Richtiger Bruchteil

Viertel

1. Ordentlichkeit. a und b Es gibt eine Regel, die es Ihnen ermöglicht, zwischen ihnen eine und nur eine der drei Beziehungen eindeutig zu identifizieren: „< », « >' oder '='. Diese Regel heißt Ordnungsregel und ist wie folgt formuliert: zwei nicht negative Zahlen und stehen in der gleichen Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen a und b stehen in der gleichen Beziehung wie zwei nicht negative Zahlen und ; wenn plötzlich a nicht negativ und b- also negativ a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Summierung von Brüchen

2. Additionsoperation. Für alle Rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Summationsregel c. Allerdings die Nummer selbst c namens Summe Zahlen a und b und ist mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat nächste Ansicht: .
3. Multiplikationsoperation. Für beliebige rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Multiplikationsregel, was sie in Übereinstimmung mit einer rationalen Zahl bringt c. Allerdings die Nummer selbst c namens Arbeit Zahlen a und b und wird mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel lautet wie folgt: .
4. Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen a , b und c Wenn a kleiner b und b kleiner c, dann a kleiner c, und wenn a gleich b und b gleich c, dann a gleich c. 6435">Kommutativität der Addition. Die Summe ändert sich nicht, wenn die Stellen der rationalen Terme ausgetauscht werden.
5. Assoziativität der Addition. Befehl drei hinzufügen rationale Zahlen beeinflussen das Ergebnis nicht.
6. Das Vorhandensein von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die alle anderen rationalen Zahlen erhält, wenn sie summiert werden.
7. Das Vorhandensein von Gegenzahlen. Jede rationale Zahl hat eine entgegengesetzte rationale Zahl, die summiert 0 ergibt.
8. Kommutativität der Multiplikation. Indem die Plätze der rationalen Faktoren geändert werden, ändert sich das Produkt nicht.
9. Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
10. Das Vorhandensein einer Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
11. Das Vorhandensein von Gegensätzen. Jede rationale Zahl hat eine umgekehrte rationale Zahl, die multipliziert 1 ergibt.
12. Distributivität der Multiplikation in Bezug auf die Addition. Die Multiplikationsoperation ist konsistent mit der Additionsoperation durch das Verteilungsgesetz:
13. Zusammenhang der Ordnungsbeziehung mit der Additionsoperation. nach links u richtige Teile rationale Ungleichheit Sie können dieselbe rationale Zahl hinzufügen. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom von Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist a, können Sie so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe überschritten wird a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften, die rationalen Zahlen innewohnen, werden nicht als grundlegende Eigenschaften herausgegriffen, weil sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen grundlegenden Eigenschaften oder direkt durch die Definition von bewiesen werden können etwas mathematisches Objekt. Solch zusätzliche Eigenschaften sehr viel. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon zu nennen.

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Zählbarkeit einstellen

Numerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl der rationalen Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge finden. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu genügt es, einen Algorithmus anzugeben, der die rationalen Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen von rationalen und aufstellt natürliche Zahlen.

Der einfachste dieser Algorithmen ist wie folgt. Für jeden wird eine unendliche Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem j te Spalte davon ist ein Bruch. Zur Eindeutigkeit wird angenommen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle von eins an nummeriert sind. Tabellenzellen sind mit , wo bezeichnet ich- die Zeilennummer der Tabelle, in der sich die Zelle befindet, und j- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird von einer "Schlange" gemäß dem folgenden formalen Algorithmus verwaltet.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird durch die erste Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Bypass wird jede neue rationale Zahl der nächsten natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, den Brüchen 1/1 wird die Nummer 1 zugewiesen, den Brüchen 2/1 die Nummer 2 usw. Es sollte nur darauf hingewiesen werden irreduzible Brüche. Das formale Zeichen der Irreduzibilität ist die Einheit des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner des Bruchs.

Nach diesem Algorithmus kann man alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuweist. Dass. auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch abzählbar durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch abzählbar als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen.

Die Aussage über die Zählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag etwas verwirren, da man auf den ersten Blick den Eindruck bekommt, dass sie viel größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall, und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks wird durch keine rationale Zahl ausgedrückt

Rationale Zahlen der Form 1 / n im Großen und Ganzen n es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache schafft irreführender Eindruck dass rationale Zahlen im Allgemeinen beliebige geometrische Abstände messen können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras ist bekannt, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Dass. Länge der gleichschenkligen Hypotenuse rechtwinkliges Dreieck mit einem Bein ist gleich, d. h. eine Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir annehmen, dass die Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt wird, dann gibt es eine solche ganze Zahl m und so eine natürliche Zahl n, wobei außerdem der Bruch irreduzibel ist, also die Zahlen m und n sind teilerfremd.

Wenn, dann , d.h. m 2 = 2n 2. Daher die Nummer m 2 ist gerade, aber das Produkt von zwei ungerade Zahlen ungerade, was bedeutet, dass die Zahl selbst m auch klar. Es gibt also eine natürliche Zahl k, so dass die Zahl m darstellen kann als m = 2k. Zahlenquadrat m In diesem Sinne m 2 = 4k 2 aber andererseits m 2 = 2n 2 bedeutet 4 k 2 = 2n 2, bzw n 2 = 2k 2. Wie zuvor für die Nummer gezeigt m, was bedeutet, dass die Zahl n- genau wie m. Aber dann sind sie nicht teilerfremd, da beide durch zwei teilbar sind. Der resultierende Widerspruch beweist, dass dies keine rationale Zahl ist.

Beim Wort „Fraktionen“ laufen viele Gänsehaut auf. Denn ich erinnere mich an die Schule und die Aufgaben, die in Mathematik gelöst wurden. Das war eine Pflicht, die erfüllt werden musste. Aber was ist, wenn wir Aufgaben behandeln, die das richtige und enthalten unechte Brüche wie puzzeln? Schließlich lösen viele Erwachsene digitale und japanische Kreuzworträtsel. Verstehen Sie die Regeln und das war's. Hier gilt das gleiche. Man muss sich nur in die Theorie vertiefen – und alles wird sich ergeben. Und Beispiele werden zu einer Möglichkeit, das Gehirn zu trainieren.

Welche Brucharten gibt es?

Beginnen wir mit dem, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Bruchteil von eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Die erste heißt gewöhnlich. Das heißt, einer, der einen horizontalen oder schrägen Strich hat. Es entspricht dem Divisionszeichen.

In einer solchen Notation wird die Zahl über dem Bindestrich als Zähler und darunter als Nenner bezeichnet.

Bei gewöhnlichen Brüchen werden richtige und falsche Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Modulo-Zähler immer kleiner als der Nenner. Die Falschen werden so genannt, weil sie das Gegenteil haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer Weniger als eins. Während die falsche immer größer als diese Zahl ist.

Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen Bruchteil haben.

Die zweite Art von Aufzeichnungen ist Dezimal. Über ihr separates Gespräch.

Was ist der Unterschied zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen?

Im Grunde nichts. Es ist nur eine andere Schreibweise derselben Zahl. Unechte Brüche werden nach einfachen Operationen leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt.

Alles hängt von ... ab spezifische Situation. Manchmal ist es bei Aufgaben bequemer, einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, es zu übersetzen gemischte Zahl und dann wird das Beispiel sehr einfach gelöst. Was zu verwenden ist: unechte Brüche, gemischte Zahlen - hängt von der Beobachtung des Problemlösers ab.

Die gemischte Zahl wird auch mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem Bruchteil verglichen. Außerdem ist die Sekunde immer kleiner als Eins.

Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?

Wenn Sie eine Aktion mit mehreren eingeschriebenen Zahlen ausführen möchten verschiedene Typen, dann müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.

Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus befolgen:

• den Nenner mit dem ganzzahligen Teil multiplizieren;
• addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis;
• schreibe die Antwort über die Linie;
• den Nenner gleich lassen.

Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Wie schreibt man einen unechten Bruch als gemischte Zahl?

Die nächste Methode ist das Gegenteil der oben diskutierten. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:

• Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten;
• schreibe den Quotienten anstelle des ganzzahligen Teils des Gemischten;
• der Rest sollte über der Linie platziert werden;
• der Divisor ist der Nenner.

Beispiele für eine solche Transformation:

76/14; 76:14 = 5 mit einem Rest von 6; die Antwort ist 5 ganze Zahlen und 6/14; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, Sie erhalten 3/7; Die endgültige Antwort ist 5 ganze 3/7.

108/54; nach Division erhält man ohne Rest den Quotienten 2; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; Die Antwort ist eine Ganzzahl - 2.

Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?

Es gibt Situationen, in denen eine solche Aktion erforderlich ist. Um unechte Brüche mit einem vorgegebenen Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

• eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
• schreiben Sie diesen Wert über die Linie;
• Platziere einen Nenner darunter.

Die einfachste Option ist, wenn der Nenner gleich eins. Dann braucht man nicht zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach eine ganze Zahl zu schreiben, die im Beispiel angegeben ist, und eine Einheit unter den Strich zu setzen.

Beispiel: Mache aus 5 einen unechten Bruch mit einem Nenner von 3. Nachdem du 5 mit 3 multipliziert hast, erhältst du 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruchteil: 15/3.

Zwei Ansätze zur Lösung von Aufgaben mit unterschiedlichen Zahlen

Im Beispiel sollen Summe und Differenz sowie Produkt und Quotient zweier Zahlen berechnet werden: 2 Ganzzahlen 3/5 und 14/11.

Im ersten Ansatz die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.

Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.

Um die Summe zu finden, müssen Sie die Brüche in umwandeln gleichen Nenner. 13/5 multipliziert mit 11 ergibt 143/55. Und 14/11 nimmt nach Multiplikation mit 5 die Form an: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler addieren: 143 und 70, und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 - dieser unechte Bruch ist die Lösung des Problems.

Beim Finden der Differenz werden dieselben Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Die Antwort ist ein Bruch: 73/55.

Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, brauchen Sie nicht zu führen gemeinsamer Nenner. Multiplizieren Sie einfach die Zähler und Nenner paarweise. Die Antwort lautet: 182/55.

Ebenso bei der Teilung. Für richtige Entscheidung Sie müssen die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umdrehen: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Im zweiten Ansatz Aus einem unechten Bruch wird eine gemischte Zahl.

Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit ganzer Teil 1 und Bruchteil 3/11.

Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort ist 3 ganze 48/55. Im ersten Anflug gab es einen Bruch 213/55. Sie können die Korrektheit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nachdem Sie 213 durch 55 geteilt haben, ist der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu sehen, dass die Antwort richtig ist.

Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Um die Antwort aus dem vorherigen Ansatz zu überprüfen, müssen Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln: 73 wird durch 55 geteilt und Sie erhalten einen Quotienten von 1 und einen Rest von 18.

Um das Produkt und den Quotienten zu finden, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Hier empfiehlt es sich immer, auf unechte Brüche auszuweichen.

Fraktion in der Mathematik eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen (Brüchen) einer Einheit besteht. Brüche gehören zum Gebiet der rationalen Zahlen. Brüche werden je nach Schreibweise in 2 Formate unterteilt: gewöhnliche freundlich und Dezimal .

Der Zähler eines Bruchs- eine Zahl, die die Anzahl der genommenen Anteile angibt (befindet sich oben im Bruchteil - über der Linie). Bruch Nenner- eine Zahl, die angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist (befindet sich unter der Linie - im unteren Teil). wiederum sind unterteilt in: Korrekt und falsch, gemischt und zusammengesetzt eng mit Maßeinheiten verwandt. 1 Meter enthält 100 cm, was bedeutet, dass 1 m in 100 gleiche Teile geteilt wird. Somit ist 1 cm = 1/100 m (ein Zentimeter entspricht einem Hundertstel Meter).

oder 3/5 (drei Fünftel), hier ist 3 der Zähler, 5 der Nenner. Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, dann ist der Bruch kleiner als eins und wird aufgerufen Korrekt:

Wenn der Zähler gleich dem Nenner, der Bruch ist gleich eins. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, ist der Bruch größer als eins. Sowohl aktuelle Fälle der Bruch heißt falsch:

Um die größte ganze Zahl zu isolieren, die in einem unechten Bruch enthalten ist, musst du den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn die Division ohne Rest durchgeführt wird, ist der gebildete unechte Bruch gleich dem Quotienten:

Wird die Division mit Rest durchgeführt, so ergibt der (unvollständige) Quotient die gewünschte ganze Zahl, der Rest wird zum Zähler des Bruchteils; der Nenner des Bruchteils bleibt gleich.

Eine Zahl, die eine ganze Zahl und einen Bruchteil enthält, wird aufgerufen gemischt. Fraktion gemischte Zahl kann sein unechter Bruch. Dann ist es möglich, die größte ganze Zahl aus dem Bruchteil zu extrahieren und die gemischte Zahl so darzustellen, dass der Bruchteil ein echter Bruch wird (oder ganz verschwindet).

Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier machen wir uns mit dem Konzept eines Bruchteils eines Ganzen vertraut, was uns zur Definition eines gewöhnlichen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Notation für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, beispielsweise über den Zähler und den Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von richtig und falsch, positiv und negative Brüche, und berücksichtigen Sie auch die Position von Bruchzahlen an Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die Hauptaktionen mit Brüchen auf.

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Anteile am Ganzen

Zuerst stellen wir vor Share-Konzept.

Nehmen wir an, wir haben ein Objekt, das aus mehreren absolut identischen (d. h. gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich beispielsweise einen in mehrere Teile geschnittenen Apfel vorstellen gleiche Teile, oder eine Orange, bestehend aus mehreren gleichen Scheiben. Jeder dieser gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen, wird aufgerufen Anteil am Ganzen oder einfach Anteile.

Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Nehmen wir an, wir haben zwei Äpfel. Schneiden wir den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass der Anteil des ersten Apfels anders sein wird als der Anteil des zweiten Apfels.

Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen das gesamte Objekt besteht, haben diese Anteile eigene Namen. Lassen Sie uns analysieren Namen teilen. Wenn das Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen ein zweiter Teil des ganzen Objekts genannt; wenn das Objekt aus drei Teilen besteht, dann wird jeder von ihnen ein dritter Teil genannt und so weiter.

Ein Sekundenschlag hat einen besonderen Namen - halb. Ein Drittel wird aufgerufen Dritter, und ein Vierfach - Quartal.

Der Kürze halber folgendes Bezeichnungen teilen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil - als oder 1/3; ein Viertel Anteil - wie oder 1/4, und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um das Material zu konsolidieren, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet einhundertsiebenundsechzigstel des Ganzen.

Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Objekten auf Größen. Eines der Längenmaße ist zum Beispiel der Meter. Um Längen unter einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie zum Beispiel einen halben Meter oder ein Zehntel oder Tausendstel eines Meters verwenden. Anteile anderer Mengen werden analog aufgebracht.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche

Zur Beschreibung werden die Anzahl der Aktien verwendet gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.

Lass eine Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie entspricht in diesem Fall einem Zwölftel einer ganzen Orange, also . Lassen Sie uns zwei Schläge als bezeichnen, drei Schläge als und so weiter, 12 Schläge als . Jeder dieser Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.

Jetzt geben wir einen General Definition gemeinsamer Brüche.

Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, zu bringen Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Und hier sind die Aufzeichnungen passen nicht zur stimmhaften Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Der Einfachheit halber unterscheiden wir in gewöhnlichen Brüchen Zähler und Nenner.

Definition.

Zähler gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl m.

Definition.

Nenner gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl n.

Der Zähler befindet sich also über dem Bruchstrich (links vom Schrägstrich) und der Nenner unter dem Bruchstrich (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.

Es bleibt zu diskutieren, welche Bedeutung Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs haben. Der Nenner des Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Zum Beispiel bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Element aus fünf Teilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Teile genommen werden.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, also etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Elemente genommen werden. Auf diese Weise, gemeinsamer Bruchteil der Form m/1 hat die Bedeutung einer natürlichen Zahl m . So haben wir die Gleichheit m/1=m begründet.

Schreiben wir die letzte Gleichheit wie folgt um: m=m/1 . Diese Gleichheit erlaubt es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103498 der Bruch 103498/1.

So, jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Nachdem der Gegenstand in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Artikel, die jeweils in n Anteile aufgeteilt sind, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen, wobei jeder Person ein Anteil von jedem der m Objekte gegeben wird. In diesem Fall hat jede Person m Anteile 1/n, und m Anteile 1/n ergeben einen gewöhnlichen Bruch m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.

Wir haben also einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Diese Beziehung wird wie folgt ausgedrückt: Der Balken eines Bruches kann als Teilungszeichen verstanden werden, also m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die keine Division durch eine ganze Zahl durchgeführt wird. Zum Beispiel kann das Ergebnis der Teilung von 5 Äpfeln durch 8 Personen als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8=5/8.

Gleiche und ungleiche gewöhnliche Brüche, Vergleich von Brüchen

Genügend natürliche Aktion ist ein Vergleich gemeinsamer Brüche, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange anders ist als 5/12 und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie das andere 1/6 dieses Apfels.

Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten ungleiche gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

gleich, wenn die Gleichheit a d=b c wahr ist.

Definition.

Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, falls die Gleichheit a d=b c nicht erfüllt ist.

Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gewöhnliche Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1 4=2 2 (siehe ggf. Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Zur Verdeutlichung können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, der erste ist in zwei Hälften geschnitten und der zweite in 4 Anteile. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels 1/2 einer Aktie sind. Andere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Bruchpaar 81/50 und 1620/1000.

Und die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4 14=56 und 13 5=65, also 4 14≠13 5. Ein weiteres Beispiel für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.

Wenn sich beim Vergleich zweier gewöhnlicher Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gewöhnlichen Brüche kleiner eine andere, und welche mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Genaue Information zu diesem Thema ist im Artikel Vergleich von Brüchen gesammelt: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Bruchzahlen

Jeder Bruchteil ist ein Rekord Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, seiner Aussehen, und alles semantische Belastung ist in einer Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Einfachheit halber werden jedoch das Konzept eines Bruchs und einer Bruchzahl kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, den bekannten Spruch zu paraphrasieren: Wir sagen einen Bruch – wir meinen Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl - wir meinen einen Bruch.

Brüche auf dem Koordinatenstrahl

Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihre eigenen einzigartiger Ort on , das heißt, es besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Bruchteilen und Punkten des Koordinatenstrahls.

Um zu dem Punkt zu gelangen, der dem Bruchteil m / n auf dem Koordinatenstrahl entspricht, müssen m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung verschoben werden, deren Länge 1 / n des Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein einzelnes Segment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl zeigen, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge des Segments mit Enden am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt, der mit einem kleinen Strich gekennzeichnet ist, beträgt 1/10 des Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird um 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.

Gleiche Brüche entsprechen der gleichen Bruchzahl, d.h. gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entspricht ein Punkt den Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er befindet sich im Abstand von der Hälfte des Einheitssegments, verschoben von der Ursprung in positiver Richtung).

Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl ist der Punkt, dessen Koordinate ist großer Bruchteil, befindet sich rechts von dem Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruch ist. Ebenso liegt der Punkt mit der kleineren Koordinate links vom Punkt mit der größeren Koordinate.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es echte und unechte Brüche. Diese Division hat im Grunde einen Vergleich von Zähler und Nenner.

Lassen Sie uns eine Definition von echten und unechten gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, das heißt, wenn m

Definition.

Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht.

Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4 , , 32 765/909 003 . Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikelvergleich der natürlichen Zahlen), sie sind also per Definition korrekt.

Und hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4,. Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den verbleibenden Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Es gibt auch Definitionen von echten und unechten Brüchen, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren.

Definition.

Korrekt wenn es weniger als eins ist.

Definition.

Der gemeinsame Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist.

Der gewöhnliche Bruch 7/11 ist also seit 7/11 korrekt<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1 .

Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche mit einem Zähler größer oder gleich dem Nenner einen solchen Namen verdienen - "falsch".

Nehmen wir als Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruchteil bedeutet, dass neun Teile eines Objekts genommen werden, das aus neun Teilen besteht. Das heißt, aus den verfügbaren neun Anteilen können wir ein ganzes Fach bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen ein ganzes Objekt, also 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch eine natürliche Zahl 1 ersetzt werden.

Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ziemlich offensichtlich, dass wir aus diesen sieben Dritteln zwei ganze Objekte machen können (ein ganzes Objekt sind 3 Anteile, dann brauchen wir zum Zusammensetzen von zwei ganzen Objekten 3 + 3 = 6 Anteile) und es wird immer noch einen Drittelanteil geben. Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Artikel und sogar 1/3 des Anteils eines solchen Artikels. Und aus zwölf Vierteln können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit je vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte.

Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler ganz durch den Nenner dividiert wird (zB 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe von eine natürliche Zahl und ein echter Bruch, wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3 ). Vielleicht verdienen unechte Brüche genau deshalb einen solchen Namen – „falsch“.

Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Extraktion eines ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine separate und sorgfältigere Betrachtung.

Es ist auch erwähnenswert, dass es eine sehr enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt.

Positive und negative Brüche

Jeder gewöhnliche Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn es notwendig ist, die Positivität eines Bruchs hervorzuheben, wird ihm ein Pluszeichen vorangestellt, z. B. +3/4, +72/34.

Wenn Sie einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall kann man von sprechen negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Die positiven und negativen Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und –5/7 entgegengesetzte Brüche.

Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Steigerung, ein Einkommen, eine Wertänderung nach oben usw. Negative Brüche entsprechen Kosten, Schulden, einer Wertänderung in Richtung Abnahme. Beispielsweise kann ein negativer Bruchteil -3/4 als Schuld interpretiert werden, deren Wert 3/4 beträgt.

Auf der Horizontalen und nach rechts gerichtete negative Brüche befinden sich links vom Referenzpunkt. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruch m/n und der negative Bruch –m/n sind, befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung, aber auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O .

Erwähnenswert sind hier Brüche der Form 0/n. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0 .

Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen.

Aktionen mit Brüchen

Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir bereits oben betrachtet. Vier weitere Arithmetik sind definiert Operationen mit Brüchen- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Lassen Sie uns auf jeden von ihnen eingehen.

Das allgemeine Wesen von Aktionen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Aktionen mit natürlichen Zahlen. Lassen Sie uns eine Analogie ziehen.

Multiplikation von Brüchen kann als eine Aktion betrachtet werden, bei der ein Bruch aus einem Bruch gefunden wird. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Angenommen, wir haben 1/6 eines Apfels und wir müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem bestimmten Fall einer natürlichen Zahl entspricht). Außerdem empfehlen wir, die Informationen des Artikels Multiplikation von Brüchen - Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Beim Wort „Fraktionen“ laufen viele Gänsehaut auf. Denn ich erinnere mich an die Schule und die Aufgaben, die in Mathematik gelöst wurden. Das war eine Pflicht, die erfüllt werden musste. Was aber, wenn wir Aufgaben, die echte und unechte Brüche enthalten, als Puzzle behandeln? Schließlich lösen viele Erwachsene digitale und japanische Kreuzworträtsel. Verstehen Sie die Regeln und das war's. Hier gilt das gleiche. Man muss sich nur in die Theorie vertiefen – und alles wird sich ergeben. Und Beispiele werden zu einer Möglichkeit, das Gehirn zu trainieren.

Welche Brucharten gibt es?

Beginnen wir mit dem, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Bruchteil von eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Die erste heißt gewöhnlich. Das heißt, einer, der einen horizontalen oder schrägen Strich hat. Es entspricht dem Divisionszeichen.

In einer solchen Notation wird die Zahl über dem Bindestrich als Zähler und darunter als Nenner bezeichnet.

Bei gewöhnlichen Brüchen werden richtige und falsche Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Modulo-Zähler immer kleiner als der Nenner. Die Falschen werden so genannt, weil sie das Gegenteil haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer kleiner als eins. Während die falsche immer größer als diese Zahl ist.

Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen Bruchteil haben.

Die zweite Schreibweise ist dezimal. Über ihr separates Gespräch.

Was ist der Unterschied zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen?

Im Grunde nichts. Es ist nur eine andere Schreibweise derselben Zahl. Unechte Brüche werden nach einfachen Operationen leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt.

Es hängt alles von der konkreten Situation ab. Manchmal ist es bei Aufgaben bequemer, einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, es in eine gemischte Zahl zu übersetzen, und dann wird das Beispiel sehr einfach gelöst. Was zu verwenden ist: unechte Brüche, gemischte Zahlen - hängt von der Beobachtung des Problemlösers ab.

Die gemischte Zahl wird auch mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem Bruchteil verglichen. Außerdem ist die Sekunde immer kleiner als Eins.

Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?

Wenn Sie eine Aktion mit mehreren Zahlen ausführen möchten, die in unterschiedlichen Formen geschrieben sind, müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.

Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus befolgen:

• den Nenner mit dem ganzzahligen Teil multiplizieren;
• addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis;
• schreibe die Antwort über die Linie;
• den Nenner gleich lassen.

Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Wie schreibt man einen unechten Bruch als gemischte Zahl?

Die nächste Methode ist das Gegenteil der oben diskutierten. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:

• Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten;
• schreibe den Quotienten anstelle des ganzzahligen Teils des Gemischten;
• der Rest sollte über der Linie platziert werden;
• der Divisor ist der Nenner.

Beispiele für eine solche Transformation:

76/14; 76:14 = 5 mit einem Rest von 6; die Antwort ist 5 ganze Zahlen und 6/14; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, Sie erhalten 3/7; Die endgültige Antwort ist 5 ganze 3/7.

108/54; nach Division erhält man ohne Rest den Quotienten 2; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; Die Antwort ist eine Ganzzahl - 2.

Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?

Es gibt Situationen, in denen eine solche Aktion erforderlich ist. Um unechte Brüche mit einem vorgegebenen Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

• eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
• schreiben Sie diesen Wert über die Linie;
• Platziere einen Nenner darunter.

Die einfachste Option ist, wenn der Nenner gleich eins ist. Dann braucht man nicht zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach eine ganze Zahl zu schreiben, die im Beispiel angegeben ist, und eine Einheit unter den Strich zu setzen.

Beispiel: Mache aus 5 einen unechten Bruch mit einem Nenner von 3. Nachdem du 5 mit 3 multipliziert hast, erhältst du 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruchteil: 15/3.

Zwei Ansätze zur Lösung von Aufgaben mit unterschiedlichen Zahlen

Im Beispiel sollen Summe und Differenz sowie Produkt und Quotient zweier Zahlen berechnet werden: 2 Ganzzahlen 3/5 und 14/11.

Im ersten Ansatz die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.

Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.

Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die Brüche auf denselben Nenner bringen. 13/5 multipliziert mit 11 ergibt 143/55. Und 14/11 nimmt nach Multiplikation mit 5 die Form an: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler addieren: 143 und 70, und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 - dieser unechte Bruch ist die Lösung des Problems.

Beim Finden der Differenz werden dieselben Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Die Antwort ist ein Bruch: 73/55.

Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Multiplizieren Sie einfach die Zähler und Nenner paarweise. Die Antwort lautet: 182/55.

Ebenso bei der Teilung. Für die richtige Lösung müssen Sie die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umdrehen: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Im zweiten Ansatz Aus einem unechten Bruch wird eine gemischte Zahl.

Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11.

Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort ist 3 ganze 48/55. Im ersten Anflug gab es einen Bruch 213/55. Sie können die Korrektheit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nachdem Sie 213 durch 55 geteilt haben, ist der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu sehen, dass die Antwort richtig ist.

Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Um die Antwort aus dem vorherigen Ansatz zu überprüfen, müssen Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln: 73 wird durch 55 geteilt und Sie erhalten einen Quotienten von 1 und einen Rest von 18.

Um das Produkt und den Quotienten zu finden, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Hier empfiehlt es sich immer, auf unechte Brüche auszuweichen.