ამ სტატიაში საუბარია თემაზე « მანძილი წერტილიდან ხაზამდე », წერტილიდან ხაზამდე მანძილის განმარტებები განიხილება ილუსტრირებული მაგალითებით კოორდინატების მეთოდით. დასასრულს თეორიის თითოეულმა ბლოკმა აჩვენა მსგავსი პრობლემების გადაჭრის მაგალითები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე იპოვება წერტილიდან წერტილამდე მანძილის განსაზღვრით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.

იყოს წრფე a და წერტილი M 1, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს. დახაზეთ მასში a წრფის პერპენდიკულარულად განლაგებული წრფე. გადაკვეთის წერტილი ავიღოთ პირდაპირ H 1-ისთვის. მივიღებთ, რომ M 1 H 1 არის პერპენდიკულარული, რომელიც ჩამოვიდა M 1 წერტილიდან a წრფემდე.

განმარტება 1

მანძილი M 1 წერტილიდან სწორ ხაზამდე aუწოდა მანძილი M 1 და H 1 წერტილებს შორის.

არსებობს განმარტების ჩანაწერები პერპენდიკულარულის სიგრძის ფიგურით.

განმარტება 2

მანძილი წერტილიდან ხაზამდეარის მოცემული წერტილიდან მოცემულ წრფემდე გაყვანილი პერპენდიკულარის სიგრძე.

განმარტებები ექვივალენტურია. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ცნობილია, რომ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე ყველაზე მცირეა. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.

თუ ავიღებთ Q წერტილს, რომელიც მდებარეობს a წრფეზე, რომელიც არ ემთხვევა M 1 წერტილს, მაშინ მივიღებთ, რომ M 1 Q სეგმენტს ეწოდება ირიბი, M 1-დან a წრფემდე დაბლა. აუცილებელია მიეთითოს, რომ M 1 წერტილიდან პერპენდიკულარი ნაკლებია წერტილიდან სწორი ხაზისკენ გამოყვანილ ნებისმიერ სხვა ირიბზე.

ამის დასამტკიცებლად განვიხილოთ სამკუთხედი M 1 Q 1 H 1 , სადაც M 1 Q 1 არის ჰიპოტენუზა. ცნობილია, რომ მისი სიგრძე ყოველთვის აღემატება რომელიმე ფეხის სიგრძეს. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

საწყისი მონაცემები წერტილიდან სწორ ხაზამდე გამოსავლენად იძლევა რამდენიმე ამოხსნის მეთოდის გამოყენების საშუალებას: პითაგორას თეორემის მეშვეობით, სინუსის, კოსინუსის, კუთხის ტანგენტის განმარტება და სხვა. ამ ტიპის ამოცანების უმეტესობა სკოლაში წყდება გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

როდესაც წერტილიდან ხაზამდე მანძილის პოვნისას შესაძლებელია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში შეყვანა, მაშინ გამოიყენება კოორდინატთა მეთოდი. ამ პარაგრაფში განვიხილავთ მოცემული წერტილიდან სასურველი მანძილის პოვნის ძირითად ორ მეთოდს.

პირველი მეთოდი მოიცავს მანძილის პოვნას M 1-დან a წრფემდე პერპენდიკულარულის სახით. მეორე მეთოდი იყენებს ნორმალური განტოლებასწორი ხაზი a სასურველი მანძილის მოსაძებნად.

თუ სიბრტყეზე არის წერტილი M 1 (x 1, y 1) კოორდინატებით მართკუთხა სისტემაკოორდინატები, სწორი ხაზი a, მაგრამ აუცილებელია M 1 H 1 მანძილის პოვნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი გზით. განვიხილოთ ისინი.

პირველი გზა

თუ H 1 წერტილის კოორდინატები ტოლია x 2, y 2, მაშინ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოითვლება კოორდინატებიდან M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) ფორმულიდან. 2 - y 1) 2.

ახლა გადავიდეთ H 1 წერტილის კოორდინატების პოვნაზე.

ცნობილია, რომ სწორი ხაზი O x y-ში შეესაბამება სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებას. ავიღოთ სწორი ხაზის განსაზღვრის გზა a სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ან დახრილობის განტოლების ჩაწერის გზით. ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 წერტილში მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ a. წრფე წიფლით ავღნიშნოთ b . H 1 არის a და b წრფეების გადაკვეთის წერტილი, ამიტომ კოორდინატების დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სტატია, რომელშიც კითხვაზეორი წრფის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებზე.

ჩანს, რომ მოცემული წერტილიდან M 1 (x 1, y 1) მანძილის პოვნის ალგორითმი სწორ ხაზამდე a ხორციელდება წერტილების მიხედვით:

განმარტება 3

• სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების პოვნა a , რომელსაც აქვს ფორმა A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ან განტოლება დახრილობის კოეფიციენტით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k 1 x + b 1;
• b წრფის ზოგადი განტოლების მიღება, რომელსაც აქვს ფორმა A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ან განტოლება დახრილობით y \u003d k 2 x + b 2, თუ წრფე b კვეთს M 1 წერტილს და პერპენდიკულარულია მოცემულ a წრფეზე;
• H 1 წერტილის x 2, y 2 კოორდინატების განსაზღვრა, რომელიც არის a და b კვეთის წერტილი, ამისთვის სისტემა ამოხსნილია წრფივი განტოლებები A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ან y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• საჭირო მანძილის გაანგარიშება წერტილიდან სწორ ხაზამდე, ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

მეორე გზა

თეორემა დაგეხმარებათ პასუხის გაცემაზე სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ ხაზამდე მანძილის პოვნის შესახებ.

თეორემა

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას აქვს O x y-ს აქვს წერტილი M 1 (x 1, y 1), საიდანაც სიბრტყისკენ არის გაყვანილი სწორი ხაზი, რომელიც მოცემულია სიბრტყის ნორმალური განტოლებით, რომელსაც აქვს cos α x + cos β ფორმა. y - p = 0, ტოლია ნორმალური სწორი ხაზის განტოლების მარცხენა მხარეს მიღებული მნიშვნელობის მოდულის, გამოთვლილი x = x 1, y = y 1, ნიშნავს, რომ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - გვ.

მტკიცებულება

წრფე a შეესაბამება სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფორმა cos α x + cos β y - p = 0, შემდეგ n → = (cos α , cos β) ითვლება a წრფის ნორმალურ ვექტორად a-ზე. მანძილი საწყისიდან a წრფემდე p ერთეულებით. აუცილებელია ნახატზე ყველა მონაცემის გამოსახვა, M 1 (x 1, y 1) კოორდინატებით წერტილის დამატება, სადაც წერტილის რადიუსის ვექტორი M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . აუცილებელია წერტილიდან სწორ ხაზამდე სწორი ხაზის გავლება, რომელსაც M 1 H 1-ით აღვნიშნავთ. აუცილებელია აჩვენოთ M 1 და H 2 წერტილების M 2 და H 2 პროგნოზები O წერტილში გამავალ სწორ ხაზზე n → = (cos α , cos β) ფორმის მიმართული ვექტორით და რიცხვითი პროექცია. ვექტორის აღინიშნა როგორც O M 1 → = (x 1 , y 1) მიმართულებით n → = (cos α , cos β) როგორც n p n → O M 1 → .

ვარიაციები დამოკიდებულია თავად M 1 წერტილის მდებარეობაზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ჩვენ ვაფიქსირებთ შედეგებს ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. შემდეგ მივიღებთ ტოლობას ამ ფორმამდე M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, რათა მივიღოთ n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

ვექტორების სკალარული ნამრავლი იწვევს n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ფორმის ტრანსფორმირებულ ფორმულას, რომელიც არის ნამრავლი კოორდინატულ ფორმაში. ფორმა n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . აქედან გამომდინარე, მივიღებთ, რომ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . აქედან გამომდინარეობს, რომ M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. თეორემა დადასტურდა.

მივიღებთ, რომ M 1 (x 1, y 1) წერტილიდან სიბრტყეზე a სწორ ხაზამდე მანძილის დასადგენად, რამდენიმე მოქმედება უნდა შესრულდეს:

განმარტება 4

• a cos α · x + cos β · y - p = 0 წრფის ნორმალური განტოლების მიღება, იმ პირობით, რომ ის არ არის დავალებაში;
• გამოთვლა cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , სადაც მიღებული მნიშვნელობა იღებს M 1 H 1 .

მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდები წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პოვნის ამოცანების გადასაჭრელად.

მაგალითი 1

იპოვეთ მანძილი M 1 (- 1 , 2) კოორდინატებით წერტილიდან 4 x - 3 y + 35 = 0 წრფემდე.

გამოსავალი

გამოვიყენოთ პირველი მეთოდი გადაჭრისთვის.

ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ b წრფის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 1 (- 1 , 2) 4 x - 3 y + 35 = 0 წრფეზე პერპენდიკულარულად. ეს ჩანს იმ პირობით, რომ b წრფე პერპენდიკულარულია a წრფეზე, მაშინ მის მიმართულების ვექტორს აქვს (4, - 3) ტოლი კოორდინატები. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა დავწეროთ b წრფის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, რადგან არის M 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც ეკუთვნის b წრფეს. განვსაზღვროთ b სწორი წრფის მიმართული ვექტორის კოორდინატები. მივიღებთ, რომ x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . მიღებული კანონიკური განტოლება უნდა გარდაიქმნას ზოგად. მაშინ მივიღებთ ამას

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ვიპოვოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები, რომლებსაც მივიღებთ როგორც H 1 აღნიშვნა. ტრანსფორმაციები ასე გამოიყურება:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ზემოაღნიშნულიდან გვაქვს, რომ H 1 წერტილის კოორდინატებია (- 5; 5) .

აუცილებელია გამოვთვალოთ მანძილი M 1 წერტილიდან სწორ ხაზამდე a. ჩვენ გვაქვს M 1 (- 1, 2) და H 1 (- 5, 5) წერტილების კოორდინატები, შემდეგ ვცვლით მანძილის საპოვნელ ფორმულას და მივიღებთ ამას

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

მეორე გამოსავალი.

სხვა გზით ამოსახსნელად საჭიროა სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მიღება. ჩვენ ვიანგარიშებთ ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობას და ვამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს 4 x - 3 y + 35 = 0. აქედან მივიღებთ, რომ ნორმალიზების ფაქტორი არის - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , და ნორმალური განტოლება იქნება - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0.

გაანგარიშების ალგორითმის მიხედვით, აუცილებელია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მიღება და მისი გამოთვლა x = - 1, y = 2 მნიშვნელობებით. მაშინ მივიღებთ ამას

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

აქედან მივიღებთ, რომ მანძილს M 1 წერტილიდან (- 1 , 2) მოცემულ სწორ ხაზამდე 4 x - 3 y + 35 = 0 აქვს მნიშვნელობა - 5 = 5 .

პასუხი: 5 .

ჩანს, რომ ში ამ მეთოდითმნიშვნელოვანია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენება, რადგან ეს მეთოდი ყველაზე მოკლეა. მაგრამ პირველი მეთოდი მოსახერხებელია იმით, რომ ის თანმიმდევრული და ლოგიკურია, თუმცა მას უფრო მეტი საანგარიშო ქულა აქვს.

მაგალითი 2

სიბრტყეზე არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y წერტილით M 1 (8, 0) და სწორი ხაზით y = 1 2 x + 1. იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

გამოსავალი

გამოსავალი პირველ რიგში გულისხმობს შემცირებას მოცემული განტოლებაგანტოლებისკენ დახრილობით ზოგადი ხედი. გამარტივებისთვის, შეგიძლიათ სხვაგვარად გააკეთოთ.

თუ პერპენდიკულარული ხაზების ფერდობების ნამრავლს აქვს - 1, მაშინ ფერდობზემოცემულ y = 1 2 x + 1 წრფეს აქვს 2 მნიშვნელობა. ახლა მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის წერტილს M 1 კოორდინატებით (8, 0). გვაქვს, რომ y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ჩვენ ვაგრძელებთ H 1 წერტილის კოორდინატების პოვნას, ანუ გადაკვეთის წერტილებს y \u003d - 2 x + 16 და y \u003d 1 2 x + 1. ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას და ვიღებთ:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ მანძილი M 1 (8, 0) კოორდინატების მქონე წერტილიდან y = 1 2 x + 1 წრფემდე უდრის მანძილს საწყისი წერტილიდან და ბოლო წერტილიდან M 1 (8, 0) და H კოორდინატებით. 1 (6, 4) . გამოვთვალოთ და მივიღოთ, რომ M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

გამოსავალი მეორე გზით არის კოეფიციენტით განტოლებიდან მის ნორმალურ ფორმაზე გადასვლა. ანუ, ჩვენ ვიღებთ y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, მაშინ ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობა იქნება - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . აქედან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება იღებს ფორმას - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . გამოვთვალოთ M 1 8 , 0 წერტილიდან ფორმის სწორ ხაზამდე - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . ჩვენ ვიღებთ:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

პასუხი: 2 5 .

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან M 1 (- 2 , 4) კოორდინატებით სწორ ხაზებამდე 2 x - 3 = 0 და y + 1 = 0 .

გამოსავალი

ჩვენ ვიღებთ სწორი ხაზის ნორმალური ფორმის განტოლებას 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

შემდეგ ვაგრძელებთ მანძილის გამოთვლას M 1 - 2, 4 წერტილიდან სწორ ხაზამდე x - 3 2 = 0. ჩვენ ვიღებთ:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

სწორი ხაზის განტოლებას y + 1 = 0 აქვს ნორმალიზების ფაქტორი -1 მნიშვნელობით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება მიიღებს ფორმას - y - 1 = 0. ვაგრძელებთ მანძილის გამოთვლას M 1 წერტილიდან (- 2 , 4) სწორ ხაზამდე - y - 1 = 0 . მივიღებთ, რომ ის უდრის - 4 - 1 = 5.

პასუხი: 3 1 2 და 5 .

დეტალურად განვიხილოთ სიბრტყის მოცემული წერტილიდან O x და O y კოორდინატულ ღერძამდე მანძილის განსაზღვრა.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O y ღერძს აქვს სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც არასრულია და აქვს ფორმა x \u003d 0 და O x - y \u003d 0. განტოლებები ნორმალურია კოორდინატთა ღერძებისთვის, მაშინ აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან M 1 x 1 , y 1 კოორდინატებით სწორ ხაზებამდე. ეს კეთდება M 1 H 1 = x 1 და M 1 H 1 = y 1 ფორმულების საფუძველზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

მაგალითი 4

იპოვეთ მანძილი M 1 (6, - 7) წერტილიდან O x y სიბრტყეში მდებარე კოორდინატთა ხაზებამდე.

გამოსავალი

ვინაიდან განტოლება y \u003d 0 ეხება O x ხაზს, შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1-დან მოცემული კოორდინატები, ამ ხაზამდე, ფორმულის გამოყენებით. მივიღებთ, რომ 6 = 6.

ვინაიდან განტოლება x \u003d 0 ეხება O y ხაზს, შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1-დან ამ ხაზამდე ფორმულის გამოყენებით. შემდეგ მივიღებთ, რომ - 7 = 7.

პასუხი:მანძილი M 1-დან Ox-მდე აქვს 6 მნიშვნელობა, ხოლო M 1-დან O y-მდე აქვს მნიშვნელობა 7.

როცა შევიდა სამგანზომილებიანი სივრცეჩვენ გვაქვს წერტილი კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1), თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი A წერტილიდან a წრფემდე.

განვიხილოთ ორი გზა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომელიც მდებარეობს სივრცეში. პირველი შემთხვევა განიხილავს მანძილს M 1 წერტილიდან წრფემდე, სადაც წრფის წერტილს ჰქვია H 1 და არის M 1 წერტილიდან a წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარულის საფუძველი. მეორე შემთხვევა ვარაუდობს, რომ ამ სიბრტყის წერტილები პარალელოგრამის სიმაღლედ უნდა ვეძებოთ.

პირველი გზა

განმარტებიდან გვაქვს, რომ მანძილი A სწორ ხაზზე მდებარე M 1 წერტილიდან არის M 1 H 1 პერპენდიკულარულის სიგრძე, შემდეგ მივიღებთ ამას H 1 წერტილის ნაპოვნი კოორდინატებით, შემდეგ ვპოულობთ მანძილს. M 1 (x 1, y 1, z 1) და H 1 (x 1, y 1, z 1) შორის M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z ფორმულის საფუძველზე 2 - z 1 2 .

ჩვენ ვიღებთ ამ ყველაფერს გადაწყვეტილება მოდისრათა ვიპოვოთ M 1-დან a წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულურის ფუძის კოორდინატები. ეს კეთდება შემდეგნაირად: H 1 არის წერტილი, სადაც a წრფე კვეთს სიბრტყეს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში.

ეს ნიშნავს, რომ M 1 წერტილიდან (x 1, y 1, z 1) მანძილის განსაზღვრის ალგორითმი სივრცის a სწორ ხაზამდე გულისხმობს რამდენიმე წერტილს:

განმარტება 5

• χ სიბრტყის განტოლების შედგენა წრფის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების სახით;
• H 1 წერტილის კუთვნილი კოორდინატების (x 2 , y 2 , z 2) განსაზღვრა, რომელიც არის a წრფისა და χ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი;
• წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

მეორე გზა

მდგომარეობიდან გვაქვს a წრფე, შემდეგ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მიმართულების ვექტორი a → = a x, a y, a z კოორდინატებით x 3, y 3, z 3 და a წრფეს მიეკუთვნება გარკვეული წერტილი M 3. M 1 (x 1 , y 1) და M 3 x 3, y 3, z 3, M 3 M 1 → წერტილების კოორდინატების გათვალისწინებით შეიძლება გამოითვალოს:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

აუცილებელია A → \u003d a x, a y, a z და M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ვექტორების გადადება M 3 წერტილიდან, შეაერთეთ და მიიღეთ პარალელოგრამის ფიგურა. M 1 H 1 არის პარალელოგრამის სიმაღლე.

განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ჩვენ გვაქვს, რომ სიმაღლე M 1 H 1 არის სასურველი მანძილი, მაშინ თქვენ უნდა იპოვოთ იგი ფორმულის გამოყენებით. ანუ ჩვენ ვეძებთ M 1 H 1 .

აღნიშნეთ პარალელოგრამის ფართობი ასო S-ით, რომელიც გვხვდება ფორმულით a → = (a x, a y, a z) და M 3 M 1 → = x 1 - x 3 ვექტორის გამოყენებით. y 1 - y 3, z 1 - z 3. ფართობის ფორმულას აქვს ფორმა S = a → × M 3 M 1 →. ასევე, ფიგურის ფართობი უდრის მისი გვერდების სიგრძისა და სიმაღლის ნამრავლს, მივიღებთ, რომ S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, რომელიც არის a → \u003d (a x, a y, a z) ვექტორის სიგრძე თანაბარი მხარეპარალელოგრამი. აქედან გამომდინარე, M 1 H 1 არის მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. იგი გვხვდება ფორმულით M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

M 1 (x 1, y 1, z 1) კოორდინატების მქონე წერტილიდან მანძილის საპოვნელად სივრცეში a სწორ ხაზამდე, თქვენ უნდა შეასრულოთ ალგორითმის რამდენიმე წერტილი:

განმარტება 6

• სწორი წრფის მიმართულების ვექტორის განსაზღვრა a - a → = (a x , a y , a z) ;
• მიმართულების ვექტორის სიგრძის გამოთვლა a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a წრფეზე მდებარე M 3 წერტილის კუთვნილი x 3 , y 3 , z 3 კოორდინატების მიღება;
• ვექტორის M 3 M 1 → კოორდინატების გამოთვლა;
• ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის პოვნა a → (a x, a y, a z) და M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 როგორც → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 სიგრძის მისაღებად a → × M 3 M 1 → ფორმულის მიხედვით;
• წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

ამოცანების ამოხსნა სივრცეში მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის შესახებ

მაგალითი 5

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან M 1 2 , - 4 , - 1 კოორდინატებით x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 წრფემდე.

გამოსავალი

პირველი მეთოდი იწყება M 1-ზე გამავალი χ სიბრტყის განტოლების ჩაწერით და მოცემულ წერტილზე პერპენდიკულარულად. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

საჭიროა ვიპოვოთ H 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც წარმოადგენს χ სიბრტყესთან პირობით მოცემულ სწორ ხაზთან გადაკვეთის წერტილი. აუცილებელია კანონიკური ფორმიდან გადაკვეთაზე გადასვლა. შემდეგ მივიღებთ ფორმის განტოლებათა სისტემას:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

აუცილებელია სისტემის გამოთვლა x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 კრამერის მეთოდით, მაშინ მივიღებთ, რომ:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

მეორე გზა არის კოორდინატების მოძიებით დაწყება კანონიკური განტოლება. ამისათვის ყურადღება მიაქციეთ წილადის მნიშვნელებს. მაშინ a → = 2 , - 1 , 5 არის x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 წრფის მიმართულების ვექტორი. აუცილებელია სიგრძის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

ნათელია, რომ წრფე x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 კვეთს M 3 წერტილს (- 1 , 0 , - 5), აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ ვექტორი საწყისი M 3 (- 1 , 0) , - 5) და მისი დასასრული M 1 2 , - 4 , - 1 წერტილში არის M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Ჩვენ ვიპოვეთ ვექტორული პროდუქტი a → = (2 , - 1 , 5) და M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

ვიღებთ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ფორმის გამოსახულებას. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

მივიღებთ, რომ ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე არის → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი იმისათვის, რომ გამოვიყენოთ ფორმულა წერტილიდან მანძილის გამოსათვლელად სწორი ხაზისთვის, ამიტომ ვიყენებთ მას და ვიღებთ:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

პასუხი: 11 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარის სიგრძე წერტილიდან ხაზამდე. AT აღწერილობითი გეომეტრიაიგი გრაფიკულად განისაზღვრება ქვემოთ მოცემული ალგორითმის მიხედვით.

ალგორითმი

1. სწორი ხაზი გადადის ისეთ პოზიციაზე, რომელშიც ის პარალელურად იქნება ნებისმიერი პროექციის სიბრტყის. ამისათვის გამოიყენეთ ორთოგონალური პროგნოზების ტრანსფორმაციის მეთოდები.
2. დახაზეთ პერპენდიკულარი წერტილიდან ხაზამდე. ბირთვში ამ მშენებლობასარის სწორი კუთხის პროექციის თეორემა.
3. პერპენდიკულარის სიგრძე განისაზღვრება მისი პროგნოზების გარდაქმნით ან მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით.

შემდეგი სურათი გვიჩვენებს რთული ნახაზიწერტილი M და წრფე b, მოცემული სეგმენტით CD. თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი მათ შორის.

ჩვენი ალგორითმის მიხედვით, პირველი რაც უნდა გავაკეთოთ არის ხაზის პოზიციაზე გადატანა თვითმფრინავის პარალელურადპროგნოზები. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ გარდაქმნების შემდეგ, წერტილისა და ხაზს შორის ფაქტობრივი მანძილი არ უნდა შეიცვალოს. ამიტომ აქ მოსახერხებელია თვითმფრინავის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება, რომელიც არ გულისხმობს სივრცეში ფიგურების გადაადგილებას.

მშენებლობის პირველი ეტაპის შედეგები ნაჩვენებია ქვემოთ. ნახაზი გვიჩვენებს, თუ როგორ არის შემოტანილი დამატებითი ფრონტალური სიბრტყე P 4 b-ის პარალელურად. AT ახალი სისტემა(P 1 , P 4) წერტილები C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 X 1 ღერძიდან იმავე მანძილზეა, როგორც C"", D"", M"" X ღერძიდან.

ალგორითმის მეორე ნაწილის შესრულებისას, M "" 1-დან ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულ M "" 1 N "" 1 სწორ ხაზს b "" 1, რადგან სწორი კუთხე MND b და MN-ს შორის არის დაპროექტებული სიბრტყეზე P 4. in ცხოვრების ზომა. ვადგენთ N" წერტილის პოზიციას საკომუნიკაციო ხაზის გასწვრივ და ვხატავთ MN სეგმენტის M"N" პროექციას.

Ზე დასკვნითი ეტაპიაუცილებელია MN სეგმენტის მნიშვნელობის განსაზღვრა მისი პროგნოზებით M"N" და M"" 1 N"" 1 . ამისთვის ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედი M"" 1 N"" 1 N 0, რომლის ფეხი N"" 1 N 0 უდრის სხვაობას (Y M 1 – Y N 1) X 1 ღერძიდან M" და N" წერტილების ამოღების. M"" 1 N 0 სამკუთხედის M"" 1 N"" 1 N 0 ჰიპოტენუზის სიგრძე შეესაბამება M-დან b-მდე სასურველ მანძილს.

გადაჭრის მეორე გზა

• პარალელურად, CD წარუდგენს ახალს ფრონტალური თვითმფრინავი P 4 . ის კვეთს P 1-ს X 1 ღერძის გასწვრივ და X 1 ∥C"D". თვითმფრინავების ჩანაცვლების მეთოდის შესაბამისად, ჩვენ განვსაზღვრავთ C "" 1, D"" 1 და M"" 1 წერტილების პროგნოზებს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.
• C"" 1 D"" 1 პერპენდიკულარულად ვაშენებთ დამატებით ჰორიზონტალური სიბრტყე P 5, რომელზედაც წრფე b დაპროექტებულია C წერტილამდე "2 = b" 2.
• მანძილი M წერტილსა და b სწორ ხაზს შორის განისაზღვრება წითლად მონიშნული M "2 C" 2 სეგმენტის სიგრძით.

დაკავშირებული ამოცანები:

პირველი დონე

კოორდინატები და ვექტორები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

ამ სტატიაში მე და თქვენ დავიწყებთ განხილვას ერთი "ჯადოსნური ჯოხის" შესახებ, რომელიც საშუალებას მოგცემთ შეამციროთ მრავალი პრობლემა გეომეტრიაში მარტივ არითმეტიკამდე. ამ „კვერთხს“ შეუძლია თქვენი ცხოვრება ბევრად გაადვილოს, განსაკუთრებით მაშინ, როცა ფორმირებაში თავს დაუცველად გრძნობთ სივრცითი ფიგურები, სექციები და ა.შ. ეს ყველაფერი გარკვეულ ფანტაზიას და პრაქტიკულ უნარებს მოითხოვს. მეთოდი, რომლის განხილვას აქ დავიწყებთ, საშუალებას მოგცემთ თითქმის მთლიანად აბსტრაქციას ნებისმიერი სახისგან გეომეტრიული კონსტრუქციებიდა მსჯელობა. მეთოდს ე.წ "კოორდინაციის მეთოდი". ამ სტატიაში განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. საკოორდინაციო თვითმფრინავი
2. წერტილები და ვექტორები სიბრტყეზე
3. ვექტორის აგება ორი წერტილიდან
4. ვექტორის სიგრძე (მანძილი ორ წერტილს შორის).
5. შუა წერტილის კოორდინატები
6. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
7. კუთხე ორ ვექტორს შორის

მგონი უკვე მიხვდით, რატომ ჰქვია ასე კოორდინატულ მეთოდს? მართალია, მან მიიღო ასეთი სახელი, რადგან ის მოქმედებს არა გეომეტრიულ ობიექტებთან, არამედ მათთან რიცხვითი მახასიათებლები(კოორდინატები). ხოლო თავად ტრანსფორმაცია, რომელიც შესაძლებელს ხდის გეომეტრიიდან ალგებრაზე გადასვლას, შედგება კოორდინატთა სისტემის დანერგვაში. თუ თავდაპირველი ფიგურა ბრტყელია, მაშინ კოორდინატები ორგანზომილებიანია, ხოლო თუ ფიგურა სამგანზომილებიანია, მაშინ კოორდინატები სამგანზომილებიანია. ამ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ ორგანზომილებიან შემთხვევას. და სტატიის მთავარი მიზანია გასწავლოთ როგორ გამოიყენოთ ზოგიერთი ძირითადი ტექნიკაკოორდინატთა მეთოდი (ისინი ზოგჯერ გამოსადეგი აღმოჩნდება პლანიმეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად USE-ის B ნაწილში). ამ თემაზე შემდეგი ორი განყოფილება ეთმობა C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდების განხილვას (სტერეომეტრიის პრობლემა).

სად იქნება ლოგიკური კოორდინატთა მეთოდის განხილვის დაწყება? ალბათ კოორდინატთა სისტემის კონცეფციით. გაიხსენეთ, როდესაც პირველად შეხვდით მას. მე-7 კლასში მეჩვენება, როცა არსებობის შესახებ შეიტყვე ხაზოვანი ფუნქცია, მაგალითად. ნება მომეცით შეგახსენოთ, რომ თქვენ ააგეთ იგი წერტილი-პუნქტით. Გახსოვს? თქვენ აირჩიეთ თვითნებური რიცხვი, ჩაანაცვლეთ იგი ფორმულაში და გამოითვალეთ ამ გზით. მაგალითად, თუ, მაშინ, თუ, მაშინ და ა.შ. რა მიიღეთ შედეგად? და მიიღეთ ქულები კოორდინატებით: და. შემდეგ დახატეთ „ჯვარი“ (კოორდინატთა სისტემა), შეარჩიეთ მასზე სკალა (რამდენი უჯრედი გექნებათ ერთ სეგმენტად) და მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები, რომლებიც შემდეგ დააკავშირეთ სწორი ხაზით, შედეგად მიღებული ხაზი. არის ფუნქციის გრაფიკი.

არის რამდენიმე რამ, რაც ცოტა უფრო დეტალურად უნდა აგიხსნათ:

1. მოხერხებულობის გამო ირჩევთ ერთ სეგმენტს, რათა ყველაფერი ლამაზად და კომპაქტურად მოერგოს სურათს

2. ვარაუდობენ, რომ ღერძი მიდის მარცხნიდან მარჯვნივ, ხოლო ღერძი ქვემოდან ზევით

3. ისინი იკვეთებიან სწორი კუთხით და მათი გადაკვეთის წერტილს საწყისს უწოდებენ. იგი აღინიშნება ასოთი.

4. წერტილის კოორდინატის ჩანაწერში, მაგალითად, ფრჩხილებში მარცხნივ არის წერტილის კოორდინატი ღერძის გასწვრივ, ხოლო მარჯვნივ, ღერძის გასწვრივ. კერძოდ, უბრალოდ ნიშნავს, რომ წერტილი

5. ნებისმიერი წერტილის დასაყენებლად კოორდინატთა ღერძი, თქვენ უნდა მიუთითოთ მისი კოორდინატები (2 ნომერი)

6. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

7. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

8. ღერძს x-ღერძი ეწოდება

9. ღერძს y-ღერძი ეწოდება

ახლა მოდით ეს თქვენთან ერთად გავაკეთოთ შემდეგი ნაბიჯი: მონიშნეთ ორი წერტილი. დააკავშირეთ ეს ორი წერტილი ხაზით. და დავდოთ ისარი ისე, თითქოს ვხატავთ სეგმენტს წერტილიდან წერტილამდე: ანუ ჩვენს სეგმენტს მივაქცევთ მიმართულს!

დაიმახსოვრეთ რა არის სხვა სახელი მიმართული სეგმენტისთვის? მართალია, ამას ვექტორი ჰქვია!

ამრიგად, თუ წერტილს დავუკავშირებთ წერტილს, და დასაწყისი იქნება წერტილი A, დასასრული იქნება წერტილი B,შემდეგ ვიღებთ ვექტორს. ეს მშენებლობაც მე-8 კლასში გააკეთე, გახსოვს?

გამოდის, რომ ვექტორები, ისევე როგორც წერტილები, შეიძლება აღინიშნოს ორი რიცხვით: ამ რიცხვებს ვექტორის კოორდინატები ეწოდება. კითხვა: როგორ ფიქრობთ, საკმარისია ჩვენთვის ვიცოდეთ ვექტორის დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატები, რომ ვიპოვოთ მისი კოორდინატები? გამოდის, რომ დიახ! და ამის გაკეთება ძალიან მარტივია:

ამრიგად, ვინაიდან ვექტორში წერტილი არის დასაწყისი და დასასრული, ვექტორს აქვს შემდეგი კოორდინატები:

მაგალითად, თუ, მაშინ ვექტორის კოორდინატები

ახლა გავაკეთოთ პირიქით, ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები. რა უნდა შევცვალოთ ამისთვის? დიახ, თქვენ უნდა შეცვალოთ დასაწყისი და დასასრული: ახლა ვექტორის დასაწყისი იქნება წერტილში, დასასრული კი წერტილში. შემდეგ:

დააკვირდით, რა განსხვავებაა ვექტორებსა და? მათი განსხვავება მხოლოდ კოორდინატებში ნიშნებია. ისინი საპირისპიროა. ეს ფაქტი ასე წერია:

ზოგჯერ, თუ კონკრეტულად არ არის მითითებული, რომელი წერტილია ვექტორის დასაწყისი და რომელი დასასრული, მაშინ ვექტორები აღინიშნა არა ორით. დიდი ასოები, მაგრამ ერთი პატარა, მაგალითად: და ა.შ.

ახლა ცოტა პრაქტიკადა იპოვეთ შემდეგი ვექტორების კოორდინატები:

გამოცდა:

ახლა მოაგვარეთ პრობლემა ცოტა უფრო რთული:

ვექტორულ ტორს on-cha-scrap-ით წერტილში აქვს co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su წერტილები.

ერთი და იგივე საკმაოდ პროზაულია: მოდით იყოს წერტილის კოორდინატები. მერე

მე შევადგინე სისტემა ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრით. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები. ჩვენ გვაინტერესებს აბსცისი. მერე

პასუხი:

კიდევ რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ვექტორებთან? დიახ, თითქმის ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივი ნომრები(თუ არ შეგიძლიათ გაყოფა, მაგრამ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი გზით, რომელთაგან ერთს აქ ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ)

1. ვექტორები შეიძლება დაწყობილი იყოს ერთმანეთთან
2. ვექტორები შეიძლება გამოკლდეს ერთმანეთს
3. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს (ან გაიყოს) თვითნებური არანულოვანი რიცხვით
4. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთთან

ყველა ეს ოპერაცია საკმაოდ ვიზუალურია გეომეტრიული გამოსახულება. მაგალითად, სამკუთხედის (ან პარალელოგრამის) წესი შეკრებისა და გამოკლებისთვის:

ვექტორი იჭიმება ან იკუმშება ან იცვლის მიმართულებას რიცხვზე გამრავლებისას ან გაყოფისას:

თუმცა, აქ ჩვენ დავინტერესდებით, რა ემართება კოორდინატებს.

1. ორი ვექტორის შეკრებისას (გამოკლებისას) ელემენტ-ელემენტს ვამატებთ (ვაკლებთ) მათ კოორდინატებს. ანუ:

2. ვექტორის რიცხვზე გამრავლების (გაყოფისას) მისი ყველა კოორდინატი მრავლდება (იყოფა) ამ რიცხვზე:

Მაგალითად:

· იპოვე-დი-კო-ორ-დი-ნატ საუკუნე-რა-ს ჯამი.

ჯერ ვიპოვოთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები. ორივეს აქვს იგივე დასაწყისი- წარმოშობის წერტილი. მათი ბოლოები განსხვავებულია. შემდეგ,. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ვექტორის კოორდინატებს მაშინ მიღებული ვექტორის კოორდინატების ჯამი უდრის.

პასუხი:

ახლა თავად მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემა:

· იპოვეთ ვექტორის კოორდინატების ჯამი

ჩვენ ვამოწმებთ:

ახლა განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: ჩვენ გვაქვს ორი წერტილი საკოორდინაციო თვითმფრინავი. როგორ მოვძებნოთ მანძილი მათ შორის? დაე, პირველი წერტილი იყოს და მეორე. ავღნიშნოთ მათ შორის მანძილი როგორც . მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ნახაზი სიცხადისთვის:

Რა გავაკეთე? პირველად დავაკავშირე ქულები და, აასევე წერტილიდან ღერძის პარალელური ხაზი და წერტილიდან ღერძის პარალელური ხაზი. გადაიკვეთა ისინი ერთ წერტილში და ქმნიან მშვენიერ ფიგურას? რატომ არის ის მშვენიერი? დიახ, მე და შენ თითქმის ყველაფერი ვიცით მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ. კარგად, პითაგორას თეორემა, რა თქმა უნდა. სასურველი სეგმენტი არის ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, ხოლო სეგმენტები არის ფეხები. რა არის წერტილის კოორდინატები? დიახ, მათი პოვნა მარტივია ნახატიდან: ვინაიდან სეგმენტები ღერძების პარალელურია და, შესაბამისად, მათი სიგრძეც ადვილი საპოვნელია: თუ სეგმენტების სიგრძეებს აღვნიშნავთ, შესაბამისად, მეშვეობით, მაშინ

ახლა გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვიცით ფეხების სიგრძე, ვიპოვით ჰიპოტენუზას:

ამრიგად, ორ წერტილს შორის მანძილი არის კოორდინატებისგან განსხვავებების კვადრატული ჯამი. ან - ორ წერტილს შორის მანძილი არის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე. ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილებს შორის მანძილი არ არის დამოკიდებული მიმართულებაზე. შემდეგ:

აქედან გამოვიტანთ სამ დასკვნას:

მოდით ვივარჯიშოთ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლაზე:

მაგალითად, თუ, მაშინ მანძილი და არის

ან სხვანაირად წავიდეთ: იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები

და იპოვნეთ ვექტორის სიგრძე:

როგორც ხედავთ, ეს იგივეა!

ახლა ცოტა ივარჯიშეთ საკუთარ თავზე:

დავალება: იპოვნეთ მანძილი მოცემულ წერტილებს შორის:

ჩვენ ვამოწმებთ:

აქ არის კიდევ რამდენიმე პრობლემა ერთი და იგივე ფორმულისთვის, თუმცა ისინი ოდნავ განსხვავებულად ჟღერს:

1. იპოვე-დი-ტე ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი-მდე-რა.

2. ნაი-დი-ტე ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი-რა

ვფიქრობ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ? ჩვენ ვამოწმებთ:

1. და ეს ყურადღებისთვის) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ვექტორების კოორდინატები: . მაშინ ვექტორს აქვს კოორდინატები. მისი სიგრძის კვადრატი იქნება:

2. იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები

მაშინ მისი სიგრძის კვადრატი არის

არაფერი რთული, არა? მარტივი არითმეტიკა, მეტი არაფერი.

შემდეგი პრობლემები არ შეიძლება ცალსახად კლასიფიცირებული იყოს, უფრო სწორად ზოგადი ერუდიციადა მარტივი სურათების დახატვის უნარი.

1. იპოვეთ-დი-ის კუთხის სინუსები-დაახლოება-გან-გაჭრილი, შეაერთეთ-ერთი-n-მე-ე წერტილი, აბსცისის ღერძით.

და

როგორ ვაპირებთ ამის გაკეთებას აქ? თქვენ უნდა იპოვოთ ღერძი და კუთხის სინუსი. და სად ვეძიოთ სინუსი? მართალია, მართკუთხა სამკუთხედში. მაშ რა უნდა გავაკეთოთ? ააშენე ეს სამკუთხედი!

ვინაიდან წერტილის კოორდინატები და, მაშინ სეგმენტი ტოლია და სეგმენტი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კუთხის სინუსი. შეგახსენებთ, რომ სინუსი არის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მაშინ

რა დაგვრჩენია გავაკეთოთ? იპოვეთ ჰიპოტენუზა. ამის გაკეთება შეგიძლიათ ორი გზით: პითაგორას თეორემით (ფეხები ცნობილია!) ან ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულით (ფაქტობრივად იგივეა, რაც პირველი მეთოდი!). მე მეორე გზით წავალ:

პასუხი:

შემდეგი ამოცანა კიდევ უფრო ადვილი მოგეჩვენებათ. მან - წერტილის კოორდინატებზე.

დავალება 2.წერტილიდან პერ-პენ-დი-კუ-ლარი დაშვებულია აბს-ცისის ღერძზე. ნაი-დი-ტე აბს-სის-სუ ოს-ნო-ვა-ნია პერ-პენ-დი-კუ-ლა-რა.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

პერპენდიკულარის ფუძე არის წერტილი, სადაც ის კვეთს x ღერძს (ღერძს) ჩემთვის ეს არის წერტილი. ნახაზი აჩვენებს, რომ მას აქვს კოორდინატები: . ჩვენ გვაინტერესებს აბსციზა – ანუ „X“ კომპონენტი. ის თანაბარია.

პასუხი: .

დავალება 3.წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ მანძილების ჯამი წერტილიდან კოორდინატთა ღერძებამდე.

ამოცანა ზოგადად ელემენტარულია, თუ იცით რა მანძილია წერტილიდან ღერძებამდე. Შენ იცი? იმედი მაქვს, მაგრამ მაინც შეგახსენებთ:

ასე რომ, ჩემს ნახატში, რომელიც მდებარეობს ოდნავ მაღლა, მე უკვე გამოვხატე ერთი ასეთი პერპენდიკულარული? რა ღერძია? ღერძამდე. და რა არის მისი სიგრძე მაშინ? ის თანაბარია. ახლა თავად დახაზეთ ღერძის პერპენდიკულარი და იპოვეთ მისი სიგრძე. თანაბარი იქნება, არა? მაშინ მათი ჯამი ტოლია.

პასუხი: .

დავალება 4.მე-2 დავალების პირობებში იპოვნეთ წერტილის ორდინატი, სიმეტრიული წერტილი x-ღერძის შესახებ.

ვფიქრობ, თქვენ ინტუიციურად გესმით რა არის სიმეტრია? ძალიან ბევრ ობიექტს აქვს: ბევრი შენობა, მაგიდა, თვითმფრინავი, ბევრი გეომეტრიული ფიგურები: ბურთი, ცილინდრი, კვადრატი, რომბი და ა.შ. უხეშად რომ ვთქვათ, სიმეტრია ასე შეიძლება გავიგოთ: ფიგურა შედგება ორი (ან მეტი) იდენტური ნახევრისგან. ამ სიმეტრიას ღერძული ეწოდება. მაშინ რა არის ღერძი? ეს არის ზუსტად ის ხაზი, რომლის გასწვრივ ფიგურა შეიძლება, შედარებით რომ ვთქვათ, "გაიჭრას" იდენტურ ნახევრად (ამ სურათზე სიმეტრიის ღერძი სწორია):

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩვენ ვიცით, რომ ვეძებთ წერტილს, რომელიც სიმეტრიულია ღერძის მიმართ. მაშინ ეს ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი. ასე რომ, ჩვენ უნდა მოვნიშნოთ წერტილი ისე, რომ ღერძი გაჭრას სეგმენტი ორ თანაბარ ნაწილად. შეეცადეთ თავად მონიშნოთ ასეთი წერტილი. ახლა შეადარე ჩემს გადაწყვეტას:

შენც იგივე გააკეთე? კარგი! აღმოჩენილ წერტილში ჩვენ გვაინტერესებს ორდინატი. ის თანაბარია

პასუხი:

ახლა მითხარი, წამით ფიქრის შემდეგ როგორი იქნება A წერტილის სიმეტრიული წერტილის აბსციზა y ღერძის მიმართ? Რა არის შენი პასუხი? Სწორი პასუხი: .

AT ზოგადი შემთხვევაწესი შეიძლება დაიწეროს ასე:

სიმეტრიულ წერტილს x ღერძის გარშემო აქვს კოორდინატები:

y-ღერძის გარშემო წერტილის სიმეტრიულ წერტილს აქვს კოორდინატები:

ისე, ახლა მართლა საშინელებაა. დავალება: იპოვეთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ, საწყისის მიმართ. ჯერ შენ თვითონ იფიქრე და მერე ჩემს ნახატს შეხედე!

პასუხი:

ახლა პარალელოგრამის პრობლემა:

დავალება 5: ქულები არის ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. იპოვნეთ-დე-ტე ან-დე-ონ-ტუ წერტილები.

ამ პრობლემის გადაჭრა შეგიძლიათ ორი გზით: ლოგიკით და კოორდინატთა მეთოდით. ჯერ გამოვიყენებ კოორდინატთა მეთოდს, შემდეგ კი გეტყვით, როგორ შეგიძლიათ სხვაგვარად გადაწყვიტოთ.

სავსებით ნათელია, რომ წერტილის აბსციზა ტოლია. (ის დევს წერტილიდან x-ღერძამდე დახატულ პერპენდიკულარზე). ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორდინატი. ვისარგებლოთ იმით, რომ ჩვენი ფიგურა პარალელოგრამია, რაც იმას ნიშნავს. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით:

ღერძთან წერტილის დამაკავშირებელ პერპენდიკულარს ვამცირებთ. გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება ასოთი.

სეგმენტის სიგრძე ტოლია. (თვითონ იპოვნეთ პრობლემა, სადაც განვიხილეთ ეს მომენტი), შემდეგ ჩვენ ვიპოვით სეგმენტის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

სეგმენტის სიგრძე ზუსტად იგივეა, რაც მისი ორდინატი.

პასუხი: .

კიდევ ერთი გამოსავალი (მე უბრალოდ შემოგთავაზებთ სურათს, რომელიც ასახავს მას)

გადაწყვეტის პროგრესი:

1. გაატარეთ

2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები და სიგრძე

3. დაამტკიცე რომ.

Სხვა ჭრის სიგრძის პრობლემა:

წერტილები არის-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე, par-ral-lel-noy.

გახსოვთ რა არის შუა ხაზისამკუთხედი? მაშინ თქვენთვის ეს ამოცანა ელემენტარულია. თუ არ გახსოვთ, მაშინ შეგახსენებთ: სამკუთხედის შუა ხაზი არის ხაზი, რომელიც აკავშირებს შუა წერტილებს. მოპირდაპირე მხარეები. ის ფუძის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია.

ბაზა არის სეგმენტი. მისი სიგრძე ადრე უნდა გვეძია, თანაბარია. მაშინ შუა ხაზის სიგრძე ნახევრად გრძელი და ტოლია.

პასუხი: .

კომენტარი: ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია სხვა გზით, რასაც ცოტა მოგვიანებით შევეხებით.

ამასობაში, აქ არის რამდენიმე დავალება თქვენთვის, ივარჯიშეთ მათზე, ისინი საკმაოდ მარტივია, მაგრამ ისინი ხელს უწყობენ „ხელის ავსებას“ კოორდინატთა მეთოდით!

1. წერტილები გამოჩნდება-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე.

2. წერტილები და იავ-ლა-იუტ-ქსია ვერ-ში-ნა-მი პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა. იპოვნეთ-დე-ტე ან-დე-ონ-ტუ წერტილები.

3. იპოვეთ სიგრძე ჭრილიდან, დააკავშირეთ მეორე წერტილი და

4. იპოვე-დი-ტე ფართობი-წითელი-შენ-ნოი ფი-გუ-რი კო-ორ-დი-ნატ-ნოის სიბრტყეზე.

5. ნა-ჩა-ლე კო-ორ-დი-ნატზე ორიენტირებული წრე გადის წერტილს. იპოვე-დე-ტე მისი რა-დი-ულვაში.

6. ნაი-დი-ტე რა-დი-უს წრე-ნო-სტი, აღწერე-სან-ნოი მართკუთხა-ნო-კა-სთან ახლოს, რაღაც-რო-გოს ზედა-ში-ნი აქვს კო-ორ - di-na-you co-from-reply-მაგრამ

გადაწყვეტილებები:

1. ცნობილია, რომ ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის მისი ფუძეების ჯამის ნახევარს. ბაზა თანაბარია, მაგრამ ბაზა. მერე

პასუხი:

2. ამ პრობლემის გადაჭრის უმარტივესი გზაა ამის შემჩნევა (პარალელოგრამის წესი). ვექტორების კოორდინატების გამოთვლა და არ არის რთული: . ვექტორების დამატებისას ემატება კოორდინატები. შემდეგ აქვს კოორდინატები. წერტილს აქვს იგივე კოორდინატები, რადგან ვექტორის დასაწყისი არის წერტილი კოორდინატებით. ჩვენ გვაინტერესებს ორდინატი. ის თანაბარია.

პასუხი:

3. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიმოქმედებთ ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

4. დააკვირდით სურათს და თქვით, რომელ ორ ფიგურას შორის არის დაჩრდილული უბანი? ის მოქცეულია ორ კვადრატს შორის. მაშინ სასურველი ფიგურის ფართობი უდრის დიდი კვადრატის ფართობს გამოკლებული პატარას ფართობი. მხარე პატარა მოედანიარის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წერტილებს და მისი სიგრძეა

მაშინ პატარა კვადრატის ფართობია

იგივე ვაკეთებთ დიდ კვადრატს: მისი გვერდი არის წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მისი სიგრძე ტოლია

მაშინ დიდი კვადრატის ფართობია

სასურველი ფიგურის ფართობი იპოვება ფორმულით:

პასუხი:

5. თუ წრეს აქვს საწყისი ცენტრი და გადის წერტილს, მაშინ მისი რადიუსი ზუსტად ტოლი იქნება მონაკვეთის სიგრძისა (გააკეთეთ ნახაზი და მიხვდებით, რატომ არის ეს აშკარა). იპოვეთ ამ სეგმენტის სიგრძე:

პასუხი:

6. ცნობილია, რომ მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის მისი დიაგონალის ნახევარს. იპოვეთ ორი დიაგონალიდან რომელიმეს სიგრძე (ბოლოს და ბოლოს, ისინი ტოლია მართკუთხედში!)

პასუხი:

აბა, ყველაფერი მოახერხე? არც ისე რთული იყო ამის გარკვევა, არა? აქ მხოლოდ ერთი წესია - შეძლოთ ვიზუალური სურათის გაკეთება და უბრალოდ მისგან ყველა მონაცემის „წაკითხვა“.

ძალიან ცოტა დაგვრჩა. ფაქტიურად არის კიდევ ორი ​​წერტილი, რომლებზეც მსურს განვიხილო.

შევეცადოთ გადავჭრათ ეს მარტივი პრობლემა. მოდით ორი ქულა და მიეცით. იპოვეთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები. ამ პრობლემის გადაწყვეტა შემდეგია: წერტილი იყოს სასურველი შუა, შემდეგ მას აქვს კოორდინატები:

ანუ: სეგმენტის შუა კოორდინატები = სეგმენტის ბოლოების შესაბამისი კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

ეს წესი ძალიან მარტივია და, როგორც წესი, არ უქმნის სირთულეებს სტუდენტებს. ვნახოთ რა პრობლემებში და როგორ გამოიყენება:

1. იპოვე-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ სე-რე-დი-ჩვენს ამოჭრა, შეაერთე-ნია-იუ-ე-ე წერტილი და

2. წერტილებია იავ-ლა-იუტ-ქსია ვერ-ში-ნა-მი-ჩე-იუ-რეჰ-ქვანახშირ-ნო-კა. იპოვნეთ-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ წერტილები მისი დია-გო-ონ-ლეის რე-რე-სე-ჩე-ნია.

3. წრის ცენტრის იპოვეთ-დი-ტე აბს-ცის-სუ, აღწერეთ-სან-ნოი მართკუთხედთან-ნო-კა, ზევით-ში-გვაქვს რაღაც-რო-გო კო-ორ-დი- na-you co-from-vet-stvenno-but.

გადაწყვეტილებები:

1. პირველი დავალება უბრალოდ კლასიკაა. ჩვენ ვიმოქმედებთ დაუყოვნებლივ სეგმენტის შუა წერტილის დადგენით. მას აქვს კოორდინატები. ორდინატი ტოლია.

პასუხი:

2. ადვილი მისახვედრია, რომ მოცემული ოთხკუთხედი პარალელოგრამია (თუნდაც რომბი!). ამის დამტკიცება თავად შეგიძლიათ გვერდების სიგრძის გამოთვლით და ერთმანეთთან შედარებით. რა ვიცი პარალელოგრამის შესახებ? მისი დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით! აჰა! რა არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი? ეს არის ნებისმიერი დიაგონალის შუა! მე ვირჩევ, კერძოდ, დიაგონალს. მაშინ წერტილს აქვს კოორდინატები.წერტილის ორდინატი უდრის.

პასუხი:

3. რა არის მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი? იგი ემთხვევა მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ? ისინი ტოლია და გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია შუაზე. დავალება შემცირდა წინაზე. აიღეთ, მაგალითად, დიაგონალი. მაშინ თუ არის შემოხაზული წრის ცენტრი, მაშინ არის შუა. ვეძებ კოორდინატებს: აბსციზა ტოლია.

პასუხი:

ახლა ცოტა ივარჯიშე საკუთარ თავზე, მე მხოლოდ თითოეულ პრობლემაზე გავცემ პასუხს, რათა თავად შეამოწმო.

1. ნაი-დი-ტე რა-დი-უს წრე-ნო-სტი, აღწერე-სან-ნოი სამკუთხედის მახლობლად-ნო-კა, ზევით ვინმე-რო-გო აქვს კო-ორ-დი -არა მისტერები.

2. იპოვე-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ წრის ცენტრი, აღწერე სან-ნოი სამკუთხედის მახლობლად-ნო-კა, მწვერვალები-ში-გვაქვს რაღაც-რო-გო კოორდინატები.

3. როგორი რა-დი-ი-სა უნდა იყოს წრე, რომლის ცენტრია წერტილში ისე, რომ ის ეხებოდეს აბს-ცისის ღერძს?

4. იპოვნეთ-დი-ტე ან-დი-ზე-ის ღერძის ხელახალი სე-ჩე-ინგის წერტილი და ამოჭრა, შეაერთეთ-ნია-იუ-ე-ე წერტილი და

პასუხები:

ყველაფერი გამოვიდა? მე ნამდვილად ამის იმედი მაქვს! ახლა - ბოლო ბიძგი. ახლა განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით. მასალა, რომელსაც ახლა ავხსნი, პირდაპირ კავშირშია არა მხოლოდ მარტივი დავალებებიკოორდინატთა მეთოდამდე B ნაწილიდან, მაგრამ ასევე გვხვდება ყველგან C2 პრობლემაში.

ჩემი რომელი დაპირება ჯერ არ შემისრულებია? გახსოვთ, ვექტორებზე რომელ ოპერაციებს დავპირდი შემოღებას და რომელი შევიტანე საბოლოოდ? დარწმუნებული ვარ, რომ არაფერი დამავიწყდა? Დაავიწყდა! დამავიწყდა აეხსნა რას ნიშნავს ვექტორების გამრავლება.

ვექტორის ვექტორზე გამრავლების ორი გზა არსებობს. არჩეული მეთოდიდან გამომდინარე, მივიღებთ განსხვავებული ხასიათის ობიექტებს:

ვექტორული პროდუქტი საკმაოდ რთულია. როგორ გავაკეთოთ ეს და რატომ არის საჭირო, თქვენთან ერთად განვიხილავთ შემდეგ სტატიაში. და ამაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სკალარულ პროდუქტზე.

უკვე არსებობს ორი გზა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ იგი:

როგორც მიხვდით, შედეგი იგივე უნდა იყოს! ასე რომ, ჯერ პირველ გზას გადავხედოთ:

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატების მეშვეობით

იპოვეთ: - საერთო აღნიშვნა წერტილოვანი პროდუქტი

გაანგარიშების ფორმულა შემდეგია:

ანუ წერტილოვანი ნამრავლი = ვექტორების კოორდინატების ნამრავლების ჯამი!

მაგალითი:

იპოვე-დე-ტე

გამოსავალი:

იპოვეთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები:

ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარულ პროდუქტს ფორმულით:

პასუხი:

ხედავთ, აბსოლუტურად არაფერია რთული!

აბა, ახლა თავად სცადე:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie საუკუნემდე-თხრილამდე და

მოახერხე? იქნებ მან შენიშნა პატარა ხრიკი? მოდით შევამოწმოთ:

ვექტორული კოორდინატები, როგორც წინა ამოცანაში! პასუხი:.

გარდა კოორდინატისა, არსებობს სკალარული ნამრავლის გამოთვლის კიდევ ერთი გზა, კერძოდ, ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის მეშვეობით:

აღნიშნავს კუთხეს ვექტორებს შორის და.

ანუ სკალარული ნამრავლი უდრის ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლს.

რატომ გვჭირდება ეს მეორე ფორმულა, თუ გვაქვს პირველი, რომელიც ბევრად უფრო მარტივია, მინიმუმარ არის კოსინუსები. და ჩვენ გვჭირდება ისე, რომ პირველი და მეორე ფორმულებიდან გამოვიტანოთ როგორ ვიპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის!

მოდით დაიმახსოვროთ ვექტორის სიგრძის ფორმულა!

თუ ამ მონაცემებს შევაერთებ წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულაში, მივიღებ:

მაგრამ მეორე მხარეს:

მაშ რა გვაქვს? ჩვენ ახლა გვაქვს ფორმულა ორ ვექტორს შორის კუთხის გამოსათვლელად! ხანდახან, მოკლედ, ასეც წერია:

ანუ ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლის ალგორითმი შემდეგია:

1. ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარული ნამრავლს კოორდინატების მეშვეობით
2. იპოვეთ ვექტორების სიგრძეები და გაამრავლეთ ისინი
3. 1 პუნქტის შედეგი გავყოთ მე-2 პუნქტის შედეგზე

ვივარჯიშოთ მაგალითებით:

1. იპოვეთ კუთხე ქუთუთოებს შორის-რა-მი და. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

2. წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ კოსინუსი ვექტორებს შორის

მოდით ასე მოვიქცეთ: მე დაგეხმარებით პირველი პრობლემის გადაჭრაში, მეორე კი თავად სცადეთ! Ვეთანხმები? მაშინ დავიწყოთ!

1. ეს ვექტორები ჩვენი ძველი მეგობრები არიან. ჩვენ უკვე განვიხილეთ მათი სკალარული ნამრავლი და ის თანაბარი იყო. მათი კოორდინატებია: , . შემდეგ ვიპოვით მათ სიგრძეებს:

შემდეგ ვეძებთ კოსინუსს ვექტორებს შორის:

რა არის კუთხის კოსინუსი? ეს არის კუთხე.

პასუხი:

აბა, ახლა თვითონ მოაგვარე მეორე პრობლემა და მერე შეადარე! მე მხოლოდ ძალიან მოკლე გამოსავალს მოგცემთ:

2. აქვს კოორდინატები, აქვს კოორდინატები.

მოდით იყოს კუთხე ვექტორებს შორის და, შემდეგ

პასუხი:

უნდა აღინიშნოს, რომ დავალებები უშუალოდ ვექტორებზე და კოორდინატების მეთოდი B ნაწილში საგამოცდო სამუშაოსაკმაოდ იშვიათი. თუმცა, C2 ამოცანების დიდი უმრავლესობა ადვილად გადაიჭრება კოორდინატთა სისტემის შემოღებით. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ეს სტატია განიხილოთ, როგორც საფუძველი, რომლის საფუძველზეც ჩვენ გავაკეთებთ საკმაოდ რთულ კონსტრუქციებს, რომლებიც უნდა გადავჭრათ რთული ამოცანები.

კოორდინატები და ვექტორები. ᲨᲣᲐᲚᲔᲓᲣᲠᲘ ᲓᲝᲜᲔ

მე და შენ ვაგრძელებთ კოორდინატების მეთოდის შესწავლას. ბოლო ნაწილში ჩვენ გამოვყავით სერია მნიშვნელოვანი ფორმულები, რომელიც საშუალებას იძლევა:

1. იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები
2. იპოვეთ ვექტორის სიგრძე (ალტერნატიულად: მანძილი ორ წერტილს შორის)
3. ვექტორების დამატება, გამოკლება. გაამრავლეთ ისინი ნამდვილი რიცხვი
4. იპოვეთ სეგმენტის შუა წერტილი
5. გამოთვალეთ ვექტორების წერტილის ნამრავლი
6. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის

რა თქმა უნდა, მთელი კოორდინატთა მეთოდი არ ჯდება ამ 6 პუნქტში. ის უდევს საფუძვლად ისეთ მეცნიერებას, როგორიც არის ანალიტიკური გეომეტრია, რომელსაც უნივერსიტეტში გაეცნობით. მე უბრალოდ მინდა ავაშენო საძირკველი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ პრობლემები ერთ სახელმწიფოში. გამოცდა. ჩვენ გავარკვიეთ B ნაწილის ამოცანები ახლა დროა გადავიდეთ ხარისხზე ახალი დონე! ეს სტატია დაეთმობა C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდს, რომლებშიც გონივრული იქნება კოორდინატულ მეთოდზე გადასვლა. ეს გონივრულობა განისაზღვრება იმით, თუ რა უნდა მოიძებნოს პრობლემაში და რა ფიგურაა მოცემული. ასე რომ, მე გამოვიყენებდი კოორდინატთა მეთოდს, თუ კითხვებია:

1. იპოვეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის
2. იპოვეთ კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის
3. იპოვეთ კუთხე ორ წრფეს შორის
4. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე
5. იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე
6. იპოვეთ მანძილი სწორი ხაზიდან სიბრტყემდე
7. იპოვნეთ მანძილი ორ ხაზს შორის

თუ პრობლემის მდგომარეობაში მოცემული ფიგურა არის რევოლუციის სხეული (ბურთი, ცილინდრი, კონუსი ...)

კოორდინატთა მეთოდისთვის შესაფერისი ფიგურებია:

1. კუბოიდური
2. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა, ექვსკუთხა)

ასევე ჩემი გამოცდილებით ამისთვის კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება შეუსაბამოა:

1. მონაკვეთების არეების მოძიება
2. სხეულების მოცულობის გამოთვლები

თუმცა, დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ კოორდინატთა მეთოდისთვის სამი „არახელსაყრელი“ სიტუაცია პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია. უმეტეს ამოცანებში ის შეიძლება გახდეს თქვენი მხსნელი, განსაკუთრებით თუ არ ხართ ძალიან ძლიერი სამგანზომილებიანი კონსტრუქციებით (რომლებიც ზოგჯერ საკმაოდ რთულია).

რა არის ყველა ის ფიგურა, რომელიც მე ზემოთ ჩამოვთვალე? ისინი აღარ არიან ბრტყელი, როგორიცაა კვადრატი, სამკუთხედი, წრე, მაგრამ მოცულობითი! შესაბამისად, უნდა განვიხილოთ არა ორგანზომილებიანი, არამედ სამგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემა. იგი აგებულია საკმაოდ მარტივად: უბრალოდ, აბსცისა და ორდინატების გარდა, შემოგთავაზებთ კიდევ ერთ ღერძს, აპლიკაციურ ღერძს. ნახაზი სქემატურად გვიჩვენებს მათ შედარებით პოზიციას:

ყველა მათგანი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, იკვეთება ერთ წერტილში, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ საწყისს. აბსცისის ღერძი, როგორც ადრე, აღინიშნა, ორდინატთა ღერძი - , ხოლო შემოღებული აპლიკაციური ღერძი - .

თუ ადრე სიბრტყის თითოეულ წერტილს ახასიათებდა ორი რიცხვი - აბსცისა და ორდინატი, მაშინ სივრცეში თითოეული წერტილი უკვე აღწერილია სამი რიცხვით - აბსციზა, ორდინატი, აპლიკატი. Მაგალითად:

შესაბამისად, წერტილის აბსციზა ტოლია, ორდინატი არის , ხოლო აპლიციტი არის .

ზოგჯერ წერტილის აბსცისს ასევე უწოდებენ წერტილის პროექციას აბსცისის ღერძზე, ორდინატი არის წერტილის პროექცია y-ღერძზე, ხოლო აპლიკატი არის წერტილის პროექცია აპლიკაციურ ღერძზე. შესაბამისად, თუ წერტილი მოცემულია მაშინ, წერტილი კოორდინატებით:

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: მოქმედებს თუ არა სივრცეში ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის მიღებული ყველა ფორმულა? პასუხი არის დიახ, ისინი უბრალოდ არიან და აქვთ იგივე გარეგნობა. პატარა დეტალისთვის. მგონი უკვე მიხვდით რომელი. ყველა ფორმულაში ჩვენ უნდა დავამატოთ კიდევ ერთი ტერმინი, რომელიც პასუხისმგებელია აპლიკაციის ღერძზე. სახელდობრ.

1. თუ მოცემულია ორი ქულა: , მაშინ:

• ვექტორული კოორდინატები:
• მანძილი ორ წერტილს შორის (ან ვექტორის სიგრძე)
• სეგმენტის შუას აქვს კოორდინატები

2. თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ:

• მათი წერტილოვანი პროდუქტია:
• ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი არის:

თუმცა სივრცე არც ისე მარტივია. როგორც გესმით, კიდევ ერთი კოორდინატის დამატება აჩენს მნიშვნელოვან მრავალფეროვნებას ამ სივრცეში „მოსახლე“ ფიგურების სპექტრში. შემდგომი თხრობისთვის კი, უნდა შემოვიტანო სწორი ხაზის, უხეშად რომ ვთქვათ, „განზოგადება“. ეს "განზოგადება" იქნება თვითმფრინავი. რა იცით თვითმფრინავის შესახებ? შეეცადეთ უპასუხოთ კითხვას, რა არის თვითმფრინავი? ძალიან ძნელი სათქმელია. თუმცა, ჩვენ ყველა ინტუიციურად წარმოვიდგენთ როგორ გამოიყურება:

უხეშად რომ ვთქვათ, ეს არის ერთგვარი გაუთავებელი "ფოთოლი" კოსმოსში. „უსასრულობა“ უნდა გვესმოდეს, რომ თვითმფრინავი ყველა მიმართულებით ვრცელდება, ანუ მისი ფართობი უსასრულობის ტოლია. თუმცა, ეს ახსნა „თითებზე“ არ იძლევა ოდნავი წარმოდგენას თვითმფრინავის აგებულების შესახებ. და ჩვენ დავინტერესდებით.

გავიხსენოთ გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი აქსიომა:

• ორში სხვადასხვა წერტილებისიბრტყეზე გადის სწორი ხაზი, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი:

ან მისი ანალოგი სივრცეში:

რა თქმა უნდა, გახსოვთ, თუ როგორ უნდა გამოიტანოთ სწორი ხაზის განტოლება ორი მოცემული წერტილიდან, ეს სულაც არ არის რთული: თუ პირველ წერტილს აქვს კოორდინატები: და მეორეს, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება იქნება შემდეგი:

თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში. სივრცეში, სწორი ხაზის განტოლება ასე გამოიყურება: მოდით, გვქონდეს ორი წერტილი კოორდინატებით: , მაშინ მათში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა:

მაგალითად, ხაზი გადის წერტილებს:

როგორ უნდა გავიგოთ ეს? ეს უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: წერტილი დევს წრფეზე, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგ სისტემას:

ჩვენ არ დავინტერესდებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაგრამ ძალიან უნდა მივაქციოთ ყურადღება მნიშვნელოვანი კონცეფციამიმართულების ვექტორი სწორი. - ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს მოცემულ წრფეზე ან მის პარალელურად.

მაგალითად, ორივე ვექტორი არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორები. იყოს წერტილი, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზზე და იყოს მისი მიმართული ვექტორი. მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით:

კიდევ ერთხელ, მე დიდად არ დამაინტერესებს სწორი ხაზის განტოლება, მაგრამ მე ნამდვილად მჭირდება, რომ გახსოვდეთ, რა არის მიმართულების ვექტორი! ისევ: ეს არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს წრფეზე ან მის პარალელურად.

გაყვანა სიბრტყის სამპუნქტიანი განტოლებააღარ არის ისეთი ტრივიალური და, როგორც წესი, ეს საკითხი არ განიხილება კურსში უმაღლესი სკოლა. მაგრამ ამაოდ! ეს ტექნიკა სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია, როდესაც ჩვენ მივმართავთ კოორდინატულ მეთოდს რთული პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, ვვარაუდობ, რომ თქვენ სავსე ხართ რაიმე ახლის სწავლის სურვილით? უფრო მეტიც, თქვენ შეძლებთ შთაბეჭდილება მოახდინოთ თქვენს მასწავლებელზე უნივერსიტეტში, როდესაც აღმოჩნდება, რომ თქვენ უკვე იცით, როგორ გამოიყენოთ ის მეთოდოლოგია, რომელიც ჩვეულებრივ სწავლობს კურსზე. ანალიტიკური გეომეტრია. მოდით დავიწყოთ.

სიბრტყის განტოლება არც თუ ისე განსხვავდება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებისგან, კერძოდ, მას აქვს ფორმა:

ზოგიერთი რიცხვი (არა ყველა ნული), და ცვლადები, მაგალითად: და ა.შ. როგორც ხედავთ, სიბრტყის განტოლება დიდად არ განსხვავდება სწორი ხაზის განტოლებისგან (წრფივი ფუნქცია). თუმცა გახსოვს რა ვიკამათეთ? ჩვენ ვთქვით, რომ თუ გვაქვს სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, მაშინ სიბრტყის განტოლება ცალსახად აღდგება მათგან. Მაგრამ როგორ? ვეცდები აგიხსნათ.

ვინაიდან სიბრტყის განტოლება არის:

და წერტილები ეკუთვნის ამ სიბრტყეს, მაშინ როდესაც თითოეული წერტილის კოორდინატები შევცვლით სიბრტყის განტოლებაში, უნდა მივიღოთ სწორი იდენტურობა:

ამრიგად, საჭიროა სამი განტოლების ამოხსნა უკვე უცნობით! დილემა! თუმცა, ყოველთვის შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ (ამისთვის უნდა გავყოთ). ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამ განტოლებას სამი უცნობით:

თუმცა, ჩვენ არ მოვაგვარებთ ასეთ სისტემას, არამედ დავწერთ იდუმალი გამოთქმარაც მისგან გამომდინარეობს:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(მასივი)) \right| = 0\]

გაჩერდი! კიდევ რა არის ეს? ძალიან უჩვეულო მოდული! თუმცა, ობიექტს, რომელსაც ხედავთ თქვენს წინაშე, არანაირი კავშირი არ აქვს მოდულთან. ამ ობიექტს მესამე რიგის განმსაზღვრელი ეწოდება. ამიერიდან, როცა სიბრტყეში კოორდინატების მეთოდს ეხება, ძალიან ხშირად წააწყდებით იმავე განმსაზღვრელებს. რა არის მესამე რიგის განმსაზღვრელი? უცნაურად საკმარისია, ეს მხოლოდ რიცხვია. რჩება იმის გაგება, თუ რა კონკრეტულ რიცხვს შევადარებთ განმსაზღვრელს.

მოდით, ჯერ დავწეროთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი უფრო ზოგადი ფორმით:

სად არის რამდენიმე ნომერი. უფრო მეტიც, პირველ ინდექსში ვგულისხმობთ მწკრივის ნომერს, ხოლო ინდექსის მიხედვით - სვეტის ნომერს. მაგალითად, ნიშნავს იმას მოცემული ნომერიდგას მეორე რიგისა და მესამე სვეტის კვეთაზე. დავსვათ შემდეგი შეკითხვა: ზუსტად როგორ გამოვთვალოთ ასეთი განმსაზღვრელი? ანუ კონკრეტულად რომელ რიცხვს შევადარებთ? ზუსტად მესამე რიგის განმსაზღვრელისთვის არსებობს ევრისტიკული (ვიზუალური) სამკუთხედის წესი, ის ასე გამოიყურება:

1. მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზემოდან მარცხნიდან ქვედა მარჯვნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს "პერპენდიკულარულად" მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან მეორე სამკუთხედს "პერპენდიკულარულად" მთავარ დიაგონალზე. დიაგონალი
2. მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზემოდან მარჯვნიდან ქვედა მარცხნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს "პერპენდიკულარულ" მეორად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან მეორე სამკუთხედს "პერპენდიკულარულ" მეორადი დიაგონალი
3. მაშინ განმსაზღვრელი უდრის განსხვავებას საფეხურზე მიღებულ მნიშვნელობებს შორის და

თუ ამ ყველაფერს რიცხვებით დავწერთ, მაშინ მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს:

ამასთან, თქვენ არ გჭირდებათ ამ ფორმით გაანგარიშების მეთოდის დამახსოვრება, საკმარისია უბრალოდ შეინახოთ სამკუთხედები თქვენს თავში და თავად წარმოდგენა იმაზე, თუ რა ემატება რას და რას აკლდება მერე).

მოდი სამკუთხედის მეთოდი მაგალითით ავხსნათ:

1. გამოთვალეთ დეტერმინანტი:

მოდით გავარკვიოთ რას ვამატებთ და რას ვაკლებთ:

ტერმინები, რომლებიც მოყვება "პლუს":

ეს არის მთავარი დიაგონალი: ელემენტების პროდუქტი არის

პირველი სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი არის

მეორე სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი არის

ჩვენ ვამატებთ სამ რიცხვს:

ტერმინები, რომლებიც მოყვება "მინუსს"

ეს არის გვერდითი დიაგონალი: ელემენტების პროდუქტი არის

პირველი სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლია

მეორე სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლია

ჩვენ ვამატებთ სამ რიცხვს:

რაც რჩება გასაკეთებელი არის პლიუს წევრთა ჯამს გამოვაკლოთ მინუს წევრთა ჯამი:

Ამგვარად,

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული და ზებუნებრივი მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლაში. უბრალოდ მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ სამკუთხედების შესახებ და არ დაუშვათ არითმეტიკული შეცდომები. ახლა შეეცადეთ გამოთვალოთ საკუთარი თავი:

ჩვენ ვამოწმებთ:

1. მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული პირველი სამკუთხედი:
2. მეორე სამკუთხედი პერპენდიკულარული მთავარ დიაგონალზე:
3. პლუს პირობების ჯამი:
4. პირველი სამკუთხედი პერპენდიკულარული გვერდის დიაგონალზე:
5. მეორე სამკუთხედი, გვერდის დიაგონალზე პერპენდიკულარული:
6. ტერმინების ჯამი მინუსებით:
7. პლუს წევრთა ჯამი მინუს წევრთა ჯამი:

აქ არის კიდევ რამდენიმე განმსაზღვრელი თქვენთვის, გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები და შეადარეთ პასუხებს:

პასუხები:

ისე, ყველაფერი დაემთხვა? კარგია, მაშინ შეგიძლია გააგრძელო! თუ არსებობს სირთულეები, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: ინტერნეტში არის უამრავი პროგრამა განმსაზღვრელი ინტერნეტით გამოსათვლელად. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის საკუთარი განმსაზღვრელი გამოთვალოთ, თავად გამოთვალოთ და შემდეგ შეადაროთ ის, რასაც პროგრამა ითვლის. და ასე შემდეგ, სანამ შედეგები არ დაემთხვევა. დარწმუნებული ვარ, ეს მომენტი დიდხანს არ მოვა!

ახლა დავუბრუნდეთ განმსაზღვრელს, რომელიც მე დავწერე, როდესაც ვსაუბრობდი სამზე გამავალი თვითმფრინავის განტოლებაზე. მოცემული ქულები:

საკმარისია პირდაპირ გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობა (სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით) და დააყენოთ შედეგი ნულის ტოლი. ბუნებრივია, რადგან ისინი ცვლადებია, თქვენ მიიღებთ მათზე დამოკიდებულ გამოხატულებას. სწორედ ეს გამონათქვამი იქნება სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე!

მოდი ილუსტრაციულად განვმარტოთ ეს მარტივი მაგალითით:

1. ააგეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

ჩვენ ვადგენთ განმსაზღვრელს ამ სამი პუნქტისთვის:

გამარტივება:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ პირდაპირ სამკუთხედების წესის მიხედვით:

\[(\ მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\ბოლო(მაივი)) \ მარჯვენა| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \მარჯვნივ) + \left((y - 2) \მარჯვნივ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ამრიგად, წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება არის:

ახლა შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ერთი პრობლემა და შემდეგ განვიხილავთ მას:

2. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

მოდით, ახლა ვისაუბროთ გამოსავალზე:

ჩვენ ვაკეთებთ განმსაზღვრელს:

და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

მაშინ თვითმფრინავის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან, შემცირებით, მივიღებთ:

ახლა ორი ამოცანა თვითკონტროლისთვის:

1. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

პასუხები:

ყველაფერი დაემთხვა? კიდევ ერთხელ, თუ არის გარკვეული სირთულეები, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: აიღეთ სამი ქულა თქვენი თავიდან (თან დიდწილადალბათობა, რომ ისინი არ დაწოლავენ ერთ სწორ ხაზზე), შენ მათზე ააშენებ თვითმფრინავს. და შემდეგ შეამოწმეთ საკუთარი თავი ონლაინ. მაგალითად, საიტზე:

თუმცა, დეტერმინანტების დახმარებით ჩვენ ავაშენებთ არა მხოლოდ სიბრტყის განტოლებას. დაიმახსოვრეთ, მე გითხარით, რომ ვექტორებისთვის მხოლოდ წერტილოვანი ნამრავლი არ არის განსაზღვრული. ასევე არსებობს ვექტორი, ასევე შერეული პროდუქტი. და თუ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი იქნება რიცხვი, მაშინ ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი იქნება ვექტორი და ეს ვექტორი იქნება მოცემულის პერპენდიკულარული:

და მისი მოდული იქნება ფართობის ტოლივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი და. ეს ვექტორიჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. როგორ გამოვთვალოთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და მოცემულია თუ არა მათი კოორდინატები? მესამე რიგის განმსაზღვრელი ისევ გვეხმარება. თუმცა, სანამ ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლის ალგორითმზე გადავალ, მცირე ლირიკული გადახრა უნდა გავაკეთო.

ეს გადახრა ეხება საბაზისო ვექტორებს.

სქემატურად ისინი ნაჩვენებია ფიგურაში:

როგორ ფიქრობთ, რატომ უწოდებენ მათ ძირითად? ფაქტია რომ:

ან სურათზე:

ამ ფორმულის მართებულობა აშკარაა, რადგან:

ვექტორული პროდუქტი

ახლა შემიძლია დავიწყო ჯვარედინი პროდუქტის დანერგვა:

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით:

ახლა მოდით მოვიყვანოთ ჯვარედინი პროდუქტის გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1: იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

გამოსავალი: მე ვაკეთებ განმსაზღვრელს:

და მე ვიანგარიშებ:

ახლა, საბაზისო ვექტორების ჩაწერიდან, მე დავუბრუნდები ჩვეულებრივ ვექტორულ აღნიშვნას:

Ამგვარად:

ახლა სცადე.

მზადაა? ჩვენ ვამოწმებთ:

და ტრადიციულად ორი საკონტროლო ამოცანები:

1. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:
2. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

პასუხები:

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი

ბოლო კონსტრუქცია, რომელიც მჭირდება, არის სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი. ის, როგორც სკალარი, არის რიცხვი. მისი გამოთვლის ორი გზა არსებობს. - დეტერმინანტის მეშვეობით, - შერეული პროდუქტის მეშვეობით.

კერძოდ, ვთქვათ, გვაქვს სამი ვექტორი:

შემდეგ სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი, რომელიც აღინიშნება, შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

1. - ანუ შერეული ნამრავლი არის ვექტორის სკალარული ნამრავლი და ორი სხვა ვექტორის ვექტორული ნამრავლი.

მაგალითად, სამი ვექტორის შერეული პროდუქტია:

შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით და დარწმუნდით, რომ შედეგები ემთხვევა!

ისევ ორი ​​მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტა:

პასუხები:

კოორდინატთა სისტემის არჩევანი

ახლა ჩვენ გვაქვს ცოდნის ყველა საჭირო საფუძველი გეომეტრიაში რთული სტერეომეტრიული პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, სანამ უშუალოდ გადავიდოდე მაგალითებზე და მათი ამოხსნის ალგორითმებზე, მიმაჩნია, რომ სასარგებლო იქნება შემდეგ კითხვაზე შეჩერება: ზუსტად როგორ აირჩიეთ კოორდინატთა სისტემა კონკრეტული ფიგურისთვის.ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის კოორდინატთა სისტემის ფარდობითი პოზიციის არჩევანი და ფიგურა სივრცეში, რომელიც საბოლოოდ განსაზღვრავს რამდენად რთული იქნება გამოთვლები.

შეგახსენებთ, რომ ამ ნაწილში ჩვენ განვიხილავთ შემდეგ ფიგურებს:

1. კუბოიდური
2. სწორი პრიზმა (სამკუთხა, ექვსკუთხა...)
3. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა)
4. ტეტრაედონი (იგივე სამკუთხა პირამიდა)

კუბოიდისთვის ან კუბისთვის, მე გირჩევთ შემდეგ კონსტრუქციას:

ანუ ფიგურას „კუთხეში“ დავდებ. კუბი და პარალელეპიპედი ძალიან კარგი ფიგურები. მათთვის ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი წვეროების კოორდინატები. მაგალითად, თუ (როგორც სურათზეა ნაჩვენები)

მაშინ წვეროს კოორდინატებია:

რა თქმა უნდა, თქვენ არ გჭირდებათ ამის დამახსოვრება, მაგრამ დაიმახსოვრეთ, როგორ უკეთესად მოათავსოთ კუბი ან კუბოიდური- სასურველია.

სწორი პრიზმა

პრიზმა უფრო მავნე ფიგურაა. მისი მოწყობა სივრცეში სხვადასხვა გზით შეგიძლიათ. თუმცა, მე ვფიქრობ, რომ შემდეგი არის საუკეთესო ვარიანტი:

Სამკუთხა პრიზმა:

ანუ სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს მთლიანად ვდებთ ღერძზე და ერთ-ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს.

ექვსკუთხა პრიზმა:

ანუ, ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ხოლო ერთი მხარე ღერძზე დევს.

ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდა:

კუბის მსგავსი სიტუაცია: ვაკავშირებთ ფუძის ორ მხარეს კოორდინატთა ღერძებთან, ვაერთებთ ერთ-ერთ წვეროს საწყისს. ერთადერთი არა დიდი სირთულეგამოთვლის წერტილის კოორდინატებს.

ექვსკუთხა პირამიდისთვის - იგივე რაც ამისთვის ექვსკუთხა პრიზმა. მთავარი ამოცანა კვლავ იქნება წვეროს კოორდინატების პოვნა.

ტეტრაედონი (სამკუთხა პირამიდა)

სიტუაცია ძალიან ჰგავს იმას, რაც მე მივიღე სამკუთხა პრიზმისთვის: ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ერთი მხარე დევს კოორდინატთა ღერძზე.

ისე, ახლა მე და შენ საბოლოოდ ახლოს ვართ პრობლემების გადაჭრასთან. რაც სტატიის დასაწყისში ვთქვი, შეგიძლიათ შემდეგი დასკვნის გაკეთება: C2 ამოცანების უმეტესობა იყოფა 2 კატეგორიად: პრობლემები კუთხისთვის და პრობლემები დისტანციისთვის. პირველ რიგში განვიხილავთ კუთხის პოვნის პრობლემებს. ისინი, თავის მხრივ, იყოფა შემდეგ კატეგორიებად (სირთულის მატებასთან ერთად):

პრობლემები კუთხეების პოვნაში

1. კუთხის პოვნა ორ წრფეს შორის
2. კუთხის პოვნა ორ სიბრტყეს შორის

განვიხილოთ ეს პრობლემები თანმიმდევრულად: დავიწყოთ ორ სწორ წრფეს შორის კუთხის მოძიებით. მოდი, დაიმახსოვრე, მე და შენ არ გადავწყვიტეთ მსგავსი მაგალითებიადრე? გახსოვთ, რადგან ჩვენ უკვე გვქონდა მსგავსი... ჩვენ ვეძებდით კუთხეს ორ ვექტორს შორის. შეგახსენებთ, თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ მათ შორის კუთხე იპოვება მიმართებიდან:

ახლა ჩვენ გვაქვს მიზანი - ვიპოვოთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. მოდით მივმართოთ "ბრტყელ სურათს":

რამდენ კუთხეს მივიღებთ ორი წრფის გადაკვეთისას? უკვე რაღაცეები. მართალია, მხოლოდ ორი მათგანი არ არის ტოლი, ხოლო სხვები ვერტიკალურია მათზე (და, შესაბამისად, ემთხვევა მათ). რა კუთხე უნდა განვიხილოთ ორ სწორ ხაზს შორის: ან? აქ არის წესი: კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის ყოველთვის არაუმეტეს გრადუსია. ანუ ორი კუთხიდან ყოველთვის ვირჩევთ კუთხეს ყველაზე პატარასთან ხარისხის საზომი. ანუ ამ სურათზე კუთხე ორ წრფეს შორის ტოლია. იმისთვის, რომ ყოველ ჯერზე ორი კუთხიდან უმცირესი კუთხიდან არ შეგაწუხოთ, ცბიერმა მათემატიკოსებმა შესთავაზეს მოდულის გამოყენება. ამრიგად, კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის განისაზღვრება ფორმულით:

თქვენ, როგორც ყურადღებიან მკითხველს, უნდა გქონოდათ შეკითხვა: რეალურად საიდან ვიღებთ სწორედ ამ რიცხვებს, რომლებიც გვჭირდება კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად? პასუხი: ავიღებთ მათ ხაზების მიმართულების ვექტორებიდან! ამრიგად, ორ ხაზს შორის კუთხის პოვნის ალგორითმი შემდეგია:

1. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას 1.

ან უფრო დეტალურად:

1. ჩვენ ვეძებთ პირველი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
2. ჩვენ ვეძებთ მეორე ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
3. გამოთვალეთ მათი სკალარული ნამრავლის მოდული
4. ჩვენ ვეძებთ პირველი ვექტორის სიგრძეს
5. ჩვენ ვეძებთ მეორე ვექტორის სიგრძეს
6. გავამრავლოთ მე-4 პუნქტის შედეგები მე-5 პუნქტის შედეგებზე
7. მე-3 წერტილის შედეგს ვყოფთ მე-6 წერტილის შედეგზე. ვიღებთ წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსს.
8. Თუ მოცემული შედეგისაშუალებას გაძლევთ ზუსტად გამოთვალოთ კუთხე, ჩვენ მას ვეძებთ
9. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვწერთ არკოზინის საშუალებით

კარგი, ახლა დროა გადავიდეთ ამოცანებზე: პირველი ორის ამოხსნის დემონსტრირებას გავაკეთებ დეტალურად, მეორის ამოხსნას წარმოგიდგენთ შემაჯამებელიდა ბოლო ორ პრობლემაზე მხოლოდ პასუხს გავცემ, ყველა გამოთვლა თავად უნდა განახორციელოთ.

Დავალებები:

1. მარჯვენა ტეტ-რა-ედ-რე-ში იპოვე-დი-ტე კუთხე შენს-ისე რომ ტეტ-რა-ედ-რა და მე-დი-ა-ნოი ბო-კო-ჰაუ მხარეს შორის.

2. წინ მარჯვნივ ექვს ქვანახშირში-პი-რა-მი-დე, ასეულ-რო-ნა-ოს-ნო-ვა-ნია რაღაცნაირად ტოლია და გვერდითი ნეკნები ტოლია, იპოვეთ კუთხე სწორს შორის. ხაზები და.

3. მარჯვნიანი ოთხი-იუ-რეჩ-ნახშირის პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძე უდრის ერთმანეთს. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის და თუ from-re-zok - თქვენ-ისე, რომ მოცემულია პი-რა-მი-დი, წერტილი არის სე-რე-დი-მის ბო-კო-ე ნეკნზე.

4. კუბის კიდეზე-მე-ჩე- წერტილიდან ისე, რომ იპოვე-დი-ტე კუთხე სწორ ხაზებს შორის და

5. წერტილი - სე-რე-დი-კუბის კიდეებზე Nai-di-te კუთხე სწორ ხაზებს შორის და.

შემთხვევითი არ არის, რომ დავალებები ამ თანმიმდევრობით დავდე. მიუხედავად იმისა, რომ ჯერ არ გქონიათ დრო კოორდინატთა მეთოდით ნავიგაციის დასაწყებად, მე თვითონ გავაანალიზებ ყველაზე "პრობლემურ" ფიგურებს და გიტოვებთ უმარტივეს კუბთან გამკლავებას! ნელ-ნელა უნდა ისწავლო ყველა ფიგურასთან მუშაობა, დავალებათა სირთულეს თემიდან თემამდე გავზრდი.

დავიწყოთ პრობლემების გადაჭრა:

1. დახაზეთ ტეტრაედონი, მოათავსეთ ის კოორდინატთა სისტემაში, როგორც ადრე შემოგთავაზეთ. ვინაიდან ტეტრაედონი რეგულარულია, მაშინ მისი ყველა სახე (ფუძის ჩათვლით) არის რეგულარული სამკუთხედები. ვინაიდან გვერდის სიგრძე არ გვაქვს მოცემული, შემიძლია თანაბარი ავიღო. ვფიქრობ, გესმით, რომ კუთხე ნამდვილად არ იქნება დამოკიდებული იმაზე, თუ რამდენად "გაიწელება" ჩვენი ტეტრაედონი?. ასევე დავხატავ სიმაღლეს და მედიანას ტეტრაედრონში. გზაში მის ფუძეს დავხატავ (ისიც გამოგვადგება).

მე უნდა ვიპოვო კუთხე და-ს შორის. რა ვიცით? ჩვენ ვიცით მხოლოდ წერტილის კოორდინატი. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წერტილების მეტი კოორდინატი. ახლა ჩვენ ვფიქრობთ: წერტილი არის სამკუთხედის სიმაღლეების (ან ბისექტორების ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილი. წერტილი არის ამაღლებული წერტილი. წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. შემდეგ საბოლოოდ უნდა ვიპოვოთ: წერტილების კოორდინატები: .

დავიწყოთ უმარტივესით: წერტილის კოორდინატები. შეხედეთ ფიგურას: ცხადია, რომ წერტილის აპლიკაცია ნულის ტოლია (წერტილი დევს სიბრტყეზე). მისი ორდინატი ტოლია (რადგან მედიანაა). მისი აბსცისის პოვნა უფრო რთულია. თუმცა, ეს ადვილად კეთდება პითაგორას თეორემის საფუძველზე: განვიხილოთ სამკუთხედი. მისი ჰიპოტენუზა ტოლია და ერთი ფეხი ტოლია შემდეგ:

საბოლოოდ გვაქვს:

ახლა ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. გასაგებია, რომ მისი აპლიკატი ისევ ნულის ტოლია და მისი ორდინატი იგივეა, რაც წერტილის, ანუ. ვიპოვოთ მისი აბსციზა. ეს კეთდება საკმაოდ ტრივიალურად, თუ ამას ახსოვს სიმაღლეებს ტოლგვერდა სამკუთხედიგადაკვეთის წერტილი დაყოფილია პროპორციულადზემოდან დათვლა. ვინაიდან: , მაშინ წერტილის სასურველი აბსციზა, სიგრძის ტოლისეგმენტი უდრის: . ამრიგად, წერტილის კოორდინატებია:

ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. და აპლიკაცია უდრის სეგმენტის სიგრძეს. - ეს სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხია. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის სეგმენტი - ფეხი. იგი მოძებნილია იმ მიზეზების გამო, რომლებიც მე ხაზგასმით აღვნიშნე:

წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. შემდეგ ჩვენ უნდა გვახსოვდეს ფორმულა შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვის:

ესე იგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვეძებოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები:

კარგად, ყველაფერი მზად არის: ჩვენ ყველა მონაცემს ვცვლით ფორმულაში:

Ამგვარად,

პასუხი:

არ უნდა შეგეშინდეთ ასეთი "საშინელი" პასუხების: C2 დავალებისთვის ეს მარტივი პრაქტიკა. მირჩევნია ამ ნაწილში "ლამაზი" პასუხით გამიკვირდეს. ასევე, როგორც თქვენ აღნიშნეთ, მე პრაქტიკულად არ მივმართავ სხვა რამეს, გარდა პითაგორას თეორემისა და ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეების თვისებისა. ანუ სტერეომეტრიული პრობლემის გადასაჭრელად გამოვიყენე ძალიან მინიმალური სტერეომეტრია. ამაში მოგება ნაწილობრივ „ჩაქრება“ საკმაოდ შრომატევადი გათვლებით. მაგრამ ისინი საკმაოდ ალგორითმულია!

2. დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა კოორდინატთა სისტემასთან ერთად, აგრეთვე მისი ფუძე:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კუთხე ხაზებს შორის და. ამრიგად, ჩვენი ამოცანა მცირდება წერტილების კოორდინატების პოვნამდე: . ბოლო სამის კოორდინატებს ვიპოვით პატარა ნახაზიდან, ხოლო წვეროს კოორდინატს ვიპოვით წერტილის კოორდინატიდან. ბევრი სამუშაოა, მაგრამ უნდა დაიწყოს!

ა) კოორდინატი: ცხადია, რომ მისი აპლიკაცია და ორდინატი ნულია. მოდი ვიპოვოთ აბსციზა. ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი. სამწუხაროდ, მასში მხოლოდ ჰიპოტენუზა ვიცით, რომელიც უდრის. ფეხის პოვნას ვეცდებით (რადგან ცხადია, რომ ფეხის ორმაგი სიგრძე წერტილის აბსციზას მოგვცემს). როგორ მოვიძიოთ იგი? გავიხსენოთ როგორი ფიგურა გვაქვს პირამიდის ძირში? ეს არის ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი. Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდი და ყველა კუთხე თანაბარია. ჩვენ უნდა მოვძებნოთ ერთი ასეთი კუთხე. რაიმე იდეა? ბევრი იდეა არსებობს, მაგრამ არსებობს ფორმულა:

კუთხეების ჯამი რეგულარული n-gonუდრის .

ასე რომ, კუთხეების ჯამი რეგულარული ექვსკუთხედიუდრის გრადუსს. მაშინ თითოეული კუთხე უდრის:

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ სურათს. ნათელია, რომ სეგმენტი არის კუთხის ბისექტორი. შემდეგ კუთხე გრადუსების ტოლი. შემდეგ:

მერე სად.

ასე რომ, მას აქვს კოორდინატები

ბ) ახლა მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატი: .

გ) იპოვეთ წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან მისი აბსციზა ემთხვევა სეგმენტის სიგრძეს, ის ტოლია. ორდინატის პოვნა არც ისე რთულია: თუ წერტილებს დავაკავშირებთ და წრფის გადაკვეთის წერტილს აღვნიშნავთ, ვთქვათ for. (გააკეთე ეს თავად მარტივი კონსტრუქცია). მაშინ ამგვარად, B წერტილის ორდინატი უდრის სეგმენტების სიგრძის ჯამს. მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ სამკუთხედს. მერე

შემდეგ მას შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები

დ) ახლა იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები. განვიხილოთ მართკუთხედი და დაამტკიცეთ, რომ ამგვარად, წერტილის კოორდინატებია:

ე) რჩება წვეროს კოორდინატების პოვნა. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. მოდი ვიპოვოთ აპლიკაცია. Მას შემდეგ. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი. დავალების მიხედვით გვერდითი ნეკნი. ეს არის ჩემი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. მაშინ პირამიდის სიმაღლე არის ფეხი.

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

ესე იგი, ყველა ჩემთვის საინტერესო პუნქტის კოორდინატები მაქვს. მე ვეძებ სწორი ხაზების მიმართულ ვექტორების კოორდინატებს:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს ამ ვექტორებს შორის:

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, ამ პრობლემის გადაჭრისას, მე არ გამომიყენებია რაიმე დახვეწილი ხრიკი, გარდა რეგულარული n-გონების კუთხეების ჯამის ფორმულისა, ისევე როგორც მართკუთხა სამკუთხედის კოსინუსისა და სინუსის განსაზღვრისა.

3. რადგან პირამიდის კიდეების სიგრძე ისევ არ გვაქვს მოცემული, მე მათ დავთვლი ერთის ტოლი. ამრიგად, ვინაიდან ყველა კიდე და არა მხოლოდ გვერდითი, ერთმანეთის ტოლია, მაშინ პირამიდის ძირში მე და მე დევს კვადრატი, და გვერდითი სახეებიარის მართკუთხა სამკუთხედები. მოდით გამოვსახოთ ასეთი პირამიდა, ისევე როგორც მისი ბაზა სიბრტყეზე, აღვნიშნავთ პრობლემის ტექსტში მოცემულ ყველა მონაცემს:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს შორის და. ძალიან მოკლე გამოთვლებს გავაკეთებ, როცა პუნქტების კოორდინატებს ვეძებ. თქვენ დაგჭირდებათ მათი "გაშიფვრა":

ბ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატები:

გ) ვიპოვი მონაკვეთის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით სამკუთხედში. მე ვიპოვი პითაგორას თეორემით სამკუთხედში.

კოორდინატები:

დ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატებია

ე) ვექტორული კოორდინატები

ვ) ვექტორული კოორდინატები

ზ) კუთხის ძიება:

კუბი - უმარტივესი ფიგურა. დარწმუნებული ვარ, თქვენ თვითონ შეძლებთ ამის გარკვევას. მე-4 და მე-5 ამოცანებზე პასუხები შემდეგია:

წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნა

ისე, მარტივი თავსატეხების დრო დასრულდა! ახლა მაგალითები კიდევ უფრო რთული იქნება. წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის საპოვნელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:

1. სამი წერტილის გამოყენებით ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას
   ,
   მესამე რიგის განმსაზღვრელი გამოყენებით.
2. ორი წერტილით ჩვენ ვეძებთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატებს:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხის გამოსათვლელად:

როგორც ხედავთ, ეს ფორმულა ძალიან ჰგავს იმ ფორმულას, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით ორ წრფეს შორის კუთხეების საპოვნელად. მარჯვენა მხარის სტრუქტურა იგივეა და მარცხნივ ახლა ვეძებთ სინუსს და არა კოსინუსს, როგორც ადრე. ჰოდა, დაემატა ერთი საზიზღარი მოქმედება - თვითმფრინავის განტოლების ძიება.

თაროზე არ დავდოთ გადაჭრის მაგალითები:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia თანაბარი-მაგრამ ღარიბი-ren-ny სამკუთხედი-ნიკი თქვენ-იმ პრიზი-ჩვენ ტოლები ვართ. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის

2. დასავლეთიდან Nai-di-te მართკუთხა პა-რალ-ლე-ლე-პი-პე-დეში კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

3. მარჯვენა ექვს ქვანახშირის პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

4. მართკუთხა სამკუთხედში პი-რა-მი-დე ოს-ბუტ-ვა-ნი-ემ ნეკნის დასავლეთიდან ნაი-დი-ტე კუთხით, ობ-რა-ზო-ვან -ნი სიბრტყე ოს. -ნო-ვა-ნია და პირდაპირ-ჩემი, ნეკნების სე-რე-დი-ნას გავლით და

5. მარჯვენა ოთხკუთხა პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძე ზევით ტოლია ერთმანეთის. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის, თუ წერტილი არის se-re-di-pi-ra-mi-dy-ის bo-ko-in-th კიდეზე.

ისევ დაწვრილებით მოვაგვარებ პირველ ორ პრობლემას, მესამეს - მოკლედ, ბოლო ორს კი დამოუკიდებლად ვტოვებ. გარდა ამისა, თქვენ უკვე მოგიწიათ სამკუთხა და ოთხკუთხა პირამიდები, მაგრამ პრიზმებით - ჯერ არა.

გადაწყვეტილებები:

1. დახაზეთ პრიზმა, ისევე როგორც მისი ფუძე. მოდით გავაერთიანოთ იგი კოორდინატთა სისტემასთან და აღვნიშნოთ ყველა მონაცემი, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში:

ბოდიშს ვიხდი პროპორციების დაუცველობისთვის, მაგრამ პრობლემის გადაჭრისთვის ეს, ფაქტობრივად, არც ისე მნიშვნელოვანია. თვითმფრინავი ჩემი პრიზმის მხოლოდ „უკანა კედელია“. საკმარისია უბრალოდ გამოვიცნოთ, რომ ასეთი სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

თუმცა, ეს ასევე შეიძლება პირდაპირ აჩვენოს:

ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ სამ წერტილს ამ სიბრტყეზე: მაგალითად, .

მოდით გავაკეთოთ სიბრტყის განტოლება:

ივარჯიშეთ თქვენთვის: თავად გამოთვალეთ ეს განმსაზღვრელი. მიაღწიეთ წარმატებას? მაშინ თვითმფრინავის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან უბრალოდ

Ამგვარად,

მაგალითის ამოსახსნელად მე უნდა ვიპოვო სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ვინაიდან წერტილი დაემთხვა საწყისს, ვექტორის კოორდინატები უბრალოდ ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს, ამისათვის ჯერ ვიპოვით წერტილის კოორდინატებს.

ამისათვის განიხილეთ სამკუთხედი. ზემოდან დავხატოთ სიმაღლე (ისიც არის მედიანა და ბისექტორი). ვინაიდან, მაშინ წერტილის ორდინატი ტოლია. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ წერტილის აბსციზა, უნდა გამოვთვალოთ სეგმენტის სიგრძე. პითაგორას თეორემით გვაქვს:

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

წერტილი არის "ამაღლებული" წერტილზე:

შემდეგ ვექტორის კოორდინატები:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ასეთი პრობლემების გადაჭრაში ფუნდამენტურად რთული არაფერია. სინამდვილეში, ისეთი ფიგურის „სისწორე“, როგორიც არის პრიზმა, ამარტივებს პროცესს. ახლა გადავიდეთ შემდეგ მაგალითზე:

2. ვხატავთ პარალელეპიპედს, ვხატავთ მასში სიბრტყეს და სწორ ხაზს და ასევე ცალკე ვხატავთ მის ქვედა ფუძეს:

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ სიბრტყის განტოლებას: მასში მდებარე სამი წერტილის კოორდინატები:

(პირველი ორი კოორდინატი მიიღება აშკარად და თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ბოლო კოორდინატი სურათიდან წერტილიდან). შემდეგ ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

ჩვენ ვეძებთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს: გასაგებია, რომ მისი კოორდინატები ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს, არა? როგორ მოვძებნოთ კოორდინატები? ეს არის წერტილის კოორდინატები, რომლებიც ამაღლებულია აპლიკაციის ღერძის გასწვრივ ერთით! . შემდეგ ჩვენ ვეძებთ სასურველ კუთხეს:

პასუხი:

3. დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა, შემდეგ დახაზეთ სიბრტყე და სწორი ხაზი მასში.

აქ თვითმფრინავის დახატვაც კი პრობლემურია, რომ აღარაფერი ვთქვათ ამ პრობლემის გადაჭრაზე, მაგრამ კოორდინატულ მეთოდს არ აინტერესებს! სწორედ მის მრავალფეროვნებაში მდგომარეობს მისი მთავარი უპირატესობა!

თვითმფრინავი გადის სამ წერტილს: . ჩვენ ვეძებთ მათ კოორდინატებს:

ერთი). თავად აჩვენე ბოლო ორი წერტილის კოორდინატები. ამისთვის დაგჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა ექვსკუთხა პირამიდით!

2) ჩვენ ვქმნით სიბრტყის განტოლებას:

ვეძებთ ვექტორის კოორდინატებს: . (კიდევ ერთხელ იხილეთ სამკუთხა პირამიდის პრობლემა!)

3) ჩვენ ვეძებთ კუთხეს:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ამ ამოცანებში ზებუნებრივად რთული არაფერია. უბრალოდ ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ ფესვებთან. ბოლო ორ პრობლემაზე მხოლოდ პასუხებს გავცემ:

როგორც ხედავთ, პრობლემების გადაჭრის ტექნიკა ყველგან ერთნაირია: მთავარი ამოცანაა წვეროების კოორდინატების პოვნა და მათი ჩანაცვლება ზოგიერთ ფორმულებში. ჩვენთვის რჩება კუთხის გამოთვლის პრობლემების კიდევ ერთი კლასი, კერძოდ:

კუთხეების გამოთვლა ორ სიბრტყეს შორის

გადაწყვეტის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. სამი წერტილისთვის ჩვენ ვეძებთ პირველი სიბრტყის განტოლებას:
2. დანარჩენი სამი წერტილისთვის ჩვენ ვეძებთ მეორე სიბრტყის განტოლებას:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, ფორმულა ძალიან ჰგავს წინა ორს, რომლის დახმარებით ვეძებდით კუთხეებს სწორ ხაზებს შორის და სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. ასე რომ, ამის დამახსოვრება არ გაგიჭირდებათ. მოდით გადავიდეთ პირდაპირ პრობლემაზე:

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის საფუძველზე ასი-რო-ტოლია, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი ტოლია. იპოვეთ კუთხე სიბრტყესა და პრიზის ფუძის სიბრტყეს შორის.

2. წინ მარჯვნივ ოთხი-თქვენ-რე-ნახშირის პი-რა-მი-დე, ვიღაცის ყველა კიდე ტოლია, იპოვეთ სიბრტყესა და სიბრტყეს Ko-Stu-ს შორის კუთხის სინუსი, რომელიც გადის. წერტილი პერ-კალამი-დი-კუ-ლიარ-მაგრამ პირდაპირ-ჩემი.

3. რეგულარულ ოთხნახშირიან პრიზმაში ოს-ნო-ვა-ნიას გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. კიდეზე-მე-ჩე-წერტილამდე ისე, რომ. იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის და

4. მარჯვენა ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძეების გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. ზღვარზე from-me-che-to წერტილი ისე, რომ იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის და.

5. კუბში იპოვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის co-si-nus და

პრობლემის გადაწყვეტილებები:

1. ვხატავ სწორს (ძირში ტოლგვერდა სამკუთხედია) სამკუთხა პრიზმადა მე აღვნიშნავ მასზე იმ თვითმფრინავებს, რომლებიც ჩნდება პრობლემის მდგომარეობაში:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი სიბრტყის განტოლება: საბაზისო განტოლება მიიღება ტრივიალურად: შეგიძლიათ გააკეთოთ შესაბამისი განმსაზღვრელი სამი წერტილისთვის, მაგრამ მე მაშინვე გავაკეთებ განტოლებას:

ახლა ვიპოვოთ განტოლება წერტილს აქვს კოორდინატები. წერტილი - ვინაიდან - სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, ადვილია მისი პოვნა პითაგორას თეორემით სამკუთხედში. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები: იპოვნეთ წერტილის აპლიკატი ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი

შემდეგ ვიღებთ შემდეგ კოორდინატებს: ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას.

ჩვენ ვიანგარიშებთ კუთხეს სიბრტყეებს შორის:

პასუხი:

2. ნახატის გაკეთება:

ყველაზე რთულია იმის გაგება, თუ როგორი იდუმალი თვითმფრინავია, რომელიც პერპენდიკულარულად გადის წერტილს. აბა, მთავარია რა არის? მთავარია ყურადღება! მართლაც, ხაზი პერპენდიკულარულია. ხაზი ასევე პერპენდიკულარულია. მაშინ ამ ორ წრფეზე გამავალი თვითმფრინავი წრფის პერპენდიკულარული იქნება და, სხვათა შორის, გაივლის წერტილს. ეს თვითმფრინავი ასევე გადის პირამიდის თავზე. შემდეგ სასურველი თვითმფრინავი - და თვითმფრინავი უკვე გვეძლევა. ჩვენ ვეძებთ წერტილების კოორდინატებს.

წერტილის კოორდინატს ვპოულობთ წერტილის გავლით. მცირე ნახატიდან ადვილია დავასკვნათ, რომ წერტილის კოორდინატები იქნება შემდეგი: რა რჩება ახლა, რათა ვიპოვოთ პირამიდის მწვერვალის კოორდინატები? ჯერ კიდევ საჭიროა მისი სიმაღლის გამოთვლა. ეს კეთდება იმავე პითაგორას თეორემის გამოყენებით: პირველი, დაამტკიცეთ, რომ (ტრივიალურად პატარა სამკუთხედებიდან, რომლებიც ქმნიან კვადრატს ბაზაზე). ვინაიდან პირობით ჩვენ გვაქვს:

ახლა ყველაფერი მზად არის: წვერო კოორდინატები:

ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

თქვენ უკვე ხართ დეტერმინანტების გამოთვლის ექსპერტი. მარტივად მიიღებთ:

ან სხვაგვარად (თუ ორივე ნაწილს გავამრავლებთ ორის ფესვზე)

ახლა ვიპოვოთ სიბრტყის განტოლება:

(არ დაგავიწყდათ, როგორ ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას, არა? თუ ვერ ხვდებით, საიდან გაჩნდა ეს მინუს ერთი, მაშინ დაუბრუნდით სიბრტყის განტოლების განმარტებას! უბრალოდ ყოველთვის გამოდიოდა, რომ ჩემი თვითმფრინავი წარმოშობას ეკუთვნოდა!)

ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს:

(შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ სიბრტყის განტოლება დაემთხვა წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას და! დაფიქრდით რატომ!)

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ კუთხეს:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სინუსი:

პასუხი:

3. რთული კითხვა: რა არის მართკუთხა პრიზმა, როგორ ფიქრობთ? ეს მხოლოდ შენთვის კარგად ნაცნობი პარალელეპიპედია! ხატვა მაშინვე! თქვენ არ შეგიძლიათ ცალ-ცალკე ასახოთ ბაზა, მისგან მცირე გამოყენებაა აქ:

თვითმფრინავი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, იწერება განტოლების სახით:

ახლა ჩვენ ვქმნით თვითმფრინავს

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვადგენთ თვითმფრინავის განტოლებას:

ეძებს კუთხეს

ახლა პასუხები ბოლო ორ პრობლემაზე:

კარგი, ახლა დასვენების დროა, რადგან მე და შენ მშვენივრები ვართ და დიდი საქმე გავაკეთეთ!

კოორდინატები და ვექტორები. მოწინავე დონე

ამ სტატიაში თქვენთან ერთად განვიხილავთ პრობლემების კიდევ ერთ კლასს, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს კოორდინატთა მეთოდით: მანძილის ამოცანები. კერძოდ, განვიხილავთ შემდეგი შემთხვევები:

1. დახრილ ხაზებს შორის მანძილის გამოთვლა.

მე შევუკვეთე მოცემული დავალებები მათი სირთულის მატებასთან ერთად. ყველაზე მარტივი პოვნაა მიუთითეთ თვითმფრინავის მანძილიდა ყველაზე რთული პოვნაა მანძილი გადაკვეთის ხაზებს შორის. თუმცა, რა თქმა უნდა, შეუძლებელი არაფერია! მოდით, არ გავაჭიანუროთ და დაუყოვნებლივ გადავიდეთ პირველი კლასის პრობლემების განხილვაზე:

წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

რა გვჭირდება ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

1. წერტილის კოორდინატები

ასე რომ, როგორც კი მივიღებთ ყველა საჭირო მონაცემს, ვიყენებთ ფორმულას:

თქვენ უკვე უნდა იცოდეთ, როგორ ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას წინა ამოცანებიდან, რომლებიც გავაანალიზე ბოლო ნაწილში. მაშინვე საქმეს შევუდგეთ. სქემა ასეთია: 1, 2 - მე დაგეხმარები გადაწყვეტილების მიღებაში, და გარკვეულწილად, 3, 4 - მხოლოდ პასუხი, შენ თვითონ იღებ გადაწყვეტილებას და ადარებ. დაიწყო!

Დავალებები:

1. მოცემულია კუბი. კუბის კიდის სიგრძეა იპოვეთ-დი-ტე მანძილი სე-რე-დი-ნიდან ჭრიდან სიბრტყემდე

2. მოცემული მარჯვნივ-ვილ-ნაია ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნაია პი-რა-მი-და ბო-კო-ვოე კიდე ას-რო-ზე ოს-ნო-ვა-ნია ტოლია. იპოვეთ-დი-ის მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, სადაც - se-re-di-on კიდეებზე.

3. სწორ სამკუთხედში პი-რა-მი-დე ოს-ბუტ-ვა-ნი-ემთან, მეორე კიდე ტოლია და ას-რო-ონ ოს-ნო-ვა-ნია ტოლია. იპოვეთ ის მანძილი ზემოდან სიბრტყემდე.

4. მარჯვენა ექვსნახშირიან პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვნეთ ის მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

გადაწყვეტილებები:

1. დახაზეთ კუბი ცალი კიდეებით, ააგეთ სეგმენტი და სიბრტყე, ასოებით აღნიშნეთ სეგმენტის შუა ნაწილი.

.

პირველი, დავიწყოთ მარტივით: იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები. მას შემდეგ (გაიხსენეთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები!)

ახლა ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას სამ წერტილზე

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(გ))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = 0\]

ახლა შემიძლია დავიწყო მანძილის პოვნა:

2. ისევ ვიწყებთ ნახატით, რომელზედაც ვნიშნავთ ყველა მონაცემს!

პირამიდისთვის სასარგებლო იქნება მისი ბაზის ცალკე დახატვა.

თუნდაც ის, რომ ქათმის თათივით ვხატავ, ხელს არ შეგვიშლის ამ პრობლემის მარტივად გადაჭრაში!

ახლა ადვილია წერტილის კოორდინატების პოვნა

ვინაიდან წერტილის კოორდინატები

2. ვინაიდან a წერტილის კოორდინატები არის სეგმენტის შუა ნაწილი, მაშინ

სიბრტყეზე კიდევ ორი ​​წერტილის კოორდინატებს მარტივად ვიპოვით, სიბრტყის განტოლებას ვადგენთ და ვამარტივებთ:

\[\მარცხნივ| (\left| (\begin(მასივი)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(მასივი)) \right|) \right| = 0\]

ვინაიდან წერტილს აქვს კოორდინატები: , მაშინ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს:

პასუხი (ძალიან იშვიათია!):

აბა, გაიგე? მეჩვენება, რომ აქ ყველაფერი ისეთივე ტექნიკურია, როგორც მაგალითებში, რომლებიც თქვენთან ერთად განვიხილეთ წინა ნაწილში. ასე რომ, დარწმუნებული ვარ, რომ თუ თქვენ აითვისეთ ეს მასალა, მაშინ არ გაგიჭირდებათ დარჩენილი ორი პრობლემის გადაჭრა. მე მხოლოდ პასუხებს მოგცემთ:

ხაზიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია. როგორ შეიძლება იყოს ხაზი და თვითმფრინავი ერთმანეთთან შედარებით? მათ აქვთ ყველა შესაძლებლობა: გადაიკვეთონ, ან სწორი ხაზი იყოს სიბრტყის პარალელურად. როგორ ფიქრობთ, რა არის მანძილი წრფედან სიბრტყემდე, რომელთანაც იკვეთება მოცემული წრფე? მეჩვენება, რომ გასაგებია, რომ ასეთი მანძილი ნულის ტოლია. უინტერესო შემთხვევა.

მეორე შემთხვევა უფრო რთულია: აქ მანძილი უკვე ნულის ტოლია. თუმცა, ვინაიდან წრფე სიბრტყის პარალელურია, წრფის თითოეული წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული ამ სიბრტყისგან:

Ამგვარად:

და ეს ნიშნავს, რომ ჩემი დავალება შემცირდა წინაზე: ჩვენ ვეძებთ წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, ვეძებთ სიბრტყის განტოლებას, ვიანგარიშებთ მანძილს წერტილიდან სიბრტყემდე. სინამდვილეში, ასეთი დავალებები გამოცდაზე ძალზე იშვიათია. მე მოვახერხე მხოლოდ ერთი პრობლემის პოვნა და მასში არსებული მონაცემები ისეთი იყო, რომ კოორდინატთა მეთოდი არ იყო მისთვის ძალიან გამოსაყენებელი!

ახლა გადავიდეთ პრობლემების სხვა, ბევრად უფრო მნიშვნელოვან კლასზე:

წერტილის მანძილის გამოთვლა ხაზამდე

რა დაგვჭირდება?

1. წერტილის კოორდინატები, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. სწორ ხაზზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები

3. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორული კოორდინატები

რა ფორმულას ვიყენებთ?

რას ნიშნავს თქვენთვის ამ წილადის მნიშვნელი და ამიტომ გასაგები უნდა იყოს: ეს არის სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის სიგრძე. აქ არის ძალიან რთული მრიცხველი! გამოთქმა ნიშნავს ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდულს (სიგრძეს) და როგორ გამოვთვალოთ ვექტორული ნამრავლი, ჩვენ შევისწავლეთ სამუშაოს წინა ნაწილში. განაახლეთ თქვენი ცოდნა, ის ახლა ძალიან გამოგვადგება!

ამრიგად, პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. ჩვენ ვეძებთ იმ წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. ჩვენ ვეძებთ წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

3. ვექტორის აგება

4. ვაშენებთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს

5. გამოთვალეთ ჯვარედინი ნამრავლი

6. ჩვენ ვეძებთ მიღებული ვექტორის სიგრძეს:

7. გამოთვალეთ მანძილი:

ბევრი სამუშაო გვაქვს და მაგალითები საკმაოდ რთული იქნება! ასე რომ, ახლა მთელი თქვენი ყურადღება გაამახვილეთ!

1. დანა არის მარჯვენა სამკუთხა პი-რა-მი-და წვერით. ას-რო-ონ ოს-ნო-ვა-ნია პი-რა-მი-დი ტოლია, შენ-სო-ტა ტოლია. იპოვეთ-დი-ის მანძილი ბო-კო-ე კიდის სე-რე-დი-ნიდან სწორ ხაზამდე, სადაც წერტილები და არის ნეკნების სე-რე-დი-ნი და თანა-გან-ვე. -სვენ-მაგრამ.

2. ნეკნების სიგრძე და მართკუთხა-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ტოლია, შესაბამისად, და Find-di-te მანძილი ზედა-ში-ნი-დან პირდაპირ-ჩემამდე.

3. მარჯვენა ექვსნახშირიან პრიზმაში, გროვის ყველა კიდე ტოლია იპოვე-დი-ის მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

გადაწყვეტილებები:

1. ვაკეთებთ მოწესრიგებულ ნახატს, რომელზედაც აღვნიშნავთ ყველა მონაცემს:

ჩვენ ბევრი სამუშაო გვაქვს თქვენთვის! ჯერ სიტყვებით მინდა აღვწერო რას ვეძებთ და რა თანმიმდევრობით:

1. პუნქტების კოორდინატები და

2. წერტილის კოორდინატები

3. პუნქტების კოორდინატები და

4. ვექტორთა კოორდინატები და

5. მათი ჯვარედინი პროდუქტი

6. ვექტორის სიგრძე

7. ვექტორული ნამრავლის სიგრძე

8. მანძილი დან

ისე, ჩვენ ბევრი საქმე გვაქვს გასაკეთებელი! მოდი, ხელები გავიშალოთ!

1. პირამიდის სიმაღლის კოორდინატების საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ წერტილის კოორდინატები, მისი აპლიკატი არის ნული, ორდინატი კი მისი აბსცისის ტოლია. ბოლოს მივიღეთ კოორდინატები:

წერტილის კოორდინატები

2. - სეგმენტის შუა

3. - სეგმენტის შუა

შუა წერტილი

4.კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

5. გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი:

6. ვექტორის სიგრძე: უმარტივესი გზაა ჩანაცვლება, რომ სეგმენტი არის სამკუთხედის შუა ხაზი, რაც ნიშნავს, რომ ის უდრის ფუძის ნახევარს. Ასე რომ.

7. განვიხილავთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

8. ბოლოს იპოვეთ მანძილი:

ფუ, სულ ესაა! გულწრფელად გეტყვით: ამ პრობლემის გადაწყვეტა ტრადიციული მეთოდები(ნაგებობების საშუალებით) ბევრად უფრო სწრაფი იქნებოდა. მაგრამ აქ ყველაფერი მზა ალგორითმზე დავყვანე! ვფიქრობ, რომ ამოხსნის ალგორითმი თქვენთვის გასაგებია? ამიტომ მოგთხოვთ, დარჩენილი ორი პრობლემა თავად მოაგვაროთ. შეადარეთ პასუხები?

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ: ამ პრობლემების გადაჭრა უფრო ადვილია (უფრო სწრაფი) კონსტრუქციების საშუალებით, ვიდრე კოორდინატულ მეთოდს მივმართოთ. მე ვაჩვენე ეს გამოსავალი მხოლოდ იმისთვის, რომ გაჩვენოთ უნივერსალური მეთოდი, რაც საშუალებას იძლევა „არაფერი დასრულდეს“.

საბოლოოდ, განიხილეთ ბოლო კლასიდავალებები:

დახრილ ხაზებს შორის მანძილის გამოთვლა

აქ პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი წინას მსგავსი იქნება. რაც გვაქვს:

3. პირველი და მეორე წრფის წერტილების დამაკავშირებელი ნებისმიერი ვექტორი:

როგორ ვიპოვოთ მანძილი ხაზებს შორის?

ფორმულა არის:

მრიცხველი არის შერეული ნამრავლის მოდული (ჩვენ შემოვიღეთ წინა ნაწილში), ხოლო მნიშვნელი - როგორც წინა ფორმულაში (ხაზების მიმართული ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდული, რომელთა შორის მანძილი ჩვენ ვეძებთ. ამისთვის).

ამას შეგახსენებთ

მაშინ მანძილის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს როგორც:

გაყავით ეს განმსაზღვრელი დეტერმინანტზე! თუმცა, მართალი გითხრათ, აქ ხუმრობის ხასიათზე არ ვარ! ეს ფორმულაფაქტობრივად, ძალიან რთულია და იწვევს საკმაოდ რთულ გამოთვლებს. მე რომ შენ ვყოფილიყავი, მხოლოდ ბოლო კურორტად გამოვიყენებდი!

შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენებით:

1. სწორ სამკუთხა პრიზმაში ყველა კიდე რაღაცნაირად თანაბარია, იპოვეთ მანძილი სწორ ხაზებს შორის და.

2. წინა მარჯვენა სამკუთხა პრიზმის გათვალისწინებით, ვინმეს os-no-va-niya-ს ყველა კიდე უდრის Se-che-tion, გადის მეორე ნეკნს და se-re-di-nu ნეკნები არის yav. -ლა-ეტ-სია კვადრატი-რა-ტომ. Find-di-te dis-sto-I-nie-ს შორის სწორი-ვე-მი და

მე ვწყვეტ პირველს და მასზე დაყრდნობით თქვენ წყვეტთ მეორეს!

1. ვხატავ პრიზმას და ვნიშნავ ხაზებს და

C წერტილის კოორდინატები: მაშინ

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \მარჯვნივ) = \მარცხნივ| (\begin(მაივი)(*(20)(l))(\begin(მაივი)(*(20)(c))0&1&0\end(მაივი))\\(\begin(მაივი)(*(20) (c))0&0&1\end(მაივი))\\(\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\ბოლო(მასივი))\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

განვიხილავთ ჯვარედინი ნამრავლს ვექტორებს შორის და

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \მარცხნივ| \begin(მასივი)(l)\begin(მაივი)(*(20)(c))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(მაივი)\\\ დასაწყისი(მასივი )(*(20)(გ))0&0&1\ბოლო(მასივი)\\\ დასაწყისი(მაივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(მასივი)\end(მასივი) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ახლა განვიხილავთ მის სიგრძეს:

პასუხი:

ახლა შეეცადეთ ყურადღებით დაასრულოთ მეორე დავალება. ამაზე პასუხი იქნება:.

კოორდინატები და ვექტორები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულები

ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი. - ვექტორის დასაწყისი, - ვექტორის დასასრული.
ვექტორი აღინიშნება ან.

აბსოლუტური ღირებულებავექტორი - ვექტორის გამომსახველი სეგმენტის სიგრძე. დანიშნული როგორც.

ვექტორული კოორდინატები:

,
სად არის ვექტორის ბოლოები \displaystyle a.

ვექტორთა ჯამი: .

ვექტორების ნამრავლი:

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი:

სიბრტყეში წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოთვლის ფორმულა

თუ მოცემულია Ax + By + C = 0 წრფის განტოლება, მაშინ მანძილი M(M x, M y) წერტილიდან წრფემდე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით.

დავალებების მაგალითები სიბრტყეში წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად

მაგალითი 1

იპოვეთ მანძილი 3x + 4y - 6 = 0 წრფესა და M(-1, 3) წერტილს შორის.

გამოსავალი.ჩაანაცვლეთ ფორმულაში წრფის კოეფიციენტები და წერტილის კოორდინატები

პასუხი:მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის 0,6.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორზე პერპენდიკულარულ წერტილებზე სიბრტყის ზოგადი განტოლება

მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ არანულოვან ვექტორს ეწოდება ნორმალური ვექტორი (ან მოკლედ, ნორმალური ) ამ თვითმფრინავისთვის.

კოორდინატთა სივრცეში (მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში) დაუშვით:

ა) წერტილი ;

ბ) არანულოვანი ვექტორი (ნახ. 4.8, ა).

საჭიროა განტოლების დაწერა წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის ვექტორზე პერპენდიკულარული მტკიცების დასასრული.

განიხილეთ ახლა განსხვავებული ტიპებისიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებები.

1) სიბრტყის ზოგადი განტოლებაპ .

განტოლების წარმოშობიდან გამომდინარეობს, რომ ამავე დროს ა, ბდა Cარ არის 0-ის ტოლი (განმარტეთ რატომ).

წერტილი ეკუთვნის თვითმფრინავს პმხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ სიბრტყის განტოლებას. კოეფიციენტების მიხედვით ა, ბ, Cდა დთვითმფრინავი პიკავებს ამა თუ იმ პოზიციას.

- თვითმფრინავი გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, - თვითმფრინავი არ გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისს,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია X,

X,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია ი,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელურად ი,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია ზ,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელურად ზ.

თავად დაამტკიცეთ ეს განცხადებები.

განტოლება (6) ადვილად გამომდინარეობს განტოლებიდან (5). მართლაც, დაე, წერტილი სიბრტყეზე იყოს პ. შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას. გამოვაკლოთ განტოლება (7) განტოლებას (5) და დავაჯგუფოთ ტერმინები, მივიღებთ განტოლებას (6). ახლა განვიხილოთ ორი ვექტორი კოორდინატებით, შესაბამისად. ფორმულიდან (6) გამომდინარეობს, რომ მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორი არის ვექტორის პერპენდიკულარული ბოლო ვექტორის დასაწყისი და დასასრული, შესაბამისად, იმ წერტილებში, რომლებიც ეკუთვნის სიბრტყეს. პ. მაშასადამე, ვექტორი სიბრტყის პერპენდიკულარულია პ. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე პ, რომლის ზოგადი განტოლებაა განისაზღვრება ფორმულით ამ ფორმულის მტკიცებულება სრულიად ჰგავს წერტილსა და წრფეს შორის მანძილის ფორმულის მტკიცებულებას (იხ. სურ. 2).
ბრინჯი. 2. სიბრტყესა და სწორ ხაზს შორის მანძილის ფორმულის წარმოშობამდე.

მართლაც, მანძილი დხაზსა და სიბრტყეს შორის არის

სად არის წერტილი, რომელიც თვითმფრინავში დევს. აქედან, როგორც მე-11 ლექციაზე, მიღებულია ზემოაღნიშნული ფორმულა. ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია. აქედან ვიღებთ ორი სიბრტყის პარალელურობის პირობას - შანსები ზოგადი განტოლებებითვითმფრინავები. ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პერპენდიკულარულია, აქედან გამომდინარე მივიღებთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობას, თუ მათი ზოგადი განტოლებები ცნობილია.

კუთხე ვორ თვითმფრინავს შორის კუთხის ტოლიმათ ნორმალურ ვექტორებს შორის (იხ. სურ. 3) და, შესაბამისად, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულიდან
სიბრტყეებს შორის კუთხის განსაზღვრა.

(11)

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე და როგორ ვიპოვოთ იგი

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავიარის ამ სიბრტყის წერტილიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის სიგრძე. წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად მინიმუმ ორი გზა არსებობს: გეომეტრიულიდა ალგებრული.

გეომეტრიული მეთოდითჯერ უნდა გესმოდეთ, როგორ მდებარეობს პერპენდიკულარი წერტილიდან სიბრტყემდე: შესაძლოა ის დევს რაიმე მოსახერხებელ სიბრტყეში, არის სიმაღლე რომელიმე მოსახერხებელ (ან არც ისე) სამკუთხედში, ან შესაძლოა ეს პერპენდიკულარი ზოგადად არის სიმაღლე რომელიმე პირამიდაში. .

ამ პირველი და ყველაზე რთული ეტაპის შემდეგ, პრობლემა იშლება რამდენიმე სპეციფიკურ პლანიმეტრულ პრობლემად (შესაძლოა სხვადასხვა სიბრტყეში).

ალგებრული გზითიმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, თქვენ უნდა შეიყვანოთ კოორდინატთა სისტემა, იპოვოთ წერტილის კოორდინატები და სიბრტყის განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის ფორმულა.