Destul de bine, nu? În timp ce matematicienii caută cuvinte pentru a vă oferi o definiție lungă și complicată, să aruncăm o privire mai atentă la aceasta simplă și clară.

Numărul e înseamnă creștere

Numărul e înseamnă creștere continuă. După cum am văzut în exemplul anterior, e x ne permite să legăm dobânda și timpul: 3 ani la o creștere de 100% este la fel cu 1 an la 300%, sub rezerva „dobânzii compuse”.

Puteți înlocui orice procentaj și valori de timp (50% peste 4 ani), dar este mai bine să setați procentul ca 100% pentru comoditate (se dovedește 100% peste 2 ani). Trecând la 100%, ne putem concentra doar pe componenta timp:

e x = e procent * timp = e 1,0 * timp = e timp

Evident, e x înseamnă:

• cât de mult va crește contribuția mea în x unități de timp (presupunând o creștere continuă de 100%).
• de exemplu, după 3 intervale de timp voi obține e 3 = de 20,08 ori mai multe „lucruri”.

e x este un factor de scalare care arată la ce nivel vom crește în x perioade de timp.

Logaritmul natural înseamnă timp

logaritmul natural este inversul lui e, un termen atât de elegant pentru opusul. Apropo de ciudatenii; în latină se numește logarithmus naturali, de unde și abrevierea ln.

Și ce înseamnă această inversare sau opus?

• e x ne permite să conectăm timpul și să obținem creșterea.
• Ln(x) ne permite să luăm creșterea sau venitul și să aflăm timpul necesar pentru a le obține.

De exemplu:

• e 3 este egal cu 20,08. După trei perioade de timp, vom avea 20,08 ori în plus de unde am început.
• Ln(20,08) va fi aproximativ 3. Dacă sunteți interesat de o creștere de 20,08x, veți avea nevoie de 3 ori (din nou, presupunând o creștere continuă de 100%).

Mai citești? Logaritmul natural arată timpul necesar pentru a atinge nivelul dorit.

Acest număr logaritmic non-standard

Ai trecut de logaritmi - asta este creaturi ciudate. Cum au reușit să transforme înmulțirea în adunare? Dar împărțirea în scădere? Sa vedem.

Cu ce ​​este ln(1) egal? Intuitiv, întrebarea este: cât timp trebuie să aștept pentru a obține de 1 ori mai mult decât am?

Zero. Zero. Deloc. Îl ai deja o dată. Nu este nevoie de timp pentru a crește de la nivelul 1 la nivelul 1.

• log(1) = 0

Bine, ce zici valoare fracționată? Cât timp ne va dura să avem 1/2 din ceea ce ne-a rămas? Știm că, cu o creștere continuă de 100%, ln(2) înseamnă timpul necesar pentru a se dubla. Dacă noi intoarce timpul inapoi(adică așteptați o perioadă negativă de timp), apoi obținem jumătate din ceea ce avem.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logic, nu? Dacă ne întoarcem (timpul înapoi) cu 0,693 secunde, vom găsi jumătate din cantitatea disponibilă. În general, puteți întoarce fracția și luați sens negativ: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Aceasta înseamnă că dacă ne întoarcem în timp la 1,09 ori, vom găsi doar o treime din numărul actual.

Bine, cum rămâne cu logaritmul unui număr negativ? Cât timp durează pentru a „crește” o colonie de bacterii de la 1 la -3?

Este imposibil! Nu poți obține un număr negativ de bacterii, nu-i așa? Puteți obține un maxim (uh... minimum) de zero, dar nu există nicio modalitate de a obține un număr negativ din aceste creaturi mici. LA număr negativ bacteriile pur și simplu nu au sens.

• ln(număr negativ) = nedefinit

„Nedefinit” înseamnă că nu există timp de așteptat pentru a obține o valoare negativă.

Înmulțirea logaritmică este doar amuzantă

Cât timp va dura creșterea de patru ori? Desigur, puteți doar să luați ln(4). Dar e prea ușor, vom merge pe altă cale.

Vă puteți gândi la cvadruplicarea ca dublare (care necesită ln(2) unități de timp) și apoi dublarea din nou (necesită alte ln(2) unități de timp):

• Timpul până la creșterea de 4x = ln(4) = Timpul până la dublarea și apoi dublarea din nou = ln(2) + ln(2)

Interesant. Orice rată de creștere, să zicem 20, poate fi văzută ca se dublează imediat după o creștere de 10 ori. Sau creștere de 4 ori, apoi de 5 ori. Sau o triplare și apoi o creștere de 6.666 ori. Vezi modelul?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmul lui A ori B este log(A) + log(B). Această relație are sens imediat dacă operezi în termeni de creștere.

Dacă sunteți interesat de creșterea de 30 de ori, puteți fie să așteptați ca ln(30) dintr-o singură mișcare, fie să așteptați ca ln(3) să se tripleze, iar apoi un alt ln(10) să se înmulțească cu zece. Rezultat final la fel, deci bineinteles ca timpul trebuie sa ramana constant (si ramane).

Dar diviziunea? În special, ln(5/3) înseamnă: cât timp durează să crească de 5 ori și apoi să obții 1/3 din asta?

Grozav, un factor de 5 este ln(5). Creșterea de 1/3 ori va dura -ln(3) unități de timp. Asa de,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Aceasta înseamnă: lăsați-l să crească de 5 ori, apoi „întoarceți-vă în timp” până în punctul în care rămâne doar o treime din acea cantitate, astfel încât obțineți o creștere de 5/3. În general, se dovedește

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Sper că aritmetica ciudată a logaritmilor începe să aibă sens pentru tine: înmulțirea ratelor de creștere devine adăugarea de unități de timp de creștere, iar împărțirea devine scăderea unităților de timp. Nu memorați regulile, încercați să le înțelegeți.

Utilizarea logaritmului natural pentru creșterea arbitrară

Ei bine, bineînțeles, - spui tu, - totul este bine dacă creșterea este de 100%, dar ce zici de cei 5% pe care îl primesc?

Nici o problemă. „Timpul” pe care îl calculăm cu ln() este de fapt o combinație de rată a dobânzii și timp, același X din ecuația ex. Tocmai am ales să setăm procentul la 100% pentru simplitate, dar suntem liberi să folosim orice număr.

Să presupunem că vrem să obținem o creștere de 30x: luăm ln(30) și obținem 3.4 Aceasta înseamnă:

• e x = înălțime
• e 3,4 = 30

Evident, această ecuație înseamnă „100% rentabilitate pe 3,4 ani dă naștere la 30 de ori”. Putem scrie această ecuație astfel:

• e x = e rata*timp
• e 100% * 3,4 ani = 30

Putem schimba valorile „rata” și „timp”, atâta timp cât rata *timp rămâne 3.4. De exemplu, dacă ne interesează o creștere de 30 ori, cât timp va trebui să așteptăm la o dobândă de 5%?

• log(30) = 3,4
• rata * timp = 3,4
• 0,05 * timp = 3,4
• timp = 3,4 / 0,05 = 68 ani

Raționez astfel: "ln(30) = 3,4, deci la o creștere de 100% va dura 3,4 ani. Dacă dublez rata de creștere, timpul necesar se reduce la jumătate."

• 100% în 3,4 ani = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% în 1,7 ani = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% în 6,8 ani = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% peste 68 de ani = .05 * 68 = 3.4 .

E grozav, nu? Logaritmul natural poate fi utilizat cu orice rată a dobânzii și orice timp, atâta timp cât produsul lor rămâne constant. Puteți muta valorile variabilelor atât cât doriți.

Exemplu prost: Regula șaptezeci și două

Regula celor șaptezeci și doi este o tehnică matematică care vă permite să estimați cât timp va dura până când banii dvs. se dublează. Acum o vom deriva (da!), și mai mult, vom încerca să-i înțelegem esența.

Cât timp durează să-ți dublezi banii la o rată de 100% care crește în fiecare an?

Op-pa. Am folosit logaritmul natural pentru cazul creșterii continue, iar acum vorbiți de acumularea anuală? Nu ar deveni această formulă nepotrivită pentru un astfel de caz? Da, va fi, dar pentru rate reale ale dobânzii, cum ar fi 5%, 6% sau chiar 15%, diferența dintre capitalizarea anuală și creșterea continuă va fi mică. Deci estimarea aproximativă funcționează, uh, aproximativ, așa că vom pretinde că avem o acumulare complet continuă.

Acum întrebarea este simplă: cât de repede te poți dubla cu o creștere de 100%? ln(2) = 0,693. Este nevoie de 0,693 unități de timp (ani în cazul nostru) pentru a ne dubla suma cu o creștere continuă de 100%.

Deci, ce se întâmplă dacă rata dobânzii nu este 100%, dar să spunem 5% sau 10%?

Uşor! Deoarece rata * timp = 0,693, vom dubla suma:

• rata * timp = 0,693
• timp = 0,693 / rata

Deci, dacă creșterea este de 10%, va dura 0,693 / 0,10 = 6,93 ani pentru a se dubla.

Pentru a simplifica calculele, să înmulțim ambele părți cu 100, apoi putem spune „10” și nu „0,10”:

• timpul de dublare = 69,3 / pariu, unde pariul este exprimat ca procent.

Acum este timpul să se dubleze la 5%, 69,3 / 5 = 13,86 ani. Cu toate acestea, 69,3 nu este cel mai convenabil dividend. Să alegem un număr apropiat, 72, care este divizibil în mod convenabil cu 2, 3, 4, 6, 8 și alte numere.

• timp de dublare = 72 / pariu

care este regula celor șaptezeci și doi. Totul este acoperit.

Dacă trebuie să găsiți timp pentru a tripla, puteți folosi ln(3) ~ 109.8 și obțineți

• timp de triplare = 110 / pariu

Ce este altul regula utila. „Regula 72” se aplică creșterii până la ratele dobânzilor, creșterea populației, culturile de bacterii și tot ceea ce crește exponențial.

Ce urmeaza?

Sper că acum logaritmul natural are sens pentru tine - arată timpul necesar pentru ca orice număr să crească exponențial. Cred că se numește natural pentru că e este o măsură universală a creșterii, așa că ln poate fi considerat o modalitate universală de a determina cât timp durează să crească.

De fiecare dată când vedeți ln(x), amintiți-vă „timpul necesar creșterii de x ori”. Într-un articol care urmează, voi descrie e și ln împreună, astfel încât aroma proaspătă a matematicii să umple aerul.

Complement: Logaritmul natural al lui e

Test rapid: cât va fi ln(e)?

• robotul matematic va spune: deoarece sunt definite ca fiind inverse unul față de celălalt, este evident că ln(e) = 1.
• Persoană înțelegătoare: ln(e) este numărul de ori pentru a crește „e” ori (aproximativ 2.718). Cu toate acestea, numărul e însuși este o măsură a creșterii cu un factor de 1, deci ln(e) = 1.

Gândește clar.

9 septembrie 2013

ia adesea un număr e = 2,718281828 . Logaritmii s-au terminat Acest motiv sunt numite natural. Când se efectuează calcule cu logaritmi naturali, este obișnuit să se opereze cu semnul ln, dar nu Buturuga; în timp ce numărul 2,718281828 , definind baza, nu indica.

Cu alte cuvinte, formularea va arăta astfel: logaritmul natural numerele X este exponentul la care se ridică numărul e, A obtine X.

Asa de, ln(7.389...)= 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e= 1 deoarece e 1 =e, și logaritmul natural al unității zero, deoarece e 0 = 1.

Numărul în sine e definește limita unei secvențe mărginite monotone

calculat că e = 2,7182818284... .

Destul de des, pentru a fixa un număr în memorie, cifrele numărului necesar sunt asociate cu unele data restante. Viteza de amintire a primelor nouă cifre ale unui număr e după punctul zecimal va crește dacă observați că 1828 este anul nașterii lui Lev Tolstoi!

Astăzi sunt destui tabelele complete logaritmi naturali.

graficul logului natural(funcții y=ln x) este o consecință a graficului exponentului reflexie în oglindă relativ drept y = x si arata ca:

Logaritmul natural poate fi găsit pentru fiecare număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X din 1 inainte de A.

Caracterul elementar al acestei formulări, care se potrivește cu multe alte formule în care este implicat logaritmul natural, a fost motivul formării denumirii „naturale”.

Dacă analizăm logaritmul natural, ca functie reala a unei variabile reale, atunci actioneaza funcție inversă la functie exponentiala, care se reduce la identitățile:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Prin analogie cu toți logaritmii, logaritmul natural transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere:

ln(X y) = ln(X) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmul poate fi găsit pentru fiecare bază pozitivă care nu este egală cu unu, nu doar pentru e, dar logaritmii pentru alte baze diferă doar de logaritmul natural factor constant, și sunt de obicei definite în termeni de logaritm natural.

După ce a analizat grafic log natural, constatăm că există la valori pozitive variabil X. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

La X → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( -∞ ).La x → +∞ limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). În mare X logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv A crește mai repede decât logaritmul. Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme.

Utilizare logaritmi naturali foarte rațional la trecere matematica superioara. Astfel, utilizarea logaritmului este convenabilă pentru găsirea răspunsului la ecuațiile în care necunoscutele apar ca exponent. Utilizarea logaritmilor naturali în calcule face posibilă facilitarea mult un numar mare de formule matematice. logaritmi de bază e sunt prezente în rezolvarea unui număr semnificativ sarcini fiziceși sunt incluse în mod natural în descriere matematică procese chimice, biologice și alte procese individuale. Astfel, logaritmii sunt utilizați pentru a calcula constanta de dezintegrare pentru perioadă cunoscută timpul de înjumătățire, sau pentru a calcula timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ei performează în rol principalîn multe ramuri ale matematicii şi stiinte practice, se recurge la ele in domeniul finantelor pentru rezolvare un numar mare sarcini, inclusiv calcularea dobânzii compuse.

Principalele proprietăți ale logaritmului natural, grafic, domeniu de definiție, set de valori, formule de bază, derivată, integrală, expansiune în serie de puterişi reprezentând funcţia ln x în termeni de numere complexe.

Definiție

logaritmul natural este funcția y = ln x, invers exponentului, x \u003d e y , și care este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică, deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obţine din graficul exponentului prin reflexie în oglindă în jurul dreptei y = x .

Logaritmul natural este definit pentru valorile pozitive ale lui x. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

Ca x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( - ∞ ).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

log 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de schimbare a bazei:

Demonstrațiile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Reciproca logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci .

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulo x:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Să considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul rși argumentare φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

logaritmul natural

Graficul funcției logaritmului natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv ca Xși se apropie rapid de infinitul negativ când X tinde spre 0 („lent” și „rapid” în comparație cu oricare functie de putere din X).

logaritmul natural este logaritmul de bază , Unde e este o constantă irațională egală cu aproximativ 2,718281 828 . Logaritmul natural este de obicei notat ca ln( X), Buturuga e (X) sau uneori doar log( X) dacă baza e subînțeles.

Logaritmul natural al unui număr X(scris ca log(x)) este exponentul la care doriți să creșteți numărul e, A obtine X. De exemplu, ln(7.389...) este egal cu 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e (ln(e)) este egal cu 1 deoarece e 1 = e, iar logaritmul natural 1 ( jurnal(1)) este 0 deoarece e 0 = 1.

Logaritmul natural poate fi definit pentru orice număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X de la 1 la A. Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc logaritmul natural, a condus la denumirea de „natural”. Această definiție poate fi extinsă la numerele complexe, care vor fi discutate mai jos.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a funcției exponențiale, care conduce la identitățile:

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

Astfel, funcția logaritmică este un izomorfism al grupului de pozitive numere realeîn ceea ce priveşte înmulţirea cu un grup numere reale prin adiție, care poate fi reprezentată ca funcție:

Logaritmul poate fi definit pentru orice bază pozitivă, alta decât 1, nu doar e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termenii logaritmului natural. Logaritmii sunt utili pentru rezolvarea ecuațiilor în care necunoscutele sunt prezente ca exponent. De exemplu, logaritmii sunt utilizați pentru a găsi constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a găsi timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ei se joaca rol importantîn multe domenii ale matematicii şi stiinta aplicata, sunt folosite în finanțe pentru a rezolva multe probleme, inclusiv găsirea dobânzii compuse.

Poveste

Prima mențiune despre logaritmul natural a fost făcută de Nicholas Mercator în lucrarea sa Logaritmotehnie, publicat în 1668, deși profesorul de matematică John Spydell a întocmit un tabel de logaritmi naturali încă din 1619. Anterior, a fost numit logaritm hiperbolic deoarece corespunde zonei de sub hiperbolă. Uneori este numit logaritmul Napier, deși sensul inițial al acestui termen era oarecum diferit.

Convenții de notație

Logaritmul natural este de obicei notat cu „ln( X)”, logaritm de bază 10 prin „lg( X)", și se obișnuiește să se indice în mod explicit alte motive cu simbolul „jurnal”.

În multe lucrări despre matematică discretă, cibernetică, informatică, autorii folosesc notația „log( X)" pentru logaritmi la baza 2, dar această convenție nu este universal acceptată și necesită clarificare, fie într-o listă de notații utilizate, fie (dacă nu există o astfel de listă) printr-o notă de subsol sau un comentariu la prima utilizare.

Parantezele din jurul argumentului logaritmilor (dacă aceasta nu duce la o citire eronată a formulei) sunt de obicei omise, iar la ridicarea logaritmului la o putere, exponentul este atribuit direct semnului logaritmului: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

sistem anglo-american

Matematicienii, statisticienii și unii ingineri folosesc de obicei fie „log( X)", sau "ln( X)" și pentru a denota logaritmul la baza 10 - "log 10 ( X)».

Unii ingineri, biologi și alți profesioniști scriu întotdeauna „ln( X)" (sau ocazional "log e ( X)") când înseamnă logaritmul natural și notația "log( X)" înseamnă jurnalul 10 ( X).

Buturuga e este logaritmul „natural” deoarece apare automat și apare foarte des în matematică. De exemplu, luați în considerare problema derivatelor funcţie logaritmică:

Dacă baza b egală e, atunci derivata este pur și simplu 1/ X, și atunci când X= 1 această derivată este egală cu 1. O altă justificare pentru care baza e logaritmul este cel mai natural, este că poate fi definit destul de simplu în termeni de integrală simplă sau o serie Taylor, care nu se poate spune despre alți logaritmi.

Alte argumentări ale naturaleței nu sunt legate de număr. Deci, de exemplu, sunt mai multe rânduri simple cu logaritmi naturali. Pietro Mengoli și Nicholas Mercator i-au numit logaritmul naturalis câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat calculul diferențial și integral.

Definiție

Formal ln( A) poate fi definită ca aria de sub curba graficului 1/ X de la 1 la A, adică ca o integrală:

Este într-adevăr un logaritm, deoarece satisface proprietate fundamentală logaritm:

Acest lucru poate fi demonstrat presupunând următoarele:

Valoare numerică

Pentru calcul valoare numerică logaritmul natural al unui număr, puteți utiliza extinderea acestuia într-o serie Taylor sub forma:

Pentru a obține cea mai bună rată de convergență, puteți utiliza următoarea identitate:

cu conditia ca y = (X−1)/(X+1) și X > 0.

Pentru ln( X), Unde X> 1 decât sens mai apropiat X la 1, the viteza mai mare convergenţă. Identitățile asociate cu logaritmul pot fi folosite pentru a atinge obiectivul:

Aceste metode au fost folosite chiar înainte de apariția calculatoarelor, pentru care au fost folosite tabele numericeși a efectuat manipulări similare celor descrise mai sus.

Precizie ridicată

Pentru a calcula logaritmul natural cu cantitate mare cifre de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este utilizarea metodei lui Newton pentru a inversa o funcție exponențială, a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula:

Unde M denotă media aritmetico-geometrică a 1 și 4/s, și

m ales astfel încât p se obțin semne de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) Într-adevăr, dacă se folosește această metodă, inversarea lui Newton a logaritmului natural poate fi aplicată pentru a calcula eficient funcția exponențială. (Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.)

Complexitatea computațională

Complexitatea de calcul a logaritmilor naturali (folosind media aritmetică-geometrică) este O( M(n)ln n). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care urmează să fie evaluat logaritmul natural și M(n) este complexitatea de calcul a înmulțirii doi n- numere de cifre.

Fracții continuate

Deși nu există fracții continue simple pentru a reprezenta logaritmul, pot fi utilizate mai multe fracții continuate generalizate, inclusiv:

Logaritmi complexe

Funcția exponențială poate fi extinsă la o funcție care dă un număr complex al formei e X pentru orice arbitrar număr complex X, în timp ce se folosește o serie infinită cu un complex X. Acest functie exponentiala poate fi inversat pentru a forma un logaritm complex, care va avea în majoritatea cazurilor proprietățile logaritmilor obișnuiți. Există, totuși, două dificultăți: nu există X, pentru care e X= 0 și se dovedește că e 2pi = 1 = e 0 . Deoarece proprietatea multiplicativității este valabilă pentru o funcție exponențială complexă, atunci e z = e z+2npi pentru toate complexele z si intregi n.

Logaritmul nu poate fi definit pe întregul plan complex și, chiar și așa, este multivaloric - orice logaritm complex poate fi înlocuit cu un logaritm „echivalent” prin adăugarea oricărui multiplu întreg de 2. pi. Logaritmul complex poate fi doar o singură valoare pe o felie plan complex. De exemplu ln i = 1/2 pi sau 5/2 pi sau −3/2 pi, etc., şi deşi i 4 = 1,4log i poate fi definit ca 2 pi, sau 10 pi sau -6 pi, si asa mai departe.

Vezi si

• John Napier - inventatorul logaritmilor

Note

1. Matematică pentru chimie fizică. - al 3-lea. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extras de la pagina 9
2. J J O „Connor și EF Robertson Numărul e. Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). arhivat
3. Cajori Florian O istorie a matematicii, ed. a 5-a. - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimarea integralelor folosind polinoame . Arhivat din original pe 12 februarie 2012.