logaritmul natural

Graficul funcției logaritmului natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv ca Xși se apropie rapid de infinitul negativ când X tinde spre 0 („lent” și „rapid” în comparație cu oricare functie de putere din X).

logaritmul natural este logaritmul de bază , Unde e este o constantă irațională egală cu aproximativ 2,718281 828 . Logaritmul natural este de obicei notat ca ln( X), Buturuga e (X) sau uneori doar log( X) dacă baza e subînțeles.

Logaritmul natural al unui număr X(scris ca log(x)) este exponentul la care doriți să creșteți numărul e, A obtine X. De exemplu, ln(7.389...) este egal cu 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e (ln(e)) este egal cu 1 deoarece e 1 = e, dar logaritmul natural 1 (jurnal(1)) este 0 deoarece e 0 = 1.

Logaritmul natural poate fi definit pentru orice număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X de la 1 la A. Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc logaritmul natural, a condus la denumirea de „natural”. Această definiție poate fi extinsă la numerele complexe, care vor fi discutate mai jos.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a functie exponentiala, ceea ce duce la identitățile:

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

Astfel, funcția logaritmică este un izomorfism al grupului de pozitive numere realeîn ceea ce priveşte înmulţirea cu un grup numere reale prin adiție, care poate fi reprezentată ca funcție:

Logaritmul poate fi definit pentru orice bază pozitivă, alta decât 1, nu doar e, dar logaritmii pentru alte baze diferă doar de logaritmul natural factor constant, și sunt de obicei definite în termeni de logaritm natural. Logaritmii sunt utili pentru rezolvarea ecuațiilor în care necunoscutele sunt prezente ca exponent. De exemplu, logaritmii sunt folosiți pentru a găsi constantă de dezintegrare pentru perioadă cunoscută timpul de înjumătățire, sau pentru găsirea timpului de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ei se joaca rol importantîn multe domenii ale matematicii şi stiinta aplicata, sunt folosite în finanțe pentru a rezolva multe probleme, inclusiv găsirea dobânzii compuse.

Istorie

Prima mențiune despre logaritmul natural a fost făcută de Nicholas Mercator în lucrarea sa Logaritmotehnie, publicat în 1668, deși profesorul de matematică John Spydell a întocmit un tabel de logaritmi naturali încă din 1619. Anterior, a fost numit logaritm hiperbolic deoarece corespunde zonei de sub hiperbolă. Uneori este numit logaritmul Napier, deși sensul inițial al acestui termen era oarecum diferit.

Convenții de notație

Logaritmul natural este de obicei notat cu „ln( X)”, logaritm de bază 10 prin „lg( X)", și se obișnuiește să se indice în mod explicit alte motive cu simbolul „jurnal”.

În multe lucrări despre matematică discretă, cibernetică, informatică, autorii folosesc notația „log( X)" pentru logaritmi la baza 2, dar această convenție nu este universal acceptată și necesită clarificare, fie într-o listă de notații utilizate, fie (dacă nu există o astfel de listă) printr-o notă de subsol sau un comentariu la prima utilizare.

Parantezele din jurul argumentului logaritmilor (dacă aceasta nu duce la o citire eronată a formulei) sunt de obicei omise, iar la ridicarea logaritmului la o putere, exponentul este atribuit direct semnului logaritmului: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

sistem anglo-american

Matematicienii, statisticienii și unii ingineri folosesc de obicei fie „log( X)", sau "ln( X)" și pentru a denota logaritmul la baza 10 - "log 10 ( X)».

Unii ingineri, biologi și alți profesioniști scriu întotdeauna „ln( X)" (sau ocazional "log e ( X)") când înseamnă logaritmul natural și notația "log( X)" înseamnă jurnalul 10 ( X).

Buturuga e este logaritmul „natural” deoarece apare automat și apare foarte des în matematică. De exemplu, luați în considerare problema derivatei unei funcții logaritmice:

Dacă baza b egală e, atunci derivata este pur și simplu 1/ X, și atunci când X= 1 această derivată este egală cu 1. O altă justificare pentru care baza e logaritmul este cel mai natural, este că poate fi definit destul de simplu în termeni de integrală simplă sau o serie Taylor, care nu se poate spune despre alți logaritmi.

Alte argumentări ale naturaleței nu sunt legate de număr. Deci, de exemplu, sunt mai multe rânduri simple cu logaritmi naturali. Pietro Mengoli și Nicholas Mercator i-au numit logaritmul naturalis câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat calculul diferențial și integral.

Definiție

Formal ln( A) poate fi definită ca aria de sub curba graficului 1/ X de la 1 la A, adică ca o integrală:

Este într-adevăr un logaritm, deoarece satisface proprietate fundamentală logaritm:

Acest lucru poate fi demonstrat presupunând următoarele:

Valoare numerică

Pentru calcul valoare numerică logaritmul natural al unui număr, puteți utiliza extinderea acestuia într-o serie Taylor sub forma:

Pentru a obține cea mai bună rată de convergență, puteți utiliza următoarea identitate:

cu conditia ca y = (X−1)/(X+1) și X > 0.

Pentru ln( X), Unde X> 1 decât sens mai apropiat X la 1, the viteza mai mare convergenţă. Identitățile asociate cu logaritmul pot fi folosite pentru a atinge obiectivul:

Aceste metode au fost folosite chiar înainte de apariția calculatoarelor, pentru care au fost folosite tabele numericeși a efectuat manipulări similare celor descrise mai sus.

Precizie ridicată

Pentru a calcula logaritmul natural cu o cantitate mare cifre de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este să folosiți metoda lui Newton pentru a inversa într-o funcție exponențială, a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula:

Unde M denotă media aritmetico-geometrică a 1 și 4/s, și

m ales astfel încât p se obțin semne de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) Într-adevăr, dacă se folosește această metodă, inversarea lui Newton a logaritmului natural poate fi aplicată pentru a calcula eficient funcția exponențială. (Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.)

Complexitatea computațională

Complexitatea de calcul a logaritmilor naturali (folosind media aritmetică-geometrică) este O( M(n)ln n). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care urmează să fie evaluat logaritmul natural și M(n) este complexitatea de calcul a înmulțirii doi n- numere de cifre.

Fracții continuate

Deși nu există fracții continue simple pentru a reprezenta logaritmul, pot fi utilizate mai multe fracții continuate generalizate, inclusiv:

Logaritmi complexe

Funcția exponențială poate fi extinsă la o funcție care dă un număr complex al formei e X pentru orice arbitrar număr complex X, în timp ce se folosește o serie infinită cu un complex X. Această funcție exponențială poate fi inversată pentru a forma logaritmul complex, care va avea în majoritatea cazurilor proprietățile logaritmilor obișnuiți. Există, totuși, două dificultăți: nu există X, pentru care e X= 0 și se dovedește că e 2pi = 1 = e 0 . Deoarece proprietatea multiplicativității este valabilă pentru o funcție exponențială complexă, atunci e z = e z+2npi pentru toate complexele z si intregi n.

Logaritmul nu poate fi definit pe întregul plan complex și, chiar și așa, este multivaloric - orice logaritm complex poate fi înlocuit cu un logaritm „echivalent” prin adăugarea oricărui multiplu întreg de 2. pi. Logaritmul complex poate fi doar o singură valoare pe o felie plan complex. De exemplu ln i = 1/2 pi sau 5/2 pi sau −3/2 pi, etc., şi deşi i 4 = 1,4log i poate fi definit ca 2 pi, sau 10 pi sau -6 pi, etc.

Vezi si

• John Napier - inventatorul logaritmilor

Note

1. Matematică pentru chimie fizică. - al 3-lea. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extras de la pagina 9
2. J J O „Connor și EF Robertson Numărul e. Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). Arhivat
3. Cajori Florian O istorie a matematicii, ed. a 5-a. - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimarea integralelor folosind polinoame . Arhivat din original pe 12 februarie 2012.

Destul de bine, nu? În timp ce matematicienii caută cuvinte pentru a vă oferi o definiție lungă și complicată, haideți să aruncăm o privire mai atentă la aceasta simplă și clară.

Numărul e înseamnă creștere

Numărul e înseamnă creștere continuă. După cum am văzut în exemplul anterior, e x ne permite să legăm dobânda și timpul: 3 ani la o creștere de 100% este la fel cu 1 an la 300%, sub rezerva „dobânzii compuse”.

Puteți înlocui orice procentaj și valori de timp (50% peste 4 ani), dar este mai bine să setați procentul ca 100% pentru comoditate (se dovedește 100% peste 2 ani). Trecând la 100%, ne putem concentra doar pe componenta timp:

e x = e procent * timp = e 1,0 * timp = e timp

Evident, e x înseamnă:

• cât de mult va crește contribuția mea în x unități de timp (presupunând o creștere continuă de 100%).
• de exemplu, după 3 intervale de timp voi obține e 3 = de 20,08 ori mai multe „lucruri”.

e x este un factor de scalare care arată la ce nivel vom crește în x perioade de timp.

Logaritmul natural înseamnă timp

Logaritmul natural este inversul lui e, un termen atât de fantezist pentru opusul. Apropo de ciudatenii; în latină se numește logarithmus naturali, de unde și abrevierea ln.

Și ce înseamnă această inversare sau opus?

• e x ne permite să conectăm timpul și să obținem creșterea.
• Ln(x) ne permite să luăm creșterea sau venitul și să aflăm timpul necesar pentru a le obține.

De exemplu:

• e 3 este egal cu 20,08. După trei perioade de timp, vom avea 20,08 ori În plus de unde am început.
• Ln(20,08) va fi aproximativ 3. Dacă sunteți interesat de o creștere de 20,08x, veți avea nevoie de 3 ori (din nou, presupunând o creștere continuă de 100%).

Mai citești? Logaritmul natural arată timpul necesar pentru a atinge nivelul dorit.

Acest număr logaritmic non-standard

Ai trecut de logaritmi - asta este creaturi ciudate. Cum au reușit să transforme înmulțirea în adunare? Dar împărțirea în scădere? Să vedem.

Cu ce ​​este ln(1) egal? Intuitiv, întrebarea este: cât timp trebuie să aștept pentru a obține de 1 ori mai mult decât am?

Zero. Zero. Deloc. Îl ai deja o dată. Nu este nevoie de timp pentru a crește de la nivelul 1 la nivelul 1.

• log(1) = 0

Bine, ce zici valoare fracționată? Cât timp ne va dura să avem 1/2 din ceea ce ne-a rămas? Știm că, cu o creștere continuă de 100%, ln(2) înseamnă timpul necesar pentru a se dubla. Dacă noi intoarce timpul inapoi(adică așteptați o perioadă negativă de timp), apoi obținem jumătate din ceea ce avem.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logic, nu? Dacă ne întoarcem (timpul înapoi) cu 0,693 secunde, vom găsi jumătate din cantitatea disponibilă. În general, puteți întoarce fracția și luați sens negativ: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Aceasta înseamnă că dacă ne întoarcem în timp la 1,09 ori, vom găsi doar o treime din numărul actual.

Bine, cum rămâne cu logaritmul unui număr negativ? Cât timp durează pentru a „crește” o colonie de bacterii de la 1 la -3?

Este imposibil! Nu poți obține un număr negativ de bacterii, nu-i așa? Puteți obține un maxim (uh... minimum) de zero, dar nu există nicio modalitate de a obține un număr negativ din aceste creaturi mici. ÎN număr negativ bacteriile pur și simplu nu au sens.

• ln(număr negativ) = nedefinit

„Nedefinit” înseamnă că nu există timp de așteptat pentru a obține o valoare negativă.

Înmulțirea logaritmică este doar amuzantă

Cât timp va dura creșterea de patru ori? Desigur, puteți doar să luați ln(4). Dar e prea ușor, vom merge pe altă cale.

Vă puteți gândi la cvadruplicarea ca o dublare (care necesită ln(2) unități de timp) și apoi dublarea din nou (necesită alte ln(2) unități de timp):

• Timpul până la creșterea de 4x = ln(4) = Timpul până la dublarea și apoi dublarea din nou = ln(2) + ln(2)

Interesant. Orice rată de creștere, să zicem 20, poate fi văzută ca se dublează imediat după o creștere de 10 ori. Sau creștere de 4 ori, apoi de 5 ori. Sau o triplare și apoi o creștere de 6.666 ori. Vezi modelul?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmul lui A ori B este log(A) + log(B). Această relație are sens imediat dacă operezi în termeni de creștere.

Dacă sunteți interesat de creșterea de 30 de ori, puteți fie să așteptați ca ln(30) dintr-o singură mișcare, fie să așteptați ca ln(3) să se tripleze și apoi un alt ln(10) să se înmulțească cu zece. Rezultat final la fel, deci bineinteles ca timpul trebuie sa ramana constant (si ramane).

Dar diviziunea? În special, ln(5/3) înseamnă: cât timp durează să crească de 5 ori și apoi să obții 1/3 din asta?

Grozav, un factor de 5 este ln(5). Creșterea de 1/3 ori va dura -ln(3) unități de timp. Asa de,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Aceasta înseamnă: lăsați-l să crească de 5 ori, apoi „întoarceți-vă în timp” până în punctul în care rămâne doar o treime din acea cantitate, astfel încât obțineți o creștere de 5/3. În general, se dovedește

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Sper că aritmetica ciudată a logaritmilor începe să aibă sens pentru tine: înmulțirea ratelor de creștere devine adăugarea de unități de timp de creștere, iar împărțirea devine scăderea unităților de timp. Nu memorați regulile, încercați să le înțelegeți.

Utilizarea logaritmului natural pentru creșterea arbitrară

Ei bine, bineînțeles, - spui tu, - totul este bine dacă creșterea este de 100%, dar ce zici de cei 5% pe care îl primesc?

Fără probleme. „Timpul” pe care îl calculăm cu ln() este de fapt o combinație de rată a dobânzii și timp, același X din ecuația ex. Tocmai am ales să setăm procentul la 100% pentru simplitate, dar suntem liberi să folosim orice număr.

Să presupunem că vrem să obținem o creștere de 30x: luăm ln(30) și obținem 3.4 Aceasta înseamnă:

• e x = înălțime
• e 3,4 = 30

Evident, această ecuație înseamnă „100% rentabilitate pe 3,4 ani dă naștere la 30 de ori”. Putem scrie această ecuație astfel:

• e x = e rata*timp
• e 100% * 3,4 ani = 30

Putem schimba valorile „rata” și „timp”, atâta timp cât rata *timp rămâne 3.4. De exemplu, dacă ne interesează o creștere de 30 ori, cât timp va trebui să așteptăm la o dobândă de 5%?

• log(30) = 3,4
• rata * timp = 3,4
• 0,05 * timp = 3,4
• timp = 3,4 / 0,05 = 68 ani

Raționez astfel: "ln(30) = 3,4, deci la o creștere de 100% va dura 3,4 ani. Dacă dublez rata de creștere, timpul necesar se reduce la jumătate."

• 100% în 3,4 ani = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% în 1,7 ani = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% în 6,8 ani = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% peste 68 de ani = .05 * 68 = 3.4 .

E grozav, nu? Logaritmul natural poate fi utilizat cu orice rată a dobânzii și orice timp, atâta timp cât produsul lor rămâne constant. Puteți muta valorile variabilelor atât cât doriți.

Exemplu prost: Regula șaptezeci și două

Regula celor șaptezeci și doi este o tehnică matematică care vă permite să estimați cât timp va dura până când banii dvs. se dublează. Acum o vom deriva (da!), și mai mult, vom încerca să-i înțelegem esența.

Cât timp durează să-ți dublezi banii la o rată de 100% care crește în fiecare an?

Op-pa. Am folosit logaritmul natural pentru cazul creșterii continue, iar acum vorbiți de acumularea anuală? Nu ar deveni această formulă nepotrivită pentru un astfel de caz? Da, va fi, dar pentru rate reale ale dobânzii, cum ar fi 5%, 6% sau chiar 15%, diferența dintre capitalizarea anuală și creșterea continuă va fi mică. Deci estimarea aproximativă funcționează, uh, aproximativ, așa că ne vom preface că avem o acumulare complet continuă.

Acum întrebarea este simplă: cât de repede te poți dubla cu o creștere de 100%? ln(2) = 0,693. Este nevoie de 0,693 unități de timp (ani în cazul nostru) pentru a ne dubla suma cu o creștere continuă de 100%.

Deci, ce se întâmplă dacă rata dobânzii nu este 100%, dar să spunem 5% sau 10%?

Uşor! Deoarece rata * timp = 0,693, vom dubla suma:

• rata * timp = 0,693
• timp = 0,693 / rata

Deci, dacă creșterea este de 10%, va dura 0,693 / 0,10 = 6,93 ani pentru a se dubla.

Pentru a simplifica calculele, să înmulțim ambele părți cu 100, apoi putem spune „10” și nu „0,10”:

• timpul de dublare = 69,3 / pariu, unde pariul este exprimat ca procent.

Acum este timpul să se dubleze la 5%, 69,3 / 5 = 13,86 ani. Cu toate acestea, 69,3 nu este cel mai convenabil dividend. Să alegem un număr apropiat, 72, care este divizibil în mod convenabil cu 2, 3, 4, 6, 8 și alte numere.

• timp de dublare = 72 / pariu

care este regula celor șaptezeci și doi. Totul este acoperit.

Dacă trebuie să găsiți timp pentru a tripla, puteți folosi ln(3) ~ 109.8 și obțineți

• timp de triplare = 110 / pariu

Ce este altul regula utila. „Regula 72” se aplică creșterii până la ratele dobânzilor, creșterea populației, culturile de bacterii și tot ceea ce crește exponențial.

Ce urmeaza?

Sper că acum logaritmul natural are sens pentru tine - arată timpul necesar pentru ca orice număr să crească exponențial. Cred că se numește natural pentru că e este o măsură universală a creșterii, așa că ln poate fi considerat o modalitate universală de a determina cât timp durează să crească.

De fiecare dată când vedeți ln(x), amintiți-vă „timpul necesar creșterii de x ori”. Într-un articol care urmează, voi descrie e și ln împreună, astfel încât aroma proaspătă a matematicii să umple aerul.

Complement: Logaritmul natural al lui e

Test rapid: cât va fi ln(e)?

• robotul matematic va spune: deoarece sunt definite ca fiind inverse unul față de celălalt, este evident că ln(e) = 1.
• Persoană înțelegătoare: ln(e) este numărul de ori pentru a crește „e” ori (aproximativ 2.718). Cu toate acestea, numărul e însuși este o măsură a creșterii cu un factor de 1, deci ln(e) = 1.

Gândește clar.

9 septembrie 2013

Logaritmul numărului b la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați numărul a pentru a obține numărul b.

Daca atunci .

Logaritmul este extrem de important valoare matematică , deoarece calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuații exponențiale, dar și să opereze cu indicatori, să diferențieze exponențiale și funcții logaritmice, integrați-le și aduceți-le într-o formă mai acceptabilă pentru a fi calculate.

In contact cu

Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietăți funcții exponențiale. De exemplu, faptul că înseamnă că:

Trebuie remarcat faptul că la rezolvare sarcini specifice, proprietățile logaritmilor pot fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.

Iată câteva identități:

Iată principalele expresii algebrice:

;

.

Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.

Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes separat pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are numărul „10” la bază și se numește „ logaritm zecimal". Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul e. Despre el vom vorbi în detaliu în acest articol.

Denumiri:

• lg x - zecimală;
• ln x - natural.

Folosind identitatea, putem vedea că ln e = 1, precum și că lg 10=1.

grafic log natural

Construim un grafic al logaritmului natural în modul clasic standard prin puncte. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect o funcție examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.

Funcția: y = log x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:

Să explicăm de ce am ales astfel de valori ale argumentului x. Totul tine de identitate: Pentru un logaritm natural, această identitate va arăta astfel:

Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:

;

;

.

;

.

Astfel, numărarea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă, în plus, simplifică calculul operațiilor cu puteri, transformându-le în înmulțire normală.

După ce am construit un grafic pe puncte, obținem un grafic aproximativ:

Domeniul logaritmului natural (adică toate valori admise argumentul X) - toate numerele sunt mai mari decât zero.

Atenţie! Domeniul de definire al logaritmului natural include numai numere pozitive! Domeniul de aplicare nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.

Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din intervalul .

limita logului natural

Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția când y<0.

În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.

Limită naturală Buturuga se poate scrie asa:

Formula pentru schimbarea bazei unui logaritm

A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm într-o bază arbitrară prin logaritmi naturali.

Să începem cu identitatea logaritmică:

Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:

unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).

Această expresie poate fi logaritmizată pe ambele părți. Să facem asta cu o bază arbitrară z:

Să folosim proprietatea (doar în loc de „cu” avem o expresie):

De aici obținem formula universală:

.

În special, dacă z=e, atunci:

.

Am reușit să reprezentăm logaritmul la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.

Rezolvăm probleme

Pentru a naviga mai bine în logaritmi naturali, luați în considerare exemple de mai multe probleme.

Sarcina 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.

Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Sarcina 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluție: Utilizând definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

.

Încă o dată, aplicăm definiția logaritmului:

.

În acest fel:

.

Puteți calcula răspunsul aproximativ, sau îl puteți lăsa în acest formular.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația.

Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:

.

Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:

Prima rădăcină a ecuației:

.

A doua rădăcină a ecuației:

.

Reținând că am făcut substituția t = ln x, obținem:

În statistică și teoria probabilității, mărimile logaritmice sunt foarte frecvente. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e - reflectă adesea rata de creștere a valorilor exponențiale.

În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii sunt destul de comune, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.

În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.

În mecanică și fizică nu există nicio secțiune în care să nu fie folosiți logaritmii. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky și așa mai departe sunt procese care pot fi descrise numai matematic folosind logaritmi.

În chimie, logaritmul este folosit în ecuațiile Nernst, descrieri ale proceselor redox.

În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.

Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale

Dovada proprietății principale a logaritmului natural

ia adesea un număr e = 2,718281828 . Logaritmii din această bază se numesc natural. Când se efectuează calcule cu logaritmi naturali, este obișnuit să se opereze cu semnul ln, dar nu Buturuga; în timp ce numărul 2,718281828 , definind baza, nu indica.

Cu alte cuvinte, formularea va arăta astfel: logaritmul natural numerele X este exponentul la care se ridică numărul e, A obtine X.

Asa de, ln(7.389...)= 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e= 1 deoarece e 1 =e, iar logaritmul natural al unității este egal cu zero, deoarece e 0 = 1.

Numărul în sine e definește limita unei secvențe mărginite monotone

calculat că e = 2,7182818284... .

Destul de des, pentru a fixa un număr în memorie, cifrele numărului necesar sunt asociate cu o dată restantă. Viteza de amintire a primelor nouă cifre ale unui număr e după punctul zecimal va crește dacă observați că 1828 este anul nașterii lui Lev Tolstoi!

Până în prezent, există tabele destul de complete de logaritmi naturali.

grafic log natural(funcții y=ln x) este o consecință a graficului exponentului ca imagine în oglindă în raport cu linia dreaptă y = x si arata ca:

Logaritmul natural poate fi găsit pentru fiecare număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X din 1 inainte de A.

Caracterul elementar al acestei formulări, care se potrivește cu multe alte formule în care este implicat logaritmul natural, a fost motivul formării denumirii „naturale”.

Dacă analizăm logaritmul natural, ca functie reala a unei variabile reale, atunci actioneaza funcție inversă la o funcție exponențială, care se reduce la identitățile:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Prin analogie cu toți logaritmii, logaritmul natural transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere:

ln(X y) = ln(X) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmul poate fi găsit pentru fiecare bază pozitivă care nu este egală cu unu, nu doar pentru e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural.

După ce a analizat grafic log natural, obținem că există pentru valori pozitive ale variabilei X. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

La X → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( -∞ ).La x → +∞ limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). În mare X logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv A crește mai repede decât logaritmul. Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme.

Utilizare logaritmi naturali foarte raţional în trecerea la matematică superioară. Astfel, utilizarea logaritmului este convenabilă pentru găsirea răspunsului la ecuațiile în care necunoscutele apar ca exponent. Utilizarea logaritmilor naturali în calcule face posibilă facilitarea unui număr mare de formule matematice. logaritmi de bază e sunt prezente în rezolvarea unui număr semnificativ de probleme fizice și sunt incluse în mod natural în descrierea matematică a proceselor chimice, biologice și de altă natură individuale. Astfel, logaritmii sunt utilizați pentru a calcula constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a calcula timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Aceștia joacă un rol principal în multe secțiuni ale matematicii și științelor practice, la care se apelează în domeniul finanțelor pentru rezolvarea unui număr mare de probleme, inclusiv în calculul dobânzii compuse.

Graficul funcției logaritmului natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv ca Xși se apropie rapid de infinitul negativ când X tinde spre 0 („încet” și „rapid” în comparație cu orice funcție de putere a X).

logaritmul natural este logaritmul de bază , Unde e (\displaystyle e) este o constantă irațională egală cu aproximativ 2,72. Este desemnat ca ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) sau uneori doar log ⁡ x (\displaystyle \log x) dacă baza e (\displaystyle e) subînțeles . Cu alte cuvinte, logaritmul natural al unui număr X este exponentul la care se ridică numărul e, A obtine X. Această definiție poate fi extinsă și la numerele complexe.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), deoarece e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), deoarece e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Logaritmul natural poate fi definit geometric și pentru orice număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) intre [ unu ; a ] (\displaystyle ). Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc acest logaritm, explică originea numelui „natural”.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a funcției exponențiale, care conduce la identitățile:

e log ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)