आइए समझें कि भिन्नों को कम करना क्या है, भिन्नों को क्यों और कैसे कम करें, और भिन्नों को कम करने के नियम और इसके उपयोग के उदाहरण दें।

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"घटता हुआ अंश" क्या है

अंश कम करें

किसी भिन्न को छोटा करने का अर्थ है उसके अंश और हर को विभाजित करना सामान्य भाजक, सकारात्मक और एकता से अलग।

इस क्रिया के परिणामस्वरूप, एक नए अंश और हर वाला एक भिन्न प्राप्त होगा, जो मूल भिन्न के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 6 24 लें और इसे कम करें। अंश और हर को 2 से विभाजित करें, जिसके परिणामस्वरूप 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 प्राप्त होगा। इस उदाहरण में, हमने मूल भिन्न को 2 से कम कर दिया है।

भिन्नों को अघुलनशील रूप में कम करना

पिछले उदाहरण में, हमने भिन्न 6 24 को 2 से घटा दिया, जिसके परिणामस्वरूप भिन्न 3 12 प्राप्त हुआ। यह देखना आसान है कि इस अंश को और भी कम किया जा सकता है। आमतौर पर, भिन्नों को कम करने का लक्ष्य एक अघुलनशील अंश के साथ समाप्त होना है। किसी भिन्न को उसके अपरिवर्तनीय रूप में कैसे कम करें?

यह अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य कारक (जीसीडी) द्वारा कम करके किया जा सकता है। फिर, सबसे बड़े सामान्य भाजक की संपत्ति से, अंश और हर परस्पर होंगे प्रमुख संख्या, और अंश अपरिवर्तनीय होगा।

ए बी = ए ÷ एन ओ डी (ए , बी) बी ÷ एन ओ डी (ए , बी)

भिन्न को अघुलनशील रूप में कम करना

किसी भिन्न को अघुलनशील रूप में छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को उनकी जीसीडी से विभाजित करना होगा।

आइए पहले उदाहरण से भिन्न 6 24 पर लौटें और इसे इसके अघुलनशील रूप में लाएँ। संख्या 6 और 24 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है। आइए भिन्न को कम करें:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

भिन्नों को कम करने का उपयोग करना सुविधाजनक है ताकि इसके साथ काम न करना पड़े बड़ी संख्या में. सामान्य तौर पर, गणित में है अघोषित नियम: यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो आपको इसे करने की आवश्यकता है। किसी भिन्न को कम करने का अर्थ अक्सर उसे एक अघुलनशील रूप में कम करना होता है, न कि इसे केवल अंश और हर के सामान्य भाजक द्वारा कम करना।

भिन्नों को कम करने का नियम

भिन्नों को कम करने के लिए, बस नियम को याद रखें, जिसमें दो चरण होते हैं।

भिन्नों को कम करने का नियम

किसी अंश को कम करने के लिए आपको चाहिए:

1. अंश और हर की जीसीडी ज्ञात कीजिए।
2. अंश और हर को उनकी gcd से विभाजित करें।

आइए व्यावहारिक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. आइए भिन्न को कम करें।

भिन्न 182 195 दिया गया है। आइए इसे छोटा करें.

आइए अंश और हर की जीसीडी ज्ञात करें। इस प्रयोजन के लिए में इस मामले मेंयूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है।

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 एन ओ डी (182, 195) = 13

अंश और हर को 13 से विभाजित करें। हम पाते हैं:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

तैयार। हमने एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त किया है जो मूल भिन्न के बराबर है।

आप भिन्नों को और कैसे कम कर सकते हैं? कुछ मामलों में अंश और हर का विस्तार करना सुविधाजनक होता है प्रधान कारण, और फिर ऊपर से और निचले भागभिन्न, सभी सामान्य कारकों को हटा दें।

उदाहरण 2. भिन्न को कम करें

भिन्न 360 2940 दिया गया है। आइए इसे छोटा करें.

ऐसा करने के लिए, मूल भिन्न की कल्पना इस रूप में करें:

360 2940 = 2 2 2 3 3 3 5 2 2 3 5 7 7

आइए अंश और हर में सामान्य कारकों से छुटकारा पाएं, जिसके परिणामस्वरूप:

360 2940 = 2 2 2 3 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

अंत में, आइए भिन्नों को कम करने का दूसरा तरीका देखें। यह तथाकथित अनुक्रमिक कमी है। इस पद्धति का उपयोग करते हुए, कमी कई चरणों में की जाती है, जिनमें से प्रत्येक में अंश को कुछ स्पष्ट सामान्य कारक द्वारा कम किया जाता है।

उदाहरण 3. भिन्न को कम करें

आइए भिन्न को 2000 4400 से कम करें।

यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि अंश और हर में क्या है सामान्य गुणक 100 . हम भिन्न को 100 से कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

हम परिणामी परिणाम को फिर से 2 से कम करते हैं और एक अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करते हैं:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

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तो हम कटौती पर पहुंच गए। भिन्न का मूल गुण यहाँ लागू किया गया है। लेकिन! इतना आसान नहीं। कई भिन्नों के साथ (से सहित)। स्कूल पाठ्यक्रम) उनसे गुजारा करना काफी संभव है। यदि हम "अधिक आकस्मिक" भिन्नों को लें तो क्या होगा? आओ हम इसे नज़दीक से देखें!मैं भिन्नों वाली सामग्रियों को देखने की सलाह देता हूँ।

तो, हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा और विभाजित किया जा सकता है, भिन्न नहीं बदलेगा। आइए तीन दृष्टिकोणों पर विचार करें:

एक के पास जाओ.

कम करने के लिए, अंश और हर को एक सामान्य भाजक से विभाजित करें। आइए उदाहरण देखें:

आइए छोटा करें:

दिए गए उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि कमी के लिए कौन सा भाजक लेना है। प्रक्रिया सरल है - हम 2,3,4,5 वगैरह से गुजरते हैं। अधिकांश स्कूल पाठ्यक्रम उदाहरणों में, यह काफी है। लेकिन अगर यह एक अंश है:

यहां भाजक चुनने की प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है;)। बेशक, ऐसे उदाहरण स्कूली पाठ्यक्रम से बाहर हैं, लेकिन आपको उनसे निपटने में सक्षम होने की आवश्यकता है। नीचे हम देखेंगे कि यह कैसे किया जाता है। अभी के लिए, चलिए आकार घटाने की प्रक्रिया पर वापस आते हैं।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, किसी भिन्न को कम करने के लिए, हम अपने द्वारा निर्धारित सामान्य भाजक (ओं) से विभाजित करते हैं। सब कुछ सही है! किसी को केवल संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न जोड़ने हैं:

- यदि संख्या सम है तो वह 2 से विभाज्य होती है।

- यदि कोई संख्या अंतिम दो अंकों से 4 से विभाज्य है, तो वह संख्या स्वयं भी 4 से विभाज्य है।

— यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. बारह, 3 से विभाज्य है, इसलिए 123031, 3 से विभाज्य है।

- यदि संख्या 5 या 0 पर समाप्त होती है, तो वह संख्या 5 से विभाज्य है।

— यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. अठारह, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 623032, 9 से विभाज्य है।

दूसरा दृष्टिकोण.

संक्षेप में कहें तो, वास्तव में, पूरी क्रिया अंश और हर का गुणनखंड करने और फिर अंश और हर में समान गुणनखंडों को कम करने तक ही सीमित रहती है ( यह पहुच- यह पहले दृष्टिकोण का परिणाम है):

दृष्टिगत रूप से, भ्रम और गलतियों से बचने के लिए, समान कारकों को आसानी से काट दिया जाता है। प्रश्न - किसी संख्या का गुणनखंड कैसे करें? सभी विभाजकों को खोजकर निर्धारित करना आवश्यक है। यह एक अलग विषय है, यह जटिल नहीं है, पाठ्यपुस्तक या इंटरनेट पर जानकारी देखें। आपको स्कूल भिन्नों में मौजूद संख्याओं का गुणनखंड करने में कोई बड़ी समस्या नहीं आएगी।

औपचारिक रूप से, कमी सिद्धांत को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

तीन तक पहुंचें.

यहां उन्नत और उन लोगों के लिए सबसे दिलचस्प बात है जो एक बनना चाहते हैं। आइए अंश 143/273 को कम करें। खुद कोशिश करना! अच्छा, यह इतनी जल्दी कैसे हो गया? नया रूप!

हम इसे पलट देते हैं (हम अंश और हर के स्थान बदलते हैं)। परिणामी अंश को एक कोने से विभाजित करें और इसे इसमें परिवर्तित करें मिश्रित संख्या, अर्थात्, हम संपूर्ण भाग का चयन करते हैं:

यह पहले से आसान है. हम देखते हैं कि अंश और हर को 13 से कम किया जा सकता है:

अब भिन्न को दोबारा पलटना न भूलें, आइए पूरी शृंखला लिखें:

जांचा गया - विभाजकों को खोजने और जांचने की तुलना में इसमें कम समय लगता है। आइए अपने दो उदाहरणों पर वापस लौटें:

पहला। एक कोने से विभाजित करें (कैलकुलेटर पर नहीं), हमें मिलता है:

बेशक, यह अंश सरल है, लेकिन कमी फिर से एक समस्या है। अब हम भिन्न 1273/1463 का अलग से विश्लेषण करते हैं और इसे पलटते हैं:

यहाँ यह आसान है. हम 19 जैसे भाजक पर विचार कर सकते हैं। बाकी उपयुक्त नहीं हैं, यह स्पष्ट है: 190:19 = 10, 1273:19 = 67। हुर्रे! आइए लिखें:

अगला उदाहरण. आइए 88179/2717 को छोटा करें।

विभाजित करें, हमें मिलता है:

अलग से, हम भिन्न 1235/2717 का विश्लेषण करते हैं और इसे पलटते हैं:

हम 13 जैसे भाजक पर विचार कर सकते हैं (13 तक उपयुक्त नहीं है):

अंश 247:13=19 हर 1235:13=95

*प्रक्रिया के दौरान हमने 19 के बराबर एक और भाजक देखा। यह पता चला कि:

अब हम मूल संख्या लिखते हैं:

और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्न में क्या बड़ा है - अंश या हर, यदि यह हर है, तो हम इसे पलट देते हैं और बताए अनुसार कार्य करते हैं। इस प्रकार हम किसी भी अंश को कम कर सकते हैं; तीसरे दृष्टिकोण को सार्वभौमिक कहा जा सकता है।

बेशक, ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरण सरल उदाहरण नहीं हैं। आइए इस तकनीक को उन "सरल" भिन्नों पर आज़माएँ जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं:

दो क्वार्टर।

बहत्तर साठ के दशक. अंश, हर से बड़ा है; इसे उलटने की कोई आवश्यकता नहीं है:

निस्संदेह, ऐसे में तीसरा दृष्टिकोण लागू किया गया था सरल उदाहरणबस एक विकल्प के रूप में. विधि, जैसा कि पहले ही कहा गया है, सार्वभौमिक है, लेकिन सभी भिन्नों के लिए सुविधाजनक और सही नहीं है, विशेषकर सरल भिन्नों के लिए।

भिन्नों की विविधता बहुत बढ़िया है. यह महत्वपूर्ण है कि आप सिद्धांतों को समझें। सख्त निर्देशभिन्नों के साथ काम करने का कोई तरीका ही नहीं है। हमने देखा, पता लगाया कि कैसे कार्य करना अधिक सुविधाजनक होगा, और आगे बढ़े। अभ्यास के साथ, कौशल आ जाएगा और आप उन्हें बीज की तरह तोड़ देंगे।

निष्कर्ष:

यदि आप अंश और हर के लिए एक सामान्य भाजक देखते हैं, तो उन्हें कम करने के लिए उपयोग करें।

यदि आप किसी संख्या का त्वरित गुणनखंड करना जानते हैं, तो अंश और हर का गुणनखंड करें, फिर घटाएँ।

यदि आप सामान्य भाजक निर्धारित नहीं कर सकते हैं, तो तीसरे दृष्टिकोण का उपयोग करें।

* भिन्नों को कम करने के लिए, कटौती के सिद्धांतों में महारत हासिल करना, भिन्न के मूल गुण को समझना, हल करने के तरीकों को जानना और गणना करते समय बेहद सावधान रहना महत्वपूर्ण है।

और याद रखें! किसी भिन्न को तब तक कम करने की प्रथा है जब तक कि वह रुक न जाए, अर्थात उसे तब तक कम करें जब तक एक सामान्य भाजक मौजूद हो।

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

इस पाठ में हम भिन्न के मूल गुण का अध्ययन करेंगे, पता लगाएंगे कि कौन सी भिन्न एक दूसरे के बराबर हैं। हम भिन्नों को कम करना सीखेंगे, यह निर्धारित करेंगे कि कोई भिन्न कम करने योग्य है या नहीं, भिन्नों को कम करने का अभ्यास करेंगे, और सीखेंगे कि कब संकुचन का उपयोग करना है और कब नहीं।

लोरेम इप्समडोलर सिट अमेट, कंसेक्टेचर एडिपिसिंग एलीट। एडिपिस्की ऑटेम बीटा कंसेक्टेचर कॉर्पोरिस डोलोरेस ईए, ईयूस, एस्से आईडी इलो इन्वेंटोर इस्टे मोलिटिया नेमो नेससिअंट निसी ओबकेकाटी ऑप्टियो सिमिलिक टेम्पोर वॉलुप्टेट!

एडिपिस्की उर्फ ​​असेंडेंडा कंसीक्वेटुर कपिडिटेट, एक्स आईडी मिनिमा क्वाम रेम सिंट विटे? एनिमी डोलोरेस ईयरम एनिम फुगिट मैग्नी निहिल ओडिट प्रोविडेंट क्वाएरेट। एलिक्विड एस्परनेचर इओस एस्से मैग्नम मेयोरेस नेसेसिटेटिबस, नल्ला?

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भिन्न का मुख्य गुण

इस स्थिति की कल्पना कीजिए.

मेज पर 3 व्यक्ति और 5 सेब शेयर करना 5 तीन के लिए सेब. सभी को \(\mathbf(\frac(5)(3))\) सेब मिलते हैं।

और अगली टेबल पर 3 व्यक्ति और भी 5 सेब प्रत्येक फिर से \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

कुल मिलाकर 10 सेब 6 इंसान। प्रत्येक \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

लेकिन यह वही बात है.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

ये भिन्न समतुल्य हैं.

आप लोगों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं और सेबों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं। नतीजा वही होगा.

गणित में इसे इस प्रकार तैयार किया जाता है:

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (0 के बराबर नहीं) से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो नया भिन्न मूल के बराबर होगा.

इस संपत्ति को कभी-कभी "कहा जाता है" भिन्न का मुख्य गुण ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

उदाहरण के लिए, शहर से गाँव तक का रास्ता - 14 किमी.

हम सड़क पर चलते हैं और किलोमीटर मार्करों द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करते हैं। छह कॉलम, छह किलोमीटर चलने के बाद, हम समझते हैं कि हमने \(\mathbf(\frac(6)(14))\) दूरी तय कर ली है।

लेकिन अगर हमें खंभे दिखाई नहीं देते (शायद वे लगाए ही नहीं गए थे), तो हम सड़क के किनारे लगे बिजली के खंभों का उपयोग करके पथ की गणना कर सकते हैं। उनका 40 हर किलोमीटर के लिए टुकड़े. यानी कुल मिलाकर 560 सब तरह से। छह किलोमीटर - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) खंभे। यानी हम पास हो गए हैं 240 से 560 स्तंभ-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

उदाहरण 1

निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करें ( 5; 7 ) पर विमान का समन्वय एक्सओवाई. यह भिन्न \(\mathbf(\frac(5)(7))\) के अनुरूप होगा

निर्देशांक के मूल को परिणामी बिंदु से जोड़ें। एक अन्य बिंदु का निर्माण करें जिसके निर्देशांक पिछले बिंदु से दोगुने हों। आपको कौन सा अंश मिला? क्या वे बराबर होंगे?

समाधान

निर्देशांक तल पर एक भिन्न को एक बिंदु से चिह्नित किया जा सकता है। भिन्न \(\mathbf(\frac(5)(7))\) का प्रतिनिधित्व करने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु को चिह्नित करें 5 अक्ष के अनुदिश वाईऔर 7 अक्ष के अनुदिश एक्स. आइए मूल बिंदु से अपने बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचें।

भिन्न \(\mathbf(\frac(10)(14))\) के अनुरूप बिंदु भी उसी रेखा पर स्थित होगा

वे समतुल्य हैं: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

ऑनलाइन कैलकुलेटर कार्य करता है कमी बीजीय भिन्न भिन्नों को कम करने के नियम के अनुसार: मूल भिन्न को प्रतिस्थापित करना समान अंश, लेकिन छोटे अंश और हर के साथ, यानी। साथ ही भिन्न के अंश और हर को उनके सामान्य महत्तम समापवर्तक (जीसीडी) से विभाजित करना। कैलकुलेटर भी प्रदर्शित करता है विस्तृत समाधान, जो आपको कटौती के क्रम को समझने में मदद करेगा।

दिया गया:

समाधान:

अंश में कमी करना

बीजगणितीय भिन्न कटौती करने की संभावना की जाँच करना

1) भिन्न के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) का निर्धारण

बीजीय भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) निर्धारित करना

2) भिन्न के अंश और हर को कम करना

बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर को कम करना

3) भिन्न के पूर्ण भाग का चयन करना

बीजगणितीय भिन्न के पूरे भाग को अलग करना

4) बीजगणितीय भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना

एक बीजगणितीय भिन्न को परिवर्तित करना दशमलव

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I. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके बीजीय भिन्न को कम करने की प्रक्रिया:

1. किसी बीजगणितीय भिन्न को कम करने के लिए, भिन्न के अंश और हर के मानों को उपयुक्त फ़ील्ड में दर्ज करें। यदि भिन्न मिश्रित है तो भिन्न के संपूर्ण भाग के अनुरूप फ़ील्ड भी भरें। यदि भिन्न सरल है तो संपूर्ण भाग का क्षेत्र खाली छोड़ दें।
2. स्थापित करना ऋणात्मक अंश, भिन्न के पूरे भाग पर ऋण चिह्न लगाएं।
3. निर्दिष्ट बीजीय अंश के आधार पर, क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम स्वचालित रूप से निष्पादित होता है:

• किसी भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) निर्धारित करना;
• किसी भिन्न के अंश और हर को gcd से कम करना;
• भिन्न के पूरे भाग को उजागर करना, यदि अंतिम भिन्न का अंश हर से बड़ा है।
• अंतिम बीजीय भिन्न को दशमलव भिन्न में परिवर्तित करनानिकटतम सौवें तक पूर्णांकित।

कमी के परिणामस्वरूप अनुचित अंश हो सकता है। इस मामले में, अंतिम उचित अंशहाइलाइट किया जाएगा संपूर्ण भागऔर परिणामी भिन्न को उचित भिन्न में परिवर्तित कर दिया जाएगा।

द्वितीय. संदर्भ के लिए:

भिन्न एक संख्या है जिसमें एक इकाई के एक या अधिक भाग (अंश) शामिल होते हैं। एक सामान्य अंश (सरल अंश) को दो संख्याओं (अंश का अंश और अंश का हर) के रूप में लिखा जाता है, जो विभाजन चिह्न को इंगित करने वाली एक क्षैतिज पट्टी (अंश पट्टी) द्वारा अलग किया जाता है। भिन्न का अंश भिन्न रेखा के ऊपर की संख्या है। अंश दर्शाता है कि कुल कितने शेयर लिए गए। भिन्न का हर भिन्न रेखा के नीचे की संख्या है। हर से पता चलता है कि संपूर्ण को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है। साधारण भिन्न वह भिन्न होती है जिसका कोई पूर्ण भाग नहीं होता। एक साधारण भिन्न उचित या अनुचित हो सकता है। उचित भिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है, इसलिए एक उचित भिन्न हमेशा होता है एक से भी कम. उचित भिन्नों का उदाहरण: 8/7, 11/19, 16/17। अनुचित भिन्न - वह भिन्न जिसका अंश या से बड़ा हो हर के बराबर, इसलिए एक अनुचित भिन्न हमेशा एक से बड़ा या उसके बराबर होता है। अनुचित भिन्नों का उदाहरण: 7/6, 8/7, 13/13। मिश्रित भिन्न वह संख्या है जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न होता है, और उस पूर्ण संख्या और उचित भिन्न के योग को दर्शाता है। किसी भी मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदला जा सकता है साधारण अंश. मिश्रित भिन्नों का उदाहरण: 1¼, 2½, 4¾।

तृतीय. टिप्पणी:

1. स्रोत डेटा ब्लॉक पर प्रकाश डाला गया पीला , अवरोध पैदा करना मध्यवर्ती गणनापर प्रकाश डाला नीला , समाधान ब्लॉक को हरे रंग में हाइलाइट किया गया है.
2. सामान्य या मिश्रित भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के लिए, विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करें।

भिन्न को बड़ा करने के लिए भिन्न को कम करना आवश्यक है सरल दृश्य, उदाहरण के लिए, किसी अभिव्यक्ति को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

भिन्नों को कम करना, परिभाषा और सूत्र।

घटता हुआ भिन्न क्या है? भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

परिभाषा:
भिन्नों को कम करना- यह भिन्न के अंश और हर का एक ही चीज़ में विभाजन है सकारात्मक संख्यानहीं शून्य के बराबरऔर एक। कमी के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर वाला एक भिन्न प्राप्त होता है, जो पिछले भिन्न के बराबर होता है।

भिन्नों को कम करने का सूत्रमुख्य संपत्ति भिन्नात्मक संख्याएं.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

आइए एक उदाहरण देखें:
भिन्न को कम करें \(\frac(9)(15)\)

समाधान:
हम भिन्न को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित कर सकते हैं और सामान्य गुणनखंडों को रद्द कर सकते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न \(\frac(3)(5)\) प्राप्त हुआ। परिमेय संख्याओं के मूल गुण के अनुसार मूल और परिणामी भिन्न बराबर होती हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

भिन्नों को कैसे कम करें? किसी अंश को उसके अघुलनशील रूप में कम करना।

परिणामस्वरूप एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमें इसकी आवश्यकता है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) खोजेंभिन्न के अंश और हर के लिए.

जीसीडी खोजने के कई तरीके हैं; उदाहरण में हम संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय भिन्न \(\frac(48)(136)\) प्राप्त करें।

समाधान:
आइए जीसीडी(48,136) खोजें। आइए संख्याओं 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रेक(6)(17)\)

भिन्न को अघुलनशील रूप में घटाने का नियम।

1. आपको अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा।
2. विभाजन के परिणामस्वरूप एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करना होगा।

उदाहरण:
भिन्न को कम करें \(\frac(152)(168)\).

समाधान:
आइए जीसीडी(152,168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

उत्तर: \(\frac(19)(21)\) एक अपरिवर्तनीय भिन्न है।

अनुचित भिन्नों को कम करना.

कैसे काटें अनुचित अंश?
भिन्नों को कम करने के नियम उचित और अनुचित भिन्नों के लिए समान हैं।

आइए एक उदाहरण देखें:
अनुचित भिन्न को कम करें \(\frac(44)(32)\).

समाधान:
आइए अंश और हर को सरल गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम कर देंगे।

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \गुना 2 \गुना 2)=\frac(11)(8)\)

मिश्रित अंशों को कम करना.

समान नियमों का उपयोग करके मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्न. फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे भाग को न छुएं, बल्कि आंशिक भाग को कम करेंया मिश्रित अंशअनुचित भिन्न में बदलें, घटाएँ और वापस उचित भिन्न में बदलें।

आइए एक उदाहरण देखें:
मिश्रित भिन्न \(2\frac(30)(45)\) को रद्द करें।

समाधान:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
आइए भिन्नात्मक भाग को सरल गुणनखंडों में लिखें, लेकिन हम संपूर्ण भाग को नहीं छूएंगे।

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))(3 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))=2\ फ़्रेक(2)(3)\)

दूसरा तरीका:
आइए पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलें, और फिर इसे अभाज्य गुणनखंडों में लिखें और घटाएँ। आइए परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

संबंधित सवाल:
क्या आप जोड़ते या घटाते समय भिन्नों को कम कर सकते हैं?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही उन्हें घटाना होगा। आइए एक उदाहरण देखें:

अभिव्यक्ति \(\frac(50+20-10)(20)\) का मूल्यांकन करें।

समाधान:
वे अक्सर संक्षिप्तीकरण करने की गलती करते हैं समान संख्याएँहमारे मामले में, अंश और हर की संख्या 20 है, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव पूरा नहीं कर लेते, उन्हें कम नहीं किया जा सकता।

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

आप भिन्न को किन संख्याओं से कम कर सकते हैं?
उत्तर: आप भिन्न को सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड या अंश और हर के सामान्य भाजक से कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(100)(150)\).

आइए संख्याओं 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 होगी

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

हमें अपरिवर्तनीय भिन्न \(\frac(2)(3)\) मिला।

लेकिन हमेशा जीसीडी द्वारा विभाजित करना आवश्यक नहीं है; एक अघुलनशील अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है; आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में 2 का उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न \(\frac(100)(150)\) को 2 से कम करें।

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

हमें कम करने योग्य अंश \(\frac(50)(75)\) मिला।

किन भिन्नों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का भाजक एक समान हो। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(4)(8)\). संख्या 4 और 8 में एक संख्या होती है जिससे वे दोनों विभाज्य होते हैं - संख्या 2। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से कम किया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(8)(12)\) की तुलना करें।

ये दोनों भिन्न बराबर हैं. आइए भिन्न \(\frac(8)(12)\) पर करीब से नज़र डालें:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

यहां से हमें मिलता है, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

दो भिन्न बराबर होती हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से एक भिन्न को अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड द्वारा दूसरे भिन्न को कम करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो, तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

समाधान:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)\)
बी) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 3)(\रंग(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) अघुलनशील अंश
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ गुणा 5)=\frac(2)(5)\)