Probleme lösen mit komplexe Zahlen Es ist notwendig, die grundlegenden Definitionen zu verstehen. Die Hauptaufgabe dieses Übersichtsartikels - zu erklären, was komplexe Zahlen sind, und Methoden zur Lösung grundlegender Probleme mit komplexen Zahlen vorzustellen. Eine komplexe Zahl ist also eine Zahl der Form z = a + bi, wo ein, b- reelle Zahlen, die als Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet werden und bezeichnen a = Re(z), b=Im(z).
ich heißt imaginäre Einheit. ich 2 \u003d -1. Insbesondere kann jede reelle Zahl als komplex betrachtet werden: a = a + 0i, wobei a reell ist. Ob a = 0 und b ≠ 0, dann heißt die Zahl rein imaginär.

Wir führen nun Operationen auf komplexen Zahlen ein.
Betrachten Sie zwei komplexe Zahlen z 1 = ein 1 + b 1 ich und z 2 = ein 2 + b 2 ich.

Prüfen z = a + bi.

Die Menge der komplexen Zahlen erweitert die Menge der reellen Zahlen, die wiederum die Menge erweitert Rationale Zahlen usw. Diese Investitionskette ist in der Abbildung zu sehen: N - ganze Zahlen, Z sind ganze Zahlen, Q sind rational, R sind reell, C sind komplex.

Darstellung komplexer Zahlen

Algebraische Notation.

Betrachten Sie eine komplexe Zahl z = a + bi, nennt man diese Schreibweise einer komplexen Zahl algebraisch. Auf diese Form des Schreibens haben wir bereits im vorigen Abschnitt ausführlich eingegangen. Verwenden Sie häufig die folgende illustrative Zeichnung

trigonometrische Form.

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Zahl z = a + bi kann anders geschrieben werden. Es ist klar, dass a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, somit z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) heißt Argument einer komplexen Zahl. Diese Darstellung einer komplexen Zahl heißt trigonometrische Form. Die trigonometrische Schreibweise ist manchmal sehr praktisch. Zum Beispiel ist es praktisch, eine komplexe Zahl ganzzahlig zu potenzieren, nämlich if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, dann z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, heißt diese Formel Die Formel von De Moivre.

Demonstrationsform.

Prüfen z = rcos(φ) + rsin(φ)i ist eine komplexe Zahl in trigonometrische Form, in anderer Form schreiben z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, die letzte Gleichheit folgt aus der Euler-Formel, also erhalten wir neue Form Einträge mit komplexen Zahlen: z = reiφ, welches heisst demonstrativ. Diese Schreibweise ist auch sehr praktisch, um eine komplexe Zahl zu potenzieren: z n = r n e inφ, hier n nicht unbedingt eine ganze Zahl, kann aber eine beliebige reelle Zahl sein. Diese Form des Schreibens wird häufig zur Lösung von Problemen verwendet.

Fundamentalsatz der höheren Algebra

Stellen Sie sich vor, wir haben eine quadratische Gleichung x 2 + x + 1 = 0 . Es ist offensichtlich, dass die Diskriminante dieser Gleichung negativ ist und keine echten Wurzeln hat, aber es stellt sich heraus, dass diese Gleichung zwei verschiedene komplexe Wurzeln hat. Der Hauptsatz der höheren Algebra besagt also, dass jedes Polynom vom Grad n mindestens eine komplexe Wurzel hat. Dies impliziert, dass jedes Polynom vom Grad n genau n hat komplexe Wurzeln in Anbetracht ihrer Vielfältigkeit. Dieser Satz ist sehr wichtiges Ergebnis in der Mathematik und ist weit verbreitet. Eine einfache Folge dieses Satzes ist, dass es genau n verschiedene n-Grad-Einheitswurzeln gibt.

Hauptarten von Aufgaben

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Typen behandelt einfache Aufgaben zu komplexen Zahlen. Herkömmlicherweise können Probleme mit komplexen Zahlen in die folgenden Kategorien eingeteilt werden.

• Am einfachsten ausführen Rechenoperationenüber komplexen Zahlen.
• Finden der Wurzeln von Polynomen in komplexen Zahlen.
• Komplexe Zahlen potenzieren.
• Wurzelziehen aus komplexen Zahlen.
• Anwendung komplexer Zahlen zur Lösung anderer Probleme.

Jetzt bedenke allgemeine Techniken Lösungen für diese Probleme.

Die einfachsten arithmetischen Operationen mit komplexen Zahlen werden nach den im ersten Abschnitt beschriebenen Regeln durchgeführt, aber wenn komplexe Zahlen in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt werden, können sie in diesem Fall in algebraische Form umgewandelt werden und Operationen nach bekannten Regeln ausführen.

Das Finden der Wurzeln von Polynomen läuft normalerweise darauf hinaus, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Angenommen, wir haben eine quadratische Gleichung, wenn ihre Diskriminante nicht negativ ist, dann sind ihre Wurzeln reell und werden gemäß einer bekannten Formel gefunden. Wenn die Diskriminante negativ ist, dann D = -1∙a 2, wo a eine bestimmte Zahl ist, dann können wir die Diskriminante in der Form darstellen D = (ia) 2, somit √D = i|a|, und dann können Sie verwenden berühmte Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Beispiel. Zurück zum oben quadratische Gleichung x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Jetzt können wir leicht die Wurzeln finden:

Das Potenzieren komplexer Zahlen kann auf verschiedene Arten erfolgen. Wenn Sie eine komplexe Zahl in algebraischer Form auf eine kleine Potenz (2 oder 3) erheben möchten, können Sie dies durch direkte Multiplikation tun, aber wenn der Grad größer ist (bei Aufgaben ist er oft viel größer), dann müssen Sie Schreiben Sie diese Zahl in trigonometrischer oder exponentieller Form und verwenden Sie bereits bekannte Methoden.

Beispiel. Betrachten Sie z = 1 + i und potenzieren Sie es mit der zehnten Potenz.
Wir schreiben z in Exponentialform: z = √2 e iπ/4 .
Dann z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Kehren wir zur algebraischen Form zurück: z 10 = -32i.

Das Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen ist die umgekehrte Operation in Bezug auf die Potenzierung, also wird es auf ähnliche Weise gemacht. Wird oft verwendet, um Wurzeln zu extrahieren. indikative Form Zahleneinträge.

Beispiel. Finden Sie alle Wurzeln des Grades 3 der Einheit. Dazu finden wir alle Wurzeln der Gleichung z 3 = 1, wir suchen die Wurzeln in Exponentialform.
Setzen Sie in die Gleichung ein: r 3 e 3iφ = 1 oder r 3 e 3iφ = e 0 .
Also: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, also φ = 2πk/3.
Bei φ = 0, 2π/3, 4π/3 erhält man verschiedene Nullstellen.
Also sind 1 , e i2π/3 , e i4π/3 Wurzeln.
Oder in algebraischer Form:

Der letzte Aufgabentyp umfasst große Menge Probleme und es gibt keine allgemeingültigen Methoden zu ihrer Lösung. Hier ist ein einfaches Beispiel für eine solche Aufgabe:

Finden Sie den Betrag sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Obwohl die Formulierung dieses Problems nicht fraglichüber komplexe Zahlen, aber mit ihrer Hilfe kann es leicht gelöst werden. Zur Lösung werden folgende Darstellungen verwendet:


Setzen wir nun diese Darstellung in die Summe ein, so reduziert sich das Problem auf die Summation der üblichen geometrischen Folge.

Fazit

Komplexe Zahlen sind in der Mathematik weit verbreitet, in diesem Übersichtsartikel wurden die wichtigsten Operationen mit komplexen Zahlen betrachtet, mehrere Arten von Standardaufgaben und kurz beschrieben gängige Methoden deren Lösungen, für eine genauere Untersuchung der Möglichkeiten komplexer Zahlen empfiehlt es sich, auf Fachliteratur zurückzugreifen.

Literatur

Komplexe Zahlen. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form z=a+biabRi2=−1

Kommentar.
Die reelle Zahl a ist der Realteil der Zahl z und wird mit a=Rez bezeichnet
Die reelle Zahl b ist der Imaginärteil der Zahl z und wird mit b=Imz bezeichnet
Reelle Zahlen sind ein vollständiger Satz von Zahlen und Operationen auf ihnen, die anscheinend ausreichen sollten, um alle Aufgaben in einem Mathematikkurs zu lösen. Aber wie löst man eine solche Gleichung in reellen Zahlen x2+1=0? Es gibt eine weitere Erweiterung von Zahlen - komplexe Zahlen. Aus komplexen Zahlen können Wurzeln gezogen werden negative Zahlen.
Algebraische Form komplexe Zahl. Die algebraische Form einer komplexen Zahl ist z=a+bi(aRbRi2=−1)

Kommentar. Ist a=ReZ=0b=Imz=0, so heißt die Zahl z imaginär. Ist a=ReZ=0b=Imz=0, so heißt die Zahl z rein imaginär

Die geometrische Interpretation reeller Zahlen ist die reelle Gerade. Außerdem ist auf der reellen Linie "kein Platz für neue Punkte", dh jeder Punkt auf der reellen Achse entspricht einer reellen Zahl. Folglich können die komplexen Zahlen nicht mehr auf dieser Linie liegen, aber man kann versuchen, mit zu betrachten echte Achse, auf dem wir den Realteil der komplexen Zahl darstellen, eine weitere Achse senkrecht dazu; wir nennen es die imaginäre Achse. Dann kann jede komplexe Zahl z = a + ib einem Punkt auf der Koordinatenebene zugeordnet werden. Wir tragen den Realteil der komplexen Zahl auf der Abszissenachse und den Imaginärteil auf der Ordinatenachse auf. Somit wird eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen allen komplexen Zahlen und allen Punkten der Ebene hergestellt. Wenn eine solche Korrespondenz aufgebaut ist, dann Koordinatenebene namens komplexe Ebene. Die Interpretation der komplexen Zahl z = a + b i ist der Vektor OA mit den Koordinaten (a,b) mit dem Anfang am Punkt O(0,0) und dem Ende am Punkt A(a,b)

Zahlen konjugieren. Die Zahlen z=a+bi und z=a−bi heißen konjugiert komplexe Zahlen

Eigentum. Die Summe und das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen sind reelle Zahlen: z+z=2azz=a2+b2

entgegengesetzte Zahlen. Die Zahlen z=a+bi und −z=−a−bi heißen entgegengesetzt komplexe Zahlen.

Eigentum. Die Summe zweier entgegengesetzter komplexer Zahlen ist Null:
z+(−z)=0

Gleiche Zahlen. Zwei komplexe Zahlen heißen gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind.

Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form:

Additionseigenschaft: Die Summe zweier komplexer Zahlen z1=a+bi und z2=c+di wird eine komplexe Zahl der Form z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) ich
Beispiel: 5+3i+3−i=8+2i

Subtraktionseigenschaft: Die Differenz zweier komplexer Zahlen z1=a+bi und z2=c+di wird eine komplexe Zahl der Form z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) ich

Beispiel: . 5+3i−3−i=2+4i

Multiplikationseigenschaft: Das Produkt zweier komplexer Zahlen z1=a+bi und z2=c+di wird eine komplexe Zahl der Form z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i sein

Beispiel: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Divisionseigenschaft: Der Quotient zweier komplexer Zahlen z1=a+bi und z2=c+di wird eine komplexe Zahl der Form z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Beispiel: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form
Das Schreiben der komplexen Zahl z = a + bi als z=rcos+isin wird als trigonometrische Form der komplexen Zahl bezeichnet.

Modul einer komplexen Zahl: r=a2+b2

Argument für komplexe Zahlen: cos=rasin=rb

Imaginäre und komplexe Zahlen

Betrachten Sie eine unvollständige quadratische Gleichung:
x 2 \u003d ein,
wo ein - bekannte Menge. Die Lösung dieser Gleichung kann geschrieben werden als:
Hier gibt es drei mögliche Fälle:

ein). Wenn a = 0 ist, dann ist x = 0.

2). Wenn ein- positive Zahl, dann ist es Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: eine positive, die andere negative; Zum Beispiel hat die Gleichung x 2 \u003d 25 zwei Wurzeln: 5 und - 5. Dies wird oft als Wurzel mit einem Doppelzeichen geschrieben:
3) Wenn a eine negative Zahl ist, dann hat diese Gleichung keine Lösungen unter den uns bekannten positiven und negativen Zahlen, weil die zweite Potenz jeder Zahl eine nicht-negative Zahl ist (denken Sie darüber nach!). Aber wenn wir Lösungen der Gleichung x 2 = a auch für bekommen wollen negative Werte a, wir sind gezwungen, Zahlen eines neuen Typs einzuführen - imaginäre Zahlen. Eine imaginäre Zahl ist also eine Zahl, deren zweite Potenz eine negative Zahl ist. Gemäß dieser Definition von imaginären Zahlen können wir auch eine imaginäre Einheit definieren:
Dann erhalten wir für die Gleichung x 2 = - 25 zwei imaginäre Wurzeln:
Setzen wir diese beiden Wurzeln in unsere Gleichung ein, erhalten wir eine Identität. (Überprüfen!). Im Gegensatz zu imaginären Zahlen werden alle anderen Zahlen (positiv und negativ, ganzzahlig und gebrochen, rational und irrational) als reelles oder bezeichnet reale Nummern. Die Summe der reellen und imaginäre Zahl heißt komplexe Zahl und wird bezeichnet als:

Wo a, b - reale Nummern, i ist die imaginäre Einheit.

Beispiele für komplexe Zahlen: 3 + 4 i , 7 - 13,6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

Abrufen notwendige Informationenüber komplexe zahlen.

Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a + Bi, wo a, b reelle Zahlen sind, und ich- sogenannt imaginäre Einheit, das Symbol, dessen Quadrat -1 ist, d.h. ich 2 = -1. Anzahl a namens echter Teil, und die Nummer b - Imaginärer Teil komplexe Zahl z = a + Bi. Wenn ein b= 0, dann statt a + 0ich einfach schreiben a. Es ist ersichtlich, dass die reellen Zahlen sind besonderer Fall komplexe Zahlen.

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen sind die gleichen wie mit reellen Zahlen: Sie können miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Addition und Subtraktion gehen nach der Regel ( a + Bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)ich, und Multiplikation - nach der Regel ( a + Bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(Hier wird nur das verwendet ich 2 = -1). Zahl = a – Bi namens Komplex konjugiert zu z = a + Bi. Gleichberechtigung z · = a 2 + b 2 ermöglicht Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere komplexe Zahl (nicht Null) dividiert:

(Zum Beispiel, .)

Komplexe Zahlen haben eine bequeme und visuelle geometrische Darstellung: Anzahl z = a + Bi kann als Vektor mit Koordinaten ( a; b) auf der Kartesische Ebene(oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt - das Ende des Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die durch die Parallelogrammregel gefunden werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( a; b) entspricht . Dieser Wert wird aufgerufen Modul komplexe Zahl z = a + Bi und ist mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (im Gegenuhrzeigersinn gezählt) bildet, wird genannt Streit komplexe Zahl z und mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π Radiant (oder 360°, wenn Sie in Grad zählen) - schließlich ist klar, dass das Drehen um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht ändert. Aber wenn der Vektor der Länge r bildet einen Winkel φ mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind ihre Koordinaten gleich ( r cos φ ; r Sünde φ ). Daher stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| (cos(Arg z) + ich Sünde (arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Die Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form sieht sehr einfach aus: z ein · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + ich Sünde (arg z 1+arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Moduli multipliziert und die Argumente addiert). Ab hier folgen De Moivre-Formeln: z n = |z|n(weil ( n(Arg z)) + ich Sünde( n(Arg z))). Mit Hilfe dieser Formeln ist es leicht zu lernen, wie man Wurzeln beliebigen Grades aus komplexen Zahlen zieht. Wurzel nter Grad ab Nummer z ist so eine komplexe Zahl w, was w n = z. Es ist klar, dass , und wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., n- ein). Das heißt, es gibt immer genau n Wurzeln n Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene befinden sie sich an den Ecken einer regulären n-gon).