अनुदेश

निर्देशांक प्रणाली दर्ज करें जिसके संबंध में आप दिशा निर्धारित करेंगे और मापांक. यदि कार्य में पहले से ही निर्भरताएँ हैं रफ़्तारसमय-समय पर आपको एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने की आवश्यकता नहीं होती है - यह माना जाता है कि यह पहले से मौजूद है।

उपलब्ध निर्भरता फ़ंक्शन के अनुसार रफ़्तारसमय से आप मूल्य पा सकते हैं रफ़्तारकिसी भी समय टी. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, v=2t²+5t-3। यदि आपको खोजने की आवश्यकता है मापांक रफ़्तारसमय t=1 पर, बस इस मान को प्लग इन करें और v: v=2+5-3=4 की गणना करें।

स्रोत:

• पथ बनाम समय कैसे खोजें

मापांक नंबर n मूल से बिंदु n तक इकाई खंडों की संख्या है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह दूरी किस दिशा में गिना जाएगा - शून्य के दाएं या बाएं।

अनुदेश

मापांक नंबरयह भी कहा जाता है निरपेक्ष मूल्ययह नंबर. वह ऊंचाई में कम है ऊर्ध्वाधर पंक्तियांके बाएँ और दाएँ खींचा गया नंबर. उदाहरण के लिए, मॉड्यूल नंबर 15 को इस प्रकार लिखा जाता है: |15|.

याद रखें कि मापांक केवल एक धनात्मक संख्या या हो सकता है। मापांकसकारात्मक नंबर संख्या के बराबर है. मापांकशून्य। यानी किसी के लिए नंबर n शून्य से बड़ा या उसके बराबर, निम्नलिखित |n| = एन. उदाहरण के लिए, |15| = 15, यानी मापांक नंबर 15 बराबर 15.

मोडुलो नकारात्मक नंबरवही संख्या होगी, लेकिन साथ विपरीत चिन्ह. यानी किसी के लिए नंबरएन, जो शून्य से कम, सूत्र |n| = -एन। उदाहरण के लिए |-28| = 28. मापांक नंबर-28 28 के बराबर है।

आप न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि संख्याओं के लिए भी पा सकते हैं। और के संबंध में भिन्नात्मक संख्यावही नियम लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, |0.25| = 25, यानी मापांक नंबर 0.25 0.25 के बराबर होगा। ए |-¾| = , यानी मापांक नंबर-¾ के बराबर होगा।

काम करते समय, यह जानना उपयोगी होता है कि मॉड्यूल हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात |n| ==-एन|. यह मुख्य संपत्ति है। उदाहरण के लिए, |10| = |-10|. मापांक नंबर 10 बराबर 10, एक मापांक की तरह नंबर-दस। इसके अलावा, |a - b| = |b - a|, क्योंकि बिंदु a से बिंदु b की दूरी और b से a की दूरी एक दूसरे के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, |25 - 5| = |5 - 25|, यानी |20| = |- 20|.

परिवर्तन खोजने के लिए रफ़्तारशरीर की गति के प्रकार का निर्धारण। यदि शरीर की गति एक समान है, परिवर्तन रफ़्तारशून्य के बराबर। यदि शरीर त्वरण के साथ गति कर रहा है, तो परिवर्तनउसका रफ़्तारसमय के प्रत्येक क्षण में पाया जा सकता है यदि हम तात्कालिक से घटाते हैं रफ़्तारमें इस पलसमय इसकी प्रारंभिक गति।

आपको चाहिये होगा

• स्टॉपवॉच, स्पीडोमीटर, रडार, रूले, एक्सेलेरोमीटर।

अनुदेश

परिवर्तन की परिभाषा रफ़्तारमनमाने ढंग से गतिमान प्रक्षेपवक्र स्पीडोमीटर या रडार का उपयोग करके, पथ के खंड की शुरुआत और अंत में शरीर की गति को मापें। फिर से अंतिम परिणामप्रारंभिक घटाएं, यह होगा परिवर्तन रफ़्तारतन।

परिवर्तन की परिभाषा रफ़्तारत्वरण के साथ गतिमान पिंड पिंड का त्वरण ज्ञात कीजिए। एक्सेलेरोमीटर या डायनेमोमीटर का प्रयोग करें। यदि पिण्ड का द्रव्यमान ज्ञात हो, तो पिण्ड पर लगने वाले बल को उसके द्रव्यमान (a=F/m) से भाग दें। फिर परिवर्तन होने में लगने वाले समय को मापें। रफ़्तार. ढूँढ़ने के लिए परिवर्तन रफ़्तार, त्वरण मान को लगने वाले समय से गुणा करें परिवर्तन(Δv = एक टी)। यदि त्वरण मीटर प्रति सेकंड में मापा जाता है, और समय सेकंड में मापा जाता है, तो गति मीटर प्रति सेकंड में होगी। यदि समय को मापना संभव नहीं है, लेकिन स्पीडोमीटर या रडार के साथ सड़क के एक निश्चित खंड पर गति बदल गई है, तो इस खंड की शुरुआत में गति को मापें, फिर मापने के लिए टेप माप या रेंज फाइंडर का उपयोग करें इस पथ की लंबाई। उपरोक्त विधियों में से किसी का उपयोग करके, शरीर पर कार्य करने वाले त्वरण को मापें। उसके बाद, पथ के खंड के अंत में शरीर की अंतिम गति ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, प्रारंभिक गति बढ़ाएं , इसमें त्वरण और संख्या 2 द्वारा अनुभाग का उत्पाद जोड़ें। परिणाम से निकालें। ढूँढ़ने के लिए परिवर्तन रफ़्तार, परिणाम से, प्रारंभिक का मान घटाएं रफ़्तार.

परिवर्तन की परिभाषा रफ़्तारमोड़ते समय शरीर न केवल परिमाण, बल्कि दिशा भी रफ़्तारतो ढूंढो परिवर्तनप्रारंभिक और अंतिम का वेक्टर अंतर रफ़्तार. ऐसा करने के लिए, वैक्टर के बीच के कोण को मापें। फिर उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा करके, वर्ग गति के योग से उनके उत्पाद को दोगुना घटाएं: v1²+v2²-2v1v2 Cos(α)। परिणामी संख्या से, निकालें वर्गमूल.

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विभिन्न प्रकार की गति निर्धारित करने के लिए आंदोलनोंजरुरत विभिन्न सूत्र. इरादा करना रफ़्तार एकसमान गतियात्रा के समय से दूरी को विभाजित करें। शरीर द्वारा पारित सभी खंडों को जोड़कर गति की औसत गति पाएं कुल समयआंदोलन। पर समान रूप से त्वरित गतिउस त्वरण का पता लगाएं जिसके साथ शरीर गति करता है, और मुक्त गिरावट में, जिस ऊंचाई से वह चलना शुरू करता है।

आपको चाहिये होगा

• रेंजफाइंडर, स्टॉपवॉच, एक्सेलेरोमीटर।

अनुदेश

एकसमान गति और औसत गति एक रेंजफाइंडर के साथ दूरी को मापें जो शरीर ने यात्रा की है, और स्टॉपवॉच के साथ इसे दूर करने में लगने वाला समय। उसके बाद, शरीर द्वारा तय की गई दूरी को उसके द्वारा तय किए गए समय से विभाजित करें, परिणाम एकसमान गति की गति (v=S/t) होगा। यदि शरीर असमान रूप से चलता है, तो समान माप करें और समान सूत्र लागू करें - फिर शरीर की औसत गति प्राप्त करें। यह ऐसा है जैसे अगर शरीर चालू है यह खंडपथ प्राप्त गति से आगे बढ़ रहा था, यह मापा एक के बराबर समय के लिए रास्ते पर होता। यदि शरीर साथ चलता है, इसे मापें और एक क्रांति को पूरा करने में लगने वाले समय को मापें, तो त्रिज्या को 6.28 से गुणा करें और समय से विभाजित करें (v=6.28 R/t)। सभी मामलों में, परिणाम मीटर प्रति सेकंड में होगा। एक घंटे में बदलने के लिए, इसे 3.6 से गुणा करें।

समान रूप से त्वरित गति की गति यदि पिंड का द्रव्यमान ज्ञात हो तो एक्सेलेरोमीटर या डायनेमोमीटर का उपयोग करके शरीर के त्वरण को मापें। स्टॉपवॉच के साथ, शरीर की गति के समय और उसकी प्रारंभिक गति को मापें, यदि शरीर आराम की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू नहीं करता है। यदि शरीर आराम की स्थिति से चलता है, तो यह शून्य के बराबर होता है। उसके बाद, प्रारंभिक गति (v=v0+at) में त्वरण और समय के गुणनफल को जोड़कर शरीर की गति ज्ञात करें।

एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर की गति एक रेंज फाइंडर का उपयोग करके, माप, जिसके साथ शरीर मीटर में है। यह पता लगाने के लिए कि यह किस गति से पृथ्वी की सतह पर पहुंचेगा (बिना खींचे), ऊंचाई को 2 से और संख्या 9.81 (फ्री फॉल का त्वरण) से गुणा करें। परिणाम से वर्ग निकालें। किसी भी ऊंचाई पर शरीर की गति का पता लगाने के लिए, उसी तकनीक का उपयोग करें, केवल प्रारंभिक से, वर्तमान मान घटाएं और परिणामी मान को ऊंचाई से बदलें।

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मनुष्य अवधारणा को समझने का आदी है" रफ़्तार"जैसा कि वास्तव में कुछ आसान है। वास्तव में, एक चौराहे के माध्यम से तेज गति से चलने वाली कार एक निश्चित के साथ आगे बढ़ रही है रफ़्तारयू, जबकि एक व्यक्ति खड़ा है और उसे देखता है। लेकिन अगर कोई व्यक्ति गति में है, तो उसके बारे में बात न करना अधिक उचित है पूर्ण गति, लेकिन इसके सापेक्ष परिमाण के बारे में। रिश्तेदार खोजें रफ़्तारबहुत आसान।

अनुदेश

आप कार द्वारा चौराहे पर जाने के विषय पर विचार करना जारी रख सकते हैं। ट्रैफिक लाइट की लाल बत्ती पर खड़ा एक व्यक्ति भी गुजरती कार पर खड़ा होता है। एक व्यक्ति गतिहीन है, तो चलिए उसे संदर्भ के एक फ्रेम के रूप में लेते हैं। एक संदर्भ प्रणाली एक सापेक्ष है जिसके लिए एक शरीर या अन्य भौतिक बिंदु चलता है।

मान लीजिए कि कार चल रही है रफ़्तारयू 50 किमी / घंटा। लेकिन, मान लीजिए कि वह कार के पीछे भागा (उदाहरण के लिए, आप एक मिनीबस या कार के बजाय गुजरने की कल्पना कर सकते हैं)। चलने की गति 12 किमी / घंटा। इस प्रकार, रफ़्तारयह यांत्रिक वाहनयह उतना तेज़ नहीं लगेगा जितना पहले था, जब वह! यह सापेक्ष गति का संपूर्ण बिंदु है। रफ़्तारहमेशा संदर्भ के गतिशील फ्रेम के संबंध में मापा जाता है। इस प्रकार, रफ़्तारकार 50 किमी/घंटा, और 50 - 12 = 38 किमी/घंटा पैदल यात्री के लिए नहीं होगी।

एक और विचार किया जा सकता है। किसी भी क्षण को याद करने के लिए यह पर्याप्त है जब कोई व्यक्ति, बस की खिड़की पर बैठा, कारों को गुजरते हुए देखता है। दरअसल, उनकी बस की खिड़की से रफ़्तारबस आश्चर्यजनक लगता है। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि अगर हम बस को एक संदर्भ प्रणाली के रूप में लेते हैं, तो रफ़्तारकार और रफ़्तारबस को मोड़ना होगा। मान लीजिए कि बस से चल रही है रफ़्तारयू 50 किमी/घंटा और 60 किमी/घंटा। फिर 50 + 60 = 110 किमी/घंटा। यह ऐसे के साथ है रफ़्तारयू ये वही कारें बस और उसमें सवार यात्रियों के पीछे भागती हैं।
ऐसा ही रफ़्तारबसों से गुजरने वाली कारों में से किसी को भी संदर्भ प्रणाली के रूप में लेने पर भी निष्पक्ष और वैध होगा।

किनेमेटिक्स अध्ययन विभिन्न प्रकारआंदोलनों तनएक निश्चित गति, दिशा और प्रक्षेपवक्र के साथ। पथ के प्रारंभिक बिंदु के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको खोजने की आवश्यकता है चलती तन.

अनुदेश

गति तनएक निश्चित पथ के साथ होता है। इसलिए, इसके द्वारा सीधी गति की गति के मामले में, रेखा खोजें चलती तनकाफी सरलता से: यह तय की गई दूरी के बराबर है। अन्यथा, आप अंतरिक्ष में इसकी प्रारंभिक और अंतिम स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

पिछले लेख में, हमने थोड़ा समझ लिया कि यांत्रिकी क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। हम पहले से ही जानते हैं कि संदर्भ का ढांचा, गति की सापेक्षता और भौतिक बिंदु क्या हैं। खैर, यह आगे बढ़ने का समय है! यहां हम किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाओं को देखेंगे, जो सबसे अधिक एक साथ लाएंगे उपयोगी सूत्रकिनेमेटिक्स की मूल बातें और देना व्यावहारिक उदाहरणसमस्या को सुलझाना।

काइनेमेटिक्स का अध्ययन अरस्तू ने किया था। सच है, तब इसे किनेमेटिक्स नहीं कहा जाता था। फिर बहुत बहुत बड़ा योगदानयांत्रिकी के विकास में, और विशेष रूप से कीनेमेटीक्स, गैलीलियो द्वारा योगदान दिया गयागैलीलियो, जिन्होंने अध्ययन किया निर्बाध गिरावटऔर शरीर की जड़ता।

तो, किनेमेटिक्स इस सवाल को हल करता है: शरीर कैसे चलता है। जिन कारणों से यह प्रस्ताव में आया, वे उसके लिए कोई दिलचस्पी नहीं रखते हैं। किनेमेटिक्स परवाह नहीं करता है कि कार खुद से चली गई है, या अगर इसे एक विशाल डायनासोर द्वारा धक्का दिया गया था। बिल्कुल वही।

प्रक्षेपवक्र, त्रिज्या वेक्टर, शरीर गति कानून

अब हम सबसे सरल किनेमेटिक्स - बिंदु कीनेमेटीक्स पर विचार करेंगे। कल्पना कीजिए कि शरीर (भौतिक बिंदु) चल रहा है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस तरह का शरीर है, फिर भी हम इसे एक भौतिक बिंदु मानते हैं। हो सकता है कि यह आकाश में एक यूएफओ है, या शायद यह एक पेपर प्लेन है जिसे हमने खिड़की से लॉन्च किया है। बेहतर अभी तक, रहने दो नई कारजिस पर हम यात्रा कर रहे हैं। बिंदु A से बिंदु B की ओर बढ़ते हुए, हमारा बिंदु एक काल्पनिक रेखा का वर्णन करता है, जिसे गति का प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। एक प्रक्षेपवक्र की एक अन्य परिभाषा त्रिज्या वेक्टर का होडोग्राफ है, अर्थात, वह रेखा जो त्रिज्या वेक्टर के अंत का वर्णन करती है। सामग्री बिंदुचलते समय।

त्रिज्या वेक्टर - एक वेक्टर जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करता है .

किसी भी समय अंतरिक्ष में किसी पिंड की स्थिति जानने के लिए, आपको पिंड की गति के नियम को जानना होगा - समय पर निर्देशांक (या किसी बिंदु की त्रिज्या वेक्टर) की निर्भरता।

शरीर बिंदु A से बिंदु B पर चला गया है। इस स्थिति में, पिंड का विस्थापन इन बिंदुओं को सीधे जोड़ने वाला एक खंड है - वेक्टर क्वांटिटी. शरीर द्वारा तय किया गया पथ उसके प्रक्षेपवक्र की लंबाई है. जाहिर है, आंदोलन और पथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल और पथ की लंबाई केवल रेक्टिलिनियर गति के मामले में समान होती है।

एसआई प्रणाली में, विस्थापन और पथ की लंबाई मीटर में मापी जाती है।

विस्थापन प्रारंभ और समाप्ति समय पर त्रिज्या सदिशों के बीच के अंतर के बराबर है। दूसरे शब्दों में, यह त्रिज्या वेक्टर की वृद्धि है।

गति और त्वरण

औसत गति - वेक्टर भौतिक मात्रा, अनुपात के बराबरविस्थापन वेक्टर उस समय अंतराल के लिए जिसके लिए यह हुआ

और अब कल्पना कीजिए कि समय अंतराल घटता है, घटता है, और बहुत छोटा हो जाता है, शून्य हो जाता है। उस मामले में के बारे में औसत गतिमेरा कहना है, गति तात्कालिक हो जाती है। जो मूल बातें याद रखते हैं गणितीय विश्लेषण, वे तुरंत समझ जाएंगे कि भविष्य में हम व्युत्पन्न के बिना नहीं कर सकते।

तात्कालिक वेग एक सदिश भौतिक मात्रा है जो त्रिज्या सदिश के समय व्युत्पन्न के बराबर है। तात्कालिक वेग हमेशा प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है।

एसआई प्रणाली में, गति को मीटर प्रति सेकंड में मापा जाता है।

यदि शरीर समान रूप से और एक सीधी रेखा में नहीं चलता है, तो इसमें न केवल गति होती है, बल्कि त्वरण भी होता है।

त्वरण (या तात्कालिक त्वरण) एक वेक्टर भौतिक मात्रा है, जो समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर का दूसरा व्युत्पन्न है, और तदनुसार, तात्कालिक गति का पहला व्युत्पन्न है।

त्वरण दिखाता है कि शरीर की गति कितनी जल्दी बदलती है। सरल रेखीय गति के मामले में, वेग और त्वरण वैक्टर की दिशाएँ मेल खाती हैं। यदि वक्रीय गति, त्वरण वेक्टर को दो घटकों में विघटित किया जा सकता है: स्पर्शरेखा त्वरण, और त्वरण सामान्य है .

स्पर्शरेखा त्वरण से पता चलता है कि शरीर की गति निरपेक्ष मूल्य में कितनी जल्दी बदलती है और प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होती है

सामान्य त्वरण दिशा में गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। सामान्य और . के सदिश स्पर्शरेखा त्वरणपरस्पर लंबवत हैं, और सामान्य त्वरण वेक्टर को वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है जिसके साथ बिंदु चलता है।

यहाँ R उस वृत्त की त्रिज्या है जिसके अनुदिश पिंड गति करता है

यहाँ - x शून्य प्रारंभिक निर्देशांक है। वी शून्य - प्रारंभिक गति। समय के संबंध में अंतर करें, और गति प्राप्त करें

समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न त्वरण का मान देगा, जो एक स्थिर है।

समस्या समाधान उदाहरण

अब जब हमने विचार किया है भौतिक नींवकिनेमेटिक्स, अभ्यास में ज्ञान को मजबूत करने और कुछ समस्या को हल करने का समय है। और जितनी जल्दी हो उतना अच्छा।

उदाहरण के लिए यह एक: एक बिंदु एक वृत्त में घूमता है जिसकी त्रिज्या 4 मीटर है। इसकी गति का नियम समीकरण S=A+Bt^2 द्वारा व्यक्त किया जाता है। A=8m, B=-2m/s^2। किस बिंदु पर एक बिंदु का सामान्य त्वरण 9 m/s^2 के बराबर होता है? इस समय के लिए बिंदु की गति, स्पर्शरेखा और कुल त्वरण ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि गति का पता लगाने के लिए, हमें गति के नियम का पहली बार अवकलज लेने की आवश्यकता है, और सामान्य त्वरण गति के निजी वर्ग और उस वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है जिसके साथ बिंदु चलता है . इस ज्ञान से लैस, हम वांछित मूल्य पाते हैं।

प्रिय मित्रों, बधाई! यदि आपने किनेमेटिक्स की मूल बातें पर यह लेख पढ़ा है, और इसके अलावा आपने कुछ नया सीखा है, तो आपने पहले ही एक अच्छा काम किया है! हमें पूरी उम्मीद है कि हमारे "डमी के लिए कीनेमेटीक्स" आपके लिए उपयोगी होंगे। हिम्मत करें और याद रखें - हम कपटी सस्ते ट्रैप के साथ पेचीदा पहेलियों को सुलझाने में आपकी मदद करने के लिए हमेशा तैयार हैं। . यांत्रिकी के अपने अध्ययन के साथ शुभकामनाएँ!

उदाहरण के लिए, एक कार जो शुरू होती है वह अपनी गति बढ़ाने के साथ-साथ तेजी से चलती है। शुरुआती बिंदु पर, कार की गति शून्य है। आंदोलन शुरू करते हुए, कार एक निश्चित गति से तेज हो जाती है। यदि आपको धीमा करने की आवश्यकता है, तो कार तुरंत नहीं रुक पाएगी, लेकिन कुछ समय के लिए। यानी कार की गति शून्य हो जाएगी - कार पूरी तरह से रुकने तक धीरे-धीरे चलने लगेगी। लेकिन भौतिकी में "मंदी" शब्द नहीं है। यदि शरीर गति करता है, गति घटती है, तो इस प्रक्रिया को भी कहा जाता है त्वरण, लेकिन "-" चिन्ह के साथ।

औसत त्वरणगति में परिवर्तन का उस समय अंतराल से अनुपात है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। सूत्र का उपयोग करके औसत त्वरण की गणना करें:

वह कहां है । त्वरण वेक्टर की दिशा गति में परिवर्तन की दिशा के समान है = - 0

जहां 0 है प्रारंभिक गति. समय के बिंदु पर t1(नीचे चित्र देखें) शरीर में 0 है। समय के बिंदु पर t2शरीर में गति है। सदिश घटाव नियम के आधार पर, हम गति परिवर्तन का सदिश = - 0 निर्धारित करते हैं। यहां से हम त्वरण की गणना करते हैं:

.

एसआई प्रणाली में त्वरण की इकाई 1 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड (या मीटर प्रति सेकंड वर्ग) कहा जाता है:

.

एक मीटर प्रति सेकंड वर्ग एक सीधी रेखा में गतिमान बिंदु का त्वरण है, जिस पर इस बिंदु की गति 1 सेकंड में 1 मीटर / सेकंड बढ़ जाती है। दूसरे शब्दों में, त्वरण 1 s में किसी पिंड की गति में परिवर्तन की डिग्री निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, यदि त्वरण 5 m/s 2 है, तो शरीर की गति प्रति सेकंड 5 m/s बढ़ जाती है।

किसी पिंड का तात्क्षणिक त्वरण (भौतिक बिंदु)किसी निश्चित समय पर - यह एक भौतिक मात्रा है, जो उस सीमा के बराबर होती है, जब समय अंतराल 0 हो जाता है। दूसरे शब्दों में, यह शरीर द्वारा विकसित त्वरण है। छोटा खंडसमय:

.

त्वरण की वही दिशा होती है, जो अत्यंत कम समय अंतराल में गति Δ में परिवर्तन के दौरान होती है, जिसके दौरान गति में परिवर्तन होता है। त्वरण वेक्टर को किसी दिए गए संदर्भ प्रणाली (अनुमानों ए एक्स, वाई, ए जेड) में संबंधित समन्वय अक्षों पर अनुमानों का उपयोग करके सेट किया जा सकता है।

त्वरित के साथ सीधा गतिशरीर की गति मॉड्यूलो को बढ़ाती है, अर्थात। v 2 > v 1 , और त्वरण सदिश की दिशा वही है जो वेग सदिश 2 है।

यदि शरीर का मॉड्यूलो वेग कम हो जाता है (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем मंदी(त्वरण ऋणात्मक है, और< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

अगर आंदोलन है घुमावदार प्रक्षेपवक्र, तो वेग का मापांक और दिशा बदल जाती है। इसका मतलब है कि त्वरण वेक्टर को 2 घटकों के रूप में दर्शाया गया है।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरणत्वरण वेक्टर के उस घटक को कॉल करें, जो गति के प्रक्षेपवक्र के दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है। स्पर्शरेखा त्वरण वक्रीय गति करते समय गति मोडुलो में परिवर्तन की डिग्री का वर्णन करता है।

पर स्पर्शरेखा त्वरण वैक्टरτ (ऊपर चित्र देखें) दिशा वही है जो रैखिक गतिया इसके विपरीत। वे। स्पर्शरेखा त्वरण वेक्टर स्पर्शरेखा वृत्त के समान अक्ष पर होता है, जो शरीर का प्रक्षेपवक्र है।

वेग एक वेक्टर मात्रा है जो न केवल एक प्रक्षेपवक्र के साथ एक कण की गति की गति की विशेषता है, बल्कि उस दिशा में भी है जिसमें कण समय के प्रत्येक क्षण में चलता है।

समय के साथ औसत गति से t1 इससे पहले t2इस समय के दौरान आंदोलन के अनुपात के बराबर है, जिसके लिए यह आंदोलन हुआ था:

तथ्य यह है कि यह ठीक औसत गति है जिसे हम नोट करेंगे, समापन औसत मूल्यकोण कोष्ठक में:<...>, जैसा कि ऊपर किया गया है।

माध्य वेग सदिश के लिए उपरोक्त सूत्र सामान्य का प्रत्यक्ष परिणाम है गणितीय परिभाषाऔसत मूल्य<एफ (एक्स)> मनमाना कार्य एफ (एक्स)अंतराल पर [ ए, बी]:

सच में

औसत गति आंदोलन की बहुत अधिक खुरदरी विशेषता हो सकती है। उदाहरण के लिए, दोलनों की अवधि में औसत गति हमेशा शून्य होती है, इन दोलनों की प्रकृति की परवाह किए बिना, साधारण कारण के लिए कि एक अवधि में - एक अवधि की परिभाषा के अनुसार - एक दोलन करने वाला शरीर वापस आ जाएगा प्रस्थान बिंदूऔर इसलिए प्रति आवर्त विस्थापन हमेशा शून्य होता है। इसके लिए और कई अन्य कारणों से, तात्कालिक गति पेश की जाती है - एक निश्चित समय में गति। भविष्य में, तात्कालिक गति को लागू करते हुए, हम बस लिखेंगे: "गति", "तात्कालिक" या "किसी निश्चित समय पर" शब्दों को छोड़कर जब भी यह गलतफहमी पैदा नहीं कर सकता है। समय के एक पल में गति प्राप्त करने के लिए टीकरना होगा स्पष्ट बात: समय की अवधि के लिए लक्ष्य करते समय अनुपात सीमा की गणना करें t2 - t1शून्य करने के लिए। आइए नाम बदलें: टी1 = टीऔर टी 2 \u003d टी +और ऊपरी संबंध को इस प्रकार फिर से लिखें:

समय पर गति टीसमय अंतराल में गति के अनुपात की सीमा के बराबर है, जिसके दौरान यह आंदोलन हुआ था, जब बाद वाला शून्य हो जाता है

चावल। 2.5. तात्कालिक गति की परिभाषा के लिए।

फिलहाल, हम इस सीमा के अस्तित्व के सवाल पर विचार नहीं करते हैं, यह मानते हुए कि यह मौजूद है। ध्यान दें कि यदि एक परिमित विस्थापन और समय का एक परिमित अंतराल है, तो और उनके सीमा मान हैं: एक अपरिमित विस्थापन और समय का एक अतिसूक्ष्म अंतराल। ताकि दाहिना भागगति का पता लगाना

एक अंश से अधिक कुछ नहीं है - द्वारा भाग का एक भागफल, इसलिए अंतिम अनुपात को फिर से लिखा जा सकता है और इसे अक्सर रूप में उपयोग किया जाता है

द्वारा ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न, प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर वेग वेक्टर गति की दिशा में इस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होता है।

वीडियो 2.1. वेग वेक्टर को प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है। शार्पनर प्रयोग।

किसी भी वेक्टर को आधार में विस्तारित किया जा सकता है (आधार के यूनिट वैक्टर के लिए, दूसरे शब्दों में, यूनिट वैक्टर जो कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशाओं को निर्धारित करते हैं) बैल,ओए,आउंसहम क्रमशः संकेतन , , या , का उपयोग करते हैं)। इस विस्तार के गुणांक संबंधित अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: वैक्टर के बीजगणित में, यह साबित होता है कि आधार के संदर्भ में विस्तार अद्वितीय है। आइए हम आधार के संदर्भ में कुछ गतिशील सामग्री बिंदु के त्रिज्या वेक्टर का विस्तार करें

कार्तीय इकाई सदिशों की स्थिरता को ध्यान में रखते हुए, हम समय के साथ इस व्यंजक में अंतर करेंगे।

दूसरी ओर, वेग वेक्टर के आधार के रूप में विस्तार का रूप है

अंतिम दो अभिव्यक्तियों की तुलना, आधार के संदर्भ में किसी भी वेक्टर के विस्तार की विशिष्टता को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित परिणाम देता है: कार्टेशियन अक्षों पर वेग वेक्टर के अनुमान संबंधित निर्देशांक के समय डेरिवेटिव के बराबर होते हैं, कि है

वेग वेक्टर का मापांक है

आइए वेग सदिश के मापांक के लिए एक और महत्वपूर्ण व्यंजक प्राप्त करें।

यह पहले ही नोट किया जा चुका है कि मूल्य के लिए || संगत पथ से कम और कम भिन्न होता है (चित्र 2 देखें)। इसलिए

और सीमा में (>0)

दूसरे शब्दों में, गति का मापांक समय के संबंध में तय की गई दूरी का व्युत्पन्न है।

अंत में हमारे पास है:

मध्य मॉड्यूलवेग वेक्टर, निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

वेग वेक्टर के मॉड्यूल का औसत मूल्य उस समय की दूरी के अनुपात के बराबर है जिसके दौरान इस पथ की यात्रा की गई थी:

यहां एस (टी 1, टी 2)- समय से पथ t1इससे पहले t2और तदनुसार, एस (टी0, टी 2)- समय से पथ t0इससे पहले t2और एस (टी0, टी 2)- समय से पथ t0इससे पहले t1.

औसत वेक्टरगति, या बस औसत गति, जैसा कि ऊपर बताया गया है, है

ध्यान दें कि, सबसे पहले, यह एक वेक्टर है, इसका मॉड्यूल - औसत वेग वेक्टर के मॉड्यूल को वेग वेक्टर के मॉड्यूल के औसत मूल्य के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। पर सामान्य मामलावे समान नहीं हैं: औसत वेक्टर का मापांक इस वेक्टर के औसत मापांक के बराबर नहीं है। दो ऑपरेशन: मॉड्यूल की गणना और औसत की गणना, सामान्य स्थिति में, अदला-बदली नहीं की जा सकती।

एक उदाहरण पर विचार करें। बिंदु को एक दिशा में चलने दें। अंजीर पर। 2.6. उसके द्वारा यात्रा किए गए पथ का एक ग्राफ दिखाता है एसउस समय (से समय के लिए 0 इससे पहले टी) का उपयोग करते हुए भौतिक अर्थगति, इस ग्राफ का उपयोग उस बिंदु को खोजने के लिए करें जिस पर तात्कालिक गति औसत के बराबर है जमीनी गतिबिंदु की गति के पहले सेकंड के लिए।

चावल। 2.6. शरीर की तात्कालिक और औसत गति का निर्धारण

एक निश्चित समय पर वेग मापांक

समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न होने के कारण, यह समय के क्षण के अनुरूप बिंदु पर निर्भरता ग्राफ के लिए रॉकिंग के कोणीय गुणांक के बराबर है टी*. से समय की अवधि के लिए गति का औसत मॉड्यूल 0 इससे पहले टी*शुरुआत के अनुरूप एक ही ग्राफ के बिंदुओं से गुजरने वाले छेदक का ढलान है टी = 0और अंत टी = टी*समय अंतराल। हमें ऐसे पल को समय पर खोजने की जरूरत है टी*कब दोनों ढलानमिलान। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, इस सीधी रेखा का संपर्क बिंदु अनुसूचित जनजाति)और देता है टी*. हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है

किसी बिंदु की जटिल गति के साथ समस्या को हल करने का एक उदाहरण माना जाता है। बिंदु प्लेट के साथ एक सीधी रेखा में चलता है। थाली घूमती है स्थिर धुरा. निरपेक्ष गति निर्धारित है और पूर्ण त्वरणअंक।

नीचे दी गई समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल किया गया सिद्धांत "एक बिंदु की जटिल गति, कोरिओलिस प्रमेय" पृष्ठ पर वर्णित है।

काम

एक आयताकार प्लेट नियम के अनुसार एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है = 6 टी 2 - 3 टी 3. कोण को पढ़ने की धनात्मक दिशा को एक चाप तीर द्वारा आकृतियों में दिखाया गया है। रोटेशन अक्ष OO 1 प्लेट के तल में स्थित है (प्लेट अंतरिक्ष में घूमती है)।

बिंदु M प्लेट के अनुदिश सीधी रेखा BD के अनुदिश गति करता है। इसकी सापेक्ष गति का नियम दिया गया है, अर्थात् निर्भरता s = AM = 40(टी - 2 टी 3) - 40(एस - सेंटीमीटर में, टी - सेकंड में)। दूरी बी = 20 सेमी. आकृति में, बिंदु M को उस स्थिति में दिखाया गया है जहाँ s = AM > 0 (एस के लिए< 0 बिंदु M, बिंदु A के दूसरी ओर है)।

समय t . पर बिंदु M की निरपेक्ष गति और निरपेक्ष त्वरण ज्ञात कीजिए 1 = 1 एस.

दिशा-निर्देश. यह कार्य एक बिंदु के जटिल संचलन के लिए है। इसे हल करने के लिए, वेगों के योग और त्वरणों के योग (कोरिओलिस प्रमेय) पर प्रमेयों का उपयोग करना आवश्यक है। सभी गणना करने से पहले, समस्या की स्थितियों के अनुसार निर्धारित करना आवश्यक है, जहां बिंदु एम समय पर प्लेट पर स्थित है। 1 = 1 एस, और इस स्थिति में बिल्कुल एक बिंदु बनाएं (और समस्या के लिए चित्र में दिखाए गए मनमाने ढंग से नहीं)।

समस्या का समाधान

दिया गया:ख = 20 सेमी, φ = 6 टी 2 - 3 टी 3, एस = |एएम| = 40(टी - 2 टी 3) - 40, टी 1 = 1 एस.

ढूँढ़ने के लिए:वी एब्स, ए एब्स

एक बिंदु की स्थिति का निर्धारण

समय t = t . पर बिंदु की स्थिति निर्धारित करें 1 = 1 एस.
एस = 40(टी 1 - 2 टी 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 \u003d -80 सेमी।
क्योंकि s< 0 , तो बिंदु M, D की तुलना में बिंदु B के अधिक निकट है।
|एएम| = |-80| = 80 सेमी.
हम एक ड्राइंग बनाते हैं।

वेग जोड़ प्रमेय के अनुसार, किसी बिंदु का निरपेक्ष वेग सापेक्ष और स्थानांतरीय वेगों के सदिश योग के बराबर होता है:
.

एक बिंदु की सापेक्ष गति का निर्धारण

सापेक्ष गति निर्धारित करें. ऐसा करने के लिए, हम मानते हैं कि प्लेट स्थिर है, और बिंदु M एक निश्चित गति करता है। अर्थात्, बिंदु M सीधी रेखा BD के अनुदिश चलता है। समय t के संबंध में s को अलग करते हुए, हम दिशा BD पर वेग का प्रक्षेपण पाते हैं:
.
समय पर t = t 1 = 1 एस,
सेमी/से.
चूँकि सदिश BD के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। यानी बिंदु M से बिंदु B तक। सापेक्ष वेग मॉड्यूल
वी से = 200 सेमी/सेकण्ड.

एक बिंदु की स्थानांतरण गति का निर्धारण

ले जाने की गति का निर्धारण. ऐसा करने के लिए, हम मानते हैं कि बिंदु एम प्लेट से सख्ती से जुड़ा हुआ है, और प्लेट एक निश्चित गति करती है। यानी प्लेट OO 1 अक्ष के चारों ओर घूमती है। समय t के संबंध में का अवकलन करते हुए, हम प्लेट के घूर्णन का कोणीय वेग ज्ञात करते हैं:
.
समय पर t = t 1 = 1 एस,
.
चूँकि, कोणीय वेग सदिश घूर्णन के धनात्मक कोण की ओर निर्देशित होता है, अर्थात बिंदु O से बिंदु O 1 तक। कोणीय वेग मॉड्यूल:
ω = 3 एस -1.
हम चित्र में प्लेट के कोणीय वेग के वेक्टर को दर्शाते हैं।

बिंदु M से हम लंबवत HM को अक्ष OO 1 पर कम करते हैं।
स्थानान्तरण गति के दौरान, बिंदु M त्रिज्या के एक वृत्त के अनुदिश गति करता है |HM| बिंदु H पर केन्द्रित है।
|एचएम| = |HK| + |केएम| = 3बी + |एएम| पाप 30° = 60 + 80 0.5 = 100 सेमी;
ले जाने की गति:
वी लेन = |एचएम| = 3 100 = 300 सेमी/से.

सदिश को घूर्णन की दिशा में वृत्त की स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है।

एक बिंदु की निरपेक्ष गति का निर्धारण

निरपेक्ष गति निर्धारित करें. एक बिंदु की निरपेक्ष गति सापेक्ष और अनुवादकीय गति के सदिश योग के बराबर होती है:
.
स्थिर निर्देशांक प्रणाली ऑक्सीज़ की कुल्हाड़ियों को ड्रा करें। आइए हम z अक्ष को प्लेट के घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित करें। माना x-अक्ष प्लेट के लम्बवत समय पर माना जाता है, y-अक्ष प्लेट के तल में स्थित होता है। तब सापेक्ष वेग सदिश yz तल में स्थित होता है। ट्रांसलेशनल वेलोसिटी वेक्टर को एक्स अक्ष के विपरीत निर्देशित किया जाता है। चूँकि सदिश सदिश के लंबवत है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, निरपेक्ष वेग मापांक:
.

किसी बिंदु का निरपेक्ष त्वरण ज्ञात करना

त्वरण जोड़ प्रमेय (कोरिओलिस प्रमेय) के अनुसार, एक बिंदु का निरपेक्ष त्वरण सापेक्ष, अनुवादकीय और कोरिओलिस त्वरणों के सदिश योग के बराबर होता है:
,
कहाँ पे
- कोरिओलिस त्वरण।

सापेक्ष त्वरण की परिभाषा

सापेक्ष त्वरण निर्धारित करें. ऐसा करने के लिए, हम मानते हैं कि प्लेट स्थिर है, और बिंदु M एक निश्चित गति करता है। अर्थात्, बिंदु M सीधी रेखा BD के अनुदिश चलता है। समय t के संबंध में s को दो बार विभेदित करते हुए, हम दिशा BD पर त्वरण का प्रक्षेपण पाते हैं:
.
समय पर t = t 1 = 1 एस,
सेमी / एस 2।
चूँकि सदिश BD के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। यानी बिंदु M से बिंदु B तक। सापेक्ष त्वरण मॉड्यूल
एक से = 480 सेमी/सेकंड 2.
हम आकृति में वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अनुवादकीय त्वरण परिभाषा

पोर्टेबल त्वरण को परिभाषित करें. स्थानांतरीय गति के दौरान, बिंदु M प्लेट से मजबूती से जुड़ा होता है, अर्थात यह त्रिज्या के एक वृत्त के अनुदिश गति करता है |HM| बिंदु H पर केन्द्रित है। आइए पोर्टेबल त्वरण को वृत्त की स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण में विघटित करें:
.
समय t के संबंध में φ का दो बार अवकलन करते हुए, हम OO अक्ष पर प्लेट के कोणीय त्वरण का प्रक्षेपण पाते हैं 1 :
.
समय पर t = t 1 = 1 एस,
-2 के साथ।
चूंकि , तब कोणीय त्वरण वेक्टर को रोटेशन के सकारात्मक कोण के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है, अर्थात, बिंदु O 1 से बिंदु O तक। कोणीय त्वरण मॉड्यूल:
ε = 6 एस -2.
हम चित्र में प्लेट के कोणीय त्वरण के वेक्टर को दर्शाते हैं।

पोर्टेबल स्पर्शरेखा त्वरण:
एक लेन = ε |एचएम| \u003d 6 100 \u003d 600 सेमी / सेकंड 2.
सदिश वृत्त की स्पर्श रेखा है। चूंकि कोणीय त्वरण वेक्टर को रोटेशन के सकारात्मक कोण के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है, यह रोटेशन की सकारात्मक दिशा के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। यानी यह x-अक्ष की ओर निर्देशित है।

पोर्टेबल सामान्य त्वरण:
एक एन लेन = 2 |एचएम| = 3 2 100 = 900 सेमी/सेक 2.
वेक्टर को वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है। यानी y अक्ष के विपरीत दिशा में।

कोरिओलिस त्वरण की परिभाषा

कोरिओलिस (रोटरी) त्वरण:
.
कोणीय वेग वेक्टर को z अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। सापेक्ष वेग वेक्टर को सीधी रेखा के साथ निर्देशित किया जाता है |DB| . इन सदिशों के बीच का कोण है 150°. संपत्ति से वेक्टर उत्पाद,
.
वेक्टर की दिशा गिलेट नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि गिलेट हैंडल को एक स्थिति से दूसरी स्थिति में घुमाया जाता है, तो गिलेट स्क्रू x अक्ष के विपरीत दिशा में आगे बढ़ेगा।

निरपेक्ष त्वरण की परिभाषा

पूर्ण त्वरण:
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इसका परिरूप तैयर करें वेक्टर समीकरणसमन्वय प्रणाली के xyz अक्ष पर।

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निरपेक्ष त्वरण मॉड्यूल:

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जवाब

निरपेक्ष गति;
पूर्ण त्वरण।