Untuk memecahkan masalah dengan bilangan kompleks perlu untuk memahami definisi dasar. tugas utama dari artikel ulasan ini - untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks, dan untuk menyajikan metode untuk memecahkan masalah dasar dengan bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk z = a + bi, di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Re(z), b=Im(z).
saya disebut satuan imajiner. saya 2 \u003d -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah nyata. Jika a = 0 dan b 0, maka bilangan tersebut disebut imajiner murni.

Kami sekarang memperkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.

Mempertimbangkan z = a + bi.

Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan angka rasional dll. Rantai investasi ini dapat dilihat pada gambar: N - bilangan bulat, Z bilangan bulat, Q rasional, R real, C kompleks.

Representasi bilangan kompleks

Notasi aljabar.

Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + bi, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Kami telah membahas bentuk penulisan ini secara rinci di bagian sebelumnya. Cukup sering menggunakan gambar ilustrasi berikut:

bentuk trigonometri.

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa bilangan z = a + bi dapat ditulis berbeda. Jelas bahwa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat nyaman. Misalnya, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks ke pangkat bilangan bulat, yaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus De Moivre.

Bentuk demonstratif.

Mempertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i adalah bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, tulis dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti dari rumus Euler, jadi kita dapatkan bentuk baru entri bilangan kompleks: z = re iφ, yang disebut demonstratif. Bentuk notasi ini juga sangat cocok untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e inφ, di sini n belum tentu bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real arbitrer. Bentuk tulisan ini cukup sering digunakan untuk memecahkan masalah.

Teorema dasar aljabar tinggi

Bayangkan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 . Jelas bahwa diskriminan persamaan ini negatif dan tidak memiliki akar real, tetapi ternyata persamaan ini memiliki dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema utama aljabar tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini menyiratkan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki tepat n akar kompleks mempertimbangkan keragaman mereka. Teorema ini sangat hasil penting dalam matematika dan banyak digunakan. Konsekuensi sederhana dari teorema ini adalah hasil sebagai berikut: terdapat tepat n akar derajat n yang berbeda.

Jenis tugas utama

Bagian ini akan mencakup jenis utama tugas sederhana ke bilangan kompleks. Secara konvensional, masalah pada bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.

• Melakukan yang paling sederhana operasi aritmatika atas bilangan kompleks.
• Menemukan akar polinomial dalam bilangan kompleks.
• Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
• Ekstraksi akar dari bilangan kompleks.
• Penerapan bilangan kompleks untuk memecahkan masalah lain.

Sekarang pertimbangkan teknik umum solusi untuk masalah-masalah ini.

Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini mereka dapat diubah menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai dengan aturan yang diketahui.

Menemukan akar polinomial biasanya bermuara pada menemukan akar persamaan kuadrat. Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat, jika diskriminannya adalah non-negatif, maka akarnya akan nyata dan ditemukan sesuai dengan rumus yang terkenal. Jika diskriminannya negatif, maka D = -1∙a 2, di mana sebuah adalah bilangan tertentu, maka diskriminan dapat kita nyatakan dalam bentuk D = (ia) 2, karena itu D = i|a|, dan kemudian Anda dapat menggunakan rumus terkenal untuk akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh. Kembali ke atas persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminan - D \u003d 1 - 4 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya:

Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda ingin menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar menjadi pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika derajatnya lebih besar (dalam soal seringkali jauh lebih besar), maka Anda perlu tulis bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.

Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponensial: z = 2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.

Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks adalah operasi kebalikan dari eksponensial, sehingga dilakukan dengan cara yang sama. Sering digunakan untuk mengekstrak akar. bentuk indikatif entri nomor.

Contoh. Temukan semua akar derajat 3 persatuan. Untuk melakukan ini, kami menemukan semua akar persamaan z 3 = 1, kami akan mencari akar dalam bentuk eksponensial.
Substitusi ke persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka = 2πk/3.
Berbagai akar diperoleh pada = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 adalah akar-akar.
Atau dalam bentuk aljabar:

Jenis tugas terakhir termasuk banyak sekali masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh sederhana dari tugas semacam itu:

Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Meskipun rumusan masalah ini tidak dalam pertanyaan tentang bilangan kompleks, tetapi dengan bantuan mereka itu dapat dengan mudah diselesaikan. Untuk menyelesaikannya, representasi berikut digunakan:


Jika sekarang kita mensubstitusi representasi ini ke dalam jumlah, maka masalahnya direduksi menjadi penjumlahan deret geometri biasa.

Kesimpulan

Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, dalam artikel ulasan ini operasi utama pada bilangan kompleks dipertimbangkan, beberapa jenis: tugas standar dan dijelaskan secara singkat metode umum solusi mereka, untuk studi yang lebih rinci tentang kemungkinan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.

literatur

bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk z=a+biabRi2=−1

Komentar.
Bilangan real a adalah bagian real dari bilangan z dan dilambangkan dengan a=Rez
Bilangan real b adalah bagian imajiner dari bilangan z dan dinotasikan b=Imz
Bilangan real adalah satu set lengkap angka dan operasi pada mereka, yang tampaknya cukup untuk menyelesaikan tugas apa pun dalam kursus matematika. Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan seperti itu dalam bilangan real x2+1=0? Ada ekstensi lain dari bilangan - bilangan kompleks. Bilangan kompleks dapat berakar dari angka negatif.
bentuk aljabar bilangan kompleks. Bentuk aljabar dari bilangan kompleks adalah z=a+bi(aRbRi2=−1)

Komentar. Jika a=ReZ=0b=Imz=0, maka bilangan z disebut bilangan imajiner. Jika a=ReZ=0b=Imz=0, maka bilangan z disebut imajiner murni

Interpretasi geometris bilangan real adalah garis nyata. Selain itu, pada garis nyata "tidak ada ruang untuk titik baru", yaitu, setiap titik pada sumbu nyata sesuai dengan bilangan real. Akibatnya, bilangan kompleks tidak dapat lagi ditempatkan pada baris ini, tetapi seseorang dapat mencoba mempertimbangkan, bersama dengan sumbu nyata, di mana kita akan memplot bagian nyata dari bilangan kompleks, satu sumbu lagi tegak lurus terhadapnya; kita akan menyebutnya sumbu imajiner. Maka sembarang bilangan kompleks z = a + ib dapat diasosiasikan dengan sebuah titik pada bidang koordinat. Kami akan memplot bagian real bilangan kompleks pada sumbu absis, dan bagian imajiner pada sumbu ordinat. Dengan demikian, korespondensi satu-satu dibuat antara semua bilangan kompleks dan semua titik bidang. Jika korespondensi seperti itu dibangun, maka bidang koordinat ditelepon pesawat yang kompleks. Interpretasi bilangan kompleks z = a + b i adalah vektor OA dengan koordinat (a,b) dengan awal di titik O(0,0) dan berakhir di titik A(a,b)

bilangan konjugasi. Bilangan z=a+bi dan z=a−bi disebut bilangan kompleks konjugasi

Properti. Jumlah dan hasil kali dua bilangan kompleks konjugasi adalah bilangan real: z+z=2azz=a2+b2

angka yang berlawanan. Bilangan z=a+bi dan z=−a−bi disebut bilangan kompleks lawan.

Properti. Jumlah dua bilangan kompleks yang berlawanan adalah nol:
z+(−z)=0

Angka yang sama. Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan imajinernya sama.

Operasi dengan bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk aljabar:

Sifat penjumlahan: Jumlah dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) saya
Contoh: 5+3i+3−i=8+2i

Sifat pengurangan: Selisih dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) saya

Contoh: . 5+3i−3−i=2+4i

Sifat perkalian: Hasil kali dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dengan bentuk z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

Contoh: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Sifat pembagian: Hasil bagi dua bilangan kompleks z1=a+bi dan z2=c+di akan menjadi bilangan kompleks dalam bentuk z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Contoh: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Operasi dengan bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk trigonometri
Penulisan bilangan kompleks z = a + bi sebagai z=rcos+isin disebut bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Modulus bilangan kompleks: r=a2+b2

Argumen bilangan kompleks: cos=rasin=rb

Bilangan imajiner dan kompleks

Pertimbangkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap:
x 2 \u003d a,
dimana - kuantitas yang diketahui. Solusi dari persamaan ini dapat ditulis sebagai:
Ada tiga kemungkinan kasus di sini:

satu). Jika a = 0 , maka x = 0.

2). Jika sebuah- nomor positif, maka Akar pangkat dua memiliki dua arti: satu positif, yang lain negatif; misalnya, persamaan x 2 \u003d 25 memiliki dua akar: 5 dan - 5. Ini sering ditulis sebagai akar dengan tanda ganda:
3) Jika a adalah bilangan negatif, maka persamaan ini tidak memiliki solusi di antara bilangan positif dan negatif yang kita ketahui, karena pangkat dua dari bilangan apa pun adalah bilangan non-negatif (pikirkan!). Tetapi jika kita ingin mendapatkan solusi dari persamaan x 2 = a juga untuk nilai negatif a, kami dipaksa untuk memperkenalkan nomor tipe baru - nomor imajiner. Jadi, bilangan imajiner adalah bilangan yang pangkat duanya adalah bilangan negatif. Menurut definisi bilangan imajiner ini, kita juga dapat mendefinisikan satuan imajiner:
Kemudian untuk persamaan x 2 = - 25 kita mendapatkan dua akar imajiner:
Mensubstitusikan kedua akar ini ke dalam persamaan kita, kita mendapatkan identitas. (Memeriksa!). Tidak seperti bilangan imajiner, semua bilangan lain (positif dan negatif, bilangan bulat dan pecahan, rasional dan irasional) disebut nyata atau bilangan asli. Jumlah nyata dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks dan dilambangkan:

Dimana a, b - bilangan asli, i adalah satuan imajiner.

Contoh bilangan kompleks: 3 + 4 i , 7 - 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

Mengingat informasi yang perlu tentang bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk sebuah + dua, di mana sebuah, b adalah bilangan real, dan saya- disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya -1, mis. saya 2 = -1. Nomor sebuah ditelepon bagian nyata, dan bilangan b - bagian imajiner bilangan kompleks z = sebuah + dua. Jika sebuah b= 0, maka alih-alih sebuah + 0saya menulis sederhana sebuah. Diketahui bilangan real adalah kasus spesial bilangan kompleks.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan operasi aritmatika pada bilangan real: mereka dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi satu sama lain. Penjumlahan dan pengurangan dilakukan menurut aturan ( sebuah + dua) ± ( c + di) = (sebuah ± c) + (b ± d)saya, dan perkalian - menurut aturan ( sebuah + dua) · ( c + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)saya(ini hanya digunakan itu saya 2 = -1). Nomor = sebuah – dua ditelepon konjugasi kompleks ke z = sebuah + dua. Persamaan z · = sebuah 2 + b 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lain (bukan nol):

(Sebagai contoh, .)

Bilangan kompleks memiliki kenyamanan dan visual representasi geometris: nomor z = sebuah + dua dapat direpresentasikan sebagai vektor dengan koordinat ( sebuah; b) pada pesawat kartesius(atau, yang hampir sama, titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat ditemukan dengan aturan jajaran genjang). Dengan teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( sebuah; b) adalah sama dengan . Nilai ini disebut modul bilangan kompleks z = sebuah + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat oleh vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumen tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya hingga penambahan kelipatan 2 π radian (atau 360°, jika Anda menghitung dalam derajat) - setelah semua, jelas bahwa berbelok melalui sudut seperti itu di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang r membentuk sudut φ dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( r karena φ ; r dosa φ ). Oleh karena itu ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| (cos(Arg z) + saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri terlihat sangat sederhana: z satu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + saya dosa (Arg z 1+arg z 2)) (ketika mengalikan dua bilangan kompleks, modulusnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti Formula De Moivre: z n = |z|n(karena( n(Arg z)) + saya dosa( n(Arg z))). Dengan bantuan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar tingkat apa pun dari bilangan kompleks. Akar derajat ke-n dari nomor z adalah bilangan kompleks w, Apa w n = z. Sudah jelas itu , Dan dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., n- satu). Ini berarti selalu ada tepat n akar n derajat ke-th dari bilangan kompleks (pada bidang mereka terletak di simpul-simpul reguler n-gon).