Vektor− rein mathematisches Konzept, die nur in der Physik oder anderen verwendet wird angewandte Wissenschaften und die es ermöglicht, die Lösung einiger komplexer Probleme zu vereinfachen.
Vektor− gerichtetes Liniensegment.
Im Kurs elementare physik man muss mit zwei Kategorien von Größen operieren − Skalar und Vektor.
Skalar Größen (Skalare) sind Größen gekennzeichnet durch numerischer Wert und unterschreiben. Die Skalare sind die Länge − l, Masse − m, Pfad − s, Zeit − t, Temperatur − T, elektrische Ladung − q, Energie − W, Koordinaten usw.
Alle gelten für Skalare. algebraische Aktionen(Addition, Subtraktion, Multiplikation usw.).
Beispiel 1.
Bestimmen Sie die Gesamtladung des Systems, bestehend aus den darin enthaltenen Ladungen, wenn q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
Volle Systemladung
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.
Beispiel 2.
Für quadratische Gleichung nett
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vektor Größen (Vektoren) sind Größen, zu deren Definition neben dem Zahlenwert auch die Richtung angegeben werden muss. Vektoren − Geschwindigkeit v, Gewalt F, Schwung p, Spannung elektrisches Feld E, magnetische Induktion B usw.
Der Zahlenwert des Vektors (Modulus) wird durch einen Buchstaben ohne Vektorsymbol angegeben oder der Vektor ist zwischen senkrechten Strichen eingeschlossen r = |r|.
Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt (Abb. 1),
Die Länge davon in einem gegebenen Maßstab ist gleich seinem Modul, und die Richtung stimmt mit der Richtung des Vektors überein.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Beträge und Richtungen gleich sind.
Vektorgrößen werden geometrisch addiert (nach der Regel der Vektoralgebra).
Das Finden einer Vektorsumme aus gegebenen Komponentenvektoren wird als Vektoraddition bezeichnet.
Die Addition zweier Vektoren erfolgt nach der Parallelogramm- oder Dreiecksregel. Gesamtvektor
c = a + b
gleich der Diagonale des auf den Vektoren aufgebauten Parallelogramms a und b. Modul es
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Abb. 2). 
Für α = 90° ist c = √(a 2 + b 2 ) der Satz des Pythagoras.
Derselbe Vektor c kann durch die Dreiecksregel erhalten werden, wenn vom Ende des Vektors ausgegangen wird a Vektor verschieben b. Schließender Vektor c (verbindet den Anfang des Vektors a und das Ende des Vektors b) ist die Vektorsumme von Termen (Komponenten von Vektoren a und b).
Der resultierende Vektor wird als der schließende Vektor der unterbrochenen Linie gefunden, deren Verknüpfungen die konstituierenden Vektoren sind (Fig. 3). 
Beispiel 3.
Addieren Sie zwei Kräfte F 1 \u003d 3 N und F 2 \u003d 4 N, Vektoren F1 und F2 Winkel α 1 \u003d 10 ° bzw. α 2 \u003d 40 ° mit dem Horizont bilden
F = F1 + F2(Abb. 4). 
Das Ergebnis der Addition dieser beiden Kräfte ist eine Kraft, die als Resultierende bezeichnet wird. Vektor F entlang der Diagonalen eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms gerichtet F1 und F2, als Seiten, und modulo gleich seiner Länge.
Vektormodul F nach dem Kosinussatz finden
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Wenn ein
(α 2 − α 1) = 90°, dann F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Angle diesen Vektor F mit der Ochsenachse ist, finden wir durch die Formel
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.
Die Projektion des Vektors a auf die Achse Ox (Oy) ist ein Skalarwert, der vom Winkel α zwischen der Richtung des Vektors abhängt a und Äxte Ox (Oy). (Abb. 5) 
Vektorprojektionen a auf den Achsen Ox und Oy rechteckiges System Koordinaten. (Abb. 6) 
Um Fehler bei der Bestimmung des Vorzeichens der Vektorprojektion auf die Achse zu vermeiden, ist es hilfreich, sich daran zu erinnern nächste Regel: Wenn die Richtung der Komponente mit der Richtung der Achse zusammenfällt, dann ist die Projektion des Vektors auf diese Achse positiv, aber wenn die Richtung der Komponente der Richtung der Achse entgegengesetzt ist, dann ist die Projektion des Vektors positiv Negativ. (Abb. 7) 
Die Vektorsubtraktion ist eine Addition, bei der ein Vektor zum ersten Vektor addiert wird, der numerisch gleich dem zweiten, entgegengesetzt gerichtet ist
a − b = a + (−b) = d(Abb. 8). 
Lassen Sie es aus dem Vektor notwendig sein a Vektor subtrahieren b, ihr Unterschied − d. Um die Differenz zweier Vektoren zu finden, ist der Vektor notwendig a Vektor hinzufügen ( -b), also ein Vektor d = a − b wird ein Vektor sein, der vom Anfang des Vektors gerichtet ist a gegen Ende des Vektors ( -b) (Abb. 9). 
In einem auf Vektoren aufgebauten Parallelogramm a und b beide Seiten, eine Diagonale c hat die Bedeutung von Summe, und der andere d− Vektordifferenzen a und b(Abb. 9).
Vektorprodukt a pro Skalar k gleich Vektor b= k a, dessen Modul k mal ist mehr Modul Vektor a, und die Richtung ist die gleiche wie die Richtung a für positives k und umgekehrt für negatives k.
Beispiel 4.
Bestimmen Sie den Impuls eines Körpers mit einer Masse von 2 kg, der sich mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s bewegt. (Abb. 10) 
Körper Schwung p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s und richtet sich nach der Geschwindigkeit v.
Beispiel 5.
Die Ladung q = −7,5 nC wird in ein elektrisches Feld mit der Intensität E = 400 V/m gebracht. Finden Sie den Betrag und die Richtung der auf die Ladung wirkenden Kraft.
Stärke gleich F= q E. Da die Ladung negativ ist, ist der Kraftvektor zur Seite gerichtet, Vektor gegenüber E. (Abb. 11) 
Aufteilung Vektor a mit einem Skalar k ist gleichbedeutend mit Multiplizieren a um 1/k.
Skalarprodukt Vektoren a und b nenne den Skalar "c" dem Produkt gleich Module dieser Vektoren durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Abb. 12) 
Beispiel 6.
Um einen Job zu finden konstante Kraft F = 20 N, wenn Weg S = 7,5 m und Winkel α zwischen Kraft und Weg α = 120°.
Die Arbeit einer Kraft ist per Definition Skalarprodukt Kräfte und Bewegungen
A = (FS) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.
Vektorgrafiken Vektoren a und b Anrufvektor c, numerisch gleich dem Produkt der Module der Vektoren a und b, multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
Vektor c senkrecht zu der Ebene, in der die Vektoren liegen a und b, und seine Richtung hängt mit der Richtung der Vektoren zusammen a und b rechte Schraubenregel (Abb. 13). 
Beispiel 7.
Bestimmen Sie die Kraft, die auf einen 0,2 m langen Leiter wirkt, der sich in einem Magnetfeld befindet, dessen Induktion 5 T beträgt, wenn der Strom im Leiter 10 A beträgt und er mit der Feldrichtung einen Winkel α = 30 ° bildet.
Verstärkerleistung
dF = I = Idl × B oder F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Betrachten Sie die Problemlösung.
1. Wie werden zwei Vektoren gerichtet, deren Beträge gleich und gleich a sind, wenn der Betrag ihrer Summe ist: a) 0; b) 2a; c) ein; d) a√(2); e) a√(3)?
Entscheidung.
a) Zwei Vektoren sind entlang derselben Geraden gerichtet gegenüberliegende Seiten. Die Summe dieser Vektoren ist gleich Null. 
b) Zwei Vektoren sind entlang derselben Geraden in dieselbe Richtung gerichtet. Die Summe dieser Vektoren ist 2a. 
c) Zwei Vektoren sind in einem Winkel von 120° zueinander gerichtet. Die Summe der Vektoren ist gleich a. Der resultierende Vektor wird durch den Kosinussatz gefunden: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 und α = 120°.
d) Zwei Vektoren sind im Winkel von 90° zueinander gerichtet. Der Modul der Summe ist
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2 ,
cosα = 0 und α = 90°. 
e) Zwei Vektoren sind in einem Winkel von 60° zueinander gerichtet. Der Modul der Summe ist
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 und α = 60°.
Antworten: Der Winkel α zwischen den Vektoren ist gleich: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Wenn a = a1 + a2 Orientierung von Vektoren, was kann über die gegenseitige Orientierung von Vektoren gesagt werden eine 1 und eine 2, falls: a) a = a 1 + a 2; b) ein 2 \u003d ein 1 2 + ein 2 2; c) ein 1 + ein 2 \u003d ein 1 - ein 2?
Entscheidung.
a) Wenn die Summe der Vektoren als Summe der Module dieser Vektoren gefunden wird, dann sind die Vektoren parallel zueinander entlang einer geraden Linie gerichtet ein 1 ||ein 2.
b) Wenn die Vektoren in einem Winkel zueinander gerichtet sind, wird ihre Summe durch den Kosinussatz für ein Parallelogramm gefunden
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 und α = 90°.
Vektoren stehen senkrecht aufeinander a 1 ⊥ a 2.
c) Zustand ein 1 + ein 2 = ein 1 − ein 2 kann durchgeführt werden, wenn eine 2− Nullvektor, dann a 1 + a 2 = a 1 .
Antworten. a) ein 1 ||ein 2; b) a 1 ⊥ a 2; in) eine 2− Nullvektor.
3. An einem Punkt des Körpers werden zwei Kräfte von je 1,42 N in einem Winkel von 60° zueinander aufgebracht. In welchem Winkel sollten zwei Kräfte von je 1,75 N auf denselben Körperpunkt aufgebracht werden, damit ihre Wirkung die Wirkung der ersten beiden Kräfte ausgleicht?
Entscheidung.
Je nach Problemstellung gleichen zwei Kräfte von je 1,75 N zwei Kräfte von je 1,42 N. Dies ist möglich, wenn die Module der resultierenden Vektoren von Kräftepaaren gleich sind. Der resultierende Vektor wird durch den Kosinussatz für ein Parallelogramm bestimmt. Für das erste Kräftepaar:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
für das zweite Kräftepaar
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Gleichsetzen der linken Teile der Gleichungen
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Finden Sie den gewünschten Winkel β zwischen den Vektoren
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Nach Berechnungen,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.
Der zweite Lösungsweg.
Betrachten Sie die Projektion von Vektoren auf die Koordinatenachse OX (Abb.). 
Verwenden Sie das Verhältnis zwischen den Seiten in rechtwinkliges Dreieck, wir bekommen
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
wo
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) und β ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Wie groß muss der Skalarwert c sein, damit |c a| = 7,5?
Entscheidung.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektormodul a wird gleich sein
a 2 = 3 2 + 4 2 und a = ±5,
dann ab
c.(±5) = 7,5,
finde das
c = ±1,5.
5. Vektoren eine 1 und eine 2 kommen aus dem Ursprung und haben Kartesischen Koordinaten endet (6, 0) bzw. (1, 4). Finden Sie einen Vektor eine 3 so dass: a) eine 1 + eine 2 + eine 3= 0; b) eine 1 − eine 2 + eine 3 = 0.
Entscheidung.
Lassen Sie uns die Vektoren einzeichnen Kartesisches System Koordinaten (Abb.) 
a) Der resultierende Vektor entlang der Ox-Achse ist
a x = 6 + 1 = 7.
Der resultierende Vektor entlang der Oy-Achse ist
a y = 4 + 0 = 4.
Damit die Summe der Vektoren gleich Null ist, muss die Bedingung
eine 1 + eine 2 = −eine 3.
Vektor eine 3 Modulo ist gleich dem Gesamtvektor a1 + a2 sondern in die entgegengesetzte Richtung gerichtet. Endvektorkoordinate eine 3 gleich (–7, –4) ist, und der Modul
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1.
B) Der resultierende Vektor entlang der Ox-Achse ist gleich
ein x = 6 − 1 = 5,
und der resultierende Vektor entlang der Oy-Achse
ein y = 4 − 0 = 4.
Wenn die Bedingung
eine 1 − eine 2 = −eine 3,
Vektor eine 3 hat die Koordinaten des Endes des Vektors a x = -5 und a y = -4, und sein Modul ist
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6,4.
6. Der Bote fährt 30 m nach Norden, 25 m nach Osten, 12 m nach Süden und steigt dann im Gebäude in einem Aufzug auf eine Höhe von 36 m. Wie groß ist die von ihm zurückgelegte Strecke L und die Verschiebung S?
Entscheidung.
Stellen wir uns die in der Aufgabe beschriebene Situation in einem Flugzeug in beliebigem Maßstab vor (Abb.). 
Ende des Vektors OA hat die Koordinaten 25 m nach Osten, 18 m nach Norden und 36 nach oben (25; 18; 36). Der Weg, den eine Person zurücklegt, ist
L = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Der Modul des Verschiebungsvektors wird durch die Formel gefunden
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
wobei x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47,4 (m).
Antworten: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Winkel α zwischen zwei Vektoren a und b gleich 60°. Bestimmen Sie die Länge des Vektors c = a + b und der Winkel β zwischen den Vektoren a und c. Die Beträge der Vektoren sind a = 3,0 und b = 2,0.
Entscheidung.
Die Länge des Vektors gleich der Summe Vektoren a und b bestimmen wir mit dem Kosinussatz für ein Parallelogramm (Abb.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Nach Auswechslung
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Zur Bestimmung des Winkels β verwenden wir den Sinussatz für Dreieck ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Gleichzeitig sollten Sie das wissen
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Das Einfache lösen trigonometrische Gleichung, kommen wir zum Ausdruck
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
somit,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Überprüfen wir mit dem Kosinussatz für ein Dreieck:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
wo
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
und
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4,4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
Antworten: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Probleme lösen.
8. Für Vektoren a und b in Beispiel 7 definiert, finden Sie die Länge des Vektors d = a − b Injektion γ
zwischen a und d.
9. Finden Sie die Projektion des Vektors a = 4,0i + 7,0j zu einer Geraden, deren Richtung mit der Ox-Achse einen Winkel α = 30° bildet. Vektor a und die Gerade liegen in der xOy-Ebene.
10. Vektor a bildet mit der Geraden AB einen Winkel α = 30°, a = 3,0. Unter welchem Winkel β zur Geraden AB soll der Vektor gerichtet sein b(b = √(3)), sodass der Vektor c = a + b war parallel zu AB? Finde die Länge des Vektors c.
11. Gegeben sind drei Vektoren: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = ich + 3j. finde einen) a+b; b) a+c; in) (a,b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Winkel zwischen Vektoren a und b gleich α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Finde die Längen der Vektoren c = (a, b)a + b und d = 2b − a/2.
13. Beweisen Sie, dass die Vektoren a und b senkrecht stehen, wenn a = (2, 1, −5) und b = (5, −5, 1).
14. Finde den Winkel α zwischen den Vektoren a und b, wenn a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a mit der Ox-Achse einen Winkel α = 30° bildet, ist die Projektion dieses Vektors auf die Oy-Achse a y = 2,0. Vektor b senkrecht zum Vektor a und b = 3,0 (siehe Abbildung). 
Vektor c = a + b. Finden Sie: a) Vektorprojektionen b auf den Achsen Ox und Oy; b) der Wert c und der Winkel β zwischen dem Vektor c und Achse Ox; Taxi); d) (a,c).
Antworten:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. a = 44,4°.
15. a) b x \u003d -1,5; by = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16.0.
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Unter Vektor ist es üblich, eine Größe zu verstehen, die zwei Hauptmerkmale aufweist:
- Modul;
- Richtung.
Zwei Vektoren werden also als gleich erkannt, wenn sowohl die Module als auch die Richtungen beider übereinstimmen. Der betrachtete Wert wird meistens als Buchstabe geschrieben, über den ein Pfeil gezogen wird.
Zu den gebräuchlichsten Größen der entsprechenden Art gehören Geschwindigkeit, Kraft, aber auch beispielsweise Beschleunigung.
Mit geometrischer Punkt Aus Sicht kann ein Vektor ein gerichtetes Segment sein, dessen Länge mit seinem Modul zusammenhängt.
Wenn wir überlegen Anzahl der Vektoren Abgesehen von der Richtung kann sie prinzipiell gemessen werden. Dies wird zwar auf die eine oder andere Weise ein Teilmerkmal des entsprechenden Werts sein. Vollständig - wird nur erreicht, wenn es mit den Parametern des gerichteten Segments ergänzt wird.
Was ist ein Skalarwert?
Unter Skalar ist es üblich, einen Wert zu verstehen, der nur eine Eigenschaft hat, nämlich - numerischer Wert. Dabei kann der betrachtete Wert einen positiven oder negativen Wert annehmen.
Übliche skalare Größen sind Masse, Frequenz, Spannung, Temperatur. Mit ihnen ist es möglich, verschiedene zu produzieren mathematische Operationen- Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.
Die Richtung (als Merkmal) ist nicht charakteristisch für skalare Größen.
Vergleich
Der Hauptunterschied zwischen einer Vektorgröße und einer skalaren Größe ist der erste Hauptmerkmale- Modul und Richtung, der zweite - ein numerischer Wert. Es ist erwähnenswert, dass eine Vektorgröße wie eine Skalargröße im Prinzip gemessen werden kann, aber in diesem Fall werden ihre Eigenschaften nur teilweise bestimmt, da es an Richtung fehlt.
Nachdem wir festgestellt haben, was der Unterschied zwischen einer Vektor- und einer Skalargröße ist, werden wir die Schlussfolgerungen in einer kleinen Tabelle widerspiegeln.
Zwei Wörter, die einen Schuljungen erschrecken – Vektor und Skalar – sind nicht wirklich beängstigend. Geht man interessiert an das Thema heran, ist alles nachvollziehbar. In diesem Artikel werden wir betrachten, welche Größe ein Vektor und welche ein Skalar ist. Genauer gesagt, lassen Sie uns Beispiele geben. Wahrscheinlich hat jeder Schüler darauf geachtet, dass in der Physik einige Größen nicht nur durch ein Symbol, sondern auch durch einen Pfeil von oben angezeigt werden. Wofür stehen sie? Dies wird weiter unten besprochen. Versuchen wir herauszufinden, wie es sich vom Skalar unterscheidet.
Vektorbeispiele. Wie sind sie beschriftet
Was versteht man unter Vektor? Das, was Bewegung ausmacht. Egal ob im Weltall oder im Flugzeug. Was ist eine Vektorgröße? Beispielsweise fliegt ein Flugzeug mit einer bestimmten Geschwindigkeit in einer bestimmten Höhe, hat eine bestimmte Masse und setzt sich mit der erforderlichen Beschleunigung vom Flughafen in Bewegung. Was ist die Bewegung eines Flugzeugs? Was hat ihn zum Fliegen gebracht? Natürlich Beschleunigung, Geschwindigkeit. Die Vektorgrößen aus dem Physikkurs sind gute Beispiele. Um es ganz klar zu sagen, eine Vektorgröße ist mit Bewegung, Verschiebung verbunden.
Wasser bewegt sich auch mit einer bestimmten Geschwindigkeit von der Höhe des Berges. Sehen? Bewegung erfolgt nicht aufgrund von Volumen oder Masse, nämlich Geschwindigkeit. Der Tennisspieler lässt den Ball mit Hilfe eines Schlägers laufen. Es stellt die Beschleunigung ein. Übrigens, beigefügt dieser Fall Kraft ist auch eine Vektorgröße. Denn sie ergibt sich aus gegebenen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Gewalt ist auch in der Lage, sich zu ändern, spezifische Aktionen. Auch der Wind, der die Blätter an den Bäumen schüttelt, kann als Beispiel gelten. Weil es Geschwindigkeit gibt.
Positive und negative Werte
Eine Vektorgröße ist eine Größe, die eine Richtung im umgebenden Raum und einen Modul hat. Das erschreckende Wort tauchte wieder auf, diesmal Modul. Stellen Sie sich vor, Sie müssen ein Problem lösen, bei dem der negative Wert der Beschleunigung festgelegt wird. In der Natur negative Werte scheint nicht zu existieren. Wie kann Geschwindigkeit negativ sein?
Ein Vektor hat ein solches Konzept. Dies gilt beispielsweise für Kräfte, die auf den Körper aufgebracht werden, aber haben verschiedene Richtungen. Erinnern Sie sich an die dritte, wo Aktion gleich Reaktion ist. Die Jungs ziehen am Seil. Ein Team trägt blaue Trikots, das andere gelbe Trikots. Die zweiten sind stärker. Nehmen Sie an, dass der Vektor ihrer Kraft positiv gerichtet ist. Gleichzeitig gelingt es den ersteren nicht, am Seil zu ziehen, aber sie versuchen es. Es gibt eine Gegenkraft.
Vektor- oder Skalargröße?
Lassen Sie uns über den Unterschied zwischen einer Vektorgröße und einer skalaren Größe sprechen. Welcher Parameter hat keine Richtung, aber eine eigene Bedeutung? Lassen Sie uns einige auflisten Skalare unter:
Haben sie alle eine Richtung? Nein. Welche Größe Vektor und welche Skalar ist, kann nur an anschaulichen Beispielen gezeigt werden. In der Physik gibt es solche Begriffe nicht nur im Abschnitt „Mechanik, Dynamik und Kinematik“, sondern auch im Abschnitt „Elektrizität und Magnetismus“. Auch die Lorentzkraft ist eine Vektorgröße.
Vektor und Skalar in Formeln
In Physiklehrbüchern gibt es oft Formeln, bei denen oben ein Pfeil steht. Denken Sie an Newtons zweites Gesetz. Kraft ("F" mit einem Pfeil oben) ist gleich dem Produkt aus Masse ("m") und Beschleunigung ("a" mit einem Pfeil oben). Wie oben erwähnt, sind Kraft und Beschleunigung vektorielle Größen, aber die Masse ist skalar.
Leider haben nicht alle Veröffentlichungen die Bezeichnung dieser Größen. Wahrscheinlich wurde dies zur Vereinfachung getan, um Schulkinder nicht in die Irre zu führen. Kaufen Sie am besten Bücher und Nachschlagewerke, die Vektoren in Formeln angeben.
Die Abbildung zeigt, welche Größe ein Vektor ist. Es wird empfohlen, im Physikunterricht auf Bilder und Diagramme zu achten. Vektorgrößen haben eine Richtung. Wohin es gerichtet ist Natürlich nach unten. Der Pfeil wird also in die gleiche Richtung gezeigt.
BEIM technische Universitäten Physik gründlich studieren. In vielen Disziplinen sprechen Lehrer darüber, welche Größen skalar und vektoriell sind. Solche Kenntnisse werden in den Bereichen Bauwesen, Verkehr, Naturwissenschaften benötigt.
Größen werden Skalare (Skalare) genannt, wenn sie nach Wahl einer Maßeinheit vollständig durch eine Zahl charakterisiert sind. Beispiele für skalare Größen sind Winkel, Oberfläche, Volumen, Masse, Dichte, elektrische Ladung, Widerstand, Temperatur.
Es sind zwei Arten von Skalaren zu unterscheiden: reine Skalare und Pseudoskalare.
3.1.1. Reine Skalare.
Reine Skalare sind vollständig durch eine einzige Zahl definiert, unabhängig von der Wahl der Bezugsachsen. Temperatur und Masse sind Beispiele für reine Skalare.
3.1.2. Pseudoskalare.
Wie reine Skalare werden Pseudoskalare mit einer einzigen Zahl definiert, Absolutwert die nicht von der Wahl der Bezugsachsen abhängt. Das Vorzeichen dieser Zahl hängt jedoch von der Wahl positiver Richtungen auf den Koordinatenachsen ab.
Betrachten Sie zum Beispiel Quader, deren Projektionen der Kanten auf die rechtwinkligen Koordinatenachsen jeweils gleich sind. Das Volumen dieses Quaders wird mit der Determinante bestimmt
deren absoluter Wert nicht von der Wahl rechtwinkliger Koordinatenachsen abhängt. Wenn Sie jedoch die positive Richtung auf einer der Koordinatenachsen ändern, ändert die Determinante das Vorzeichen. Das Volumen ist ein Pseudoskalar. Pseudoskalare sind auch Winkel, Fläche, Oberfläche. Weiter unten (Abschnitt 5.1.8) werden wir sehen, dass ein Pseudoskalar eigentlich ein Tensor besonderer Art ist.
Vektormengen
3.1.3. Achse.
Die Achse ist eine unendliche Gerade, auf der die positive Richtung gewählt wird. Lassen Sie eine solche gerade Linie und die Richtung aus
positiv gewertet. Stellen Sie sich ein Segment auf dieser Geraden vor und nehmen Sie an, dass die Zahl, die die Länge misst, a ist (Abb. 3.1). Dann ist die algebraische Länge des Segments gleich a, die algebraische Länge des Segments ist gleich - a.
Wenn wir mehrere parallele Linien nehmen, dann bestimmen wir, nachdem wir die positive Richtung auf einer von ihnen bestimmt haben, sie damit auf den anderen. Anders verhält es sich, wenn die Linien nicht parallel sind; dann sind besondere Vorkehrungen hinsichtlich der Wahl der positiven Richtung für jede Gerade zu treffen.
3.1.4. Drehrichtung.
Lassen Sie die Achse. Wir nennen eine Rotation um die Achse positiv oder direkt, wenn sie für einen Beobachter ausgeführt wird, der entlang der positiven Richtung der Achse rechts und links steht (Abb. 3.2). Andernfalls wird es als negativ oder invers bezeichnet.
3.1.5. Direkte und inverse Trieder.
Lassen Sie einige Trieder (rechteckig oder nicht rechteckig). Auf den Achsen werden jeweils positive Richtungen von O nach x, von O nach y und von O nach z gewählt.
In der Physik gibt es mehrere Kategorien von Größen: Vektor und Skalar.
Was ist eine Vektorgröße?
Eine Vektorgröße hat zwei Hauptmerkmale: Richtung und Modul. Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihr Modulowert und ihre Richtung gleich sind. Um eine Vektorgröße zu bezeichnen, werden am häufigsten Buchstaben verwendet, über denen ein Pfeil angezeigt wird. Ein Beispiel für eine Vektorgröße ist Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung.
Um das Wesen einer Vektorgröße zu verstehen, sollte man sie aus geometrischer Sicht betrachten. Ein Vektor ist ein Liniensegment, das eine Richtung hat. Die Länge eines solchen Segments entspricht dem Wert seines Moduls. physikalisches Beispiel Vektorgröße ist die Verschiebung materieller Punkt sich im Raum bewegen. Parameter wie die Beschleunigung dieses Punktes, die Geschwindigkeit und die darauf wirkenden Kräfte, elektromagnetisches Feld werden auch als Vektorgrößen angezeigt.
Betrachten wir eine richtungsunabhängige Vektorgröße, so kann ein solches Segment gemessen werden. Das Ergebnis zeigt jedoch nur Teilmerkmale des Werts an. Für Sie volle Messung der Wert sollte mit anderen Parametern des gerichteten Segments ergänzt werden.
In der Vektoralgebra gibt es ein Konzept Nullvektor . Unter diesem Begriff versteht man einen Punkt. Die Richtung des Nullvektors wird als unbestimmt betrachtet. Der Nullvektor ist durch die fett gedruckte arithmetische Null gekennzeichnet.
Wenn wir das alles analysieren, können wir schlussfolgern, dass alle gerichteten Segmente Vektoren definieren. Zwei Segmente definieren nur dann einen Vektor, wenn sie gleich sind. Beim Vergleich von Vektoren gilt die gleiche Regel wie beim Vergleich von skalaren Größen. Gleichberechtigung bedeutet vollständige Übereinstimmung in allen Belangen.
Was ist ein Skalarwert?
Im Gegensatz zu einem Vektor hat eine skalare Größe nur einen Parameter - es ist sein Zahlenwert. Zu beachten ist, dass der analysierte Wert sowohl einen positiven als auch einen negativen Zahlenwert haben kann.
Beispiele sind Masse, Spannung, Frequenz oder Temperatur. Mit diesen Werten können Sie verschiedene durchführen Rechenoperationen: Addition, Division, Subtraktion, Multiplikation. Für eine skalare Größe ist eine solche Eigenschaft wie die Richtung nicht charakteristisch.
Eine skalare Größe wird durch einen numerischen Wert gemessen, sodass sie angezeigt werden kann Koordinatenachse. Beispielsweise bilden sie sehr oft die Achse der zurückgelegten Strecke, der Temperatur oder der Zeit.
Hauptunterschiede zwischen Skalar- und Vektorgrößen
Aus den obigen Beschreibungen ist ersichtlich, dass der Hauptunterschied zwischen Vektorgrößen und skalaren Größen in ihrer liegt Eigenschaften. Eine Vektorgröße hat eine Richtung und einen Betrag, während eine skalare Größe nur einen numerischen Wert hat. Natürlich kann eine Vektorgröße wie eine Skalargröße gemessen werden, aber eine solche Eigenschaft wird nicht vollständig sein, da es keine Richtung gibt.
Um den Unterschied zwischen einer skalaren Größe und einer vektoriellen Größe deutlicher darzustellen, soll ein Beispiel gegeben werden. Dazu nehmen wir ein solches Wissensgebiet wie Klimatologie. Wenn wir sagen, dass der Wind mit einer Geschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde weht, wird ein Skalarwert eingeführt. Aber wenn wir sagen, dass der Nordwind mit einer Geschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde weht, dann sprechen wir über den Vektorwert.
Vektoren spielen große Rolle in der modernen Mathematik sowie in vielen Bereichen der Mechanik und Physik. Mehrheitlich physikalische Quantitäten können als Vektoren dargestellt werden. Dies ermöglicht eine Verallgemeinerung und wesentliche Vereinfachung der verwendeten Formeln und Ergebnisse. Oft werden Vektorwerte und Vektoren miteinander identifiziert. In der Physik hört man zum Beispiel, dass Geschwindigkeit oder Kraft ein Vektor ist.
