Das Reduzieren von Fraktionen ist notwendig, um die Fraktion auf mehr zu bringen klarer Anblick, zum Beispiel in der Antwort, die als Ergebnis der Lösung des Ausdrucks erhalten wird.

Kürzung von Brüchen, Definition und Formel.

Was ist Fraktionsreduktion? Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Definition:
Fraktionsreduktion ist die Teilung von Zähler und Nenner in denselben Bruch positive Zahl nicht Null und Einheit. Als Ergebnis der Kürzung erhält man einen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, gleich dem vorherigen Bruch gem.

Formel zur Fraktionsreduktion Haupteigentum Rationale Zahlen.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(9)(15)\)

Entscheidung:
Wir können den Bruch zerlegen in Hauptfaktoren und reduzieren Sie die gemeinsamen Faktoren.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Antwort: Nach Kürzung erhalten wir den Bruch \(\frac(3)(5)\). Gemäß der Haupteigenschaft rationaler Zahlen sind Anfangs- und Ergebnisbruch gleich.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Wie kürzt man Brüche? Reduktion eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

Damit wir als Ergebnis erhalten irreduzibler Bruch, brauchen den größten finden gemeinsamer Teiler(GCD) für Zähler und Nenner eines Bruches.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den ggT zu finden, wir verwenden im Beispiel die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Erhalten Sie den irreduziblen Bruch \(\frac(48)(136)\).

Entscheidung:
Finde GCD(48, 136). Schreiben wir die Zahlen 48 und 136 in Primfaktoren.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
ggT(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Die Regel zum Kürzen eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

1. Finde den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.
2. Sie müssen Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler als Ergebnis der Division dividieren, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten.

Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(152)(168)\).

Entscheidung:
Finden Sie GCD(152, 168). Schreiben wir die Zahlen 152 und 168 in Primfaktoren.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
ggT(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Antwort: \(\frac(19)(21)\) ist ein irreduzibler Bruch.

Abkürzung für einen unechten Bruch.

Wie kürzt man einen unechten Bruch?
Die Regeln zum Kürzen von Brüchen für echte und unechte Brüche sind gleich.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den unechten Bruch \(\frac(44)(32)\).

Entscheidung:
Schreiben wir Zähler und Nenner in Primfaktoren. Und dann reduzieren wir die gemeinsamen Faktoren.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Kürzung gemischter Fraktionen.

Für gemischte Brüche gelten die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Brüche. Der einzige Unterschied ist, dass wir es können berühren Sie nicht den ganzen Teil, sondern reduzieren Sie den Bruchteil oder Wandeln Sie einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch um, kürzen Sie ihn und wandeln Sie ihn wieder in einen echten Bruch um.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den gemischten Bruch \(2\frac(30)(45)\).

Entscheidung:
Lösen wir es auf zwei Arten:
Erster Weg:
Wir werden den Bruchteil in Primfaktoren schreiben und den ganzzahligen Teil nicht berühren.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Zweiter Weg:
Zuerst übersetzen wir in einen unechten Bruch, und dann schreiben wir ihn in Primfaktoren und kürzen ihn. Wandle den resultierenden unechten Bruch in einen echten Bruch um.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Verwandte Fragen:
Können Brüche beim Addieren oder Subtrahieren gekürzt werden?
Antwort: Nein, Sie müssen Brüche zuerst gemäß den Regeln addieren oder subtrahieren und erst dann kürzen. Betrachten Sie ein Beispiel:

Werten Sie den Ausdruck \(\frac(50+20-10)(20)\) aus.

Entscheidung:
Sie machen oft den Fehler des Schneidens gleichen Nummern im Zähler und Nenner ist in unserem Fall die Zahl 20, aber sie können nicht reduziert werden, bis Sie Addition und Subtraktion durchführen.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Um welche Zahl kann man einen Bruch kürzen?
Antwort: Sie können einen Bruch durch den größten gemeinsamen Teiler oder den üblichen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(100)(150)\).

Schreiben wir die Zahlen 100 und 150 in Primfaktoren.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl ggT(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Wir haben den irreduziblen Bruch \(\frac(2)(3)\).

Aber es ist nicht immer notwendig, durch ggT zu dividieren, ein irreduzibler Bruch wird nicht immer benötigt, Sie können den Bruch durch einen einfachen Divisor aus Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel haben die Zahlen 100 und 150 einen gemeinsamen Teiler 2. Lassen Sie uns den Bruch \(\frac(100)(150)\) um 2 reduzieren.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Wir haben den gekürzten Bruch \(\frac(50)(75)\).

Welche Brüche können gekürzt werden?
Antwort: Du kannst Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(4)(8)\). Die Zahlen 4 und 8 haben eine Zahl, durch die sie beide durch diese Zahl 2 teilbar sind. Daher kann ein solcher Bruch durch die Zahl 2 gekürzt werden.

Beispiel:
Vergleiche zwei Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(8)(12)\).

Diese beiden Brüche sind gleich. Betrachten Sie den Bruch \(\frac(8)(12)\) im Detail:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Von hier erhalten wir \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Zwei Brüche sind genau dann gleich, wenn einer von ihnen durch Reduktion des anderen Bruchs um erhalten wird gemeinsamer Faktor Zähler und Nenner.

Beispiel:
Kürzen Sie wenn möglich folgende Brüche: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Entscheidung:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduzibler Bruch
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ mal 5)=\frac(2)(5)\)

Wenn wir 497 durch 4 teilen müssen, werden wir beim Teilen sehen, dass 497 nicht durch 4 teilbar ist, d.h. bleibt der Rest der Teilung. In solchen Fällen heißt es Division mit Rest, und die Lösung wird wie folgt geschrieben:
497: 4 = 124 (1 Rest).

Die Divisionskomponenten auf der linken Seite der Gleichheit heißen wie bei der Division ohne Rest: 497 - Dividende, 4 - Teiler. Das Ergebnis der Division bei der Division mit Rest wird aufgerufen unvollständig privat. In unserem Fall ist diese Nummer 124. Und schließlich die letzte Komponente, die nicht drin ist regelmäßige Teilung, - Rest. Wenn es keinen Rest gibt, sagt man, dass eine Zahl durch eine andere geteilt wird. spurlos oder komplett. Es wird angenommen, dass bei einer solchen Division der Rest Null ist. In unserem Fall ist der Rest 1.

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Sie können beim Teilen durch Multiplizieren überprüfen. Wenn zum Beispiel eine Gleichheit 64: 32 = 2 besteht, dann kann die Überprüfung so erfolgen: 64 = 32 * 2.

Oft ist es in Fällen, in denen eine Division mit einem Rest durchgeführt wird, bequem, die Gleichheit zu verwenden
a \u003d b * n + r,
wobei a der Dividend ist, b der Divisor ist, n der partielle Quotient ist, r der Rest ist.

Der Quotient der Division natürlicher Zahlen kann als Bruch geschrieben werden.

Der Zähler eines Bruches ist der Dividende und der Nenner der Divisor.

Da der Zähler eines Bruches der Dividende und der Nenner der Divisor ist, glauben, dass die Linie eines Bruchs die Aktion der Teilung bedeutet. Manchmal ist es praktisch, die Division als Bruch zu schreiben, ohne das ":"-Zeichen zu verwenden.

Der Quotient der natürlichen Zahlen m und n kann als Bruch geschrieben werden \(\frac(m)(n) \), wobei der Zähler m der Dividende und der Nenner n der Divisor ist:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Folgende Regeln sind richtig:

Um einen Bruch \(\frac(m)(n) \) zu erhalten, musst du die Einheit durch n teilen gleiche Teile(Aktien) und m solche Teile nehmen.

Um den Bruch \(\frac(m)(n) \) zu erhalten, musst du die Zahl m durch die Zahl n teilen.

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, müssen Sie die dem Ganzen entsprechende Zahl durch den Nenner dividieren und das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Um ein Ganzes durch seinen Teil zu finden, müssen Sie die diesem Teil entsprechende Zahl durch den Zähler dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a:m)(b:m)\)
Diese Eigenschaft wird aufgerufen Grundeigenschaft eines Bruchs.

Die letzten beiden Transformationen werden aufgerufen Fraktionsreduktion.

Sollen Brüche als Brüche mit gleichem Nenner dargestellt werden, so wird eine solche Aktion aufgerufen Kürzung von Brüchen auf gemeinsamer Nenner .

Echte und unechte Brüche. gemischte Zahlen

Sie wissen bereits, dass ein Bruch erhalten werden kann, indem man ein Ganzes in gleiche Teile teilt und mehrere solcher Teile nimmt. Zum Beispiel bedeutet der Bruch \(\frac(3)(4) \) drei Viertel von eins. Bei vielen Aufgaben im vorigen Abschnitt wurden Brüche verwendet, um einen Teil eines Ganzen zu bezeichnen. Gesunder Menschenverstand schlägt vor, dass der Teil immer kleiner als das Ganze sein muss, aber was ist dann mit Brüchen wie \(\frac(5)(5) \) oder \(\frac(8)(5) \)? Es ist klar, dass dies nicht mehr Teil der Einheit ist. Deshalb nennt man wohl solche Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist unechte Brüche. Die restlichen Brüche, also Brüche, deren Zähler kleiner als der Nenner, namens richtige Brüche.

Wie Sie wissen, kann jeder gewöhnliche Bruch, sowohl echter als auch unechter, als das Ergebnis der Division des Zählers durch den Nenner betrachtet werden. Daher in der Mathematik, im Gegensatz zu gewöhnliche Sprache, bedeutet der Begriff „unechter Bruch“ nicht, dass wir etwas falsch gemacht haben, sondern nur, dass dieser Bruch einen Zähler hat, der größer oder gleich dem Nenner ist.

Besteht eine Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruch, so ist z Brüche heißen gemischt.

Zum Beispiel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ist der ganzzahlige Teil und \(\frac(2)(3) \) ist der Bruchteil.

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b) \) durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, dann muss, um diesen Bruch durch n zu teilen, sein Zähler durch diese Zahl geteilt werden:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b) \) nicht durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, müssen Sie, um diesen Bruch durch n zu teilen, seinen Nenner mit dieser Zahl multiplizieren:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Beachten Sie, dass die zweite Regel auch gilt, wenn der Zähler durch n teilbar ist. Daher können wir es verwenden, wenn es auf den ersten Blick schwierig ist festzustellen, ob der Zähler eines Bruchs durch n teilbar ist oder nicht.

Aktionen mit Brüchen. Addition von Brüchen.

Mit Bruchzahlen kannst du wie mit natürlichen Zahlen vorgehen Rechenoperationen. Schauen wir uns zuerst das Addieren von Brüchen an. Einfaches Addieren von Brüchen gleiche Nenner. Finden Sie zum Beispiel die Summe von \(\frac(2)(7) \) und \(\frac(3)(7) \). Man sieht leicht, dass \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Addieren von Brüchen mit demselben Nenner wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Wenn Sie Brüche mit addieren möchten verschiedene Nenner, dann müssen sie erst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Zum Beispiel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Für Brüche, sowie für natürliche Zahlen, das Kommutativ und assoziative Eigenschaft Zusatz.

Addition von gemischten Fraktionen

Aufnahmen wie \(2\frac(2)(3) \) werden aufgerufen gemischte Fraktionen. Die Nummer 2 wird gerufen ganzer Teil gemischter Bruch, und die Zahl \(\frac(2)(3) \) ist seine Bruchteil. Der Eintrag \(2\frac(2)(3) \) wird so gelesen: "zwei und zwei Drittel".

Das Teilen der Zahl 8 durch die Zahl 3 ergibt zwei Antworten: \(\frac(8)(3) \) und \(2\frac(2)(3) \). Sie drücken dieselbe Bruchzahl aus, also \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Somit wird der unechte Bruch \(\frac(8)(3) \) als gemischter Bruch \(2\frac(2)(3) \) dargestellt. In solchen Fällen heißt es unechter Bruch das Ganze herausgegriffen.

Subtraktion von Brüchen (Bruchzahlen)

Subtraktion Bruchzahlen, sowie natürliche, wird auf der Grundlage der Additionsoperation bestimmt: Eine andere von einer Zahl subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie zur zweiten addiert wird, die erste ergibt. Zum Beispiel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) da \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner ähnelt der Regel zum Addieren solcher Brüche:
Um die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner zu finden, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner gleich.

Unter Verwendung von Buchstaben wird diese Regel wie folgt geschrieben:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplikation von Brüchen

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner schreiben.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Multiplizieren von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Mit der formulierten Regel ist es möglich, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, mit einem gemischten Bruch und auch gemischte Brüche zu multiplizieren. Dazu musst du eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben, einen gemischten Bruch als unechten Bruch.

Das Ergebnis der Multiplikation sollte (wenn möglich) vereinfacht werden, indem der Bruch gekürzt und der ganzzahlige Teil des unechten Bruchs hervorgehoben wird.

Sowohl für Brüche als auch für natürliche Zahlen gelten die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Multiplikation sowie die distributiven Eigenschaften der Multiplikation in Bezug auf die Addition.

Division von Brüchen

Nimm den Bruch \(\frac(2)(3) \) und „drehe“ ihn um, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Wir erhalten den Bruch \(\frac(3)(2) \). Dieser Bruchteil heißt umkehren Brüche \(\frac(2)(3) \).

„Umkehren“ wir nun den Bruch \(\frac(3)(2) \), dann erhalten wir den ursprünglichen Bruch \(\frac(2)(3) \). Daher werden Brüche wie \(\frac(2)(3) \) und \(\frac(3)(2) \) genannt gegenseitig invers.

Zum Beispiel die Brüche \(\frac(6)(5) \) und \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) und \(\frac (18 )(7) \).

Mit Hilfe von Buchstaben gegenseitig reziproke Brüche kann so geschrieben werden: \(\frac(a)(b) \) und \(\frac(b)(a) \)

Es ist klar, dass das Produkt der reziproken Brüche ist 1. Zum Beispiel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Mit reziproken Brüchen lässt sich die Division von Brüchen auf die Multiplikation zurückführen.

Die Regel zum Teilen eines Bruchs durch einen Bruch:
Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Teilen von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Wenn der Dividende oder Divisor ist natürliche Zahl oder gemischter Bruch, dann muss er, um die Regel zum Teilen von Brüchen anwenden zu können, zuerst als unechter Bruch dargestellt werden.

In diesem Artikel werden wir im Detail analysieren, wie Fraktionsreduktion. Lassen Sie uns zunächst über die sogenannte Fraktionsreduktion sprechen. Lassen Sie uns danach darüber sprechen, einen reduzierbaren Bruch auf eine irreduzible Form zu reduzieren. Als nächstes erhalten wir die Regel zum Kürzen von Brüchen und betrachten schließlich Beispiele für die Anwendung dieser Regel.

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Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Wir wissen, dass gewöhnliche Brüche in reduzierbare und irreduzible Brüche unterteilt werden. Aus den Namen können Sie erraten, dass die reduzierbaren Brüche reduziert werden können, die irreduziblen jedoch nicht.

Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen? Bruchteil reduzieren- Dies bedeutet, dass Zähler und Nenner durch ihr positives und nicht eins geteilt werden. Es ist klar, dass als Ergebnis der Bruchreduktion ein neuer Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner erhalten wird und der resultierende Bruch aufgrund der Haupteigenschaft des Bruchs gleich dem ursprünglichen ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel den gemeinsamen Bruch 8/24 kürzen, indem wir seinen Zähler und Nenner durch 2 teilen. Mit anderen Worten, kürzen wir den Bruch 8/24 um 2. Da 8:2=4 und 24:2=12, ergibt sich durch diese Reduktion der Bruch 4/12, der gleich dem ursprünglichen Bruch 8/24 ist (siehe gleiche und ungleiche Brüche). Als Ergebnis haben wir.

Reduktion gewöhnlicher Brüche auf irreduzible Form

In der Regel ultimatives Ziel Die Reduktion eines Bruchs besteht darin, einen irreduziblen Bruch zu erhalten, der gleich dem ursprünglichen reduzierbaren Bruch ist. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem der ursprüngliche gekürzte Bruch um seinen Zähler und Nenner reduziert wird. Diese Reduktion führt immer zu einem irreduziblen Bruch. Tatsächlich Bruchteil ist irreduzibel, da das bekannt ist und - . Hier sagen wir, dass der größte gemeinsame Teiler aus Zähler und Nenner eines Bruches ist größte Zahl, um die dieser Anteil reduziert werden kann.

So, Reduktion eines gewöhnlichen Bruchs auf eine irreduzible Form besteht darin, Zähler und Nenner des ursprünglichen gekürzten Bruchs durch ihren ggT zu dividieren.

Analysieren wir ein Beispiel, für das wir zum Bruch 8/24 zurückkehren und ihn um den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 8 und 24 reduzieren, der gleich 8 ist. Da 8:8=1 und 24:8=3, kommen wir zum irreduziblen Bruch 1/3. So, .

Beachten Sie, dass der Ausdruck „den Bruch reduzieren“ oft bedeutet, den ursprünglichen Bruch auf eine irreduzible Form zu reduzieren. Mit anderen Worten, Bruchreduktion wird sehr oft als Teilen des Zählers und Nenners durch ihren größten gemeinsamen Teiler (und nicht durch einen ihrer gemeinsamen Teiler) bezeichnet.

Wie kürze ich einen Bruch? Regel und Beispiele zur Bruchkürzung

Es bleibt nur noch die Regel zum Reduzieren von Brüchen zu analysieren, die erklärt, wie dieser Bruch reduziert werden kann.

Fraktionsreduktionsregel besteht aus zwei Schritten:

• zuerst wird der ggT des Zählers und Nenners des Bruchs gefunden;
• Zweitens werden Zähler und Nenner des Bruchs durch ihren ggT geteilt, was einen irreduziblen Bruch ergibt, der dem ursprünglichen gleich ist.

Lassen Sie uns analysieren bruch reduktion beispiel nach vorgegebener Regel.

Beispiel.

Reduziere den Bruch 182/195.

Entscheidung.

Lassen Sie uns beide Schritte ausführen, die von der Bruchreduktionsregel vorgeschrieben sind.

Zuerst finden wir gcd(182, 195) . Am bequemsten ist es, den Euklid-Algorithmus zu verwenden (siehe): 195=182 1+13 , 182=13 14 , also ggT(182, 195)=13 .

Jetzt teilen wir Zähler und Nenner des Bruchs 182/195 durch 13, während wir den irreduziblen Bruch 14/15 erhalten, der gleich dem ursprünglichen Bruch ist. Damit ist die Fraktionsreduktion abgeschlossen.

Vereinfacht lässt sich die Lösung wie folgt schreiben:

Antworten:

Damit können Sie mit der Kürzung von Brüchen fertig werden. Aber um das Bild zu vervollständigen, ziehen Sie zwei weitere Möglichkeiten in Betracht, Brüche zu kürzen, die normalerweise in leichten Fällen verwendet werden.

Manchmal sind Zähler und Nenner eines gekürzten Bruchs einfach. Das Kürzen des Bruchs ist in diesem Fall sehr einfach: Sie müssen nur alle gemeinsamen Faktoren aus Zähler und Nenner entfernen.

Es ist erwähnenswert, dass diese Methode direkt aus der Bruchregel folgt, da das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren von Zähler und Nenner gleich ihrem größten gemeinsamen Teiler ist.

Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Reduziere den Bruch 360/2940.

Entscheidung.

Zerlegen wir Zähler und Nenner in Primfaktoren: 360=2 2 2 3 3 5 und 2 940=2 2 3 5 7 7 . Auf diese Weise, .

Jetzt entfernen wir die gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner, der Einfachheit halber streichen wir sie einfach durch: .

Schließlich multiplizieren wir die restlichen Faktoren: , und die Kürzung des Bruchs ist abgeschlossen.

Hier kurzer Eintrag Lösungen: .

Antworten:

Betrachten Sie eine andere Möglichkeit, einen Bruch zu kürzen, die in einer sequentiellen Kürzung besteht. Hier wird der Bruch bei jedem Schritt um einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner gekürzt, der entweder offensichtlich ist oder leicht bestimmt werden kann

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Sie können ein Beispiel für eine Lösung sowohl über die Tastatur als auch über die Schaltflächen eingeben.

Funktionen des Online-Bruchrechners

Der Bruchrechner kann nur Operationen mit 2 ausführen einfache Brüche. Sie können entweder richtig (der Zähler ist kleiner als der Nenner) oder falsch (der Zähler ist größer als der Nenner) sein. Die Zahlen im Zähler und Nenner dürfen nicht negativ und größer als 999 sein.
Unser Online-Rechner löst Brüche und bringt die Antwort auf korrekte Form- Verkleinert den Bruchteil und hebt ggf. den ganzen Teil hervor.

Wenn Sie negative Brüche lösen müssen, verwenden Sie einfach die Minus-Eigenschaften. Beim Multiplizieren und Dividieren negative Brüche zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung. Das heißt, das Produkt und die Division negativer Brüche sind gleich dem Produkt und der Division derselben positiven Brüche. Wenn ein Bruch beim Multiplizieren oder Dividieren negativ ist, entfernen Sie einfach das Minus und fügen es dann zur Antwort hinzu. Wenn Sie negative Brüche addieren, ist das Ergebnis dasselbe, als ob Sie dieselben positiven Brüche addieren würden. Wenn Sie einen negativen Bruch addieren, dann ist dies dasselbe, als würden Sie denselben positiven Bruch subtrahieren.
Beim Subtrahieren negativer Brüche ist das Ergebnis dasselbe, als ob sie umgekehrt und positiv gemacht würden. Das ist minus mal minus rein dieser Fall ergibt ein Plus, und die Summe ändert sich durch die Neuordnung der Terme nicht. Wir verwenden die gleichen Regeln beim Subtrahieren von Brüchen, von denen einer negativ ist.

Für Lösungen gemischte Fraktionen(von Brüchen mit hervorgehobenem ganzzahligen Teil) treiben Sie einfach den ganzzahligen Teil in einen Bruch. Multiplizieren Sie dazu den ganzzahligen Teil mit dem Nenner und addieren Sie ihn zum Zähler.

Wenn du 3 oder mehr Brüche online lösen musst, dann solltest du sie nacheinander lösen. Zähle zuerst die ersten 2 Brüche, löse dann den nächsten Bruch mit der erhaltenen Antwort und so weiter. Führen Sie nacheinander Operationen für 2 Brüche durch, und am Ende erhalten Sie die richtige Antwort.

Ohne zu wissen, wie man einen Bruch kürzt, und eine stetige Fähigkeit zum Lösen zu haben ähnliche Beispiele Es ist sehr schwierig, Algebra in der Schule zu lernen. Je weiter, desto mehr Grundwissenüber die Kürzung gewöhnliche Brücheüberlagert neue Informationen. Zuerst gibt es Grade, dann Faktoren, die später zu Polynomen werden.

Wie kann man hier nicht verwirrt werden? Fähigkeiten stärken im vorherige Themen und bereiten Sie sich nach und nach auf das von Jahr zu Jahr komplizierter werdende Wissen vor, wie man den Bruch verkleinert.

Grundwissen

Ohne sie ist es nicht möglich, Aufgaben auf allen Ebenen zu bewältigen. Um zu verstehen, müssen Sie zwei einfache Punkte verstehen. Erstens können Sie nur Multiplikatoren reduzieren. Diese Nuance erweist sich als sehr wichtig, wenn Polynome im Zähler oder Nenner vorkommen. Dann müssen Sie klar unterscheiden, wo sich der Multiplikator und wo der Term befindet.

Der zweite Punkt besagt, dass jede Zahl als Faktoren dargestellt werden kann. Außerdem ist das Ergebnis der Kürzung ein solcher Bruch, dessen Zähler und Nenner nicht mehr gekürzt werden können.

Regeln zum Kürzen gemeinsamer Brüche

Als erstes ist zu prüfen, ob der Zähler durch den Nenner teilbar ist oder umgekehrt. Dann müssen Sie um diese Zahl reduzieren. Dies ist die einfachste Option.

Das zweite ist die Analyse Aussehen Zahlen. Wenn beide mit einer oder mehreren Nullen enden, können sie um 10, 100 oder tausend reduziert werden. Hier können Sie sehen, ob die Zahlen gerade sind. Wenn ja, dann können Sie sicher um zwei reduzieren.

Die dritte Regel, wie man einen Bruch kürzt, ist die Zerlegung von Zähler und Nenner in Primfaktoren. Zu diesem Zeitpunkt müssen Sie das gesamte Wissen über die Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen aktiv nutzen. Nach einer solchen Zerlegung müssen nur noch alle Wiederholungen gefunden, multipliziert und mit der resultierenden Zahl reduziert werden.

Was ist, wenn der Bruch einen algebraischen Ausdruck enthält?

Hier tauchen die ersten Schwierigkeiten auf. Denn hier tauchen die Terme auf, die mit Faktoren identisch sein können. Ich möchte sie wirklich kürzen, aber ich kann nicht. Vor dem Schneiden algebraischer Bruch, muss es so transformiert werden, dass es Faktoren hat.

Dazu sind mehrere Schritte erforderlich. Möglicherweise müssen Sie sie alle durchgehen, oder vielleicht bietet die erste eine geeignete Option.

Überprüfen Sie, ob sich Zähler und Nenner oder irgendein Ausdruck darin durch Vorzeichen unterscheiden. In diesem Fall müssen Sie nur die Klammern minus eins entfernen. Dies führt zu identischen Multiplikatoren, die reduziert werden können.

Sehen Sie, ob der gemeinsame Faktor aus dem Polynom ausgeklammert werden kann. Vielleicht entpuppt sich daraus eine Klammer, die auch verkleinert werden kann, oder ein herausgenommenes Monom.

Versuchen Sie, eine Gruppierung von Monomen vorzunehmen, um daraus dann einen gemeinsamen Faktor herauszufiltern. Danach kann sich herausstellen, dass es Faktoren gibt, die reduziert werden können, oder wieder gemeinsame Elemente einklammern.

Versuchen Sie, die Formel der abgekürzten Multiplikation schriftlich zu berücksichtigen. Mit ihrer Hilfe wird es einfach sein, ein Polynom in Faktoren umzuwandeln.

Folge von Aktionen mit Brüchen mit Potenzen

Um die Frage, wie man einen Bruch mit Graden kürzt, leicht zu verstehen, ist es notwendig, sich die grundlegenden Aktionen mit ihnen genau zu merken. Der erste von ihnen ist mit der Multiplikation von Kräften verbunden. In diesem Fall müssen die Indikatoren hinzugefügt werden, wenn die Basen gleich sind.

Das zweite ist die Teilung. Auch hier müssen die Indikatoren für diejenigen, die dieselbe Basis haben, subtrahiert werden. Außerdem müssen Sie von der Zahl abziehen, die im Dividenden steht, und nicht umgekehrt.

Die dritte ist die Potenzierung. In dieser Situation werden die Indikatoren multipliziert.

Eine erfolgreiche Reduzierung erfordert auch die Fähigkeit, Grade zu reduzieren die gleichen Gründe. Das heißt, zu sehen, dass vier zwei zum Quadrat ist. Oder 27 ist der Würfel von drei. Weil das Schneiden von 9 Quadraten und 3 Würfeln schwierig ist. Aber wenn wir den ersten Ausdruck als (3 2) 2 umformen, dann gelingt die Reduktion.