Willst du dich wie ein Pionier fühlen? Dann ist diese Lektion genau das Richtige für Sie! Denn jetzt werden wir Brüche studieren - sie sind so einfach und harmlos mathematische Objekte die den Rest des Algebra-Kurses in ihrer Fähigkeit, "das Gehirn zu ertragen" übertreffen.

Die Hauptgefahr von Brüchen besteht darin, dass sie in auftreten wahres Leben. Darin unterscheiden sie sich beispielsweise von Polynomen und Logarithmen, die nach der Prüfung bestanden und leicht vergessen werden können. Daher ist das Material in diese Lektion, kann ohne Übertreibung als explosiv bezeichnet werden.

Ein numerischer Bruch (oder einfach ein Bruch) ist ein Paar ganzer Zahlen, die durch einen Schrägstrich oder einen horizontalen Strich geschrieben werden.

Brüche, die durch einen horizontalen Balken geschrieben werden:

Dieselben Brüche mit Schrägstrich geschrieben:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Normalerweise werden Brüche durch eine horizontale Linie geschrieben - es ist einfacher, mit ihnen zu arbeiten, und sie sehen besser aus. Die oben geschriebene Zahl wird Zähler des Bruchs genannt, und die unten geschriebene Zahl wird Nenner genannt.

Jede ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden. Beispielsweise ist 12 = 12/1 der Bruch aus dem obigen Beispiel.

Im Allgemeinen kannst du jede ganze Zahl in Zähler und Nenner eines Bruchs einsetzen. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass der Nenner von Null verschieden sein muss. Denken Sie an die gute alte Regel: „Du kannst nicht durch Null teilen!“

Wenn der Nenner immer noch Null ist, heißt der Bruch unbestimmt. Eine solche Aufzeichnung ist nicht sinnvoll und kann nicht an Berechnungen teilnehmen.

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Die Brüche a /b und c /d heißen gleich, wenn ad = bc.

Aus dieser Definition folgt, dass derselbe Bruch auf unterschiedliche Weise geschrieben werden kann. Zum Beispiel 1/2 = 2/4, weil 1 4 = 2 2. Natürlich gibt es viele Brüche, die nicht gleich sind. Zum Beispiel 1/3 ≠ 5/4, weil 1 4 ≠ 3 5.

Es stellt sich eine vernünftige Frage: Wie findet man alle Brüche gleich einem gegebenen? Wir geben die Antwort in Form einer Definition:

Die Haupteigenschaft eines Bruchs ist, dass Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer Null multipliziert werden können. Dies ergibt einen Bruch gleich dem angegebenen.

Das ist sehr wichtige Eigenschaft- erinnere dich dran. Mit Hilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs lassen sich viele Ausdrücke vereinfachen und verkürzen. In Zukunft wird es ständig in der Form „auftauchen“. verschiedene Eigenschaften und Theoreme.

Falsche Brüche. Auswahl des ganzen Teils

Wenn der Zähler kleiner als der Nenner, ein solcher Bruch heißt echt. Andernfalls (das heißt, wenn der Zähler größer oder mindestens gleich dem Nenner ist) wird der Bruch als unechter Bruch bezeichnet, und ein ganzzahliger Teil kann darin unterschieden werden.

Der ganzzahlige Teil wird als große Zahl vor den Bruch geschrieben und sieht so aus (rot markiert):

Um den ganzen Teil in einen unechten Bruch zu isolieren, müssen Sie drei einfache Schritte ausführen:

1. Finden Sie heraus, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Mit anderen Worten, finden Sie die maximale Ganzzahl, die, wenn sie mit dem Nenner multipliziert wird, immer noch kleiner als der Zähler ist (im Extremfall gleich). Diese Nummer wird ganzer Teil, also schreiben wir es vorne;
2. Multiplizieren Sie den Nenner mit dem ganzzahligen Teil, der im vorherigen Schritt gefunden wurde, und subtrahieren Sie das Ergebnis vom Zähler. Der resultierende "Stub" wird als Rest der Division bezeichnet, er ist immer positiv (im Extremfall Null). Wir schreiben es in den Zähler des neuen Bruchs;
3. Wir schreiben den Nenner unverändert um.

Nun, ist es schwierig? Auf den ersten Blick mag das schwierig sein. Aber es braucht ein wenig Übung - und Sie werden es fast verbal tun. Sehen Sie sich zunächst die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Wählen Sie den ganzen Teil in den angegebenen Brüchen aus:

In allen Beispielen ist der ganzzahlige Teil rot hervorgehoben und der Rest der Division grün.

Achten Sie auf den letzten Bruch, wo sich der Rest der Teilung herausstellte Null. Es stellt sich heraus, dass der Zähler vollständig durch den Nenner geteilt wird. Das ist ziemlich logisch, denn 24: 6 \u003d 4 ist eine harte Tatsache aus dem Einmaleins.

Wenn alles richtig gemacht wird, ist der Zähler des neuen Bruchs notwendigerweise kleiner als der Nenner, d.h. Bruchteil wird richtig. Ich stelle auch fest, dass es besser ist, den ganzen Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, bevor Sie die Antwort schreiben. Andernfalls können Sie die Berechnungen erheblich erschweren.

Übergang zum unechten Bruch

Es gibt auch eine umgekehrte Operation, wenn wir den ganzen Teil loswerden. Dies wird als Übergang von unechten Brüchen bezeichnet und kommt viel häufiger vor, da es viel einfacher ist, mit unechten Brüchen zu arbeiten.

Der Übergang zu einem unechten Bruch erfolgt ebenfalls in drei Schritten:

1. Multiplizieren Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner. Das Ergebnis kann durchaus sein große Zahlen, aber wir sollten uns nicht schämen;
2. Addiere die resultierende Zahl zum Zähler des ursprünglichen Bruchs. Schreiben Sie das Ergebnis in den Zähler eines unechten Bruchs;
3. Schreiben Sie den Nenner neu - wieder keine Änderung.

Hier sind konkrete Beispiele:

Eine Aufgabe. In einen unechten Bruch umwandeln:

Zur Verdeutlichung ist der ganzzahlige Teil wieder rot hervorgehoben und der Zähler des ursprünglichen Bruchs grün.

Betrachten Sie den Fall, wenn der Zähler oder Nenner eines Bruchs enthält eine negative Zahl. Zum Beispiel:

Daran ist im Prinzip nichts Kriminelles. Das Arbeiten mit solchen Brüchen kann jedoch unbequem sein. Daher ist es in der Mathematik üblich, Minuszeichen als Bruchzeichen wegzulassen.

Dies ist sehr einfach, wenn Sie sich an die Regeln erinnern:

1. Plus mal minus gleich minus. Wenn also der Zähler eine negative Zahl und der Nenner positiv ist (oder umgekehrt), können Sie das Minus frei streichen und vor den ganzen Bruch setzen;
2. "Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung". Wenn das Minus sowohl im Zähler als auch im Nenner steht, streichen wir es einfach durch – es ist keine weitere Aktion erforderlich.

Natürlich können diese Regeln auch angewendet werden umgekehrte Richtung, d.h. Sie können ein Minus unter dem Bruchzeichen hinzufügen (meistens - im Zähler).

Den Fall „Plus auf Plus“ betrachten wir bewusst nicht – bei ihm ist, glaube ich, sowieso alles klar. Schauen wir uns an, wie diese Regeln in der Praxis funktionieren:

Eine Aufgabe. Nimm die Minuspunkte der vier oben geschriebenen Brüche heraus.

Achten Sie auf den letzten Bruch: Er hat bereits ein Minuszeichen davor. Allerdings wird es nach der Regel „Minus mal Minus gibt Plus“ „verbrannt“.

Verschieben Sie auch keine Minuszeichen in Brüchen mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil. Diese Brüche werden zunächst in unechte umgewandelt – und erst dann beginnen sie zu rechnen.

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Themas mit dem Studium des Konzepts eines Bruchs als Ganzes, was uns ein vollständigeres Verständnis der Bedeutung eines gewöhnlichen Bruchs geben wird. Lassen Sie uns die Hauptbegriffe und ihre Definition geben, das Thema in einer geometrischen Interpretation untersuchen, d.h. auf der Koordinatenlinie und definieren Sie auch eine Liste grundlegender Aktionen mit Brüchen.

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Anteile am Ganzen

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das vollständig aus mehreren besteht gleiche Teile. Das kann zum Beispiel eine Orange sein, die aus mehreren identischen Scheiben besteht.

Bestimmung 1

Anteil an einem Ganzen oder Anteil ist jeder der gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen.

Offensichtlich können die Anteile unterschiedlich sein. Um diese Aussage klar zu erklären, stellen Sie sich zwei Äpfel vor, von denen einer in zwei gleiche Teile und der zweite in vier Teile geschnitten wird. Es ist klar, dass die Größe der resultierenden Anteile für verschiedene Äpfel variieren wird.

Die Aktien haben ihre eigenen Namen, die von der Anzahl der Aktien abhängen, aus denen das gesamte Subjekt besteht. Wenn ein Artikel zwei Teile hat, dann wird jeder von ihnen als ein zweiter Teil dieses Artikels definiert; wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, dann ist jeder von ihnen ein Drittel und so weiter.

Bestimmung 2

Halb- ein zweiter Teil des Themas.

Dritte- ein Drittel des Themas.

Quartal- ein Viertel des Themas.

Um die Aufzeichnungen zu verkürzen, wurde die folgende Notation für Aktien eingeführt: halb - 1 2 oder 1 / 2 ; dritte - 1 3 oder 1 / 3 ; ein Viertel teilen 1 4 oder 1/4 und so weiter. Einträge mit einem horizontalen Balken werden häufiger verwendet.

Das Konzept eines Anteils erweitert sich natürlich von Objekten zu Größen. Sie können also Bruchteile eines Meters (ein Drittel oder ein Hundertstel) verwenden, um kleine Objekte als eine der Längeneinheiten zu messen. Anteile anderer Mengen können in ähnlicher Weise aufgebracht werden.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele

Gemeinsame Brüche verwendet, um die Anzahl der Aktien zu beschreiben. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel, das uns der Definition eines gewöhnlichen Bruchs näher bringt.

Stellen Sie sich eine Orange vor, die aus 12 Scheiben besteht. Jede Aktie wird dann - ein Zwölftel oder 1 / 12 sein. Zwei Anteile - 2/12; drei Aktien - 3 / 12 usw. Alle 12 Teile oder eine Ganzzahl würden so aussehen: 12 / 12 . Jeder der im Beispiel verwendeten Einträge ist ein Beispiel für einen gewöhnlichen Bruch.

Bestimmung 3

Gemeinsamer Bruch ist eine Aufzeichnung des Formulars m n oder m / n , wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind.

Entsprechend diese Definition, Beispiele für gewöhnliche Brüche können Eingaben sein: 4 / 9, 1134, 91754. Und diese Einträge: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Bestimmung 4

Zähler gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl m .

Nenner gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl n .

Diese. Der Zähler ist die Zahl über dem Strich eines gewöhnlichen Bruchs (oder links vom Schrägstrich), und der Nenner ist die Zahl unter dem Strich (rechts vom Schrägstrich).

Was bedeuten Zähler und Nenner? Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, und der Zähler gibt uns Auskunft darüber, wie viele solcher Anteile berücksichtigt werden. Zum Beispiel zeigt uns der gemeinsame Bruch 7 54 an, dass ein bestimmtes Objekt aus 54 Aktien besteht, und wir haben 7 solcher Aktien zur Prüfung genommen.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs kann sein gleich eins. In diesem Fall kann man sagen, dass der betrachtete Gegenstand (Wert) unteilbar ist, etwas Ganzes. Zähler ein wie ein Bruchteil gibt an, wie viele solcher Gegenstände genommen werden, d.h. ein gewöhnlicher Bruch der Form m 1 ist sinnvoll natürliche Zahl m . Diese Aussage dient als Begründung für die Gleichheit m 1 = m .

Schreiben wir die letzte Gleichheit so: m = m 1 . Es gibt uns die Möglichkeit, jede natürliche Zahl in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu verwenden. Beispielsweise ist die Zahl 74 ein gewöhnlicher Bruch der Form 74 1 .

Bestimmung 5

Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden, wobei der Nenner eins ist: m 1 .

Jeder gewöhnliche Bruch der Form m 1 kann wiederum durch eine natürliche Zahl m dargestellt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die oben verwendete Darstellung Dieses Thema how n share ist nichts anderes als eine Division in n gleiche Teile. Wenn ein Objekt in n Teile geteilt wird, haben wir die Möglichkeit, es gleichmäßig auf n Personen aufzuteilen – jeder bekommt seinen Anteil.

Für den Fall, dass wir zunächst m identische Artikel(jeder ist in n Teile geteilt), dann können diese m Gegenstände gleichmäßig auf n Personen aufgeteilt werden, wobei jeder von ihnen einen Anteil von jedem der m Gegenstände erhält. In diesem Fall hat jede Person m Aktien 1 n , und m Aktien 1 n ergeben einen ordentlichen Bruch m n . Daher kann der gemeinsame Bruch m n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.

Die resultierende Aussage stellt eine Verbindung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division her. Und diese Beziehung kann wie folgt ausgedrückt werden : es ist möglich, den Bruchstrich als Teilungszeichen zu meinen, d.h. m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können wir das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben. Zum Beispiel wird das Teilen von 7 Äpfeln durch 10 Personen als 7 10 geschrieben: Jede Person erhält sieben Zehntel.

Gleiche und ungleiche gemeinsame Brüche

Die logische Handlung besteht darin, gewöhnliche Brüche zu vergleichen, da es offensichtlich ist, dass zum Beispiel 1 8 eines Apfels anders ist als 7 8 .

Das Ergebnis des Vergleichs gewöhnlicher Brüche kann sein: gleich oder ungleich.

Bestimmung 6

Gleiche gemeinsame Brüche sind gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit gilt: a d = b c .

Ungleiche gemeinsame Brüche- gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit: a · d = b · c nicht gilt.

Beispiel gleiche Brüche: 1 3 und 4 12 - da die Gleichheit 1 · 12 = 3 · 4 erfüllt ist.

Stellt sich heraus, dass Brüche ungleich sind, muss man in der Regel auch herausfinden, welcher der angegebenen Brüche kleiner und welcher größer ist. Um diese Fragen zu beantworten, werden gewöhnliche Brüche verglichen, was sie zu führt gemeinsamer Nenner und dann die Zähler vergleichen.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist eine Aufzeichnung einer Bruchzahl, die eigentlich nur eine „Hülle“, Visualisierung ist semantische Belastung. Aber der Einfachheit halber kombinieren wir die Konzepte eines Bruchs und einer Bruchzahl, einfach gesagt - ein Bruch.

Alle Bruchzahlen haben wie jede andere Zahl ihre eigene eindeutige Position Koordinatenstrahl: Es besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Bruchteilen und Punkten des Koordinatenstrahls.

Um einen Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu finden, der den Bruchteil m n bezeichnet, ist es notwendig, m Segmente in positiver Richtung vom Koordinatenursprung zu verschieben, deren Länge jeweils 1 n einem Bruchteil eines Einheitssegments ist. Segmente können erhalten werden, indem ein einzelnes Segment in n identische Teile geteilt wird.

Als Beispiel sei der Punkt M auf dem Koordinatenstrahl bezeichnet, der dem Bruch 14 10 entspricht. Die Länge des Segments, dessen Enden der Punkt O ist und dessen nächster Punkt mit einem kleinen Strich markiert ist, entspricht 1 10 Bruchteilen des Einheitssegments. Der dem Bruchteil 14 10 entsprechende Punkt befindet sich in einem Abstand vom Koordinatenursprung in einem Abstand von 14 solcher Segmente.

Sind die Brüche gleich, d.h. entsprechen sie derselben Bruchzahl, dann dienen diese Brüche als Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten in Form von gleichen Brüchen 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 demselben Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der sich in einem Abstand von einem Drittel des Einheitssegments befindet, verschoben von dem Ursprung in positiver Richtung.

Hier funktioniert das gleiche Prinzip wie bei ganzen Zahlen: Auf einem horizontalen, nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl liegt der Punkt, der einem großen Bruch entspricht, rechts von dem entsprechenden Punkt kleiner Bruchteil. Und umgekehrt: Der Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruch ist, befindet sich links von dem Punkt, der der größeren Koordinate entspricht.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Die Aufteilung von Brüchen in echte und unechte Brüche basiert auf dem Vergleich von Zähler und Nenner innerhalb desselben Bruchs.

Bestimmung 7

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Nicht richtiger Bruchteil ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung undefined wahr ist, dann ist der gewöhnliche Bruch m n uneigentlich.

Hier einige Beispiele: - echte Brüche:

Beispiel 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Unechte Brüche:

Beispiel 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Es ist auch möglich, anhand des Vergleichs eines Bruchs mit einer Einheit eine Definition von echten und unechten Brüchen zu geben.

Bestimmung 8

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch Weniger als eins.

Unechter Bruch ein gemeinsamer Bruch gleich oder größer als eins ist.

Zum Beispiel ist der Bruch 8 12 richtig, weil 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 und 14 14 = 1 .

Lassen Sie uns ein wenig tiefer darüber nachdenken, warum Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, als „unecht“ bezeichnet werden.

Betrachten Sie den unechten Bruch 8 8: Er sagt uns, dass 8 Teile eines Objekts, das aus 8 Teilen besteht, genommen werden. So können wir aus den verfügbaren acht Anteilen ein ganzes Objekt zusammensetzen, d.h. Der angegebene Bruchteil 8 8 stellt im Wesentlichen das gesamte Objekt dar: 8 8 \u003d 1. Brüche, bei denen Zähler und Nenner gleich sind, ersetzen die natürliche Zahl 1 vollständig.

Betrachten Sie auch Brüche, bei denen der Zähler den Nenner übersteigt: 11 5 und 36 3 . Es ist klar, dass der Bruch 11 5 anzeigt, dass wir zwei ganze Objekte daraus machen können und es wird immer noch ein Fünftel davon geben. Diese. Bruchteil 11 5 sind 2 Objekte und weitere 1 5 davon. 36 3 wiederum ist ein Bruch, was im Wesentlichen 12 ganze Objekte bedeutet.

Diese Beispiele lassen den Schluss zu, dass unechte Brüche durch natürliche Zahlen (wenn der Zähler ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) oder die Summe einer natürlichen Zahl und a ersetzt werden können echter Bruch (wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 11 5 = 2 + 1 5). Das ist wahrscheinlich der Grund, warum solche Brüche als "unecht" bezeichnet werden.

Auch hier begegnen wir einer der wichtigsten Zahlenfertigkeiten.

Bestimmung 9

Extrahieren des ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch ist ein unechter Bruch, der als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs geschrieben wird.

Beachten Sie auch, dass es gibt enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen.

Positive und negative Brüche

Oben haben wir gesagt, dass jeder gewöhnliche Bruch einer positiven Bruchzahl entspricht. Diese. Gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind die Brüche 5 17 , 6 98 , 64 79 positiv, und wenn es notwendig ist, die „Positivität“ eines Bruchs hervorzuheben, wird er mit einem Pluszeichen geschrieben: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Wenn wir einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen zuweisen, ist der resultierende Datensatz ein Datensatz einer negativen Bruchzahl, und in diesem Fall sprechen wir von negativen Brüchen. Zum Beispiel - 8 17 , - 78 14 usw.

Positive und negative Brüche m n und - m n sind entgegengesetzte Zahlen, beispielsweise sind die Brüche 7 8 und - 7 8 entgegengesetzt.

Positive Brüche, wie alle positive Zahlen im Allgemeinen bedeuten sie eine Addition, eine Änderung der Anstiegsrichtung. Negative Brüche wiederum entsprechen dem Verbrauch, einer Änderung der Abnahmerichtung.

Wenn wir die Koordinatenlinie betrachten, sehen wir, dass sich negative Brüche links vom Referenzpunkt befinden. Die Punkte, denen die gegenüberliegenden Brüche entsprechen (m n und - m n), befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung der Koordinaten O, aber entlang verschiedene Seiten von ihr.

Hier sprechen wir auch separat über Brüche, die in der Form 0 n geschrieben sind. Ein solcher Bruch ist gleich Null, d.h. 0 n = 0 .

Alles zusammenfassend kommen wir zu das wichtigste Konzept Rationale Zahlen.

Bestimmung 10

Rationale Zahlen ist eine Menge positiver Brüche, negative Brüche und Brüche der Form 0 n .

Aktionen mit Brüchen

Lassen Sie uns die grundlegenden Operationen mit Brüchen auflisten. Im Allgemeinen ist ihr Wesen das gleiche wie die entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen

1. Bruchvergleich - diese Aktion wir haben oben überprüft.
2. Addition von Brüchen - das Ergebnis der Addition von gewöhnlichen Brüchen ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall auf eine natürliche Zahl reduziert).
3. Die Subtraktion von Brüchen ist eine Aktion, das Gegenteil der Addition, wenn man einen bekannten Bruch und angegebenen Betrag Brüche wird durch den unbekannten Bruch bestimmt.
4. Multiplikation von Brüchen - diese Aktion kann als Finden eines Bruchs aus einem Bruch beschrieben werden. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall gleich einer natürlichen Zahl).
5. Division von Brüchen - Aktion, Kehrwert der Multiplikation, wenn wir den Bruch bestimmen, mit dem es notwendig ist, den gegebenen zu multiplizieren, um zu erhalten berühmtes Werk zwei Fraktionen.

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Der Zähler, und das, durch das er dividiert wird, ist der Nenner.

Um einen Bruch zu schreiben, schreibe zuerst seinen Zähler, zeichne dann eine horizontale Linie unter dieser Zahl und schreibe den Nenner unter die Linie. Die horizontale Trennlinie zwischen Zähler und Nenner wird als Bruchstrich bezeichnet. Manchmal wird es als schräges „/“ oder „∕“ dargestellt. In diesem Fall wird der Zähler links von der Zeile geschrieben und der Nenner rechts. So wird beispielsweise der Bruch „zwei Drittel“ als 2/3 geschrieben. Zur Verdeutlichung wird der Zähler normalerweise oben auf der Zeile und der Nenner unten geschrieben, dh anstelle von 2/3 finden Sie: ⅔.

Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizierst du zuerst den Zähler mit Eins Brüche zu einem anderen Zähler. Schreiben Sie das Ergebnis in den Zähler von new Brüche. Dann multipliziere auch die Nenner. Geben Sie den endgültigen Wert in der neuen an Brüche. Zum Beispiel 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizierst du zuerst den Zähler des ersten mit dem Nenner des zweiten. Machen Sie dasselbe mit dem zweiten Bruch (Teiler). Oder, bevor Sie alle Schritte ausführen, „drehen“ Sie zuerst den Divisor, wenn es für Sie bequemer ist: Der Nenner sollte anstelle des Zählers stehen. Dann multipliziere den Nenner des Dividenden mit dem neuen Nenner des Divisors und multipliziere die Zähler. Zum Beispiel 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Quellen:

• Grundaufgaben für Brüche

Mit Bruchzahlen können Sie in ausdrücken Andere Form genauer Wert Mengen. Mit Brüchen kannst du die gleichen mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man sich entscheidet Brüche, ist es notwendig, sich an einige ihrer Merkmale zu erinnern. Sie sind typabhängig Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, ein gemeinsamer Nenner. Etwas Rechenoperationen nach der Ausführung erfordern sie eine Kürzung des Bruchteils des Ergebnisses.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisung

Schau dir die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und Unregelmäßigkeiten gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Aktionen mit Dezimalzahlen auszuführen und sie dann in die falsche Form umzuwandeln. Kannst du übersetzen Brüche Schreiben Sie in dieser Form zunächst den Wert nach dem Komma in den Zähler und setzen Sie 10 in den Nenner. Falls nötig, kürze den Bruch, indem du die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividierst. Brüche, bei denen der ganze Teil hervorsticht, führen zur falschen Form, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Gegebene Werte wird der neue Zähler Brüche. Das ganze Teil aus dem zunächst Falschen herauszulösen Brüche, teile den Zähler durch den Nenner. Schreiben Sie das gesamte Ergebnis ab Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, zum Nenner Brüche während sie sich nicht ändern. Für Brüche mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat durchzuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise kann die Summe von 1 2/3 und 2 ¾ berechnet werden:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summierung getrennt von ganzzahligen und gebrochenen Teilen von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Schreiben Sie sie mit einem ":"-Trennzeichen um und fahren Sie fort gewöhnliche Teilung.

Zum bekommen Endresultat kürze den resultierenden Bruch, indem du Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividierst, die größtmögliche in dieser Fall. In diesem Fall müssen über und unter der Linie ganze Zahlen stehen.

beachten Sie

Rechnen Sie nicht mit Brüchen, die unterschiedliche Nenner haben. Wählen Sie eine Zahl so, dass, wenn Zähler und Nenner jedes Bruchs damit multipliziert werden, die Nenner beider Brüche gleich sind.

Nützlicher Rat

Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividende über dem Strich geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter dem Strich steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Zum Beispiel werden anderthalb Kilogramm Reis in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall steht der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil, getrennt durch ein Komma: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine einzelne ganze Zahl dividieren. BEI dieses Beispiel Teilung durch 2 möglich, ergibt 1 1/5 kg Kartoffeln. Achte darauf, dass die Zahlen, mit denen du rechnen wirst, dieselbe Form haben.

Apropos Mathematik, man kommt nicht umhin, sich Brüche zu merken. Ihrem Studium wird viel Aufmerksamkeit und Zeit geschenkt. Erinnere dich daran, wie viele Beispiele du lösen musstest, um bestimmte Regeln für die Arbeit mit Brüchen zu lernen, wie du dir die Haupteigenschaft eines Bruchs eingeprägt und angewendet hast. Wie viele Nerven wurden aufgewendet, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, besonders wenn es mehr als zwei Begriffe in den Beispielen gab!

Erinnern wir uns daran, was es ist, und frischen wir unser Gedächtnis ein wenig über die grundlegenden Informationen und Regeln für die Arbeit mit Brüchen auf.

Definition von Brüchen

Beginnen wir mit dem Wichtigsten – Definitionen. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Einheitsteilen besteht. Eine Bruchzahl wird als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. In diesem Fall wird der obere (oder erste) als Zähler und der untere (zweite) als Nenner bezeichnet.

Es ist erwähnenswert, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit aufgeteilt ist, und der Zähler die Anzahl der entnommenen Anteile oder Teile angibt. Oft sind Brüche, wenn sie richtig sind, kleiner als eins.

Schauen wir uns nun die Eigenschaften dieser Zahlen und die Grundregeln an, die bei der Arbeit mit ihnen verwendet werden. Aber bevor wir so etwas wie „grundlegendes Eigentum“ analysieren rationaler Bruch Lassen Sie uns über die Arten von Brüchen und ihre Merkmale sprechen.

Was sind Brüche

Es gibt mehrere Arten solcher Nummern. Zuallererst sind diese gewöhnlich und dezimal. Die ersten sind die von uns bereits mit einem Querstrich oder Schrägstrich gekennzeichneten Datensatztypen. Die zweite Art von Brüchen wird mit der sogenannten Positionsnotation angegeben, wenn zuerst der ganzzahlige Teil der Zahl und dann nach dem Dezimalkomma der Bruchteil angegeben wird.

Es ist erwähnenswert, dass in der Mathematik sowohl Dezimalbrüche als auch gewöhnliche Brüche gleichermaßen verwendet werden. Die Haupteigenschaft des Bruchs gilt nur für die zweite Option. Außerdem in gewöhnlichen Brüchen, richtig und falsche Zahlen. Bei ersterem ist der Zähler immer kleiner als der Nenner. Beachten Sie auch, dass ein solcher Bruch kleiner als eins ist. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer als der Nenner und er selbst größer als eins. In diesem Fall kann daraus eine ganze Zahl extrahiert werden. In diesem Artikel betrachten wir nur gewöhnliche Brüche.

Brucheigenschaften

Jedes Phänomen, ob chemisch, physikalisch oder mathematisch, hat seine eigenen Merkmale und Eigenschaften. Bruchzahlen sind keine Ausnahme. Sie haben eine wichtige Funktion, mit deren Hilfe bestimmte Operationen an ihnen ausgeführt werden können. Was ist die Haupteigenschaft eines Bruchs? Die Regel besagt, dass Zähler und Nenner mit demselben multipliziert oder dividiert werden Rationale Zahl, erhalten wir einen neuen Bruchteil, dessen Wert gleich dem Wert des Originals ist. Das heißt, wenn wir die beiden Teile der Bruchzahl 3/6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir einen neuen Bruch 6/12, während sie gleich sind.

Basierend auf dieser Eigenschaft können Sie Brüche kürzen sowie gemeinsame Nenner für ein bestimmtes Zahlenpaar auswählen.

Operationen

Obwohl Brüche für uns komplexer erscheinen, können sie auch grundlegende mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division ausführen. Darüber hinaus gibt es eine so spezifische Aktion wie die Reduzierung von Fraktionen. Natürlich wird jede dieser Aktionen gemäß durchgeführt bestimmte Regeln. Die Kenntnis dieser Gesetze macht es einfacher, mit Brüchen zu arbeiten, was es einfacher und interessanter macht. Deshalb werden wir bei der Arbeit mit solchen Zahlen die Grundregeln und den Aktionsalgorithmus weiter betrachten.

Aber bevor wir über solche mathematischen Operationen wie Addition und Subtraktion sprechen, werden wir eine solche Operation als Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner analysieren. Hier wird das Wissen darüber, welche grundlegende Eigenschaft eines Bruchs existiert, von Nutzen sein.

Gemeinsamer Nenner

Um eine Zahl auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, musst du zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner finden. Also kleinste Zahl, die durch beide Nenner gleichzeitig ohne Rest teilbar ist. Der einfachste Weg, das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu finden, besteht darin, für einen Nenner in eine Zeile zu schreiben, dann für den zweiten und unter ihnen eine passende Zahl zu finden. Für den Fall, dass das LCM nicht gefunden wird, das heißt, diese Zahlen kein gemeinsames Vielfaches haben, sollten sie multipliziert werden, und der resultierende Wert sollte als LCM betrachtet werden.

Also, wir haben das NOC gefunden, jetzt müssen wir es finden zusätzlicher Multiplikator. Dazu müssen Sie das LCM abwechselnd in Nenner von Brüchen teilen und die resultierende Zahl über jedem von ihnen aufschreiben. Als nächstes multiplizierst du Zähler und Nenner mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor und schreibst das Ergebnis als neuen Bruch. Wenn Sie bezweifeln, dass die Zahl, die Sie erhalten haben, der vorherigen entspricht, denken Sie an die Haupteigenschaft des Bruchs.

Zusatz

Kommen wir nun direkt zu mathematischen Operationen mit Bruchzahlen. Beginnen wir mit dem Einfachsten. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche zu addieren. Im ersten Fall haben beide Zahlen denselben Nenner. In diesem Fall müssen nur noch die Zähler addiert werden. Aber der Nenner ändert sich nicht. Zum Beispiel 1/5 + 3/5 = 4/5.

Wenn die Brüche verschiedene Nenner, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen reduzieren und erst dann addieren. Wie das geht, haben wir mit Ihnen etwas weiter oben besprochen. In dieser Situation wird sich die Haupteigenschaft des Bruchs als nützlich erweisen. Die Regel ermöglicht es Ihnen, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Der Wert ändert sich in keiner Weise.

Alternativ kann es vorkommen, dass die Fraktion gemischt wird. Dann sollten Sie zuerst die ganzen Teile zusammenzählen und dann die Bruchteile.

Multiplikation

Es erfordert keine Tricks, und um diese Aktion auszuführen, ist es nicht erforderlich, die grundlegende Eigenschaft des Bruchs zu kennen. Es reicht aus, zuerst Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren. In diesem Fall wird das Produkt der Zähler zum neuen Zähler und das Produkt der Nenner zum neuen Nenner. Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes.

Das Einzige, was von Ihnen verlangt wird, ist die Kenntnis des Einmaleins sowie Aufmerksamkeit. Darüber hinaus ist nach Erhalt des Ergebnisses unbedingt zu prüfen, ob eine Reduzierung möglich ist angegebene Nummer oder nicht. Wir werden etwas später darüber sprechen, wie man Brüche kürzt.

Subtraktion

Das Vorführen sollte sich an den gleichen Regeln orientieren wie beim Hinzufügen. Also, in Zahlen mit gleichen Nenner es genügt, den Zähler des Subtrahends vom Zähler des Minuends zu subtrahieren. Falls Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann ausführen diese Operation. Wie im analogen Additionsfall müssen Sie die Eigenschaft main verwenden algebraischer Bruch, sowie Fähigkeiten bei der Suche nach dem NOC und gemeinsame Teiler für Brüche.

Aufteilung

Und die letzte, interessanteste Operation bei der Arbeit mit solchen Zahlen ist die Division. Es ist ziemlich einfach und verursacht keine besonderen Schwierigkeiten, selbst für diejenigen, die nicht verstehen, wie man mit Brüchen arbeitet, insbesondere um Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen. Beim Dividieren gilt die Regel, mit zu multiplizieren wechselseitig. Die Haupteigenschaft eines Bruchs, wie im Fall der Multiplikation, wird für diese Operation nicht verwendet. Lass uns genauer hinschauen.

Bei der Division von Zahlen bleibt der Dividende unverändert. Der Divisor ist umgekehrt, d. h. Zähler und Nenner sind vertauscht. Danach werden die Zahlen miteinander multipliziert.

Die Ermäßigung

Wir haben also bereits die Definition und Struktur von Brüchen, ihre Typen, die Regeln der Operationen mit gegebenen Zahlen untersucht und die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs herausgefunden. Lassen Sie uns nun über eine solche Operation wie Reduktion sprechen. Einen Bruch zu kürzen ist der Vorgang, ihn umzuwandeln – Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren. Somit wird die Fraktion reduziert, ohne ihre Eigenschaften zu verändern.

Normalerweise bei der Herstellung mathematische Operation Sie sollten sich das Endergebnis genau ansehen und herausfinden, ob es möglich ist, den resultierenden Bruch zu reduzieren oder nicht. Denken Sie daran, dass in Endergebnis eine Bruchzahl, die keiner Kürzung bedarf, wird immer geschrieben.

Andere Operationen

Abschließend stellen wir fest, dass wir bei weitem nicht alle Operationen mit Bruchzahlen aufgelistet haben und nur die berühmtesten und notwendigsten erwähnen. Brüche können auch verglichen, in Dezimalzahlen umgewandelt und umgekehrt werden. Aber in diesem Artikel haben wir diese Operationen nicht berücksichtigt, da sie in der Mathematik viel seltener ausgeführt werden als die oben angegebenen.

Schlussfolgerungen

Wir haben darüber gesprochen Bruchzahlen und Transaktionen mit ihnen. Wir haben auch die Hauptimmobilie analysiert, stellen aber fest, dass all diese Punkte von uns nebenbei betrachtet wurden. Wir haben nur die bekanntesten und gebräuchlichsten Regeln gegeben, wir haben die unserer Meinung nach wichtigsten Ratschläge gegeben.

Dieser Artikel soll die Informationen, die Sie über Brüche vergessen haben, auffrischen, anstatt sie zu geben neue Informationen und schlag dir auf den kopf endlose Regeln und Formeln, die Sie höchstwahrscheinlich nie brauchen werden.

Wir hoffen, dass das im Artikel einfach und prägnant dargestellte Material für Sie nützlich geworden ist.