SCOPUL PRELEGĂRII: familiarizarea cu informații elementare din teoria mulțimilor; formulați axiomele teoriei probabilităților, consecințele acestora și regula de adunare a probabilităților.

Informații elementare din teoria mulțimilor

mulți se numește orice colecție de obiecte de natură arbitrară, fiecare dintre acestea fiind numită element stabilit.

Exemple de seturi: o mulțime de studenți într-o prelegere; setul de puncte dintr-un plan care se află în interiorul unui cerc de rază r; multe puncte pe axa numerica, distanța de la care până la punct b cu abscisă A mai puțin decât d; o multime de numere naturale.

Seturile sunt desemnate în moduri diferite. O multime de M numerele naturale de la 1 la 100 pot fi scrise ca

Setul de puncte de pe axa numerelor, distanța de la care până la punct b cu abscisă A mai puțin decât d, poate fi scris ca

Unde X- abscisa punctului.

Ansamblul punctelor plane situate în interiorul sau la limita unui cerc de rază r centrat la origine,

Unde X, y – coordonate carteziene puncte.

O altă intrare a acestui set

unde este una dintre coordonatele polare ale punctului.

După numărul de elemente, seturile sunt împărțite în finalși fără sfârşit. Setul este finit și este format din 100 de elemente. Dar un set poate fi format dintr-un singur element și chiar să nu conțină niciun element.

Mulțimea tuturor numerelor naturale este infinită, la fel cum mulțimea numerelor pare este infinită.

Set infinit se numește numărabil dacă toate elementele sale pot fi aranjate într-o anumită succesiune și numerotate (ambele mulțimi și , sunt numărabile).

seturi Sși C sunt infinite și nenumărate (elementele lor nu pot fi numerotate).

Doua seturi Ași B Meci, dacă sunt formate din aceleași elemente: și . Coincidența mulțimilor se notează printr-un semn egal: A=B. Notația înseamnă că obiectul A este un element al ansamblului DAR sau " A aparține DAR". O altă intrare înseamnă că " A Nu apartine DAR".

Se numește o mulțime care nu conține niciun element golși este notat cu simbolul .

O multime de LA se numește submulțime (parte) a mulțimii DAR dacă toate elementele LA sunt de asemenea cuprinse în DAR, și este notat ca sau . De exemplu, .

O submulțime poate fi egală cu setul în sine. Grafic, puteți descrie relația dintre o mulțime și un subset, așa cum se arată în Fig. 2.1, unde fiecare punct al figurii LA aparține figurii DAR, adică .

Unirea (suma) multimilor DARși LA se numeste multimea formata din toate elementele DARși toate elementele LA. Astfel, o uniune este o colecție de elemente care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile combinate.

De exemplu: .

Interpretare geometrică unirea a două seturi DARși LA prezentată în fig. 2.2.

Unirea (suma) mai multor mulțimi este definită în mod similar

unde multimea rezultata este multimea tuturor elementelor incluse in cel putin una dintre multimi: .

Intersecția (produsul) mulțimilor DARși LA se numeste multime D, format din elemente incluse simultan și în DAR, si in :

Interpretarea geometrică a intersecției este prezentată în fig. 2.3.

Intersecția mai multor mulțimi este definită în mod similar

ca un set format din elemente incluse simultan în toate seturile.

Operațiile de unire (adunare) și intersecție (înmulțire) a mulțimilor au un număr de proprietăți care sunt similare cu proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor:

1. Proprietatea deplasării:

2. Proprietate asociativă:

3. proprietatea de distributie:

Adăugarea setului gol și înmulțirea cu setul gol sunt similare cu operațiile corespunzătoare asupra numerelor, dacă considerați zero ca mulțime goală:

Unele operații pe seturi nu au analogi în operațiunile obișnuite pe numere, în special

Axiomele teoriei probabilităților și consecințele acestora.

Reguli de adunare a probabilității

Folosind informații elementare despre teoria mulțimilor, se poate oferi o schemă teoretică a mulțimilor pentru construirea teoriei probabilităților și a axiomaticii acesteia.

Într-un experiment cu un rezultat aleatoriu, există un set de toate rezultatele posibile ale experimentului. Fiecare element al acestui set este numit eveniment elementar, setul în sine este spațiu de eveniment elementar. Orice eveniment DARîn interpretarea teoretică a mulţimii există o oarecare submulţime a mulţimii : . Dacă, la rândul său, setul DAR se împarte în mai multe submulțimi care nu se intersectează ( la ), apoi evenimentele se numesc „variante” ale evenimentului DAR. Pe fig. 2.4 eveniment DAR se împarte în trei variante: .

De exemplu, la aruncare zaruri spaţiul evenimentelor elementare. Dacă eveniment , atunci opțiuni de eveniment DAR: ,

Se poate lua în considerare și un subset al setului în sine - în acest caz va fi de încredere eveniment. Întregul spațiu al evenimentelor elementare se adaugă un set gol; acest set este considerat și ca un eveniment, dar imposibil.

Interpretarea teoretică a mulțimilor a proprietăților considerate anterior ale evenimentelor este următoarea:

1. Formă evenimente multiple grup complet , dacă , adică suma lor (combinația) este un eveniment de încredere.

2. Două evenimente DARși LA numit incompatibil, dacă mulțimile corespunzătoare acestora nu se intersectează, adică . Sunt numite mai multe evenimente perechi incompatibil, dacă apariția vreunuia dintre ele exclude apariția fiecăruia dintre celelalte: la .

3. Suma a două evenimente DARși LA numit un eveniment Cu, constând în executarea evenimentului DAR sau evenimente LA, sau ambele evenimente împreună. Suma mai multor evenimente este un eveniment constând în executarea a cel puțin unuia dintre ele.

4. Produsul a două evenimente DARși LA numit un eveniment D, constând în executarea în comun a evenimentului DAR si evenimente LA. Un produs al mai multor evenimente este un eveniment constând în executarea în comun a tuturor acestor evenimente.

5. Opusîn raport cu evenimentul DAR se numeşte eveniment constând în neapariţie DARși evenimentul complementar corespunzător DAR la (vezi fig. 2.5).

Pe baza interpretării de mai sus a evenimentelor ca mulțimi, se formulează axiomele teoriei probabilităților.

Fiecare eveniment DAR i se atribuie un anumit număr, numit probabilitatea evenimentului. Deoarece orice eveniment este o mulțime, probabilitatea unui eveniment este setare funcție.

Aceste probabilități de evenimente trebuie să satisfacă următoarele axiome:

1. Probabilitatea oricărui eveniment este între zero și unu:

2. Dacă DARși LA sunt evenimente incompatibile, adică atunci

Această axiomă poate fi ușor generalizată cu Proprietate asociativă suplimentar pentru orice număr de evenimente. Dacă la , atunci

adică probabilitatea sumei evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Această axiomă se numește adaos "teorema"(pentru schema cauzelor se poate dovedi), sau regula adunării probabilităților.

3. Dacă este disponibil set numărabil evenimente incompatibile ( la ), apoi

Această axiomă nu este derivată din axioma anterioară și, prin urmare, este formulată ca una separată.

Pentru o schemă de cazuri (scheme de urne), adică pentru evenimente care au proprietățile de completitudine, incompatibilitate și echipotențialitate, se poate deriva formula clasică (1.1) pentru calcularea directă a probabilităților din regula de adunare (2.1).

Lăsați rezultatele experimentului să fie prezentate sub formă n cazuri incompatibile. Șansa favorizează evenimentul DAR dacă reprezintă un submult DAR(), sau, cu alte cuvinte, aceasta este o variantă a evenimentului DAR. Din moment ce formează un grup complet, atunci

După regula adunării

unde ajungem

După substituirea expresiilor obținute în (2.3), avem

Q.E.D.

Formula (2.3) poate fi derivată și pentru mai mult de două evenimente comune.

Timp de câteva secole de la începutul studiului său sistematic, conceptele de bază ale teoriei probabilităților nu erau încă clar definite. Neclaritatea definițiilor de bază a condus adesea cercetătorii la concluzii contradictorii, iar aplicațiile probabilistice practice au fost slab fundamentate. Dezvoltare în continuareștiința naturii a necesitat un studiu sistematic al conceptelor de bază ale teoriei probabilităților și determinarea condițiilor în care este posibilă utilizarea rezultatelor acesteia. De o importanță deosebită a fost fundamentarea logică formală a teoriei probabilității, care, în special, în 1900, D. Hilbert a fost clasificată ca probleme critice matematică.

Principiul formal-logic al construcției impunea ca baza teoriei probabilității să fie niște premise axiomatice, care sunt o generalizare a vechilor secole. experiența umană. Dezvoltarea ulterioară a conceptelor probabilistice a trebuit să fie construită prin deducție din poziții axiomatice fără a recurge la idei neclare și intuitive. Acest punct de vedere a fost dezvoltat pentru prima dată în 1917. matematician sovietic S.N. Berstein. Totodată, S.N. Bershtein a venit din comparatie calitativa evenimente aleatorii în funcție de probabilitatea lor mai mare sau mai mică. O construcție riguroasă din punct de vedere matematic a teoriei probabilității axiomatice a fost propusă de A.N. Kolmogorov în 1933, legând strâns teoria probabilității cu teoria mulțimilor și teoria măsurii. Definiția axiomatică a probabilității ca cazuri speciale include atât cele clasice, cât și definiţii statisticeși învinge insuficiența fiecăruia dintre ele.

Punctul de plecare al lui A.N. Kolmogorov este mulţimea evenimentelor elementare ω, în literatură specială numit spațiu de fază și notat în mod tradițional cu Ω. Orice eveniment observabil a cărui probabilitate trebuie determinată poate fi reprezentat ca un subset al spațiului fazelor. Prin urmare, împreună cu mulțimea Ω, se ia în considerare și mulțimea Θ de submulțimi de evenimente elementare, a căror desemnare simbolică poate fi arbitrară. Un anumit eveniment este reprezentabil de întreg spațiul fazelor. O mulțime Θ se numește algebră de mulțimi dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) faptul că A ∈ Ω implică și $\bar A \in \Theta $;
3) faptul că A ∈ Θ și B ∈ Θ implică că A ∪ B ∈ Θ și A ∩ B∈ Θ.

Dacă, în plus față de cele de mai sus, este îndeplinită următoarea cerință:
4) faptul că A n ∈ Θ (pentru n = 1,2...) implică faptul că $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ și $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, atunci se numește mulțimea Θ σ-algebră. Elementele lui Θ se numesc evenimente aleatorii.

Operațiile asupra evenimentelor aleatoare în teoria axiomatică a probabilității sunt înțelese ca operații asupra mulțimilor corespunzătoare. Ca urmare, este posibil să se stabilească o corespondență reciprocă între termenii limbajului teoriei mulțimilor și limbajul teoriei probabilităților.

Ca axiome care definesc probabilitatea, A.N. Kolmogorov a acceptat următoarele afirmații:

Axioma 1. La fiecare eveniment aleatoriuȘi aliniat număr nenegativ P (A) , numită probabilitatea sa.
Axioma 2. P(Ω)= 1.
Axioma 3 (axioma adunării). Dacă evenimentele A 1 , A 2 ,...,A n sunt incompatibile perechi, atunci

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

Următoarele afirmații sunt consecințe ale axiomelor formulate.

1. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero: P(∅) = 0.
2. Pentru orice eveniment A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Indiferent de evenimentul aleator A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Dacă evenimentul A implică evenimentul B, atunci P(A) ≤ P(B).

Un spațiu de probabilitate este de obicei numit triplu de simboluri (Ω, Θ, P), unde Ω este mulțimea evenimentelor elementare ω, Θ – σ este algebra submulțimii lui Ω, numite evenimente aleatoare, iar P(A) este probabilitate definită pe σ, algebra Θ.

Astfel, conform axiomaticii lui A.N. Kolmogorov, fiecărui eveniment observat i se atribuie un anumit număr nenegativ, numit probabilitatea acestui eveniment, astfel încât probabilitatea întregului spațiu de fază este egală cu 1, iar proprietatea aditivitatea sigma. Ultima proprietate înseamnă că, în cazul evenimentelor perechi care se exclud reciproc, probabilitatea de apariție conform macar a unuia (și datorită incompatibilității între perechi, exact unul) eveniment observat coincide cu suma probabilităților evenimentelor observate dintr-un anumit set finit sau numărabil de evenimente observate.

În cazul unei definiții a probabilității pe o σ - algebră constând din unele submulțimi de Ω, prima nu poate fi extinsă la alte submulțimi de Ω în așa fel încât proprietatea sigma-aditivitate să fie păstrată, cu excepția cazului în care Ω constă dintr-un element finit. sau număr numărabil de elemente. Introducerea aditivității sigma a dus și la o serie de paradoxuri. Prin urmare, împreună cu sigma-aditivitate, proprietatea aditivitatea, care se înțelege ca echivalența măsurii unirii a două evenimente incompatibile cu suma măsurilor acestor evenimente. Cu toate acestea, aproape imediat s-a demonstrat că înlocuirea sigma-aditivității cu aditivitatea nu numai că nu rezolvă toate problemele, ci duce și la alte rezultate paradoxale.

Sistemul axiomelor lui Kolmogorov este relativ consistent și incomplet, vă permite să construiți teoria probabilității ca parte a teoriei măsurii și să considerați probabilitatea ca o funcție de set aditiv normalizat nenegativ. Deși în teoria probabilității A.N. Probabilitatea Kolmogorov este întotdeauna nenegativă, unele teoreme din teoria probabilităților pot fi generalizate în cazul în care numere negative acționează ca probabilități și, de asemenea, obține alte generalizări ale probabilității.

Unele fundamentale teorii matematice moștenesc conceptele de bază, construcțiile și terminologia teoriei probabilităților. Aceasta este, în special, teoria posibilităților, care ia în considerare și spațiile posibilităților și evenimentelor elementare, σ ​​- algebră.

Axiomatica teoriei probabilităților

Sugerat mai sus definiție clasică probabilitati impreuna cu merite evidente, în primul rând simplitatea și claritatea intuitivă, are o serie de dezavantaje semnificative: oferă doar un set finit sau numărabil de evenimente elementare și cunoașterea probabilităților lor este obligatorie. Toate acestea nu sunt în niciun caz întotdeauna așa și, prin urmare, definiția introdusă nu este suficient de generală. În prezent, construcția axiomatică a teoriei probabilității a devenit general acceptată.

În matematică, axiomele sunt propoziții care sunt acceptate ca adevărate și nu sunt dovedite în cadrul unei anumite teorii. Toate celelalte prevederi ale acestei teorii trebuie să fie derivate pur mod logic din axiomele acceptate. Formularea axiomelor nu este stadiul inițial dezvoltare stiinta matematica, dar este rezultatul unei îndelungi acumulări de fapte și analiza logica rezultate obţinute pentru a releva faptele primare cu adevărat de bază. Așa s-au format axiomele geometriei. Teoria probabilității a parcurs un drum similar, în care construcția axiomatică a fundațiilor sale era o chestiune din trecutul relativ recent. Pentru prima dată, problema construcției axiomatice a teoriei probabilităților a fost rezolvată în 1917 de către matematicianul sovietic S.N. Bernstein.

În prezent, axiomatica academicianului A.N. Kolmogorov (1933), care leagă teoria probabilității cu teoria mulțimilor și teoria metrică a funcțiilor.

În axiomatica lui A.N. Kolmogorov, spațiul (mulțimea) rezultatelor elementare Ω este primar. Pentru ce sunt elementele acestui set dezvoltare logică teoria probabilității este irelevantă. În continuare, considerăm un sistem F de submulțimi ale mulțimii Ω; elementele sistemului F se numesc evenimente aleatoare. În ceea ce privește structura sistemului F, se presupune că sunt îndeplinite următoarele trei cerințe:

1. Submulțimea F conține un anumit eveniment Ω ca element.

2. Dacă A și B sunt două evenimente definite pe Ω, sunt incluse în submulțimea F ca elemente, atunci submulțimea F conține și A + B, A ∙ B ca elemente,

3. Dacă evenimentele А 1 , А 2 , …, definite pe Ω, sunt elemente ale submulțimii F, atunci suma lor si munca sunt și elemente ale submulțimii F.

Mulțimea F s-a format în modul descris mai sus numită „σ-algebra evenimentelor”.

Ne întoarcem acum la formularea axiomelor care definesc probabilitatea.

Axioma 1.(axioma existenței probabilității). Fiecare eveniment aleator A din σ-algebra evenimentelor F este asociat cu un număr nenegativ p(A), numit probabilitate.

Axioma 2.(probabilitatea unui anumit eveniment). Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu 1: Р(Ω)=1. (1,15)

Axioma 3.(axioma adunării). Dacă evenimentele A și B nu sunt compatibile, atunci

P(A+B) = P(A)+P(B). (1,16)

Axioma 4.(axioma extinsă a adunării). Dacă evenimentul A este echivalent cu apariția a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile pe perechi A 1 , A 2 , …, adică , atunci probabilitatea evenimentului A este egală cu

SCOPUL PRELEGĂRII: familiarizarea cu informații elementare din teoria mulțimilor; formulați axiomele teoriei probabilităților, consecințele acestora și regula de adunare a probabilităților.

Informații elementare din teoria mulțimilor

mulți se numește orice colecție de obiecte de natură arbitrară, fiecare dintre acestea fiind numită element stabilit.

Exemple de seturi: o mulțime de studenți într-o prelegere; setul de puncte dintr-un plan care se află în interiorul unui cerc de rază r; set de puncte pe axa reală, distanța de la care până la punct b cu abscisă A mai puțin decât d; set de numere naturale.

Seturile sunt desemnate în moduri diferite. O multime de M numerele naturale de la 1 la 100 pot fi scrise ca

Setul de puncte de pe axa numerelor, distanța de la care până la punct b cu abscisă A mai puțin decât d, poate fi scris ca

Unde X- abscisa punctului.

Ansamblul punctelor plane situate în interiorul sau la limita unui cerc de rază r centrat la origine,

Unde X, y sunt coordonatele carteziene ale punctului.

O altă intrare a acestui set

unde este una dintre coordonatele polare ale punctului.

După numărul de elemente, seturile sunt împărțite în finalși fără sfârşit. Setul este finit și este format din 100 de elemente. Dar un set poate fi format dintr-un singur element și chiar să nu conțină niciun element.

Mulțimea tuturor numerelor naturale este infinită, la fel cum mulțimea numerelor pare este infinită.

O mulțime infinită este numită numărabilă dacă toate elementele sale pot fi aranjate într-o anumită succesiune și numerotate (ambele mulțimi și , sunt numărabile).

seturi Sși C sunt infinite și nenumărate (elementele lor nu pot fi numerotate).

Doua seturi Ași B Meci, dacă sunt formate din aceleași elemente: și . Coincidența mulțimilor se notează printr-un semn egal: A=B. Notația înseamnă că obiectul A este un element al ansamblului DAR sau " A aparține DAR". O altă intrare înseamnă că " A Nu apartine DAR".

Se numește o mulțime care nu conține niciun element golși este notat cu simbolul .

O multime de LA se numește submulțime (parte) a mulțimii DAR dacă toate elementele LA sunt de asemenea cuprinse în DAR, și este notat ca sau . De exemplu, .

O submulțime poate fi egală cu setul în sine. Grafic, puteți descrie relația dintre o mulțime și un subset, așa cum se arată în Fig. 2.1, unde fiecare punct al figurii LA aparține figurii DAR, adică .

Unirea (suma) multimilor DARși LA se numeste multimea formata din toate elementele DARși toate elementele LA. Astfel, o uniune este o colecție de elemente care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile combinate.

De exemplu: .

Interpretarea geometrică a uniunii a două mulțimi DARși LA prezentată în fig. 2.2.

Unirea (suma) mai multor mulțimi este definită în mod similar

unde multimea rezultata este multimea tuturor elementelor incluse in cel putin una dintre multimi: .

Intersecția (produsul) mulțimilor DARși LA se numeste multime D, format din elemente incluse simultan și în DAR, si in :

.

Interpretarea geometrică a intersecției este prezentată în fig. 2.3.

Intersecția mai multor mulțimi este definită în mod similar

ca un set format din elemente incluse simultan în toate seturile.

Operațiile de unire (adunare) și intersecție (înmulțire) a mulțimilor au un număr de proprietăți care sunt similare cu proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor:

1. Proprietatea deplasării:

2. Proprietate asociativă:

3. Proprietatea de distribuție:

Adăugarea setului gol și înmulțirea cu setul gol sunt similare cu operațiile corespunzătoare asupra numerelor, dacă considerați zero ca mulțime goală:

Unele operații pe seturi nu au analogi în operațiunile obișnuite pe numere, în special

Axiomele teoriei probabilităților și consecințele acestora.

Reguli de adunare a probabilității

Folosind informații elementare despre teoria mulțimilor, se poate oferi o schemă teoretică a mulțimilor pentru construirea teoriei probabilităților și a axiomaticii acesteia.

Într-un experiment cu un rezultat aleatoriu, există un set de toate rezultatele posibile ale experimentului. Fiecare element al acestui set este numit eveniment elementar, setul în sine este spațiu de eveniment elementar. Orice eveniment DARîn interpretarea teoretică a mulţimii există o oarecare submulţime a mulţimii : . Dacă, la rândul său, setul DAR se împarte în mai multe submulțimi care nu se intersectează ( la ), apoi evenimentele se numesc „variante” ale evenimentului DAR. Pe fig. 2.4 eveniment DAR se împarte în trei variante: .

De exemplu, atunci când aruncați un zar, spațiul evenimentelor elementare . Dacă eveniment , atunci opțiuni de eveniment DAR: ,

Se poate lua în considerare și un subset al setului în sine - în acest caz va fi de încredere eveniment. Întregul spațiu al evenimentelor elementare se adaugă un set gol; acest set este considerat și ca un eveniment, dar imposibil.

Interpretarea teoretică a mulțimilor a proprietăților considerate anterior ale evenimentelor este următoarea:

1. Formă evenimente multiple grup complet, dacă , adică suma lor (combinația) este un eveniment de încredere.

2. Două evenimente DARși LA numit incompatibil, dacă mulțimile corespunzătoare acestora nu se intersectează, adică . Sunt numite mai multe evenimente perechi incompatibil, dacă apariția vreunuia dintre ele exclude apariția fiecăruia dintre celelalte: la .

3. Suma a două evenimente DARși LA numit un eveniment Cu, constând în executarea evenimentului DAR sau evenimente LA, sau ambele evenimente împreună. Suma mai multor evenimente este un eveniment constând în executarea a cel puțin unuia dintre ele.

4. Produsul a două evenimente DARși LA numit un eveniment D, constând în executarea în comun a evenimentului DAR si evenimente LA. Un produs al mai multor evenimente este un eveniment constând în executarea în comun a tuturor acestor evenimente.

5. Opusîn raport cu evenimentul DAR se numeşte eveniment constând în neapariţie DARși evenimentul complementar corespunzător DAR la (vezi fig. 2.5).

Pe baza interpretării de mai sus a evenimentelor ca mulțimi, se formulează axiomele teoriei probabilităților.

Fiecare eveniment DAR i se atribuie un anumit număr, numit probabilitatea evenimentului. Deoarece orice eveniment este o mulțime, probabilitatea unui eveniment este setare funcție.

Aceste probabilități de evenimente trebuie să satisfacă următoarele axiome:

1. Probabilitatea oricărui eveniment este între zero și unu:

2. Dacă DARși LA sunt evenimente incompatibile, adică atunci

Această axiomă poate fi generalizată cu ușurință folosind proprietatea asociativă de adăugare la orice număr de evenimente. Dacă la , atunci

adică, probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Această axiomă se numește adaos "teorema"(pentru schema cauzelor se poate dovedi), sau regula adunării probabilităților.

3. Dacă este disponibil set numărabil evenimente incompatibile ( la ), apoi

Această axiomă nu este derivată din axioma anterioară și, prin urmare, este formulată ca una separată.

Pentru o schemă de cazuri (scheme de urne), adică pentru evenimente care au proprietățile de completitudine, incompatibilitate și echipotențialitate, se poate deriva formula clasică (1.1) pentru calcularea directă a probabilităților din regula de adunare (2.1).

Lăsați rezultatele experimentului să fie prezentate sub formă n cazuri incompatibile. Șansa favorizează evenimentul DAR dacă reprezintă un submult DAR(), sau, cu alte cuvinte, aceasta este o variantă a evenimentului DAR. Din moment ce formează un grup complet, atunci

Dar toate cazurile sunt incompatibile și li se aplică regula adunării probabilităților

În plus, deoarece toate evenimentele sunt la fel de posibile, atunci

Cazurile favorabile unui eveniment formează variantele acestuia și, deoarece probabilitatea fiecăruia dintre ele este , atunci prin regula adunării obținem

Dar aceasta este formula clasică (1.1).

Consecințele regulii adunării probabilităților

1. Suma probabilităților unui grup complet de evenimente incompatibile este egală cu unu, adică dacă

Dovada. Întrucât evenimentele sunt incompatibile, li se aplică regula adunării

2. Suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu:

ca evenimentele DARși formează un grup complet.

Regula este utilizată pe scară largă în problemele în care este mai ușor de calculat probabilitatea evenimentului opus.

3. Dacă evenimentele DARși LA sunt compatibile, adică atunci

Dovada. Reprezentați ca suma opțiunilor incompatibile (nesuprapuse) (vezi Fig. 2.6)

După regula adunării

unde ajungem

După substituirea expresiilor obținute în (2.3), avem

Q.E.D.

Formula (2.3) poate fi derivată și pentru mai mult de două evenimente comune.

Fie spațiul evenimentelor elementare, fie algebra evenimentelor (algebra submulților ale mulțimii). Următoarele cinci axiome stau la baza teoriei probabilității.

1. Algebra evenimentelor este - algebra evenimentelor.

Sistemul de evenimente se numește - algebră, dacă pentru orice succesiune de evenimente aparțin și unirea, intersecția și adunările lor, i.e. , sunt de asemenea evenimente. Astfel, - algebra este un sistem de evenimente închise sub operațiile de complement, unire numărabilă și intersecție numărabilă.

2. Pe - algebra evenimentelor, pentru oricare, este definită o funcție, numită probabilitate și luare valori numerice din interval : .

Această axiomă este axioma existenței probabilității - în funcție de on cu valorile din interval. Următoarele trei axiome definesc proprietățile unei funcții.

3. Pentru oricare două evenimente astfel încât

Axioma adunării probabilităților.

De aici rezultă că pentru un număr finit de evenimente incompatibile

4. Fie, - evenimente incompatibile în perechi: și fie. Apoi

Relația (15.3) se numește axioma aditivității numărabile a probabilității sau axioma continuității probabilității. Al doilea este legat de următoarea interpretare a egalității (15.3). Evenimentul trebuie înțeles ca limită a secvenței

În acest caz, egalitatea (15.3) poate fi înțeleasă ca o proprietate a continuității funcției: sau

Ceea ce permite scoaterea operației limită din funcție. Acest lucru se datorează faptului că condiția (15.5) implică (15.3):

A cincea axiomă indică faptul că spațiul evenimentelor elementare este un anumit eveniment. Astfel, conține toate evenimentele care pot fi luate în considerare în această problemă.

Spațiul evenimentelor elementare, - algebra evenimentelor și probabilitatea pe, satisfăcând axiomele 1-5, formează așa-numitul spațiu de probabilitate, care este de obicei notat.

Rețineți că sistemul de axiome 1-5 nu este contradictoriu, deoarece există care satisfac aceste axiome și nu este complet, deoarece probabilitatea poate fi definită în multe feluri în cadrul axiomelor 2-5. Conceptul de spațiu de probabilitate (sau un sistem de axiome 1-5) conține doar cel mai mult Cerințe generale prezentat la model matematic fenomen aleatoriu și nu determină în mod unic probabilitatea. Aceasta din urmă este posibilă numai dacă conditii suplimentare date în formularea problemei luate în considerare.

Spațiu de probabilitate discret

Un spațiu de probabilitate se numește discret dacă este finit sau numărabil, - - algebra tuturor submulților (inclusiv), probabilitatea este definită pentru fiecare submulțime de un punct din spațiul evenimentelor elementare:

Pentru orice eveniment, probabilitatea acestuia este determinată de egalitate

Exemple - algebre

17.1. Fie un spațiu arbitrar de evenimente elementare pe care nu sunt specificate evenimente. Pentru a construi o algebră, conform definiției (articolul 15), este necesar să se ia în considerare toate adunările, uniunile și intersecțiile stabiliți evenimenteși includeți-le în - algebră. Pentru că în acest caz există un singur eveniment, se poate construi doar complementul acestuia. Acum există un sistem de două evenimente ( ). Aplicarea în continuare a operațiunilor de adăugare, unire, intersecție nu dă evenimente noi. Astfel, în acest exemplu- algebră.

17.2. Fie spațiul evenimentelor elementare și fie un eveniment care nu coincide cu, i.e. . Astfel, există un sistem de două evenimente. Acest sistem poate fi extins pentru a include evenimente noi care sunt obținute ca urmare a operațiunilor de adunare, unire, intersecție pe evenimente. Este logic să se continue procedura de extindere a sistemului de evenimente în mod recurent până când se oprește apariția unor evenimente noi. Sistemul limitator de evenimente se numește algebră generată de sistemul de evenimente.

Luați în considerare operațiunea de adăugare a evenimentelor de sistem. Rezultatul său sunt evenimente noi care nu sunt cuprinse în sistem original, a cărui includere dă sistem nou evenimente

În mod evident, operațiile ulterioare de adunare, unire, intersecție nu dau evenimente noi care nu sunt cuprinse în (17.1). Astfel, sistemul de evenimente (17.1) este o algebră generată de sistem.

17.3. Să complicăm exemplul. Fie spațiul evenimentelor elementare, fie două evenimente incompatibile, astfel încât. Astfel, există un sistem de trei evenimente. Operațiunea sindicală asupra evenimentelor acestui sistem are ca rezultat apariția unui nou eveniment. Sistemul rezultat de patru evenimente este extins la opt prin includerea adăugărilor acestora. Este ușor de observat că aplicarea operațiilor de adunare, unire, intersecție la aceste opt evenimente nu generează evenimente noi. Deci sistemul de opt evenimente

este o algebră generată de un sistem de evenimente.

17.4. Luați în considerare - spațiul evenimentelor elementare și a două evenimente arbitrare, fig. 17.1. Pentru a construi o algebră generată de un anumit sistem de evenimente, în multe cazuri este convenabil să se aplice următoarea metodă.

Evidențiem toate evenimentele incompatibile, Fig. 17.1. În același timp, etc. - algebra va conține toate evenimentele, toate uniunile de evenimente și, de asemenea eveniment imposibil. Într-adevăr, operația de intersecție a oricăror evenimente din mulțime generează un singur eveniment. Operația de adăugare a evenimentelor din set generează un eveniment, care se exprimă prin unirea evenimentelor. În consecință, este suficient să luăm în considerare doar operația de unire asupra evenimentelor, în loc de trei operații - adunare, intersecție, unire pentru sistemul original de evenimente.

Acum, pentru a construi - algebră, luați în considerare evenimentele, toate combinațiile lor și exprimați evenimentele rezultate prin cele originale. Evident: , . Uniunile în perechi dau următoarele evenimente: , ; , ; . Uniuni triple: , .

Astfel, - algebra contine evenimentele: , ; , ; , precum și și - un total de 16 evenimente.

Rețineți că atunci când definiți - algebră, sistemul generator de evenimente, de regulă, este compus din evenimente observate în experiment.

Observăm că evenimentele coincid cu evenimentele (8.1), care au fost luate în considerare la derivarea formulei de adunare pentru frecvențe. Într-adevăr, și în sfârșit, prin formula (6.1) .

17.5. Luați în considerare o generalizare a Exemplului 4. Fie că sistemul original de evenimente - conține evenimente arbitrare. Pentru a construi o algebră, ca exemplul 4, introducem evenimente de forma

unde fiecare sau, și și. Deoarece fiecare poate lua două valori 0 sau 1, numărul tuturor evenimentelor din formă este egal. Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente incompatibile. Astfel, evenimentele de pe - algebră joacă rolul unei baze ortogonale, ceea ce face posibilă reprezentarea eveniment arbitrar prin evenimente incompatibile (ortogonale în sensul operaţiei de intersecţie). În teoria mulțimilor, mulțimile de un fel sunt numite constituenți. Aparatul constitutiv ne permite să arătăm că în acest exemplu numărul tuturor evenimentelor - algebra nu depășește (inclusiv și), iar numărul de evenimente ajunge valoare maximă când toate sunt diferite de (ca în exemplul 4). Acest rezultat face posibilă aprecierea ratei mari de creștere a numărului de evenimente în - algebră în funcție de - numărul de evenimente din sistemul original. De exemplu 4, numărul, prin urmare, numărul de evenimente din - algebră este egal.