इस पाठ में, आप सीखेंगे कि किसी ऐसे व्यंजक को, जिसमें कोष्ठक हैं, को ऐसे व्यंजक में कैसे बदला जाए जिसमें कोष्ठक न हों। आप सीखेंगे कि धन चिह्न और ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। हम याद करेंगे कि गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके कोष्ठक कैसे खोलते हैं। विचार किए गए उदाहरण नई और पहले से अध्ययन की गई सामग्री को एक पूरे में जोड़ने की अनुमति देंगे।

विषय: समीकरण हल करना

पाठ: कोष्ठक का विस्तार

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग।

यदि आपको किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ना है, तो आप इस संख्या में पहला पद और फिर दूसरा जोड़ सकते हैं।

समान चिह्न के बाईं ओर कोष्ठक के साथ एक व्यंजक है, और दाईं ओर बिना कोष्ठक वाला व्यंजक है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर, कोष्ठक खोले गए थे।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हमने संचालन के क्रम को बदल दिया। गिनना आसान हो गया है।

उदाहरण 2

उदाहरण 3

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। आइए नियम तैयार करें:

टिप्पणी।

यदि कोष्ठक में पहला पद अहस्ताक्षरित है, तो इसे धन चिह्न के साथ लिखा जाना चाहिए।

आप चरण दर चरण उदाहरण का अनुसरण कर सकते हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठकों को खोलें और देखें कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

यदि आप क्रियाओं के संकेतित क्रम का पालन करते हैं, तो आपको पहले 512 से 345 घटाना होगा, और फिर परिणाम में 1345 जोड़ना होगा। कोष्ठकों का विस्तार करके, हम क्रियाओं के क्रम को बदल देंगे और गणनाओं को बहुत सरल बना देंगे।

उदाहरण उदाहरण और नियम।

एक उदाहरण पर विचार करें:। आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिह्न से लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें -7 मिलता है।

दूसरी ओर, विपरीत संख्याओं को जोड़कर समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

आइए नियम तैयार करें:

उदाहरण 1

उदाहरण 2

यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता है।

उदाहरण 3

टिप्पणी। संकेत केवल शर्तों के सामने उलट जाते हैं।

कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले मेंवितरण संपत्ति याद रखें।

सबसे पहले, पहले ब्रैकेट को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करें।

पहला ब्रैकेट "+" चिह्न से पहले होता है, जिसका अर्थ है कि संकेतों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए। दूसरा "-" चिन्ह से पहले है, इसलिए, सभी संकेतों को उलट दिया जाना चाहिए

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: निमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। - जिमनैजियम, 2006।
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 - ZSH MEPhI, 2011 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. छठी कक्षा के छात्रों के लिए भत्ता पत्राचार स्कूलएमईपीएचआई। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: 5-6 . ग्रेड के लिए वार्ताकार पाठ्यपुस्तक उच्च विद्यालय. गणित के शिक्षक का पुस्तकालय। - ज्ञानोदय, 1989।

1. ऑनलाइन गणित परीक्षण ()।
2. आप क्लॉज 1.2 में निर्दिष्ट लोगों को डाउनलोड कर सकते हैं। पुस्तकें()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम।: निमोसिन, 2012। (लिंक 1.2 देखें)
2. गृहकार्य: संख्या 1254, संख्या 1255, संख्या 1256 (बी, डी)
3. अन्य कार्य: संख्या 1258 (सी), संख्या 1248

इस पाठ में, आप सीखेंगे कि किसी ऐसे व्यंजक को, जिसमें कोष्ठक हैं, को ऐसे व्यंजक में कैसे बदला जाए जिसमें कोष्ठक न हों। आप सीखेंगे कि धन चिह्न और ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। हम याद करेंगे कि गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके कोष्ठक कैसे खोलते हैं। विचार किए गए उदाहरण नई और पहले से अध्ययन की गई सामग्री को एक पूरे में जोड़ने की अनुमति देंगे।

विषय: समीकरण हल करना

पाठ: कोष्ठक का विस्तार

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग।

यदि आपको किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ना है, तो आप इस संख्या में पहला पद और फिर दूसरा जोड़ सकते हैं।

समान चिह्न के बाईं ओर कोष्ठक के साथ एक व्यंजक है, और दाईं ओर बिना कोष्ठक वाला व्यंजक है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर, कोष्ठक खोले गए थे।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हमने संचालन के क्रम को बदल दिया। गिनना आसान हो गया है।

उदाहरण 2

उदाहरण 3

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। आइए नियम तैयार करें:

टिप्पणी।

यदि कोष्ठक में पहला पद अहस्ताक्षरित है, तो इसे धन चिह्न के साथ लिखा जाना चाहिए।

आप चरण दर चरण उदाहरण का अनुसरण कर सकते हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठकों को खोलें और देखें कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

यदि आप क्रियाओं के संकेतित क्रम का पालन करते हैं, तो आपको पहले 512 से 345 घटाना होगा, और फिर परिणाम में 1345 जोड़ना होगा। कोष्ठकों का विस्तार करके, हम क्रियाओं के क्रम को बदल देंगे और गणनाओं को बहुत सरल बना देंगे।

उदाहरण उदाहरण और नियम।

एक उदाहरण पर विचार करें:। आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिह्न से लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें -7 मिलता है।

दूसरी ओर, विपरीत संख्याओं को जोड़कर समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

आइए नियम तैयार करें:

उदाहरण 1

उदाहरण 2

यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता है।

उदाहरण 3

टिप्पणी। संकेत केवल शर्तों के सामने उलट जाते हैं।

कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले में, हमें वितरण संपत्ति को याद करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, पहले ब्रैकेट को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करें।

पहला ब्रैकेट "+" चिह्न से पहले होता है, जिसका अर्थ है कि संकेतों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए। दूसरा "-" चिन्ह से पहले है, इसलिए, सभी संकेतों को उलट दिया जाना चाहिए

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: निमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। - जिमनैजियम, 2006।
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 - ZSH MEPhI, 2011 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार स्कूल के छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: हाई स्कूल के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। गणित के शिक्षक का पुस्तकालय। - ज्ञानोदय, 1989।

1. ऑनलाइन गणित परीक्षण ()।
2. आप क्लॉज 1.2 में निर्दिष्ट लोगों को डाउनलोड कर सकते हैं। पुस्तकें()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम।: निमोसिन, 2012। (लिंक 1.2 देखें)
2. गृहकार्य: संख्या 1254, संख्या 1255, संख्या 1256 (बी, डी)
3. अन्य कार्य: संख्या 1258 (सी), संख्या 1248

ब्रैकेट विस्तार एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन है। इस खंड में, हम कोष्ठक के विस्तार के नियमों का वर्णन करेंगे, साथ ही समस्याओं के सबसे सामान्य उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

कोष्ठक विस्तार क्या है?

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से समान रूप से पास करना सुविधाजनक है समान अभिव्यक्तिकोष्ठक के बिना। उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 (3 + 4) को इस प्रकार के व्यंजक से बदलें 2 3 + 2 4कोष्ठक के बिना। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

परिभाषा 1

कोष्ठक के उद्घाटन के तहत, हमारा मतलब कोष्ठक से छुटकारा पाने के तरीकों से है और आमतौर पर उन भावों के संबंध में माना जाता है जिनमें निम्न शामिल हो सकते हैं:

• संकेत "+" या "-" कोष्ठक के सामने जिसमें योग या अंतर होते हैं;
• एक संख्या, अक्षर या कई अक्षरों का गुणन और योग या अंतर, जिसे कोष्ठक में रखा गया है।

इस प्रकार हम पाठ्यक्रम में कोष्ठकों के विस्तार की प्रक्रिया पर विचार करते थे स्कूल के पाठ्यक्रम. हालांकि, हमें इस कार्रवाई को अधिक व्यापक रूप से देखने से कोई नहीं रोकता है। हम कोष्ठक विस्तार को एक ऐसे व्यंजक से संक्रमण कह सकते हैं जिसमें कोष्ठकों में ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं और ऐसे व्यंजक होते हैं जिनमें कोष्ठक नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, हम 5 + (- 3) - (- 7) से 5 - 3 + 7 तक जा सकते हैं। वास्तव में, यह भी कोष्ठक विस्तार है।

इसी तरह, हम फॉर्म (a + b) · (c + d) के कोष्ठकों में व्यंजकों के गुणनफल को a · c + a · d + b · c + b · d के योग से बदल सकते हैं। यह तकनीक भी कोष्ठक विस्तार के अर्थ का खंडन नहीं करती है।

यहाँ एक और उदाहरण है। हम मान सकते हैं कि व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर किसी व्यंजक का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक x 2 1 a - x + sin (b) x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) के रूप के कोष्ठकों के बिना एक व्यंजक के संगत होगा।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय 3 − (5 − 7) हमें अभिव्यक्ति मिलती है 3 − 5 + 7 . इन दोनों व्यंजकों को हम समानता 3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7 के रूप में लिख सकते हैं।

बोझिल अभिव्यक्तियों के साथ कार्य करने के लिए लेखन की आवश्यकता हो सकती है मध्यवर्ती परिणाम. तब समाधान में समानता की एक श्रृंखला का रूप होगा। उदाहरण के लिए, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 या 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

कोष्ठक खोलने के नियम, उदाहरण

आइए कोष्ठक खोलने के नियमों से शुरू करें।

कोष्ठक में एकल संख्या

कोष्ठकों में ऋणात्मक संख्याएँ अक्सर व्यंजकों में दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, (- 4) और 3 + (- 4)। कोष्ठक में धनात्मक अंक भी आते हैं।

आइए हम उन कोष्ठकों को खोलने का नियम बनाते हैं जिनमें एकल धनात्मक संख्याएँ होती हैं। मान लीजिए a कोई धनात्मक संख्या है। तब हम (a) को a से, + (a) को + a से, - (a) को - a से बदल सकते हैं। यदि a के स्थान पर हम एक विशिष्ट संख्या लेते हैं, तो नियम के अनुसार संख्या (5) को इस प्रकार लिखा जाएगा 5 , व्यंजक 3 + (5) बिना कोष्ठक के रूप लेगा 3 + 5 , चूंकि + (5) को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है + 5 , और व्यंजक 3 + (- 5) व्यंजक . के समतुल्य है 3 − 5 , जैसा + (− 5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है − 5 .

सकारात्मक संख्याएं आमतौर पर कोष्ठक का उपयोग किए बिना लिखी जाती हैं, क्योंकि इस मामले में कोष्ठक बेमानी हैं।

अब उन कोष्ठकों को खोलने के नियम पर विचार करें जिनमें एक ऋणात्मक संख्या है। + (-ए)हम इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं - ए, - (- a) को + a से बदल दिया जाता है। यदि व्यंजक एक ऋणात्मक संख्या से प्रारंभ होता है (-ए), जो कोष्ठकों में लिखा जाता है, तब कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है और के स्थान पर (-ए)खंडहर - ए.

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: (− 5) को − 5 , (− 3) + 0 , 5 बन जाता है − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) के रूप में लिखा जा सकता है 4 − 3 , और - (- 4) - (- 3) कोष्ठक खोलने के बाद 4 + 3 का रूप लेता है, क्योंकि - (- 4) और - (- 3) + 4 और + 3 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह समझा जाना चाहिए कि व्यंजक 3 · (- 5) को 3 · - 5 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इस पर निम्नलिखित पैराग्राफों में चर्चा की जाएगी।

आइए देखें कि कोष्ठक विस्तार नियम किस पर आधारित हैं।

नियम के अनुसार, अंतर a - b बराबर है a + (- b) । संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों के आधार पर, हम समानता की एक श्रृंखला बना सकते हैं (ए + (- बी)) + बी = ए + ((- बी) + बी) = ए + 0 = एजो न्यायसंगत होगा। समानता की यह श्रृंखला, घटाव के अर्थ के आधार पर, यह साबित करती है कि व्यंजक a + (- b) अंतर है ए-बी.

गुणों के आधार पर विपरीत संख्याऔर घटाव नियम ऋणात्मक संख्याहम दावा कर सकते हैं कि - (- a) = a , a - (- b) = a + b ।

ऐसे भाव हैं जो एक संख्या, ऋण चिह्न और कई जोड़े कोष्ठक से बने होते हैं। उपरोक्त नियमों का उपयोग करने से आप क्रमिक रूप से कोष्ठक से छुटकारा पा सकते हैं, आंतरिक कोष्ठक से बाहरी या अंदर की ओर बढ़ते हुए विपरीत दिशा. ऐसे व्यंजक का एक उदाहरण होगा - (- ((- (5)))) । आइए अंदर से बाहर की ओर बढ़ते हुए कोष्ठक खोलें: - (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5। इस उदाहरण को रिवर्स में भी पार्स किया जा सकता है: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

नीचे एऔर बी को न केवल संख्याओं के रूप में समझा जा सकता है, बल्कि मनमाना संख्यात्मक या के रूप में भी समझा जा सकता है शाब्दिक भावसामने "+" के साथ जो रकम या अंतर नहीं है। इन सभी मामलों में, आप नियमों को उसी तरह लागू कर सकते हैं जैसे हमने इसके लिए किया था एकल संख्याकोष्ठक के भीतर।

उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक - (-2 x) - (x 2) + (-1 x) - (2 x y 2: z) 2 x - x 2 - 1 x - 2 x y 2: z का रूप लेता है। हम इसे कैसे करेंगे? हम जानते हैं कि − (− 2 x) + 2 x है, और चूंकि यह व्यंजक पहले आता है, तो + 2 x को 2 x के रूप में लिखा जा सकता है, - (एक्स 2) = - एक्स 2, + (− 1 एक्स) = - 1 एक्स और - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.

दो संख्याओं के गुणनफल में

आइए दो संख्याओं के गुणनफल में कोष्ठक के विस्तार के नियम से शुरू करें।

चलो दिखावा करते हैं कि एऔर बी दो है सकारात्मक संख्या. इस स्थिति में, दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल - एऔर - b के रूप (- a) (- b) को (a b) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और दो संख्याओं के गुणनफल के साथ विपरीत संकेतफॉर्म के (- a) b और a (- b) को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (- ए बी). माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम द्वारा लिखित नियम के पहले भाग की शुद्धता की पुष्टि की जाती है। नियम के दूसरे भाग की पुष्टि करने के लिए, हम संख्याओं को गुणा करने के लिए नियमों का उपयोग कर सकते हैं विभिन्न संकेत.

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो ऋणात्मक संख्याओं - 4 3 5 और - 2 के गुणनफल (- 2) · - 4 3 5 के गुणनफल में कोष्ठक खोलने के लिए एल्गोरिथ्म पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम मूल व्यंजक को 2 · 4 3 5 से बदल देते हैं। आइए कोष्ठकों का विस्तार करें और 2 · 4 3 5 प्राप्त करें।

और यदि हम ऋणात्मक संख्याओं (− 4) : (− 2) का भागफल लें, तो कोष्ठक खोलने के बाद रिकॉर्ड 4: 2 जैसा दिखेगा।

ऋणात्मक संख्याओं के बजाय - एऔर − b प्रमुख ऋण चिह्न के साथ कोई भी व्यंजक हो सकता है जो योग या अंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, ये उत्पाद, आंशिक, भिन्न, अंश, मूल, लघुगणक, हो सकते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यआदि।

आइए व्यंजक - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) में कोष्ठक खोलें। नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 ।

अभिव्यक्ति (- 3) 2व्यंजक (- 3 2) में परिवर्तित किया जा सकता है। उसके बाद, आप कोष्ठक खोल सकते हैं: - 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के लिए कोष्ठकों के प्रारंभिक विस्तार की भी आवश्यकता हो सकती है: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 और 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5।

इस नियम का प्रयोग विभिन्न चिन्हों के साथ व्यंजकों का गुणन और विभाजन करने के लिए किया जा सकता है। आइए दो उदाहरण दें।

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

पाप (x) (- x 2) \u003d (- पाप (x) x 2) \u003d - पाप (x) x 2

तीन या अधिक संख्याओं के गुणनफल में

आइए उत्पाद और भागफल पर चलते हैं, जिसमें शामिल हैं बड़ी मात्रासंख्याएं। कोष्ठकों का विस्तार करने के लिए, यहाँ कार्य करेगा अगला नियम. ऋणात्मक संख्याओं की सम संख्या के साथ, आप कोष्ठकों को छोड़ सकते हैं, संख्याओं को उनके विपरीत से बदल सकते हैं। उसके बाद, आपको परिणामी अभिव्यक्ति को नए कोष्ठक में संलग्न करना होगा। विषम संख्या में ऋणात्मक संख्याओं के लिए, कोष्ठकों को छोड़ कर, संख्याओं को उनके विपरीत से बदलें। उसके बाद, परिणामी व्यंजक को नए कोष्ठकों में लिया जाना चाहिए और उसके सामने ऋण चिह्न लगाना चाहिए।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 5 · (- 3) · (- 2) लें, जो तीन संख्याओं का गुणनफल है। दो ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं (5 3 2) और फिर अंत में कोष्ठक खोलें, जिससे व्यंजक 5 3 2 प्राप्त होता है।

गुणनफल में (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) पांच अंक ऋणात्मक हैं। इसलिए (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1)। अंत में कोष्ठकों को खोलने पर, हमें प्राप्त होता है -2.5 3:2 4:1.25:1.

उपरोक्त नियम को निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। सबसे पहले, हम इस तरह के भावों को एक उत्पाद के रूप में फिर से लिख सकते हैं, इसे गुणा करके बदल सकते हैं पारस्परिक संख्याविभाजन। हम प्रत्येक ऋणात्मक संख्या को गुणक के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं और - 1 या - 1 को से प्रतिस्थापित करते हैं (- 1) ए.

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करते हुए, हम गुणनखंडों की अदला-बदली करते हैं और सभी गुणनखंडों को के बराबर स्थानान्तरित करते हैं − 1 , अभिव्यक्ति की शुरुआत के लिए। एक सम संख्या माइनस वाले का गुणनफल 1 के बराबर होता है, और एक विषम संख्या बराबर होती है − 1 , जो हमें ऋण चिह्न का उपयोग करने की अनुमति देता है।

यदि हम नियम का उपयोग नहीं करते हैं, तो अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलने के लिए क्रियाओं की श्रृंखला - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 इस तरह दिखेगी:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

उपरोक्त नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब भावों में कोष्ठक का विस्तार किया जाता है जो उत्पाद और भागफल होते हैं जो ऋण चिह्न के साथ होते हैं जो योग या अंतर नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति लें

एक्स 2 (- एक्स): (- 1 एक्स) एक्स - 3: 2।

इसे बिना कोष्ठक x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 के व्यंजक में घटाया जा सकता है।

+ चिह्न . से पहले कोष्ठक खोलना

एक ऐसे नियम पर विचार करें जो उन कोष्ठकों का विस्तार करने के लिए लागू किया जा सकता है जो एक प्लस चिह्न से पहले होते हैं और उन कोष्ठकों की "सामग्री" को किसी भी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है।

नियम के अनुसार, कोष्ठकों को उनके सामने के चिन्ह के साथ छोड़ दिया जाता है, जबकि कोष्ठक में सभी पदों के चिन्ह संरक्षित रहते हैं। यदि कोष्ठक में पहले पद के सामने कोई चिन्ह नहीं है, तो आपको धन का चिह्न लगाना होगा।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, हम व्यंजक देते हैं (12 − 3 , 5) − 7 . कोष्ठकों को हटाकर हम कोष्ठक में पदों के चिन्ह रखते हैं और पहले पद के आगे धन का चिन्ह लगाते हैं। प्रविष्टि इस प्रकार दिखाई देगी (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 । उपरोक्त उदाहरण में, पहले पद के सामने चिन्ह लगाना आवश्यक नहीं है, क्योंकि +12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7।

उदाहरण 4

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। व्यंजक x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x लें और इसके साथ क्रिया करें x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

कोष्ठकों का विस्तार करने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

उन मामलों पर विचार करें जहां कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, और जो किसी भी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा (या विभाजित) नहीं हैं। "-" चिह्न से पहले कोष्ठक के विस्तार के नियम के अनुसार, "-" चिह्न वाले कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है, जबकि कोष्ठक के अंदर सभी शब्दों के चिह्न उलट दिए जाते हैं।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए:

1 2 \u003d 1 2, - 1 एक्स + 1 \u003d - 1 एक्स + 1, - (- एक्स 2) \u003d एक्स 2

चर अभिव्यक्तियों को उसी नियम का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

एक्स + एक्स 3 - 3 - - 2 एक्स 2 + 3 एक्स 3 एक्स + 1 एक्स - 1 - एक्स + 2,

हमें x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 प्राप्त होता है।

किसी संख्या को कोष्ठक से गुणा करते समय कोष्ठक खोलना, कोष्ठक द्वारा व्यंजक

यहां हम उन मामलों पर विचार करेंगे जब किसी संख्या या व्यंजक से गुणा या भाग करने वाले कोष्ठकों को खोलना आवश्यक हो। यहां फॉर्म के फॉर्मूले (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) या बी (ए 1 ± ए 2 ± … ± ए एन) = (बी ए 1 ± बी ए 2 ± … ± बी ए एन), कहाँ पे ए 1 , ए 2 ,… , ए एनऔर b कुछ संख्याएँ या व्यंजक हैं।

उदाहरण 7

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें (3 - 7) 2. नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: (3 - 7) 2 = (3 2 - 7 2)। हमें 3 · 2 - 7 · 2 मिलता है।

व्यंजक 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 में कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हमें 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2 प्राप्त होता है।

एक कोष्ठक को एक कोष्ठक से गुणा करें

फॉर्म (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) के दो कोष्ठकों के गुणनफल पर विचार करें। यह हमें कोष्ठकों को कोष्ठक से गुणा करते समय कोष्ठकों के विस्तार के लिए एक नियम प्राप्त करने में मदद करेगा।

उपरोक्त उदाहरण को हल करने के लिए, हम व्यंजक को निरूपित करते हैं (बी 1 + बी 2)जैसे बी. यह हमें कोष्ठक-अभिव्यक्ति गुणन नियम का उपयोग करने की अनुमति देगा। हम प्राप्त करते हैं (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b। रिवर्स प्रतिस्थापन करके बीपर (बी 1 + बी 2), फिर से ब्रैकेट द्वारा अभिव्यक्ति को गुणा करने के लिए नियम लागू करें: ए 1 बी + ए 2 बी = = ए 1 (बी 1 + बी 2) + ए 2 (बी 1 + बी 2) = = (ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2) + (ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2

कई सरल तरकीबों के लिए धन्यवाद, हम पहले कोष्ठक से प्रत्येक पद के गुणनफल और दूसरे कोष्ठक से प्रत्येक पद का योग प्राप्त कर सकते हैं। नियम को कोष्ठक के भीतर कितने भी पदों तक बढ़ाया जा सकता है।

आइए हम कोष्ठकों द्वारा कोष्ठकों को गुणा करने के नियम बनाते हैं: दो योगों को आपस में गुणा करने के लिए, पहले योग के प्रत्येक पद को दूसरे योग के प्रत्येक पद से गुणा करना और परिणाम जोड़ना आवश्यक है।

सूत्र इस तरह दिखेगा:

(ए 1 + ए 2 + ... + ए एम) (बी 1 + बी 2 + ... + बी एन) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 +। . . + ए 1 बी एन + + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2 +। . . + ए 2 बी एन + +। . . + + ए एम बी 1 + ए एम बी 1 +। . . एक एम बी नहीं

आइए व्यंजक (1 + x) · (x 2 + x + 6) में कोष्ठकों का विस्तार करें यह दो योगों का गुणनफल है। आइए हल लिखें: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + एक्स एक्स 2 + एक्स एक्स + एक्स 6

अलग-अलग, यह उन मामलों पर ध्यान देने योग्य है जब कोष्ठक में प्लस चिह्नों के साथ ऋण चिह्न होता है। उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) लें।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में व्यंजकों को योग के रूप में निरूपित करते हैं: (1 + (- x)) (3 x y + (-2 x y 3)). अब हम नियम लागू कर सकते हैं: (1 + (- x)) (3 x y + (-2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (-2 x y 3) + (- x) 3 x y + ( - x) (-2 x y 3))

आइए कोष्ठकों का विस्तार करें: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 ।

अनेक कोष्ठकों और व्यंजकों के गुणनफलों में कोष्ठकों का विस्तार

यदि व्यंजक में कोष्ठकों में तीन या अधिक व्यंजक हैं, तो कोष्ठकों का क्रमिक रूप से विस्तार करना आवश्यक है। परिवर्तन को इस तथ्य से शुरू करना आवश्यक है कि पहले दो कारकों को कोष्ठक में लिया गया है। इन कोष्ठकों के अंदर, हम ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार परिवर्तन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (2 + 4) 3 (5 + 7 8) में कोष्ठक।

व्यंजक में एक साथ तीन कारक होते हैं (2 + 4) , 3 और (5 + 7 8)। हम क्रमिक रूप से कोष्ठक का विस्तार करेंगे। हम पहले दो कारकों को एक और कोष्ठक में संलग्न करते हैं, जिन्हें हम स्पष्टता के लिए लाल कर देंगे: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

एक कोष्ठक को किसी संख्या से गुणा करने के नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित क्रियाएं कर सकते हैं: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) ।

ब्रैकेट द्वारा ब्रैकेट गुणा करें: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8।

प्रकार में कोष्ठक

वे घातें जिनके आधार कोष्ठकों में लिखे गए कुछ व्यंजक हैं, जिनमें प्राकृतिक संकेतककई कोष्ठकों के उत्पाद के रूप में सोचा जा सकता है। इसके अलावा, पिछले दो पैराग्राफ के नियमों के अनुसार, उन्हें इन कोष्ठकों के बिना लिखा जा सकता है।

व्यंजक को रूपांतरित करने की प्रक्रिया पर विचार करें (ए + बी + सी) 2। इसे दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है (ए + बी + सी) (ए + बी + सी). हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते हैं और a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c प्राप्त करते हैं।

आइए एक और उदाहरण लें:

उदाहरण 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

एक कोष्ठक को एक संख्या से और एक कोष्ठक को एक कोष्ठक द्वारा विभाजित करना

एक कोष्ठक को किसी संख्या से विभाजित करने से पता चलता है कि आपको कोष्ठक में संलग्न सभी पदों को संख्या से विभाजित करना होगा। उदाहरण के लिए, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4।

विभाजन को प्रारंभिक रूप से गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके बाद आप उत्पाद में कोष्ठक खोलने के लिए उपयुक्त नियम का उपयोग कर सकते हैं। कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को विभाजित करते समय भी यही नियम लागू होता है।

उदाहरण के लिए, हमें व्यंजक (x + 2) : 2 3 में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहले भाग को (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित करें। कोष्ठक को संख्या (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 से गुणा करें।

कोष्ठक विभाजन का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 9

1 एक्स + एक्स + 1: (एक्स + 2)।

आइए भाग को गुणन से बदलें: 1 x + x + 1 1 x + 2 ।

आइए गुणा करें: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 ।

ब्रैकेट विस्तार आदेश

अब भावों में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के लागू होने के क्रम पर विचार करें सामान्य दृष्टि से, अर्थात। ऐसे भावों में जिनमें अंतर के साथ योग, भागफल वाले उत्पाद, प्रकार में कोष्ठक होते हैं।

क्रियाओं का क्रम:

• पहला कदम कोष्ठकों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना है;
• दूसरे चरण में, कोष्ठक कार्यों और निजी में खोले जाते हैं;
• अंतिम चरण कोष्ठक को योग और अंतर में खोलना है।

आइए व्यंजक (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) के उदाहरण का उपयोग करके क्रियाओं के क्रम पर विचार करें। आइए हम व्यंजकों 3 (- 2) : (- 4) और 6 (- 7) से रूपांतरित करें, जिन्हें रूप लेना चाहिए (3 2:4)और (- 6 7) । प्राप्त परिणामों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) – (− 6 7 ) कोष्ठक का विस्तार करें: − 5 + 3 2: 4 + 6 7।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक वाले भावों के साथ व्यवहार करते समय, अंदर से बाहर परिवर्तन करना सुविधाजनक होता है।

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मैं शिक्षण के विषय पर पद्धति संबंधी लेखों की एक श्रृंखला जारी रखता हूं। सुविधाओं पर विचार करने का समय आ गया है व्यक्तिगत काम 7 वीं कक्षा के छात्रों के साथ गणित का ट्यूटर. बड़ी खुशी के साथ मैं इनमें से किसी एक को प्रस्तुत करने के रूपों पर अपने विचार साझा करूंगा प्रमुख विषयग्रेड 7 में बीजगणित पाठ्यक्रम - "शुरुआती कोष्ठक।" विशालता को गले लगाने की कोशिश न करने के लिए, आइए उस पर ध्यान दें प्राथमिक स्कूलऔर एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करके शिक्षक की कार्यप्रणाली का विश्लेषण करें। कैसे गणित शिक्षकमें मान्य कठिन स्थितियां, जब कमजोर छात्रनहीं समझता क्लासिक आकारस्पष्टीकरण? एक मजबूत सातवीं कक्षा के लिए कौन से कार्य तैयार किए जाने चाहिए? आइए इन और अन्य प्रश्नों पर विचार करें।

ऐसा लगता है, अच्छा, क्या मुश्किल है? "कोष्ठक आसान हैं," कोई भी अच्छा छात्र कहेगा। "मोनोमियल के साथ काम करने के लिए एक वितरण कानून और डिग्री के गुण हैं, किसी भी संख्या के लिए एक सामान्य एल्गोरिदम। प्रत्येक को गुणा करके समान लाओ। हालांकि, पिछड़ने के साथ काम करने में सब कुछ इतना आसान नहीं है। गणित ट्यूटर के प्रयासों के बावजूद, छात्र सरलतम परिवर्तनों में भी विभिन्न कैलिबर की गलतियाँ करने का प्रबंधन करते हैं। त्रुटियों की प्रकृति इसकी विविधता में हड़ताली है: अक्षरों और संकेतों के छोटे चूक से लेकर गंभीर मृत-अंत तक "त्रुटियों को रोकें"।

विद्यार्थी को परिवर्तनों को सही ढंग से करने से क्या रोकता है? गलतफहमी क्यों है?

व्यक्तिगत समस्याएं हैं बड़ी भीड़और सामग्री के आत्मसात और समेकन के लिए मुख्य बाधाओं में से एक है समय पर और त्वरित ध्यान स्विच करने में कठिनाई, बड़ी मात्रा में जानकारी को संसाधित करने में कठिनाई। कुछ लोगों को यह अजीब लग सकता है जिसके बारे में मैं बात कर रहा हूँ बड़ी मात्रा में, लेकिन कक्षा 7 के कमजोर छात्र के पास चार बार के लिए भी पर्याप्त स्मृति और ध्यान संसाधन नहीं हो सकते हैं। गुणांक, चर, डिग्री (संकेतक) हस्तक्षेप करते हैं। छात्र संक्रियाओं के क्रम को भ्रमित करता है, यह भूल जाता है कि कौन से एकपदी पहले से ही गुणा किए जा चुके हैं और जो अछूते रह गए हैं, याद नहीं रख सकते कि उन्हें कैसे गुणा किया जाता है, आदि।

गणित शिक्षक का संख्यात्मक दृष्टिकोण

बेशक, आपको एल्गोरिथ्म के निर्माण के तर्क की व्याख्या के साथ शुरुआत करने की आवश्यकता है। यह कैसे करना है? हमें कार्य निर्धारित करने की आवश्यकता है: अभिव्यक्ति में क्रियाओं के क्रम को कैसे बदला जाए परिणाम बदले बिना? मैं अक्सर विशिष्ट संख्याओं पर कुछ नियमों के संचालन की व्याख्या करने वाले उदाहरण देता हूं। और फिर मैं उन्हें अक्षरों से बदल देता हूं। उपयोग की तकनीक संख्यात्मक दृष्टिकोणनीचे वर्णित किया जाएगा।

प्रेरणा की समस्या.
पाठ की शुरुआत में, गणित के ट्यूटर के लिए एक छात्र को इकट्ठा करना मुश्किल होता है यदि वह अध्ययन की जा रही प्रासंगिकता को नहीं समझता है। ग्रेड 6-7 के कार्यक्रम के ढांचे के भीतर, बहुपद गुणन नियम का उपयोग करने के उदाहरण खोजना मुश्किल है। मैं सीखने की आवश्यकता पर जोर दूंगा भावों में क्रियाओं का क्रम बदलेंतथ्य यह है कि यह समस्याओं को हल करने में मदद करता है, छात्र को अतिरिक्त के अनुभव से जानना चाहिए। समान शब्द. समीकरणों को हल करते समय उन्हें उन्हें भी जोड़ना था। उदाहरण के लिए, 2x+5x+13=34 में वह उस 2x+5x=7x का उपयोग करता है। एक गणित शिक्षक को बस इस पर छात्र का ध्यान केंद्रित करने की जरूरत है।

गणित के शिक्षक अक्सर कोष्ठक खोलने की तकनीक कहते हैं फव्वारा नियम.

यह छवि अच्छी तरह से याद की जाती है और इसका उपयोग किया जाना चाहिए। लेकिन यह नियम कैसे सिद्ध होता है? स्पष्ट पहचान परिवर्तनों का उपयोग करके शास्त्रीय रूप को याद करें:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

गणित के शिक्षक के लिए यहां किसी भी चीज पर टिप्पणी करना मुश्किल है। पत्र अपने लिए बोलते हैं। हां, और ग्रेड 7 . के एक मजबूत छात्र द्वारा इसकी आवश्यकता नहीं है विस्तृत व्याख्या. हालांकि, कमजोर के साथ क्या करना है, जो बिंदु-रिक्त इस "वर्णमाला मिश्मश" में कोई सामग्री नहीं देखता है?

"फव्वारा" के शास्त्रीय गणितीय औचित्य की धारणा में बाधा डालने वाली मुख्य समस्या पहला कारक लिखने का असामान्य रूप है। न तो 5वीं कक्षा में और न ही 6वीं कक्षा में छात्र को पहले कोष्ठक को दूसरे के प्रत्येक पद तक खींचना पड़ा। बच्चे केवल संख्याओं (गुणांक) से निपटते हैं, जो अक्सर कोष्ठक के बाईं ओर स्थित होते हैं, उदाहरण के लिए:

छठी कक्षा के अंत तक, छात्र विकसित होता है दृश्य छविवस्तु - कोष्ठक से जुड़े संकेतों (क्रियाओं) का एक निश्चित संयोजन। और किसी नई चीज़ की ओर सामान्य नज़र से कोई भी विचलन सातवें ग्रेडर को भटका सकता है। यह "नंबर + ब्रैकेट" जोड़ी की दृश्य छवि है जिसे गणित शिक्षक समझाते समय प्रचलन में ले लेता है।

निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रस्तुत किया जा सकता है। ट्यूटर का तर्क है: "यदि कोष्ठक के सामने कुछ संख्या थी, उदाहरण के लिए 5, तो हम कर सकते थे कार्रवाई के पाठ्यक्रम को बदलेंइस अभिव्यक्ति में? निश्चित रूप से। फिर हम इसे करेंगे . इस बारे में सोचें कि क्या इसका परिणाम बदल जाएगा यदि हम संख्या 5 के बजाय कोष्ठक में संलग्न 2 + 3 का योग दर्ज करते हैं? कोई भी छात्र ट्यूटर से कहेगा: "इससे क्या फर्क पड़ता है कि कैसे लिखना है: 5 या 2 + 3।" पूरी तरह से। एक रिकॉर्ड प्राप्त करें। गणित का ट्यूटर एक छोटा विराम लेता है ताकि छात्र को वस्तु की तस्वीर-छवि को दृष्टिगत रूप से याद रहे। फिर वह अपना ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता है कि कोष्ठक, संख्या की तरह, प्रत्येक पद के लिए "वितरित" या "कूद" गया। इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यह ऑपरेशनन केवल एक संख्या के साथ, बल्कि एक ब्रैकेट के साथ भी किया जा सकता है। हमें दो जोड़ी गुणनखंड और . उनके साथ ज्यादातरछात्र आसानी से अपने दम पर सामना कर सकते हैं और ट्यूटर को परिणाम लिख सकते हैं। परिणामी युग्मों की तुलना कोष्ठक 2+3 और 6+4 की सामग्री से करना महत्वपूर्ण है और यह स्पष्ट हो जाएगा कि वे कैसे खुलते हैं।

यदि आवश्यक हो, तो संख्याओं के साथ उदाहरण के बाद, गणित का शिक्षक एक शाब्दिक प्रमाण का संचालन करता है। यह पिछले एल्गोरिथम के समान भागों के माध्यम से एक काकवॉक निकला।

कोष्ठक खोलने के कौशल का गठन

कोष्ठकों को गुणा करने के कौशल का निर्माण इनमें से एक है मील के पत्थरएक विषय के साथ गणित में एक शिक्षक का काम। और "फव्वारा" नियम के तर्क को समझाने के चरण से भी अधिक महत्वपूर्ण है। क्यों? परिवर्तनों के औचित्य को अगले ही दिन भुला दिया जाएगा, और कौशल, यदि इसे समय पर बनाया और तय किया गया है, तो रहेगा। छात्र यांत्रिक रूप से ऑपरेशन करते हैं, जैसे कि स्मृति से गुणन तालिका निकाल रहे हों। यही हासिल करने की जरूरत है। क्यों? यदि छात्र हर बार कोष्ठक को खोलता है, तो उसे याद होगा कि वह इसे इस तरह क्यों खोलता है और अन्यथा नहीं, वह उस समस्या को भूल जाएगा जिसे वह हल कर रहा है। यही कारण है कि गणित के शिक्षक शेष पाठ को समझ को रटने में बदलने में खर्च करते हैं। यह रणनीति अक्सर अन्य विषयों में भी प्रयोग की जाती है।

एक ट्यूटर एक विद्यार्थी में कोष्ठक खोलने का कौशल कैसे विकसित कर सकता है? ऐसा करने के लिए, 7 वीं कक्षा के छात्र को समेकित करने के लिए पर्याप्त मात्रा में अभ्यास की एक श्रृंखला करनी चाहिए। इससे एक और समस्या पैदा होती है। एक कमजोर सातवां ग्रेडर परिवर्तनों की बढ़ी हुई संख्या का सामना नहीं कर सकता। छोटे वाले भी। और एक के बाद एक गलतियां आती रहती हैं। गणित के शिक्षक को क्या करना चाहिए? सबसे पहले, प्रत्येक पद से प्रत्येक के लिए तीरों को चित्रित करने की अनुशंसा करना आवश्यक है। यदि छात्र बहुत कमजोर है और जल्दी से एक प्रकार के काम से दूसरे में स्विच करने में सक्षम नहीं है, शिक्षक से सरल आदेशों को निष्पादित करते समय एकाग्रता खो देता है, तो गणित का शिक्षक इन तीरों को स्वयं खींचता है। और सब एक बार में नहीं। सबसे पहले, शिक्षक बाएँ कोष्ठक के पहले पद को दाएँ कोष्ठक के प्रत्येक पद से जोड़ता है और उपयुक्त गुणन करने के लिए कहता है। उसके बाद ही तीर दूसरे पद से उसी दाएँ कोष्ठक में जाते हैं। दूसरे शब्दों में, ट्यूटर प्रक्रिया को दो चरणों में विभाजित करता है। पहले और दूसरे ऑपरेशन के बीच एक छोटा अस्थायी विराम (5-7 सेकंड) बनाए रखना बेहतर है।

1) तीरों का एक सेट भावों के ऊपर और दूसरा सेट उनके नीचे खींचा जाना चाहिए।
2) कम से कम लाइनों के बीच छोड़ना महत्वपूर्ण है कोशिकाओं की जोड़ी. अन्यथा, रिकॉर्ड बहुत घना होगा, और तीर न केवल पिछली पंक्ति पर चढ़ेंगे, बल्कि अगले अभ्यास के तीरों के साथ भी मिल जाएंगे।

3) प्रारूप 3 से 2 में कोष्ठकों को गुणा करने की स्थिति में, छोटे कोष्ठक से लंबे कोष्ठक तक तीर खींचे जाते हैं। अन्यथा, ये "फव्वारे" दो नहीं, बल्कि तीन होंगे। तीरों के लिए खाली जगह की कमी के कारण तीसरे का कार्यान्वयन अधिक जटिल है।
4) तीर हमेशा एक बिंदु से निर्देशित होते हैं। मेरा एक छात्र उन्हें साथ-साथ रखने की कोशिश करता रहा और उसने यही किया:

इस तरह की व्यवस्था वर्तमान अवधि को निर्धारित करने और ठीक करने की अनुमति नहीं देती है, जिसके साथ छात्र प्रत्येक चरण में काम करता है।

शिक्षक की उंगलियों का काम

4) ध्यान रखने के लिए एक अलग युगलगुणा शब्द, गणित ट्यूटर उन पर दो उंगलियां डालता है। यह इस तरह से किया जाना चाहिए कि छात्र के दृष्टिकोण को अवरुद्ध न करें। सबसे असावधान छात्रों के लिए, आप "स्पंदन" विधि का उपयोग कर सकते हैं। गणित ट्यूटर पहली उंगली को तीर की शुरुआत में लाता है (किसी एक पद पर) और इसे ठीक करता है, और दूसरे के साथ इसके अंत में (दूसरे कार्यकाल पर) "दस्तक" देता है। स्पंदन उस शब्द पर ध्यान केंद्रित करने में मदद करता है जिससे छात्र गुणा करता है। दाएँ कोष्ठक से पहली बार गुणा करने के बाद, गणित का शिक्षक कहता है: "अब हम दूसरे पद के साथ काम करते हैं।" ट्यूटर एक "स्थिर उंगली" को उसके पास ले जाता है, और "धड़कन" दूसरे ब्रैकेट से शर्तों पर चलता है। स्पंदन एक कार में "टर्न सिग्नल" की तरह काम करता है और आपको एक अनुपस्थित-दिमाग वाले छात्र का ध्यान उसके द्वारा किए जा रहे ऑपरेशन पर आकर्षित करने की अनुमति देता है। अगर बच्चा छोटा लिखता है, तो उंगलियों की जगह दो पेंसिल का इस्तेमाल किया जाता है।

दोहराव अनुकूलन

जैसा कि बीजगणित के पाठ्यक्रम में किसी अन्य विषय के अध्ययन में होता है, बहुपदों के गुणन को पहले से कवर की गई सामग्री के साथ एकीकृत किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, गणित ट्यूटर विशेष पुल कार्यों का उपयोग करता है जो आपको विभिन्न में अध्ययन के आवेदन को खोजने की अनुमति देता है गणितीय वस्तुएं. वे न केवल विषयों को एक पूरे में जोड़ते हैं, बल्कि गणित के पूरे पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति को बहुत प्रभावी ढंग से व्यवस्थित करते हैं। और शिक्षक जितने अधिक पुल बनाता है, उतना ही अच्छा है।

परंपरागत रूप से, ग्रेड 7 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, कोष्ठक का उद्घाटन समाधान के साथ एकीकृत होता है रेखीय समीकरण. संख्याओं की सूची के अंत में हमेशा निम्न क्रम के कार्य होते हैं: समीकरण को हल करें। कोष्ठक खोलते समय, वर्ग कम हो जाते हैं और समीकरण को कक्षा 7 के माध्यम से आसानी से हल किया जाता है। हालांकि, किसी कारण से, पाठ्यपुस्तकों के लेखक सुरक्षित रूप से एक रेखीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के बारे में भूल जाते हैं। इस कमी को दूर करने के लिए, मैं गणित के शिक्षकों को कोष्ठक में शामिल करने की सलाह दूंगा विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति रैखिक कार्य, उदाहरण के लिए । ऐसे अभ्यासों में, छात्र न केवल संचालन के कौशल को प्रशिक्षित करता है समान परिवर्तन, लेकिन रेखांकन भी दोहराता है। आप दो "राक्षसों" के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए कह सकते हैं, निर्धारित करें आपसी व्यवस्थारेखाएँ, कुल्हाड़ियों के साथ उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु ज्ञात करें, आदि।

कोलपकोव ए.एन. स्ट्रोगिनो में गणित के शिक्षक। मास्को

ए + (बी + सी) को कोष्ठक के बिना लिखा जा सकता है: ए + (बी + सी) \u003d ए + बी + सी। इस ऑपरेशन को कोष्ठक विस्तार कहा जाता है।

उदाहरण 1आइए व्यंजक a + (- b + c) में कोष्ठक खोलें।

फेसला।ए + (-बी + सी) = ए + ((-बी) + सी) = ए + (-बी) + सी = ए-बी + सी।

यदि कोष्ठक से पहले "+" चिह्न है, तो आप कोष्ठक में शर्तों के चिह्नों को बनाए रखते हुए कोष्ठक और इस "+" चिह्न को छोड़ सकते हैं। यदि कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा गया है, तो इसे "+" चिन्ह के साथ लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण 2 आइए मूल्य ज्ञात करेंभाव -2.87+ (2.87-7.639)।

फेसला।कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है - 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639।

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए - (- 9 + 5), आपको जोड़ना होगा नंबर-9 और 5 और प्राप्त राशि के विपरीत संख्या ज्ञात कीजिए: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4।

समान मान भिन्न तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले इन पदों के विपरीत संख्याएँ लिखिए (अर्थात उनके चिह्न बदलिए), और फिर जोड़िए: 9 + (- 5) = 4। इस प्रकार, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

कई पदों के योग के विपरीत योग लिखने के लिए इन पदों के चिन्हों को बदलना आवश्यक है।

तो - (ए + बी) \u003d - ए - बी।

उदाहरण 3व्यंजक 16 - (10 -18 + 12) का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला। 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

"-" चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के लिए, आपको इस चिह्न को "+" से बदलना होगा, कोष्ठक में सभी शब्दों के संकेतों को विपरीत में बदलना होगा, और फिर कोष्ठक खोलना होगा।

उदाहरण 4आइए व्यंजक 9.36-(9.36 - 5.48) का मान ज्ञात करें।

फेसला। 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) == 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 .48।

कोष्ठक खोलना और कम्यूटेटिव का उपयोग और सहयोगी गुण अतिरिक्तगणना को आसान बनाएं।

उदाहरण 5व्यंजक (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।सबसे पहले, हम कोष्ठक खोलते हैं, और फिर हम अलग-अलग सभी सकारात्मक और अलग-अलग सभी नकारात्मक संख्याओं का योग पाते हैं, और अंत में परिणाम जोड़ते हैं:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

उदाहरण 6व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

फेसला।पहले, हम प्रत्येक पद को उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में निरूपित करते हैं, फिर कोष्ठक खोलते हैं, फिर संपूर्ण और अलग-अलग जोड़ते हैं आंशिकभागों और अंत में परिणामों का योग:

आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं? आप एक व्यंजक का मान कैसे ज्ञात कर सकते हैं जो अनेक संख्याओं के योग के विपरीत है? "-" चिन्ह से पहले कोष्ठक कैसे खोलें?

1218. कोष्ठक का विस्तार करें:

ए) 3.4+ (2.6+ 8.3); सी) एम + (एन-के);

बी) 4.57+ (2.6 - 4.57); डी) सी+(-ए + बी)।

1219. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1220. कोष्ठक का विस्तार करें:

ए) 85+ (7.8+ 98); घ) -(80-16) + 84; जी) ए- (बी-के-एन);
बी) (4.7 -17) + 7.5; ई) -ए + (एम-2.6); एच) - (ए-बी + सी);
ग) 64-(90 + 100); ई) सी+(-ए-बी); i) (एम-एन)-(पी-के)।

1221. कोष्ठक का विस्तार करें और व्यंजक का मान ज्ञात करें:

1222. व्यंजक को सरल कीजिए:

1223. लिखें रकमदो भाव और इसे सरल बनाएं:

ए) - 4 - एम और एम + 6.4; डी) ए + बी और पी - बी
बी) 1.1+ए और -26-ए; ई) - एम + एन और -के - एन;
सी) ए + 13 और -13 + बी; ई) एम - एन और एन - एम।

1224. दो व्यंजकों का अंतर लिखिए और उसे सरल कीजिए:

1226. समस्या को हल करने के लिए समीकरण का प्रयोग करें:

a) एक शेल्फ पर 42 किताबें हैं, और दूसरे पर 34 किताबें हैं। दूसरी शेल्फ से कई किताबें हटा दी गईं, और पहली से दूसरी पर छोड़ दी गईं। उसके बाद 12 किताबें पहले शेल्फ पर रह गईं। दूसरी शेल्फ से कितनी किताबें निकाली गईं?

b) पहली कक्षा में 42 छात्र हैं, तीसरी की तुलना में दूसरे में 3 छात्र कम हैं। यदि इन तीन ग्रेड में 125 छात्र हैं तो तीसरी कक्षा में कितने छात्र हैं?

1227. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1228. मौखिक रूप से गणना करें:

1229. खोजें उच्चतम मूल्यभाव:

1230. 4 क्रमागत पूर्णांकों को दर्ज करें यदि:

ए) उनमें से छोटा -12 के बराबर है; ग) उनमें से छोटा n के बराबर है;
बी) उनमें से बड़ा -18 के बराबर है; d) उनमें से बड़ा k के बराबर है।

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