de equilibrado ou equivalente a zero.

forças internas chamadas forças de interação entre os pontos materiais de um sistema mecânico.

Forças externas- são as forças de interação de pontos de um determinado sistema mecânico com pontos materiais de outro sistema.

Uma força aplicada a um corpo em qualquer ponto é chamada focado .

As forças que atuam em todos os pontos de um determinado volume ou de uma determinada parte da superfície de um corpo são chamadas de distribuído (por volume e por superfície, respectivamente).

A lista acima de conceitos-chave não é exaustiva. O resto, não menos conceitos importantes serão introduzidos e refinados no processo de apresentação do material do curso.

Cinemática de pontos.

1. O tema da mecânica teórica. Abstrações básicas.

Mecânica teóricaé uma ciência na qual as leis gerais são estudadas movimento mecânico e interação mecânica de corpos materiais

Movimento mecânicochamado de movimento de um corpo em relação a outro corpo, ocorrendo no espaço e no tempo.

Interação mecânica é chamado tal interação de corpos materiais, que muda a natureza de seu movimento mecânico.

Estática é um ramo da mecânica teórica que estuda métodos para transformar sistemas de forças em sistemas equivalentes e são estabelecidas as condições de equilíbrio das forças aplicadas ao corpo rígido.

Cinemática - é o ramo da mecânica teórica que trata da movimento de corpos materiais no espaço com ponto geométrico visão, independentemente das forças que atuam sobre eles.

Dinâmica - Este é um ramo da mecânica que estuda o movimento dos corpos materiais no espaço, dependendo das forças que atuam sobre eles.

Objetos de estudo em mecânica teórica:

ponto material,

sistema de pontos materiais,

Corpo absolutamente rígido.

O espaço absoluto e o tempo absoluto são independentes um do outro. Espaço absoluto - espaço euclidiano tridimensional, homogêneo e imóvel. Tempo absoluto - flui do passado para o futuro continuamente, é homogêneo, o mesmo em todos os pontos do espaço e não depende do movimento da matéria.

2. O tema da cinemática.

Cinemática - é o ramo da mecânica que trata propriedades geométricas movimento de corpos sem levar em conta sua inércia (ou seja, massa) e as forças que atuam sobre eles

Determinar a posição de um corpo em movimento (ou ponto) com o corpo em relação ao qual o movimento está sendo estudado corpo dado, rigidamente, conectam algum sistema de coordenadas, que junto com o corpo forma sistema de referência.

A principal tarefa da cinemática é, conhecendo a lei do movimento de um determinado corpo (ponto), determinar todas as grandezas cinemáticas que caracterizam seu movimento (velocidade e aceleração).

3. Métodos para especificar o movimento de um ponto

· caminho natural

Deve ser conhecido:

Trajetória de movimento do ponto;

Início e direção da contagem;

A lei do movimento de um ponto ao longo de uma determinada trajetória na forma (1.1)

· Método de coordenadas

As equações (1.2) são as equações de movimento do ponto M.

A equação para a trajetória do ponto M pode ser obtida eliminando o parâmetro de tempo « t » das equações (1.2)

· Maneira vetorial

(1.3) Relação entre métodos de coordenadas e vetoriais para especificar o movimento de um ponto (1.4)

Conexão entre coordenadas e formas naturais de especificar o movimento de um ponto

Determine a trajetória do ponto, excluindo o tempo das equações (1.2);

-- encontre a lei do movimento de um ponto ao longo de uma trajetória (use a expressão para o diferencial do arco)

Após a integração, obtemos a lei do movimento de um ponto ao longo de uma determinada trajetória:

A conexão entre os métodos de coordenadas e vetoriais para especificar o movimento de um ponto é determinada pela equação (1.4)

4. Determinar a velocidade de um ponto com o método vetorial para especificar o movimento.

Deixe no momentota posição do ponto é determinada pelo vetor raio , e no momentot 1 – raio-vetor , então por um período de tempo o ponto se moverá.

(1.5) velocidade média pontual, a direção do vetor é a mesma do vetor

Velocidade do ponto em este momento Tempo

Para obter a velocidade de um ponto em um determinado momento, você precisa executar passagem ao limite

(1.6)

(1.7)

O vetor velocidade de um ponto em um determinado momento é igual à primeira derivada do vetor raio em relação ao tempo e é direcionada tangencialmente à trajetória em um dado ponto.

(unidade¾ m/s, km/h)

Vetor de aceleração média tem a mesma direção do vetorΔ v , ou seja, direcionado para a concavidade da trajetória.

Vetor de aceleração de um ponto em um determinado momento é igual à primeira derivada do vetor velocidade ou a segunda derivada do vetor raio do ponto em relação ao tempo.

(unidade - )

Como o vetor está localizado em relação à trajetória do ponto?

No movimento retilíneo o vetor é direcionado ao longo da linha reta ao longo da qual o ponto se move. Se a trajetória do ponto é uma curva plana, então o vetor aceleração , assim como o vetor cp, está no plano desta curva e é direcionado para sua concavidade. Se a trajetória não for uma curva plana, então o vetor cp será direcionado para a concavidade da trajetória e ficará no plano que passa pela tangente à trajetória no pontoM e uma linha paralela à tangente em um ponto adjacenteM 1 . NO limite quando o pontoM 1 tende a M este plano ocupa a posição do chamado plano contíguo. Portanto, em caso Geral o vetor aceleração encontra-se no plano contíguo e é direcionado para a concavidade da curva.

Introdução

A mecânica teórica é uma das mais importantes disciplinas científicas gerais fundamentais. Ela joga Papel essencial na formação de engenheiros de quaisquer especialidades. As disciplinas gerais de engenharia são baseadas nos resultados da mecânica teórica: resistência de materiais, peças de máquinas, teoria de mecanismos e máquinas e outras.

A principal tarefa da mecânica teórica é o estudo do movimento de corpos materiais sob a ação de forças. Um problema particular importante é o estudo do equilíbrio de corpos sob a ação de forças.

Curso de Palestra. Mecânica teórica

A estrutura da mecânica teórica. Fundamentos de estática

Condições de equilíbrio sistema arbitrário forças.

Equações de Equilíbrio de Corpo Rígido.

Sistema plano de forças.

Casos particulares de equilíbrio de um corpo rígido.

O problema do equilíbrio de uma barra.

Determinação de forças internas em estruturas de barras.

Fundamentos de cinemática pontual.

coordenadas naturais.

Fórmula de Euler.

Distribuição de acelerações de pontos de um corpo rígido.

Movimentos translacionais e rotacionais.

Movimento plano-paralelo.

Movimento de ponto complicado.

Fundamentos de dinâmica de pontos.

Equações diferenciais de movimento de um ponto.

Tipos particulares de campos de força.

Fundamentos da dinâmica do sistema de pontos.

Teoremas gerais da dinâmica de um sistema de pontos.

Dinâmica movimento rotativo corpo.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Curso de Mecânica Teórica. M., Escola Superior, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Curso de Mecânica Teórica, Partes 1 e 2. M., Escola Superior, 1971.

Petkevich V. V. Mecânica teórica. M., Nauka, 1981.

Coleta de tarefas para trabalhos de conclusão de curso em mecânica teórica. Ed. A. A. Yablonsky. M., Escola Superior, 1985.

Aula 1 A estrutura da mecânica teórica. Fundamentos de estática

Na mecânica teórica, estuda-se o movimento de corpos em relação a outros corpos, que são sistemas físicos de referência.

A mecânica permite não só descrever, mas também predizer o movimento dos corpos, estabelecendo relações causais em uma certa e muito ampla gama de fenômenos.

Modelos abstratos básicos de corpos reais:

ponto material - tem massa, mas não tem dimensões;

absolutamente sólido - um volume de dimensões finitas, completamente preenchido com matéria, e as distâncias entre quaisquer dois pontos do meio que preenche o volume não mudam durante o movimento;

meio deformável contínuo - preenche um volume finito ou espaço ilimitado; as distâncias entre os pontos de tal meio podem variar.

Destes, os sistemas:

Sistema de pontos materiais gratuitos;

Sistemas com links;

Um corpo absolutamente sólido com uma cavidade cheia de líquido, etc.

"Degenerar" modelos:

Hastes infinitamente finas;

Placas infinitamente finas;

Hastes e fios sem peso que se unem pontos materiais, etc

Da experiência: os fenômenos mecânicos procedem de forma diferente em diferentes lugares do sistema de referência físico. Esta propriedade é a não homogeneidade do espaço, determinada pelo sistema de referência física. A heterogeneidade aqui é entendida como a dependência da natureza da ocorrência de um fenômeno do local em que observamos esse fenômeno.

Outra propriedade é a anisotropia (não isotropia), o movimento de um corpo em relação ao referencial físico pode ser diferente dependendo da direção. Exemplos: o curso do rio ao longo do meridiano (de norte a sul - o Volga); vôo de projétil, pêndulo de Foucault.

As propriedades do sistema de referência (heterogeneidade e anisotropia) dificultam a observação do movimento de um corpo.

Praticamente livre disso geocêntrico sistema: o centro do sistema está no centro da Terra e o sistema não gira em relação às estrelas "fixas"). Sistema geocêntricoútil para calcular movimentos na Terra.

Por mecânica celeste(para corpos do sistema solar): um referencial heliocêntrico que se move com o centro de massa sistema solar e não gira em relação às estrelas "fixas". Para este sistema ainda não encontrado heterogeneidade e anisotropia do espaço

em relação aos fenômenos da mecânica.

Assim, apresentamos um resumo inercial referencial para o qual o espaço é homogêneo e isotrópico em relação aos fenômenos da mecânica.

referencial inercial- tal próprio movimento que não pode ser descoberto por nenhum experimento mecânico. experimento mental: "o ponto que está sozinho no mundo inteiro" (isolado) ou está em repouso ou se move em linha reta e uniformemente.

Todos os referenciais que se movem em relação ao original de forma retilínea serão uniformemente inerciais. Isso permite que você insira um único sistema cartesiano coordenadas. Tal espaço é chamado euclidiano.

Acordo condicional - pegue o sistema de coordenadas certo (Fig. 1).

NO Tempo– na mecânica clássica (não relativística) absolutamente, que é o mesmo para todos os sistemas de referência, ou seja, o momento inicial é arbitrário. Em contraste com a mecânica relativista, onde o princípio da relatividade é aplicado.

O estado de movimento do sistema no instante t é determinado pelas coordenadas e velocidades dos pontos naquele momento.

Corpos reais interagem e surgem forças que mudam o estado de movimento do sistema. Esta é a essência da mecânica teórica.

Como se estuda a mecânica teórica?

A doutrina do equilíbrio de um conjunto de corpos de um determinado referencial - seção estática.

Capítulo cinemática: uma parte da mecânica que estuda as relações entre as quantidades que caracterizam o estado de movimento dos sistemas, mas não considera as causas que causam uma mudança no estado de movimento.

Depois disso, considere a influência das forças [PARTE PRINCIPAL].

Capítulo dinâmica: parte da mecânica, que considera a influência das forças no estado de movimento dos sistemas de objetos materiais.

Princípios de construção do prato principal - dinâmica:

1) baseado em um sistema de axiomas (baseado na experiência, observações);

Constantemente - controle implacável da prática. Sinal da ciência exata - a presença de lógica interna (sem ela - conjunto de receitas não relacionadas)!

estático chama-se essa parte da mecânica, onde se estudam as condições que devem ser satisfeitas pelas forças que atuam sobre um sistema de pontos materiais para que o sistema esteja em equilíbrio, e as condições para a equivalência dos sistemas de forças.

Problemas de equilíbrio em estática elementar serão considerados usando métodos exclusivamente geométricos baseados nas propriedades dos vetores. Essa abordagem é aplicada em estática geométrica(em oposição à estática analítica, que não é considerada aqui).

As posições de vários corpos materiais serão referidas ao sistema de coordenadas, que tomaremos como fixo.

Modelos ideais de corpos materiais:

1) ponto material - um ponto geométrico com massa.

2) corpo absolutamente rígido - um conjunto de pontos materiais, cujas distâncias não podem ser alteradas por nenhuma ação.

Pelas forças nós vamos ligar razões objetivas, que são o resultado da interação de objetos materiais, capazes de provocar o movimento dos corpos a partir de um estado de repouso ou alterar o movimento existente deste último.

Como a força é determinada pelo movimento que provoca, ela também tem caráter relativo, dependendo da escolha do referencial.

A questão da natureza das forças é considerada em física.

Um sistema de pontos materiais está em equilíbrio se, estando em repouso, não recebe nenhum movimento das forças que atuam sobre ele.

Da experiência cotidiana: as forças são vetoriais por natureza, ou seja, magnitude, direção, linha de ação, ponto de aplicação. A condição de equilíbrio das forças que atuam sobre um corpo rígido é reduzida às propriedades dos sistemas de vetores.

Resumindo a experiência de estudar as leis físicas da natureza, Galileu e Newton formularam as leis básicas da mecânica, que podem ser consideradas axiomas da mecânica, pois baseado em fatos experimentais.

Axioma 1. A ação de várias forças sobre um ponto de um corpo rígido é equivalente à ação de uma força resultante, construído de acordo com a regra de adição de vetores (Fig. 2).

Consequência. As forças aplicadas a um ponto de um corpo rígido são somadas de acordo com a regra do paralelogramo.

Axioma 2. Duas forças aplicadas a um corpo rígido mutuamente equilibrado se e somente se eles são iguais em magnitude, direcionados em direções opostas e estão na mesma linha reta.

Axioma 3. A ação de um sistema de forças sobre um corpo rígido não mudará se adicionar a este sistema ou sair dele duas forças de igual magnitude dirigidas lados opostos e deitado na mesma linha.

Consequência. A força que atua em um ponto de um corpo rígido pode ser transferida ao longo da linha de ação da força sem alterar o equilíbrio (ou seja, a força é um vetor deslizante, Fig. 3)

1) Ativos - criam ou são capazes de criar o movimento de um corpo rígido. Por exemplo, a força do peso.

2) Passivo - não criando movimento, mas limitando o movimento de um corpo rígido, impedindo o movimento. Por exemplo, a força de tensão de um fio inextensível (Fig. 4).

Axioma 4. A ação de um corpo sobre o segundo é igual e oposta à ação deste segundo corpo sobre o primeiro ( ação é igual a reação).

As condições geométricas que restringem o movimento dos pontos serão chamadas conexões.

Condições de comunicação: por exemplo,

- haste de comprimento indireto l.

- fio flexível inextensível de comprimento l.

As forças devidas às ligações e que impedem o movimento são chamadas forças de reação.

Axioma 5. As ligações impostas ao sistema de pontos materiais podem ser substituídas por forças de reação, cuja ação é equivalente à ação das ligações.

Quando as forças passivas não podem equilibrar a ação forças ativas, o movimento começa.

Dois problemas particulares de estática

1. Sistema de forças convergentes atuando em um corpo rígido

Um sistema de forças convergentes tal sistema de forças é chamado, cujas linhas de ação se cruzam em um ponto, que sempre pode ser tomado como origem (Fig. 5).

Projeções da resultante:

;

;

.

Se , então a força causa o movimento de um corpo rígido.

Condição de equilíbrio para um sistema convergente de forças:

2. Equilíbrio três poderes

Se três forças atuam sobre um corpo rígido e as linhas de ação de duas forças se cruzam em algum ponto A, o equilíbrio é possível se e somente se a linha de ação da terceira força também passa pelo ponto A e a própria força é igual em magnitude e em direção oposta à soma (Fig. 6).

Exemplos:

Momento de força em relação ao ponto O definir como um vetor , no tamanho igual a duas vezes a área de um triângulo, cuja base é um vetor de força com um vértice em um determinado ponto O; direção- ortogonal ao plano do triângulo considerado na direção de onde a rotação produzida pela força em torno do ponto O é visível sentido anti-horário.é o momento do vetor deslizante e é vetor livre(Fig. 9).

Então: ou

,

Onde ;;.

Onde F é o módulo de força, h é o ombro (distância do ponto à direção da força).

Momento de força em torno do eixoé chamado o valor algébrico da projeção neste eixo do vetor do momento da força em relação a um ponto arbitrário O, tomado no eixo (Fig. 10).

Este é um escalar independente da escolha do ponto. De fato, expandimos :|| e no avião.

Sobre momentos: seja О 1 o ponto de interseção com o plano. Então:

a) de - momento => projeção = 0.

b) de - momento ao longo => é uma projeção.

Então, o momento em relação ao eixo é o momento da componente da força em perpendicular ao plano ao eixo em relação ao ponto de interseção do plano e do eixo.

Teorema de Varignon para um sistema de forças convergentes:

Momento de força resultante para um sistema de forças convergentes em relação a um ponto arbitrário A é igual à soma momentos de todas as componentes das forças relativas ao mesmo ponto A (Fig. 11).

Prova na teoria dos vetores convergentes.

Explicação: adição de forças de acordo com a regra do paralelogramo => a força resultante dá o momento total.

Perguntas do teste:

1. Nomear os principais modelos de corpos reais em mecânica teórica.

2. Formule os axiomas da estática.

3. O que é chamado de momento de força em relação a um ponto?

Aula 2 Condições de equilíbrio para um sistema arbitrário de forças

Dos axiomas básicos da estática, seguem-se as operações elementares sobre as forças:

1) a força pode ser transferida ao longo da linha de ação;

2) forças cujas linhas de ação se cruzam podem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo (de acordo com a regra da adição vetorial);

3) ao sistema de forças que atuam sobre um corpo rígido, podem-se sempre somar duas forças, iguais em magnitude, situadas na mesma reta e direcionadas em sentidos opostos.

As operações elementares não alteram o estado mecânico do sistema.

Vamos nomear dois sistemas de forças equivalente se um do outro pode ser obtido usando operações elementares (como na teoria dos vetores deslizantes).

Um sistema de duas forças paralelas, iguais em módulo e dirigidos em sentidos opostos, é chamado de um par de forças(Fig. 12).

Momento de um par de forças- um vetor de tamanho igual à área do paralelogramo construído sobre os vetores do par e direcionado ortogonalmente ao plano do par na direção em que a rotação relatada pelos vetores do par pode ser vista sentido anti-horário.

, ou seja, o momento da força em relação ao ponto B.

Um par de forças é totalmente caracterizado por seu momento.

Um par de forças pode ser transferido por operações elementares para qualquer plano paralelo ao plano do par; alterar a magnitude das forças do par inversamente proporcional aos ombros do par.

Pares de forças podem ser somados, enquanto os momentos de pares de forças são somados de acordo com a regra de adição de vetores (livres).

Trazendo o sistema de forças que atuam sobre um corpo rígido para ponto arbitrário(centro de referência)- significa substituir o sistema atual por um mais simples: sistema de três forças, uma das quais passa antecipadamente dado ponto, e os outros dois representam um par.

Prova-se com a ajuda de operações elementares (fig.13).

O sistema de forças convergentes e o sistema de pares de forças.

- força resultante.

O par resultante

Que é o que precisava ser mostrado.

Dois sistemas de forças vontade são equivalentes se e somente se ambos os sistemas forem reduzidos a uma força resultante e um par resultante, isto é, sob as seguintes condições:

Caso geral de equilíbrio de um sistema de forças atuando sobre um corpo rígido

Trazemos o sistema de forças para (Fig. 14):

Força resultante através da origem;

O par resultante, além disso, passa pelo ponto O.

Ou seja, eles levaram a e - duas forças, uma das quais passa por um determinado ponto O.

Equilíbrio, se a outra linha reta, são iguais, dirigidos de forma oposta (axioma 2).

Então passa pelo ponto O, isto é.

então, termos e Condições Gerais equilíbrio de um corpo rígido:

Estas condições são válidas para um ponto arbitrário no espaço.

Perguntas do teste:

1. Liste as operações elementares sobre forças.

2. Que sistemas de forças são chamados equivalentes?

3. Escreva as condições gerais de equilíbrio de um corpo rígido.

Aula 3 Equações de Equilíbrio de Corpo Rígido

Seja O a origem das coordenadas; é a força resultante; é o momento do par resultante. Seja o ponto O1 novo centro fundido (Fig. 15).

Novo sistema de força:

Quando o ponto de lançamento muda, => muda apenas (em uma direção com um sinal, na outra com outro). Esse é o ponto: combinar as linhas

Analiticamente: (colinearidade de vetores)

; coordenadas do ponto O1.

Esta é a equação de uma linha reta, para todos os pontos em que a direção do vetor resultante coincide com a direção do momento do par resultante - a linha reta é chamada dínamo.

Se no eixo dos dinamas => , então o sistema é equivalente a uma força resultante, que é chamada a força resultante do sistema. Neste caso, sempre, isto é.

Quatro casos de trazer forças:

1.) ;- dínamo.

2.); - resultante.

3.) ;- par.

4.) ;- equilíbrio.

Duas equações de equilíbrio vetorial: o vetor principal e ponto principal são iguais a zero.

Ou seis equações escalares em projeções em eixos de coordenadas cartesianas:

Aqui:

A complexidade do tipo de equações depende da escolha do ponto de redução => a arte da calculadora.

Encontrando as condições de equilíbrio para um sistema de corpos rígidos em interação<=>o problema do equilíbrio de cada corpo separadamente, e o corpo é afetado por forças externas e forças internas (a interação de corpos em pontos de contato com forças iguais e opostas - axioma IV, Fig. 17).

Escolhemos para todos os corpos do sistema um centro de referência. Então, para cada corpo com o número de condição de equilíbrio:

, , (= 1, 2, …, k)

onde , - a força resultante e o momento do par resultante de todas as forças, exceto para reações internas.

A força resultante e o momento do par resultante de forças de reações internas.

Resumindo formalmente e levando em consideração o axioma IV

Nós temos condições necessárias para o equilíbrio de um corpo rígido:

,

Exemplo.

Equilíbrio: = ?

Perguntas do teste:

1. Cite todos os casos de trazer o sistema de forças a um ponto.

2. O que é um dínamo?

3. Formule as condições necessárias ao equilíbrio de um sistema de corpos rígidos.

Aula 4 Sistema plano de forças

Um caso especial de entrega geral de tarefas.

Deixe tudo forças ativas encontram-se no mesmo plano - por exemplo, uma folha. Vamos escolher o ponto O como centro de redução - no mesmo plano. Obtemos a força resultante e o par resultante no mesmo plano, ou seja (Fig. 19)

Comente.

O sistema pode ser reduzido a uma força resultante.

Condições de equilíbrio:

ou escalares:

Muito comum em aplicações como resistência de materiais.

Exemplo.

Com o atrito da bola no tabuleiro e no avião. Condição de equilíbrio: = ?

O problema do equilíbrio de um corpo rígido não livre.

Um corpo rígido é chamado não-livre, cujo movimento é restringido por restrições. Por exemplo, outros corpos, fixações articuladas.

Ao determinar as condições de equilíbrio: um corpo não livre pode ser considerado livre, substituindo as ligações por forças de reação desconhecidas.

Exemplo.

Perguntas do teste:

1. O que é chamado de sistema plano de forças?

2. Escreva as condições de equilíbrio para um sistema plano de forças.

3. Que tipo de corpo sólido é chamado de não livre?

Aula 5 Casos especiais de equilíbrio de corpo rígido

Teorema. Três forças equilibram um corpo rígido somente se todas estiverem no mesmo plano.

Prova.

Escolhemos um ponto na linha de ação da terceira força como ponto de redução. Então (fig.22)

Ou seja, os planos S1 e S2 coincidem, e para qualquer ponto do eixo de força, etc. (Mais fácil: no avião apenas para equilibrar).

Em toda a sua glória e elegância. Com sua ajuda, Newton certa vez deduziu com base em três leis empíricas Lei da gravitação universal de Kepler. O assunto, em geral, não é tão complicado, é relativamente fácil de entender. Mas é difícil passar, porque os professores costumam ser terrivelmente exigentes (como Pavlova, por exemplo). Ao resolver problemas, você precisa ser capaz de resolver difusos e calcular integrais.

Ideias-chave

Na verdade, a teoria da mecânica dentro da estrutura deste curso é a aplicação do princípio variacional para calcular o "movimento" de vários sistemas físicos. O cálculo de variações é brevemente abordado no curso Equações Integrais e Cálculo de Variações. As equações de Lagrange são as equações de Euler que são a solução para o problema com extremidades fixas.

Uma tarefa geralmente pode ser resolvida por 3 métodos diferentes ao mesmo tempo:

• Método de Lagrange (função de Lagrange, equações de Lagrange)
• Método de Hamilton (função de Hamilton, equações de Hamilton)
• Método de Hamilton-Jacobi (equação de Hamilton-Jacobi)

É importante escolher o mais simples deles para uma tarefa específica.

materiais

Primeiro semestre (teste)

Fórmulas básicas

Assista em tamanho grande!

Teoria

Gravações de vídeo

Palestras V. R. Khalilova - Atenção! nem todas as aulas gravadas

Segundo semestre (exame)

Você tem que começar com o que grupos diferentes O exame é diferente. Usualmente Bilhete de exame é composto por 2 questões teóricas e 1 tarefa. As perguntas são obrigatórias para todos, mas você pode se livrar da tarefa (para um excelente trabalho no semestre + controle escrito), ou pegar uma extra (e mais de uma). Aqui você será informado sobre as regras do jogo em seminários. Nos grupos de Pavlova e Pimenov, pratica-se o teormin, que é uma espécie de admissão ao exame. Segue-se que esta teoria deve ser conhecida perfeitamente.

Exame nos grupos de Pavlovaé mais ou menos assim: Para iniciar um ticket com 2 perguntas do termo. Há pouco tempo para escrever, e a chave aqui é escrevê-lo absolutamente perfeitamente. Então Olga Serafimovna será gentil com você e o resto do exame será muito agradável. Segue um ticket com 2 questões teóricas + n tarefas (dependendo do seu trabalho no semestre). A teoria dentro de uma teoria pode ser descartada. Tarefas para resolver. Há muitos problemas no exame - não é o fim se você souber como resolvê-los perfeitamente. Isso pode ser uma vantagem - para cada ponto do exame você obtém +, + -, -+ ou -. A classificação é definida "pela impressão geral" => se, em teoria, tudo não for perfeito para você, mas for 3 + para tarefas, então Impressão geral Boa. Mas se você não teve problemas no exame e a teoria não é ideal, então não há nada para suavizar isso.

Teoria

• Júlia. Notas de aula (2014, pdf) - ambos os semestres, 2º fluxo
• Ingressos do segundo fluxo parte 1 (notas de aula e parte para ingressos) (pdf)
• Ingressos da segunda transmissão e índice para todas essas partes (pdf)
• Respostas aos ingressos do 1º fluxo (2016, pdf) - em formato impresso, muito conveniente
• Teormin reconhecido pelo Exame do Grupo Pimenov (2016, pdf) - ambos os semestres
• Respostas à teormina para grupos Pimenov (2016, pdf) - precisas e aparentemente sem erros

Tarefas

• Seminários de Pavlova 2º semestre (2015, pdf) - puro, bonito e claramente escrito
• Tarefas que podem estar no exame (jpg) - uma vez em algum ano desgrenhado elas estavam no 2º fluxo, também podem ser relevantes para grupos de RV. Khalilova ( tarefas semelhantes ele dá em cr)
• Tarefas para bilhetes (pdf)- para ambos os fluxos (no 2º fluxo, essas tarefas estavam nos grupos de A.B. Pimenov)