Määritelmä 3. Kierroskappale on kappale, joka saadaan pyörittämällä litteää hahmoa akselin ympäri, joka ei leikkaa kuviota ja on sen kanssa samassa tasossa.

Pyörimisakseli voi myös leikata kuvion, jos se on kuvion symmetria-akseli.

Lause 2.
, akseli
ja suorat segmentit
ja

pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla

(2)

Todiste. Tällaiselle rungolle osa, jossa on abskissa on sädeympyrä
, tarkoittaa
ja kaava (1) antaa halutun tuloksen.

Jos luku on rajoitettu kahden jatkuvan funktion kuvaajilla
ja
, ja viivasegmentit
ja
, lisäksi
ja
, niin abskissa-akselin ympäri pyörittäessä saadaan kappale, jonka tilavuus

Esimerkki 3 Laske toruksen tilavuus, joka saadaan kiertämällä ympyrän rajaamaa ympyrää

x-akselin ympärillä.

R ratkaisu. Määritettyä ympyrää rajoittaa alhaalta funktion kuvaaja
, ja yli -
. Näiden funktioiden neliöiden ero:

Haluttu volyymi

(integrandin kuvaaja on ylempi puoliympyrä, joten yllä kirjoitettu integraali on puoliympyrän pinta-ala).

Esimerkki 4 Parabolinen segmentti kantalla
, ja korkeus , pyörii alustan ympärillä. Laske tuloksena olevan kappaleen tilavuus (Cavalierin "sitruuna").

R ratkaisu. Aseta paraabeli kuvan osoittamalla tavalla. Sitten sen yhtälö
, ja
. Etsitään parametrin arvo :
. Joten haluttu äänenvoimakkuus:

Lause 3. Olkoon jatkuvan ei-negatiivisen funktion kuvaaja rajoittama kaareva puolisuunnikas
, akseli
ja suorat segmentit
ja
, lisäksi
, pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kierroskappaleen tilavuus voidaan löytää kaavalla

(3)

todiste idea. Segmentin jakaminen
pisteitä

, osiin ja piirrä suoria viivoja
. Koko puolisuunnikas hajoaa nauhoiksi, joita voidaan pitää suunnilleen suorakulmioina, joissa on pohja
ja korkeus
.

Tällaisen suorakulmion pyörimisestä muodostuva sylinteri leikataan generatrixia pitkin ja avataan. Saamme "melkein" suuntaissärmiön, jonka mitat:
,
ja
. Sen tilavuus
. Joten vallankumouskappaleen tilavuudelle meillä on likimääräinen yhtäläisyys

Saadaksemme täsmällisen tasa-arvon, meidän on ylitettävä rajaan klo
. Yllä kirjoitettu summa on funktion kokonaissumma
, siksi rajassa saamme integraalin kaavasta (3). Lause on todistettu.

Huomautus 1. Lauseissa 2 ja 3 ehto
voidaan jättää pois: kaava (2) on yleensä epäherkkä merkille
, ja kaavassa (3) se riittää
korvattu
.

Esimerkki 5 Parabolinen segmentti (kanta
, korkeus ) pyörii korkeuden ympärillä. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Päätös. Järjestä paraabeli kuvan osoittamalla tavalla. Ja vaikka pyörimisakseli ylittää kuvion, se - akseli - on symmetria-akseli. Siksi vain segmentin oikea puoli tulisi ottaa huomioon. Paraabeliyhtälö
, ja
, tarkoittaa
. Meillä on äänenvoimakkuutta varten:

Huomautus 2. Jos kaarevan puolisuunnikkaan kaareva raja on annettu parametriyhtälöillä
,
,
ja
,
silloin kaavoja (2) ja (3) voidaan käyttää korvauksen kanssa päällä
ja
päällä
kun se muuttuu t alkaen
ennen .

Esimerkki 6 Kuvaa rajoittaa sykloidin ensimmäinen kaari
,
,
, ja abskissa-akseli. Etsi kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä tätä kuvaa: 1) akselin ympäri
; 2) akselit
.

Päätös. 1) Yleinen kaava
Meidän tapauksessamme:

2) Yleinen kaava
Figuurillemme:

Kannustamme opiskelijoita tekemään kaikki laskelmat itse.

Huomautus 3. Olkoon kaareva sektori, jota rajoittaa jatkuva viiva
ja säteet
,

, pyörii napa-akselin ympäri. Tuloksena olevan kappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla.

Esimerkki 7 Osa hahmosta, jota rajoittaa kardioidi
, makaa ympyrän ulkopuolella
, pyörii napa-akselin ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Päätös. Molemmat suorat ja siten niiden rajoittama luku ovat symmetrisiä napa-akselin suhteen. Siksi on otettava huomioon vain se osa, jota varten
. Käyrät leikkaavat pisteessä
ja

klo
. Lisäksi lukua voidaan pitää kahden sektorin erona ja siten tilavuus voidaan laskea kahden integraalin erotuksena. Meillä on:

Tehtävät itsenäistä ratkaisua varten.

1. Pyöreä segmentti, jonka kanta
, korkeus , pyörii alustan ympärillä. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

2. Etsi sen kierrosparaboloidin tilavuus, jonka kanta on , ja korkeus on .

3. Astroidin rajoittama kuva
,
pyörii x-akselin ympäri. Etsi kehon tilavuus, joka saadaan tässä tapauksessa.

4. Viivoilla rajattu kuva
ja
pyörii x-akselin ympäri. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää toimittamaan omasi henkilökohtaisia ​​tietoja milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynnissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuuden, lainvalvontaviranomaisten tai muiden julkisten tärkeitä tilaisuuksia.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

vallankumouksen ruumiit kutsua kappaleita, joita rajoittaa joko pyörimispinta tai kierrospinta ja taso (Kuva 134). Kierrospinnan alla ymmärretään pinta, joka saadaan linjan pyörimisestä ( ABCDE ), tasainen tai spatiaalinen, nimeltään generatrix, kiinteän viivan ympärillä ( i ) - pyörimisakselit.

Kuva 134

Mikä tahansa piste pyörimispinnan generaattorissa kuvaa ympyrää, joka sijaitsee tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden - rinnakkain, siksi pyörimisakselia vastaan ​​kohtisuorassa oleva taso leikkaa aina kierrospinnan ympyrässä. Suurin yhtäläisyys - päiväntasaaja. Pienin rinnakkain - kurkku(niska).

Pyörimisakselin läpi kulkevia tasoja kutsutaan meridionaaliset tasot.

Monimutkaisessa piirustuksessa kierroskappaleiden esitys toteutetaan esittämällä pinnan ääriviivojen pohjan reunoja ja viivoja.

Meridionaalisten tasojen ja pinnan leikkausviivoja kutsutaan meridiaaneja.

Projektiotason kanssa yhdensuuntaista meridiaalitasoa kutsutaan päämeridionaalinen taso. Sen leikkausviiva pinnan kanssa - alkumeridiaani.

Suora pyöreä sylinteri. Oikea pyöreä sylinteri (kuva 135) on kappale, jota rajoittaa lieriömäinen kierrospinta ja kaksi ympyrää - sylinterin pohjat, jotka sijaitsevat tasoissa, jotka ovat kohtisuorassa sylinterin akseliin nähden. Sylinterimäinen pyörimispinta kutsutaan pintaa, joka saadaan pyörittämällä suoraviivaista generatriisia AA 1 sen kanssa yhdensuuntaisen kiinteän suoran ympärillä - i (pyörimisakseli). Suoraa pyöreää sylinteriä kuvaavat mitat ovat sen halkaisija DC ja korkeus l (sylinterin pohjan välinen etäisyys).

Kuva 135

Oikeanpuoleista pyöreää sylinteriä voidaan pitää myös kappaleena, joka saadaan pyörittämällä suorakulmiota. ABCD sen yhdeltä sivulta, esim. Aurinko (Kuva 136). Sivu Aurinko on pyörimisakseli ja sivu ILMOITUS - sylinterin generatrix. Kaksi muuta sivua merkitsevät sylinterin pohjat.

Kuva 136

Suorakulmio AB ja CD Kierrettäessä ne muodostavat ympyröitä - sylinterin pohjat.

Sylinteriulokkeiden rakentaminen.

Sylinterin vaaka- ja etuprojektion rakentaminen alkaa sylinterin pohjan kuvasta, eli ympyrän kahdesta projektiosta (katso kuva 135, b). Koska ympyrä on tasossa H , sitten se projisoidaan tälle tasolle ilman vääristymiä. Ympyrän etuprojektio on vaakasuuntaisen suoran segmentti, joka on yhtä suuri kuin perusympyrän halkaisija.

Kun alusta on rakennettu etuulokkeen päälle, kaksi luonnosgeneraattorit(äärimmäiset generaattorit) ja sylinterin korkeus piirretään niihin. Piirretään vaakasuuntaisen viivan segmentti, joka on sylinterin yläpohjan edestä projektio (kuva 135, c).

Sylinterin pinnalla sijaitsevien pisteiden A ja B puuttuvien projektioiden määrittäminen annettujen etuprojektioiden mukaan sisään Tämä tapaus ei aiheuta vaikeuksia, koska sylinterin sivupinnan koko vaakasuora projektio on ympyrä (kuva 137, a). Siksi pisteiden vaakaprojektiot MUTTA ja AT löytyy pyyhkäisemällä annetuista pisteistä A"" ja B"" pystysuuntaisia ​​viestintälinjoja, kunnes ne leikkaavat ympyrän halutuissa pisteissä A" ja B".

Pisteiden profiiliprojektiot MUTTA ja AT Ne on myös rakennettu käyttämällä pysty- ja vaakasuuntaisia ​​viestintälinjoja.

Isometrinen näkymä sylinteristä piirrä kuvan 137 mukaisesti, b.

Isometrisessä pisteessä MUTTA ja AT rakennettu niiden koordinaattien mukaan. Esimerkiksi pisteen rakentamiseen AT alkuperästä O akselia pitkin x lykätä koordinaattia ∆x , ja sitten sen pään läpi vedetään suora akselin suuntainen viiva klo , kunnes se leikkaa pohjan ääriviivan pisteessä 2 . Tästä pisteestä piirretään z-akselin suuntainen suora, jolle koordinaatti piirretään Z B , pistettä AT .

Kuva 137

Suoraan pyöreä kartio . Oikea pyöreä kartio (Kuva 138) on kappale, jota rajoittaa kartiomainen pyörimispinta ja ympyrä, joka sijaitsee tasossa, joka on kohtisuorassa kartion akseliin nähden. kartiomainen pinta saatu pyörittämällä suoraviivaista generatriisia SA (Kuva 138, a), kulkee läpi kiinteä pisteS pyörimisakselilla i ja muodostaa jonkin vakiokulman tämän akselin kanssa. Piste S nimeltään kartion yläosa, ja kartiomainen pinta on kartion sivupinta. Oikean pyöreän kartion koko kuvaa sen pohjan halkaisijaa D K ja korkeus H .

Kuva 138

Suoraa pyöreää kartiota voidaan pitää myös kappaleena, joka saadaan pyörittämällä suorakulmaista kolmiota SAB hänen jalkansa ympärillä SB (Kuva 139). Tällä kierrolla hypotenuusa kuvaa kartiomainen pinta, ja jalka AB - ympyrä, eli kartion pohja.

Kuva 139

Kartioulokkeiden rakentaminen.

Kartion kahden projektion rakentamisjärjestys on esitetty kuvassa 167, b ja c. Ensin rakennetaan kaksi pohjan projektiota. Pohjan vaakasuora projektio on ympyrä. Etuprojektio on vaakasuuntaisen viivan segmentti, joka on yhtä suuri kuin tämän ympyrän halkaisija (kuva 138, b). Etuprojektioon pystytetään kohtisuora alustan keskeltä, ja sen päälle asetetaan kartion korkeus (kuva 138, c). Tuloksena oleva kartion yläosan etuprojektio yhdistetään suorilla viivoilla pohjan etuprojektion päihin ja saadaan kartion etuprojektio.

Pisteiden rakentaminen kartion pinnalle

Jos yhden pisteen projektio annetaan kartion pinnalle MUTTA (esimerkiksi frontaaliprojektio kuvassa 140), sitten tämän pisteen kaksi muuta projektiota määritetään käyttämällä apuviivoja - generatriisia, joka sijaitsee kartion pinnalla ja piirretään pisteen läpi. MUTTA , tai ympyrä, joka sijaitsee tasossa, joka on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa.

Kuva 140

Ensimmäisessä tapauksessa (Kuva 140, a) pisteen kautta A suorittaa edestä projektio 1""S"" apugeneratrix. Käyttämällä pystysuoraa kommunikaatiolinjaa, joka on vedetty pisteestä 1 , joka sijaitsee perusympyrän etuprojektiossa, etsi vaakasuora projektio 1" tämä generatriisi, jonka kautta kulkevan viestintälinjan avulla A" , löytö haluttu kohta A .

Toisessa tapauksessa (Kuva 140, b) pisteen läpi kulkeva apuviiva MUTTA , on ympyrä, joka sijaitsee kartiomaisella pinnalla ja yhdensuuntainen tason kanssa H - yhdensuuntainen. Tämän ympyrän etuprojektio on kuvattu segmenttinä 1""1"" vaakasuuntainen suora viiva, jonka arvo on yhtä suuri kuin apuympyrän halkaisija. Haluttu vaakasuora projektio A" pisteitä MUTTA sijaitsee viestintälinjan leikkauskohdassa pisteestä laskettuna A" , jossa on apuympyrän vaakasuora projektio.

Jos tietty frontaaliprojektio 1"" pisteitä 1 sijaitsee ääriviivan (ääriviivan) generatriisissa, silloin pisteen vaakaprojektio on ilman apuviivoja.

AT isometrinen näkymä kohta MUTTA , joka sijaitsee kartion pinnalla, on rakennettu kolmeen koordinaattiin (katso kuva 140, c):  X ,  Y ja Z MUTTA O akselia pitkin X viivästynyt koordinaatti  X  Y z Z MUTTA MUTTA .

Pallo. Pallo (kuva 141) on puoliympyrää kiertämällä saatu kappale ABC (tuottaa) halkaisijansa ympärille AC (kiertoakseli) ja pinta, jota kaari tässä tapauksessa kuvaa ABC , kutsutaan pallomaiseksi tai pallomaiseksi. Pallolla tarkoitetaan kappaleita, joita rajoittaa vain pyörimispinta.

Kuva 141

Pallo(pallomainen) pinta on yhdestä pisteestä yhtä kaukana olevien pisteiden sijainti O nimeltään pallon keskus. Jos pallo leikataan vaakatasoilla, ympyrät saadaan osiossa - yhtäläisyyksiä. Suurimman yhdensuuntaisuuden halkaisija on yhtä suuri kuin pallon halkaisija. Sellaista ympyrää kutsutaan päiväntasaaja. Ympyröitä, jotka saadaan pallon osien tuloksena sen pyörimisakselin läpi kulkevien tasojen avulla, kutsutaan meridiaaneja.

Pallon projektioiden ja sen pinnalla olevien pisteiden rakentaminen

Pallon ulokkeet on esitetty kuvassa 142, a. Vaaka- ja etuprojektio - ympyrät, joiden säde on yhtä suuri kuin pallon säde.

Kuva 142

Jos kohta MUTTA sijaitsee pallomainen pinta, sitten apulinja 1"" 2"" , piirretty tämän pisteen läpi yhdensuuntaisesti akselin kanssa vai niin (rinnakkainen), projisoidaan vaakasuuntaiselle projektiotasolle ympyrän avulla. Apuympyrän vaakaprojektiossa haluttu vaakaprojektio löydetään tiedonsiirtolinjaa käyttämällä A" pisteitä MUTTA .

Apuympyrän halkaisijan arvo on yhtä suuri kuin etuprojektio 1""2"" .

Aksonometrinen kuva pallot (pallo) on tehty ympyrän muotoon (kuva 142 b), jonka säde on geometrisesti määritelty etäisyydeksi pallon keskipisteestä päiväntasaajan projektioon (ellipsi) pitkin sen pääakselia (pystysuorassa Oz ).

Aksonometrisessa projektiossa piste MUTTA , joka sijaitsee pallon pinnalla, on rakennettu kolmen koordinaatin mukaan: X MUTTA ,Y MUTTA ja Z MUTTA . Nämä koordinaatit piirretään peräkkäin isometristen akselien suuntaisiin suuntiin. Tarkasteltavassa esimerkissä pisteestä O akselia pitkin X viivästynyt koordinaatti X MUTTA ; sen päästä vedetään y-akselin suuntainen suora, jolle koordinaatti piirretään Y MUTTA ; segmentin päästä akselin suuntaisesti z piirretään suora, jolle koordinaatti piirretään Z MUTTA . Rakenteiden tuloksena saamme halutun pisteen MUTTA .

Thor- kappale (Kuva 143), joka on muodostettu pyörimällä ympyrää tai sen kaaria sen kanssa samassa tasossa olevan akselin ympäri, joka ei kulje ympyrän tai sen kaaren keskipisteen läpi.

Kuva 143

Jos pyörimisakseli ei leikkaa generoivaa ympyrää, kutsutaan toruksi rengas(avoin torus) (Kuva 143, a). Jos pyörimisakseli leikkaa generoivan ympyrän, niin se käy tynnyrin muotoinen toru(suljettu toru tai leikkaava toru) (Kuva 143, b). Jälkimmäisessä tapauksessa toruksen pinnan generatriisi on kaari ABC ympyrät.

Toruksen pinnan generatriisin pisteitä kuvaavista ympyröistä suurinta kutsutaan päiväntasaaja, ja pienin kurkku, tai kaula.

Torus-projektioiden rakentaminen

Pyöreällä renkaalla (tai avoimella toruksella) on vaakasuora projektio kahden samankeskisen ympyrän muodossa, joiden säteiden ero on yhtä suuri kuin renkaan paksuus tai muodostavan ympyrän halkaisija (Kuva 145). Etuprojektio on rajoitettu oikealle ja vasemmalle generoivan ympyrän halkaisijan omaavien puoliympyröiden kaarilla.

Kuva 144, a ja b esittävät kahden tyyppistä suljettua torusta. Ensimmäisessä tapauksessa sädeympyrän muodostava kaari R poispäin pyörimisakselista sädettä pienemmällä etäisyydellä R , ja toisessa tapauksessa - enemmän. Molemmissa tapauksissa toruksen etuprojektiot ovat todellinen näkymä kahdesta sädeympyrän muodostavasta kaaresta R sijaitsee symmetrisesti pyörimisakselin etuprojektioon nähden. Toruksen profiiliprojektiot ovat ympyröitä.

Kuva 144

Pisteiden rakentaminen toruksen pinnalle

Siinä tapauksessa, että kohta MUTTA sijaitsee pyöreän renkaan pinnalla ja yksi sen projektioista on annettu, tämän pisteen toisen projektion löytämiseksi käytetään apuympyrää, joka kulkee sen läpi. annettu piste MUTTA ja sijaitsee renkaan pinnalla tasossa, joka on kohtisuorassa renkaan akseliin nähden (kuva 145).

Jos etuprojektio on asetettu A"" pisteitä MUTTA makaa renkaan pinnalla, sitten löytää sen toinen projektio (tässä tapauksessa vaakasuuntainen) läpi A" suorita apuympyrän etuprojektio - vaakasuuntaisen suoran segmentti 2""2"" . Rakenna sitten vaakasuora projektio 2"2" tämä ympyrä ja siitä, käyttämällä viestintälinjaa, etsi piste A" .

Jos vaakaprojektio on annettu B" pisteitä B sijaitsee tämän renkaan pinnalla, sitten löytääksesi tämän pisteen edestä projektio 1" suorittaa säteen apuympyrän vaakasuora projektio R 1 . Sitten vasemman ja oikean pisteen kautta 1" ja 1" tästä ympyrästä piirretään pystysuuntaisia ​​viestintäviivoja, kunnes ne leikkaavat sädeympyrän luonnosgeneraatin etuprojektioiden kanssa R ja saa pisteitä 1"" ja 1"" . Nämä pisteet on yhdistetty vaakaviivalla, joka on apuympyrän edestä projektio (se on näkyvissä). Pystyviivan piirtäminen pisteestä B" linjan risteykseen 1""1"" saada haluttu piste B"" .

Samat rakennustekniikat ovat sovellettavissa toruksen pinnalla sijaitseviin pisteisiin.

Kuva 145

Aksonometrisen kuvan rakentaminen Torus voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen (Kuva 146). Ensin säteittäisen aksiaalisen linjan projektio (generoivan ympyrän keskipisteen liikerata) muodostetaan ellipsin muotoon. Sitten määritämme torusta koskettavan pallon säteen generatrixia (ympyrää) pitkin. Tätä varten rakennamme toruksen frontaalisen luonnosgeneratriisin projektion pienemmän ellipsin muotoon. Pallon säde määritellään segmentin pituudeksi O 1 F ellipsin keskustasta ellipsin pisteeseen, joka sijaitsee ellipsin pääakselilla (pystysuorassa Oy ). Seuraavaksi rakennamme suuren määrän ympyröitä, joilla on säde R pallot joiden keskipisteet ovat radiaalisen aksiaalisen toruksen projektiossa O 1 … O n (mitä enemmän, sitä tarkempi tulevaisuuden toruksen ääriviiva). Lopuksi piirrämme toruksen ääriviivan viivana tangenttina jokaiselle pallon ympyrälle.

Kuva 146

AT aksonometrinen projektio kohta MUTTA Toruksen pinnalla sijaitseva , on rakennettu kolmen koordinaatin mukaan: X MUTTA ,Y MUTTA ja Z MUTTA . Nämä koordinaatit piirretään peräkkäin isometristen akselien suuntaisiin suuntiin.

Vallankumouksen pinnoilla ja niiden rajoittamilla kappaleilla on laaja sovellus monilla tekniikan aloilla: katodisädeputkipallo (kuva 8.11, a), sorvin keskikohta (kuva 8.11, b) Volumetrinen mikroaaltouuniresonaattori sähkömagneettiset värähtelyt(Kuva 8.11, sisään), varastointi dewar-alus nestemäistä ilmaa(Kuva 8.11, G), tehokkaan katodisädelaitteen elektronien kerääjä (kuva 8.11, e) jne.

Pinnan generatrixin tyypistä riippuen rotaatiot voivat olla hallittuja, epälineaarisia tai koostua tällaisten pintojen osista.

Kierrospinta on pinta, joka syntyy generatrixin pyörimisestä kiinteän linjan ympäri. suora akseli pinnat.

Piirustuksissa akselia edustaa katkoviiva. Tuottava linja voi yleinen tapaus niissä on sekä kaarevia että suoria osia. Piirustuksen pyörimispinta voidaan määrittää generatriisin ja akselin sijainnin avulla. Kuvassa 8.12 on esitetty pyörimispinta, joka muodostuu generatrixin pyörimisestä AlCD (hänen edestä projektio a"b"c"d") akselin OO 1 ympärillä (edessä projektio o "o 1" , kohtisuorassa tasoon nähden N. Pyörimisen aikana jokainen generatriisin piste kuvaa ympyrää, jonka taso on kohtisuorassa akseliin nähden. Näin ollen pyörimispinnan leikkausviiva minkä tahansa akseliin nähden kohtisuorassa olevan tason kanssa on ympyrä. Tällaisia ​​piirejä kutsutaan yhtäläisyyksiä. Ylhäältä (Kuva 8.12) näkyvät pisteillä kuvatut ympyrän projektiot A, B, C ja D, kulkee projektioiden läpi a, b, c, d. Sen molemmilla puolilla viereisistä kahdesta yhdensuuntaisuudesta suurinta yhdensuuntaisuutta kutsutaan päiväntasaaja, samoin pienin kurkku.

Pyörimispinnan akselin läpi kulkevaa tasoa kutsutaan meridionaalinen sen leikkausviiva kierroksen pinnan kanssa - meridiaani. Jos pinnan akseli on yhdensuuntainen projektiotason kanssa, niin tämän projektiotason kanssa yhdensuuntaisessa tasossa olevaa meridiaania kutsutaan ns.päämeridiaani.Päämeridiaani projisoidaan tälle projektiotasolle ilman vääristymiä. Eli jos pyörimispinnan akseli on yhdensuuntainen tason kanssa V, sitten alkumeridiaani projisoidaan tasolle V ilman vääristymiä, esim. projektiota a"f"b"c"d". Jos pyörimispinnan akseli on kohtisuorassa tasoon nähden H, silloin pinnan vaakasuoralla projektiolla on ympyrän muotoinen ääriviiva.

Kätevimpiä kuvien suorittamiseen pyörimispinnoista ovat tapaukset, joissa niiden akselit ovat kohtisuorassa tasoon nähden H, V-tasoon tai W-tasoon.

Jotkut vallankumouksen pinnatovat 8.1:ssä tarkasteltujen pintojen erikoistapauksia, esimerkiksi kierrossylinteri, kierroskartio. Sylinterin ja kierroskartion meridiaanit ovat suoria viivoja. Ne ovat yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa ja yhtä kaukana siitä sylinterin tapauksessa tai leikkaavat akselin samassa pisteessä samassa kulmassa akseliin nähden kartiolla. Sylinteri ja kierroskartio ovat pintoja, jotka ovat äärettömiä generaattoriensa suunnassa; siksi kuvissa niitä rajoittavat jotkut viivat, esimerkiksi näiden pintojen leikkausviivat projektiotasojen kanssa tai mikä tahansa yhdensuuntaisuus. Kiinteästä geometriasta tiedetään, että oikea ympyräsylinteri ja oikea ympyräkartio on rajattu pyörimispinnalla ja tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa pinnan akseliin nähden. Tällaisen sylinterin pituuspiiri on suorakulmio, kartion pituuspiiri on kolmio.

Tällainen pyörimispinta pallona on rajoitettu ja se voidaan esittää kokonaisuudessaan piirustuksessa. Pallon päiväntasaaja ja meridiaanit ovat yhtä suuria ympyröitä. klo ortogonaalinen projektio kaikilla kolmella projektiotasolla pallon ääriviivat projisoidaan ympyräksi.

Thor. Kun ympyrä (tai sen kaari) pyörii akselin ympäri, joka on tämän ympyrän tasolla, mutta ei kulje sen keskustan läpi, saadaan pinta, jota kutsutaan torukseksi. Kuva 8.13 näyttää: avoin toru tai pyöreä rengas, - Kuva 8.13, a, suljettu torus - kuva 8.13, b, itsensä leikkaava toru - kuva 8.13, c, Tor (kuva 8.13, d) kutsutaan myös sitruunaksi. Kuvassa 8.13 ne on esitetty asennossa, jossa toruksen akseli on kohtisuorassa projektiotasoon nähden N. Pallot voidaan kirjoittaa avoimeen ja suljettuun toriin. Torusta voidaan pitää pintana, joka ympäröi identtisiä palloja, joiden keskipisteet ovat ympyrässä.

Piirustusten rakenteissa käytetään laajasti kahta toruksen pyöreän poikkileikkauksen järjestelmää: sen akseliin nähden kohtisuorassa olevissa tasoissa ja toruksen akselin läpi kulkevissa tasoissa. Samaan aikaan asunnossa

Toruksen akseliin nähden kohtisuorassa suunnassa puolestaan ​​​​on kaksi ympyräperhettä - tasojen leikkausviivat toruksen ulkopinnan kanssa ja tasojen leikkausviivat toruksen sisäpinnan kanssa. Sitruunan muotoisessa toruksessa (kuva 8.13, d) on vain ensimmäinen ympyräperhe.

Lisäksi toruksessa on myös kolmas ympyräleikkausten järjestelmä, jotka sijaitsevat tasoissa, jotka kulkevat toruksen keskustan läpi ja tangentit sitä. sisäpinta. Kuva 8.14 näyttää pyöreät osat keskusten kanssa o 1r ja o 2r lisäprojektiotasolla R, muodostaa edestä projisoiva taso Q(Qv), kulkee toruksen keskustan läpi projektioiden kanssa voi voi ja tangentti toruksen sisäpintaa pisteissä, joiden projektiot ovat 1", 1, 2" 2. Pisteprojektiot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ja 10helpottaa piirustuksen lukemista. Halkaisija d nämä pyöreät osat yhtä pitkä kuin pituus ellipsien pääakselit, joille pyöreät leikkaukset projisoidaan vaakasuora taso ennusteet: d = 2R.

Pisteet vallankumouksen pinnalla.Pisteen sijainti pyörähdyspinnalla määräytyy pisteen kuulumisesta pintakehyksen linjaan, eli tämän pisteen kautta kulkevan ympyrän avulla kierrospinnalla. Viivoitettujen pintojen tapauksessa tähän voidaan käyttää myös suoraviivaisia ​​generaattoreita.

Yhdensuuntaisen ja suoraviivaisen generatriisin käyttö tiettyyn pyörimispintaan kuuluvien pisteiden projektioiden muodostamiseen on esitetty kuvassa 8.12. Jos

ottaen huomioon projektio t", sitten suorita edestä projektio f"f1" rinnakkain ja sitten säteen R piirrä ympyrä - yhdensuuntaisuuden vaakasuora projektio - ja etsi siitä projektio t. Jos annettaisiin vaakasuora projektio t, silloin olisi tarpeen piirtää säde R=om ympyrä, rakenna f "pisteeseen f" ja piirrä f"f1"- rinnakkaisuuden etuprojektio - ja merkitse siihen piste projektioliitännässä t". Jos annetaan projektio P" pyörimispinnan viivoitellulle (kartiomainen) osalle suoritetaan sitten frontaaliprojektio d"s" sketch generatrix ja projektion kautta n "- frontaaliprojektio s "jolle" generatrix kartion pinnalla. Sitten pohjanäkymässä sk tämä generatriisi rakentaa projektion n. Jos vaakaprojektio n annettaisiin, niin vaakaprojektio tulisi vetää sen läpi sk generatrix, projektiolla k" ja s" (sen rakennetta käsiteltiin edellä) rakentaa frontaaliprojektio s"johon" ja merkitse siihen projektioliitännässä projektio n "

Kuvassa 8.15 on esitetty pisteprojektioiden rakenne TO, jotka kuuluvat toruksen pintaan. On huomattava, että rakenne on tehty näkyviä vaakasuuntaisia ​​ulokkeita varten kohtaan ja etuprojektio to".

Kuvassa 8.16 on esitetty rakenne tietyn frontaalisen projektion mukaan t" pisteitä sen vaakasuuntaisen pallon pinnalla t ja profiili t " ennusteet. Projektio t rakennettu käyttämällä ympyrää - projektion läpi kulkevaa yhdensuuntaista m". Sen säde on o-1. Projektio m "" on rakennettu ympyrästä, jonka taso on yhdensuuntainen projektion läpi kulkevien projektioiden profiilitason kanssa t". Sen säde on noin "2".

Viivojen projektioiden rakentaminen kierroksen pinnalle voidaan suorittaa myös käyttämällä ympyröitä - yhdensuuntaisia, jotka kulkevat tähän linjaan kuuluvien pisteiden läpi.

Kuva 8.17 esittää vaakaprojektion rakennetta a etuprojektion määrittelemä viiva a"b" pyörimispinnalla, joka koostuu pallon, toruksen, kartion pintojen osista. Viivan vaakaprojektion tarkempaa piirtämistä varten jatkamme sen edestä projektiota ylös ja alas ja merkitsemme projektiot 6" ja 5" äärimmäisiä kohtia. Vaakasuuntaiset projektiot 6, 1, 3, 4, 5 rakennettu viestintälinjoilla. Ennusteet b, 2, 7, 8 ja rakennettu käyttämällä yhdensuuntaisia ​​linjoja, joiden etuprojektiot kulkevat projektioiden läpi b"2", 7", 8", a" nämä kohdat. Määrä ja sijainti välipisteitä valita viivan muodon ja vaaditun rakennustarkkuuden perusteella. Vaakasuora projektio rivi koostuu osista: b-1 - ellipsin osat,

Esimerkkejä vallankumouksen kiinteistä aineista

• Pallo - muodostuu puoliympyrästä, joka pyörii leikkauksen halkaisijan ympäri
• Sylinteri - muodostuu suorakulmiosta, joka pyörii yhden sivun ympäri

Sylinterin sivupinnan pinta-alalle otetaan sen kehitysalue: Sivu = 2πrh.

• Kartio - muotoiltu suorakulmainen kolmio, pyörii yhden jalan ympärillä

Sen kehitysalue on otettu kartion sivupinnan pinta-alaksi: Sside = πrl Pinta-ala koko pinta kartiot: Scon = πr(l+ r)

Kun kuvioiden ääriviivoja kierretään, syntyy kierrospinta (esimerkiksi ympyrän muodostama pallo), kun taas täytetyn ääriviivan pyöriessä syntyy kappaleita (kuten ympyrän muodostama pallo).

Pyörimiskappaleiden tilavuus ja pinta-ala

• Ensimmäinen Guldin-Papp lause sanoo:

• Toinen Guldin-Pappa -lause sanoo:

Kirjallisuus

A.V. Pogorelov. "Geometria. Luokka 10-11» § 21. Kiertoelimet. - 2011

Huomautuksia

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "vallankumouksen ruumis" on muissa sanakirjoissa:

yksityiskohta suljetulla reunalla - vallankumouksen kappaleita- Osa osasta, jonka pintaa rajoittavat molemmin puolin halkaisijaltaan suuremmat pyörimispinnat. Suljettujen portaiden olemassaolo ei vaikuta porrastuksen määritelmään ulkopinta. Työkalun ulostulon uria ei oteta huomioon ... ...

vallankumouskappaleen muotoinen kuori-- [A.S. Goldberg. Englannin venäjän energiasanakirja. 2006] Energia-aiheet yleisesti FI vallankumouksen kuori ... Teknisen kääntäjän käsikirja

hienovarainen kehon teoria Tietosanakirja "Aviation"

hienovarainen kehon teoria- Virta ohuen kappaleen ympäri nollasta poikkeavalla iskukulmalla. ohuen kehon teoria - teoria spatiaalista irrotaatiovirtauksesta ihanteellinen neste lähellä ohuita vartaloja[kappaleet, joissa poikittaismitta l (paksuus, alue) on pieni verrattuna ... ... Tietosanakirja "Aviation"

Ideaalinesteen spatiaalisen irrotaatiovirtauksen teoria ohuiden kappaleiden lähellä (kappaleita, joissa poikittaismitta l (paksuus, alue) on pieni verrattuna pituusmittaan L: (τ) = l / Teknologian tietosanakirja

Kulmanopeus (sininen nuoli) yksi yksikkö myötäpäivään Kulmanopeus (sininen nuoli) puolitoista yksikköä myötäpäivään Kulmanopeus (sininen nuoli) yksi yksikkö vastapäivään Ug ... Wikipedia

Fysiikan ala, joka tutkii kiinteiden aineiden rakennetta ja ominaisuuksia. Tieteellistä tietoa mikrorakenteesta kiinteät aineet ja fyysisestä ja kemialliset ominaisuudet niiden ainesatomit ovat välttämättömiä uusien materiaalien ja teknisten laitteiden kehittämisessä. Fysiikka ...... Collier Encyclopedia

Kehon liike Maan gravitaatiokentässä alusta alkaen. nopeus, nolla. P.t. tapahtuu painovoiman vaikutuksesta, joka riippuu etäisyydestä r Maan keskustasta, ja väliaineen (ilman tai veden) vastusvoiman vaikutuksesta, joka riippuu liikkeen nopeudesta v. Päällä…… Fyysinen tietosanakirja

Suora viiva, joka on paikallaan sen ympärillä pyörivään suuntaan kiinteä runko. Jäykkään runkoon, jossa on kiinteä kohta (esim vauvan spinning toppi), tämän pisteen kautta kulkeva suora viiva, jonka ympäri kiertämällä keho liikkuu annetusta ... ... tietosanakirja

Kehon liike Maan vetovoimakentässä alkunopeus yhtä kuin nolla. P.t. tapahtuu gravitaatiovoiman vaikutuksesta riippuen etäisyydestä r Maan keskustasta ja väliaineen (ilman tai veden) vastusvoimasta, joka riippuu nopeudesta ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kirjat

• Pöytien sarja. Matematiikka. Polyhedra. vallankumouksen ruumiit. 11 pöytää + 64 korttia + metodologia,. 11 arkin opetusalbumi (koko 68 x 98 cm): - Rinnakkaismuotoilu. - Kuva litteistä hahmoista. - Askel askeleelta teoreemojen todistus. - Linjojen keskinäinen järjestely ja...
• Kimmoisan vallankumouskappaleen tasapainoyhtälöiden integrointi tilavuus- ja pintavoimien symmetriseen jakautumiseen sen akselin ympäri, G.D. Grodski. Toistettu vuoden 1934 painoksen alkuperäisellä kirjoittajalla (kustantaja "Proceedings of the Academy of Sciences of the Neuvostoliit"). AT…