क्या आप एक सैपर की तरह महसूस करना चाहते हैं? तो यह पाठ आपके लिए है! क्योंकि अब हम भिन्नों का अध्ययन करेंगे - वे बहुत ही सरल और हानिरहित हैं गणितीय वस्तुएंजो "मस्तिष्क को सहने" की क्षमता में बाकी बीजगणित पाठ्यक्रम से आगे निकल जाते हैं।

भिन्नों का मुख्य खतरा यह है कि वे अंदर होते हैं वास्तविक जीवन. इसमें वे भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, बहुपद और लघुगणक से, जिन्हें पास किया जा सकता है और परीक्षा के बाद आसानी से भुला दिया जा सकता है। इसलिए, प्रस्तुत सामग्री यह सबकअतिशयोक्ति के बिना विस्फोटक कहा जा सकता है।

एक संख्यात्मक अंश (या केवल एक अंश) एक स्लैश या क्षैतिज पट्टी के माध्यम से लिखे गए पूर्णांकों की एक जोड़ी है।

एक क्षैतिज पट्टी के माध्यम से लिखे गए अंश:

स्लैश के साथ लिखे गए वही अंश:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

आम तौर पर अंश क्षैतिज रेखा के माध्यम से लिखे जाते हैं - उनके साथ काम करना आसान होता है, और वे बेहतर दिखते हैं। ऊपर लिखी संख्या को भिन्न का अंश कहते हैं और नीचे लिखी संख्या को हर कहते हैं।

किसी भी पूर्ण संख्या को 1 के भाजक के साथ एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12 = 12/1 उपरोक्त उदाहरण से भिन्न है।

सामान्य तौर पर, आप भिन्न के अंश और हर में कोई भी पूर्ण संख्या रख सकते हैं। एकमात्र प्रतिबंध यह है कि भाजक शून्य से भिन्न होना चाहिए। अच्छे पुराने नियम को याद रखें: "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते!"

यदि भाजक अभी भी शून्य है, तो भिन्न को अनिश्चित कहा जाता है। इस तरह के रिकॉर्ड का कोई मतलब नहीं है और गणना में भाग नहीं ले सकते।

एक अंश की मूल संपत्ति

अंश ए / बी और सी / डी को बराबर कहा जाता है यदि विज्ञापन = बीसी।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि एक ही अंश को अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/2 = 2/4 क्योंकि 1 4 = 2 2। बेशक, ऐसे कई अंश हैं जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 1/3 ≠ 5/4 क्योंकि 1 4 ≠ 3 5.

एक वाजिब सवाल उठता है: किसी दिए गए अंश के बराबर सभी अंश कैसे ज्ञात करें? हम परिभाषा के रूप में उत्तर देते हैं:

एक भिन्न का मुख्य गुण यह है कि अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है। इसका परिणाम दिए गए भिन्न के बराबर होगा।

ये बहुत महत्वपूर्ण संपत्ति- यह याद करो। भिन्न के मूल गुण की सहायता से अनेक व्यंजकों को सरल और छोटा किया जा सकता है। भविष्य में, यह लगातार "उभर" रूप में रहेगा विभिन्न गुणऔर प्रमेय।

गलत अंश। पूरे भाग का चयन

यदि अंश भाजक से कम, ऐसे अंश को उचित कहा जाता है। अन्यथा (अर्थात, जब अंश भाजक से अधिक या कम से कम बराबर होता है), अंश को अनुचित अंश कहा जाता है, और इसमें एक पूर्णांक भाग को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पूर्णांक भाग को अंश के सामने एक बड़ी संख्या के रूप में लिखा जाता है और ऐसा दिखता है (लाल रंग में चिह्नित):

पूरे भाग को एक अनुचित अंश में अलग करने के लिए, आपको तीन सरल चरणों का पालन करने की आवश्यकता है:

1. ज्ञात कीजिए कि भाजक अंश में कितनी बार आता है। दूसरे शब्दों में, वह अधिकतम पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिसे भाजक से गुणा करने पर भी अंश से कम होगा (चरम स्थिति में, बराबर)। यह संख्या होगी पूरा हिस्सा, तो हम इसे सामने लिखते हैं;
2. पिछले चरण में पाए गए पूर्णांक भाग से भाजक को गुणा करें, और परिणाम को अंश से घटाएं। परिणामी "स्टब" को शेष भाग कहा जाता है, यह हमेशा सकारात्मक होगा (अत्यधिक मामलों में, शून्य)। हम इसे नए अंश के अंश में लिखते हैं;
3. हम भाजक को अपरिवर्तित फिर से लिखते हैं।

क्या यह मुश्किल है? पहली नज़र में, यह मुश्किल हो सकता है। लेकिन इसमें थोड़ा अभ्यास होता है - और आप इसे लगभग मौखिक रूप से करेंगे। अभी के लिए, उदाहरण देखें:

काम। दिए गए भिन्नों में संपूर्ण भाग का चयन करें:

सभी उदाहरणों में, पूर्णांक भाग लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, और विभाजन का शेष भाग हरे रंग में है।

अंतिम अंश पर ध्यान दें, जहां शेष विभाजन निकला शून्य. यह पता चला है कि अंश पूरी तरह से भाजक से विभाजित है। यह काफी तार्किक है, क्योंकि 24: 6 \u003d 4 गुणा तालिका से कठोर तथ्य है।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो नए अंश का अंश आवश्यक रूप से भाजक से छोटा होगा, अर्थात। अंश सही हो जाता है। मैं यह भी नोट करता हूं कि उत्तर लिखने से पहले कार्य के बिल्कुल अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर होता है। अन्यथा, आप गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से जटिल कर सकते हैं।

अनुचित अंश में संक्रमण

एक उलटा ऑपरेशन भी होता है, जब हम पूरे हिस्से से छुटकारा पा लेते हैं। इसे अनुचित अंश संक्रमण कहा जाता है और यह अधिक सामान्य है क्योंकि अनुचित अंशों के साथ काम करना बहुत आसान है।

अनुचित भिन्न में परिवर्तन भी तीन चरणों में किया जाता है:

1. पूर्णांक भाग को भाजक से गुणा करें। नतीजा काफी हो सकता है बड़ी संख्या, लेकिन हमें शर्मिंदा नहीं होना चाहिए;
2. परिणामी संख्या को मूल अंश के अंश में जोड़ें। परिणाम को एक अनुचित अंश के अंश में लिखें;
3. भाजक को फिर से लिखें - फिर से, कोई परिवर्तन नहीं।

यहाँ विशिष्ट उदाहरण हैं:

काम। एक अनुचित अंश में परिवर्तित करें:

स्पष्टता के लिए, पूर्णांक भाग को फिर से लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, और मूल अंश का अंश हरे रंग में है।

उस मामले पर विचार करें जब किसी भिन्न के अंश या हर में समाहित हो एक नकारात्मक संख्या. उदाहरण के लिए:

सिद्धांत रूप में, इसमें कुछ भी आपराधिक नहीं है। हालांकि, ऐसे अंशों के साथ काम करना असुविधाजनक हो सकता है। इसलिए, गणित में एक भिन्न चिह्न के रूप में माइनस निकालने की प्रथा है।

यदि आपको नियम याद हैं तो यह करना बहुत आसान है:

1. प्लस गुना माइनस माइनस के बराबर होता है। इसलिए, यदि अंश में एक ऋणात्मक संख्या है, और भाजक (या इसके विपरीत) में एक सकारात्मक संख्या है, तो ऋण को पार करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और इसे पूरे अंश के सामने रखें;
2. "दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं"। जब ऋण अंश और हर दोनों में होता है, तो हम उन्हें आसानी से काट देते हैं - कोई अतिरिक्त कार्रवाई की आवश्यकता नहीं होती है।

बेशक, इन नियमों को भी लागू किया जा सकता है विपरीत दिशा, अर्थात। आप अंश चिन्ह के नीचे एक ऋण जोड़ सकते हैं (अक्सर - अंश में)।

हम जानबूझकर "प्लस ऑन प्लस" के मामले पर विचार नहीं करते हैं - उसके साथ, मुझे लगता है, वैसे भी सब कुछ स्पष्ट है। आइए देखें कि ये नियम अभ्यास में कैसे काम करते हैं:

काम। ऊपर लिखे चार भिन्नों के मिन्यूज निकाल लें।

अंतिम अंश पर ध्यान दें: इसके सामने पहले से ही एक ऋण चिन्ह है। हालाँकि, यह "जला" नियम के अनुसार "माइनस टाइम्स माइनस प्लस देता है"।

इसके अलावा, हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ अंशों में माइनस को स्थानांतरित न करें। इन अंशों को पहले अनुचित में परिवर्तित किया जाता है - और उसके बाद ही वे गणना करना शुरू करते हैं।

हम इस विषय पर अपने विचार की शुरुआत संपूर्ण भिन्न की अवधारणा का अध्ययन करके करेंगे, जिससे हमें एक साधारण भिन्न के अर्थ की अधिक संपूर्ण समझ प्राप्त होगी। आइए मुख्य शब्द और उनकी परिभाषा दें, विषय का ज्यामितीय व्याख्या में अध्ययन करें, अर्थात। निर्देशांक रेखा पर, और भिन्नों के साथ मूल क्रियाओं की एक सूची भी परिभाषित करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

पूरे के शेयर

एक वस्तु की कल्पना करें जिसमें कई, पूरी तरह से हों बराबर भाग. उदाहरण के लिए, यह एक नारंगी हो सकता है, जिसमें कई समान स्लाइस होते हैं।

परिभाषा 1

पूरे का हिस्सा या हिस्सासमान भागों में से प्रत्येक है जो संपूर्ण वस्तु को बनाता है।

जाहिर है, शेयर अलग हो सकते हैं। इस कथन को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, दो सेबों की कल्पना करें, जिनमें से एक को दो बराबर भागों में और दूसरे को चार भागों में काटा गया है। यह स्पष्ट है कि विभिन्न सेबों के परिणामी शेयरों का आकार अलग-अलग होगा।

शेयरों के अपने नाम होते हैं, जो पूरे विषय को बनाने वाले शेयरों की संख्या पर निर्भर करते हैं। यदि किसी वस्तु के दो भाग हैं, तो उनमें से प्रत्येक को इस मद के एक दूसरे भाग के रूप में परिभाषित किया जाएगा; जब किसी वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से प्रत्येक एक तिहाई होता है, और इसी तरह आगे भी।

परिभाषा 2

आधा- विषय का एक दूसरा भाग।

तीसरा- विषय का एक तिहाई।

चौथाई- विषय का एक चौथाई।

रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, शेयरों के लिए निम्नलिखित संकेतन पेश किया गया: आधा - 1 2 या 1/2; तीसरा - 1 3 या 1/3; एक चौथाई हिस्सा 1 4 या 1/4 और इसी तरह। एक क्षैतिज पट्टी वाली प्रविष्टियाँ अधिक बार उपयोग की जाती हैं।

एक शेयर की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से परिमाण तक फैलती है। इसलिए, आप लंबाई की एक इकाई के रूप में छोटी वस्तुओं को मापने के लिए एक मीटर (एक तिहाई या एक सौवां) के अंशों का उपयोग कर सकते हैं। अन्य मात्राओं के शेयरों को इसी तरह लागू किया जा सकता है।

सामान्य अंश, परिभाषा और उदाहरण

सामान्य अंशशेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक साधारण उदाहरण पर विचार करें जो हमें एक साधारण अंश की परिभाषा के करीब लाएगा।

एक संतरे की कल्पना करें, जिसमें 12 स्लाइस हों। प्रत्येक हिस्सा तब होगा - एक बारहवां या 1/12। दो शेयर - 2/12; तीन शेयर - 3/12, आदि। सभी 12 भाग या एक पूर्णांक इस तरह दिखेगा: 12/12। उदाहरण में प्रयुक्त प्रत्येक प्रविष्टि एक सामान्य अंश का एक उदाहरण है।

परिभाषा 3

सामान्य अंशप्रपत्र का एक रिकॉर्ड है m n या m / n , जहाँ m और n कोई भी प्राकृत संख्याएँ हैं।

के अनुसार यह परिभाषा, साधारण भिन्नों के उदाहरण प्रविष्टियाँ हो सकती हैं: 4 / 9, 1134, 91754। और ये प्रविष्टियाँ: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

परिभाषा 4

मीटरसामान्य अंश m n या m / n एक प्राकृत संख्या m है।

भाजकसामान्य अंश m n या m / n एक प्राकृत संख्या n है।

वे। अंश एक साधारण अंश (या स्लैश के बाईं ओर) के बार के ऊपर की संख्या है, और भाजक बार के नीचे (स्लैश के दाईं ओर) संख्या है।

अंश और भाजक का क्या अर्थ है? एक साधारण अंश का भाजक इंगित करता है कि एक आइटम में कितने शेयर हैं, और अंश हमें इस बात की जानकारी देता है कि ऐसे कितने शेयर माने जाते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 7 54 हमें इंगित करता है कि एक निश्चित वस्तु में 54 शेयर होते हैं, और विचार के लिए हमने ऐसे 7 शेयर लिए।

भाजक 1 के साथ एक भिन्न के रूप में प्राकृतिक संख्या

एक सामान्य अंश का भाजक हो सकता है एक के बराबर. इस मामले में, यह कहा जा सकता है कि विचाराधीन वस्तु (मूल्य) अविभाज्य है, कुछ संपूर्ण है। अंश में एक अंश की तरहइंगित करेगा कि ऐसी कितनी वस्तुएं ली गई हैं, अर्थात m 1 के रूप का एक साधारण अंश समझ में आता है प्राकृतिक संख्याएम । यह कथन समानता m 1 = m के औचित्य के रूप में कार्य करता है।

आइए अंतिम समानता को इस प्रकार लिखें: m = m 1। यह हमें किसी भी प्राकृतिक संख्या को साधारण भिन्न के रूप में उपयोग करने का अवसर देगा। उदाहरण के लिए, संख्या 74 74 1 के रूप की एक साधारण भिन्न है।

परिभाषा 5

किसी भी प्राकृतिक संख्या m को एक साधारण अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर एक: m 1 है।

बदले में, m 1 के रूप के किसी भी साधारण अंश को प्राकृतिक संख्या m द्वारा दर्शाया जा सकता है।

विभाजन चिन्ह के रूप में अंश पट्टी

ऊपर इस्तेमाल किया गया प्रतिनिधित्व यह विषयकैसे n शेयर और कुछ नहीं बल्कि n बराबर भागों में एक विभाजन है। जब किसी वस्तु को n भागों में विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित करने का अवसर होता है - सभी को अपना हिस्सा मिलता है।

उस स्थिति में जब हमारे पास शुरू में एम समान वस्तुएं(प्रत्येक को n भागों में विभाजित किया गया है), तो इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित किया जा सकता है, उनमें से प्रत्येक को m वस्तुओं में से प्रत्येक को एक हिस्सा दिया जा सकता है। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास m शेयर 1 n होगा, और m शेयर 1 n एक साधारण अंश m n देगा। इसलिए, आम अंश एम एन का उपयोग एन लोगों के बीच एम आइटम के विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

परिणामी कथन साधारण अंशों और विभाजन के बीच संबंध स्थापित करता है। और इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है : विभाजन के संकेत के रूप में अंश की रेखा का अर्थ संभव है, अर्थात। एम/एन=एम:एन।

एक साधारण भिन्न की सहायता से हम दो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 7 सेब को 10 लोगों से विभाजित करने पर 7 10 लिखा जाएगा: प्रत्येक व्यक्ति को सात दसवां हिस्सा मिलेगा।

समान और असमान आम अंश

तार्किक क्रिया साधारण भिन्नों की तुलना करना है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, एक सेब का 1 8 7 8 से भिन्न है।

साधारण भिन्नों की तुलना करने का परिणाम हो सकता है: बराबर या असमान।

परिभाषा 6

समान सामान्य अंशसाधारण भिन्न a b और c d हैं, जिनके लिए समानता सत्य है: a d = b c ।

असमान आम अंश- साधारण अंश a b और c d , जिसके लिए समानता: a · d = b · c सत्य नहीं है।

उदाहरण समान अंश: 1 3 और 4 12 - चूंकि समानता 1 · 12 = 3 · 4 पूरी हो गई है।

इस मामले में जब यह पता चलता है कि अंश समान नहीं हैं, तो आमतौर पर यह पता लगाना भी आवश्यक होता है कि दिए गए अंशों में से कौन सा अंश कम है और कौन सा अधिक है। इन प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, साधारण भिन्नों की तुलना की जाती है, जिससे वे आगे बढ़ते हैं आम विभाजकऔर फिर अंशों की तुलना करना।

आंशिक संख्या

प्रत्येक अंश एक भिन्नात्मक संख्या का एक रिकॉर्ड है, जो वास्तव में सिर्फ एक "खोल" दृश्य है शब्दार्थ भार. लेकिन फिर भी, सुविधा के लिए, हम एक अंश और एक भिन्नात्मक संख्या की अवधारणाओं को जोड़ते हैं, बस बोलना - एक अंश।

किसी भी अन्य संख्या की तरह सभी भिन्नात्मक संख्याओं का अपना विशिष्ट स्थान होता है समन्वय किरण: समन्वय किरण के अंशों और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

निर्देशांक किरण पर एक बिंदु खोजने के लिए, अंश m n को दर्शाते हुए, निर्देशांक की उत्पत्ति से धनात्मक दिशा में m खंडों को स्थगित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 1 n एक इकाई खंड का एक अंश होगा। एकल खंड को n समान भागों में विभाजित करके खंड प्राप्त किए जा सकते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, निर्देशांक किरण पर बिंदु M को निरूपित करते हैं, जो भिन्न 14 10 के संगत है। खंड की लंबाई, जिसके सिरे बिंदु O हैं और निकटतम बिंदु, एक छोटे से स्ट्रोक के साथ चिह्नित है, इकाई खंड के 1 10 अंशों के बराबर है। अंश 14 10 के अनुरूप बिंदु 14 ऐसे खंडों की दूरी पर निर्देशांक की उत्पत्ति से कुछ दूरी पर स्थित है।

यदि अंश समान हैं, अर्थात वे एक ही भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होते हैं, फिर ये अंश निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक के रूप में कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, समान अंशों के रूप में निर्देशांक 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 समन्वय किरण पर एक ही बिंदु के अनुरूप होते हैं, जो इकाई खंड के एक तिहाई की दूरी पर स्थित होता है, जिसे स्थगित कर दिया जाता है। उत्पत्ति सकारात्मक दिशा में

वही सिद्धांत यहां पूर्णांक के रूप में काम करता है: एक क्षैतिज, सही-निर्देशित समन्वय किरण पर, एक बड़े अंश के अनुरूप बिंदु बिंदु के दाईं ओर स्थित होगा कम अंश. और इसके विपरीत: वह बिंदु, जिसका निर्देशांक छोटा अंश है, उस बिंदु के बाईं ओर स्थित होगा, जो बड़े निर्देशांक से मेल खाता है।

उचित और अनुचित अंश, परिभाषाएँ, उदाहरण

भिन्नों का उचित और अनुचित में विभाजन एक ही भिन्न के भीतर अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

परिभाषा 7

उचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसका अंश भाजक से छोटा होता है। अर्थात्, यदि असमानता m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

नहीं उचित अंश एक अंश है जिसका अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर है। अर्थात्, यदि असमिका अपरिभाषित सत्य है, तो साधारण भिन्न m n अनुचित है।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं: - उचित भिन्न:

उदाहरण 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

अनुचित अंश:

उदाहरण 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

इकाई के साथ भिन्न की तुलना के आधार पर उचित और अनुचित भिन्न की परिभाषा देना भी संभव है।

परिभाषा 8

उचित अंशसाधारण अंश है एक से कम.

अनुचित अंशएक के बराबर या उससे अधिक एक आम अंश है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 8 12 सही है, क्योंकि 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , और 14 14 = 1 ।

आइए इस बात पर थोड़ा गहराई से विचार करें कि जिन अंशों में अंश भाजक से अधिक या बराबर है उन्हें "अनुचित" क्यों कहा जाता है।

अनुचित अंश 8 8 पर विचार करें: यह हमें बताता है कि 8 भागों वाली वस्तु के 8 भाग लिए गए हैं। इस प्रकार, उपलब्ध आठ अंशों से, हम एक संपूर्ण वस्तु की रचना कर सकते हैं, अर्थात दिया गया अंश 8 8 अनिवार्य रूप से संपूर्ण वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है: 8 8 \u003d 1। अंश जिनमें अंश और भाजक बराबर हैं, पूरी तरह से प्राकृतिक संख्या 1 को प्रतिस्थापित करते हैं।

उन भिन्नों पर भी विचार करें जिनमें अंश भाजक से अधिक है: 11 5 और 36 3 । यह स्पष्ट है कि अंश 11 5 इंगित करता है कि हम इससे दो पूर्ण वस्तुएँ बना सकते हैं और अभी भी इसका पाँचवाँ हिस्सा होगा। वे। अंश 11 5 2 वस्तुएँ हैं और अन्य 1 5 इससे। बदले में, 36 3 एक भिन्न है, जिसका अनिवार्य रूप से मतलब है 12 संपूर्ण वस्तुएँ।

ये उदाहरण यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि अनुचित अंशों को प्राकृतिक संख्याओं से बदला जा सकता है (यदि अंश शेष के बिना भाजक द्वारा विभाज्य है: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) या एक प्राकृतिक संख्या और एक का योग उचित अंश (यदि अंश शेष के बिना भाजक से विभाज्य नहीं है: 11 5 = 2 + 1 5)। शायद इसीलिए ऐसे अंशों को "अनुचित" कहा जाता है।

यहां भी, हम सबसे महत्वपूर्ण संख्या कौशलों में से एक का सामना करते हैं।

परिभाषा 9

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालनाएक प्राकृतिक संख्या और एक उचित अंश के योग के रूप में लिखा गया एक अनुचित अंश है।

यह भी ध्यान दें कि वहाँ है करीबी रिश्ताअनुचित अंशों और मिश्रित संख्याओं के बीच।

सकारात्मक और नकारात्मक अंश

ऊपर हमने कहा है कि प्रत्येक साधारण भिन्न एक धनात्मक भिन्नात्मक संख्या से मेल खाती है। वे। साधारण अंश धनात्मक भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, अंश 5 17 , 6 98 , 64 79 सकारात्मक हैं, और जब किसी अंश की "सकारात्मकता" पर जोर देना आवश्यक होता है, तो इसे प्लस चिन्ह का उपयोग करके लिखा जाता है: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 ।

यदि हम एक साधारण अंश के लिए एक ऋण चिन्ह देते हैं, तो परिणामी रिकॉर्ड एक नकारात्मक भिन्नात्मक संख्या का रिकॉर्ड होगा, और इस मामले में हम नकारात्मक अंशों के बारे में बात कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, - 8 17 , - 78 14 आदि।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m n और - m n विपरीत संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 7 8 और - 7 8 विपरीत हैं।

सकारात्मक अंश, किसी भी तरह सकारात्मक संख्यासामान्य तौर पर, उनका मतलब एक अतिरिक्त, वृद्धि की दिशा में बदलाव है। बदले में, नकारात्मक अंश खपत के अनुरूप होते हैं, घटने की दिशा में बदलाव।

यदि हम निर्देशांक रेखा पर विचार करें, तो हम देखेंगे कि ऋणात्मक अंश संदर्भ बिंदु के बाईं ओर स्थित हैं। जिन बिंदुओं के अनुरूप भिन्न होते हैं, जो विपरीत होते हैं (एम एन और - एम एन), निर्देशांक ओ की उत्पत्ति से समान दूरी पर स्थित होते हैं, लेकिन साथ में विभिन्न पक्षउसके पास से।

यहाँ हम 0 n के रूप में लिखे भिन्नों के बारे में भी अलग से बात करते हैं। ऐसा अंश शून्य के बराबर है, अर्थात 0 एन = 0।

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, हम आते हैं सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाभिन्नात्मक संख्याएं।

परिभाषा 10

भिन्नात्मक संख्याएंसकारात्मक अंशों का एक सेट है, नकारात्मक अंशऔर 0 n रूप के भिन्न।

अंशों के साथ क्रियाएँ

आइए मूल संचालन को भिन्नों के साथ सूचीबद्ध करें। सामान्य तौर पर, उनका सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संगत संक्रियाओं के समान होता है

1. अंश तुलना - यह क्रियाहमने ऊपर समीक्षा की।
2. भिन्नों का जोड़ - साधारण भिन्नों को जोड़ने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (किसी विशेष मामले में, एक प्राकृतिक संख्या में घटाया जाता है)।
3. अंशों का घटाव एक क्रिया है, इसके विपरीत, जब एक ज्ञात अंश और दी गई राशिअंश अज्ञात अंश द्वारा निर्धारित किया जाता है।
4. भिन्नों का गुणन - इस क्रिया को एक भिन्न से भिन्न ज्ञात करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दो साधारण अंशों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण अंश है (किसी विशेष मामले में, एक प्राकृतिक संख्या के बराबर)।
5. भिन्नों का विभाजन - क्रिया, गुणन का व्युत्क्रम, जब हम उस अंश को निर्धारित करते हैं जिसके द्वारा प्राप्त करने के लिए दिए गए एक को गुणा करना आवश्यक होता है प्रसिद्ध कार्यदो अंश।

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अंश, और वह जिससे इसे विभाजित किया जाता है, भाजक है।

किसी भिन्न को लिखने के लिए पहले उसका अंश लिखिए, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचिए, और रेखा के नीचे हर को लिखिए। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक दंड कहते हैं। कभी-कभी इसे तिरछे "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस स्थिति में, अंश को रेखा के बाईं ओर और भाजक को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न "दो-तिहाई" को 2/3 लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश को आमतौर पर रेखा के शीर्ष पर लिखा जाता है, और भाजक को नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ⅔।

भिन्नों का गुणनफल निकालने के लिए, पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंश के लिए। परिणाम को नए के अंश में लिखें अंशों. फिर भाजक को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरी भिन्न से विभाजित करने के लिए, पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे अंश (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, भाजक को पहले "फ्लिप" करें, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है: भाजक को अंश के स्थान पर होना चाहिए। फिर भाज्य के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• अंशों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको व्यक्त करने की अनुमति देती हैं अलग रूप सही मूल्यमात्रा। भिन्नों के साथ, आप वही गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं जो पूर्णांकों के साथ होती हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। यह जानने के लिए कि कैसे निर्णय लेना है अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। कुछ अंकगणितीय आपरेशनसनिष्पादन के बाद, उन्हें परिणाम के आंशिक भाग को कम करने की आवश्यकता होती है।

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• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि अंशों के बीच दशमलव और अनियमितताएँ हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में बदलना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारम्भ में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिख कर हर में 10 लगा देते हैं। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके अंश को कम करें। जिन अंशों में पूरा भाग बाहर खड़ा होता है, उन्हें भाजक से गुणा करके और अंश को परिणाम में जोड़कर गलत रूप दिया जाता है। दिए गए माननया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभ में गलत से पूरे भाग को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, भाजक बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। एक पूर्णांक भाग वाले अंशों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग क्रियाएं करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 ¾ के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में बदलना:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग अलग-अलग:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

उन्हें ":" विभाजक के साथ फिर से लिखें और जारी रखें साधारण विभाजन.

प्राप्त करने के लिए अंतिम परिणामअंश और भाजक को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो कि सबसे बड़ा संभव है इस मामले में. इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

अलग-अलग भाजक वाले अंशों के साथ अंकगणित न करें। एक संख्या का चयन इस प्रकार करें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, तो परिणामस्वरूप दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्या लिखते समय, लाभांश रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न का अंश कहा जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 ½ किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो तो उसे दशमलव भिन्न कहते हैं। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और भाजक मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। में यह उदाहरण 2 से विभाजित करना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं से अंकगणित करने जा रहे हैं, वे एक ही रूप में हों।

गणित की बात करें तो भिन्नों को याद किए बिना कोई नहीं रह सकता। उनके अध्ययन पर बहुत ध्यान और समय दिया जाता है। याद रखें कि अंशों के साथ काम करने के कुछ नियमों को सीखने के लिए आपको कितने उदाहरणों को हल करना पड़ा, आपने कैसे याद किया और एक अंश की मुख्य संपत्ति को कैसे लागू किया। एक सामान्य भाजक को खोजने के लिए कितनी नसें खर्च की गईं, खासकर अगर उदाहरणों में दो से अधिक शब्द थे!

आइए याद करें कि यह क्या है, और बुनियादी जानकारी और भिन्नों के साथ काम करने के नियमों के बारे में अपनी याददाश्त को थोड़ा ताज़ा करें।

अंशों की परिभाषा

आइए सबसे महत्वपूर्ण बात - परिभाषाओं से शुरू करें। एक अंश एक संख्या है जिसमें एक या अधिक इकाई भाग होते हैं। एक आंशिक संख्या क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखी जाती है। इस मामले में, ऊपरी (या पहले) को अंश कहा जाता है, और निचले (दूसरे) को भाजक कहा जाता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि भाजक दिखाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है, और अंश शेयरों या भागों की संख्या को दर्शाता है। अक्सर भिन्न, यदि वे सही हैं, तो एक से कम होती हैं।

अब आइए इन नंबरों के गुणों और उनके साथ काम करते समय उपयोग किए जाने वाले बुनियादी नियमों को देखें। लेकिन इससे पहले कि हम "बुनियादी संपत्ति" जैसी किसी चीज़ का विश्लेषण करें तर्कसंगत अंशआइए बात करते हैं भिन्नों के प्रकार और उनकी विशेषताओं के बारे में।

अंश क्या हैं

ऐसी संख्याएँ कई प्रकार की होती हैं। सबसे पहले, ये साधारण और दशमलव हैं। पहले प्रकार के रिकॉर्ड हैं जो क्षैतिज या स्लैश का उपयोग करके हमारे द्वारा पहले ही दर्शाए गए हैं। दूसरे प्रकार के अंशों को तथाकथित स्थितीय संकेतन का उपयोग करके इंगित किया जाता है, जब संख्या का पूर्णांक भाग पहले इंगित किया जाता है, और फिर, दशमलव बिंदु के बाद, भिन्नात्मक भाग इंगित किया जाता है।

यहाँ यह ध्यान देने योग्य है कि गणित में दशमलव और साधारण भिन्न दोनों का समान रूप से उपयोग किया जाता है। भिन्न का मुख्य गुण केवल दूसरे विकल्प के लिए मान्य है। इसके अलावा, साधारण अंशों में, सही और गलत नंबर. पूर्व के लिए, अंश हमेशा भाजक से छोटा होता है। यह भी ध्यान दें कि ऐसा भिन्न एकता से कम होता है। एक अनुचित अंश में, इसके विपरीत, अंश भाजक से अधिक होता है, और यह स्वयं एक से अधिक होता है। इस मामले में, इससे एक पूर्णांक निकाला जा सकता है। इस लेख में हम केवल साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे।

अंश गुण

किसी भी घटना, रासायनिक, भौतिक या गणितीय, की अपनी विशेषताएं और गुण होते हैं। आंशिक संख्या कोई अपवाद नहीं है। उनके पास एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जिसकी मदद से उन पर कुछ ऑपरेशन करना संभव है। भिन्न का मुख्य गुण क्या होता है? नियम कहता है कि अगर इसके अंश और हर को एक ही से गुणा या भाग किया जाए तर्कसंगत संख्या, हमें एक नया अंश मिलता है, जिसका मान मूल के मान के बराबर होगा। अर्थात्, भिन्नात्मक संख्या 3/6 के दो भागों को 2 से गुणा करने पर, हमें एक नया भिन्न 6/12 प्राप्त होता है, जबकि वे समान होंगे।

इस संपत्ति के आधार पर, आप अंशों को कम कर सकते हैं, साथ ही संख्याओं की एक विशेष जोड़ी के लिए सामान्य भाजक भी चुन सकते हैं।

संचालन

हालाँकि भिन्न हमें अधिक जटिल लगते हैं, वे बुनियादी गणितीय संक्रियाएँ भी कर सकते हैं, जैसे जोड़ और घटाव, गुणा और भाग। इसके अलावा, अंशों को कम करने जैसी एक विशिष्ट क्रिया होती है। स्वाभाविक रूप से, इनमें से प्रत्येक क्रिया के अनुसार किया जाता है निश्चित नियम. इन कानूनों को जानने से भिन्नों के साथ काम करना आसान हो जाता है, जिससे यह आसान और अधिक दिलचस्प हो जाता है। इसीलिए आगे हम ऐसी संख्याओं के साथ काम करते समय बुनियादी नियमों और क्रियाओं के एल्गोरिथम पर विचार करेंगे।

लेकिन इससे पहले कि हम जोड़ और घटाव जैसी गणितीय संक्रियाओं के बारे में बात करें, हम ऐसी संक्रिया का विश्लेषण एक सामान्य भाजक में कमी के रूप में करेंगे। यह वह जगह है जहां एक अंश की मूलभूत संपत्ति का ज्ञान उपयोगी होगा।

आम विभाजक

एक सामान्य भाजक के लिए एक संख्या को कम करने के लिए, आपको पहले दो भाजकों के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने की आवश्यकता है। वह है सबसे छोटी संख्या, जो बिना शेष के दोनों भाजक द्वारा एक साथ विभाज्य है। लघुत्तम समापवर्तक (कम से कम समापवर्त्य) ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका एक हर के लिए एक पंक्ति में लिखना है, फिर दूसरे के लिए और उनके बीच एक मिलान संख्या खोजना है। यदि एलसीएम नहीं पाया जाता है, अर्थात इन संख्याओं में एक सामान्य गुणक नहीं है, तो उन्हें गुणा किया जाना चाहिए, और परिणामी मूल्य को एलसीएम माना जाना चाहिए।

तो, हमें एनओसी मिल गई है, अब हमें ढूंढनी होगी अतिरिक्त गुणक. ऐसा करने के लिए, आपको वैकल्पिक रूप से LCM को अंशों के भाजक में विभाजित करना होगा और उनमें से प्रत्येक पर परिणामी संख्या लिखनी होगी। इसके बाद, अंश और हर को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा करें और परिणाम को एक नए भिन्न के रूप में लिखें। यदि आपको संदेह है कि आपको प्राप्त संख्या पिछले एक के बराबर है, तो अंश की मुख्य संपत्ति को याद रखें।

जोड़ना

अब सीधे भिन्नात्मक संख्याओं पर गणितीय संक्रियाओं पर चलते हैं। आइए सबसे सरल से शुरू करें। भिन्नों को जोड़ने के लिए कई विकल्प हैं। पहली स्थिति में, दोनों संख्याओं का हर समान है। इस मामले में, यह केवल अंशों को जोड़ने के लिए बनी हुई है। लेकिन भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, 1/5 + 3/5 = 4/5।

यदि अंश विभिन्न भाजक, आपको उन्हें कम करके एक सामान्य बनाना चाहिए और उसके बाद ही जोड़ करना चाहिए। यह कैसे करें, हमने आपके साथ थोड़ी अधिक चर्चा की है। इस स्थिति में, अंश का मुख्य गुण काम आएगा। नियम आपको संख्याओं को एक सामान्य भाजक में लाने की अनुमति देगा। मूल्य किसी भी तरह से नहीं बदलेगा।

वैकल्पिक रूप से, ऐसा हो सकता है कि भिन्न मिश्रित हो। फिर आपको पहले पूरे भागों को एक साथ जोड़ना चाहिए, और फिर भिन्नात्मक वाले।

गुणा

इसके लिए किसी तरकीब की आवश्यकता नहीं है, और इस क्रिया को करने के लिए भिन्न के मूल गुण को जानना आवश्यक नहीं है। पहले अंशों और हरों को एक साथ गुणा करना पर्याप्त है। इस स्थिति में, अंशों का गुणनफल नया अंश बन जाएगा, और हरों का गुणनफल नया हर बन जाएगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

केवल एक चीज जो आपके लिए आवश्यक है वह है गुणन तालिका का ज्ञान, साथ ही साथ ध्यान। इसके अलावा, परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह जांचना अनिवार्य है कि क्या इसे कम करना संभव है दिया गया नंबरया नहीं। हम अंशों को कम करने के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

घटाव

प्रदर्शन को जोड़ते समय उन्हीं नियमों द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए। तो, के साथ संख्या में समान भाजकयह घटाव के अंश को न्यूनतम के अंश से घटाने के लिए पर्याप्त है। इस घटना में कि अंशों के अलग-अलग भाजक हैं, आपको उन्हें एक सामान्य पर लाना चाहिए और फिर निष्पादित करना चाहिए यह ऑपरेशन. इसी तरह के अतिरिक्त मामले के साथ, आपको मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता होगी बीजगणितीय अंश, साथ ही एनओसी खोजने में कौशल और सामान्य भाजकअंशों के लिए।

विभाजन

और ऐसी संख्याओं के साथ काम करते समय आखिरी, सबसे दिलचस्प ऑपरेशन विभाजन है। यह काफी सरल है और उन लोगों के लिए भी कोई विशेष कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है जो यह नहीं समझते हैं कि अंशों के साथ कैसे काम करना है, विशेष रूप से जोड़ और घटाव संचालन करने के लिए। विभाजित करते समय, नियम से गुणा करना है पारस्परिक. एक अंश की मुख्य संपत्ति, जैसा कि गुणन के मामले में है, इस ऑपरेशन के लिए उपयोग नहीं किया जाएगा। आओ हम इसे नज़दीक से देखें।

संख्याओं को विभाजित करते समय, लाभांश अपरिवर्तित रहता है। भाजक उलटा है, अर्थात अंश और भाजक उलटे हैं। उसके बाद, संख्याओं को आपस में गुणा किया जाता है।

कमी

इसलिए, हमने पहले से ही अंशों की परिभाषा और संरचना, उनके प्रकार, दी गई संख्याओं पर संचालन के नियमों की जांच की है और एक बीजगणितीय अंश की मुख्य संपत्ति का पता लगाया है। अब बात करते हैं ऐसे ऑपरेशन की कमी की। किसी भिन्न को घटाना उसे बदलने की प्रक्रिया है - अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करना। इस प्रकार, इसके गुणों को बदले बिना अंश कम हो जाता है।

आमतौर पर बनाते समय गणितीय कार्यआपको अंत में प्राप्त परिणाम को ध्यान से देखना चाहिए और पता लगाना चाहिए कि परिणामी अंश को कम करना संभव है या नहीं। याद रखें कि में अंतिम परिणामएक भिन्नात्मक संख्या जिसमें कमी की आवश्यकता नहीं होती है, हमेशा लिखी जाती है।

अन्य ऑपरेशन

अंत में, हम ध्यान दें कि हमने केवल सबसे प्रसिद्ध और आवश्यक का उल्लेख करते हुए, भिन्नात्मक संख्याओं पर सभी परिचालनों को सूचीबद्ध नहीं किया है। अंशों की तुलना भी की जा सकती है, दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। लेकिन इस लेख में हमने इन संक्रियाओं पर विचार नहीं किया, क्योंकि गणित में ये ऊपर दिए गए कार्यों की तुलना में बहुत कम बार किए जाते हैं।

निष्कर्ष

हमने बात की है आंशिक संख्याऔर उनके साथ लेनदेन। हमने मुख्य संपत्ति का भी विश्लेषण किया लेकिन हम ध्यान दें कि इन सभी मुद्दों पर हमारे द्वारा पारित होने पर विचार किया गया था। हमने केवल सबसे प्रसिद्ध और उपयोग किए गए नियम दिए हैं, हमने सबसे महत्वपूर्ण, हमारी राय में, सलाह दी है।

इस लेख का उद्देश्य उस जानकारी को ताज़ा करना है जिसे देने के बजाय आप भिन्नों के बारे में भूल गए हैं नई जानकारीऔर अपने सिर मारा अंतहीन नियमऔर फ़ार्मुलों कि, सबसे अधिक संभावना है, आपको कभी आवश्यकता नहीं होगी।

हम आशा करते हैं कि लेख में प्रस्तुत सामग्री सरल और संक्षिप्त रूप से आपके लिए उपयोगी हो गई है।