स्थिति-विज्ञान- यह सैद्धांतिक यांत्रिकी की एक शाखा है, जो बलों के प्रभाव में भौतिक निकायों के संतुलन की स्थितियों का अध्ययन करती है।

संतुलन की स्थिति के तहत, स्टैटिक्स में, उस अवस्था को समझा जाता है जिसमें सभी भाग यांत्रिक प्रणालीआराम पर हैं (स्थिर समन्वय प्रणाली के सापेक्ष)। यद्यपि स्टैटिक्स की विधियाँ गतिमान पिंडों पर भी लागू होती हैं, और उनकी मदद से गतिकी की समस्याओं का अध्ययन करना संभव होता है, स्टैटिक्स के अध्ययन की मूल वस्तुएँ गतिहीन यांत्रिक निकाय और प्रणालियाँ हैं।

बलएक शरीर के दूसरे पर प्रभाव का माप है। बल एक वेक्टर है जिसका शरीर की सतह पर एक अनुप्रयोग बिंदु होता है। बल के तहत मुक्त निकायबल वेक्टर के आनुपातिक त्वरण प्राप्त करता है और शरीर के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता का नियम

वह बल जिससे पहला शरीर दूसरे पर कार्य करता है निरपेक्ष मूल्यऔर उस बल के विपरीत है जिसके साथ दूसरा शरीर पहले पर कार्य करता है।

इलाज सिद्धांत

यदि विकृत शरीर संतुलन में है, तो शरीर को पूरी तरह से कठोर माना जाने पर उसका संतुलन नहीं बिगड़ेगा।

सामग्री बिंदु स्टैटिक्स

एक भौतिक बिंदु पर विचार करें जो संतुलन में है। और मान लीजिए कि उस पर n बल कार्य करते हैं, k = 1, 2, ..., नहीं.

यदि भौतिक बिंदु संतुलन में है, तो उस पर कार्य करने वाले बलों का सदिश योग शून्य के बराबर होता है:
(1) .

संतुलन में ज्यामितीय योगएक बिंदु पर कार्य करने वाले बल शून्य होते हैं।

ज्यामितीय व्याख्या . यदि दूसरे वेक्टर की शुरुआत पहले वेक्टर के अंत में रखी जाती है, और तीसरे की शुरुआत दूसरे वेक्टर के अंत में रखी जाती है, और फिर यह प्रक्रिया जारी रहती है, तो आखिरी वेक्टर का अंत, nth वेक्टर होगा पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ जोड़ा जा सकता है। यही है, हमें एक बंद ज्यामितीय आकृति मिलती है, जिसके किनारों की लंबाई वैक्टर के मॉड्यूल के बराबर होती है। यदि सभी सदिश एक ही तल में हों, तो हमें एक बंद बहुभुज प्राप्त होता है।

चुनना अक्सर सुविधाजनक होता है आयताकार प्रणाली COORDINATESऑक्सीज। तब निर्देशांक अक्षों पर सभी बल सदिशों के अनुमानों का योग शून्य के बराबर होता है:

यदि आप किसी सदिश द्वारा परिभाषित कोई दिशा चुनते हैं, तो इस दिशा पर बल सदिशों के अनुमानों का योग शून्य के बराबर होता है:
.
हम समीकरण (1) को सदिश से गुणा करते हैं:
.
यहां - अदिश उत्पादवैक्टर और।
ध्यान दें कि वेक्टर की दिशा में वेक्टर का प्रक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.

कठोर शरीर स्टैटिक्स

एक बिंदु के बारे में बल का क्षण

बल के क्षण का निर्धारण

बल का क्षण, निश्चित केंद्र O के सापेक्ष बिंदु A पर शरीर पर लगाया जाता है, इसे वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर वेक्टर कहा जाता है और:
(2) .

ज्यामितीय व्याख्या

शक्ति का क्षण उत्पाद के बराबर है OH भुजा पर F को बल दें।

वैक्टर और आकृति के विमान में स्थित होने दें। संपत्ति के अनुसार वेक्टर उत्पाद, सदिश सदिशों के लंबवत है और , अर्थात यह आकृति के तल के लंबवत है। इसकी दिशा सही पेंच नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। आकृति में, क्षण वेक्टर हमारी ओर निर्देशित है। पल का निरपेक्ष मूल्य:
.
क्योंकि तब
(3) .

ज्यामिति का उपयोग करके, बल के क्षण की एक और व्याख्या दी जा सकती है। ऐसा करने के लिए, बल वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा AH खींचें। केंद्र O से हम लंबवत OH को इस रेखा पर छोड़ते हैं। इस लंब की लंबाई कहलाती है ताकत का कंधा. फिर
(4) .
चूँकि सूत्र (3) और (4) समतुल्य हैं।

इस प्रकार, बल के क्षण का निरपेक्ष मूल्यकेंद्र O के सापेक्ष है कंधे पर बल का उत्पादयह बल चुने हुए केंद्र O के सापेक्ष है।

पल की गणना करते समय, बल को दो घटकों में विघटित करना अक्सर सुविधाजनक होता है:
,
कहाँ पे । बल बिंदु O से होकर गुजरता है। तो उसका पल शून्य. फिर
.
पल का निरपेक्ष मूल्य:
.

आयताकार निर्देशांक में क्षण घटक

यदि हम बिंदु O पर केंद्रित एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ चुनते हैं, तो बल के क्षण में निम्नलिखित घटक होंगे:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
यहाँ चयनित निर्देशांक प्रणाली में बिंदु A के निर्देशांक दिए गए हैं:
.
घटक क्रमशः कुल्हाड़ियों के बारे में बल के क्षण के मूल्य हैं।

केंद्र के बारे में बल के क्षण के गुण

इस केंद्र से गुजरने वाले बल से केंद्र O के बारे में क्षण शून्य के बराबर है।

यदि बल के अनुप्रयोग बिंदु को बल सदिश से गुजरने वाली रेखा के अनुदिश ले जाया जाता है, तो इस प्रकार की गति के दौरान क्षण नहीं बदलेगा।

शरीर के एक बिंदु पर लागू बलों के वेक्टर योग से क्षण एक ही बिंदु पर लागू प्रत्येक बल के क्षणों के वेक्टर योग के बराबर होता है:
.

यही बात उन बलों पर भी लागू होती है जिनकी विस्तार रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, उनके चौराहे के बिंदु को बलों के आवेदन के बिंदु के रूप में लिया जाना चाहिए।

यदि बलों का सदिश योग शून्य है:
,
तो इन बलों से क्षणों का योग केंद्र की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, जिसके सापेक्ष क्षणों की गणना की जाती है:
.

पावर कपल

पावर कपलदो बल हैं जो निरपेक्ष मान में बराबर हैं और हैं विपरीत दिशाओं मेके लिए आवेदन किया विभिन्न बिंदुतन।

बलों की एक जोड़ी को उस क्षण की विशेषता होती है जब वे बनाते हैं। चूंकि जोड़े में शामिल बलों का वेक्टर योग शून्य है, इसलिए युगल द्वारा बनाया गया क्षण उस बिंदु पर निर्भर नहीं करता है जिसके सापेक्ष क्षण की गणना की जाती है। स्थिर संतुलन की दृष्टि से, युग्म में बलों की प्रकृति अप्रासंगिक है। बलों की एक जोड़ी का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि बलों का एक क्षण शरीर पर कार्य करता है, जिसमें निश्चित मूल्य.

किसी दिए गए अक्ष के बारे में बल का क्षण

अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब हमें किसी चयनित बिंदु के बारे में बल के क्षण के सभी घटकों को जानने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल एक चयनित अक्ष के बारे में बल के क्षण को जानने की आवश्यकता होती है।

बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के बारे में बल का क्षण बल के क्षण के वेक्टर का प्रक्षेपण है, बिंदु O के बारे में, अक्ष की दिशा में।

अक्ष के परितः बल आघूर्ण के गुण

इस अक्ष से गुजरने वाले बल से अक्ष के परितः आघूर्ण शून्य के बराबर होता है।

इस अक्ष के समांतर बल से किसी अक्ष के परितः आघूर्ण शून्य होता है।

अक्ष के परितः बल आघूर्ण की गणना

बिंदु A पर शरीर पर एक बल कार्य करने दें। आइए हम O′O′′ अक्ष के सापेक्ष इस बल का आघूर्ण ज्ञात करें।

आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण करें। ओज़ अक्ष को O′O′′ के साथ मेल खाने दें। बिंदु A से हम लंबवत OH को O′O′′ पर गिराते हैं। बिंदु 0 और ए के माध्यम से हम अक्ष ऑक्स खींचते हैं। हम ऑक्स और ओज़ पर अक्ष ओए लंबवत खींचते हैं। हम समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ घटकों में बल को विघटित करते हैं:
.
बल O′O′′ अक्ष को पार करता है। अतः इसका संवेग शून्य है। बल O′O′′ अक्ष के समानांतर है। अतः इसका आघूर्ण भी शून्य होता है। सूत्र (5.3) से हम पाते हैं:
.

ध्यान दें कि घटक स्पर्शरेखा रूप से उस वृत्त की ओर निर्देशित है जिसका केंद्र बिंदु O है। वेक्टर की दिशा सही पेंच नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।

एक कठोर शरीर के लिए संतुलन की स्थिति

संतुलन में, शरीर पर अभिनय करने वाले सभी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर होता है और एक मनमाना निश्चित केंद्र के सापेक्ष इन बलों के क्षणों का वेक्टर योग शून्य के बराबर होता है:
(6.1) ;
(6.2) .

हम इस बात पर जोर देते हैं कि केंद्र O , जिसके सापेक्ष बलों के क्षणों की गणना की जाती है, को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। बिंदु O या तो शरीर का हो सकता है या उसके बाहर हो सकता है। आमतौर पर केंद्र O को गणना को आसान बनाने के लिए चुना जाता है।

संतुलन की स्थिति को दूसरे तरीके से तैयार किया जा सकता है।

संतुलन में, एक मनमाना वेक्टर द्वारा दी गई किसी भी दिशा में बलों के अनुमानों का योग शून्य के बराबर होता है:
.
एक मनमाना अक्ष O′O′′ के चारों ओर बलों के क्षणों का योग भी शून्य के बराबर होता है:
.

कभी-कभी ये स्थितियां अधिक सुविधाजनक होती हैं। ऐसे समय होते हैं जब कुल्हाड़ियों को चुनकर गणना को सरल बनाया जा सकता है।

शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र

सबसे महत्वपूर्ण बलों में से एक पर विचार करें - गुरुत्वाकर्षण। यहां, शरीर के कुछ बिंदुओं पर बलों को लागू नहीं किया जाता है, बल्कि इसके आयतन पर लगातार वितरित किया जाता है। शरीर के प्रत्येक भाग के लिए एक असीम मात्रा के साथ वी, गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है। यहाँ ρ शरीर द्रव्य का घनत्व है, त्वरण है निर्बाध गिरावट.

आज्ञा देना शरीर के एक असीम रूप से छोटे हिस्से का द्रव्यमान हो। और मान लीजिए कि बिंदु A k इस खंड की स्थिति को परिभाषित करता है। आइए हम गुरुत्वाकर्षण बल से संबंधित मात्राएँ ज्ञात करें, जो संतुलन समीकरणों (6) में शामिल हैं।

आइए शरीर के सभी भागों द्वारा गठित गुरुत्वाकर्षण बलों का योग ज्ञात करें:
,
शरीर का द्रव्यमान कहाँ है। इस प्रकार, शरीर के अलग-अलग अतिसूक्ष्म भागों के गुरुत्वाकर्षण बलों के योग को पूरे शरीर के एक गुरुत्वाकर्षण वेक्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
.

आइए मनमाने तरीके से चुने हुए केंद्र O के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण बल के क्षणों का योग ज्ञात करें:

.
यहां हमने बिंदु C का परिचय दिया है जिसे कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रतन। बिंदु O पर केंद्रित एक समन्वय प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
(7) .

तो, स्थिर संतुलन का निर्धारण करते समय, गुरुत्वाकर्षण का योग व्यक्तिगत खंडनिकायों को परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है
,
शरीर C के द्रव्यमान के केंद्र पर लागू होता है, जिसकी स्थिति सूत्र (7) द्वारा निर्धारित की जाती है।

विभिन्न के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति ज्यामितीय आकारसंबंधित गाइडों में पाया जा सकता है। यदि शरीर में एक अक्ष या समरूपता का तल है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष या तल पर स्थित होता है। तो, एक गोले, वृत्त या वृत्त के गुरुत्वाकर्षण केंद्र इन आकृतियों के वृत्तों के केंद्रों में स्थित होते हैं। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र घनाभ, आयत या वर्ग भी उनके केंद्रों में स्थित होते हैं - विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर।

समान रूप से (ए) और रैखिक रूप से (बी) वितरित भार।

गुरुत्वाकर्षण बल के समान मामले भी होते हैं, जब शरीर के कुछ बिंदुओं पर बलों को लागू नहीं किया जाता है, बल्कि इसकी सतह या आयतन पर लगातार वितरित किया जाता है। ऐसी ताकतों को कहा जाता है वितरित बलया ।

(चित्र ए)। साथ ही, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण के मामले में होता है, इसे आरेख के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर लागू परिमाण के परिणामी बल से बदला जा सकता है। चूँकि आकृति A में आरेख एक आयत है, आरेख का गुरुत्व केंद्र इसके केंद्र में है - बिंदु C: | एसी| = | सीबी |.

(चित्र बी)। इसे परिणामी द्वारा भी बदला जा सकता है। परिणामी का मान आरेख के क्षेत्रफल के बराबर है:
.
आवेदन का बिंदु भूखंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में है। एक त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र, ऊँचाई h, आधार से कुछ दूरी पर है। इसलिए ।

घर्षण बल

सर्पी घर्षण. शरीर को समतल सतह पर रहने दें। और मान लें कि सतह पर एक बल लंबवत है जिसके साथ सतह शरीर पर कार्य करती है (दबाव बल)। फिर फिसलने वाला घर्षण बल सतह के समानांतर होता है और शरीर को हिलने से रोकता है। उसका सबसे बड़ा मूल्य है:
,
जहाँ f घर्षण का गुणांक है। घर्षण का गुणांक एक आयामहीन मात्रा है।

रोलिंग घर्षण. गोल शरीर को लुढ़कने दें या सतह पर लुढ़कने दें। और मान लीजिए कि सतह के लंबवत दबाव बल है जिसके साथ सतह शरीर पर कार्य करती है। फिर शरीर पर, सतह के संपर्क के बिंदु पर, घर्षण बल का क्षण कार्य करता है, जो शरीर की गति को रोकता है। घर्षण क्षण का सबसे बड़ा मान है:
,
जहां रोलिंग घर्षण का गुणांक है। इसमें लंबाई का आयाम है।

सन्दर्भ:
एस. एम. तर्ग, लघु कोर्ससैद्धांतिक यांत्रिकी, ग्रेजुएट स्कूल", 2010.

1. सैद्धांतिक यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाएँ।

2. सैद्धांतिक यांत्रिकी में पाठ्यक्रम की संरचना।

1. यांत्रिकी (में वृहद मायने में) अंतरिक्ष और समय में भौतिक निकायों की गति का विज्ञान है। यह कई विषयों को जोड़ता है, जिनके अध्ययन की वस्तुएं ठोस, तरल और हैं गैसीय पिंड. सैद्धांतिक यांत्रिकी लोच का सिद्धांत, सामग्री की ताकत, द्रव यांत्रिकी, गैस की गतिशीलता और वायुगतिकी- यह यांत्रिकी के विभिन्न वर्गों की पूरी सूची नहीं है।

जैसा कि उनके नाम से देखा जा सकता है, वे मुख्य रूप से अध्ययन की वस्तुओं में एक दूसरे से भिन्न होते हैं। उनमें से सबसे सरल - ठोस - की गति का अध्ययन सैद्धांतिक यांत्रिकी में लगा हुआ है। सादगी में अध्ययन किया सैद्धांतिक यांत्रिकीऑब्जेक्ट्स आपको सबसे अधिक पहचानने की अनुमति देता है सामान्य कानूनगति जो सभी भौतिक निकायों के लिए मान्य हैं, उनके विशिष्ट की परवाह किए बिना भौतिक गुण. इसलिए, सैद्धांतिक यांत्रिकी को सामान्य यांत्रिकी का आधार माना जा सकता है।

2. सैद्धांतिक यांत्रिकी के पाठ्यक्रम में तीन खंड होते हैं: स्थिति-विज्ञान, गतिकीऔरवक्ताओं .

परस्टैटिक्स माना जाता है सामान्य सिद्धांतठोसों के लिए बलों और संतुलन की स्थिति के बारे में व्युत्पन्न किया जाता है।

कीनेमेटीक्स मेंप्रस्थान करना गणितीय तरीकेनिकायों और सूत्रों की गति के कार्य प्राप्त होते हैं जो इस आंदोलन की मुख्य विशेषताओं (वेग, त्वरण, आदि) को निर्धारित करते हैं।

गतिकी मेंकिसी दिए गए आंदोलन के अनुसार, इस आंदोलन का कारण बनने वाले बल निर्धारित होते हैं और इसके विपरीत, दिए गए बलों के अनुसार, वे निर्धारित करते हैं कि शरीर कैसे चलता है।

सामग्री बिंदुएक ज्यामितीय बिंदु कहा जाता है जिसमें द्रव्यमान होता है।

सामग्री बिंदुओं की प्रणालीउनमें से ऐसे समुच्चय को कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बिंदु की स्थिति और गति दी गई प्रणाली के अन्य सभी बिंदुओं की स्थिति और गति पर निर्भर करती है। अक्सर भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली को कहा जाता है यांत्रिक प्रणाली . एक यांत्रिक प्रणाली का एक विशेष मामला एक बिल्कुल कठोर शरीर है।

बिल्कुल ठोसएक पिंड कहलाता है, जिसमें किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा अपरिवर्तित रहती है (अर्थात यह एक बिल्कुल मजबूत और गैर-विकृत शरीर है)।

नि: शुल्कएक कठोर शरीर कहा जाता है, जिसकी गति अन्य निकायों द्वारा सीमित नहीं है।

खाली नहींएक शरीर कहा जाता है, जिसकी गति, एक तरह से या किसी अन्य, अन्य निकायों द्वारा सीमित होती है। यांत्रिकी में उत्तरार्द्ध को कहा जाता है सम्बन्ध .

बल द्वाराउपाय को बुलाओ यांत्रिक क्रियाएक शरीर से दूसरे शरीर। चूँकि पिंडों की परस्पर क्रिया न केवल इसकी तीव्रता से, बल्कि इसकी दिशा से भी निर्धारित होती है, बल एक सदिश राशि है और इसे एक निर्देशित खंड (वेक्टर) के रूप में चित्र में दर्शाया गया है। प्रणाली में बल की प्रति इकाई एसआई मुह बोली बहन न्यूटन (एन) . शक्ति को निरूपित करें बड़े अक्षर लैटिन वर्णमाला(ए, एस, जेड, वाई ...) संख्यात्मक मूल्य(या मॉड्यूल वेक्टर मात्रा) को समान अक्षरों से दर्शाया जाएगा, लेकिन ऊपरी तीरों के बिना (एफ, एस, पी, क्यू ...)

बल की रेखावह सीधी रेखा है जिसके साथ बल वेक्टर निर्देशित होता है।

बल प्रणालीयांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के किसी भी परिमित समूह को कहा जाता है। यह बलों की प्रणालियों को विभाजित करने के लिए प्रथागत है समतल (सभी बल एक ही तल में कार्य करते हैं) तथा स्थानिक . उनमें से प्रत्येक, बदले में, हो सकता है स्वेच्छाचारी या समानांतर (सभी बलों की कार्रवाई की रेखाएं समानांतर हैं) या अभिसरण बल प्रणाली (सभी बलों की क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)।

बलों की दो प्रणालियों को कहा जाता है समकक्ष , यदि यांत्रिक प्रणाली पर उनकी क्रियाएं समान हैं (अर्थात, बलों की एक प्रणाली को दूसरे के साथ बदलने से यांत्रिक प्रणाली की गति की प्रकृति नहीं बदलती है)।

यदि बलों का कोई निकाय एक बल के तुल्य हो, तो यह बल कहलाता है परिणामी बलों की यह प्रणाली। ध्यान दें कि बलों की प्रत्येक प्रणाली का परिणामी नहीं होता है। परिमाण में परिणामी के बराबर, दिशा में इसके विपरीत और एक ही सीधी रेखा के अनुदिश कार्य करने वाला बल कहलाता है संतुलन बल द्वारा।

बलों की प्रणाली जिसके प्रभाव में एक मुक्त कठोर शरीर आराम पर होता है या समान रूप से और सीधा चलता है, कहलाता है संतुलित या शून्य के बराबर।

आंतरिक बलएक यांत्रिक प्रणाली के भौतिक बिंदुओं के बीच बातचीत की ताकतों को कहा जाता है।

बाहरी ताकतें- ये किसी अन्य प्रणाली के भौतिक बिंदुओं के साथ किसी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं की परस्पर क्रिया की ताकतें हैं।

किसी एक बिंदु पर किसी पिंड पर लगाया जाने वाला बल कहलाता है केंद्रित .

किसी दिए गए आयतन के सभी बिंदुओं या किसी पिंड की सतह के दिए गए हिस्से पर कार्य करने वाले बल कहलाते हैं वितरित (क्रमशः आयतन और सतह से)।

प्रमुख अवधारणाओं की उपरोक्त सूची संपूर्ण नहीं है। बाकी, कम नहीं महत्वपूर्ण अवधारणाएंपाठ्यक्रम सामग्री प्रस्तुत करने की प्रक्रिया में परिचय और परिष्कृत किया जाएगा।

बिंदु कीनेमेटीक्स।

1. सैद्धांतिक यांत्रिकी का विषय। बुनियादी सार।

सैद्धांतिक यांत्रिकीएक विज्ञान है जिसमें सामान्य कानूनों का अध्ययन किया जाता है यांत्रिक गतिऔर भौतिक निकायों की यांत्रिक बातचीत

यांत्रिक आंदोलनअंतरिक्ष और समय में होने वाली किसी अन्य पिंड के संबंध में एक पिंड की गति कहलाती है।

यांत्रिक संपर्क भौतिक पिंडों की ऐसी परस्पर क्रिया कहलाती है, जो उनकी यांत्रिक गति की प्रकृति को बदल देती है।

स्थिति-विज्ञान सैद्धांतिक यांत्रिकी की एक शाखा है जो बलों की प्रणालियों को में बदलने के तरीकों का अध्ययन करती है समकक्ष प्रणालीऔर कठोर शरीर पर लागू बलों के संतुलन के लिए शर्तें स्थापित की जाती हैं।

गतिकी - सैद्धांतिक यांत्रिकी की शाखा है जो संबंधित है अंतरिक्ष में भौतिक पिंडों की गति के साथ ज्यामितीय बिंदुदृष्टि, उन पर कार्य करने वाली शक्तियों की परवाह किए बिना।

गतिकी - यह यांत्रिकी की एक शाखा है जो अंतरिक्ष में भौतिक निकायों की गति का अध्ययन करती है, जो उन पर कार्य करने वाली शक्तियों पर निर्भर करती है।

सैद्धांतिक यांत्रिकी में अध्ययन की वस्तुएँ:

भौतिक बिंदु,

सामग्री बिंदुओं की प्रणाली,

बिल्कुल कठोर शरीर।

निरपेक्ष स्थान और निरपेक्ष समय एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। निरपेक्ष स्थान - त्रि-आयामी, सजातीय, गतिहीन यूक्लिडियन अंतरिक्ष। निरपेक्ष समय - अतीत से भविष्य की ओर निरंतर प्रवाहित होता है, यह सजातीय है, अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं पर समान है और पदार्थ की गति पर निर्भर नहीं करता है।

2. किनेमेटिक्स का विषय।

गतिकी - यांत्रिकी की वह शाखा है जो से संबंधित है ज्यामितीय गुणउनकी जड़ता (अर्थात द्रव्यमान) और उन पर कार्य करने वाले बलों को ध्यान में रखे बिना पिंडों की गति

शरीर के साथ गतिमान पिंड (या बिंदु) की स्थिति का निर्धारण करने के लिए जिसके संबंध में गति का अध्ययन किया जा रहा है दिया हुआ शरीर, कठोरता से, कुछ समन्वय प्रणाली को कनेक्ट करें, जो शरीर के साथ मिलकर बनता है संदर्भ प्रणाली।

किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य किसी दिए गए पिंड (बिंदु) की गति के नियम को जानना, सभी गतिज मात्राओं को निर्धारित करना है जो इसकी गति (वेग और त्वरण) की विशेषता रखते हैं।

3. एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के तरीके

· प्राकृतिक तरीका

जाने जाएं:

बिंदु आंदोलन प्रक्षेपवक्र;

गिनती की शुरुआत और दिशा;

किसी दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति का नियम (1.1) के रूप में

· समन्वय विधि

समीकरण (1.2) बिंदु M की गति के समीकरण हैं।

समय पैरामीटर को समाप्त करके बिंदु एम के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त किया जा सकता है « टी » समीकरणों से (1.2)

· वेक्टर रास्ता

(1.3) एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के लिए समन्वय और वेक्टर विधियों के बीच संबंध (1.4)

एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के समन्वय और प्राकृतिक तरीकों के बीच संबंध

समीकरणों (1.2) से समय को छोड़कर, बिंदु के प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करें;

-- एक प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति के नियम का पता लगाएं (चाप अंतर के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करें)

एकीकरण के बाद, हम दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति का नियम प्राप्त करते हैं:

किसी बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के निर्देशांक और सदिश विधियों के बीच संबंध समीकरण (1.4) द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. गति को निर्दिष्ट करने की सदिश विधि से एक बिंदु की गति का निर्धारण करना।

चलो इस समयटीबिंदु की स्थिति त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित की जाती है, और समय के क्षण मेंटी 1 - त्रिज्या-सदिश , फिर कुछ समय के लिए बिंदु हिल जाएगा।

(1.5) बिंदु औसत गति, वेक्टर की दिशा वेक्टर के समान होती है

बिंदु गति इस पलसमय

एक निश्चित समय पर एक बिंदु की गति प्राप्त करने के लिए, आपको प्रदर्शन करने की आवश्यकता है सीमा के लिए मार्ग

(1.6)

(1.7)

एक निश्चित समय पर एक बिंदु का गति वेक्टर समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर के पहले व्युत्पन्न के बराबर है और किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है।

(इकाई¾ एम/एस, किमी/घंटा)

माध्य त्वरण वेक्टर वेक्टर के समान दिशा हैΔ वी , अर्थात्, प्रक्षेपवक्र की समतलता की ओर निर्देशित।

एक निश्चित समय पर एक बिंदु का त्वरण वेक्टर समय के संबंध में वेग वेक्टर के पहले व्युत्पन्न या बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है।

(इकाई - )

बिंदु के प्रक्षेपवक्र के संबंध में वेक्टर कैसे स्थित है?

पर सीधा गतिवेक्टर को सीधी रेखा के साथ निर्देशित किया जाता है जिसके साथ बिंदु चलता है। यदि बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक सपाट वक्र है, तो त्वरण वेक्टर, साथ ही वेक्टर cp, इस वक्र के तल में स्थित है और इसकी अवतलता की ओर निर्देशित है। यदि प्रक्षेपवक्र एक समतल वक्र नहीं है, तो वेक्टर सीपी प्रक्षेपवक्र की अवतलता की ओर निर्देशित किया जाएगा और बिंदु पर स्पर्शरेखा से गुजरने वाले विमान में स्थित होगाएम और एक आसन्न बिंदु पर स्पर्शरेखा के समानांतर एक रेखाएम 1 . पर सीमा जब बिंदुएम 1 आदत है एम यह विमान तथाकथित सन्निहित विमान की स्थिति में है। इसलिए, में सामान्य मामलात्वरण वेक्टर सन्निहित तल में स्थित होता है और वक्र की अवतलता की ओर निर्देशित होता है।

परिचय

सैद्धांतिक यांत्रिकी सबसे महत्वपूर्ण मौलिक सामान्य वैज्ञानिक विषयों में से एक है। वह खेलती है आवश्यक भूमिकाकिसी भी विशेषता के इंजीनियरों के प्रशिक्षण में। सामान्य इंजीनियरिंग विषय सैद्धांतिक यांत्रिकी के परिणामों पर आधारित होते हैं: सामग्री की ताकत, मशीन के पुर्जे, तंत्र और मशीनों के सिद्धांत, और अन्य।

सैद्धांतिक यांत्रिकी का मुख्य कार्य बलों की कार्रवाई के तहत भौतिक निकायों की गति का अध्ययन करना है। एक महत्वपूर्ण विशेष समस्या बलों की कार्रवाई के तहत निकायों के संतुलन का अध्ययन है।

व्याख्यान पाठ्यक्रम। सैद्धांतिक यांत्रिकी

सैद्धांतिक यांत्रिकी की संरचना। स्टैटिक्स के फंडामेंटल

संतुलन की स्थिति मनमानी प्रणालीताकतों।

कठोर शारीरिक संतुलन समीकरण।

बलों की सपाट प्रणाली।

एक कठोर शरीर के संतुलन के विशेष मामले।

बार के संतुलन की समस्या।

बार संरचनाओं में आंतरिक बलों का निर्धारण।

बिंदु कीनेमेटीक्स की मूल बातें।

प्राकृतिक निर्देशांक।

यूलर सूत्र।

एक कठोर शरीर के बिंदुओं के त्वरण का वितरण।

अनुवाद और घूर्णी आंदोलनों।

समतल-समानांतर गति।

जटिल बिंदु आंदोलन।

बिंदु गतिकी की मूल बातें।

एक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण।

विशेष प्रकार के बल क्षेत्र।

अंक प्रणाली की गतिशीलता की मूल बातें।

अंक प्रणाली की गतिशीलता के सामान्य प्रमेय।

गतिकी चक्रीय गतितन।

डोब्रोनोव वी.वी., निकितिन एन.एन. सैद्धांतिक यांत्रिकी का कोर्स। एम।, हायर स्कूल, 1983।

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पेटकेविच वी.वी. सैद्धांतिक यांत्रिकी। एम., नौका, 1981.

कार्यों का संग्रह टर्म पेपर्ससैद्धांतिक यांत्रिकी में। ईडी। ए.ए. याब्लोन्स्की। एम., हायर स्कूल, 1985।

व्याख्यान 1सैद्धांतिक यांत्रिकी की संरचना। स्टैटिक्स के फंडामेंटल

सैद्धांतिक यांत्रिकी में, अन्य निकायों के सापेक्ष निकायों की गति, जो भौतिक संदर्भ प्रणाली हैं, का अध्ययन किया जाता है।

यांत्रिकी न केवल वर्णन करने की अनुमति देता है, बल्कि शरीर की गति की भविष्यवाणी करने के लिए, एक निश्चित, बहुत व्यापक श्रेणी की घटनाओं में कारण संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है।

वास्तविक निकायों के मूल सार मॉडल:

सामग्री बिंदु - द्रव्यमान है, लेकिन कोई आयाम नहीं है;

बिल्कुल ठोस - परिमित आयामों का आयतन, पूरी तरह से पदार्थ से भरा हुआ, और आयतन भरने वाले माध्यम के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी गति के दौरान नहीं बदलती है;

निरंतर विकृत माध्यम - एक सीमित मात्रा या असीमित स्थान भरता है; ऐसे माध्यम के बिंदुओं के बीच की दूरी भिन्न हो सकती है।

इनमें से, सिस्टम:

मुक्त सामग्री बिंदुओं की प्रणाली;

कनेक्शन के साथ सिस्टम;

तरल, आदि से भरी गुहा के साथ एक बिल्कुल ठोस शरीर।

"पतित"मॉडल:

असीम रूप से पतली छड़ें;

असीम रूप से पतली प्लेटें;

भारहीन छड़ और धागे जो एक साथ बांधते हैं भौतिक बिंदु, आदि।

अनुभव से: भौतिक संदर्भ प्रणाली के विभिन्न स्थानों में यांत्रिक घटनाएं अलग-अलग होती हैं। यह संपत्ति भौतिक संदर्भ प्रणाली द्वारा निर्धारित अंतरिक्ष की असमानता है। यहाँ विषमता को किसी घटना के घटित होने की प्रकृति की उस स्थान पर निर्भरता के रूप में समझा जाता है जहाँ हम इस घटना को देखते हैं।

एक अन्य संपत्ति अनिसोट्रॉपी (गैर-आइसोट्रॉपी) है, भौतिक संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष शरीर की गति दिशा के आधार पर भिन्न हो सकती है। उदाहरण: मेरिडियन के साथ नदी का मार्ग (उत्तर से दक्षिण तक - वोल्गा); प्रक्षेप्य उड़ान, फौकॉल्ट पेंडुलम।

संदर्भ प्रणाली के गुण (विषमता और अनिसोट्रॉपी) किसी पिंड की गति का निरीक्षण करना कठिन बनाते हैं।

वास्तव मेंइससे मुक्त पृथ्वी को केन्द्र मानकर विचार किया हुआसिस्टम: सिस्टम का केंद्र पृथ्वी के केंद्र में है और सिस्टम "स्थिर" सितारों के सापेक्ष घूमता नहीं है)। भूकेंद्रिक प्रणालीपृथ्वी पर गति की गणना के लिए उपयोगी।

के लिए आकाशीय यांत्रिकी(सौर मंडल निकायों के लिए): एक सूर्यकेंद्रित संदर्भ फ्रेम जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ चलता है सौर प्रणालीऔर "स्थिर" सितारों के सापेक्ष घूमता नहीं है। इस प्रणाली के लिए अभी तक नहीं मिलाअंतरिक्ष की विषमता और अनिसोट्रॉपी

यांत्रिकी की घटनाओं के संबंध में।

तो, हम एक सार पेश करते हैं जड़त्वीयसंदर्भ फ्रेम जिसके लिए स्थान सजातीय और समदैशिक है यांत्रिकी की घटनाओं के संबंध में।

संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा- ऐसा खुद का आंदोलनजिसे किसी यांत्रिक प्रयोग द्वारा खोजा नहीं जा सकता। सोचा प्रयोग: "वह बिंदु जो पूरी दुनिया में अकेला है" (पृथक) या तो आराम पर है या एक सीधी रेखा में और समान रूप से चल रहा है।

मूल रेक्टिलिनियर के सापेक्ष गतिमान संदर्भ के सभी फ्रेम समान रूप से जड़त्वीय होंगे। यह आपको एकल में प्रवेश करने की अनुमति देता है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। ऐसी जगह को कहा जाता है इयूक्लिडियन.

सशर्त समझौता - सही समन्वय प्रणाली लें (चित्र 1)।

पर समय- शास्त्रीय (गैर-सापेक्ष) यांत्रिकी में बिल्कुल, जो सभी संदर्भ प्रणालियों के लिए समान है, अर्थात प्रारंभिक क्षण मनमाना है। सापेक्षतावादी यांत्रिकी के विपरीत, जहां सापेक्षता का सिद्धांत लागू होता है।

समय t पर निकाय की गति की स्थिति उस समय बिंदुओं के निर्देशांक और वेगों से निर्धारित होती है।

वास्तविक निकाय परस्पर क्रिया करते हैं, और बल उत्पन्न होते हैं जो प्रणाली की गति की स्थिति को बदलते हैं। यह सैद्धांतिक यांत्रिकी का सार है।

सैद्धांतिक यांत्रिकी का अध्ययन कैसे किया जाता है?

एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के निकायों के एक समूह के संतुलन का सिद्धांत - खंड सांख्यिकी

अध्याय गतिकी: यांत्रिकी का एक हिस्सा जो मात्राओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है जो सिस्टम की गति की स्थिति को दर्शाता है, लेकिन उन कारणों पर विचार नहीं करता है जो गति की स्थिति में बदलाव का कारण बनते हैं।

उसके बाद, बलों के प्रभाव पर विचार करें [मुख्य भाग]।

अध्याय गतिकी: यांत्रिकी का हिस्सा, जो भौतिक वस्तुओं की प्रणालियों की गति की स्थिति पर बलों के प्रभाव पर विचार करता है।

मुख्य पाठ्यक्रम के निर्माण के सिद्धांत - गतिकी:

1) स्वयंसिद्धों की एक प्रणाली पर आधारित (अनुभव, टिप्पणियों के आधार पर);

नित्य - अभ्यास का निर्मम नियंत्रण। सटीक विज्ञान का संकेत - आंतरिक तर्क की उपस्थिति (इसके बिना - असंबंधित व्यंजनों का सेट)!

स्थिरयांत्रिकी के उस हिस्से को कहा जाता है, जहां भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों द्वारा संतुष्ट होने वाली शर्तों का अध्ययन किया जाता है ताकि सिस्टम संतुलन में हो, और बलों की प्रणालियों की समानता के लिए शर्तों का अध्ययन किया जा सके।

प्राथमिक सांख्यिकी में संतुलन की समस्याओं पर वैक्टर के गुणों के आधार पर विशेष रूप से ज्यामितीय विधियों का उपयोग करने पर विचार किया जाएगा। यह दृष्टिकोण . में लागू होता है ज्यामितीय सांख्यिकी(विश्लेषणात्मक सांख्यिकी के विपरीत, जिस पर यहां विचार नहीं किया गया है)।

विभिन्न भौतिक निकायों की स्थिति को समन्वय प्रणाली के लिए संदर्भित किया जाएगा, जिसे हम निश्चित मानेंगे।

भौतिक निकायों के आदर्श मॉडल:

1) भौतिक बिंदु - द्रव्यमान के साथ एक ज्यामितीय बिंदु।

2) बिल्कुल कठोर शरीर - भौतिक बिंदुओं का एक सेट, जिसके बीच की दूरी को किसी भी क्रिया द्वारा नहीं बदला जा सकता है।

बलों द्वाराहम फोन करेंगे उद्देश्य कारण, जो भौतिक वस्तुओं की परस्पर क्रिया का परिणाम हैं, जो शरीर को आराम की स्थिति से स्थानांतरित करने या बाद के मौजूदा आंदोलन को बदलने में सक्षम हैं।

चूंकि बल का निर्धारण उसके कारण होने वाली गति से होता है, इसलिए संदर्भ के फ्रेम की पसंद के आधार पर इसका एक सापेक्ष चरित्र भी होता है।

बलों की प्रकृति का प्रश्न माना जाता है भौतिकी में.

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली संतुलन में है, अगर आराम से होने पर, उस पर अभिनय करने वाली ताकतों से कोई आंदोलन प्राप्त नहीं होता है।

रोजमर्रा के अनुभव से: बल प्रकृति में वेक्टर होते हैं, यानी परिमाण, दिशा, क्रिया की रेखा, आवेदन का बिंदु। एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों के संतुलन की स्थिति वैक्टर के सिस्टम के गुणों तक कम हो जाती है।

प्रकृति के भौतिक नियमों का अध्ययन करने के अनुभव को सारांशित करते हुए, गैलीलियो और न्यूटन ने यांत्रिकी के बुनियादी नियमों को तैयार किया, जिन्हें यांत्रिकी के स्वयंसिद्ध के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि उनके पास है प्रयोगात्मक तथ्यों पर आधारित है।

अभिगृहीत 1.एक कठोर शरीर के एक बिंदु पर कई बलों की कार्रवाई एक की कार्रवाई के बराबर होती है पारिणामिक शक्ति,सदिशों के योग के नियम के अनुसार निर्मित (चित्र 2)।

परिणाम।एक दृढ़ पिंड के एक बिंदु पर लगाए गए बलों को समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार जोड़ा जाता है।

स्वयंसिद्ध 2.एक कठोर पिंड पर लागू दो बल परस्पर संतुलितयदि और केवल यदि वे परिमाण में समान हों, विपरीत दिशाओं में निर्देशित हों और एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों।

अभिगृहीत 3.एक कठोर शरीर पर बलों की प्रणाली की क्रिया नहीं बदलेगी यदि इस सिस्टम में जोड़ें या इससे ड्रॉप करेंमें निर्देशित समान परिमाण के दो बल विपरीत दिशाएंऔर उसी लाइन पर लेटा हुआ है।

परिणाम।एक कठोर पिंड के एक बिंदु पर कार्य करने वाले बल को संतुलन को बदले बिना बल की क्रिया की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है (अर्थात, बल एक स्लाइडिंग वेक्टर है, चित्र 3)

1) सक्रिय - एक कठोर शरीर की गति बनाने या बनाने में सक्षम। उदाहरण के लिए, भार का बल।

2) निष्क्रिय - गति पैदा नहीं करना, बल्कि एक कठोर शरीर की गति को सीमित करना, गति को रोकना। उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य धागे का तनाव बल (चित्र। 4)।

अभिगृहीत 4.दूसरे पर एक शरीर की क्रिया पहले पर इस दूसरे शरीर की क्रिया के बराबर और विपरीत है ( क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है).

बिंदुओं की गति को प्रतिबंधित करने वाली ज्यामितीय स्थितियों को कहा जाएगा सम्बन्ध।

संचार की स्थिति: उदाहरण के लिए,

- अप्रत्यक्ष लंबाई की छड़ एल।

- लंबाई का लचीला अटूट धागा।

बंधनों और गति को रोकने वाले बलों को कहा जाता है प्रतिक्रिया बल।

स्वयंसिद्ध 5.भौतिक बिंदुओं की प्रणाली पर लगाए गए बांडों को प्रतिक्रिया बलों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिनकी क्रिया बांड की कार्रवाई के बराबर होती है।

जब निष्क्रिय ताकतें कार्रवाई को संतुलित नहीं कर सकतीं सक्रिय बल, आंदोलन शुरू होता है।

स्टैटिक्स की दो विशेष समस्याएं

1. दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले बलों को अभिसारी करने की प्रणाली

बलों को परिवर्तित करने की एक प्रणालीबलों की ऐसी प्रणाली कहलाती है, जिसकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे हमेशा मूल के रूप में लिया जा सकता है (चित्र 5)।

परिणामी के अनुमान:

;

;

.

यदि , तो बल एक कठोर पिंड की गति का कारण बनता है।

बलों की अभिसरण प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति:

2. संतुलन तीन शक्तियां

यदि तीन बल एक कठोर पिंड पर कार्य करते हैं, और दो बलों की कार्रवाई की रेखाएं किसी बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो संतुलन संभव है यदि और केवल यदि तीसरे बल की क्रिया की रेखा भी बिंदु A से होकर गुजरती है, और बल स्वयं बराबर है परिमाण में और योग के विपरीत दिशा में (चित्र 6)।

उदाहरण:

बिंदु O . के सापेक्ष बल का क्षणएक वेक्टर के रूप में परिभाषित करें, आकार मेंत्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर, जिसका आधार किसी दिए गए बिंदु O पर एक शीर्ष के साथ एक बल वेक्टर है; दिशा- उस दिशा में माना त्रिभुज के तल के लिए ओर्थोगोनल जहां से बिंदु O के चारों ओर बल द्वारा उत्पन्न घूर्णन दिखाई देता है वामावर्त।स्लाइडिंग वेक्टर का क्षण है और है मुक्त वेक्टर(चित्र 9)।

इसलिए: या

,

कहाँ पे ;;.

जहाँ F बल का मापांक है, h कंधा है (बिंदु से बल की दिशा की दूरी)।

अक्ष के परितः बल का आघूर्णअक्ष पर लिए गए एक मनमाना बिंदु O के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण का बीजगणितीय मान कहलाता है (चित्र 10)।

यह बिंदु के चुनाव से स्वतंत्र एक अदिश राशि है। दरअसल, हम विस्तार करते हैं :|| और विमान में।

क्षणों के बारे में: मान लीजिए 1 समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। फिर:

ए) से - पल => प्रक्षेपण = 0.

बी) से - पल साथ => एक प्रक्षेपण है।

इसलिए,अक्ष के परितः आघूर्ण बल के घटक का आघूर्ण है विमान के लंबवतविमान और अक्ष के चौराहे के बिंदु के सापेक्ष अक्ष के लिए।

अभिसरण बलों की एक प्रणाली के लिए Varignon का प्रमेय:

परिणामी बल का क्षण बलों को परिवर्तित करने की प्रणाली के लिएएक मनमाना बिंदु A . के सापेक्ष योग के बराबर हैएक ही बिंदु A (चित्र 11) के सापेक्ष बलों के सभी घटकों के क्षण।

प्रमाणअभिसरण वैक्टर के सिद्धांत में।

व्याख्या:समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार बलों का योग => परिणामी बल कुल क्षण देता है।

टेस्ट प्रश्न:

1. सैद्धांतिक यांत्रिकी में वास्तविक निकायों के मुख्य मॉडलों के नाम बताइए।

2. स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध सूत्र बनाइए।

3. किसी बिंदु के परितः बल आघूर्ण को क्या कहते हैं?

व्याख्यान 2बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति

स्टैटिक्स के मूल स्वयंसिद्धों से, बलों पर प्राथमिक संचालन का पालन होता है:

1) बल को कार्रवाई की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है;

2) वे बल जिनकी क्रिया की रेखाएँ समांतर चतुर्भुज नियम (सदिश जोड़ के नियम के अनुसार) के अनुसार प्रतिच्छेद करती हैं;

3) एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली में, एक ही सीधी रेखा पर स्थित और विपरीत दिशाओं में निर्देशित, परिमाण में बराबर दो बल हमेशा जोड़ सकते हैं।

प्राथमिक संचालन प्रणाली की यांत्रिक स्थिति को नहीं बदलते हैं।

आइए बलों की दो प्रणालियों के नाम दें समकक्षयदि एक दूसरे से प्राथमिक संचालन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है (जैसा कि स्लाइडिंग वैक्टर के सिद्धांत में)।

परिमाण में समान और विपरीत दिशाओं में निर्देशित दो समानांतर बलों की एक प्रणाली को कहा जाता है बलों की एक जोड़ी(चित्र 12)।

बलों की एक जोड़ी का क्षण- जोड़ी के वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के आकार के बराबर एक वेक्टर, और जोड़ी के विमान को ओर्थोगोनली निर्देशित किया जाता है, जिस दिशा से जोड़ी के वैक्टर द्वारा रिपोर्ट किए गए रोटेशन को देखा जा सकता है वामावर्त।

, यानी बिंदु B के बारे में बल का क्षण।

बलों की एक जोड़ी पूरी तरह से इसके क्षण की विशेषता है।

बलों की एक जोड़ी को प्राथमिक संचालन द्वारा जोड़ी के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है; जोड़ी की ताकतों के परिमाण को जोड़ी के कंधों के व्युत्क्रमानुपाती बदलें।

बलों के जोड़े जोड़े जा सकते हैं, जबकि बलों के जोड़े के क्षण जोड़ (मुक्त) वैक्टर के नियम के अनुसार जोड़े जाते हैं।

एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली को लाने के लिए मनमाना बिंदु(संदर्भ केंद्र)- का अर्थ है वर्तमान प्रणाली को एक सरल से बदलना: तीन की प्रणालीबल, जिनमें से एक पहले से गुजरता है दिया गया बिंदु, और अन्य दो एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यह प्राथमिक संक्रियाओं की सहायता से सिद्ध होता है (चित्र 13)।

बलों के अभिसरण की प्रणाली और बलों के जोड़े की प्रणाली।

- परिणामी बल।

परिणामी जोड़ी

जिसे दिखाना जरूरी था।

बलों की दो प्रणालियाँमर्जी समकक्ष हैंयदि और केवल यदि दोनों प्रणालियों को एक परिणामी बल और एक परिणामी जोड़ी में घटाया जाता है, अर्थात निम्नलिखित शर्तों के तहत:

एक कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों की प्रणाली के संतुलन का सामान्य मामला

हम बलों की प्रणाली को लाते हैं (चित्र 14):

मूल के माध्यम से परिणामी बल;

परिणामी युग्म, इसके अलावा, बिंदु O से होकर जाता है।

यही है, उन्होंने और - दो बलों का नेतृत्व किया, जिनमें से एक दिए गए बिंदु O से होकर गुजरता है।

संतुलन, यदि दूसरी एक सीधी रेखा समान है, विपरीत दिशा में निर्देशित है (स्वयंसिद्ध 2)।

फिर बिंदु O से होकर गुजरता है, अर्थात्।

इसलिए, सामान्य नियम और शर्तेंएक कठोर शरीर का संतुलन:

ये शर्तें अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु के लिए मान्य हैं।

टेस्ट प्रश्न:

1. बलों पर प्राथमिक संक्रियाओं की सूची बनाइए।

2. बलों की किन प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है?

3. किसी दृढ़ पिंड के संतुलन के लिए सामान्य शर्तें लिखिए।

व्याख्यान 3कठोर शारीरिक संतुलन समीकरण

मान लीजिए O निर्देशांकों का मूल है; परिणामी बल है; परिणामी जोड़ी का क्षण है। मान लीजिए बिंदु O1 है नया केंद्रडाली (चित्र 15)।

नई बल प्रणाली:

जब कास्ट पॉइंट बदलता है, => केवल बदलता है (एक दिशा में एक संकेत के साथ, दूसरे में दूसरे के साथ)। मुद्दा यह है: लाइनों का मिलान करें

विश्लेषणात्मक रूप से: (वैक्टरों की कॉलिनियरिटी)

; बिंदु O1 निर्देशांक।

यह एक सीधी रेखा का समीकरण है, जिसके सभी बिंदुओं के लिए परिणामी सदिश की दिशा परिणामी युग्म के क्षण की दिशा से मेल खाती है - सीधी रेखा कहलाती है डायनेमो

यदि डायनामिक्स के अक्ष पर => , तो निकाय एक परिणामी बल के तुल्य है, जिसे कहा जाता है प्रणाली के परिणामी बल।इस मामले में, हमेशा, वह है।

बल लाने के चार मामले:

1.) ;- डायनेमो।

2.) ;- परिणामी।

3.) ;- जोड़ी।

4.) ;- संतुलन।

दो वेक्टर संतुलन समीकरण: मुख्य वेक्टर और मुख्य मुद्दाशून्य के बराबर हैं।

या कार्टेशियन निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में छह अदिश समीकरण:

यहां:

समीकरणों के प्रकार की जटिलता कमी बिंदु => कैलकुलेटर की कला की पसंद पर निर्भर करती है।

बातचीत में कठोर निकायों की एक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति ढूँढना<=>प्रत्येक शरीर के संतुलन की समस्या अलग-अलग होती है, और शरीर बाहरी ताकतों और आंतरिक बलों (समान और विपरीत रूप से निर्देशित बलों के संपर्क के बिंदुओं पर निकायों की बातचीत - स्वयंसिद्ध IV, चित्र 17) से प्रभावित होता है।

हम सिस्टम के सभी निकायों के लिए चुनते हैं एक रेफरल केंद्र।फिर संतुलन स्थिति संख्या वाले प्रत्येक शरीर के लिए:

, , (= 1, 2, …, के)

जहां , - आंतरिक प्रतिक्रियाओं को छोड़कर सभी बलों के परिणामी युग्म का परिणामी बल और आघूर्ण।

आंतरिक प्रतिक्रियाओं के बलों के परिणामी जोड़े का परिणामी बल और क्षण।

औपचारिक रूप से संक्षेप में और IV स्वयंसिद्ध को ध्यान में रखते हुए

हम पाते हैं एक कठोर शरीर के संतुलन के लिए आवश्यक शर्तें:

,

उदाहरण।

संतुलन: = ?

टेस्ट प्रश्न:

1. बलों की व्यवस्था को एक बिंदु पर लाने के सभी मामलों के नाम बताइए।

2. डायनेमो क्या है?

3. दृढ़ पिंडों की एक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक शर्तें तैयार करें।

व्याख्यान 4बलों की सपाट प्रणाली

सामान्य कार्य वितरण का एक विशेष मामला।

चलो सब सक्रिय बलएक ही तल में लेटें - उदाहरण के लिए, एक चादर। आइए हम बिंदु O को कमी के केंद्र के रूप में चुनें - एक ही तल में। हमें परिणामी बल और परिणामी युग्म एक ही तल में प्राप्त होते हैं, अर्थात् (चित्र 19)

टिप्पणी।

सिस्टम को एक परिणामी बल में घटाया जा सकता है।

संतुलन की स्थिति:

या अदिश:

सामग्री की ताकत जैसे अनुप्रयोगों में बहुत आम है।

उदाहरण।

बोर्ड और प्लेन पर गेंद के घर्षण के साथ। संतुलन की स्थिति: = ?

एक गैर-मुक्त कठोर शरीर के संतुलन की समस्या।

एक कठोर शरीर को गैर-मुक्त कहा जाता है, जिसकी गति बाधाओं से विवश होती है। उदाहरण के लिए, अन्य निकायों, टिका हुआ बन्धन।

संतुलन की शर्तों का निर्धारण करते समय: एक गैर-मुक्त शरीर को अज्ञात प्रतिक्रिया बलों के साथ बंधनों को बदलकर मुक्त माना जा सकता है।

उदाहरण।

टेस्ट प्रश्न:

1. बलों की एक सपाट प्रणाली को क्या कहा जाता है?

2. समतल बलों के निकाय के लिए संतुलन की स्थितियाँ लिखिए।

3. किस प्रकार के ठोस पिंड को गैर-मुक्त कहा जाता है?

व्याख्यान 5कठोर शरीर संतुलन के विशेष मामले

प्रमेय।तीन बल एक कठोर शरीर को तभी संतुलित करते हैं जब वे सभी एक ही तल में हों।

प्रमाण।

हम कमी के बिंदु के रूप में तीसरे बल की कार्रवाई की रेखा पर एक बिंदु चुनते हैं। तब (अंजीर। 22)

अर्थात्, विमान S1 और S2 मेल खाते हैं, और बल के अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए, आदि। (आसान: विमान में सिर्फ संतुलन के लिए)।

अपनी सारी महिमा और भव्यता में। इसकी सहायता से न्यूटन ने एक बार तीन . के आधार पर निष्कर्ष निकाला था अनुभवजन्य कानूनकेप्लर का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम। विषय, सामान्य तौर पर, इतना जटिल नहीं है, इसे समझना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन इसे पास करना मुश्किल है, क्योंकि शिक्षक अक्सर बहुत चुस्त होते हैं (उदाहरण के लिए पावलोवा की तरह)। समस्याओं को हल करते समय, आपको डिफ्यूज़ को हल करने और इंटीग्रल की गणना करने में सक्षम होना चाहिए।

प्रमुख विचार

वास्तव में, इस पाठ्यक्रम के भीतर यांत्रिकी का सिद्धांत विभिन्न भौतिक प्रणालियों की "गति" की गणना करने के लिए परिवर्तनशील सिद्धांत का अनुप्रयोग है। विभिन्नताओं के कैलकुलस को संक्षेप में इंटीग्रल इक्वेशन और कैलकुलस ऑफ वेरिएशन के पाठ्यक्रम में शामिल किया गया है। लैग्रेंज के समीकरण यूलर के समीकरण हैं जो निश्चित सिरों वाली समस्या का समाधान हैं।

एक कार्य को आमतौर पर एक साथ 3 अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है:

• लैग्रेंज विधि (लैग्रेंज फंक्शन, लैग्रेंज समीकरण)
• हैमिल्टन विधि (हैमिल्टन फ़ंक्शन, हैमिल्टन समीकरण)
• हैमिल्टन-जैकोबी विधि (हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण)

किसी विशेष कार्य के लिए उनमें से सबसे सरल को चुनना महत्वपूर्ण है।

सामग्री

प्रथम सेमेस्टर (परीक्षा)

मूल सूत्र

बड़े आकार में देखें!

लिखित

वीडियो रिकॉर्डिंग

व्याख्यान वी.आर. खलीलोवा - ध्यान!सभी व्याख्यान रिकॉर्ड नहीं किए गए

दूसरा सेमेस्टर (परीक्षा)

आपको किसके साथ शुरुआत करनी होगी विभिन्न समूहपरीक्षा अलग है। आम तौर पर परीक्षा टिकट 2 सैद्धांतिक प्रश्न और 1 कार्य शामिल हैं। प्रश्न सभी के लिए अनिवार्य हैं, लेकिन आप दोनों कार्य से छुटकारा पा सकते हैं (सेमेस्टर + लिखित नियंत्रण वाले में उत्कृष्ट कार्य के लिए), या एक अतिरिक्त (और एक से अधिक) ले सकते हैं। यहां आपको सेमिनार में खेल के नियमों के बारे में बताया जाएगा। पावलोवा और पिमेनोव के समूहों में, थॉर्मिन का अभ्यास किया जाता है, जो परीक्षा में प्रवेश का एक प्रकार है। यह इस प्रकार है कि इस सिद्धांत को पूरी तरह से जाना जाना चाहिए।

परीक्षा पावलोवा के समूहों मेंकुछ इस तरह से होता है: टर्म के 2 प्रश्नों के साथ टिकट शुरू करने के लिए। लिखने के लिए बहुत कम समय है, और यहाँ कुंजी यह है कि इसे पूरी तरह से लिखा जाए। तब ओल्गा सेराफिमोवना आप पर दया करेगी और बाकी परीक्षा बहुत सुखद होगी। अगला 2 सिद्धांत प्रश्नों के साथ एक टिकट है + n कार्य (सेमेस्टर में आपके काम के आधार पर)। एक सिद्धांत के भीतर सिद्धांत को लिखा जा सकता है। हल करने के लिए कार्य। परीक्षा में कई समस्याएं होती हैं - यदि आप उन्हें पूरी तरह से हल करना जानते हैं तो यह अंत नहीं है। इसे एक लाभ में बदला जा सकता है - परीक्षा के प्रत्येक बिंदु के लिए आपको +, + -, -+ या - मिलता है। रेटिंग "समग्र प्रभाव द्वारा" दी जाती है => यदि सिद्धांत रूप में सब कुछ आपके लिए सही नहीं है, लेकिन फिर यह कार्यों के लिए 3+ हो जाता है, तो सामान्य धारणाअच्छा। लेकिन अगर आप परीक्षा में बिना किसी समस्या के थे और सिद्धांत आदर्श नहीं है, तो इसे खत्म करने के लिए कुछ भी नहीं है।

लिखित

• जूलिया। व्याख्यान नोट्स (2014, पीडीएफ) - दोनों सेमेस्टर, दूसरी धारा
• दूसरी धारा के टिकट भाग 1 (व्याख्यान नोट्स और टिकट के लिए भाग) (पीडीएफ)
• इन सभी भागों के लिए द्वितीय श्रेणी के टिकट और विषय-सूची (पीडीएफ)
• पहली धारा (2016, पीडीएफ) के टिकटों के उत्तर - मुद्रित रूप में, बहुत सुविधाजनक
• पिमेनोव समूह परीक्षा (2016, पीडीएफ) के लिए मान्यता प्राप्त थियोरमिन - दोनों सेमेस्टर
• Pimenov समूहों के लिए theormin के उत्तर (2016, pdf) - सटीक और स्पष्ट रूप से त्रुटियों के बिना

कार्य

• पावलोवा के सेमिनार द्वितीय सेमेस्टर (2015, पीडीएफ) - साफ, सुंदर और स्पष्ट रूप से लिखा गया
• कार्य जो परीक्षा में हो सकते हैं (जेपीजी) - किसी झबरा वर्ष में एक बार वे दूसरी धारा में थे, वी.आर. समूहों के लिए भी प्रासंगिक हो सकते हैं। खलीलोवा ( समान कार्यवह करोड़ पर देता है)
• टिकट के लिए कार्य (पीडीएफ)- दोनों धाराओं के लिए (दूसरी धारा पर, ये कार्य ए.बी. पिमेनोव के समूहों में थे)