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Gleichungen und Gleichungssysteme ersten Grades

Zwei Zahlen oder einige Ausdrücke, die durch das Zeichen „=“ verbunden sind Gleichberechtigung. Wenn die angegebenen Zahlen oder Ausdrücke für beliebige Werte der Buchstaben gleich sind, wird eine solche Gleichheit aufgerufen Identität.

Zum Beispiel, wenn angegeben wird, dass für alle a gültig:

a + 1 = 1 + a, hier ist Gleichheit eine Identität.

Gleichung wird eine Gleichheit enthaltend genannt unbekannte Nummern mit Buchstaben gekennzeichnet. Diese Buchstaben heißen Unbekannt. In einer Gleichung kann es mehr als eine Unbekannte geben.

Zum Beispiel in Gleichung 2 X + beim = 7X– 3 zwei Unbekannte: X und beim.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (2 X + beim) heißt die linke Seite der Gleichung und der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (7 X– 3) heißt seine rechte Seite.

Der Wert der Unbekannten, bei dem die Gleichung zur Identität wird, wird genannt Entscheidung oder Wurzel Gleichungen.

Zum Beispiel, wenn in Gleichung 3 X+ 7=13 statt unbekannt X Ersetzen Sie die Zahl 2, erhalten wir die Identität. Daher der Wert X= 2 erfüllt die gegebene Gleichung und die Zahl 2 ist die Lösung oder Wurzel der gegebenen Gleichung.

Die beiden Gleichungen werden aufgerufen gleichwertig(oder gleichwertig), wenn alle Lösungen der ersten Gleichung Lösungen der zweiten sind und umgekehrt, sind alle Lösungen der zweiten Gleichung Lösungen der ersten. Zu Äquivalente Gleichungen schließen Sie auch Gleichungen ein, die keine Lösungen haben.

Zum Beispiel Gleichungen 2 X– 5 = 11 und 7 X+ 6 = 62 sind äquivalent, da sie dieselbe Wurzel haben X= 8; Gleichungen X + 2 = X+ 5 und 2 X + 7 = 2X sind äquivalent, weil beide keine Lösungen haben.

Eigenschaften äquivalenter Gleichungen

1. Auf beiden Seiten der Gleichung können Sie jeden Ausdruck hinzufügen, der für alle sinnvoll ist zulässige Werte Unbekannt; die resultierende Gleichung wird der gegebenen äquivalent sein.

Beispiel. Gleichung 2 X– 1 = 7 hat eine Wurzel X= 4. Wenn wir auf beiden Seiten 5 addieren, erhalten wir Gleichung 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 oder 2 X+ 4 = 12, was dieselbe Wurzel hat X = 4.

2. Wenn beide Teile der Gleichung die gleichen Terme haben, können sie weggelassen werden.

Beispiel. Gleichung 9 x + 5X = 18 + 5X hat eine Wurzel X= 2. Weglassen in beiden Teilen 5 X, erhalten wir Gleichung 9 X= 18, die dieselbe Wurzel hat X = 2.

3. Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beispiel. Gleichung 7 X - 11 = 3 hat eine Wurzel X= 2. Übertragen wir 11 auf die rechte Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen, erhalten wir Gleichung 7 X= 3 + 11, was dieselbe Lösung hat X = 2.

4. Beide Teile der Gleichung können mit jedem sinnvollen Ausdruck (Zahl) multipliziert werden, der für alle zulässigen Werte der Unbekannten ungleich Null ist. Die resultierende Gleichung entspricht dieser.

Beispiel. Gleichung 2 X - 15 = 10 – 3X hat eine Wurzel X= 5. Wenn wir beide Seiten mit 3 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) oder 6 X – 45 =30 – 9X, die dieselbe Wurzel hat X = 5.

5. Die Vorzeichen aller Terme der Gleichung können umgekehrt werden (dies entspricht der Multiplikation beider Teile mit (-1)).

Beispiel. Gleichung - 3 x + 7 = - 8 nach Multiplikation beider Teile mit (-1) nimmt die Form 3 an X - 7 = 8. Die erste und die zweite Gleichung haben eine einzelne Wurzel X = 5.

6. Beide Seiten der Gleichung können durch die gleiche Zahl außer Null geteilt werden (also ungleich Null).

Beispiel..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ist äquivalent zu diesem, da es die gleichen zwei Wurzeln hat: und https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> nach Multiplikation beider Teile mit 14 sieht es so aus:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, wobei beliebige Zahlen, X- unbekannt, angerufen Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten(oder linear Gleichung mit einer Unbekannten).

Beispiel. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Eine Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten hat immer eine Lösung; eine lineare Gleichung darf keine Lösungen haben () oder sie haben unendlicher Satz(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Entscheidung. Multiplizieren Sie alle Terme in der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, also 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Wir gruppieren in einem Teil (links) die Begriffe, die das Unbekannte enthalten, und im anderen Teil (rechts) die freien Begriffe:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Wenn wir beide Teile durch (-22) teilen, erhalten wir X = 7.

Systeme aus zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

Eine Gleichung wie https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> wird aufgerufen Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten x und beim. Wenn sie zu zwei oder mehr Gleichungen gemeinsame Lösungen finden, dann sagen sie, dass diese Gleichungen ein System bilden, sie werden meist untereinander geschrieben und zum Beispiel mit einer geschweiften Klammer verbunden.

Jedes Unbekanntenpaar, das gleichzeitig beide Gleichungen des Systems erfüllt, wird aufgerufen Systemlösung. Löse das System- das bedeutet, alle Lösungen dieses Systems zu finden oder zu zeigen, dass es sie nicht hat. Die beiden Gleichungssysteme werden aufgerufen gleichwertig (gleichwertig), wenn alle Lösungen des einen Lösungen des anderen sind, und umgekehrt, sind alle Lösungen des anderen Lösungen des ersten.

Die Lösung des Systems ist beispielsweise ein Zahlenpaar X= 4 und beim= 3. Diese Zahlen sind auch die einzige Lösung Systeme . Daher sind diese Gleichungssysteme äquivalent.

Wege zur Lösung von Gleichungssystemen

1. Weg algebraische Addition. Wenn die Koeffizienten für einige Unbekannte in beiden Gleichungen im Absolutwert gleich sind, können Sie durch Addieren beider Gleichungen (oder Subtrahieren einer von der anderen) eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Durch Lösen dieser Gleichung wird eine Unbekannte bestimmt, und durch Einsetzen in eine der Gleichungen des Systems wird die zweite Unbekannte gefunden.

Beispiele: Gleichungssysteme lösen: 1) .

Hier die Koeffizienten bei beim sind im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt. Um eine Gleichung mit eins zu bekommen unbekannte Gleichung wir fügen die Systeme Term für Term hinzu:

Erhaltener Wert X= 4 setzen wir in irgendeine Gleichung des Systems ein, zum Beispiel in die erste, und finden den Wert beim: .

Antworten: X = 4; beim = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Substitutionsmethode. Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine der Unbekannten durch den Rest aus und setzen dann den Wert dieser Unbekannten in die verbleibenden Gleichungen ein. Betrachten Sie diese Methode mit konkreten Beispielen:

1) Lösen wir das Gleichungssystem. Lassen Sie uns zum Beispiel eine der Unbekannten aus der ersten Gleichung ausdrücken X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Ersatz beim= 1 in den Ausdruck for X, wir bekommen .

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. In diesem Fall ist es bequem auszudrücken beim aus der zweiten Gleichung:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Ersetzen Sie den Wert X= 5 in den Ausdruck for beim, erhalten wir https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Lösen wir das Gleichungssystem https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten beim: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Schreiben wir das System um als: . Wir ersetzen die Unbekannten durch die Einstellung , erhalten wir lineares System ..gif" width="11 height=17" height="17"> in die zweite Gleichung, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten:

Wert ersetzen v in den Ausdruck für t, erhalten wir: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> finden wir .

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, wo sind Koeffizienten für Unbekannte, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, dann hat das System Das einzige Entscheidung.

B) Wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, dann hat das System unendlicher Satz Lösungen.

Beispiel..gif" width="47" height="48 src=">), also hat das System eine eindeutige Lösung.

Wirklich, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Beispiel..gif" width="91 height=48" height="48"> oder nach dem Kürzen , daher hat das System keine Lösungen.

Beispiel..gif" width="116 height=48" height="48"> oder nach dem Kürzen , also hat das System unendlich viele Lösungen.

Gleichungen mit Modulus

Beim Lösen von Gleichungen, die einen Modul enthalten, wird das Konzept eines Moduls verwendet reelle Zahl. Modul (Absolutwert ) reelle Zahl a die Nummer selbst wird aufgerufen, wenn und gegensätzliche Nummer (– a), wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Also, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, da die Zahl 3 > 0; , da die Zahl 5 ist< 0, поэтому ; , als (); , als .

Moduleigenschaften:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Da der Ausdruck unter dem Modul zwei Werte annehmen kann, https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, dann gegebene Gleichung reduziert sich auf das Lösen von zwei Gleichungen: und oder und ..gif" width="52" height="20 src=">. Machen wir eine Überprüfung, indem wir jeden Wert ersetzen X in die Bedingung: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 Quelle=">.

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Beispiel..gif" width="408" height="55">

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Beispiel..gif" width="137" height="20"> und . Legen Sie die resultierenden Werte beiseite X auf der numerische Achse, brechen es in Intervalle:

Wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, weil in diesem Intervall beide Ausdrücke unter dem Modulzeichen stehen weniger als Null, und durch Entfernen des Moduls müssen wir das Vorzeichen des Ausdrucks in das Gegenteil ändern. Lösen wir die resultierende Gleichung:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Der Grenzwert kann sowohl in der ersten als auch in der zweiten Spanne enthalten sein, genauso wie der Wert sowohl in der zweiten als auch in der dritten enthalten sein kann. Im zweiten Intervall unsere Gleichung hat die Form: - dieser Ausdruck macht keinen Sinn, d.h. in diesem Intervall hat die Lösungsgleichung keine Lösungen unter dem Moduluszeichen, wir setzen sie gleich null. Wir finden die Wurzeln aller Ausdrücke, mit

Nächster Abstand https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, wobei a, b, c sind beliebige Zahlen ( a≠ 0) und x ist eine Variable namens Quadrat. Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie die Diskriminante berechnen D = b 2 – 4ac. Wenn ein D> 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen (Wurzeln): und .

Wenn ein D= 0, die quadratische Gleichung hat offensichtlich zwei identische Lösungen(Vielfache der Wurzel).

Wenn ein D< 0, квадратное уравнение не имеет echte Wurzeln.

Wenn einer der Koeffizienten b oder c Null, dann kann die quadratische Gleichung gelöst werden, ohne die Diskriminante zu berechnen:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(Axt+ b)=0

2)Axt 2 + c = 0 Axt 2 = – c; wenn https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Es gibt Abhängigkeiten zwischen den Koeffizienten und Wurzeln der quadratischen Gleichung, bekannt als Formeln oder Satz von Vieta:

Biquadratisch Gleichungen sind Gleichungen der Form https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, dann erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung eine quadratische Gleichung die wir finden beim, und dann X, nach der Formel .

Beispiel. löse die Gleichung . Wir bringen die Ausdrücke in beiden Teilen der Gleichheit zu gemeinsamer Nenner..gif" width="212" height="29 src=">. Wir lösen die resultierende quadratische Gleichung: , in dieser Gleichung a= 1, b= –2,c= -15, dann ist die Diskriminante gleich: D = b 2 – 4ac= 64. Gleichungswurzeln: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Wir machen den Ersatz. Dann wird die Gleichung eine quadratische Gleichung ist, wobei a= 1, b= – 4,c= 3, seine Diskriminante ist: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind jeweils gleich: und .

Wurzeln der ursprünglichen Gleichung , , , ..gif" width="78" height="51">, wo PN(x) und Uhr(x) sind Gradpolynome n und m bzw. Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner nicht, aber eine solche Polynomgleichung erhält man hauptsächlich erst nach langwierigen Transformationen, Übergängen von einer Gleichung zur anderen. Beim Lösen wird daher jede Gleichung durch eine neue ersetzt, und die neue kann neue Wurzeln haben. Diesen Veränderungen in den Wurzeln zu folgen, den Verlust von Wurzeln zu verhindern und die überzähligen abweisen zu können, ist die Aufgabe richtige Entscheidung Gleichungen.

Es ist klar, dass die beste Weise- Ersetzen Sie jedes Mal eine Gleichung durch eine äquivalente, dann sind die Wurzeln der letzten Gleichung die Wurzeln der ursprünglichen. Jedoch solche perfekter Weg in der Praxis schwer umsetzbar. In der Regel wird die Gleichung durch ihre Konsequenz ersetzt, die ihr überhaupt nicht unbedingt äquivalent ist, während alle Wurzeln der ersten Gleichung die Wurzeln der zweiten sind, d. H. Es tritt kein Verlust von Wurzeln auf, sondern von außen kann erscheinen (oder auch nicht erscheinen). Für den Fall, dass mindestens einmal im Transformationsprozess die Gleichung durch eine ungleiche ersetzt wurde, brauchen wir obligatorische Prüfung Wurzeln erhalten.

Wenn also die Lösung ohne eine Analyse der Äquivalenz und Quellen von Fremdwurzeln durchgeführt wurde, ist die Überprüfung obligatorischer Teil Lösungen. Ohne Überprüfung wird die Lösung nicht als vollständig betrachtet, selbst wenn fremde Wurzeln ist nicht aufgetaucht. Wenn sie erschienen und nicht verworfen wurden, dann ist diese Entscheidung einfach falsch.

Hier sind einige Eigenschaften eines Polynoms:

Die Wurzel des Polynoms Wert nennen x, für die das Polynom gleich Null ist. Jedes Polynom vom Grad n hat genau n Wurzeln. Wenn die Polynomgleichung als geschrieben wird, dann , wo x 1, x 2,…, xn sind die Wurzeln der Gleichung.

Jedes Polynom hat sogar Grad bei reellen Koeffizienten gibt es mindestens eine reelle Wurzel, und im Allgemeinen hat sie immer eine ungerade Anzahl reeller Wurzeln. Ein Polynom geraden Grades hat möglicherweise keine echten Wurzeln, und wenn doch, ist ihre Anzahl gerade.

Ein Polynom kann unter keinen Umständen zerlegt werden lineare Faktoren und quadratische Trinome mit negative Diskriminante. Wenn wir seine Wurzel kennen x 1, dann PN(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Wenn ein PN(x) = 0 ist eine Gleichung mit geradem Grad, dann können Sie zusätzlich zur Faktorisierungsmethode versuchen, eine Variablenänderung einzuführen, mit deren Hilfe der Grad der Gleichung abnimmt.

Beispiel. Löse die Gleichung:

Diese Gleichung dritten (ungeraden) Grades bedeutet, dass es unmöglich ist, eine Hilfsvariable einzuführen, die den Grad der Gleichung erniedrigt. Sie muss gelöst werden, indem die linke Seite faktorisiert wird, wofür wir zuerst die Klammern öffnen und sie dann in Standardform schreiben.

Wir bekommen: x 3 + 5x – 6 = 0.

Dies ist die reduzierte Gleichung (Koeffizient bei der höchste Grad gleich eins), also suchen wir seine Wurzeln unter den Faktoren des freien Terms - 6. Dies sind die Zahlen ±1, ±2, ±3, ±6. Ersetzen x= 1 in die Gleichung, wir sehen das x= 1 ist seine Wurzel, also das Polynom x 3 + 5x–6 = 0 dividiert durch ( x- 1) keine Rückstände. Machen wir diese Aufteilung:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+ x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

So x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+x+ 6) = 0

Die erste Gleichung ergibt die Wurzel x= 1, die bereits ausgewählt ist, und in der zweiten Gleichung D< 0 hat es nicht echte Lösungen. Da die ODZ dieser Gleichung , ist es möglich, nicht zu überprüfen.

Beispiel..gif" width="52" height="21 src=">. Wenn Sie den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten multiplizieren, dann haben diese Produkte die gleichen Teile, die davon abhängen x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Lassen x 2 + 4x = j, dann schreiben wir die Gleichung in der Form ( j – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Diese quadratische Gleichung hat Lösungen: j 1 = 32, j 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Wenn wir diese Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erscheint im Zähler ein Polynom vierten Grades. Es ist also erlaubt, die Variable zu ändern, was den Grad der Gleichung verringert. Daher ist es nicht notwendig, diese Gleichung sofort auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Hier sehen Sie, dass links die Summe der Quadrate ist. Sie können es also hinzufügen volles Quadrat Summen oder Differenzen. Tatsächlich subtrahieren und addieren Sie zweimal das Produkt der Basen dieser Quadrate: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, dann j 2 + 18j– 40 = 0. Nach dem Satz von Vieta j 1 = 2; j 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, und im zweiten D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Antwort: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Wir erhalten eine quadratische Gleichung a(j 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Irrationale Gleichungen

irrational nennt man eine Gleichung, in der die Variable unter dem Vorzeichen des Radikals (Wurzel) steht ) oder unter dem Zeichen der Erhebung zu Bruchgrad()..gif" width="120" height="32"> und denselben Definitionsbereich des Unbekannten haben. Wenn wir die erste und zweite Gleichung quadrieren, erhalten wir dieselbe Gleichung . Die Lösungen dieser Gleichung sind die Lösungen beider irrationalen Gleichungen.

1. Substitutionsmethode: Von jeder Gleichung des Systems drücken wir eine Unbekannte durch eine andere aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus beim durch X und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System entspricht dem Original.

Nach dem Einbringen solcher Bedingungen nimmt das System die Form an:

Aus der zweiten Gleichung finden wir: . Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein beim = 2 - 2X, wir bekommen beim= 3. Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar .

2. Algebraische Additionsmethode: Durch Addition von zwei Gleichungen erhält man eine Gleichung mit einer Variablen.

Aufgabe. Lösen Sie die Systemgleichung:

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das System entspricht dem Original. Wenn wir die beiden Gleichungen dieses Systems addieren, erhalten wir das System

Nach der Reduzierung ähnlicher Begriffe nimmt dieses System die Form an: Aus der zweiten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 3 ein X + 4beim= 5, erhalten wir , wo . Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

3. Verfahren zur Einführung neuer Variablen: Wir suchen nach einigen wiederholten Ausdrücken im System, die wir durch neue Variablen bezeichnen werden, wodurch die Form des Systems vereinfacht wird.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Schreiben wir auf dieses System ansonsten:

Lassen x + y = du, ha = v. Dann bekommen wir das System

Lösen wir es mit der Substitutionsmethode. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus u durch v und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System jene.

Aus der zweiten Gleichung des Systems finden wir v 1 = 2, v 2 = 3.

Setzen Sie diese Werte in die Gleichung ein u = 5 - v, wir bekommen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dann haben wir zwei Systeme

Beim Lösen des ersten Systems erhalten wir zwei Zahlenpaare (1; 2), (2; 1). Das zweite System hat keine Lösungen.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode.

Erhaltene Gleichungssysteme Breite Anwendung im Wirtschaftsbereich mathematische Modellierung verschiedene Prozesse. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

System lineare Gleichungen Nennen Sie zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die es notwendig ist, zu finden gemeinsame Entscheidung. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineargleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene Systeme linearer Gleichungen sind Systeme rechter Teil was gleich null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt kein gemeinsames analytische Methode Lösungen ähnlicher Systeme basieren alle Methoden auf numerischen Lösungen. Der Schulkurs Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution, sowie die graphische und Matrizenmethode, die Lösung nach Gauß.

Die Hauptaufgabe beim Lehren von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und findet optimaler Algorithmus Lösungen für jedes Beispiel. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Lösungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme der 7. Klasse des Programms Weiterführende Schule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Entscheidung dieses Beispiel verursacht keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die empfangenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung von Systemen durch die Additionsmethode, Term-für-Term-Addition und Multiplikation von Gleichungen durch verschiedene Nummern. ultimatives Ziel mathematische Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Für Bewerbungen diese Methode es erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Ergebend Arithmetische Operation Einer der Koeffizienten der Variablen muss gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei sein.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Das Beispiel zeigt, dass durch Einführung einer neuen Variablen t die 1. Gleichung des Systems auf den Standard reduziert werden konnte quadratisches Trinom. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante durch zu finden altbekannte Formel: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. BEIM gegebenes Beispiel a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Die Methode ist darauf aufzubauen Koordinatenachse Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

BEIM folgendes Beispiel erforderlich zu finden grafische Lösung lineare Gleichungssysteme: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet für Abkürzung Systeme linearer Gleichungen. Eine Tabelle wird als Matrix bezeichnet. besondere Art mit Zahlen gefüllt. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Null Elemente Einzahl genannt.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 - inverse Matrix, und |K| - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Die Matrixmethode zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Schreibweisen beim Lösen von Systemen mit zu reduzieren große Menge Variablen und Gleichungen.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

BEIM höhere Mathematik Die Gauß-Methode wird zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um zu finden Systemvariablen mit vielen linearen Gleichungen.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Weg algebraische Transformationen und Substitutionen ist der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

BEIM Schulbücher Für die Klasse 7 wird ein Beispiel für eine Lösung nach dem Gauß-Verfahren wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauß-Methode ist für Schüler schwer verständlich weiterführende Schule, aber ist einer der meisten interessante Wege um den Einfallsreichtum der am Programm teilnehmenden Kinder zu entwickeln vertieftes Studium im Mathematik- und Physikunterricht.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt weiterhin das Notwendige aus algebraische Aktionen bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable in Beziehung setzt x, die gewünschte Funktion j und seine Derivate oder Differentiale.

Symbolisch Differentialgleichung wird so geschrieben:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, wenn die gesuchte Funktion von einer unabhängigen Variablen abhängt.

Durch Lösen der Differentialgleichung heißt eine solche Funktion, die diese Gleichung in eine Identität verwandelt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung in dieser Gleichung

Beispiele.

1. Betrachten Sie die Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion y = 5 ln x. In der Tat durch Substitution ja" in die Gleichung bekommen wir - eine Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion y = 5 ln x– die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" - 5y" + 6y = 0. Die Funktion ist die Lösung dieser Gleichung.

Wirklich, .

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung ein, erhalten wir: , - Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Integration von Differentialgleichungen ist der Prozess, Lösungen für Differentialgleichungen zu finden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung heißt Funktion der Form , die so viele unabhängige willkürliche Konstanten enthält wie die Ordnung der Gleichung.

Partielle Lösung der Differentialgleichung heißt die Lösung, die aus der allgemeinen Lösung für verschiedene Zahlenwerte beliebiger Konstanten erhalten wird. Die Werte beliebiger Konstanten finden sich bei bestimmten Anfangswerten des Arguments und der Funktion.

Der Graph einer bestimmten Lösung einer Differentialgleichung heißt integrale Kurve.

Beispiele

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung

xdx + ydy = 0, Wenn j= 4 bei x = 3.

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir

Kommentar. Eine als Ergebnis der Integration erhaltene beliebige Konstante C kann in jeder Form dargestellt werden, die für weitere Transformationen geeignet ist. In diesem Fall ist es unter Berücksichtigung der kanonischen Kreisgleichung zweckmäßig, eine beliebige Konstante С in der Form darzustellen.

ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Eine bestimmte Lösung einer Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt j = 4 bei x = 3 ergibt sich aus der allgemeinen durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Setzen wir C=5 in die allgemeine Lösung ein, erhalten wir x2+y2 = 5 2 .

Dies ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung, die sich aus der allgemeinen Lösung unter gegebenen Anfangsbedingungen ergibt.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Funktion der Form , wobei C eine beliebige Konstante ist. In der Tat erhalten wir durch Einsetzen in die Gleichungen: , .

Daher hat diese Differentialgleichung unendlich viele Lösungen, da für verschiedene Werte der Konstanten C die Gleichheit bestimmt verschiedene Lösungen Gleichungen.

Beispielsweise kann man durch direkte Substitution überprüfen, ob die Funktionen funktionieren sind Lösungen der Gleichung .

Ein Problem, bei dem es erforderlich ist, eine bestimmte Lösung für die Gleichung zu finden y" = f(x, y) Erfüllen der Anfangsbedingung y(x0) = y0, wird das Cauchy-Problem genannt.

Gleichungslösung y" = f(x, y), die Anfangsbedingung erfüllt, y(x0) = y0, wird als Lösung des Cauchy-Problems bezeichnet.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat eine einfache geometrische Bedeutung. In der Tat, nach diesen Definitionen, um das Cauchy-Problem zu lösen y" = f(x, y) gegeben das y(x0) = y0, bedeutet, die Integralkurve der Gleichung zu finden y" = f(x, y) was durchgeht gegebener Punkt M0 (x0,ja 0).

II. Differentialgleichungen erster Ordnung

2.1. Grundlegendes Konzept

Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form F(x,y,y") = 0.

Die Differentialgleichung erster Ordnung enthält die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung.

Die gleichung y" = f(x, y) heißt nach der Ableitung gelöste Gleichung erster Ordnung.

Eine allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion der Form , die eine beliebige Konstante enthält.

Beispiel. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion .

In der Tat, indem wir diese Gleichung durch ihren Wert ersetzen, erhalten wir

also 3x=3x

Daher ist die Funktion eine allgemeine Lösung der Gleichung für jede Konstante C.

Finden Sie eine bestimmte Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt y(1)=1 Ersetzen von Anfangsbedingungen x=1, y=1 in die allgemeine Lösung der Gleichung erhalten wir woher C=0.

So erhalten wir eine bestimmte Lösung aus der allgemeinen, indem wir den resultierenden Wert in diese Gleichung einsetzen C=0 ist eine private Entscheidung.

2.2. Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

Eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen ist eine Gleichung der Form: y"=f(x)g(y) oder durch Differentiale , wo f(x) und g(j) Funktionen gegeben sind.

Für diejenigen j, für die , die Gleichung y"=f(x)g(y) entspricht der Gleichung in der die Variable j nur auf der linken Seite vorhanden ist und die Variable x nur auf der rechten Seite vorhanden ist. Sie sagen: „In der Gleichung y"=f(x)g(y Trennen der Variablen.

Gleichung eingeben wird als getrennte Variablengleichung bezeichnet.

Nach der Integration beider Teile der Gleichung An x, wir bekommen G(y) = F(x) + C die allgemeine Lösung der Gleichung ist, wobei G(y) und F(x) sind einige Stammfunktionen von Funktionen und f(x), C Willkürliche Konstante.

Algorithmus zum Lösen einer Differentialgleichung erster Ordnung mit trennbaren Variablen

Beispiel 1

löse die Gleichung y" = xy

Entscheidung. Ableitung einer Funktion ja" ersetzen mit

wir trennen die Variablen

Lassen Sie uns beide Teile der Gleichheit integrieren:

Beispiel 2

2yy" = 1- 3x 2, Wenn y 0 = 3 beim x0 = 1

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Lassen Sie es uns in Differentialen darstellen. Dazu schreiben wir diese Gleichung in die Form um Von hier

Wenn wir beide Teile der letzten Gleichheit integrieren, finden wir

Ersetzen von Anfangswerten x 0 = 1, y 0 = 3 finden Mit 9=1-1+C, d.h. C = 9.

Daher wird das gewünschte partielle Integral sein oder

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, die durch einen Punkt verläuft M(2;-3) und eine Tangente mit einer Steigung haben

Entscheidung. Je nach Zustand

Dies ist eine trennbare Variablengleichung. Dividiert man die Variablen, erhält man:

Integrieren wir beide Teile der Gleichung, erhalten wir:

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen x=2 und y=-3 finden C:

Daher hat die gesuchte Gleichung die Form

2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form y" = f(x)y + g(x)

wo f(x) und g(x)- einige vorgegebene Funktionen.

Wenn ein g(x)=0 dann heißt die lineare Differentialgleichung homogen und hat die Form: y" = f(x)y

Wenn dann die Gleichung y" = f(x)y + g(x) heterogen genannt.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung y" = f(x)y gegeben durch die Formel: wo Mit ist eine beliebige Konstante.

Insbesondere wenn C \u003d 0, dann ist die Lösung y=0 Wenn linear homogene Gleichung hat die Form y" = ky wo k eine Konstante ist, dann hat ihre allgemeine Lösung die Form: .

Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung y" = f(x)y + g(x) durch die Formel gegeben ,

jene. gleich der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung und der speziellen Lösung dieser Gleichung ist.

Für eine lineare inhomogene Gleichung der Form y" = kx + b,

wo k und b- Einige Zahlen und eine bestimmte Lösung werden eine konstante Funktion sein. Daher hat die allgemeine Lösung die Form .

Beispiel. löse die Gleichung y" + 2y +3 = 0

Entscheidung. Wir stellen die Gleichung in der Form dar y" = -2y - 3 wo k=-2, b=-3 Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Formel .

Daher ist C eine beliebige Konstante.

2.4. Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung nach dem Bernoulli-Verfahren

Finden einer allgemeinen Lösung für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y" = f(x)y + g(x) reduziert sich auf das Lösen von zwei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen unter Verwendung der Substitution y=uv, wo u und v- unbekannte Funktionen aus x. Dieses Lösungsverfahren wird als Bernoulli-Verfahren bezeichnet.

Algorithmus zum Lösen einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

y" = f(x)y + g(x)

1. Geben Sie eine Vertretung ein y=uv.

2. Differenzieren Sie diese Gleichheit y"=u"v + uv"

3. Ersatz j und ja" in diese Gleichung: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oder u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Gruppieren Sie die Terme der Gleichung so, dass u aus Klammern nehmen:

5. Suchen Sie in der Klammer die Funktion, indem Sie sie mit Null gleichsetzen

Dies ist eine trennbare Gleichung:

Dividiere die Variablen und erhalte:

Woher . .

6. Ersetzen Sie den empfangenen Wert v in die Gleichung (aus Punkt 4):

und finden Sie die Funktion Dies ist eine trennbare Gleichung:

7. Schreiben Sie die allgemeine Lösung in der Form: , d.h. .

Beispiel 1

Finden Sie eine bestimmte Lösung für die Gleichung y" = -2y +3 = 0 Wenn y=1 beim x=0

Entscheidung. Lösen wir es mit Substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Ersetzen j und ja" in diese Gleichung bekommen wir

Indem wir den zweiten und dritten Term auf der linken Seite der Gleichung gruppieren, nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus u aus Klammern

Wir setzen den Ausdruck in Klammern mit Null gleich und finden die Funktion, nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben v = v(x)

Wir haben eine Gleichung mit getrennten Variablen. Wir integrieren beide Teile dieser Gleichung: Finden Sie die Funktion v:

Ersetzen Sie den resultierenden Wert v in die Gleichung erhalten wir:

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Wir integrieren beide Teile der Gleichung: Lassen Sie uns die Funktion finden u = u(x,c) Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden: Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung der Gleichung finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt y=1 beim x=0:

III. Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung, die Ableitungen höchstens zweiter Ordnung enthält. Im allgemeinen Fall schreibt man die Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt: F(x,y,y",y") = 0

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Funktion der Form , die zwei beliebige Konstanten enthält C1 und C2.

Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Lösung, die aus der allgemeinen für einige Werte beliebiger Konstanten erhalten wird C1 und C2.

3.2. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstante Verhältnisse.

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten heißt eine Gleichung der Form y" + py" + qy = 0, wo p und q sind konstante Werte.

Algorithmus zur Lösung homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Form: y" + py" + qy = 0.

2. Stellen Sie seine charakteristische Gleichung zusammen und bezeichnen Sie ja" durch r2, ja" durch r, j in 1: r2 + pr + q = 0