111. भुजाओं AB और BC से संबंधित बिंदुओं M और K से होकर त्रिकोण एबीसीतदनुसार, एक प्रत्यक्ष एमसी किया गया था, पार्श्व समानांतरजैसा। SK की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि BC = 12, MK = 8 और AC = 18 (चित्र 181)। (1)

समाधान। CS को x से निरूपित करते हैं। फिर वीके \u003d 12 - एक्स। त्रिभुज ABC और MVK की समानता से यह इस प्रकार है: MK/BK = AC/BC; 8/(12 - x) = 18/12; एक्स = 20/3।

उत्तर: 20/3।

112. आयताकार समद्विबाहु त्रिकोणएक आयत खुदा हुआ है ताकि आयत का कोण त्रिकोण के शीर्ष पर कोण के साथ मेल खाता है, और शीर्ष विपरीत कोनाकर्ण पर स्थित है। सिद्ध कीजिए कि आयत का परिमाप एक स्थिर मान होता है दिया गया त्रिकोण(चित्र। 182)। (1)

समाधान। माना AB = AC = a, DE = x; एडी = वाई। तब डीबी = ए - वाई; एफसी \u003d ए - एक्स। त्रिभुज DEB त्रिभुज FCE के समान है, इसलिए DE/DB = FC/FE; एक्स / (ए - वाई) \u003d (ए - एक्स) / वाई; xy2 \u003d a2 - ay - ah + xy; एक्स + वाई = ए; PADEF \u003d 2 (x + y) \u003d 2a, यानी x और y पर निर्भर नहीं करता है।

113. एक समकोण त्रिभुज ABC में, कोण A एक समकोण है। हटाई गई ऊंचाई AD, बराबर? 5. उत्पाद बीडी खोजें? डीसी (चित्र। 183)। (1)

समाधान। त्रिभुज ADB और ADC समान हैं (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC)। तो बीडी/एडी = एडी/डीसी; बीडी? DC = AD2= (?5)2= 5।

114. त्रिभुज ABC में ऊँचाई AD और CE खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC और DBE समरूप हैं। क्या गुणांक के बराबर हैसमानता (चित्र। 184)? (2)

समाधान। से सही त्रिकोणसब: बीई = एसयू? cos B. से? ABD: BD = AB? cos B. इसलिए, त्रिभुज BDE की दो भुजाएँ BD और BE त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के समानुपाती हैं, और कोण B (आनुपातिक भुजाओं के बीच का कोण) त्रिभुज के लिए उभयनिष्ठ है। ?BDE ~ ?ABC दो तरफ और उनके बीच एक कोण।

उत्तर: समानता = cos B.

115. में समान भुजाओं वाला त्रिकोणअंकित घेरा। तीन छोटे वृत्त इस वृत्त और त्रिभुज की भुजाओं को स्पर्श करते हैं। त्रिभुज की भुजा ज्ञात कीजिए यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या 1 है (चित्र 185)। (2)

समाधान। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज ABC में कोण एबीसी\u003d 60 °, फिर? OBM \u003d 30 ° (अंजीर देखें।)। केंद्र O और O1 से हम भुजा BC पर लंब OM और O1T बनाते हैं। शर्त के अनुसार, O1T और O1K 1 के बराबर हैं। हम खंड OM और OK की लंबाई को R से निरूपित करते हैं। यह त्रिभुज BTO1 से अनुसरण करता है कि BO1 = O1T/sin 30° = 1/0.5 = 2। दो कोणों में समान हैं (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM - सामान्य)। इसका अर्थ है कि O1T/O1B = OM/OB;

अब हम समबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या जानते हैं। इसके किनारे की लंबाई का पता लगाना बाकी है। त्रिभुज से BOM इस प्रकार है BM = OM ? सीटीजी ?ओबीएम = 3?3। तब BC = 2BM = 6?3.

उत्तर: 6?3.

116. एक बिंदु से एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई 12 सेमी है, और स्पर्शरेखा बिंदुओं के बीच की दूरी 14.4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करें (चित्र। 186)। (2)

समाधान। मान लीजिए OA और OB C पर केंद्रित वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं; ए और बी संपर्क बिंदु हैं। फिर दप? ओवी, एसए? ओए। साथ ही, ओएस? AB और इस भुजा को समद्विभाजित करता है। OA = 12 सेमी, AM = 1/2 AB = 7.2 सेमी।

MOA \u003d?AOC (पारस्परिक रूप से लंबवत पक्षों के साथ कोण), जिसका अर्थ है? OAC समान है? OAM; तब

उत्तर: 9 सेमी.

117. त्रिज्या 3 के एक वृत्त का केंद्र O समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित है। त्रिभुज के पाद वृत्त को स्पर्श करते हैं। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि खंड OS की लंबाई 5 है (चित्र 187)। (3)

समाधान। मान लीजिए ABC समस्या कथन में दिया गया त्रिभुज है। AB और BC भुजाओं वाले वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदुओं को क्रमशः M और N से निरूपित करें। इन बिंदुओं को वृत्त के केंद्र O से जोड़ने पर, हमें वर्ग MBNO प्राप्त होता है, और इसलिए BN = OM = 3. त्रिभुज ONC आयताकार है, इसमें OS = 5, ON = 3. इसलिए,

1

7-2। विकृतियों की दुनिया।

लोच का सिद्धांत केवल पांच प्रकार के निकायों के विरूपण को जानता है: संपीड़न, तनाव, कतरनी, झुकाव और मरोड़, जो ज्ञात परिवर्तनों से एक-दूसरे को कम नहीं किया जा सकता है। वहीं, मैकेनिक्स में कई हैं व्याख्यात्मक उदाहरण करीबी रिश्ता, संपीड़न और तनाव का सहवर्ती (चित्र 11), कतरनी और झुकना (चित्र 12), कतरनी और मरोड़, आदि। इन उदाहरणों से, इस तरह की संगत का अजीबोगरीब पदानुक्रम स्वयं स्पष्ट है:

चावल। 11 अंजीर। 12

1. खिंचाव के साथ संपीड़न होता है।

2. अपरूपण के साथ संपीडन और तनाव होता है।

3. झुकना संपीड़न, तनाव और कतरनी के साथ होता है।

4. मरोड़ के साथ संपीडन, तनाव, अपरूपण और बंकन होता है।

दरअसल, विकृत माध्यम के कुछ बिंदु पर सामान्य तनाव घटकों को निरूपित करते हुए, और स्पर्शरेखा तनाव घटकों के रूप में, हम लिख सकते हैं प्रसिद्ध अभिव्यक्तितनाव टेन्सर के लिए जिससे सभी तनाव घटकों का प्रभाव स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है:

. (6)

जैसा कि ज्ञात है, विकृत माध्यम के किसी बिंदु पर सामान्य तनाव की सतह का समीकरण आयताकार प्रणालीनिर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

विशेष मामलों में, ऐसी सतह चित्र में दिखाए गए में से किसी एक पर ले सकती है। 13 (गोला), अंजीर। 14 (टोरस) और अंजीर। 15 (मुड़ टोरस) प्रकार:

चावल। 13 अंजीर। 14 अंजीर। 15

दूसरे शब्दों में, अगली प्रकार की विकृतियाँ नई संभावनाओं से जुड़ी हैं, विकृत वस्तु के नए गुणों का उदय, जैसा कि दुनिया के आयाम को बढ़ाने की प्रक्रिया के लिए विशिष्ट है। इसलिए, हमें विकृतियों की दुनिया का प्रतिनिधित्व करने का अधिकार है बहुआयामी स्थान, जिसमें "अतिरिक्त" संपत्ति दी गई विकृति की अतिरिक्त क्षमता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 16. साथ ही, प्रत्येक नए प्रकार के विरूपण को एक अतिरिक्त दिशा देकर, हमें सभी तीन आयामों को "असाइन" करना होगा। पूर्वगामी के आधार पर, विकृतियों का एक अजीब पदानुक्रम उचित लगता है:

1. संपीड़न। 2. खिंचाव। 3. शिफ्ट। 4. झुकना। 5. मरोड़।

उपरोक्त विचारों के संबंध में, लोच के सिद्धांत से सेंट-वेनेंट के तथाकथित "विरूपण की अनुकूलता की स्थिति" को याद करना उचित है, जो माध्यम की निरंतरता को निर्धारित करता है। जैसा कि हमने अपने काम में पाया है, मुख्य सिद्धांतटोपोलॉजीज - निरंतरता हमारे विश्व की मुख्य संपत्ति का प्रतिबिंब है - इसके पदार्थ की निरंतरता। इस प्रकार, मात्रात्मक वृद्धि अतिरिक्त गंतव्य(गुण, क्षमता, अवसर ...) नए के उद्भव की ओर ले जाता है गुणात्मक विशेषताएं, मात्राएँ, पैरामीटर ... केवल दो प्रकार के पदार्थ (पदार्थ और क्षेत्र) की वस्तुनिष्ठता पर ज्ञात अनुभवजन्य प्रावधानों के साथ और "बस" गति की प्रकृति में अनुपस्थिति के साथ आयाम की श्रेणियों के हमारे गुणकारी-पर्याप्त दृष्टिकोण की तुलना करना "पूर्ण" स्थान के सापेक्ष विस्थापन के रूप में शून्यता, हमें यह स्वीकार करना होगा कि सभी भौतिक वस्तुओं के लिए फ़ील्ड या वास्तविक निकायों के रूप में यह माना जाता है सामान्य परिस्थिति, जिसमें सभी भौतिक वस्तुएं (निकाय और क्षेत्र) स्थानीयकृत हैं, स्थापित कानूनों के अनुसार एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं।

अरस्तू के समय से भौतिकी का इतिहास बार-बार ईथर के विचार में आया है - एक निश्चित पदार्थ जिसमें हम सभी प्रक्रियाओं का निरीक्षण करते हैं। इन परिकल्पनाओं के कालक्रम को यहां दोहराए बिना, मैं पाठक को पहले से ही लेखकों के पास भेजूंगा
20वीं शताब्दी में जिन्होंने अपनी समान परिकल्पनाओं को सामने रखा, जो कभी उत्पादक सिद्धांत नहीं बने, क्योंकि वे ईथर परिकल्पना के प्रसिद्ध विरोधाभासों को दूर नहीं कर सके। पाठक का जिक्र करते हुए पूर्ण पाठउल्लेखित विचारकों के कार्य, मैं यहां केवल एक कुंजी उद्धृत करूंगा यह दिशाउल्लिखित लेखकों में से प्रत्येक के विचार:

"... अंतरिक्ष एक एकता है जिसमें आकार उस मात्रा की सतह पर स्थित कणों द्वारा बनता है जिसे वे शून्य से काटते हैं, और सामग्री घनत्व और इस मात्रा को भरने वाले कण हैं ..." (देखें, पी। 45 और आगे)।

"... इस प्रकार, सभी आवश्यकताओं की समग्रता के अनुसार सबसे अच्छा तरीकासूक्ष्म जगत के गुण गैस जैसे माध्यम से संतुष्ट होते हैं ... ”(देखें, पृष्ठ 46 और आगे)।

"... शास्त्रीय गतिकी और क्वांटम यांत्रिकीपरमाणु सिद्धांत की दो अतिरिक्त प्रक्रियाएँ हैं...” (देखें, पृष्ठ 18 et seq.)।

"...इस प्रकार, एक ग्लोब्यूल है प्राथमिक इकाईगैस और तरल का वृहत आयतन, जो द्रव्यमान, ऊर्जा और स्थान की एकता को जोड़ता है, और साथ ही, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, विद्युत शुल्क... "(देखें, पृष्ठ 10 और आगे)।

स्पष्ट करने के उद्देश्य से वस्तुनिष्ठ कारणईथर परिकल्पनाओं के कई रूपों की उन व्यवस्थित विफलताओं के बारे में, मुझे प्रकाशन के अल्प संचलन को देखते हुए, उल्लेखित लेख से खुद को उद्धृत करना होगा: "1935 में, नील्स बोह्र ने अपने काम में क्वांटम भौतिकीमहामारी विज्ञान के निष्कर्ष पर पहुंचे कि सूक्ष्म जगत में घटनाएँ यांत्रिक स्तर पर समझ में आती हैं। विशेष रूप से, उनका "ग्रहीय" मॉडल, कक्षाओं में इलेक्ट्रॉनों और परमाणु नाभिक में प्रोटॉन के बीच विद्युत बलों के यांत्रिक संतुलन पर बनाया गया है और केन्द्रापसारक बलकक्षाओं में इलेक्ट्रॉन गति की जड़ता, पूरक क्वांटम सिद्धांत, न केवल गैर-विशेषज्ञों के लिए भी समझने योग्य निकला, बल्कि परमाणु भौतिकी में भी सबसे अधिक उत्पादक था। इस मॉडल में कई परिवर्धन और परिवर्तनों के बावजूद सदियों का इतिहासविकास परमाणु भौतिकी, यह न केवल सबसे उद्देश्यपूर्ण, बल्कि परमाणु का बहुत ही उत्पादक मॉडल निकला। बोह्र के इस सिद्धांत का अनुपालन, उदाहरण के लिए, आनुवंशिकी में जीवित जीवों में आनुवंशिकता के तंत्र की व्याख्या करने के लिए सामग्री वाहक- गुणसूत्रों ने जीव विज्ञान में इन पूरी तरह से गैर-यांत्रिक प्रक्रियाओं को आश्चर्यजनक रूप से और पूरी तरह से समझना संभव बना दिया, जीव विज्ञान में एक नई दिशा के विकास में एक शक्तिशाली प्रेरणा के रूप में कार्य किया - आनुवंशिकी, आदि। पाठक को विज्ञान के इतिहास से यादों को पीछे छोड़ते हुए बोह्र सिद्धांत की विजय के कई तथ्यों में से, यहाँ केवल इसकी सार्वभौमिकता पर जोर देना आवश्यक है, जिसे निष्पक्षता की कसौटी के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है: पत्र-व्यवहार वैज्ञानिक अनुमानबोर का सिद्धांत इस निष्कर्ष की वस्तुनिष्ठता की पुष्टि करता है।

7-3। विकृतियों की दुनिया में व्यवहार:

आइए DEPHON को सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव के संकेतित घटकों के साथ बिंदु O पर स्थानीय विरूपण के आसपास विकृत माध्यम के पड़ोस में कॉल करें, जिनमें से सतहें अंजीर में ऊपर दिखाई गई हैं। 6 अंजीर। 7 और अंजीर। 8. यह स्पष्ट है कि पदार्थ जगत में विकृतियों का है भौतिक गुण, जिसके लिए हमारे पास भौतिकी में अपने पारंपरिक विचारों (घनत्व, तापमान, चिपचिपाहट, लोच, आदि के बारे में) का विस्तार करने का कोई कारण नहीं है, इसलिए हम इस प्रश्न को अभी के लिए खुला छोड़ने के लिए मजबूर हैं। फिलहाल हम केवल यह मान सकते हैं कि ये संपत्तियां संपत्तियों के करीब हैं भौतिक निर्वात, अनुमानित विचार जिनके बारे में हमारे पास निकट के वाद्य अध्ययन के परिणामों पर आधारित है वाह़य ​​अंतरिक्ष: तापमान करीब परम शून्य, चिपचिपाहट अल्ट्रालो तापमान आदि पर सुपरफ्लुइडिटी से मेल खाती है। साथ ही, ऊपर उल्लिखित विकृतियों की संगतता की संपत्ति से (आइटम 2 के अनुसार चित्र 4 देखें), यह स्पष्ट है कि इस तरह के संपीड़न DEFONE में पदार्थ का घनत्व अधिक घनत्वपदार्थ इसके आसपास के क्षेत्र में है, जिसे रेखांकन द्वारा कुछ निर्भरता द्वारा दर्शाया जा सकता है, (8) जहां बिंदु O पर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 17. चूँकि इस तरह के डीफ़ोन का व्यवहार संकेतित तनावों की दिशाओं द्वारा निर्धारित किया जाएगा, इस मुद्दे में पूर्ण निश्चितता होनी चाहिए, हमें इसे और अधिक विस्तार से विचार करने के लिए बाध्य करना चाहिए। यहाँ यह याद रखना उचित होगा कि ज्यामिति में दिशा की अवधारणा कोण के मान से निर्धारित होती है - एक मान जो केवल द्वि-आयामी दुनिया - सतहों (रेडियन) और त्रि-आयामी दुनिया (स्टेरेडियन) में दिखाई देता है। उसी समय, यदि फ्लैट कोण के मूल्य की अस्पष्टता के लिए इसके संकेत को इंगित करना आवश्यक है (दाएं - दक्षिणावर्त या बाएं - दिए गए REPERATOR - रेखा के सापेक्ष वामावर्त), तो मूल्य की अस्पष्टता के लिए स्थानिक कोण, सतह (आंतरिक या बाहरी) के सापेक्ष इसके अभिविन्यास को इंगित करना भी आवश्यक है, जो सीधे संबंधित सतह की वक्रता की त्रिज्या से संबंधित है। विख्यात परिस्थितियों को स्पष्ट करने के लिए, हम सतहों आदि पर सदिश क्षेत्रों के टोपोलॉजिकल अध्ययन के परिणामों का उपयोग करेंगे। आइए हम बिंदु O के आसपास के क्षेत्र में इस तरह के गोलाकार संकुचन DEPHON की सबसे सरल कल्पना करें, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 18, फिर अंजीर में। 19, हम सामान्य (चित्र। 19-ए) और स्पर्शरेखा (छवि। 19-बी) के सदिश क्षेत्रों की एक छवि प्राप्त करते हैं, जो गोलाकार से सटे पड़ोस में तनाव घटक हैं, जो परिभाषा के अनुसार एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं (देखें) चित्र 19)। (अंजीर। 89-ए) ​​और बी) से) एक ही समय में, एक दूसरे के करीब स्थित दो समान डीफ़ोन, साथ होंगे विपरीत दिशाएंकोई भी सतह, जिसे हमेशा किसी भी DEPHONES के चारों ओर एक अनुचित रेखा के साथ अनन्तता पर बंद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। 20, जिस पर DEPHONES के पड़ोस के बीच की सीमा सतह का निशान है एऔर बीविशेषताएँ होना एमऔर एम 1क्रमश। यह स्पष्ट है कि DEPHONES के लिए इस सतह की वक्रता की त्रिज्या एऔर बीहोगा विपरीत संकेत. विख्यात परिस्थितियों से, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दो पड़ोसी ऐसे DEPHONS - संपीड़न के SPHEROIDS को एक दूसरे से संपर्क करना चाहिए, जो कि आकर्षण के बराबर है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 20 अभी जा रहे हैं खुला प्रश्नइस आकर्षण की भयावहता के बारे में।

बेशक, हमारे अन्य सरलतम DEPHONs के आस-पास के इलाकों में सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव घटकों के क्षेत्रों की दिशा, जिसमें एक टोरॉयड (चित्र 14) और एक मुड़ टोरॉयड (चित्र 15) की सतहें हैं, पर भी विचार किया जाना चाहिए। विस्तार से इन पदों से। केवल इस तथ्य से कि, एक साधारण रूप से जुड़े हुए स्फेरॉइड के विपरीत, एक टोरॉयड (चित्र 14 देखें) दोगुना जुड़ा हुआ है, निष्कर्ष तुरंत इस प्रकार है कि गोलाकार में निहित सामान्य तनाव घटकों के वेक्टर क्षेत्र की कोई केंद्रीय समरूपता नहीं है (देखें) अंजीर। 18), ध्रुवीय विमान में प्राप्त करना, टॉरॉयड के ऑर्थोगोनल इक्वेटोरियल प्लेन, अक्षीय समरूपता, हमें सामान्य तनाव घटकों के वेक्टर क्षेत्र में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, लेखक द्वारा पहले किए गए गणितीय परिवर्तनों को छोड़ देता है, जैसा कि अंजीर में है। . 21, जिस पर धराशायी लाइनें n और - n सामान्य तनाव घटकों के वेक्टर क्षेत्र के मूल्यों के सीमित स्तर को दर्शाती हैं। विख्यात परिस्थितियों से, निष्कर्ष फिर से दो पड़ोसी ऐसे संपीड़न के DEPHON-TOROIDS के अभिसरण की आवश्यकता के बारे में है, जो आकर्षण के बराबर है, अंजीर में DEPHON-SPHEROIDS के आकर्षण के समान है। 20, लेकिन DEPHON-TOROIDS के ऐसे गुरुत्वाकर्षण का मान न केवल उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है, बल्कि एक दूसरे के सापेक्ष भी होता है स्थानिक उन्मुखीकरण: विषुवतीय तलों में, उनकी अंतःक्रिया केंद्रीय समरूपता के अधीन होती है, डेपोन्स - स्फेरोइड्स की परस्पर क्रिया के समान
(अंजीर देखें। 20), और ध्रुवीय विमान में संपीड़न DEPHON-TOROIDS की बातचीत का पालन करता है अक्षीय समरूपता, इस तरह के गुरुत्वाकर्षण के परिमाण के सवाल को भी फिलहाल के लिए खुला छोड़ रहा है। इस मामले में, केवल DEPHON-SPHEROID इंटरैक्शन के विपरीत, DEPHON-TOROID इंटरैक्शन की विख्यात विशेषता के प्रभाव को नोट करना महत्वपूर्ण है, जैसा कि अंजीर में ग्राफिक निर्भरता से स्पष्ट है। 21, DEPHON-TOROIDS के बीच की दूरी पर अपने स्वयं के आकार के बराबर।

चावल। 18 (अंजीर। 88 द्वारा) 19 (चित्र 89-ए) ​​और बी) द्वारा)

चावल। 20 (चित्र 186 द्वारा ) 21

संरचना की कल्पना करना संभव है, लेकिन DEPHONE के गठन के तंत्र की नहीं - एक DEPHONE-TOROID से एक मुड़ा हुआ TOROID (चित्र 15 देखें) (चित्र 14 देखें), एक DEPHONE - मुड़ी हुई TOROID, अंजीर का उपयोग करते हुए। 22-ए), अंजीर। 22-b) और Fig.22-c), जो पूरे DEFON-TOROID को दिखाते हैं (चित्र 22-a देखें), DEFON-TOROID को A-B के साथ अपने भूमध्य रेखा के सामान्य समतल द्वारा काटा जाता है और कट के सिरे हैं 180 0 (चित्र 22-बी देखें) के सापेक्ष एक दूसरे के सापेक्ष बदल गया, जिससे कि DEPHONE-TOROID सतह के बिंदु A 2 और B 1 की स्थिति बदल गई, अर्थात A 2 ने स्थिति B 1 पर कब्जा कर लिया, और B 1 ने स्थिति A पर कब्जा कर लिया। 2, एक परिणाम के रूप में एक DEPHON-TWISTED TOROID (चित्र देखें। 22-c)।

चावल। 22-ए) अंजीर। 22-बी) अंजीर। 22-इन

वास्तव में, DEPHON-TWISTED TOROID के गठन को एक बाहरी अक्ष के साथ एक विकृत माध्यम के एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक वृत्त के संचलन की प्रक्रिया के रूप में दर्शाया जा सकता है - इस चक्र के प्रक्षेपवक्र के सापेक्ष इस चक्र के रोटेशन के दौरान एक बंद प्रक्षेपवक्र। इस वृत्त का केंद्र जब तक प्रक्षेपवक्र बंद नहीं हो जाता - जो कि TOROID की धुरी है। जैसा कि हमने ऊपर देखा (चित्र 16 देखें), मरोड़ विकृति अन्य सभी प्रकार की विकृति के साथ होती है: संपीड़न, तनाव, कतरनी और झुकना। इसलिए, हमारे लिए विशेष व्यावहारिक रुचि DEPHON-TWISTED TOROID के अंदर और उसके आसपास की दूरी पर घनत्व की निर्भरता (8) है, जैसा कि हमने DEPHON-SPHEROID के लिए स्थापित किया है (चित्र 17 देखें), और भी। सामान्य घटकों के वेक्टर क्षेत्र की निर्भरता इसके आसपास के क्षेत्र में जोर देती है, जैसा कि हमने डेफोन-टोरॉयड के लिए ऊपर पाया
(अंजीर देखें। 14)। सेंट-वेनेंट द्वारा विख्यात "विरूपण अनुकूलता की स्थिति" के अनुसार, यह काफी स्पष्ट है कि DEFONT-TOROID (चित्र 15-बी देखें) के मरोड़ के दौरान, इसकी सतह परत तनाव का अनुभव करती है, जो यदि आवश्यक हो, तो भी कर सकती है। A 1 से B 2 या A 2 से B 1 तक हेलिक्स की लंबाई की तुलना टॉरॉयड के संबंधित भूमध्य रेखा की लंबाई के साथ की जाती है (चित्र 15-ए देखें)। यह परिस्थितिअंजीर के रूप में TWISTED DEPHON-TOROID (चित्र 15-c देखें) के निकटतम पड़ोस में तन्यता विरूपण की आवश्यकता होती है। 23. इसके अलावा, अंजीर में दिखाए गए इस तरह के एक मुड़े हुए टोरॉयड की सतह पर लोचदार तनाव को देखते हुए। 24, जहां और के बीच एक मुड़ी हुई टॉराइड की सतह पर तनाव रेखाएं और के बीच भी, अंजीर में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। 25, निश्चित रूप से स्थिर प्रतिक्रिया के कारण, इस मुड़ डेफोन-टोरॉयड की तह तक ले जाएगा, जिसे योजना में अंजीर में चित्रित किया जा सकता है। 26 और इसे जमा करें वास्तविक दृश्यअंजीर में नीचे। अंजीर में 27 और वास्तविक पार्श्व दृश्य। 28.

दूसरे शब्दों में, TWISTED DEPHON-TOROID एक प्रकार का असममित BRACKET बनाता है, जिसके आसपास के क्षेत्र में विकृतियाँ भी एक असममित क्षेत्र बनाती हैं, जिसके भीतर सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव घटकों के मान और दिशाएँ इस विषमता को दर्शाती हैं। साथ पड़ोस विभिन्न दलट्विस्टेड डेफोन-टॉरॉयड ब्रैकेट के संबंध में।

चावल। 24 अंजीर। 25. अंजीर। 26

चावल। 27 अंजीर। 28

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URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=8103 (एक्सेस की तिथि: 02/24/2019)। हम आपके ध्यान में पब्लिशिंग हाउस "एकेडमी ऑफ नेचुरल हिस्ट्री" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाओं को लाते हैं

171*. सीधी रेखा AB के वर्ग के झुकाव के कोणों का निर्धारण करें। वी और पीएल। एन फिस। 166ए)।

समाधान। यदि रेखा के समानांतर है वी (चित्र। 166, बी), फिर इस रेखा और पीएल के बीच का कोण। H (कोण α) बिना विरूपण के सामने प्रदर्शित होता है। अनुमान। यदि रेखा के समानांतर है एच (चित्र। 166, सी), फिर इस समकोण द्वारा पीएल के साथ बनाया गया समकोण। V (कोण β) क्षितिज के विरूपण के बिना प्रदर्शित होता है। अनुमान। इसलिए दी गई रेखा को लगाना सामान्य स्थितिपहले वर्ग के समानांतर। V, और फिर pl के समानांतर। एच, क्रमशः कोण α और β परिभाषित कर सकते हैं।

अंजीर पर। 166, डी पीएल बदलने की विधि के आवेदन को दर्शाता है। अनुमान कोण α और β निर्धारित करने के लिए। तो, कोण α निर्धारित करने के लिए, एक अतिरिक्त वर्ग पेश किया जाता है। एस, वर्ग के लंबवत। एच और एबी के समानांतर, और कोण β निर्धारित करने के लिए - एक अतिरिक्त विमान टी ⊥ वी और एक ही समय में || एबी।

अंजीर पर। 166, ई, सीधी रेखा है, जैसा कि घुमाया गया था: ए) बिंदु बी से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर और पीएल के लंबवत। एच, समानांतर वर्ग के लिए। V (स्थिति a "1 b", a 1 b) -

कोण α निर्धारित होता है; b) बिंदु A से लंबवत और pl से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर। वी, समानता वर्ग के लिए। H (स्थिति a"b" 1 , ab 1) - कोण β परिभाषित है।

बेशक, आप इन कुल्हाड़ियों को ड्राइंग में चित्रित कर सकते हैं; लेकिन, जाहिर है, इसके बिना निर्माण संभव है।

172. पिरामिड SABCD दिया गया है (चित्र 154 देखें)। पिरामिड के किनारों के वर्ग के झुकाव के कोणों का निर्धारण करें। वी और पीएल। एन।

173 *। त्रिकोण एबीसी (चित्र। 167, ए) द्वारा दिए गए विमान के झुकाव के कोणों को वर्ग में निर्धारित करें। एच और पीएल। वी

समाधान। जैसा कि आप जानते हैं, समतल का वर्ग से झुकाव का कोण (α)। H को वर्ग पर विरूपण के बिना प्रक्षेपित किया जाता है। वी, अगर विमान वर्ग के लंबवत है। वी (चित्र। 167, 6), और वर्ग के लिए विमान के झुकाव का कोण (β)। V वर्ग पर विरूपण के बिना प्रक्षेपित किया जाता है। एच अगर विमान वर्ग के लंबवत है। एच (चित्र। 167, सी)।

अंजीर पर। 167, d कोणों को निर्धारित करने के लिए, हम सिस्टम S, H, जहाँ pl पर जाते हैं। S, वर्ग के लंबवत है। एच और किसी दिए गए विमान के लिए (अक्ष एस / एच क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण ए-1 के लिए लंबवत है)।

कोण β की परिभाषा सिस्टम V, H से सिस्टम T, V, जहां pl पर जाकर बनाई गई है। T वर्ग के लंबवत है। वी और त्रिकोण के दिए गए विमान के लिए ("2" ललाट से ललाट प्रक्षेपण के लिए टी / वी अक्ष लंबवत है)।

अंजीर पर। 167,d समान समस्या को समानांतर गति की विधि द्वारा हल किया जाता है। सबसे पहले, दिए गए त्रिभुज ABC के सभी शीर्षों को H के समांतर तलों में ले जाया जाता है, ताकि त्रिभुज का तल वर्ग के लंबवत हो। वी। यह

क्षैतिज रेखा A-1 के साथ हासिल किया गया, इस तरह से स्थानांतरित किया गया कि यह वर्ग के लंबवत हो। V (क्षैतिज प्रक्षेपण a 1 1 1 x-अक्ष के लंबवत है)। हमें त्रिभुज के तल के वर्ग के झुकाव का कोण α मिलता है। एच विरूपण के बिना.

त्रिभुज ABC के तल के वर्ग के झुकाव के कोण β को निर्धारित करने के लिए। त्रिभुज V को इस प्रकार घुमाया जाता है कि यह वर्ग के लंबवत हो। एच। यह सी -2 मोर्चे की मदद से किया जाता है: यह वर्ग के लंबवत सेट होता है। एच (स्थिति सी 2 2 2, सामने प्रक्षेपण सी "2 2" 2 ⊥ x) और, इसलिए, इस मोर्चे से गुजरने वाला विमान भी वर्ग के लंबवत है। एच।

174. पिरामिड SABC दिया हुआ है (चित्र 161 देखें)। वर्ग के फलकों SAB, SAC और ABC के झुकाव के कोण ज्ञात कीजिए। एच और पीएल। वी

175. एक समानांतर चतुर्भुज दिया गया है (चित्र 165 देखें)। वर्ग के लिए आधार ABCD और फलक CDHG के झुकाव के कोण ज्ञात कीजिए। V और कगार ADEH से pl. एन।

176*. कोण बीएसी (चित्र। 168, ए) का मान निर्धारित करें।

समाधान। यदि कोण का तल किसी वर्ग के समांतर है। अनुमान, फिर इस कोण को विरूपण के बिना उस पर प्रक्षेपित किया जाता है (चित्र। 168, बी)।

अंजीर पर। 168, वर्ग बदलने की विधि का उपयोग करके समस्या को हल किया जाता है। अनुमान। चूंकि कोण बीएसी का विमान सामान्य स्थिति में एक विमान है (इसका क्षैतिज किसी भी विमान वी, एच, डब्ल्यू के लिए लंबवत नहीं है), हमें पहले सिस्टम वी, एच पीएल को पूरक करना होगा। एस, इसे वर्ग के लंबवत ले रहा है। एच और कोण विमान बीएसी के लिए। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, समतल S पर कोण का प्रक्षेपण एक खंड के रूप में होगा। अब आप एक और अतिरिक्त वर्ग में प्रवेश कर सकते हैं। प्रक्षेपण (टी), इसे वर्ग के लंबवत खींचना। एस और एक ही समय में कोण बीएसी के विमान के समानांतर। कोण l t a t 2 t कोण BAC के प्राकृतिक मान का प्रतिनिधित्व करेगा।

अंजीर पर। 168, और वांछित कोण cp समानांतर गति की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सबसे पहले, कोण तल को स्थानांतरित किया जाता है ताकि यह वर्ग के लंबवत हो जाए। वी (इसके लिए, हम एक्स-अक्ष पर क्षैतिज लंबवत के क्षैतिज प्रक्षेपण को रखते हैं)। फिर हम कोण के तल को वर्ग के समानांतर रखते हैं। एच, जिसके लिए हम प्रक्षेपण 1 "1 ए" 1 को स्थिति 1 "2 ए" 2 (यानी || एक्स-अक्ष) पर ले जाते हैं। एक और निर्माण चित्र में दिखाया गया है। 168.6। यहाँ, कोण के परिमाण को निर्धारित करने के लिए, क्षैतिज के चारों ओर एक घुमाव लागू किया जाता है: कोण का तल वर्ग के समानांतर होगा। एच (टी स्थिति)।

निर्माण निम्नलिखित क्रम में किए गए हैं:

1. बिंदु A के रोटेशन का एक विमान खींचा गया है - एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वर्ग। आर, क्षैतिज के लंबवत (अर्थात, रोटेशन की धुरी के लिए)।

2. बिंदु AB के रोटेशन के केंद्र को वर्ग के साथ क्षैतिज के चौराहे पर चिह्नित किया गया है। आर (बिंदु ओ, ओ") और रोटेशन की त्रिज्या (ओए और ओ "ए") के अनुमानों का संकेत दिया जाता है।

3. रोटेशन की त्रिज्या का प्राकृतिक मान निर्धारित किया जाता है (यह त्रिभुज OaA के कर्ण OA द्वारा व्यक्त किया जाता है)।

4. R h पर त्रिज्या OA i के वृत्त का एक चाप खींचा जाता है, एक बिंदु a 1 पाया जाता है - क्षितिज। वर्ग के साथ संरेखित होने तक क्षैतिज के चारों ओर घुमाए जाने के बाद कोने के शीर्ष का प्रक्षेपण। टी - और कोण 1a 1 2 का निर्माण किया गया है, जो वांछित के बराबर है।

प्रकार 176 की समस्याओं को हल करने के लिए, सबसे तर्कसंगत क्षैतिज (या ललाट) के चारों ओर घुमाव का उपयोग है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 168, डी।

177. पिरामिड SABC दिया हुआ है (चित्र 156 देखें)। किनारों और SB, SB और SC, SC और SA के बीच का कोण निर्धारित करने के लिए क्षैतिज के चारों ओर घुमाएँ।

178. एक समानांतर चतुर्भुज दिया गया है (चित्र 165 देखें)। किनारों DH और CD, CG और CD, AB और BC के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।

179*. प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AB और CD (चित्र 169, a) के बीच का कोण निर्धारित करें।

समाधान। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण क्रमशः दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा दिए गए कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। कोण के परिमाण को निर्धारित करने के लिए, ड्राइंग में इसकी छवि से शुरू करना चाहिए। यह चित्र में किया गया है। 169.6, और दी गई सीधी रेखाओं में से एक - CD का उपयोग बिंदु C के माध्यम से किया गया था, जिसमें से सीधी रेखा CM खींची गई थी, दूसरी दी गई सीधी रेखा - AB के समानांतर। कोण MCD का मान (rns.169, c) सीधी रेखाओं AB और CD के बीच के कोण को व्यक्त करता है। यह वर्ग में लिए गए क्षैतिज 1-2 (चित्र 169, ए) को घुमाकर किया जाता है। कोण एमसीडी।

180. पिरामिड SABC दिया हुआ है (चित्र 160 देखें)। इसके किनारों के बीच का कोण निर्धारित करें: ए) एसबी और एसी, बी) एसए और बीसी।

181*. विमान के लिए सीधी रेखा AB के झुकाव का कोण φ निर्धारित करें, त्रिकोण द्वारा दिया गयासीडीई (चित्र। 170, ए)।

समाधान। जैसा कि आप जानते हैं, सीधी रेखा (AB) और तल (P) के बीच के कोण को इस तल पर सीधी रेखा और इसके प्रक्षेपण (ap K) के बीच का तीव्र कोण (φ) कहा जाता है। इस कोण को बनाने के लिए (चित्र 170, बी), आपको वर्ग के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने की जरूरत है। P सीधी रेखा AB और रेखा AB के किसी भी बिंदु से वर्ग पर खींचा गया लंब। आर। लेकिन अगर, जैसा कि इस समस्या में है, आपको केवल विमान के लिए सीधी रेखा के झुकाव के कोण को निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो कोण δ को निर्धारित करना आसान है, जो कोण φ का पूरक है: कोण δ को ढूंढकर , आप संबंध φ = 90 ° - δ से कोण φ निर्धारित कर सकते हैं। अंजीर पर। 170, सी अनुमानों के निर्माण को दर्शाता है और त्रिकोण सीडीई के विमान के लंबवत के "एम", जिसके लिए इस विमान का क्षैतिज और ललाट लिया जाता है: am ⊥ e - 1, और "m" ⊥ e "2"।

अब आप निर्धारित कर सकते हैं (चित्र। 170, घ) शीर्ष ए के साथ कोण δ का प्राकृतिक मान, जो क्षैतिज बी "З", बी-3 को घुमाकर किया जाता है। वांछित कोण φ = 90°-δ।

182. एक पिरामिड एसएबीसी दिया गया है (चित्र 1611 देखें। किनारों एसए, एसबी और एससी के चेहरे एबीसी के झुकाव के कोण निर्धारित करें

183*. चेहरे एबीसी और एबीडी (छवि 171, ए) के बीच कोण निर्धारित करें।

समाधान। डायहेड्रल कोण को डायहेड्रल कोण के चेहरों के चौराहे पर प्राप्त रैखिक कोण द्वारा मापा जाता है, जो कि डायहेड्रल के दोनों चेहरों के लिए लंबवत होता है, और इसलिए उनके चौराहे की रेखा, यानी डायहेड्रल कोण के किनारे। यदि यह किनारा AB किसी वर्ग के लंबवत है। टी (चित्र। 171.6), फिर वर्ग पर प्राप्त किया। डायहेड्रल कोण का टी प्रक्षेपण इसके रैखिक कोण को व्यक्त करता है।

समस्या को हल करने के लिए (चित्र 171, सी), वर्ग बदलने की विधि लागू की गई थी। अनुमान। सिस्टम V, H से, सिस्टम S, V में एक संक्रमण किया जाता है, जहाँ S ⊥ V और S || AB, और फिर इस सिस्टम S, V से सिस्टम T, S, जहाँ T ⊥ S और T ⊥ AB में संक्रमण होता है।

त्रिकोणों को वर्ग टी पर ए टी सी टी और ए टी डी टी के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है। उनके बीच का कोण वांछित कोण φ के बराबर है।

अंजीर पर। 171, डी समांतर विस्थापन की विधि का उपयोग करके एक ही समस्या का समाधान दिखाता है: किनारे एबी को वर्ग के लंबवत सेट किया गया है। एन।

184*. समतल P और त्रिभुज ABC (चित्र। 172, a) के तल द्वारा निर्मित कोण का निर्धारण करें।

समाधान। यदि हल करना इस कार्य, पिछली समाधान योजना का पालन करें, तो दिए गए विमानों के चौराहे की सीधी रेखा बनाना आवश्यक है। लेकिन इस रेखा के निर्माण के बिना, यानी आवश्यक डायहेड्रल कोण के किनारों को निर्धारित किए बिना, दूसरे तरीके से आगे बढ़ना संभव है। आप निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं: कोण φ को सीधे निर्धारित नहीं करते हैं, लेकिन कोण σ (चित्र 172, बी) लंबवत केएम और केएन के बीच, किसी भी बिंदु के से खींचा गया है। दिए गए विमान. कोण σ ज्ञात करने के बाद, हमें φ = 180° - σ प्राप्त होता है।

इस तरह का एक समाधान इसके सार में अंजीर में समाधान से भिन्न होता है। 171, सी और 171, ए। एक निश्चित बिंदु K (चित्र। 172, c) लेते हुए, हम क्रमशः KN और KM को त्रिभुज ABC n से pl के तल तक खींचते हैं। आर: बिंदु के "हम के" एन "⊥ ए" बी "और के" एम "⊥ पी ϑ, और बिंदु के - केएन ⊥ एसी और किमी ⊥ पी एच से आकर्षित करते हैं। इस प्रकार, हम अनुमानों के साथ एक कोण प्राप्त करते हैं एमकेएन और एन "के" एन "(कोण σ)। जीवन का आकारयह कोण 1-2 ललाट घुमाकर प्राप्त किया गया था (चित्र। 172, डी)। चूंकि एक तीव्र कोण प्राप्त होता है, हम कर सकते हैं

185. पिरामिड SABCD दिया गया है (चित्र 154 देखें)। प्रक्षेपण तलों को बदलकर फलकों SAB और SBC, SBC और SCD, SAD और SAB के बीच के कोणों का निर्धारण करें।

186. एक समानांतर चतुर्भुज (चित्र। 165) दिया गया। सीडीएचजी और ईएफजीएच, बीसीजीएफ और सीडीएचजी के बीच के कोणों को परिभाषित करें।

200. क) छवि विधि। खंड बीसी (चित्र। 185) को जारी रखते हुए, आधार के पैर को दर्शाते हुए, सीडी = बीसी की दूरी पर, हमें बिंदु डी मिलता है, जो पैर एसी के संबंध में बी के साथ सममित प्रकृति का है।

चलिए एक बिंदु लेते हैंएम किनारे एए 1 के बीच में और बिंदु बी 1, एम और डी के माध्यम से गुजरने वाले विमान पी द्वारा प्रिज्म का एक खंड खींचें। ऐसा करने के लिए, बिंदु बी और डी को कनेक्ट करें। किनारे सीसी 1 के साथ चौराहे पर हम बिंदु N पाते हैं। त्रिभुज B 1 NM वांछित खंड होगा। वास्तव में, बिंदु D रेखा BC पर स्थित है और इसलिए, विमान CBB 1 C 1 (D चेहरे CBB 1 C 1 की निरंतरता पर है) से संबंधित है। लेकिन बिंदु डी भी विमान पी पर स्थित है, इसलिए यह एसवीवी 1 सी 1 के साथ विमान पी के चौराहे की रेखा पर है।

इसी प्रकार, इस रेखा पर बिंदु B 1 है। इसका मतलब है कि विमान P और BCC 1 B 1 सीधी रेखा B 1 D के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु N, जहां B 1 D किनारे CC 1 के साथ प्रतिच्छेद करता है, खंड के शीर्षों में से एक है, इसलिए प्रिज्म का खंड एक त्रिकोण बी 1 एनएम है।

चूँकि BC=CD और CN||BB 1 तो CN है मध्य पंक्तित्रिभुज BB 1 D, अर्थात N किनारे का मध्य बिंदु है СС 1 । इसलिए, रेखा MN आधार के तल में पड़ी रेखा AC के समांतर है। नतीजतन, रेखा डीई, जिसके साथ विमान पी आधार के विमान को छेड़छाड़ करता है, एसी के समानांतर है और इसलिए, चेहरे बीसीसी 1 बी 1 के विमान के लंबवत है। इसीलिए / बीडीबी 1 एक रैखिक डायहेड्रल कोण है φ किनारे डे पर।

बी) समाधान। हमारे पास है (समस्या समाधान देखें)

(कहाँ ए = सूरज, बी = एसी), और चूंकि बी = ए टीजी β , वह

पता लगाते हैं ए 2. शर्त से β एक छोटा है तेज मोडत्रिकोण एबीसी, इसलिए बी < ए और क्षेत्र बी एच एज एसीसी 1 ए 1 क्षेत्र से कम ए ВСС 1 В 1 के पहलू इसलिए, इन क्षेत्रों के अंतर S (हम मानते हैं कि यह सकारात्मक है) के बराबर है ( क-ख )एच। त्रिभुज DBB 1 से, जहाँ BD =2BC = 2 है ए , हम एच = 2 पाते हैं ए टीजी φ . इस तरह,

एस = 2 ए 2 (एल - टीजी β ) टीजी φ .

यहाँ से हम पाते हैं ए 2 .

201. गैर-प्रतिच्छेदी विकर्णों BA 1 और AD 1 (चित्र। 186) के बीच का कोण कोण के बराबर है φ = / VA 1 और प्रत्यक्ष BC 1 के बीच A 1 BC 1 समानांतर AD 1।

अपने पास / सीबीसी 1 = / डीएडी 1 = α और / एबीए 1 = β . कोण निर्धारित करने के लिए φ हम A 1 C 1 2 को पहले त्रिभुज A 1 BC 1 (कोसाइन प्रमेय के अनुसार) से पाते हैं, और फिर समकोण त्रिभुज A 1 B 1 C 1 से और पाए गए भावों की बराबरी करते हैं। हम पाते हैं

वीए 1 2 + बीसी 1 2 - 2 बीए 1 बीसी 1 कॉस φ \u003d बी 1 ए 1 2 + बी 1 सी 1 2

2BA 1BC 1cos φ \u003d (वीए 1 2 - बी 1 ए 1 2) + (बीसी 1 2 - बी 1 सी 1 2) \u003d 2 बीबी 1 2।

बी हम इस समानता को प्रतिस्थापित करते हैं

(त्रिभुज BAA 1 से) और . हम पाते हैं

ओल φ = पाप α पाप β .

एक और तरीका। एक विमान बी 1 सी 1 बी 2 सी 2 को किनारे बी 1 सी 1 के माध्यम से बीए 1 के लिए लंबवत बनाएं (यह संभव है, क्योंकि बी 1 सी 1 _|_बीए 1)। मान लीजिए E रेखाओं BA 1 और B 1 B 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। समकोण त्रिभुज BC 1 E से हम BE = BC 1 cos पाते हैं φ , एक समकोण त्रिभुज ВВ 1 Е से, जहाँ / बी 1 बीई = 90° - β , अपने पास

बीई - बीबी 1 कॉस (90 डिग्री - β ) = बीबी 1 पाप β .

खंड BB 1 को त्रिभुज BB 1 C 1 से BC 1 के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, जहां / बी 1 ईसा पूर्व 1 = 90°- α . हमें BB 1 = BC 1 sin प्राप्त होता है α और इसलिए,

बीई = बीसी 1 पाप α पाप β .

खंड बीई के दो भावों की समानता, हम प्राप्त करते हैं

सन 1 कोस φ = ई.पू. 1 पाप α पाप β .

निरसित। ओल φ = पाप α पाप β .

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202. निरूपित डायहेड्रल कोणपसलियों के साथ एसए, एसबी, एससी (चित्र। 187) के माध्यम से φ ए , φ बी, φ सी।

आइए हम किनारे SC के किसी बिंदु से होकर SF के लंबवत एक तल DFE खींचते हैं। तब / डीएफई = φ सी। हम ED 2 को त्रिभुज EFD से और त्रिभुज ESD से निर्धारित करते हैं, और फिर हम परिणामी भावों की बराबरी करते हैं। हम देखतें है

एफई 2 + एफडी 2 - 2 एफई एफडी-कॉस φ सी = एसई 2 + एसडी 2 - 2 एसई एसडी कॉस γ .

2 एफई एफडी कॉस φ सी = 2 एसई एसडी कॉस γ - (एसई 2 -एफई 2) - (एसडी 2 - एफडी 2),

2 एफई एफडी कॉस φ सी = 2 एसई एसडी कॉस γ - 2SF2।

हम इस समानता में स्थानापन्न करते हैं

एफई = एसएफटीजी α ;

एफडी = एसएफटीजी β ;

एसई = एस एफ / कॉस α

SD=SF/cos β

इसी प्रकार, हम कॉस पाते हैं φ ए और कॉस φ बी।

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203. इसे पिछली समस्या की तरह हल किया जाता है।

निरसित। ओल γ = क्योंकि α ओल β + पाप α पाप β कॉस ए।

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204. कार्य 202 देखें।

प्रतिनिधि वांछित कोण में 90° होता है।

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205. बिंदु M को फलक Q पर स्थित होने दें (चित्र 188)।

शर्त के अनुसार, रेखा AM AB के साथ एक कोण बनाती है α , और लाइन, एमबी, एबी के लिए लंबवत है। आइए हम बीएम के माध्यम से समतल एमबीएन खींचते हैं, किनारे के लंबवत, और लंबवत एमएन को बिंदु एम से बीएन तक गिराते हैं। रेखा MN भी NA और के लंबवत है / आदमी = β (सिद्ध करना!)। हमारे पास भी है φ =/ एनबीएम। कोना φ हम त्रिकोण एनबीएम से पाते हैं जहां एमएन = एएम पाप β (त्रिभुज ANM से) और BM=AM sin α (त्रिकोण एएमबी से)। हम पाते हैं

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206. अंजीर पर। 189 PQ प्रतिच्छेदी रेखाओं LL" और MM" के लिए एक सामान्य लंब को दर्शाता है। वह कोण प्राप्त करने के लिए जिस पर खंड PQ बिंदु A से दिखाई देता है, आपको एक किरण AP बनाने की आवश्यकता है; तब / पीएक्यू = α . उसी प्रकार / पीबीक्यू = β .

आइए, बिंदु P से MM के समांतर एक रेखा PE खींचें। फिर रेखाओं MM" और LL" के बीच का कोण (परिभाषा के अनुसार) कोण है φ = / ईपीबी। आइए हम A से सीधी रेखा PE पर लंब AE छोड़ते हैं और AB खींचते हैं (अन्य सभी रेखाएँ एक समानांतर चतुर्भुज की छवि देती हैं, जिसके किनारे PQ, QA और PB हैं, केवल आरेखण की स्पष्टता के लिए खींचे गए हैं)। समकोण त्रिभुज BPQ से हम पाते हैं

पीबी = पीक्यूसीटीजी β = एच सीटीजी β .

उसी प्रकार

पीई = क्यूए = एच सीटीजी α .

बीई 2 = पीबी 2 + पीई 2 -2 पीबी पीई कॉस φ = एच 2 (सीटीजी 2 α + सीटीजी 2 β -2ctg α सीटीजी β ओल φ ).

रेखा AE समतल EPB के लंबवत है, क्योंकि यह रेखा PQ के समांतर है, जो कि PB और PE रेखाओं के लिए उभयनिष्ठ लंब है। समकोण त्रिभुज AEB से हम पाते हैं

एबी 2 = एई 2 + बीई 2 = एच 2 + बीई 2।

निरसित। एबी 2 = एच 2 (1 + सीटीजी 2 α + सीटीजी 2 β -2ctg α सीटीजी β ओल φ )

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207. पिछले कार्य का चित्रण (वर्तमान कार्य में φ = 90 डिग्री)। अपने पास

बीई \u003d √पीई 2 + पीबी 2 \u003d एच √ctg 2 α + सीटीजी 2 β .

रेखाओं AB और PQ के बीच का कोण AB और PQ के समांतर रेखा AE के बीच के कोण के बराबर है। इसके माध्यम से नकारना γ , अपने पास

निरसित। टीजी γ = √ctg2 α + सीटीजी 2 β

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208. चलो (चित्र। 190)

आइए सबसे पहले DMNP पिरामिड के आयतन V 1 का DABC पिरामिड के आयतन V से अनुपात ज्ञात करें। आइए बीडीसी के चेहरे को पिरामिड डीएबीसी के आधार के रूप में और एनपीडी के चेहरे को पिरामिड डीएमएनपी के आधार के रूप में लें। रेखा डीए पर स्थित खंड द्वारा किनारे डीए को विमान डीबीसी पर प्रक्षेपित किया जाता है। तब बिंदु A और M रेखा DE पर स्थित कुछ बिंदुओं K और L में प्रक्षेपित होते हैं। इसलिए, ऊँचाइयाँ AK= एच और एमएल = एच 1 समतल ADE में स्थित है और त्रिभुज DML और DAK समरूप हैं। साधन,

एनडीपी के आधार का क्षेत्र एस 1 बीडीसी के आधार के क्षेत्र एस से संबंधित है, क्योंकि डीएन डीपी डीबी डीसी से है (क्योंकि त्रिकोण एनडीपी और बीडीसी में है सामान्य कोणडी)। साधन,

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209. समाधान योजना : त्रिकोण OEL और MEK की समानता से। (चित्र 191) OL को MK= के रूप में व्यक्त करें बी और ME = H / 2 , त्रिभुजों की समानता से ОСЕ और MEN हम OS को MN = के संदर्भ में व्यक्त करते हैं एच और एमई = एच/2।

संबंध OC 2 =2 OL 2 में पाए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिससे हम H प्राप्त करते हैं।

समाधान। अपने पास

ओएल: एच = एमके: ईके,

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समस्या 175. पहिये में 18 तीलियाँ हैं। वह कोण (डिग्री में) ज्ञात कीजिए जिससे दो आसन्न तीलियाँ बनती हैं।

उत्तर: 20°।

प्रश्न 176. यदि आसन्न तीलियों के बीच का कोण 18° हो, तो एक पहिए में कितनी तीलियाँ होती हैं?

उत्तर: 20 पीसी।

समस्या 177. एक गियर व्हील में 72 दांत होते हैं। दो आसन्न दांतों के मध्यबिंदुओं के बीच घिरे एक वृत्त के चाप में कितनी डिग्री समाहित होती है?

उत्तर: 5°.

प्रश्न 178. एक गियर व्हील के कितने दांत होते हैं यदि दो आसन्न दांतों के बीच घिरे इस पहिये का वृत्ताकार चाप 12° है?

उत्तर: 30 पीसी।

प्रश्न 179. 5 बजे घड़ी की मिनट और घंटे की सुई किस कोण (डिग्री में) से बनती है?

उत्तर: 150°।

प्रश्न 180. मिनट की सुई 10 मिनट में किस कोण का वर्णन करती है?

उत्तर: 60°।

समस्या 181 घड़ी में घंटे की सूई 20 मिनट में?

उत्तर: 10°।

प्रश्न 182. घंटे की सुई 1 घंटा 30 मिनट बीतने पर मिनट की सुई किस कोण पर घूमती है?

उत्तर: 18°।

समस्या 183. 32 दांतों वाला एक गियर व्हील प्रति मिनट कितने चक्कर लगाता है यदि 8 दांतों वाला गियर व्हील प्रति मिनट 12 चक्कर लगाता है?

उत्तर: 3 आरपीएम।

समस्या 184. दो गियर के व्यास का अनुपात 3:8 है। बड़ा पहिया छोटे पहिये के एक चक्कर में किस कोण से घूमेगा?

उत्तर: 135°।

समस्या 185. एक गियर व्हील में 12 दांत होते हैं। यदि पहले गियर की एक क्रांति के साथ, दूसरा 120 ° के कोण से घूमता है, तो दूसरे गियर में कितने दांत होते हैं?

उत्तर: 36 पीसी।

प्रश्न 186. पृथ्वी 8 घंटे में अपने अक्ष पर कितने डिग्री घूमेगी ?

उत्तर: 120°।

प्रश्न 187. पृथ्वी कितने घंटे में अपनी धुरी पर 90° घूम लेगी ?

उत्तर: 6 घंटे।

समस्या 188. वजन A चित्र में दिखाए गए ब्लॉक के ऊपर फेंकी गई रस्सी पर लटका हुआ है। बीओसी कोण 136 डिग्री है। क्या कोण के बराबर हैरेखा AB और CD के बीच?

उत्तर: 45°.

समस्या 189। चित्र में दिखाई गई फ़ाइल में पायदान रेखाओं द्वारा निर्मित कोण का पता लगाएं।

उत्तर: 80°।

समस्या 190. शहर की योजना पर, एबी और सीडी के रूप में चिह्नित सड़कें समानांतर हैं। सड़क EF गली AB और AC के साथ क्रमशः 43° और 65° के कोण बनाती है। एसी और सीडी सड़कों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 108।

समस्या 191. कोणों को मापने के लिए, गनर उपयोग करते हैं विशेष इकाईजिसे हजारवाँ कहा जाता है। 360 डिग्री में 6,000 हज़ारवां होता है। 1°30′ में कितने हज़ारवां भाग होता है?

समस्या 192. कोणों को मापने के लिए, तोपखाने एक विशेष इकाई का उपयोग करते हैं, जिसे एक हजारवाँ कहा जाता है। 360 डिग्री में 6,000 हज़ारवां होता है। 100 हज़ारवां भाग कितने डिग्री होते हैं?

समस्या 193. एक आवर्धक कांच के माध्यम से 1.5° के कोण को चार बार देखा जाता है। कोण किस आकार का प्रतीत होता है?

उत्तर: 1.5।

समस्या 194. समुद्री कम्पास की परिधि को 32 समान भागों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें बिंदु कहा जाता है। 4 रूंबा कितने डिग्री हैं?

उत्तर: 45°.

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