के बीच में विभिन्न भाव, जिन्हें बीजगणित में माना जाता है, महत्वपूर्ण स्थानएकपदी के योग हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हुए। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठकों के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

कुछ भावों के साथ बीजीय परिवर्तनदूसरों की तुलना में अधिक व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम अभिव्यक्ति हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - वर्ग का योग योग के बराबर हैवर्ग और डबल उत्पाद।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

अब हम केवल कोष्ठकों को ऐसे व्यंजकों में खोलने के लिए आगे बढ़ेंगे जिसमें कोष्ठकों में व्यंजक को किसी संख्या या व्यंजक से गुणा किया जाता है। आइए हम ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के लिए नियम तैयार करें: ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक छोड़े गए हैं, और कोष्ठक में सभी शब्दों के संकेत विपरीत लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किए गए हैं।

एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन कोष्ठक विस्तार है। संख्यात्मक, शाब्दिक और परिवर्तनशील भाव कोष्ठक का उपयोग करके बनाए जाते हैं, जो उस क्रम को इंगित कर सकते हैं जिसमें क्रियाएं की जाती हैं, एक ऋणात्मक संख्या होती है, आदि। मान लेते हैं कि ऊपर वर्णित व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर कोई व्यंजक हो सकता है।

और आइए कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत के बारे में एक और बिंदु पर ध्यान दें। पिछले पैराग्राफ में, हमने उस पर चर्चा की जिसे कोष्ठक विस्तार कहा जाता है। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलने के नियम हैं, जिनकी अब हम समीक्षा करते हैं। यह नियम इस तथ्य से तय होता है कि कोष्ठक के बिना सकारात्मक संख्याएँ लिखने की प्रथा है, इस मामले में कोष्ठक अनावश्यक हैं। व्यंजक (−3.7)−(−2)+4+(−9) को कोष्ठक के बिना −3.7+2+4−9 के रूप में लिखा जा सकता है।

अंत में, नियम का तीसरा भाग केवल व्यंजक में बाईं ओर ऋणात्मक संख्याओं को लिखने की ख़ासियत के कारण है (जिसका उल्लेख हमने ऋणात्मक संख्याएँ लिखने के लिए कोष्ठक अनुभाग में किया है)। आप किसी संख्या, ऋण चिह्नों और कोष्ठकों के एकाधिक युग्मों से बने व्यंजकों का सामना कर सकते हैं। यदि आप आंतरिक से बाहरी की ओर बढ़ते हुए कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, तो समाधान होगा: -(-((-(5))))=−(-((−5)))=−(-(−5)) =−( 5)=−5.

कोष्ठक कैसे खोलें?

यहां एक स्पष्टीकरण दिया गया है: −(−2 x) +2 x है, और चूंकि यह व्यंजक पहले आता है, तो +2 x को 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= के रूप में लिखा जा सकता है। −1/x और −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. कोष्ठक खोलने के लिखित नियम का पहला भाग ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम से सीधे अनुसरण करता है। इसका दूसरा भाग संख्याओं को से गुणा करने के नियम का परिणाम है विभिन्न संकेत. आइए विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं के गुणनफलों और भागफलों में विस्तार करने वाले कोष्ठकों के उदाहरणों पर चलते हैं।

ब्रैकेट खोलना: नियम, उदाहरण, समाधान।

उपरोक्त नियम इन क्रियाओं की पूरी श्रृंखला को ध्यान में रखता है और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया में काफी तेजी लाता है। वही नियम आपको उन भावों में कोष्ठक खोलने की अनुमति देता है जो उत्पाद हैं और आंशिक अभिव्यक्ति ऋण चिह्न के साथ हैं जो योग और अंतर नहीं हैं।

इस नियम के लागू होने के उदाहरणों पर विचार करें। हम संबंधित नियम देते हैं। ऊपर, हम पहले से ही फॉर्म - (ए) और - (-ए) के भावों का सामना कर चुके हैं, जो बिना कोष्ठक के क्रमशः -ए और ए के रूप में लिखे गए हैं। उदाहरण के लिए, -(3)=3, और। ये बताए गए नियम के विशेष मामले हैं। अब कोष्ठक खोलने के उदाहरणों पर विचार करें जब उनमें योग या अंतर संलग्न हों। हम इस नियम के उपयोग के उदाहरण दिखाएंगे। व्यंजक (b1+b2) को b के रूप में निरूपित करें, जिसके बाद हम पिछले अनुच्छेद के व्यंजक द्वारा कोष्ठक को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

प्रेरण द्वारा, इस कथन को प्रत्येक कोष्ठक में मनमाने शब्दों की संख्या तक बढ़ाया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ के नियमों का उपयोग करते हुए, परिणामी अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलना बाकी है, परिणामस्वरूप, हमें 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3 मिलता है।

गणित में नियम यह है कि कोष्ठकों के सामने (+) और (-) होने पर कोष्ठकों को खोलना एक अत्यंत आवश्यक नियम है।

यह व्यंजक तीन कारकों (2+4), 3 और (5+7 8) का गुणनफल है। कोष्ठक क्रमिक रूप से खोले जाने चाहिए। अब हम एक कोष्ठक को किसी संख्या से गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) है। वे घातें जिनके आधार कोष्ठकों में लिखे गए कुछ व्यंजक हैं, जिनमें प्राकृतिक संकेतककई कोष्ठकों के उत्पाद के रूप में सोचा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (a+b+c)2 को रूपांतरित करें। पहले, हम इसे दो कोष्ठकों (a + b + c) (a + b + c) के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, अब हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते हैं, हमें a a + a b + a c + b a + b b+b c+ प्राप्त होता है। सी ए+सी बी+सी सी।

आइए यह भी कहें कि दो संख्याओं के योग और अंतर को बढ़ाने के लिए प्राकृतिक डिग्रीन्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करना उचित है। उदाहरण के लिए, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2। प्रारंभिक रूप से विभाजन को गुणन से बदलना और फिर उत्पाद में कोष्ठक खोलने के लिए उपयुक्त नियम का उपयोग करना कम सुविधाजनक नहीं है।

उदाहरणों का उपयोग करके कोष्ठकों को खोलने के क्रम का पता लगाना बाकी है। व्यंजक (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7) लें। इन परिणामों को मूल व्यंजक में रखें: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) । यह केवल कोष्ठक के उद्घाटन को पूरा करने के लिए रहता है, परिणामस्वरूप हमारे पास −5+3 2:4+6 7 होता है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर, कोष्ठक खोले गए थे।

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठकों को खोलें और देखें कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

एक अलग डिग्री में कोष्ठक कैसे खोलें

उदाहरण उदाहरण और नियम। एक उदाहरण पर विचार करें: . आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिह्न से लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता है। टिप्पणी। संकेत केवल शर्तों के सामने उलट जाते हैं। कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले मेंवितरण संपत्ति याद रखें।

कोष्ठक में एकल संख्या

आपकी त्रुटि संकेतों में नहीं है, बल्कि इसमें है गलत कामअंशों के साथ? छठी कक्षा में, हम सकारात्मक मिले और ऋणात्मक संख्या. हम उदाहरणों और समीकरणों को कैसे हल करेंगे?

कोष्ठक में कितना है? इन भावों के बारे में क्या कहा जा सकता है? बेशक, पहले और दूसरे उदाहरणों का परिणाम समान है, इसलिए आप उनके बीच एक समान चिह्न लगा सकते हैं: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. तो हमने कोष्ठक के साथ क्या किया?

कोष्ठक खोलने के नियमों के साथ स्लाइड 6 का प्रदर्शन। इस प्रकार, कोष्ठक खोलने के नियम हमें उदाहरणों को हल करने, भावों को सरल बनाने में मदद करेंगे। इसके बाद, छात्रों को जोड़ियों में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाता है: कोष्ठक वाले व्यंजक को तीरों के साथ कोष्ठक के बिना संगत व्यंजक से जोड़ना आवश्यक है।

स्लाइड 11 वंस अपॉन ए टाइम सनी शहर Znayka और Dunno ने तर्क दिया कि उनमें से किसने समीकरण को सही ढंग से हल किया। अगला, छात्र स्वतंत्र रूप से समीकरण को हल करते हैं, कोष्ठक खोलने के नियमों को लागू करते हैं। समीकरणों को हल करना "पाठ के उद्देश्य: शैक्षिक (विषय पर ZUN को ठीक करना:" कोष्ठक खोलना।

पाठ का विषय: “कोष्ठक खोलना। इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। सबसे पहले, पहले दो कारकों को लिया जाता है, एक और कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और इन कोष्ठकों के अंदर, पहले से ज्ञात नियमों में से एक के अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं।

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ब्रैकेट खोलना: नियम और उदाहरण (ग्रेड 7)

कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है संख्यात्मक भाव . उदाहरण के लिए, में संख्यात्मक शब्दों में\(5 3+7\) गुणन की गणना पहले की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

हालांकि, अगर हम साथ काम कर रहे हैं बीजगणतीय अभिव्यक्ति युक्त चर- उदाहरण के लिए, इस तरह: \ (2 (x-3) \) - तो ब्रैकेट में मान की गणना करना असंभव है, चर हस्तक्षेप करता है। इसलिए, इस मामले में, इसके लिए उपयुक्त नियमों का उपयोग करते हुए, कोष्ठक "खोले गए" हैं।

ब्रैकेट विस्तार नियम

यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस चिह्न है, तो ब्रैकेट को आसानी से हटा दिया जाता है, इसमें अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में:

यहां यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथा है कि यदि यह व्यंजक में प्रथम है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो धनात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम \(+7+3\) नहीं लिखते हैं, लेकिन केवल \(7+3\), इस तथ्य के बावजूद कि सात भी है सकारात्मक संख्या. इसी तरह, यदि आप उदाहरण के लिए, व्यंजक \((5+x)\) देखते हैं - तो जान लें कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है.

उदाहरण . कोष्ठक खोलिए और समान पद दीजिए: \((x-11)+(2+3x)\)।
फेसला : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\)।

यदि कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न है, तो जब कोष्ठक हटा दिया जाता है, तो उसके अंदर के व्यंजक का प्रत्येक सदस्य चिह्न को विपरीत में बदल देता है:

यहां यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि a, जबकि यह कोष्ठक में था, एक प्लस चिह्न था (उन्होंने इसे अभी नहीं लिखा था), और ब्रैकेट को हटाने के बाद, यह प्लस एक माइनस में बदल गया।

उदाहरण : व्यंजक \(2x-(-7+x)\) को सरल कीजिए।
फेसला : कोष्ठक के अंदर दो पद हैं: \(-7\) और \(x\), और कोष्ठक से पहले एक ऋण है। इसका मतलब है कि संकेत बदल जाएंगे - और सात अब प्लस के साथ होंगे, और एक्स माइनस के साथ होगा। ब्रैकेट खोलें और समान शब्द लाओ .

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
फेसला : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

यदि कोष्ठक के सामने कोई गुणनखंड है, तो कोष्ठक के प्रत्येक सदस्य को इससे गुणा किया जाता है, अर्थात्:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठक में \(3\) और \(-x\) है, और कोष्ठक के सामने एक पांच है। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
फेसला : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
फेसला : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1. हम पहले ब्रैकेट को हटाते हैं - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
फेसला:

आइए आंतरिक ब्रैकेट (अंदर वाला) खोलकर कार्य शुरू करें। इसे खोलते हुए, हम केवल इस तथ्य से निपट रहे हैं कि यह सीधे इससे संबंधित है - यह स्वयं ब्रैकेट और इसके सामने का माइनस (हरे रंग में हाइलाइट किया गया) है। बाकी सब कुछ (चयनित नहीं) जैसा था वैसा ही फिर से लिखा गया है।

गणित में समस्याओं को ऑनलाइन हल करना

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एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल। एक बहुपद की अवधारणा

बीजगणित में जिन विभिन्न व्यंजकों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी के योग महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:

परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, एक द्विपद की एक तीसरी डिग्री होती है, और एक ट्रिनोमियल में एक सेकंड होता है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हुए। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठकों के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं और, यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग और वर्गों का अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे लगते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, - यह निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि a और b के योग का वर्ग है। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

अभिव्यक्तियों को मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित करना (सरल बनाना) आसान है, वास्तव में, आप बहुपदों को गुणा करते समय इस तरह के कार्य से पहले ही मिल चुके हैं:

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

- योग का वर्ग वर्गों के योग के बराबर होता है और गुणनफल का दोगुना होता है।

- अंतर का वर्ग दोहरे उत्पाद के बिना वर्गों के योग के बराबर है।

- वर्गों का अंतर योग के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

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ब्रैकेट विस्तार

हम बीजगणित की मूल बातों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। पर यह सबकहम सीखेंगे कि व्यंजकों में कोष्ठक कैसे खोलें। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

कोष्ठक खोलने के लिए, आपको केवल दो नियमों को दिल से सीखना होगा। नियमित अभ्यास से आप कोष्ठक खोल सकते हैं बंद आंखों से, और जिन नियमों को याद रखने की आवश्यकता है, उन्हें सुरक्षित रूप से भुलाया जा सकता है।

कोष्ठक विस्तार का पहला नियम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस अभिव्यक्ति का मूल्य है 2 . आइए इस व्यंजक में कोष्ठक खोलें। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है अभिव्यक्ति के अर्थ को प्रभावित किए बिना उनसे छुटकारा पाना। यानी कोष्ठक से छुटकारा पाने के बाद, अभिव्यक्ति का मूल्य 8+(−9+3) अभी भी दो के बराबर होना चाहिए।

पहला कोष्ठक विस्तार नियम इस तरह दिखता है:

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

तो हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति में 8+(−9+3) कोष्ठक के सामने एक प्लस है। यह प्लस कोष्ठक के साथ छोड़ा जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, कोष्ठक उनके सामने खड़े प्लस के साथ गायब हो जाएंगे। और जो कोष्ठक में था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

8−9+3 . यह अभिव्यक्तिबराबरी 2 , पिछले कोष्ठक की तरह अभिव्यक्ति के बराबर था 2 .

8+(−9+3) और 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

उदाहरण 2एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 3 + (−1 − 4)

कोष्ठक के आगे एक धन होता है, इसलिए यह जोड़ कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है। कोष्ठक में जो था वह अपरिवर्तित रहेगा:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2 + (−1)

पर यह उदाहरणकोष्ठकों का खुलना जोड़ के साथ घटाव को बदलने का एक प्रकार का उलटा ऑपरेशन बन गया है। इसका क्या मतलब है?

अभिव्यक्ति में 2−1 घटाव होता है, लेकिन इसे जोड़ से बदला जा सकता है। तब आपको अभिव्यक्ति मिलती है 2+(−1) . लेकिन अगर अभिव्यक्ति में 2+(−1) कोष्ठक खोलें, आपको मूल मिलता है 2−1 .

इसलिए, कुछ परिवर्तनों के बाद अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए पहले ब्रैकेट विस्तार नियम का उपयोग किया जा सकता है। यानी इसे कोष्ठक से हटाकर आसान बनाएं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक को सरल बनाते हैं 2a+a−5b+b .

इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए हम समान पदों को जोड़ सकते हैं। स्मरण करो कि लाने के लिए समान शब्द, आपको समान पदों के गुणांकों को जोड़ना होगा और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा:

एक अभिव्यक्ति मिली 3a+(−4b). इस अभिव्यक्ति में, कोष्ठक खोलें। कोष्ठक से पहले एक धन होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए पहले नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम कोष्ठकों को उन कोष्ठकों से पहले आने वाले जोड़ के साथ छोड़ देते हैं:

तो अभिव्यक्ति 2a+a−5b+bकरने के लिए सरलीकृत 3a−4b .

एक कोष्ठक खोलने के बाद, अन्य रास्ते में मिल सकते हैं। हम उन पर पहले की तरह ही नियम लागू करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें:

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इस मामले में, कोष्ठक का विस्तार करने के लिए पहला नियम लागू होता है, अर्थात्, कोष्ठकों को छोड़कर जो इन कोष्ठकों से पहले आता है:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 6+(−3)+(−2)

दोनों जगहों पर जहां कोष्ठक होते हैं, उनके आगे धन का चिह्न लगा होता है। यहाँ फिर से, पहला कोष्ठक विस्तार नियम लागू होता है:

कभी-कभी कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 1+(2+3−4) कोष्ठक में पहला पद 2 बिना चिन्ह के लिखा है। प्रश्न उठता है कि कोष्ठकों के सामने और कोष्ठक के सामने का जोड़ हटा दिए जाने के बाद ड्यूस से पहले कौन सा चिन्ह आएगा? जवाब खुद ही बताता है - ड्यूस के सामने एक प्लस होगा।

वास्तव में, कोष्ठक में होने पर भी ड्यूस के आगे एक प्लस होता है, लेकिन हम इसे इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि यह नीचे नहीं लिखा गया है। हम पहले ही कह चुके हैं कि सकारात्मक संख्याओं का पूर्ण अंकन ऐसा दिखता है +1, +2, +3. लेकिन प्लसस को पारंपरिक रूप से नहीं लिखा जाता है, यही वजह है कि हम उन सकारात्मक संख्याओं को देखते हैं जो हमसे परिचित हैं। 1, 2, 3 .

इसलिए, व्यंजक में कोष्ठक खोलने के लिए 1+(2+3−4) , आपको इन कोष्ठकों के सामने हमेशा की तरह प्लस के साथ कोष्ठकों को छोड़ना होगा, लेकिन पहले शब्द को कोष्ठक में प्लस चिह्न के साथ लिखें:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

उदाहरण 4एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −5 + (2 − 3)

कोष्ठकों के सामने एक धन होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए पहला नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठकों को उन कोष्ठकों से पहले आने वाले जोड़ के साथ छोड़ देते हैं। लेकिन पहला पद, जो कोष्ठक में धन चिह्न के साथ लिखा गया है:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

उदाहरण 5एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें (−5)

कोष्ठक से पहले एक प्लस है, लेकिन यह इस तथ्य के कारण नहीं लिखा गया है कि इससे पहले कोई अन्य संख्या या अभिव्यक्ति नहीं थी। हमारा काम कोष्ठक के विस्तार के लिए पहला नियम लागू करके कोष्ठक को हटाना है, अर्थात्, इस प्लस के साथ कोष्ठक को छोड़ना (भले ही यह अदृश्य हो)

उदाहरण 6एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2a + (−6a + b)

कोष्ठक के आगे एक धन होता है, इसलिए यह जोड़ कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है। कोष्ठक में जो लिखा था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

उदाहरण 7एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

इस अभिव्यक्ति में, दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। दोनों वर्गों में, कोष्ठक के सामने एक प्लस है, जिसका अर्थ है कि यह प्लस कोष्ठक के साथ छोड़ा गया है। कोष्ठक में जो लिखा था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a -2d

कोष्ठक खोलने का दूसरा नियम

अब आइए दूसरे कोष्ठक विस्तार नियम को देखें। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोष्ठक से पहले एक ऋण होता है।

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें

हम देखते हैं कि कोष्ठक से पहले एक ऋण है। तो आपको दूसरा विस्तार नियम लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात्, इन कोष्ठकों के सामने माइनस के साथ कोष्ठक को छोड़ दें। इस मामले में, जो शब्द कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देंगे:

हमें कोष्ठक के बिना एक व्यंजक मिला है 5+2+3 . यह व्यंजक 10 के बराबर है, ठीक वैसे ही जैसे कोष्ठक वाली पिछली व्यंजक 10 के बराबर थी।

इस प्रकार, भावों के बीच 5−(−2−3) और 5+2+3 आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

उदाहरण 2एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 6 − (−2 − 5)

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठकों को छोड़ देते हैं और साथ ही इन कोष्ठकों से पहले आने वाले ऋण को भी छोड़ देते हैं। इस मामले में, जो शब्द कोष्ठक में थे, वे विपरीत चिह्नों के साथ लिखे गए हैं:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

उदाहरण 3एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2 − (7 + 3)

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं:

उदाहरण 4एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −(−3 + 4)

उदाहरण 5एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है +(−9−2) आपको पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

उदाहरण 6एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -(-a−1)

उदाहरण 7एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -(4ए + 3)

उदाहरण 8एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें ए -(4बी + 3) + 15

उदाहरण 9एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें 2ए + (3b - b) - (3c + 5)

ऐसे दो स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक के विस्तार के लिए पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है -(3सी+5)आपको दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

उदाहरण 10एक व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें -ए - (−4a) + (−6b) - (−8c + 15)

ऐसे तीन स्थान हैं जहां आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले आपको कोष्ठक के विस्तार के लिए दूसरा नियम लागू करना होगा, फिर पहला, और फिर दूसरा:

-ए - (-4 ए) + (-6 बी) - (-8 सी + 15) = -ए + 4ए - 6बी + 8सी - 15

कोष्ठक विस्तार तंत्र

कोष्ठक खोलने के नियम, जिन पर हमने अब विचार किया है, गुणन के वितरण नियम पर आधारित हैं:

वास्तव में उद्घाटन कोष्ठकप्रक्रिया को कॉल करें जब सामान्य अवयवकोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा करें। इस तरह के गुणन के परिणामस्वरूप, कोष्ठक गायब हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

इसलिए, यदि आपको किसी संख्या को कोष्ठक में व्यंजक से गुणा करने की आवश्यकता है (या कोष्ठक में व्यंजक को किसी संख्या से गुणा करना है), तो आपको यह कहने की आवश्यकता है कोष्ठक खोलना.

लेकिन गुणन का वितरण नियम कोष्ठक खोलने के नियमों से कैसे संबंधित है, जिन पर हमने पहले विचार किया था?

तथ्य यह है कि किसी भी कोष्ठक से पहले एक सामान्य कारक होता है। उदाहरण में 3×(4+5)सामान्य कारक है 3 . और उदाहरण में ए (बी + सी)सामान्य कारक एक चर है ए।

यदि कोष्ठक से पहले कोई संख्या या चर नहीं हैं, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है 1 या −1 , इस पर निर्भर करता है कि कौन सा वर्ण कोष्ठक से पहले आता है। यदि कोष्ठक के आगे धन हो, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है 1 . यदि कोष्ठक के आगे ऋण है, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड है −1 .

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें -(3बी−1). कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है, अर्थात कोष्ठक से पहले ऋण के साथ कोष्ठक को छोड़ दें। और वह व्यंजक जो कोष्ठक में था, विपरीत चिह्नों के साथ लिखिए:

हमने कोष्ठक विस्तार नियम का उपयोग करके कोष्ठकों का विस्तार किया। लेकिन इन समान कोष्ठकों को गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके खोला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले कोष्ठक के सामने उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 लिखते हैं, जो नीचे नहीं लिखा गया था:

वह ऋण जो कोष्ठक के सामने खड़ा होता था, इस इकाई को संदर्भित करता है। अब आप गुणन के वितरण नियम को लागू करके कोष्ठक खोल सकते हैं। इसके लिए सामान्य कारक −1 आपको कोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

सुविधा के लिए, हम कोष्ठक में अंतर को योग से बदलते हैं:

−1 (3b −1) = -1 (3b + (−1)) = -1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

के रूप में पिछली बारहमें अभिव्यक्ति मिली −3बी+1. सभी इस बात से सहमत होंगे कि इस बार इतना सरल उदाहरण हल करने में अधिक समय लगा। इसलिए, कोष्ठक खोलने के लिए तैयार नियमों का उपयोग करना अधिक उचित है, जिसे हमने इस पाठ में माना है:

लेकिन यह जानकर दुख नहीं होता कि ये नियम कैसे काम करते हैं।

इस पाठ में, हमने एक और समान परिवर्तन सीखा। कोष्ठकों को खोलने के साथ, सामान्य को कोष्ठक से बाहर निकालने और समान पदों को लाने के साथ, हल किए जाने वाले कार्यों की सीमा को थोड़ा विस्तारित करना संभव है। उदाहरण के लिए:

यहां आपको दो क्रियाएं करने की आवश्यकता है - पहले कोष्ठक खोलें, और फिर समान शब्द लाएं। तो, क्रम में:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान पद देते हैं:

परिणामी अभिव्यक्ति में -10b+(−1)आप कोष्ठक खोल सकते हैं:

उदाहरण 2निम्नलिखित व्यंजक में कोष्ठक खोलिए और समान पद जोड़िए:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।इस बार, समय और स्थान बचाने के लिए, हम यह नहीं लिखेंगे कि गुणांक को सामान्य अक्षर भाग से कैसे गुणा किया जाता है

उदाहरण 3अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 8मी+3मीऔर इसका मान ज्ञात कीजिए एम=−4

1) आइए पहले व्यंजक को सरल करें। अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए 8मी+3मी, आप इसमें सामान्य कारक निकाल सकते हैं एमकोष्ठक के लिए:

2) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए मी(8+3)पर एम=−4. इसके लिए, अभिव्यक्ति में मी(8+3)एक चर के बजाय एमसंख्या बदलें −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

इस लेख में, हम इस तरह के बुनियादी नियमों पर करीब से नज़र डालेंगे महत्वपूर्ण विषयगणित के पाठ्यक्रम, कोष्ठक के उद्घाटन के रूप में। आपको उन समीकरणों को सही ढंग से हल करने के लिए कोष्ठक खोलने के नियमों को जानना होगा जिनमें उनका उपयोग किया जाता है।

जोड़ते समय कोष्ठक को ठीक से कैसे खोलें

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करें

यह सबसे सरल मामला है, क्योंकि यदि कोष्ठक के सामने एक जोड़ चिह्न है, जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो उनके अंदर के संकेत नहीं बदलते हैं। उदाहरण:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" चिन्ह से पहले कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको कोष्ठक के बिना सभी शब्दों को फिर से लिखना होगा, लेकिन साथ ही उनके अंदर के सभी संकेतों को विपरीत में बदलना होगा। संकेत केवल उन कोष्ठकों की शर्तों के लिए बदलते हैं जो "-" चिह्न से पहले थे। उदाहरण:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

गुणा करते समय कोष्ठक कैसे खोलें

कोष्ठक एक गुणक से पहले होते हैं

इस मामले में, आपको प्रत्येक पद को एक गुणनखंड से गुणा करना होगा और चिह्नों को बदले बिना कोष्ठकों को खोलना होगा। यदि गुणक का चिन्ह "-" है, तो गुणा करने पर पदों के चिन्ह उलट जाते हैं। उदाहरण:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

उनके बीच गुणन चिह्न के साथ दो कोष्ठक कैसे खोलें

इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। उदाहरण:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

एक वर्ग में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि दो पदों के योग या अंतर को चुकता किया जाता है, तो कोष्ठकों को निम्नलिखित सूत्र के अनुसार विस्तारित किया जाना चाहिए:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2।

कोष्ठक के अंदर ऋणात्मक होने की स्थिति में, सूत्र नहीं बदलता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

एक अलग डिग्री में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि शब्दों का योग या अंतर बढ़ा दिया जाता है, उदाहरण के लिए, तीसरी या चौथी शक्ति तक, तो आपको बस ब्रैकेट की डिग्री को "वर्गों" में तोड़ने की जरूरत है। समान कारकों की शक्तियों को जोड़ा जाता है, और विभाजित करते समय, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाया जाता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 कोष्ठक कैसे खोलें

ऐसे समीकरण हैं जिनमें 3 कोष्ठक एक साथ गुणा किए जाते हैं। इस मामले में, आपको पहले पहले दो कोष्ठकों के पदों को आपस में गुणा करना होगा, और फिर इस गुणन के योग को तीसरे कोष्ठक के पदों से गुणा करना होगा। उदाहरण:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

ये ब्रैकेट खोलने के नियम रैखिक और त्रिकोणमितीय समीकरणों दोनों पर समान रूप से लागू होते हैं।

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें संख्यात्मक रूप से संचालन किया जाता है और शाब्दिक भाव, साथ ही चर के साथ भावों में। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु. गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथागत है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + ​​(+5 + x) है। पंज।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठकों को खोलिए, कोष्ठक में प्लस से पहले, तो कोष्ठक में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।

उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और कोष्ठक में मौजूद संकेतों को विपरीत वाले में बदलते हैं।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणनखंड से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

इस प्रकार, कार्यों में कोष्ठक के अनुसार विस्तार किया जाता है वितरण की जाने वाली संपत्तिगुणन।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।

उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी

मैं शिक्षण के विषय पर पद्धतिगत लेखों की एक श्रृंखला जारी रखता हूं। सुविधाओं पर विचार करने का समय आ गया है व्यक्तिगत काम 7 वीं कक्षा के छात्रों के साथ गणित का ट्यूटर. बड़ी खुशी के साथ मैं इनमें से किसी एक को प्रस्तुत करने के रूपों पर अपने विचार साझा करूंगा प्रमुख विषयग्रेड 7 में बीजगणित पाठ्यक्रम - "शुरुआती कोष्ठक।" विशालता को गले लगाने की कोशिश न करने के लिए, आइए उस पर ध्यान दें प्राथमिक स्कूलऔर एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करके शिक्षक की कार्यप्रणाली का विश्लेषण करें। कैसे गणित शिक्षकमें मान्य कठिन स्थितियां, जब कमजोर छात्रनहीं समझता क्लासिक आकारस्पष्टीकरण? एक मजबूत सातवीं कक्षा के लिए कौन से कार्य तैयार किए जाने चाहिए? आइए इन और अन्य प्रश्नों पर विचार करें।

ऐसा लगता है, अच्छा, क्या मुश्किल है? "कोष्ठक आसान हैं," कोई भी अच्छा छात्र कहेगा। "मोनोमियल के साथ काम करने के लिए एक वितरण कानून और डिग्री के गुण हैं, किसी भी संख्या के लिए एक सामान्य एल्गोरिदम। प्रत्येक को गुणा करके समान लाओ। हालांकि, पिछड़ने के साथ काम करने में सब कुछ इतना आसान नहीं है। गणित ट्यूटर के प्रयासों के बावजूद, छात्र सरलतम परिवर्तनों में भी विभिन्न कैलिबर की गलतियाँ करने का प्रबंधन करते हैं। त्रुटियों की प्रकृति इसकी विविधता में हड़ताली है: अक्षरों और संकेतों के छोटे चूक से लेकर गंभीर मृत-अंत तक "त्रुटियों को रोकें"।

विद्यार्थी को परिवर्तनों को सही ढंग से करने से क्या रोकता है? गलतफहमी क्यों है?

व्यक्तिगत समस्याएं हैं बड़ी भीड़और सामग्री के आत्मसात और समेकन के लिए मुख्य बाधाओं में से एक है समय पर और त्वरित ध्यान स्विच करने में कठिनाई, बड़ी मात्रा में जानकारी को संसाधित करने में कठिनाई। कुछ लोगों को यह अजीब लग सकता है जिसके बारे में मैं बात कर रहा हूँ बड़ी मात्रा में, लेकिन कक्षा 7 के कमजोर छात्र के पास चार बार के लिए भी पर्याप्त स्मृति और ध्यान संसाधन नहीं हो सकते हैं। गुणांक, चर, डिग्री (संकेतक) हस्तक्षेप करते हैं। छात्र संक्रियाओं के क्रम को भ्रमित करता है, यह भूल जाता है कि कौन से एकपदी पहले से ही गुणा किए जा चुके हैं और जो अछूते रह गए हैं, याद नहीं रख सकते कि उन्हें कैसे गुणा किया जाता है, आदि।

गणित शिक्षक का संख्यात्मक दृष्टिकोण

बेशक, आपको एल्गोरिथ्म के निर्माण के तर्क की व्याख्या के साथ शुरुआत करने की आवश्यकता है। यह कैसे करना है? हमें कार्य निर्धारित करने की आवश्यकता है: अभिव्यक्ति में क्रियाओं के क्रम को कैसे बदला जाए परिणाम बदले बिना? मैं अक्सर विशिष्ट संख्याओं पर कुछ नियमों के संचालन की व्याख्या करने वाले उदाहरण देता हूं। और फिर मैं उन्हें अक्षरों से बदल देता हूं। संख्यात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करने की तकनीक का वर्णन नीचे किया जाएगा।

प्रेरणा की समस्या.
पाठ की शुरुआत में, गणित के ट्यूटर के लिए एक छात्र को इकट्ठा करना मुश्किल होता है यदि वह अध्ययन की जा रही प्रासंगिकता को नहीं समझता है। ग्रेड 6-7 के कार्यक्रम के ढांचे के भीतर, बहुपद गुणन नियम का उपयोग करने के उदाहरण खोजना मुश्किल है। मैं सीखने की आवश्यकता पर जोर दूंगा भावों में क्रियाओं का क्रम बदलेंतथ्य यह है कि यह समस्याओं को हल करने में मदद करता है, छात्र को समान शब्दों को जोड़ने के अनुभव से जानना चाहिए। समीकरणों को हल करते समय उन्हें उन्हें भी जोड़ना था। उदाहरण के लिए, 2x+5x+13=34 में वह उस 2x+5x=7x का उपयोग करता है। एक गणित शिक्षक को बस इस पर छात्र का ध्यान केंद्रित करने की जरूरत है।

गणित के शिक्षक अक्सर कोष्ठक खोलने की तकनीक कहते हैं फव्वारा नियम.

यह छवि अच्छी तरह से याद की जाती है और इसका उपयोग किया जाना चाहिए। लेकिन यह नियम कैसे सिद्ध होता है? स्पष्ट पहचान परिवर्तनों का उपयोग करके शास्त्रीय रूप को याद करें:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

गणित के शिक्षक के लिए यहां किसी भी चीज पर टिप्पणी करना मुश्किल है। पत्र अपने लिए बोलते हैं। हां, और ग्रेड 7 . के एक मजबूत छात्र द्वारा इसकी आवश्यकता नहीं है विस्तृत व्याख्या. हालांकि, कमजोर के साथ क्या करना है, जो बिंदु-रिक्त इस "वर्णमाला मिश्मश" में कोई सामग्री नहीं देखता है?

"फव्वारा" के शास्त्रीय गणितीय औचित्य की धारणा में बाधा डालने वाली मुख्य समस्या पहला कारक लिखने का असामान्य रूप है। न तो 5वीं कक्षा में और न ही 6वीं कक्षा में छात्र को पहले कोष्ठक को दूसरे के प्रत्येक पद तक खींचना पड़ा। बच्चे केवल संख्याओं (गुणांक) से निपटते हैं, जो अक्सर कोष्ठक के बाईं ओर स्थित होते हैं, उदाहरण के लिए:

छठी कक्षा के अंत तक, छात्र विकसित होता है दृश्य छविवस्तु - कोष्ठक से जुड़े संकेतों (क्रियाओं) का एक निश्चित संयोजन। और किसी नई चीज़ की ओर सामान्य नज़र से कोई भी विचलन सातवें ग्रेडर को भटका सकता है। यह "नंबर + ब्रैकेट" जोड़ी की दृश्य छवि है जिसे गणित शिक्षक समझाते समय प्रचलन में ले लेता है।

निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रस्तुत किया जा सकता है। ट्यूटर का तर्क है: "यदि कोष्ठक के सामने कुछ संख्या थी, उदाहरण के लिए 5, तो हम कर सकते थे कार्रवाई के पाठ्यक्रम को बदलेंइस अभिव्यक्ति में? निश्चित रूप से। फिर हम इसे करेंगे . इस बारे में सोचें कि क्या इसका परिणाम बदल जाएगा यदि हम संख्या 5 के बजाय कोष्ठक में संलग्न 2 + 3 का योग दर्ज करते हैं? कोई भी छात्र ट्यूटर से कहेगा: "इससे क्या फर्क पड़ता है कि कैसे लिखना है: 5 या 2 + 3।" पूरी तरह से। एक रिकॉर्ड प्राप्त करें। गणित का ट्यूटर एक छोटा विराम लेता है ताकि छात्र को वस्तु की तस्वीर-छवि को दृष्टिगत रूप से याद रहे। फिर वह अपना ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता है कि कोष्ठक, संख्या की तरह, प्रत्येक पद के लिए "वितरित" या "कूद" गया। इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यह ऑपरेशनन केवल एक संख्या के साथ, बल्कि एक ब्रैकेट के साथ भी किया जा सकता है। हमें दो जोड़ी गुणनखंड और . उनके साथ ज्यादातरछात्र आसानी से अपने दम पर सामना कर सकते हैं और ट्यूटर को परिणाम लिख सकते हैं। परिणामी युग्मों की तुलना कोष्ठक 2+3 और 6+4 की सामग्री से करना महत्वपूर्ण है और यह स्पष्ट हो जाएगा कि वे कैसे खुलते हैं।

यदि आवश्यक हो, तो संख्याओं के साथ उदाहरण के बाद, गणित का शिक्षक एक शाब्दिक प्रमाण का संचालन करता है। यह पिछले एल्गोरिथम के समान भागों के माध्यम से एक काकवॉक निकला।

कोष्ठक खोलने के कौशल का गठन

कोष्ठकों को गुणा करने के कौशल का निर्माण इनमें से एक है मील के पत्थरएक विषय के साथ गणित में एक शिक्षक का काम। और "फव्वारा" नियम के तर्क को समझाने के चरण से भी अधिक महत्वपूर्ण है। क्यों? परिवर्तनों के औचित्य को अगले ही दिन भुला दिया जाएगा, और कौशल, यदि इसे समय पर बनाया और तय किया गया है, तो रहेगा। छात्र यांत्रिक रूप से ऑपरेशन करते हैं, जैसे कि स्मृति से गुणन तालिका निकाल रहे हों। यही हासिल करने की जरूरत है। क्यों? यदि छात्र हर बार कोष्ठक को खोलता है, तो उसे याद होगा कि वह इसे इस तरह क्यों खोलता है और अन्यथा नहीं, वह उस समस्या को भूल जाएगा जिसे वह हल कर रहा है। यही कारण है कि गणित के शिक्षक शेष पाठ को समझ को रटने में बदलने में खर्च करते हैं। यह रणनीति अक्सर अन्य विषयों में भी प्रयोग की जाती है।

एक ट्यूटर एक विद्यार्थी में कोष्ठक खोलने का कौशल कैसे विकसित कर सकता है? ऐसा करने के लिए, 7 वीं कक्षा के छात्र को समेकित करने के लिए पर्याप्त मात्रा में अभ्यास की एक श्रृंखला करनी चाहिए। इससे एक और समस्या पैदा होती है। एक कमजोर सातवां ग्रेडर परिवर्तनों की बढ़ी हुई संख्या का सामना नहीं कर सकता। छोटे वाले भी। और एक के बाद एक गलतियां आती रहती हैं। गणित के शिक्षक को क्या करना चाहिए? सबसे पहले, प्रत्येक पद से प्रत्येक के लिए तीरों को चित्रित करने की अनुशंसा करना आवश्यक है। यदि छात्र बहुत कमजोर है और जल्दी से एक प्रकार के काम से दूसरे में स्विच करने में सक्षम नहीं है, शिक्षक से सरल आदेशों को निष्पादित करते समय एकाग्रता खो देता है, तो गणित का शिक्षक इन तीरों को स्वयं खींचता है। और सब एक बार में नहीं। सबसे पहले, शिक्षक बाएँ कोष्ठक के पहले पद को दाएँ कोष्ठक के प्रत्येक पद से जोड़ता है और उपयुक्त गुणन करने के लिए कहता है। उसके बाद ही तीर दूसरे पद से उसी दाएँ कोष्ठक में जाते हैं। दूसरे शब्दों में, ट्यूटर प्रक्रिया को दो चरणों में विभाजित करता है। पहले और दूसरे ऑपरेशन के बीच एक छोटा अस्थायी विराम (5-7 सेकंड) बनाए रखना बेहतर है।

1) तीरों का एक सेट भावों के ऊपर और दूसरा सेट उनके नीचे खींचा जाना चाहिए।
2) कम से कम लाइनों के बीच छोड़ना महत्वपूर्ण है कोशिकाओं की जोड़ी. अन्यथा, रिकॉर्ड बहुत घना होगा, और तीर न केवल पिछली पंक्ति पर चढ़ेंगे, बल्कि अगले अभ्यास के तीरों के साथ भी मिल जाएंगे।

3) प्रारूप 3 से 2 में कोष्ठकों को गुणा करने की स्थिति में, छोटे कोष्ठक से लंबे कोष्ठक तक तीर खींचे जाते हैं। अन्यथा, ये "फव्वारे" दो नहीं, बल्कि तीन होंगे। तीरों के लिए खाली जगह की कमी के कारण तीसरे का कार्यान्वयन अधिक जटिल है।
4) तीर हमेशा एक बिंदु से निर्देशित होते हैं। मेरा एक छात्र उन्हें साथ-साथ रखने की कोशिश करता रहा और उसने यही किया:

इस तरह की व्यवस्था वर्तमान अवधि को निर्धारित करने और ठीक करने की अनुमति नहीं देती है, जिसके साथ छात्र प्रत्येक चरण में काम करता है।

शिक्षक की उंगलियों का काम

4) ध्यान रखने के लिए एक अलग युगलगुणा शब्द, गणित ट्यूटर उन पर दो उंगलियां डालता है। यह इस तरह से किया जाना चाहिए कि छात्र के दृष्टिकोण को अवरुद्ध न करें। सबसे असावधान छात्रों के लिए, आप "स्पंदन" विधि का उपयोग कर सकते हैं। गणित ट्यूटर पहली उंगली को तीर की शुरुआत में लाता है (किसी एक पद पर) और इसे ठीक करता है, और दूसरा इसके अंत में "दस्तक" देता है (दूसरे कार्यकाल पर)। स्पंदन उस शब्द पर ध्यान केंद्रित करने में मदद करता है जिससे छात्र गुणा करता है। दाएँ कोष्ठक से पहली बार गुणा करने के बाद, गणित का शिक्षक कहता है: "अब हम दूसरे पद के साथ काम करते हैं।" ट्यूटर एक "स्थिर उंगली" को उसके पास ले जाता है, और "धड़कन" दूसरे ब्रैकेट से शर्तों पर चलता है। स्पंदन एक कार में "टर्न सिग्नल" की तरह काम करता है और आपको एक अनुपस्थित-दिमाग वाले छात्र का ध्यान उसके द्वारा किए जा रहे ऑपरेशन पर आकर्षित करने की अनुमति देता है। अगर बच्चा छोटा लिखता है, तो उंगलियों की जगह दो पेंसिल का इस्तेमाल किया जाता है।

दोहराव अनुकूलन

जैसा कि बीजगणित के पाठ्यक्रम में किसी अन्य विषय के अध्ययन में होता है, बहुपदों के गुणन को पहले से कवर की गई सामग्री के साथ एकीकृत किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, गणित ट्यूटर विशेष पुल कार्यों का उपयोग करता है जो आपको विभिन्न में अध्ययन के आवेदन को खोजने की अनुमति देता है गणितीय वस्तुएं. वे न केवल विषयों को एक पूरे में जोड़ते हैं, बल्कि गणित के पूरे पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति को बहुत प्रभावी ढंग से व्यवस्थित करते हैं। और शिक्षक जितने अधिक पुल बनाता है, उतना ही अच्छा है।

परंपरागत रूप से, ग्रेड 7 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, कोष्ठक के उद्घाटन को रैखिक समीकरणों के समाधान के साथ एकीकृत किया जाता है। संख्याओं की सूची के अंत में हमेशा निम्न क्रम के कार्य होते हैं: समीकरण को हल करें। कोष्ठक खोलते समय, वर्ग कम हो जाते हैं और समीकरण को कक्षा 7 के माध्यम से आसानी से हल किया जाता है। हालांकि, किसी कारण से, पाठ्यपुस्तकों के लेखक सुरक्षित रूप से एक रेखीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के बारे में भूल जाते हैं। इस कमी को दूर करने के लिए, मैं गणित के ट्यूटर्स को कोष्ठक में शामिल करने की सलाह दूंगा विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति रैखिक कार्य, उदाहरण के लिए । ऐसे अभ्यासों पर, छात्र न केवल समान परिवर्तनों को करने के कौशल को प्रशिक्षित करता है, बल्कि रेखांकन भी दोहराता है। आप दो "राक्षसों" के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए कह सकते हैं, निर्धारित करें आपसी व्यवस्थारेखाएँ, कुल्हाड़ियों के साथ उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु ज्ञात करें, आदि।

कोलपकोव ए.एन. स्ट्रोगिनो में गणित के शिक्षक। मास्को