Comparați mărimile și cantitățile atunci când rezolvați sarcini practice avut din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că împotriva unghi mai mare cea mai lungă latură este în triunghi. Arhimede, în timp ce calcula circumferința unui cerc, a descoperit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci și unu din diametru.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și cantități folosind semnele > și b. Intrări în care două numere sunt conectate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în note mai mici. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau nu. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) este corectă inegalitatea numerică, 0,23 > 0,235 - inegalitate numerică incorectă.

Inegalitățile care includ necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți seta sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai puțin frecvent decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice sunt reduse la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități sunt singurele mijloace auxiliare, care vă permite să dovediți sau să infirmați existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Poți compara numere întregi? zecimale. Cunoașteți regulile de comparație fracții obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători, dar numitori diferiti. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Comparația numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiție. Numărul a mai mult număr b dacă diferența a-b pozitiv. Numărul a mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității, atunci semnul inegalității nu se schimbă.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru un număr negativ, atunci semnul inegalității va fi inversat.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știi că egalități numerice Puteți adăuga și înmulți termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și de a multiplica inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni vă ajută să rezolvați problemele de evaluare și comparare a valorilor expresiei.

La hotărâre diverse sarcini de multe ori trebuie să adăugați sau să înmulțiți termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale inegalităților. Se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua zi, atunci se poate argumenta că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci se poate argumenta că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Luând în considerare aceste exemple, următoarele teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. Când adunăm inegalități de același semn, obținem o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La inmultirea inegalitatilor de acelasi semn, pentru care laturile stanga si dreapta sunt pozitive, se obtine o inegalitate de acelasi semn: daca a > b, c > d si a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semne > (mai mari decât) și 1/2, 3/4 b, c Împreună cu semnele inegalități stricte> și În mod similar, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare sau egal cu b, adică a nu este mai mic decât b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că să rezolvi seria sarcini aplicate trebuie sa faci un model matematic sub forma unei ecuatii sau a unui sistem de ecuatii. În continuare, vei afla că modele matematice pentru a rezolva multe probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă număr dat rezolvarea unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax unde a și b sunt date numere și x este necunoscut, este numit inegalități liniare cu unul necunoscut.

Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului pentru care această inegalitate se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a stabili că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se tinde să le reducă cu ajutorul proprietăților la forma celor mai simple inegalități.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere și \(a \neq 0 \) sunt numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea inegalității
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c \) pot fi considerate ca găsirea de goluri în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) este pozitivă sau valori negative Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos , dacă parabola intersectează axa x și dacă se intersectează, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axa x și trasați schematic o parabolă prin punctele marcate, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus la a > 0 sau în jos la a 0 sau în jos la a 3) găsiți goluri pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0 \)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitatea
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul funcției în intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5). ) \) și \( (5; +\infty) \)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele considerate este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerourile funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero, semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalelor.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) Evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Aplica pentru axa numerica zerouri ale funcției și calculați semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Multe dintre toate numere reale poate fi reprezentat ca unirea a trei mulțimi: o mulțime de numere pozitive, o mulțime de numere negative și o mulțime formată dintr-un număr - numărul zero. Pentru a indica că numărul A pozitiv, bucurați-vă de record a > 0, pentru a indica un număr negativ, utilizați o altă înregistrare A< 0 .

Suma și produsul numerelor pozitive sunt, de asemenea, numere pozitive. Dacă numărul A negativ, apoi numărul -A pozitiv (și invers). Pentru orice număr pozitiv a, există un pozitiv Numar rational r, ce r< а . Aceste fapte stau la baza teoriei inegalităților.

Prin definiție, inegalitatea a > b (sau echivalent, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, adică dacă numărul a - b este pozitiv.

Luați în considerare, în special, inegalitatea A< 0 . Ce înseamnă această inegalitate? Conform definiției de mai sus, înseamnă că 0 - a > 0, adică -a > 0 sau altfel ce numar -A pozitiv. Dar acesta este cazul dacă și numai dacă numărul A negativ. Deci inegalitatea A< 0 înseamnă că numărul dar negativ.

Deseori folosită este și notația ab(sau, care este același, ba).
Înregistrare ab, prin definiție, înseamnă că fie a > b, sau a = b. Dacă luăm în considerare intrarea ab ca propoziție nedefinită, apoi în notație logica matematica poate fi scris

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Exemplul 1 Sunt corecte inegalitățile 5 0, 0 0?

Inegalitatea 5 0 este enunţ compus format din doi simple spuse legate printr-un conjunctiv logic „sau” (disjuncție). Fie 5 > 0, fie 5 = 0. Prima afirmație 5 > 0 este adevărată, a doua afirmație 5 = 0 este falsă. După definiția disjuncției, o astfel de afirmație compusă este adevărată.

Înregistrarea 00 este discutată în mod similar.

Inegalitățile de formă a > b, a< b vor fi numite stricte, iar inegalitățile de formă ab, ab- non-strict.

inegalităților a > bși c > d(sau A< b și cu< d ) se vor numi inegalități de același sens, și inegalități a > bși c< d - inegalităţi de sens opus. Rețineți că acești doi termeni (inegalități de același sens și de sens opus) se referă doar la forma de scriere a inegalităților, și nu la faptele în sine exprimate prin aceste inegalități. Deci, în raport cu inegalitatea A< b inegalitate cu< d este o inegalitate de același sens, și în scris d > c(însemnând același lucru) - o inegalitate de sens opus.

Alături de inegalităţile de formă a > b, ab sunt folosite așa-numitele inegalități duble, adică inegalități de formă A< с < b , as< b , A< cb ,
Acb. Prin definiție, intrarea

A< с < b (1)
înseamnă că ambele inegalități sunt valabile:

A< с și cu< b.

Inegalitățile au un sens similar acb, ac< b, а < сb.

Inegalitatea dublă (1) poate fi scrisă după cum urmează:

(A< c < b) [(a < c) & (c < b)]

și dubla inegalitate a ≤ c ≤ b poate fi scrisă sub următoarea formă:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Să trecem acum la prezentarea principalelor proprietăți și reguli ale acțiunilor privind inegalitățile, fiind de acord că în acest articol literele a, b, c reprezintă numere reale și nînseamnă un număr natural.

1) Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitate).

Dovada.

Întrucât după condiție a > bși b > c, apoi numerele a - bși b - c sunt pozitive și, prin urmare, numărul a - c \u003d (a - b) + (b - c), ca suma numerelor pozitive, este de asemenea pozitivă. Aceasta înseamnă, prin definiție, că a > c.

2) Dacă a > b, atunci pentru orice c inegalitatea a + c > b + c este valabilă.

Dovada.

La fel de a > b, apoi numărul a - b pozitiv. Prin urmare, numărul (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b este de asemenea pozitivă, adică
a + c > b + c.

3) Dacă a + b > c, atunci a > b - c, adică, orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Dovada rezultă din proprietatea 2) este suficientă pentru ambele părți ale inegalității a + b > c adăugați un număr -b.

4) Dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d, adică, prin adăugarea a două inegalități cu același sens, rezultă o inegalitate cu același sens.

Dovada.

Prin definiția inegalității, este suficient să arătăm că diferența
(a + c) - (b + c) pozitiv. Această diferență poate fi scrisă după cum urmează:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Deoarece prin condiţia numărului a - bși c - d sunt pozitive, atunci (a + c) - (b + d) este, de asemenea, un număr pozitiv.

Consecinţă. Regulile 2) și 4) implică următoarea regulă scăderea inegalităţilor: dacă a > b, c > d, apoi a - d > b - c(pentru demonstrație este suficient pentru ambele părți ale inegalității a + c > b + d adăugați un număr - c - d).

5) Dacă a > b, atunci pentru c > 0 avem ac > bc, iar pentru c< 0 имеем ас < bc.

Cu alte cuvinte, atunci când ambele părți ale inegalității sunt înmulțite, nici un număr pozitiv nu este, semnul inegalității este păstrat (adică se obține o inegalitate de același sens), iar atunci când este înmulțit cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă în opusul (adică se obține o inegalitate de sens opus.

Dovada.

În cazul în care un a > b, apoi a - b este un număr pozitiv. Prin urmare, semnul diferenței ac-bc = taxi) se potrivește cu semnul numărului cu: dacă cu este un număr pozitiv, apoi diferența ac - bc pozitivă și deci ac > bc, si daca cu< 0 , atunci această diferență este negativă și, prin urmare bc - ac pozitiv, adică bc > ac.

6) Dacă a > b > 0 și c > d > 0, atunci ac > bd, adică, dacă toți termenii a două inegalități cu același sens sunt pozitivi, atunci înmulțirea termen cu termen a acestor inegalități are ca rezultat o inegalitate cu același sens.

Dovada.

Noi avem ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). La fel de c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, apoi ac - bd > 0, adică ac > bd.

Cometariu. Din dovada rezultă clar că condiția d > 0în formularea proprietății 6) este lipsită de importanță: pentru ca această proprietate să fie adevărată, este suficient ca condițiile a > b > 0, c > d, c > 0. Dacă (dacă inegalitățile a > b, c > d) numere a, b, c nu sunt toate pozitive, atunci inegalitatea ac > bd nu poate fi efectuată. De exemplu, când A = 2, b =1, c= -2, d= -3 avem a > b, c > d, dar inegalitatea ac > bd(adică -4 > -3) a eșuat. Astfel, cerința ca numerele a, b, c să fie pozitive în enunțul proprietății 6) este esențială.

7) Dacă a ≥ b > 0 și c > d > 0, atunci (împărțirea inegalităților).

Dovada.

Noi avem Numătorul fracției din partea dreaptă este pozitiv (vezi proprietățile 5), 6)), numitorul este și el pozitiv. Prin urmare,. Aceasta demonstrează proprietatea 7).

Cometariu. Remarcăm un important caz special regula 7) obţinută când a = b = 1: dacă c > d > 0, atunci. Astfel, dacă termenii inegalității sunt pozitivi, atunci când se trece la reciproce obţinem o inegalitate de sens opus. Invităm cititorii să verifice că această regulă este păstrată și în 7) Dacă ab > 0 și c > d > 0, atunci (diviziunea inegalităților).

Dovada. apoi.

Am demonstrat mai sus câteva proprietăți ale inegalităților scrise cu semnul > (Mai mult). Cu toate acestea, toate aceste proprietăți ar putea fi formulate folosind semnul < (mai puțin), din moment ce inegalitatea b< а înseamnă, prin definiție, același lucru cu inegalitatea a > b. Mai mult decât atât, deoarece este ușor de verificat, proprietățile dovedite mai sus sunt păstrate și pentru inegalitățile nestrictive. De exemplu, proprietatea 1) pentru inegalitățile nestricte va avea următoarea vedere: dacă ab și bc, apoi as.

Desigur, proprietățile generale ale inegalităților nu se limitează la ceea ce s-a spus mai sus. Incă mai este întreaga linie inegalităților vedere generala asociate cu luarea în considerare a puterii, exponențiale, logaritmice și funcții trigonometrice. Abordarea generală pentru scrierea acestor tipuri de inegalități este următoarea. Dacă unele funcţionează y = f(x) creste monoton pe segment [a,b], atunci pentru x 1 > x 2 (unde x 1 și x 2 aparțin acestui segment) avem f (x 1) > f(x 2). În mod similar, dacă funcția y = f(x) scade monoton pe segment [a,b], apoi la x 1 > x 2 (unde x 1și X 2 aparțin acestui segment) avem f(x1)< f(x 2 ). Desigur, ceea ce s-a spus nu diferă de definiția monotonității, dar această tehnică este foarte convenabilă pentru memorarea și scrierea inegalităților.

Deci, de exemplu, pentru orice n naturală funcția y = x n este monoton în creștere pe rază {0} {0} }